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UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA
2014-2015
José Leandro de María González
GRADO EN MATEMÁTICAS
GRADO GUÍA DE ESTUDIO DE LA ASIGNATURA
2ª PARTE | FUNCIONES DE UNA VARIABLE II
TÍTULO DE LA ASIGNATURA
UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA 2
GUIA DE ESTUDIO DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL II
PLAN DE TRABAJO Y ORIENTACIONES PARA SU DESARROLLO
Trabajaremos sobre las Unidades Didácticas de Análisis Matemático I de la UNED, y los
apartados harán referencia a dicho texto.
En la bibliografía aconsejada se encuentran libros o direcciones web donde el alumno encontrará
material complementario para preparar la asignatura.
En este cuatrimestre que consta de 15 semanas aproximadamente se estudiarán:
Unidad Didáctica 3.
Integral de Riemann (10 horas, Teóricos T-5h, Prácticos P-5h)
Teoremas Fundamentales del Cálculo (15 horas, T-6h, P-9h)
Funciones Logarítmicas y exponenciales (8 horas, T-3h, P-5h)
Funciones Trigonométricas (8 horas, T-4h, P-4h)
Cálculo de Primitivas (15 horas, T-5h, P-10h)
Cálculo de Primitivas (continuación) (15 horas, T-5h,P-10h)
Unidad Didáctica 4.
Integrales Impropias (15 horas, T-5h, P-10h)
Funciones Eulerianas (5 horas, T-2h, P-3h)
Unidad Didáctica 5.
Sucesiones de Funciones (15 horas, T-5h, P-10h)
Series de Funciones (15 horas, T-5h, P-10h)
Series de Potencias (15 horas, T-5h, P-10h)
Una semana correspondería a 10 horas de estudio, con la estimación que hemos hecho el
estudiante puede calcular cómo distribuirlo por semanas. Pero es bastante subjetivo, porque
puede haber partes con las que esté más familiarizado y otras que le resulten más novedosas
o difíciles.
Sobre el cálculo aproximado de 15 semanas el estudio debería de completar 150 horas de trabajo
que corresponden a los 6 créditos (ECTS) y a las 25 horas/crédito asignadas. No obstante
aconsejamos que las primeras semanas sean un poco más intensas para dejar algún tiempo para
repaso. Por tanto la programación que hacemos debería de incluir una distribución del tiempo para
que en los periodos de estudio pudiesen acumularse los últimos días de repaso.
SEMANA TEMA DEL TEXTO BASE
ACTIVIDADES OTRAS ACTIVIDADES
|Nombre y Apellidos
UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA 3
PRIMERA INTEGRAL DE
RIEMANN
PARTICIPACIÓN EN
LAS TUTORÍAS.
EJERCICIOS DE
AUTOEVALUACIÓN
DEL TEXTO BASE.
BÚSQUEDA EN LIBROS ACONSEJADOS Y ATENCIÓN AL CURSO VIRTUAL Y SUS PROPUESTAS.
SEGUNDA TEOREMAS
FUNDAMENTALES
DEL CÁLCULO
PARTICIPACIÓN EN
LAS TUTORÍAS.
EJERCICIOS DE
AUTOEVALUACIÓN
DEL TEXTO BASE.
BÚSQUEDA EN LIBROS ACONSEJADOS Y ATENCIÓN AL CURSO VIRTUAL Y SUS PROPUESTAS.
TERCERA TEOREMAS
FUNDAMENTALES
DEL CÁLCULO Y
FUNCIONES
LOGARÍTMICAS
PARTICIPACIÓN EN
LAS TUTORÍAS.
EJERCICIOS DE
AUTOEVALUACIÓN
DEL TEXTO BASE.
BÚSQUEDA EN LIBROS ACONSEJADOS Y ATENCIÓN AL CURSO VIRTUAL Y SUS PROPUESTAS.
CUARTA FUNCIONES
EXPONENCIALES
PARTICIPACIÓN EN
LAS TUTORÍAS.
EJERCICIOS DE
AUTOEVALUACIÓN
DEL TEXTO BASE.
BÚSQUEDA EN LIBROS ACONSEJADOS Y ATENCIÓN AL CURSO VIRTUAL Y SUS PROPUESTAS.
QUINTA FUNCIONES
TRIGONOMÉTRICAS
PARTICIPACIÓN EN
LAS TUTORÍAS.
EJERCICIOS DE
AUTOEVALUACIÓN
DEL TEXTO BASE.
BÚSQUEDA EN LIBROS ACONSEJADOS Y ATENCIÓN AL CURSO VIRTUAL Y SUS PROPUESTAS.
SEXTA,SÉPTIMA
Y OCTAVA
CÁLCULO DE
PRIMITIVAS
PARTICIPACIÓN EN
LAS TUTORÍAS.
EJERCICIOS DE
AUTOEVALUACIÓN
DEL TEXTO BASE.
BÚSQUEDA EN LIBROS ACONSEJADOS Y ATENCIÓN AL CURSO VIRTUAL Y SUS PROPUESTAS.
NOVENA INTEGRALES
IMPROPIAS
PARTICIPACIÓN EN
LAS TUTORÍAS.
EJERCICIOS DE
AUTOEVALUACIÓN
BÚSQUEDA EN LIBROS ACONSEJADOS Y ATENCIÓN AL CURSO
TÍTULO DE LA ASIGNATURA
UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA 4
DEL TEXTO BASE. VIRTUAL Y SUS PROPUESTAS.
DÉCIMA INTEGRALES
IMPROPIAS
FUNCIONES
EULERIANAS
PARTICIPACIÓN EN
LAS TUTORÍAS.
EJERCICIOS DE
AUTOEVALUACIÓN
DEL TEXTO BASE.
BÚSQUEDA EN LIBROS ACONSEJADOS Y ATENCIÓN AL CURSO VIRTUAL Y SUS PROPUESTAS.
UNDÉCIMA SUCESIONES DE FUNCIONES. SERIES DE FUNCIONES
PARTICIPACIÓN EN
LAS TUTORÍAS.
EJERCICIOS DE
AUTOEVALUACIÓN
DEL TEXTO BASE.
BÚSQUEDA EN LIBROS ACONSEJADOS Y ATENCIÓN AL CURSO VIRTUAL Y SUS PROPUESTAS.
DUODÉCIMA SERIES DE
FUNCIONES
SERIES DE
POTENCIAS
PARTICIPACIÓN EN
LAS TUTORÍAS.
EJERCICIOS DE
AUTOEVALUACIÓN
DEL TEXTO BASE.
BÚSQUEDA EN LIBROS ACONSEJADOS Y ATENCIÓN AL CURSO VIRTUAL Y SUS PROPUESTAS.
TRIGÉSIMA SERIES DE
POTENCIAS
PARTICIPACIÓN EN
LAS TUTORÍAS.
EJERCICIOS DE
AUTOEVALUACIÓN
DEL TEXTO BASE.
BÚSQUEDA EN LIBROS ACONSEJADOS Y ATENCIÓN AL CURSO VIRTUAL Y SUS PROPUESTAS.
DECIMOCUARTA SUCESIONES DE
FUNCIONES
SERIES DE
FUNCIONES
SERIES DE
POTENCIAS
PARTICIPACIÓN EN
LAS TUTORÍAS.
EJERCICIOS DE
AUTOEVALUACIÓN
DEL TEXTO BASE.
BÚSQUEDA EN LIBROS ACONSEJADOS Y ATENCIÓN AL CURSO VIRTUAL Y SUS PROPUESTAS.
DECIMOQUINTA REPASO REPASO DE LOS
PUNTOS
FUNDAMENTALES.
BÚSQUEDA EN LIBROS ACONSEJADOS Y ATENCIÓN AL CURSO VIRTUAL Y SUS PROPUESTAS.
|Nombre y Apellidos
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Un consejo: Cuando se sugiera un ejercicio para afianzar la teoría se está proponiendo que el
estudiante lea el enunciado y lo intente hacer por sus propios medios sin mirar la solución
directamente pues el aprendizaje no sólo viene del estudio si no de la reflexión sobre los problemas
y de la búsqueda de respuestas. Varios intentos de resolución, aún fallidos, son más importantes
que una solución correcta leída y aprendida de memoria. Este método de reflexión producirá una
interiorización de los conocimientos que no puede surgir de un estudio lineal del texto. El dicho
hindú “Un gramo de práctica vale más que una tonelada de teoría” es perfectamente aplicable al
estudio del análisis matemático. El estudiante no debe de conformarse con unos conocimientos
teóricos si no que debe apropiarse de lo que estudia sabiendo que el bagaje que adquiera va a ser
fundamental en el estudio de su carrera.
2. ORIENTACIONES PARA EL ESTUDIO DE LA ASIGNATURA
Pasemos, pues, a pormenorizar tema por tema el esquema sugerido para el estudio.
Unidad Didáctica 3.
Integral de Riemann (10 horas, Teóricos T-5h, Prácticos P-5h)
Este tema es la construcción de la integral de Riemann y conlleva la introducción de los
conceptos de partición de un intervalo y de las sumas de Darboux. A través de éstos se
define lo que es una integral en el apartado 1.2.1. El estudiante puede hacerse una idea de
que geométricamente la integral representa el área por debajo de la gráfica de la función
positiva entre los límites a y b y el eje OX. Si la función tuviese valores positivos y
negativos, la integral sería el área de la parte que está por encima menos el área de la parte
que está por debajo. En el curso virtual se harán unas notas para el estudio de la integral
como área una vez que se hayan estudiado los métodos de cálculo de primitivas.
Desatacamos la proposición 1.2.2. de carácter eminentemente teórico y las proposiciones
de 1.2.3. que demuestran que las funciones monótonas y continuas son integrables. En 1.3.
se demuestran las propiedades de la integral y de las funciones integrables.
Independientemente no nos olvidemos que en internet pueden encontrarse muchas ideas
gráficas, algunas se referenciarán en el curso virtual.
La parte práctica de este tema incluye ejercicios de autocomprobación con ejemplos como
el 3 y 4 que son históricamente importantes. Los ejercicios 8 y 9 son dos hechos
matemáticos de enorme trascendencia en los posteriores estudios del Análisis Matemático.
A estos ejercicios se dedicarán por lo menos 5 horas de trabajo porque su importancia es
mayor que algunas de las proposiciones teóricas.
Independientemente no nos olvidemos que en internet pueden encontrarse muchas ideas
gráficas, algunas se referenciarán en el curso virtual.
Teoremas Fundamentales del Cálculo (15 horas, T-6h, P-9h)
Este es el tema más importante de la asignatura.
Se desarrollan los descubrimientos y propiedades que tiene la integral de Riemann y bastaría con
que alguno no se cumpliese para que la herramienta intergral no tuviese la potencia e importancia
que tiene. Pero no es difícil y sus cálculos son sencillos, por tanto la parte teórica que se sugiere
debe sobre todo dedicarse a la reflexión sobre los enunciados, sobre sus consecuencias y
posibilidades.
TÍTULO DE LA ASIGNATURA
UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA 6
Los teoremas fundamentales son:
1. Teorema del valor medio (2.1.1.) y teorema del valor medio ponderado
2. Primer Teorema Fundamental del Cálculo (2.2.2.)
3. Segundo Teorema Fundamental del Cálculo o Regla de Barrow (2.2.3.)
4. Teorema del cambio de Variable (2.3.)
Los teoremas del valor medio son unos teoremas de existencia, que siempre son importantes en
Matemáticas. Obsérvese que se aplican a las funciones continuas.
El teorema fundamental del cálculo viene básicamente a asegurar que las funciones que vienen
definidas mediante la integral indefinida de una función integrable f(x) son continuas, y que
cuando las funciones del integrando son continuas entonces son derivables cuya derivada es
precisamente función es f(x). Por tanto este teorema asegura que las operaciones derivación e
integración son “inversas”. Esta idea es básica en todo el Análisis Matemático y fue la que inspiró
el desarrollo del cálculo diferencial e integral relacionando el concepto de tangente (derivada) con
el de área (integral). Desde Leibnitz hasta Cauchy se esatuvo estudiando esta relación y la intuición
de que era cierta motivó el desarrollo del cálculo en los siglos XVII y XVIII. Podría ser interesante
que el estudiante se diese una vuelta por la web buscando datos históricos de dicha relación.
La Regla de Barrow, que en las U.D., denomina Segundo Teorema Fundamental del Cálculo, es el
instrumento que hace posible el cálculo de integrales. Aunque aún no hemos realizado el estudio
de las primitivas el alumno tiene suficientes conocimientos y práctica para utilizarlo de los cursos
anteriores, por tanto no hay nada nuevo, pero sí es imprescindible que observe en toda su
generalidad el teorema. Su utilidad es máxima en el Análisis, las Ecuaciones Diferenciales,
Geometría Diferencial, Estadística, etc… Sin la Regla de Barrow no existiría el Análisis
Matemático, pues los cálculos sólo serían aproximados y muchas relaciones entre funciones no
podrían ser establecidas. El cálculo de una integral se reduce por tanto a la búsqueda de una
primitiva, tema que abordaremos más adelante.
El Cambio de variable es una técnica utilizada para trasformar integrales en otras más sencillas y
que así su cálculo sea posible.
Finaliza el tema con un método que permite hallar límites de sumas mediante la integral, ya que
ésta es un ínfimo de sumas Darboux, (véase la definición de integral), en ciertas condiciones se
puede establecer un método para hallar ciertas sumas calculando la integral. Si estudiamos con
detenimiento el apartado 2.4. veremos la técnica. El ejemplo de dicho aprtado es esclarecedor.
La parte práctica de los ejercicios de autoevaluación del texto base es fundamental y no sólo deben
hacerse sino a partir de ellos debe el alumno modificarlos y hacer otros similares. En el Curso
virtual aparecerán unos ejercicios corregidos y propuestos para que se realicen más prácticas. Todo
el tiempo que se dedique a este tema es tiempo ganado en fundamentar el conocimiento global de
la asignatura que será absolutamente útil en otras muchas del grado.
Funciones Logarítmicas y exponenciales (8 horas, T-3h, P-5h)
Este tema y el siguiente se dedican a fundamentar las funciones elementales que el alumno conoce
utilizando el teorema fundamental del cálculo. Aunque en diversos textos hay otras
aproximaciones a la materia en el texto base se elige comenzar con la función logarítmica
neperiana y a partir de ella ir obteniendo sucesivamente las exponenciales, las otras logarítmicas,
las potenciales y las funciones hiperbólicas. Aunque este tema no tiene grandes complicaciones
para un alumno con buena base sí debe de ser leído con interés pues en él se formalizan cuestiones
|Nombre y Apellidos
UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA 7
que en muchos casos se han dado por sabidas durante los años preuniversitarios y que deben en
algún momento ser formalizadas para no dejar una laguna de fundamentación.
La definición de función potencia (apartado 3.4.) es especialmente importante pues nuestra
experiencia docente demuestra que no queda clara en las ideas del alumno incluso en los cursos
superiores debido a la tendencia a considerar que siempre los exponentes son números naturales lo
que obviamente no es cierto. Dedique un tiempo a asegurarse que ha comprendido bien la
definición.
No tan conocidas son las funciones hiperbólicas que tienen una gran aplicación en las ecuaciones
diferenciales y en algunos tipos de geometrías por lo que deben ser estudiadas con detalle. Con
algún programa de cálculo simbólico como Maple, Derive…convendría que se hiciesen
representaciones gráficas de las funciones hiperbólicas y composiciones hasta familiarizarse con
ellas. Afortunadamente tenemos con cualquiera de estos programas la posibilidad de experimentar
con las funciones como en un laboratorio, aunque es aconsejable no sólo reducirlo a un pasivo ver
imágenes sino con una actitud más amplia y comprobar los resultados que los programas nos
ofrecen de forma automática.
Comentario a propósito: En los noventa empezaron a extenderse programas gráficos matemáticos
que permitían representar algunos conceptos matemáticos. La evolución como todo lo relacionado
con los ordenadores ha sido espectacular pudiendo visualizar objetos matemáticos y aproximarnos
a ellos de una forma heurística. Con lo cual las Matemáticas están más cerca que nunca de ser una
ciencia experimental. Esto exige en el usuario una actitud crítica y activa debiendo seguir los pasos
de dichas ciencias es decir, hacer hipótesis a partir de los hechos vistos, formular una tesis y
probarla. Esta es la actitud con los que las nuevas tecnologías pueden aportar a los conocimientos
matemáticos. Como anécdota, en los trabajos completos de Cauchy hay muchas páginas dedicadas
a hacer cálculos a mano acercándose a lo que posteriormente viene a conocerse como sucesión de
Cauchy (que el alumno ha estudiado en la asignatura de Funciones de una variable real I. Debemos
de hacer algo semejante lo que pasa es que el ordenador nos permite hacer los cálculos más
deprisa.
El apartado 3.6. muestra cómo aplicar las propiedades de las funciones al cálculo de límites.
Aunque como dijimos ya las hemos ido usando sin esperar a formalizarlas.
En la parte práctica los ejercicios de autoevaluación muestran cómo con las definiciones rigurosas
es posible hallar desigualdades nada obvias. Los ejercicios son prácticos y complicados por tanto
llévese su tiempo en realizarlos asegurándose de entender bien el contenido.
Funciones Trigonométricas (8 horas, T-4h, P-4h)
La idea de este tema es el mismo del anterior pero ahora con funciones más familiares, las
funciones trigonométricas. Al estudiar este tema se debe de tener en cuenta que no es si no una
formalización para fundamentar los conceptos de las funciones senos y cosenos, pero no vaya a
llegarse a la exageración de pensar que uno no conocía las funciones trigonométricas. En
Matemáticas hay varios niveles de conocimientos intuición, manejo, formalización, ampliación,
todos son necesarios pero evidentemente si hubiese que esperar a manejar la función seno hasta el
nivel que en este tema se expone entonces la ciencia no habría avanzado nada. Tómese pues como
un ejemplo de análisis y formalización pero no olvide nada de lo que ya sabe que es lo
fundamental.
Además, proposiciones de propiedades de las funciones seno y coseno (como la proposición 2.2.3.)
ya han sido probadas en cursos inferiores con técnicas geométricas, que si bien se sostenían en
intuiciones, eran más claras que las demostraciones puramente analíticas como las que se presentan
a lo largo del tema.
La parte de los ejercicios de autoevaluación que presenta el tema tienen interés porque se muestran
nuevos límites de funciones con funciones trigonométricas y algunas propiedades que muestran
TÍTULO DE LA ASIGNATURA
UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA 8
cómo van tomando forma el cuerpo de estudio de las funciones de una variable real. (p.e. ejercicio
10).
Cálculo de Primitivas (15 horas, T-5h, P-10h)
Cálculo de Primitivas (continuación) (15 horas, T-5h,P-10h)
Si se observa que las horas asignadas a estos dos temas es un cuarto del curso y que además son
eminentemente prácticas se deducirá que estamos ante un bloque se materia a la cual le asignamos
una importancia absoluta.
El cálculo de primitivas es una de las habilidades imprescindibles en un matemático y en cualquier
científico que tenga que manejar funciones (que son todos).
El horario teórico aconsejado (10 horas) va dirigido a estudiar los métodos de integración y sus
demostraciones. Esto es necesario para ver la generalidad que nos dan y donde se pueden aplicar.
El horario práctico (el mayor de todo el curso) se aconseja para dominar los métodos. El trabajo
que se sugiere al estudiante es realizar los ejercicios de autoevaluación y los ejemplos del texto
base. Pero además es imprescindible que en los textos de problemas que pueda encontrar practique
tantas cuantas integrales pueda hacer. En la bibliografía hay un libro sobre integrales (Pastor
Varela) que nos parece especialmente útil porque es una presentación sistemática que ayuda mucho
a aprender. Pero hay muchísimos más. Una ojeada a una biblioteca que tenga libros matemáticos y
técnicos le descubrirá la cantidad de textos que contienen este tema. Hay libros muy sofisticados
con integrales que exigen ideas difíciles o extravagantes en algún caso. No es la intención de este
curso que aprendan métodos que sirven para pocas y en algún caso una sola integral, pero sí que
dentro de lo expuesto en el libro base sean capaces de manejar el cálculo de primitivas con eficacia
y rigor. La colección de Schaum también tiene varios libros sobre cálculo, uno de ellos
específicamente de cálculo diferencial e integral, que empiezan desde sencillo y van subiendo el
nivel. La ventaja de estos libros es que tienen utilidad en bastantes asignaturas de la carrera.
20 horas de prácticas de cálculo de primitivas son muchas y dan la importancia que queremos
resaltar en el curso porque esta técnica es imprescindible en el conocimiento matemático y en los
problemas técnicos y aplicados. En este caso en el curso virtual habrá una colección de ejercicios
algunos resueltos y otros propuestos, para que se pueda practicar.
No se conforme y busque en los libros, en la web (en el curso virtual se pondrán algunas
direcciones actualizadas). Hay multitud de libros y documentos especializados en cálculo de
primitivas y todo lo que sea practicar le vendrá bien.
Unidad Didáctica 4.
Integrales Impropias (15 horas, T-5h, P-10h)
Uno de los inconvenientes de la integral de Riemann es que se aplica a funciones acotadas en
intervalos cerrados y acotados (intervalos compactos), lo que a veces restringe su utilidad para las
aplicaciones que trabajan con funciones no acotadas en intervalos no acotados o no cerrados.
Conviene por tanto tener un método que basándose en todo lo anteriormente expuesto poder
trabajar en dichos casos. Por esto se introducen las integrales impropias.
Hay un enorme paralelismo entre la teoría de las integrales impropias y la teoría de las series
numéricas, por lo que sería interesante repasar esta última teoría antes de empezar el estudio de las
integrales impropias.
El tema desarrolla las integrales de primera especie que son aquellas en las que el intervalo de
integración es el cerrado [a, +inf) ó (-inf,a]. La definición es simple y son imprescindibles los
ejemplos del apartado 1.1. Los criterios de comparación y del cociente merecen un estudio que se
relacione con los de las series numéricas.
Aparece en el apartado 1.3. un concepto de convergencia absoluta análoga al de las series. Hay una
observación en el apartado importantísima que debe de ser tenida en cuenta relacionada con la
|Nombre y Apellidos
UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA 9
función sen(x)/x. Esta función marca una diferencia entre la integral de Riemann y la integral de
Lebesgue que es muy estudiada en la Matemática. (Cuando lleguen a cuarto curso se lo
recordarán).
Se finaliza el tema con una exposición paralela de las integrales de segunda especie.
En la parte práctica, el cálculo de primitivas tendrá mucha importancia junto con el concepto de
límite. Los ejemplos intercalados en el texto base son muy instructivos y los ejercicios de
autoevaluación. Los mismos consejos respecto a bibliografía que dimos en el cálculo de primitivas
se aplican aquí y los textos aconsejados también.
Funciones Eulerianas (5 horas, T-2h, P-3h)
Las funciones eulerianas Gamma y Beta son un tipo de funciones que vienen definidas a través de
integrales impropias y que tienen como característica facilitar los cálculos de otras integrales que
se convierten en ellas mediante cambios de variable. La función Gamma es una extensión del
factorial de un número natural n!. La función tiene una expresión en forma trigonométrica con
gran utilidad para el cálculo de volúmenes entre otras materias, y que se estudian en las Funciones
de varias variables II. Hay que poner especial atención al apartado 2.3. con las dos propiedades que
se exponen.
Unidad Didáctica 5.
Sucesiones de Funciones (15 horas, T-5h, P-10h)
Este tema exige que se repasen los temas del primer cuatrimestre de sucesiones de números reales
pues muchos conceptos se repiten y en nuestro caso son sucesiones de funciones, o sea en lugar de
una colección de números reales ( ) son sucesiones de funciones ( ). Por tanto, puede haber
distintos tipos de convergencia la puntual y la uniforme que se definen en 1.1. (ver los ejemplos de
dicho apartado pues se exponen una sucesión de funciones con convergencia uniforme, que
implica la puntual, y una sucesión con convergencia puntual no uniforme.
En el apartado 1.2. se relaciona la convergencia uniforme de una sucesión de funciones continuas
que implica necesariamente la continuidad de la función límite. Lo inverso no es cierto, es decir, en
la convergencia puntual no implica que si la sucesión está formada por funciones continuas el
límite tenga que ser una función continua.
En este apartado aparece el Teorema de Dini que en condiciones muy restrictivas asegura que la
convergencia puntual de una sucesión de funciones continuas es una convergencia uniforme. Debe
de dedicarse una especial atención a este importante teorema, pues de los pocos teoremas con un
resultado tan sorprendente.
El apartado 1.3. relaciona la convergencia uniforme y la integrabilidad, mientras que 1.4. lo hace
entre la convergencia uniforme y la derivabilidad, en este caso hay una proposición más
complicada que permite mantener la derivabilidad, no deje de estudiarla.
Dedique las horas prácticas a hacerlos ejemplos que están intercalados en el texto y los ejercicios
de autoevaluación y a contrastar los resultados con la teoría.
Este tema es nuevo con respecto a cursos inferiores preuniversitarios y por tanto exige un especial
cuidado como los dos siguientes.
Series de Funciones (15 horas, T-5h, P-10h)
Es imprescindible repasar los temas concernientes a series numéricas del cuatrimestre anterior.
El tema comienza con la definición de serie de funciones, y con dos criterios de Cauchy para la
convergencia puntual y uniforme. También con las propiedades de las series de funciones respecto
de la continuidad, integrabilidad y derivabilidad, como consecuencias inmediatas de las
propiedades de las sucesiones de funciones de tema anterior.
TÍTULO DE LA ASIGNATURA
UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA 10
A continuación, en los apartados 2.2. y 2.3. Se dan criterios de convergencia (de Weierstrass, Abel
y Dirichlet ) para la convergencia absoluta y uniforme de series de funciones.
Otra vez avisamos que el tema es nuevo para la mayoría de los alumnos y parte de su trabajo
práctico debe de consistir en hacer los ejercicios y ejemplos del texto básico con cuidado y
atención. En los libros aconsejados en la bibliografía encontrarán más ejemplos que se deberán de
elaborar. En el curso virtual aparecerán ejercicios resueltos y propuestos
Series de Potencias (15 horas, T-5h, P-10h)
Son un caso especial e importantísimo de las series de funciones. Aparece el concepto de radio y
dominio de convergencia y los desarrollos en series de potencias de ciertas funciones.
Durante mucho tiempo se consideró que las funciones tenían un desarrollo en series de potencias,
pero se probó que dicha suposición era falsa. No obstante, la mayor parte de las funciones
importante sí lo tienen. Las series de potencias son muy útiles para estudiar el comportamiento de
ciertas funciones. Con ellas se pueden probar fórmulas algunas de las cuales aparecen en los
ejercicios de autoevaluación. De nuevo con las 10 horas prácticas de este tema, y de los dos
anteriores, se espera que el estudiante no se conforme con el texto base sino que trabaje en los
textos aconsejados o en otros a los que tenga acceso, así como que siga indicaciones del curso
virtual.
3. ORIENTACIONES PARA LA REALIZACION DEL PLAN DE ACTIVIDADES
La evaluación consistirá en
1. Prueba Presencial en el centro de la UNED en la fecha y hora fijada por la Universidad. Se
puntuará sobre 10 puntos(NotaPP) y consistirá en tres o cuatro cuestiones de contenido teórico o
práctico con un nivel análogo a los de los ejercicios de autoevaluación y los resultados teóricos del
texto base. Las cuestiones podrán tener subapartados.
2. Un test de 5 cuestiones vía curso virtual que se realizará un día concreto. Se anunciará en el
curso virtual a principios de curso. Se calificará sobre 10 puntos (Notatest).
La Nota Final (Notafinal) será:
Notafinal = 0.9* NotaPP + 0.1*NotaTest . Si el alumno se ha presentado al test.
Notafinal = NotaPP . Si el alumno no se ha presentado al test.
4. Glosario de términos
La Integral de Riemann 273
Particiones de un intervalo. Sumas inferiores y superiores. …………... 277
Funciones integrables………………………………………………….. 281
Propiedades de las funciones integrables y de la integral. ……………. 286
Ejercicios. …………….……………………………………………….. 295
Teoremas Fundamentales del cálculo 305
Teoremas del valor medio. …………………………………………… 309
Teoremas fundamentales del cálculo. ………………………………… 311
Cambio de variable. …………………………………………………… 315
|Nombre y Apellidos
UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA 11
La integral como límite de sumas. ……………………………………. 316
Ejercicios. ……………………………………………………………. 321
Funciones logarítmicas y exponenciales 331
La función logaritmo neperiano. ………………………………………. 335
La función exponencial natural. ………………………………………… 338
Otras funciones exponenciales y logarítmicas. ………………………… 342
Función potencia. ……………………………………………………… 345
Funciones hiperbólicas. ……………………………………………….. 346
Cálculo de límites. …………………………………………………… . 350
Ejercicios. ……………………………………………………………. 355
Funciones trigonométricas 367
Funciones periódicas. ………………………………………………….. 371
El número π y algunas funciones auxiliares. ………………………….. 373
Las funciones coseno y seno. ……………………………………… ... 377
Las funciones tangente y cotangente………………………………….. 384
Las funciones arco seno, arco coseno y arco tangente. ……………….. 386
Cálculo de primitivas (I) 397
Primitivas de una función en un intervalo. ……………………………. 401
Integración por partes. ………………………………………………… 403
Integración por cambio de variable. ………………………………….. 406
Primitivas de las funciones racionales. ……………………………….. 408
Ejercicios. ……………………………………………………………. 417
Cálculo de primitivas (II) 425
Primitivas de algunas funciones trigonométricas. ……………………. 429
Integrales de la forma . ………………………………… 432 Primitivas de algunas funciones irracionales. ………………………... 433
Ejercicios. …………………………………………………………… 441
SEGUNDO VOLUMEN
Integrales impropias
Integrales impropias de primera especie……………………….……… 5
Criterios de comparación. ……………………………………………… 9
Convergencia absoluta. ……………………………………………….. 12
Integrales impropias de segunda especie. …………………………….. 14
Ejercicios. ……………..………………………………………………… 19
TÍTULO DE LA ASIGNATURA
UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA 12
Las funciones eulerianas
La función gamma de Euler. ………………………………………..….. 29
La función beta de Euler. ………………………………………………. 30
Algunas fórmulas notables. ……………………………………………. 31
Ejercicios. …..…………………………………………………………... 33
Límites superior e inferior de una sucesión de números reales
Subsucesiones. ………..………………………………………………… 39
Puntos de aglomeración. ……………………….……………………….. 41
Límites superior e inferior. …………………………………………….. 42
Ejercicios. …………………………………………………..…………… 47
Series de números reales (I)
Series de números reales. …………….…………………………………..57
Series alternadas. …………………….………………………………….. 59
Series de términos no negativos…………………………………………. 60
Ejercicios……………………………………………………….………... 67
Series de números reales (II)
Convergencia absoluta y condicional .…………………………… …………… 79
Criterios de Dirichlet y de Abel. ……...………………………………………. 80
Reordenación de series. ………………………………………………………… 82
Producto de Cauchy de dos series. ……………………………………………… 85
Ejercicios. ….……………………………………………………………………. 89
Unidad Didáctica V
97
Sucesiones de funciones Convergencia uniforme……...………………………………………………….101
Convergencia uniforme y continuidad. ……………………………………….. 105
Convergencia uniforme e integrabilidad ……………………… ……………... 106
Convergencia uniforme y derivabilidad. ………….………………………….. 109
Ejercicios. ………………………………..…………………………………… 115
Series de funciones Series de funciones. ……..…………………………………………………….. 127
Criterio de Weierstrass. ………………..…………………………………….. 129
Criterios de Dirichlet y de Abel. ………………..……………………………. 131
Ejercicios. …………………………………………………………………….. 133
|Nombre y Apellidos
UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA 13
Series de potencias
Series de potencias. …..……………………………………………………….. 143
Convergencia uniforme, derivación e integración de una serie de potencias. … 145
El teorema del límite de Abel. …….…………………………………………. 149
Desarrollos en serie de potencias. ..…………………………………………… 150
Agradezco a la profesora Maria Jose Muñoz Bouzo la generosa realización de este índice y su
préstamo.