Post on 04-Nov-2018
INSTITUTO TECNOLOacuteGICO
SUPERIOR ldquoDAVID AUSUBELrdquo
SEMIPRESENCIAL
VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
1
GUIacuteA DE ESTUDIO MODULAR
MATEMAacuteTICA APLICADA
SEGUNDO NIVEL
SEMIPRESENCIAL
TECNOLOGIacuteAS EN
ADMINISTRACIOacuteN DE EMPRESAS MENCIOacuteN
CONTABILIDAD Y AUDITORIA
AUTOR ING MYRIAM MONTEROS
Correccioacuten Comisioacuten de Redaccioacuten
Aprobado Vicerrectorado Acadeacutemico
Edicioacuten Instituto Superior Tecnoloacutegico ldquoDavid Ausubelrdquo
PERIacuteODO Octubre 2015 ndash abril 2016
QUITO - ECUADOR
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PARA USTED APRECIADO ESTUDIANTE
NO OLVIDE QUE EL ESFUERZO Y LA PERSEVERANCIA MAacuteS EL ESTUDIAR Y TRABAJAR ENGRANDECE AL SER HUMANO Y USTED
DEPENDE EL ENGRANDECERSE
El Instituto Tecnoloacutegico Superior ldquoDavid Ausubelrdquo da la bienvenida a este
su moacutedulo de Matemaacutetica Aplicada y espera que el desarrollo del mismo
aporte para su vida profesional
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NOTA
EN ESTE TEXTO GUIA SE ENCUENTRA DESARROLLADOS LOS TEMAS
QUE CORRESPONDEN A ESTE MOacuteDULO Y LAS TAREAS QUE USTED
DEBE DESARROLLAR CON LA AYUDA DEL TUTOR USTED LLEGARAacute A
DOMINAR EL CONOCIMIENTO
1 EL ESTUDIANTE TIENE LAS OPORTUNIDADES QUE SEAN
NECESARIAS PARA ACLARAR LOS TEMAS QUE NO COMPRENDA
MEDIANTE LA EXPLICACIOacuteN DEL TUTOR YA SEA DE MANERA
PRESENCIAL O MEDIANTE EL CORREO ELECTRONICO
2 LAS TAREAS SERAN ENVIADAS POR EL TUTOR DE ACUERDO A
LAS FECHAS DEL CALENDARIO Y DE ACUERDO AL DESARROLLO
DEL MOacuteDULO
3 ES OBLIGACION DEL ESTUDIANTE ASISTIR A CADA UNA DE LAS
TUTORIacuteAS PRESENCIALES PROGRAMADAS EN EL CALENDARIO
DE ACTIVIDADES
4 TODO TRABAJO DEL ESTUDIANTE SERAacute EVALUADO
CUANTITATIVAMENTE
5 AL FINAL EL TUTOR EVALUARA EL MOacuteDULO EN SU TOTALIDAD
6 DE REQUERIR CUALQUIER INFORMACION DIRIGIRSE AL
CORREO DE LA DIRECCION ACADEMICA Y SERA ATENDIDO
INMEDIATAMENTE EN SU CONSULTA
Galo Jaacutecome galojp65hotmailcom Docente
Vicerrectoradoacademicodavidausubeleduec
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GRACIAS
1 PERFIL DE CARRERA ADMINISTRACIOacuteN DE EMPRESAS
MENCIOacuteN CONTABILIDAD Y AUDITORIA
a) OBJETIVO DE FORMACION INTEGRAL DEL PROFESIONAL
Formar profesionales con personalidad definida altos valores eacuteticos morales
culturales y espiacuteritu emprendedor preparados cientiacutefica y tecnoloacutegicamente
para iniciar y administrar pequentildeas y medianas empresas con aplicacioacuten del
Mercadeo Finanzas Produccioacuten y Administracioacuten comprometido con el
desarrollo sostenido y sustentable del paiacutes
b) PERFIL DEL TECNOacuteLOGO EN CONTABILIDAD Y AUDITORIacuteA
Es un profesional emprendedor capaz de aplicar sistemas contables y
mecanismos de control contable y financiero sobre bases cientiacutefico-
metodoloacutegicas y legales demostrando espiacuteritu emprendedor y altos valores
eacuteticos y morales
c) COMPETENCIAS DEL TECNOacuteLOGO EN CONTABILIDAD Y
AUDITORIacuteA
Demostrar eficiencia en el manejo contable y financiero en el sector
empresarial y puacuteblico
Participar en auditoriacuteas de la actividad contable y financiera en empresas
y organizaciones
Adoptar decisiones oportunas en el manejo contable y financiero en
funcioacuten de la eficiencia y eficacia empresarial
Desarrollar los mecanismos de control interno que promuevan la
eficiencia reduzcan los riesgos de peacuterdida de activos asegurar la
confiabilidad de los estados financieros dentro del marco de
cumplimiento de las leyes y regulaciones
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Administrar su propia microempresa de servicios contables y de
auditoriacutea
SISTEMATIZACIOacuteN DE LAS COMPETENCIAS DEL TECNOacuteLOGO EN
CONTABILIDAD Y AUDITORIacuteA
d) NIVEL COMPETENCIA PRINCIPAL
Aplicar correctamente sus conocimientos micro y macro econoacutemicos en
una planificacioacuten estrateacutegica
Llevar a cabo proyectos de auditoriacutea en su propia microempresa
F) ESCENARIOS DE ACTUACION
El tecnoacutelogo en Contabilidad y Auditoriacutea podraacute desenvolverse en
Empresas del Sector puacuteblico o privado
Empresas nacionales o internacionales
Pymes
Industrias
Bancos
Financieras
ONG
Centros educativos
Su propia microempresa de servicios administrativos
Tecnologiacutea en Administracioacuten de Empresas
G) OCUPACIONES PROFESIONALES
El tecnoacutelogo en Contabilidad y Auditoriacutea podraacute desempentildearse como
Administrador de pequentildeas y medianas empresas
Director departamental
Jefe de oficina
Asesor de pequentildeas y medianas empresas
Funcionario bancario
Administrador de su propia microempresa
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INTRODUCCIOacuteN
La Matemaacutetica Aplicada es una rama de la Matemaacutetica muy utilizada para la
resolucioacuten de problemas praacutecticos que se presentan con frecuencia en la vida
cotidiana Es indispensable que los interesados en incursionar en este estudio
tengan las nociones fundamentales del algebra geometriacutea analiacutetica y
trigonometriacutea Por otro lado es necesario que el alumno este familiarizado con
el manejo de los nuacutemeros reales y haya adquirido cierta praacutectica en la
realizacioacuten de operaciones elementales tanto de igualdad como de
desigualdad
Si usted como estudiante desea aprender esta asignatura es fundamental que
se le dedique el tiempo necesario todos los diacuteas para que exista una
asimilacioacuten correcta de los contenidos
La guiacutea estaacute estructurada en cuatro capiacutetulos que permitiraacuten una mejor
compresioacuten de los conceptos necesarios para dominar la asignatura
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CONTENIDOS
Capiacutetulo I CONTINUIDAD
11 Definicioacuten
12 Continuidad
13 Teoremas sobre continuidad
14 Continuidad uniforme
15 Funciones casi continuas
Capitulo II DERIVADAS
21 Definiciones baacutesicas
22 Interpretacioacuten geomeacutetrica
23 Regla general para derivar funciones
24 Derivadas de funciones algebraicas
25 Derivadas de funciones logariacutetmicas y exponenciales
26 Derivadas de funciones compuestas
27 Derivadas de funciones inversas
Capitulo III INTEGRAL INDEFINIDA
31 Definicioacuten
32 Reglas para integrar funciones elementales e integracioacuten de potencias
33 Potencia
34 Propiedades de integracioacuten
Capitulo IV MEacuteTODOS DE INTEGRACIOacuteN
41 Integracioacuten por sustitucioacuten
42 Integracioacuten por partes
BIBLIOGRAFIacuteA
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COMPETENCIAS
COMPETENCIAS GENERALES
Comprender y aplicar los procesos correspondientes en la
determinacioacuten del la continuidad de una funcioacuten
Aplicar el concepto de la derivada en la diferenciacioacuten de funciones
Comprender y aplicar los procesos correspondientes en la
determinacioacuten del la integracioacuten de funciones
Utilizar y aplicar la integracioacuten de una funcioacuten en la resolucioacuten de
problemas praacutecticos
Entregar las herramientas necesarias de las ciencias exactas para
permitir que el estudiante llegue a un dominio en cuanto al
conocimiento de las matemaacuteticas
COMPETENCIAS POR UNIDADES
Determinar la continuidad o discontinuidad de una funcioacuten
Resolver problemas relativos a la pendiente recta tangente
diferenciabilidad y continuidad de una funcioacuten
Aplicar los teoremas de la diferenciabilidad de funciones algebraicas
en la resolucioacuten de problemas praacutecticos
Calcular las derivadas de funciones trigonomeacutetricas logariacutetmicas
exponenciales y funciones compuestas
Determinar la integracioacuten de funciones con potencias
Integrar funciones por diferentes meacutetodos
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Desarrollar habilidades de interpretar y desarrollo de los procesos
matemaacuteticos
Lograr en el alumno el desarrollo de capacidades para el manejo de
las matemaacuteticas
Avalizar en el estudiante el principio de aprendizaje su capacidad
para receptar y practicar problemas
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REPASO SOBRE LIgraveMITES
El liacutemite es un concepto que describe la tendencia de una sucesioacuten o una funcioacuten a medida que los paraacutemetros de esa sucesioacuten o funcioacuten se acercan a determinado valor En caacutelculo (especialmente en anaacutelisis real y matemaacutetico) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia continuidad derivacioacuten integracioacuten entre otros
LIMITES DE FUNCIONES
Definicioacuten rigurosa
Informalmente se dice que el liacutemite de la funcioacuten f(x) es L cuando x tiende a c y se escribe
Si se puede encontrar para cada ocasioacuten un x suficientemente cerca de c tal que el valor de f(x) sea tan proacuteximo a L como se desee
Ejemplos
1 Determine )54(lim3
xx
7
512
)5)3(4(lim3
x
2 Encuentre 3
6lim
2
3
x
xx
x
5
)23(lim
)2(lim
3
)2)(3(lim
3
3
3
x
x
x
x
x
xx
Teoremas principales sobre los liacutemites
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ncx
n
cx
n
cx
n
cx
cx
cx
cx
cxcxcx
cxcxcx
cxcxcx
cxcx
cx
cx
xfxf
xfxf
xg
xf
xg
xf
xgxfxgxf
xgxfxgxf
xgxfxgxf
xfkxkf
cx
kk
)(lim)(lim
)(lim)(lim
)(lim
)(lim
)(
)(lim
)(lim)(lim)()(lim
)(lim)(lim)()(lim
)(lim)(lim)()(lim
)(lim)(lim
lim
lim
Teorema de sustitucioacuten
Sea f una funcioacuten polinomial o una funcioacuten racional entonces
)()(lim cfxfcx
Liacutemites infinitos
Para calcular liacutemites al infinito es necesario dividir cada teacutermino de la
expresioacuten para el x con el mayor exponente y recordar que 01
y
0
1
Ejemplos
Calcular cada uno de los siguientes liacutemites
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12
054
2510lim
10
0
5)5(45
25)5(105lim
5)5(45
25)5(105lim
54
2510lim)
2
2
5
2
2
5
2
2
5
2
2
5
xx
xx
xx
xxa
x
x
x
x
24
13
49
214lim
48
26
49)1(
21)1(4)1(lim
49
214lim
2
2
1
2
2
1
2
2
1
x
xx
x
xx
x
x
x
14
86lim
01
001
4
86
lim
4
86lim)
2
2
22
2
222
2
2
2
xx
xx
x
x
x
x
xx
x
x
x
xx
xxc
x
x
x
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CAPITULO I
1 CONTINUIDAD
11 Definicioacuten Sea f definida en un intervalo abierto que contiene a c
Decimos que f es continua en c si
)()(lim cfxfcx
12 CONTINUIDADA
13 TEOREMAS SOBRE CONTINUIDAD
A Continuidad de funciones polinomiales y racionales
Una funcioacuten polinomial es continua en todo nuacutemero real c Una funcioacuten
racional es continua en todo nuacutemero real c en su dominio esto es en
todas partes excepto en donde el denominador es cero
B Continuidad de las funciones valor absoluto y raiacutez n-eacutesima
La funcioacuten valor absoluto es continua en todo valor real c Si n es impar
la funcioacuten raiacutez n-eacutesima es continua en todo valor real c si n es par la
raiacutez n-eacutesima es continua en todo valor positivo real c
C Continuidad de funciones trigonomeacutetricas
Las funciones seno y coseno son continuas en todo nuacutemero real c Las
funciones tan ctan csc sec son continuas en todo nuacutemero real c en
sus dominio
D Teorema del valor medio
Si f es una funcioacuten definida en un intervalo [ a b ] y sea W un nuacutemero
entre f(a) y f(b) Si f es continua en [ a b ] entonces existe al menos un
nuacutemero c entre a y b tal que f(c) = W
Ejemplos
Determinar la continuidad de las siguientes funciones
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14
a 52)( 2 xxxf
Por ser polinomial es continua en todos los nuacutemeros reales
b 1
1)(
xxf
Como se trata de una funcioacuten racional se puede notar que si x = 1 el
denominador se hace cero y por lo tanto existiriacutea una indeterminacioacuten
entonces es continua en todos los nuacutemeros reales excepto en 1
c 3
32)(
2
x
xxxf
Como podemos observar si x = -3 en el denominador la funcioacuten no
existe por lo tanto podriacuteamos decir que la funcioacuten es discontinua todos
los nuacutemeros reales excepto en -3 pero si facturamos el numerador y
simplificamos
13
)1)(3()(
x
x
xxxf
Podemos concluir que la funcioacuten es polinomial y por lo tanto es continua
en todos los reales (El factoreo es de mucha ayuda en las funciones
polinomiales)
14 CONTINUIDAD UNIFORME
Las funciones polinomiales valor absoluto sen (x) y cos (x) son continuas
de forma uniforme
15 FUNCIONES CASI CONTINUAS
Cualquier otra funcioacuten que no sean las nombradas anteriormente son casi
continuas ya que tienen por lo meno un nuacutemero real donde la funcioacuten no
existe
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EJERCICIOS
Determinar la continuidad de las siguientes funciones
a 5263)( 2 xxxf
b 4
3)(
x
xxf
c 5)( xxf
d 5 4)( xxf
e )2(
)4()(
2
x
xxf
f 2
44)(
2
x
xxxf
g 3
)65()(
2
x
xxxf
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CAPITULO II
2 DERIVADAS
21 DEFINICIOacuteN BAacuteSICA E INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA
En matemaacutetica la derivada de una funcioacuten es uno de los dos conceptos centrales del caacutelculo Las derivadas se definen tomando el liacutemite de la pendiente de las rectas secantes conforme se van aproximando a la recta tangente La derivada de una funcioacuten en un cierto punto es una medida de la tasa en la cual una funcioacuten cambia conforme un argumento se modifica Esto es una derivada involucra en teacuterminos matemaacuteticos una tasa de cambio Una derivada es el caacutelculo de las pendientes instantaacuteneas de f(x) en cada punto x Esto se corresponde a las pendientes de las tangentes de la graacutefica de dicha funcioacuten en el punto dado dichas tangentes pueden ser aproximadas por una secante que pase por dos puntos muy cercanos al punto bajo el que se desea obtener la tangente Las funciones no tienen derivadas en los puntos en donde hay una tangente vertical (la cual tiene una pendiente infinita) una discontinuidad o bien un pico
La Diferenciacioacuten puede ser usada para determinar el cambio que se produce como resultado de otro cambio si estaacute determinada una relacioacuten matemaacutetica entre dos objetos
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Una funcioacuten es diferenciable en un punto x si su derivada existe en ese punto una funcioacuten es diferenciable en un intervalo si lo es en cada punto x perteneciente al intervalo Si una funcioacuten no es continua en c entonces no puede ser diferenciable en c sin embargo aunque una funcioacuten sea continua en c puede no ser diferenciable Es decir toda funcioacuten diferenciable en un punto C es continua en C pero no toda funcioacuten continua en C es diferenciable en C (como f(x) = |x| es continua pero no diferenciable en x = 0)
22 REGLA GENERAL PARA DERIVAR FUNCIONES
Es difiacutecil hallar directamente la pendiente de la recta tangente de una funcioacuten porque soacutelo conocemos un punto de eacutesta el punto donde ha de ser tangente a la funcioacuten Por ello aproximaremos la recta tangente por rectas secantes Cuando tomemos el liacutemite de las pendientes de las secantes proacuteximas obtendremos la pendiente de la recta tangente Para obtener estas pendientes tomemos un nuacutemero arbitrariamente pequentildeo que llamaremos h h representa una pequentildea variacioacuten en x y puede ser tanto positivo como negativo La pendiente de la recta entre los puntos (xf(x)) y (x + hf(x + h)) es
Esta expresioacuten es un cociente diferencial de Newton La derivada de f en x es el liacutemite del valor del cociente diferencial conforme las liacuteneas secantes se acercan maacutes a la tangente
Si la derivada de f existe en cada punto x podemos definir la derivada de f como la funcioacuten cuyo valor en el punto x es la derivada de f en x Puesto que la inmediata sustitucioacuten de h por 0 da como resultado una divisioacuten por cero calcular la derivada directamente puede ser poco intuitivo Una teacutecnica es simplificar el numerador de modo que la h del denominador pueda ser cancelada Esto resulta muy sencillo con funciones poli noacutemicas pero para la mayoriacutea de las funciones resulta demasiado complicado Afortunadamente
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hay reglas generales que facilitan la diferenciacioacuten de la mayoriacutea de las funciones descritas ver abajo Algunos ejemplos de coacutemo utilizar este cociente Ejemplo 1 Consideremos la siguiente funcioacuten
Entonces
Esta funcioacuten es constante para cualquier punto de su dominio vale 5 (por eso f(x+h)=5) Noacutetese el uacuteltimo paso donde h tiende a cero pero no lo toca Si pensamos un poco observaremos que la derivada ademaacutes de ser la pendiente de la recta tangente a la curva es a la vez la recta secante a la misma curva
2 Consideremos la graacutefica de Esta recta tiene una pendiente igual a 2 en cada punto Utilizando el cociente mostrado arriba (junto a los conceptos de liacutemite secante y tangente) podremos determinar las pendientes en los puntos 4 y 5
Entonces
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El valor de la funcioacuten derivada de una recta es igual a la pendiente de la misma 3 Mediante esta diferenciacioacuten se puede calcular la pendiente de una curva Consideremos que
Entonces
Para cualquier punto x la pendiente de la funcioacuten es
NOTACIOacuteN
La notacioacuten maacutes simple para la diferenciacioacuten que se utiliza en la actualidad se debe a Lagrange y utiliza un apoacutestrofo o comilla prime De esta manera se expresan las derivadas de la funcioacuten f(x) en el punto x = a se escribe Para la primera derivada
Para la segunda derivada
Para la tercera derivada y luego de forma general
Para la n-eacutesima derivada (donde normalmente se da que n gt 3)
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Para la funcioacuten cuyo valor en cada x es la derivada de se escribe
De forma similar para la segunda derivada de f se escribe y asiacute sucesivamente La otra notacioacuten comuacuten para la diferenciacioacuten se debe a Leibniz Para la funcioacuten cuyo valor en x es la derivada de f en x se escribe
Se puede escribir la derivada de f en el punto a de dos formas distintas
Si la resultante de f(x) es otra variable por ejemplo si y=f(x) se puede escribir la derivada como
La notacioacuten de Newton para la diferenciacioacuten consiste en poner un punto sobre el nombre de la funcioacuten
y asiacute sucesivamente La notacioacuten de Newton se utiliza principalmente en la mecaacutenica normalmente para las derivadas con respecto al tiempo tales como la velocidad y la aceleracioacuten y en la teoriacutea de ecuaciones diferenciales ordinarias Normalmente soacutelo se utilizan para la primera y segunda derivadas Otra notacioacuten consiste en colocar una letra D mayuacutescula para indicar la operacioacuten de diferenciacioacuten con un subiacutendice que indica la variable sobre la que se derivaraacute
Dxf
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que es equivalente a la expresioacuten
En ese contexto se considera a la diferenciacioacuten como una operacioacuten sobre
funciones de modo que los siacutembolos y Dx son llamados operadores diferenciales
DERIVADAS DE FUNCIONES
NOMBRE FUNCIOacuteN DERIVADA
CONSTANTE kxf )( 1)( xf
ALGEBRAICA nxxf )( 1 )( nnxxf
LOGARIacuteTMICA
xxf alog)( )ln(
1)(
axxf
xxf ln)( x
xf1
)(
EXPONENCIAL
xaxf )( )ln()( aaxf x
xexf )( xexf )(
TRIGONOMEacuteTRICAS
xxf sin)( xxf cos)(
xxf cos)( xxf sin)(
xxf tan)( xxf 2 sec)(
xxf sec)( xxxf tansec)(
xxf cot)( xxf 2 csc)(
xxf csc)( xxxf cotcsc)(
FUNCIONES COMPUESTAS
NOMBRE FUNCIOacuteN DERIVADA
SUMA o
DIFERENCIA )()()( xhxgxf )()()( xhxgxf
PRODUCTO )()()( xhxgxf )()()()()( xhxgxhxgxf
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COCIENTE )(
)()(
xh
xgxf
)(
)()()()()(
2
xh
xhxgxhxgxf
FUNCIONES INVERSAS
TRIGONOMEacuteTRICAS
xxf 1sin)( 2
1
1)(
xxf
xxf 1cos)( 2
1
1)(
xxf
xxf 1tan)( 2
1
1)(
xxf
Ejemplos
Derivar las siguientes funciones
a
b
c
NOTA El desarrollo algebraico de lo deja al estudiante ELERCICIOS Derivar las siguientes funciones
1 453)( 25 xxxf
2 xxxxf 464)( 42
3 )1)(()( 32 xxxxf (es un producto)
16)(
1)3)(2()(
13)(
2
xxf
xxf
xxf
1128)(
42)(
23
34
xxxf
xxxxf
22
2
22
2
2
)3(
2
)3(
)1)(23()3)(1()(
3
1)(
xx
xx
xx
xxxxxf
xx
xxf
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23
4 3
23)(
x
xxf
5 xxf 3log)(
6 xexf )(
7 xxf 12)(
DERIVADAS SUCESIVAS DE UNA FUNCIOacuteN Regla de la cadena Definicioacuten Sea y = f(u) u = g(x) si g es diferenciable en x y f f es diferenciable en u = g(x) entonces la funcioacuten compuesta definida por f(g(x)) es diferenciable en x y
)()( xgxgfdx
xgdf
En palabras decimos que La derivada de una funcioacuten compuesta es la derivada de la funcioacuten exterior evaluada en la funcioacuten interna por la derivada de la funcioacuten interna DERIVADAS SUPERIORES Las derivadas de orden superior aparecen desde la segunda derivada en adelante consisten en derivar la funcioacuten inmediatamente anterior cuantas veces sea necesario
oacute
para la n-eacutesima derivada de f(x) o y respectivamente Histoacutericamente esto proviene del hecho de que por ejemplo la tercera derivada es
que se puede escribir sin mucho rigor como
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Eliminando las llaves nos da la notacioacuten que estaacute arriba
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CAPITULO III
3 INTEGRAL INDEFINIDA
31 Definicioacuten Llamamos a F una antiderivada de f en el intervalo I si Dx F(x)
= f(x) en I esto es si Facute(x) = f(x) para todo x en I
Teorema 1 Regla de la potencia
Si r es cualquier nuacutemero racional excepto -1 entonces
Cr
xdxx
rr
1
1
Corolario Regla generalizada de la potencia
Cr
xgdxxgxg
rr
1
)()()(
1
Teorema 2 La integral definida es un operador lineal
Sean f y g antiderivadas (integrales indefinidas) y sea k una constante
Entonces
a dxxfkdxxkf )()(
b dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
c dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
32 PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LA ANTIDIFERENCIACIOacuteN
Esta propiedad indica que podemos sacar un factor constante de la integral
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CAPITULO IV
4 MEacuteTODOS DE INTEGRACIOacuteN
Teorema 1 Regla de sustitucioacuten
Sea g una funcioacuten derivable y suponga que F es una antiderivada de f
Entonces u = g(x)
CxgFCuFduufdxxgxgf ))(()()()(
Teorema 2 Integracioacuten por partes
dxxuxvxvxuxvxu )()()()()()(
Teorema 3 Integraciones trigonomeacutetricas
Ejercicios resueltos
Efectuacutee las operaciones de antidiferenciacioacuten que se indican aplicando las
propiedades correspondientes en cada caso
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S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
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4 Solucioacuten
5 Solucioacuten
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6 Solucioacuten
7 Solucioacuten
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33
AUTOEVALUACIOacuteN PARA CAPIacuteTULOS 1 Y 2
Realice las integrales indicadas
dxx
xf
x
xxe
dtt
d
dxxxc
dxxxb
dxxa
2
2
2
5
5
cos
tan)
1
23)
12
5)
1)
5)
5)
dxxk
dtt
tj
dxxxi
dxxeh
dxxxg
x
2
5
csc)
ln)
1)
)
cos)
Utiliza la tabla de integrales para resolver los siguientes ejercicios
32)
1
32)
53)
169)
23)
2
2
22
2
tt
dte
dxx
xxd
dxxxc
x
dxb
dxxxa
TABLA DE INTEGRALES
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BIBLIOGRAFIacuteA
PURCELL VARBERG RIGDON 2003 Caacutelculo Diferencial e Integral
Pearson Prentice Hall Ecuador
GRANVILLE SMITH LONGLEY 1974 Caacutelculo Diferencial e Integral
Uteha Meacutexico
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2
PARA USTED APRECIADO ESTUDIANTE
NO OLVIDE QUE EL ESFUERZO Y LA PERSEVERANCIA MAacuteS EL ESTUDIAR Y TRABAJAR ENGRANDECE AL SER HUMANO Y USTED
DEPENDE EL ENGRANDECERSE
El Instituto Tecnoloacutegico Superior ldquoDavid Ausubelrdquo da la bienvenida a este
su moacutedulo de Matemaacutetica Aplicada y espera que el desarrollo del mismo
aporte para su vida profesional
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3
NOTA
EN ESTE TEXTO GUIA SE ENCUENTRA DESARROLLADOS LOS TEMAS
QUE CORRESPONDEN A ESTE MOacuteDULO Y LAS TAREAS QUE USTED
DEBE DESARROLLAR CON LA AYUDA DEL TUTOR USTED LLEGARAacute A
DOMINAR EL CONOCIMIENTO
1 EL ESTUDIANTE TIENE LAS OPORTUNIDADES QUE SEAN
NECESARIAS PARA ACLARAR LOS TEMAS QUE NO COMPRENDA
MEDIANTE LA EXPLICACIOacuteN DEL TUTOR YA SEA DE MANERA
PRESENCIAL O MEDIANTE EL CORREO ELECTRONICO
2 LAS TAREAS SERAN ENVIADAS POR EL TUTOR DE ACUERDO A
LAS FECHAS DEL CALENDARIO Y DE ACUERDO AL DESARROLLO
DEL MOacuteDULO
3 ES OBLIGACION DEL ESTUDIANTE ASISTIR A CADA UNA DE LAS
TUTORIacuteAS PRESENCIALES PROGRAMADAS EN EL CALENDARIO
DE ACTIVIDADES
4 TODO TRABAJO DEL ESTUDIANTE SERAacute EVALUADO
CUANTITATIVAMENTE
5 AL FINAL EL TUTOR EVALUARA EL MOacuteDULO EN SU TOTALIDAD
6 DE REQUERIR CUALQUIER INFORMACION DIRIGIRSE AL
CORREO DE LA DIRECCION ACADEMICA Y SERA ATENDIDO
INMEDIATAMENTE EN SU CONSULTA
Galo Jaacutecome galojp65hotmailcom Docente
Vicerrectoradoacademicodavidausubeleduec
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4
GRACIAS
1 PERFIL DE CARRERA ADMINISTRACIOacuteN DE EMPRESAS
MENCIOacuteN CONTABILIDAD Y AUDITORIA
a) OBJETIVO DE FORMACION INTEGRAL DEL PROFESIONAL
Formar profesionales con personalidad definida altos valores eacuteticos morales
culturales y espiacuteritu emprendedor preparados cientiacutefica y tecnoloacutegicamente
para iniciar y administrar pequentildeas y medianas empresas con aplicacioacuten del
Mercadeo Finanzas Produccioacuten y Administracioacuten comprometido con el
desarrollo sostenido y sustentable del paiacutes
b) PERFIL DEL TECNOacuteLOGO EN CONTABILIDAD Y AUDITORIacuteA
Es un profesional emprendedor capaz de aplicar sistemas contables y
mecanismos de control contable y financiero sobre bases cientiacutefico-
metodoloacutegicas y legales demostrando espiacuteritu emprendedor y altos valores
eacuteticos y morales
c) COMPETENCIAS DEL TECNOacuteLOGO EN CONTABILIDAD Y
AUDITORIacuteA
Demostrar eficiencia en el manejo contable y financiero en el sector
empresarial y puacuteblico
Participar en auditoriacuteas de la actividad contable y financiera en empresas
y organizaciones
Adoptar decisiones oportunas en el manejo contable y financiero en
funcioacuten de la eficiencia y eficacia empresarial
Desarrollar los mecanismos de control interno que promuevan la
eficiencia reduzcan los riesgos de peacuterdida de activos asegurar la
confiabilidad de los estados financieros dentro del marco de
cumplimiento de las leyes y regulaciones
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Administrar su propia microempresa de servicios contables y de
auditoriacutea
SISTEMATIZACIOacuteN DE LAS COMPETENCIAS DEL TECNOacuteLOGO EN
CONTABILIDAD Y AUDITORIacuteA
d) NIVEL COMPETENCIA PRINCIPAL
Aplicar correctamente sus conocimientos micro y macro econoacutemicos en
una planificacioacuten estrateacutegica
Llevar a cabo proyectos de auditoriacutea en su propia microempresa
F) ESCENARIOS DE ACTUACION
El tecnoacutelogo en Contabilidad y Auditoriacutea podraacute desenvolverse en
Empresas del Sector puacuteblico o privado
Empresas nacionales o internacionales
Pymes
Industrias
Bancos
Financieras
ONG
Centros educativos
Su propia microempresa de servicios administrativos
Tecnologiacutea en Administracioacuten de Empresas
G) OCUPACIONES PROFESIONALES
El tecnoacutelogo en Contabilidad y Auditoriacutea podraacute desempentildearse como
Administrador de pequentildeas y medianas empresas
Director departamental
Jefe de oficina
Asesor de pequentildeas y medianas empresas
Funcionario bancario
Administrador de su propia microempresa
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6
INTRODUCCIOacuteN
La Matemaacutetica Aplicada es una rama de la Matemaacutetica muy utilizada para la
resolucioacuten de problemas praacutecticos que se presentan con frecuencia en la vida
cotidiana Es indispensable que los interesados en incursionar en este estudio
tengan las nociones fundamentales del algebra geometriacutea analiacutetica y
trigonometriacutea Por otro lado es necesario que el alumno este familiarizado con
el manejo de los nuacutemeros reales y haya adquirido cierta praacutectica en la
realizacioacuten de operaciones elementales tanto de igualdad como de
desigualdad
Si usted como estudiante desea aprender esta asignatura es fundamental que
se le dedique el tiempo necesario todos los diacuteas para que exista una
asimilacioacuten correcta de los contenidos
La guiacutea estaacute estructurada en cuatro capiacutetulos que permitiraacuten una mejor
compresioacuten de los conceptos necesarios para dominar la asignatura
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CONTENIDOS
Capiacutetulo I CONTINUIDAD
11 Definicioacuten
12 Continuidad
13 Teoremas sobre continuidad
14 Continuidad uniforme
15 Funciones casi continuas
Capitulo II DERIVADAS
21 Definiciones baacutesicas
22 Interpretacioacuten geomeacutetrica
23 Regla general para derivar funciones
24 Derivadas de funciones algebraicas
25 Derivadas de funciones logariacutetmicas y exponenciales
26 Derivadas de funciones compuestas
27 Derivadas de funciones inversas
Capitulo III INTEGRAL INDEFINIDA
31 Definicioacuten
32 Reglas para integrar funciones elementales e integracioacuten de potencias
33 Potencia
34 Propiedades de integracioacuten
Capitulo IV MEacuteTODOS DE INTEGRACIOacuteN
41 Integracioacuten por sustitucioacuten
42 Integracioacuten por partes
BIBLIOGRAFIacuteA
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COMPETENCIAS
COMPETENCIAS GENERALES
Comprender y aplicar los procesos correspondientes en la
determinacioacuten del la continuidad de una funcioacuten
Aplicar el concepto de la derivada en la diferenciacioacuten de funciones
Comprender y aplicar los procesos correspondientes en la
determinacioacuten del la integracioacuten de funciones
Utilizar y aplicar la integracioacuten de una funcioacuten en la resolucioacuten de
problemas praacutecticos
Entregar las herramientas necesarias de las ciencias exactas para
permitir que el estudiante llegue a un dominio en cuanto al
conocimiento de las matemaacuteticas
COMPETENCIAS POR UNIDADES
Determinar la continuidad o discontinuidad de una funcioacuten
Resolver problemas relativos a la pendiente recta tangente
diferenciabilidad y continuidad de una funcioacuten
Aplicar los teoremas de la diferenciabilidad de funciones algebraicas
en la resolucioacuten de problemas praacutecticos
Calcular las derivadas de funciones trigonomeacutetricas logariacutetmicas
exponenciales y funciones compuestas
Determinar la integracioacuten de funciones con potencias
Integrar funciones por diferentes meacutetodos
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Desarrollar habilidades de interpretar y desarrollo de los procesos
matemaacuteticos
Lograr en el alumno el desarrollo de capacidades para el manejo de
las matemaacuteticas
Avalizar en el estudiante el principio de aprendizaje su capacidad
para receptar y practicar problemas
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REPASO SOBRE LIgraveMITES
El liacutemite es un concepto que describe la tendencia de una sucesioacuten o una funcioacuten a medida que los paraacutemetros de esa sucesioacuten o funcioacuten se acercan a determinado valor En caacutelculo (especialmente en anaacutelisis real y matemaacutetico) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia continuidad derivacioacuten integracioacuten entre otros
LIMITES DE FUNCIONES
Definicioacuten rigurosa
Informalmente se dice que el liacutemite de la funcioacuten f(x) es L cuando x tiende a c y se escribe
Si se puede encontrar para cada ocasioacuten un x suficientemente cerca de c tal que el valor de f(x) sea tan proacuteximo a L como se desee
Ejemplos
1 Determine )54(lim3
xx
7
512
)5)3(4(lim3
x
2 Encuentre 3
6lim
2
3
x
xx
x
5
)23(lim
)2(lim
3
)2)(3(lim
3
3
3
x
x
x
x
x
xx
Teoremas principales sobre los liacutemites
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11
ncx
n
cx
n
cx
n
cx
cx
cx
cx
cxcxcx
cxcxcx
cxcxcx
cxcx
cx
cx
xfxf
xfxf
xg
xf
xg
xf
xgxfxgxf
xgxfxgxf
xgxfxgxf
xfkxkf
cx
kk
)(lim)(lim
)(lim)(lim
)(lim
)(lim
)(
)(lim
)(lim)(lim)()(lim
)(lim)(lim)()(lim
)(lim)(lim)()(lim
)(lim)(lim
lim
lim
Teorema de sustitucioacuten
Sea f una funcioacuten polinomial o una funcioacuten racional entonces
)()(lim cfxfcx
Liacutemites infinitos
Para calcular liacutemites al infinito es necesario dividir cada teacutermino de la
expresioacuten para el x con el mayor exponente y recordar que 01
y
0
1
Ejemplos
Calcular cada uno de los siguientes liacutemites
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12
054
2510lim
10
0
5)5(45
25)5(105lim
5)5(45
25)5(105lim
54
2510lim)
2
2
5
2
2
5
2
2
5
2
2
5
xx
xx
xx
xxa
x
x
x
x
24
13
49
214lim
48
26
49)1(
21)1(4)1(lim
49
214lim
2
2
1
2
2
1
2
2
1
x
xx
x
xx
x
x
x
14
86lim
01
001
4
86
lim
4
86lim)
2
2
22
2
222
2
2
2
xx
xx
x
x
x
x
xx
x
x
x
xx
xxc
x
x
x
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CAPITULO I
1 CONTINUIDAD
11 Definicioacuten Sea f definida en un intervalo abierto que contiene a c
Decimos que f es continua en c si
)()(lim cfxfcx
12 CONTINUIDADA
13 TEOREMAS SOBRE CONTINUIDAD
A Continuidad de funciones polinomiales y racionales
Una funcioacuten polinomial es continua en todo nuacutemero real c Una funcioacuten
racional es continua en todo nuacutemero real c en su dominio esto es en
todas partes excepto en donde el denominador es cero
B Continuidad de las funciones valor absoluto y raiacutez n-eacutesima
La funcioacuten valor absoluto es continua en todo valor real c Si n es impar
la funcioacuten raiacutez n-eacutesima es continua en todo valor real c si n es par la
raiacutez n-eacutesima es continua en todo valor positivo real c
C Continuidad de funciones trigonomeacutetricas
Las funciones seno y coseno son continuas en todo nuacutemero real c Las
funciones tan ctan csc sec son continuas en todo nuacutemero real c en
sus dominio
D Teorema del valor medio
Si f es una funcioacuten definida en un intervalo [ a b ] y sea W un nuacutemero
entre f(a) y f(b) Si f es continua en [ a b ] entonces existe al menos un
nuacutemero c entre a y b tal que f(c) = W
Ejemplos
Determinar la continuidad de las siguientes funciones
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14
a 52)( 2 xxxf
Por ser polinomial es continua en todos los nuacutemeros reales
b 1
1)(
xxf
Como se trata de una funcioacuten racional se puede notar que si x = 1 el
denominador se hace cero y por lo tanto existiriacutea una indeterminacioacuten
entonces es continua en todos los nuacutemeros reales excepto en 1
c 3
32)(
2
x
xxxf
Como podemos observar si x = -3 en el denominador la funcioacuten no
existe por lo tanto podriacuteamos decir que la funcioacuten es discontinua todos
los nuacutemeros reales excepto en -3 pero si facturamos el numerador y
simplificamos
13
)1)(3()(
x
x
xxxf
Podemos concluir que la funcioacuten es polinomial y por lo tanto es continua
en todos los reales (El factoreo es de mucha ayuda en las funciones
polinomiales)
14 CONTINUIDAD UNIFORME
Las funciones polinomiales valor absoluto sen (x) y cos (x) son continuas
de forma uniforme
15 FUNCIONES CASI CONTINUAS
Cualquier otra funcioacuten que no sean las nombradas anteriormente son casi
continuas ya que tienen por lo meno un nuacutemero real donde la funcioacuten no
existe
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15
EJERCICIOS
Determinar la continuidad de las siguientes funciones
a 5263)( 2 xxxf
b 4
3)(
x
xxf
c 5)( xxf
d 5 4)( xxf
e )2(
)4()(
2
x
xxf
f 2
44)(
2
x
xxxf
g 3
)65()(
2
x
xxxf
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16
CAPITULO II
2 DERIVADAS
21 DEFINICIOacuteN BAacuteSICA E INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA
En matemaacutetica la derivada de una funcioacuten es uno de los dos conceptos centrales del caacutelculo Las derivadas se definen tomando el liacutemite de la pendiente de las rectas secantes conforme se van aproximando a la recta tangente La derivada de una funcioacuten en un cierto punto es una medida de la tasa en la cual una funcioacuten cambia conforme un argumento se modifica Esto es una derivada involucra en teacuterminos matemaacuteticos una tasa de cambio Una derivada es el caacutelculo de las pendientes instantaacuteneas de f(x) en cada punto x Esto se corresponde a las pendientes de las tangentes de la graacutefica de dicha funcioacuten en el punto dado dichas tangentes pueden ser aproximadas por una secante que pase por dos puntos muy cercanos al punto bajo el que se desea obtener la tangente Las funciones no tienen derivadas en los puntos en donde hay una tangente vertical (la cual tiene una pendiente infinita) una discontinuidad o bien un pico
La Diferenciacioacuten puede ser usada para determinar el cambio que se produce como resultado de otro cambio si estaacute determinada una relacioacuten matemaacutetica entre dos objetos
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17
Una funcioacuten es diferenciable en un punto x si su derivada existe en ese punto una funcioacuten es diferenciable en un intervalo si lo es en cada punto x perteneciente al intervalo Si una funcioacuten no es continua en c entonces no puede ser diferenciable en c sin embargo aunque una funcioacuten sea continua en c puede no ser diferenciable Es decir toda funcioacuten diferenciable en un punto C es continua en C pero no toda funcioacuten continua en C es diferenciable en C (como f(x) = |x| es continua pero no diferenciable en x = 0)
22 REGLA GENERAL PARA DERIVAR FUNCIONES
Es difiacutecil hallar directamente la pendiente de la recta tangente de una funcioacuten porque soacutelo conocemos un punto de eacutesta el punto donde ha de ser tangente a la funcioacuten Por ello aproximaremos la recta tangente por rectas secantes Cuando tomemos el liacutemite de las pendientes de las secantes proacuteximas obtendremos la pendiente de la recta tangente Para obtener estas pendientes tomemos un nuacutemero arbitrariamente pequentildeo que llamaremos h h representa una pequentildea variacioacuten en x y puede ser tanto positivo como negativo La pendiente de la recta entre los puntos (xf(x)) y (x + hf(x + h)) es
Esta expresioacuten es un cociente diferencial de Newton La derivada de f en x es el liacutemite del valor del cociente diferencial conforme las liacuteneas secantes se acercan maacutes a la tangente
Si la derivada de f existe en cada punto x podemos definir la derivada de f como la funcioacuten cuyo valor en el punto x es la derivada de f en x Puesto que la inmediata sustitucioacuten de h por 0 da como resultado una divisioacuten por cero calcular la derivada directamente puede ser poco intuitivo Una teacutecnica es simplificar el numerador de modo que la h del denominador pueda ser cancelada Esto resulta muy sencillo con funciones poli noacutemicas pero para la mayoriacutea de las funciones resulta demasiado complicado Afortunadamente
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hay reglas generales que facilitan la diferenciacioacuten de la mayoriacutea de las funciones descritas ver abajo Algunos ejemplos de coacutemo utilizar este cociente Ejemplo 1 Consideremos la siguiente funcioacuten
Entonces
Esta funcioacuten es constante para cualquier punto de su dominio vale 5 (por eso f(x+h)=5) Noacutetese el uacuteltimo paso donde h tiende a cero pero no lo toca Si pensamos un poco observaremos que la derivada ademaacutes de ser la pendiente de la recta tangente a la curva es a la vez la recta secante a la misma curva
2 Consideremos la graacutefica de Esta recta tiene una pendiente igual a 2 en cada punto Utilizando el cociente mostrado arriba (junto a los conceptos de liacutemite secante y tangente) podremos determinar las pendientes en los puntos 4 y 5
Entonces
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El valor de la funcioacuten derivada de una recta es igual a la pendiente de la misma 3 Mediante esta diferenciacioacuten se puede calcular la pendiente de una curva Consideremos que
Entonces
Para cualquier punto x la pendiente de la funcioacuten es
NOTACIOacuteN
La notacioacuten maacutes simple para la diferenciacioacuten que se utiliza en la actualidad se debe a Lagrange y utiliza un apoacutestrofo o comilla prime De esta manera se expresan las derivadas de la funcioacuten f(x) en el punto x = a se escribe Para la primera derivada
Para la segunda derivada
Para la tercera derivada y luego de forma general
Para la n-eacutesima derivada (donde normalmente se da que n gt 3)
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20
Para la funcioacuten cuyo valor en cada x es la derivada de se escribe
De forma similar para la segunda derivada de f se escribe y asiacute sucesivamente La otra notacioacuten comuacuten para la diferenciacioacuten se debe a Leibniz Para la funcioacuten cuyo valor en x es la derivada de f en x se escribe
Se puede escribir la derivada de f en el punto a de dos formas distintas
Si la resultante de f(x) es otra variable por ejemplo si y=f(x) se puede escribir la derivada como
La notacioacuten de Newton para la diferenciacioacuten consiste en poner un punto sobre el nombre de la funcioacuten
y asiacute sucesivamente La notacioacuten de Newton se utiliza principalmente en la mecaacutenica normalmente para las derivadas con respecto al tiempo tales como la velocidad y la aceleracioacuten y en la teoriacutea de ecuaciones diferenciales ordinarias Normalmente soacutelo se utilizan para la primera y segunda derivadas Otra notacioacuten consiste en colocar una letra D mayuacutescula para indicar la operacioacuten de diferenciacioacuten con un subiacutendice que indica la variable sobre la que se derivaraacute
Dxf
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21
que es equivalente a la expresioacuten
En ese contexto se considera a la diferenciacioacuten como una operacioacuten sobre
funciones de modo que los siacutembolos y Dx son llamados operadores diferenciales
DERIVADAS DE FUNCIONES
NOMBRE FUNCIOacuteN DERIVADA
CONSTANTE kxf )( 1)( xf
ALGEBRAICA nxxf )( 1 )( nnxxf
LOGARIacuteTMICA
xxf alog)( )ln(
1)(
axxf
xxf ln)( x
xf1
)(
EXPONENCIAL
xaxf )( )ln()( aaxf x
xexf )( xexf )(
TRIGONOMEacuteTRICAS
xxf sin)( xxf cos)(
xxf cos)( xxf sin)(
xxf tan)( xxf 2 sec)(
xxf sec)( xxxf tansec)(
xxf cot)( xxf 2 csc)(
xxf csc)( xxxf cotcsc)(
FUNCIONES COMPUESTAS
NOMBRE FUNCIOacuteN DERIVADA
SUMA o
DIFERENCIA )()()( xhxgxf )()()( xhxgxf
PRODUCTO )()()( xhxgxf )()()()()( xhxgxhxgxf
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22
COCIENTE )(
)()(
xh
xgxf
)(
)()()()()(
2
xh
xhxgxhxgxf
FUNCIONES INVERSAS
TRIGONOMEacuteTRICAS
xxf 1sin)( 2
1
1)(
xxf
xxf 1cos)( 2
1
1)(
xxf
xxf 1tan)( 2
1
1)(
xxf
Ejemplos
Derivar las siguientes funciones
a
b
c
NOTA El desarrollo algebraico de lo deja al estudiante ELERCICIOS Derivar las siguientes funciones
1 453)( 25 xxxf
2 xxxxf 464)( 42
3 )1)(()( 32 xxxxf (es un producto)
16)(
1)3)(2()(
13)(
2
xxf
xxf
xxf
1128)(
42)(
23
34
xxxf
xxxxf
22
2
22
2
2
)3(
2
)3(
)1)(23()3)(1()(
3
1)(
xx
xx
xx
xxxxxf
xx
xxf
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23
4 3
23)(
x
xxf
5 xxf 3log)(
6 xexf )(
7 xxf 12)(
DERIVADAS SUCESIVAS DE UNA FUNCIOacuteN Regla de la cadena Definicioacuten Sea y = f(u) u = g(x) si g es diferenciable en x y f f es diferenciable en u = g(x) entonces la funcioacuten compuesta definida por f(g(x)) es diferenciable en x y
)()( xgxgfdx
xgdf
En palabras decimos que La derivada de una funcioacuten compuesta es la derivada de la funcioacuten exterior evaluada en la funcioacuten interna por la derivada de la funcioacuten interna DERIVADAS SUPERIORES Las derivadas de orden superior aparecen desde la segunda derivada en adelante consisten en derivar la funcioacuten inmediatamente anterior cuantas veces sea necesario
oacute
para la n-eacutesima derivada de f(x) o y respectivamente Histoacutericamente esto proviene del hecho de que por ejemplo la tercera derivada es
que se puede escribir sin mucho rigor como
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Eliminando las llaves nos da la notacioacuten que estaacute arriba
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CAPITULO III
3 INTEGRAL INDEFINIDA
31 Definicioacuten Llamamos a F una antiderivada de f en el intervalo I si Dx F(x)
= f(x) en I esto es si Facute(x) = f(x) para todo x en I
Teorema 1 Regla de la potencia
Si r es cualquier nuacutemero racional excepto -1 entonces
Cr
xdxx
rr
1
1
Corolario Regla generalizada de la potencia
Cr
xgdxxgxg
rr
1
)()()(
1
Teorema 2 La integral definida es un operador lineal
Sean f y g antiderivadas (integrales indefinidas) y sea k una constante
Entonces
a dxxfkdxxkf )()(
b dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
c dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
32 PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LA ANTIDIFERENCIACIOacuteN
Esta propiedad indica que podemos sacar un factor constante de la integral
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CAPITULO IV
4 MEacuteTODOS DE INTEGRACIOacuteN
Teorema 1 Regla de sustitucioacuten
Sea g una funcioacuten derivable y suponga que F es una antiderivada de f
Entonces u = g(x)
CxgFCuFduufdxxgxgf ))(()()()(
Teorema 2 Integracioacuten por partes
dxxuxvxvxuxvxu )()()()()()(
Teorema 3 Integraciones trigonomeacutetricas
Ejercicios resueltos
Efectuacutee las operaciones de antidiferenciacioacuten que se indican aplicando las
propiedades correspondientes en cada caso
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S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
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30
4 Solucioacuten
5 Solucioacuten
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6 Solucioacuten
7 Solucioacuten
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AUTOEVALUACIOacuteN PARA CAPIacuteTULOS 1 Y 2
Realice las integrales indicadas
dxx
xf
x
xxe
dtt
d
dxxxc
dxxxb
dxxa
2
2
2
5
5
cos
tan)
1
23)
12
5)
1)
5)
5)
dxxk
dtt
tj
dxxxi
dxxeh
dxxxg
x
2
5
csc)
ln)
1)
)
cos)
Utiliza la tabla de integrales para resolver los siguientes ejercicios
32)
1
32)
53)
169)
23)
2
2
22
2
tt
dte
dxx
xxd
dxxxc
x
dxb
dxxxa
TABLA DE INTEGRALES
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BIBLIOGRAFIacuteA
PURCELL VARBERG RIGDON 2003 Caacutelculo Diferencial e Integral
Pearson Prentice Hall Ecuador
GRANVILLE SMITH LONGLEY 1974 Caacutelculo Diferencial e Integral
Uteha Meacutexico
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3
NOTA
EN ESTE TEXTO GUIA SE ENCUENTRA DESARROLLADOS LOS TEMAS
QUE CORRESPONDEN A ESTE MOacuteDULO Y LAS TAREAS QUE USTED
DEBE DESARROLLAR CON LA AYUDA DEL TUTOR USTED LLEGARAacute A
DOMINAR EL CONOCIMIENTO
1 EL ESTUDIANTE TIENE LAS OPORTUNIDADES QUE SEAN
NECESARIAS PARA ACLARAR LOS TEMAS QUE NO COMPRENDA
MEDIANTE LA EXPLICACIOacuteN DEL TUTOR YA SEA DE MANERA
PRESENCIAL O MEDIANTE EL CORREO ELECTRONICO
2 LAS TAREAS SERAN ENVIADAS POR EL TUTOR DE ACUERDO A
LAS FECHAS DEL CALENDARIO Y DE ACUERDO AL DESARROLLO
DEL MOacuteDULO
3 ES OBLIGACION DEL ESTUDIANTE ASISTIR A CADA UNA DE LAS
TUTORIacuteAS PRESENCIALES PROGRAMADAS EN EL CALENDARIO
DE ACTIVIDADES
4 TODO TRABAJO DEL ESTUDIANTE SERAacute EVALUADO
CUANTITATIVAMENTE
5 AL FINAL EL TUTOR EVALUARA EL MOacuteDULO EN SU TOTALIDAD
6 DE REQUERIR CUALQUIER INFORMACION DIRIGIRSE AL
CORREO DE LA DIRECCION ACADEMICA Y SERA ATENDIDO
INMEDIATAMENTE EN SU CONSULTA
Galo Jaacutecome galojp65hotmailcom Docente
Vicerrectoradoacademicodavidausubeleduec
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GRACIAS
1 PERFIL DE CARRERA ADMINISTRACIOacuteN DE EMPRESAS
MENCIOacuteN CONTABILIDAD Y AUDITORIA
a) OBJETIVO DE FORMACION INTEGRAL DEL PROFESIONAL
Formar profesionales con personalidad definida altos valores eacuteticos morales
culturales y espiacuteritu emprendedor preparados cientiacutefica y tecnoloacutegicamente
para iniciar y administrar pequentildeas y medianas empresas con aplicacioacuten del
Mercadeo Finanzas Produccioacuten y Administracioacuten comprometido con el
desarrollo sostenido y sustentable del paiacutes
b) PERFIL DEL TECNOacuteLOGO EN CONTABILIDAD Y AUDITORIacuteA
Es un profesional emprendedor capaz de aplicar sistemas contables y
mecanismos de control contable y financiero sobre bases cientiacutefico-
metodoloacutegicas y legales demostrando espiacuteritu emprendedor y altos valores
eacuteticos y morales
c) COMPETENCIAS DEL TECNOacuteLOGO EN CONTABILIDAD Y
AUDITORIacuteA
Demostrar eficiencia en el manejo contable y financiero en el sector
empresarial y puacuteblico
Participar en auditoriacuteas de la actividad contable y financiera en empresas
y organizaciones
Adoptar decisiones oportunas en el manejo contable y financiero en
funcioacuten de la eficiencia y eficacia empresarial
Desarrollar los mecanismos de control interno que promuevan la
eficiencia reduzcan los riesgos de peacuterdida de activos asegurar la
confiabilidad de los estados financieros dentro del marco de
cumplimiento de las leyes y regulaciones
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Administrar su propia microempresa de servicios contables y de
auditoriacutea
SISTEMATIZACIOacuteN DE LAS COMPETENCIAS DEL TECNOacuteLOGO EN
CONTABILIDAD Y AUDITORIacuteA
d) NIVEL COMPETENCIA PRINCIPAL
Aplicar correctamente sus conocimientos micro y macro econoacutemicos en
una planificacioacuten estrateacutegica
Llevar a cabo proyectos de auditoriacutea en su propia microempresa
F) ESCENARIOS DE ACTUACION
El tecnoacutelogo en Contabilidad y Auditoriacutea podraacute desenvolverse en
Empresas del Sector puacuteblico o privado
Empresas nacionales o internacionales
Pymes
Industrias
Bancos
Financieras
ONG
Centros educativos
Su propia microempresa de servicios administrativos
Tecnologiacutea en Administracioacuten de Empresas
G) OCUPACIONES PROFESIONALES
El tecnoacutelogo en Contabilidad y Auditoriacutea podraacute desempentildearse como
Administrador de pequentildeas y medianas empresas
Director departamental
Jefe de oficina
Asesor de pequentildeas y medianas empresas
Funcionario bancario
Administrador de su propia microempresa
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6
INTRODUCCIOacuteN
La Matemaacutetica Aplicada es una rama de la Matemaacutetica muy utilizada para la
resolucioacuten de problemas praacutecticos que se presentan con frecuencia en la vida
cotidiana Es indispensable que los interesados en incursionar en este estudio
tengan las nociones fundamentales del algebra geometriacutea analiacutetica y
trigonometriacutea Por otro lado es necesario que el alumno este familiarizado con
el manejo de los nuacutemeros reales y haya adquirido cierta praacutectica en la
realizacioacuten de operaciones elementales tanto de igualdad como de
desigualdad
Si usted como estudiante desea aprender esta asignatura es fundamental que
se le dedique el tiempo necesario todos los diacuteas para que exista una
asimilacioacuten correcta de los contenidos
La guiacutea estaacute estructurada en cuatro capiacutetulos que permitiraacuten una mejor
compresioacuten de los conceptos necesarios para dominar la asignatura
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CONTENIDOS
Capiacutetulo I CONTINUIDAD
11 Definicioacuten
12 Continuidad
13 Teoremas sobre continuidad
14 Continuidad uniforme
15 Funciones casi continuas
Capitulo II DERIVADAS
21 Definiciones baacutesicas
22 Interpretacioacuten geomeacutetrica
23 Regla general para derivar funciones
24 Derivadas de funciones algebraicas
25 Derivadas de funciones logariacutetmicas y exponenciales
26 Derivadas de funciones compuestas
27 Derivadas de funciones inversas
Capitulo III INTEGRAL INDEFINIDA
31 Definicioacuten
32 Reglas para integrar funciones elementales e integracioacuten de potencias
33 Potencia
34 Propiedades de integracioacuten
Capitulo IV MEacuteTODOS DE INTEGRACIOacuteN
41 Integracioacuten por sustitucioacuten
42 Integracioacuten por partes
BIBLIOGRAFIacuteA
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COMPETENCIAS
COMPETENCIAS GENERALES
Comprender y aplicar los procesos correspondientes en la
determinacioacuten del la continuidad de una funcioacuten
Aplicar el concepto de la derivada en la diferenciacioacuten de funciones
Comprender y aplicar los procesos correspondientes en la
determinacioacuten del la integracioacuten de funciones
Utilizar y aplicar la integracioacuten de una funcioacuten en la resolucioacuten de
problemas praacutecticos
Entregar las herramientas necesarias de las ciencias exactas para
permitir que el estudiante llegue a un dominio en cuanto al
conocimiento de las matemaacuteticas
COMPETENCIAS POR UNIDADES
Determinar la continuidad o discontinuidad de una funcioacuten
Resolver problemas relativos a la pendiente recta tangente
diferenciabilidad y continuidad de una funcioacuten
Aplicar los teoremas de la diferenciabilidad de funciones algebraicas
en la resolucioacuten de problemas praacutecticos
Calcular las derivadas de funciones trigonomeacutetricas logariacutetmicas
exponenciales y funciones compuestas
Determinar la integracioacuten de funciones con potencias
Integrar funciones por diferentes meacutetodos
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Desarrollar habilidades de interpretar y desarrollo de los procesos
matemaacuteticos
Lograr en el alumno el desarrollo de capacidades para el manejo de
las matemaacuteticas
Avalizar en el estudiante el principio de aprendizaje su capacidad
para receptar y practicar problemas
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REPASO SOBRE LIgraveMITES
El liacutemite es un concepto que describe la tendencia de una sucesioacuten o una funcioacuten a medida que los paraacutemetros de esa sucesioacuten o funcioacuten se acercan a determinado valor En caacutelculo (especialmente en anaacutelisis real y matemaacutetico) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia continuidad derivacioacuten integracioacuten entre otros
LIMITES DE FUNCIONES
Definicioacuten rigurosa
Informalmente se dice que el liacutemite de la funcioacuten f(x) es L cuando x tiende a c y se escribe
Si se puede encontrar para cada ocasioacuten un x suficientemente cerca de c tal que el valor de f(x) sea tan proacuteximo a L como se desee
Ejemplos
1 Determine )54(lim3
xx
7
512
)5)3(4(lim3
x
2 Encuentre 3
6lim
2
3
x
xx
x
5
)23(lim
)2(lim
3
)2)(3(lim
3
3
3
x
x
x
x
x
xx
Teoremas principales sobre los liacutemites
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11
ncx
n
cx
n
cx
n
cx
cx
cx
cx
cxcxcx
cxcxcx
cxcxcx
cxcx
cx
cx
xfxf
xfxf
xg
xf
xg
xf
xgxfxgxf
xgxfxgxf
xgxfxgxf
xfkxkf
cx
kk
)(lim)(lim
)(lim)(lim
)(lim
)(lim
)(
)(lim
)(lim)(lim)()(lim
)(lim)(lim)()(lim
)(lim)(lim)()(lim
)(lim)(lim
lim
lim
Teorema de sustitucioacuten
Sea f una funcioacuten polinomial o una funcioacuten racional entonces
)()(lim cfxfcx
Liacutemites infinitos
Para calcular liacutemites al infinito es necesario dividir cada teacutermino de la
expresioacuten para el x con el mayor exponente y recordar que 01
y
0
1
Ejemplos
Calcular cada uno de los siguientes liacutemites
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12
054
2510lim
10
0
5)5(45
25)5(105lim
5)5(45
25)5(105lim
54
2510lim)
2
2
5
2
2
5
2
2
5
2
2
5
xx
xx
xx
xxa
x
x
x
x
24
13
49
214lim
48
26
49)1(
21)1(4)1(lim
49
214lim
2
2
1
2
2
1
2
2
1
x
xx
x
xx
x
x
x
14
86lim
01
001
4
86
lim
4
86lim)
2
2
22
2
222
2
2
2
xx
xx
x
x
x
x
xx
x
x
x
xx
xxc
x
x
x
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CAPITULO I
1 CONTINUIDAD
11 Definicioacuten Sea f definida en un intervalo abierto que contiene a c
Decimos que f es continua en c si
)()(lim cfxfcx
12 CONTINUIDADA
13 TEOREMAS SOBRE CONTINUIDAD
A Continuidad de funciones polinomiales y racionales
Una funcioacuten polinomial es continua en todo nuacutemero real c Una funcioacuten
racional es continua en todo nuacutemero real c en su dominio esto es en
todas partes excepto en donde el denominador es cero
B Continuidad de las funciones valor absoluto y raiacutez n-eacutesima
La funcioacuten valor absoluto es continua en todo valor real c Si n es impar
la funcioacuten raiacutez n-eacutesima es continua en todo valor real c si n es par la
raiacutez n-eacutesima es continua en todo valor positivo real c
C Continuidad de funciones trigonomeacutetricas
Las funciones seno y coseno son continuas en todo nuacutemero real c Las
funciones tan ctan csc sec son continuas en todo nuacutemero real c en
sus dominio
D Teorema del valor medio
Si f es una funcioacuten definida en un intervalo [ a b ] y sea W un nuacutemero
entre f(a) y f(b) Si f es continua en [ a b ] entonces existe al menos un
nuacutemero c entre a y b tal que f(c) = W
Ejemplos
Determinar la continuidad de las siguientes funciones
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14
a 52)( 2 xxxf
Por ser polinomial es continua en todos los nuacutemeros reales
b 1
1)(
xxf
Como se trata de una funcioacuten racional se puede notar que si x = 1 el
denominador se hace cero y por lo tanto existiriacutea una indeterminacioacuten
entonces es continua en todos los nuacutemeros reales excepto en 1
c 3
32)(
2
x
xxxf
Como podemos observar si x = -3 en el denominador la funcioacuten no
existe por lo tanto podriacuteamos decir que la funcioacuten es discontinua todos
los nuacutemeros reales excepto en -3 pero si facturamos el numerador y
simplificamos
13
)1)(3()(
x
x
xxxf
Podemos concluir que la funcioacuten es polinomial y por lo tanto es continua
en todos los reales (El factoreo es de mucha ayuda en las funciones
polinomiales)
14 CONTINUIDAD UNIFORME
Las funciones polinomiales valor absoluto sen (x) y cos (x) son continuas
de forma uniforme
15 FUNCIONES CASI CONTINUAS
Cualquier otra funcioacuten que no sean las nombradas anteriormente son casi
continuas ya que tienen por lo meno un nuacutemero real donde la funcioacuten no
existe
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15
EJERCICIOS
Determinar la continuidad de las siguientes funciones
a 5263)( 2 xxxf
b 4
3)(
x
xxf
c 5)( xxf
d 5 4)( xxf
e )2(
)4()(
2
x
xxf
f 2
44)(
2
x
xxxf
g 3
)65()(
2
x
xxxf
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16
CAPITULO II
2 DERIVADAS
21 DEFINICIOacuteN BAacuteSICA E INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA
En matemaacutetica la derivada de una funcioacuten es uno de los dos conceptos centrales del caacutelculo Las derivadas se definen tomando el liacutemite de la pendiente de las rectas secantes conforme se van aproximando a la recta tangente La derivada de una funcioacuten en un cierto punto es una medida de la tasa en la cual una funcioacuten cambia conforme un argumento se modifica Esto es una derivada involucra en teacuterminos matemaacuteticos una tasa de cambio Una derivada es el caacutelculo de las pendientes instantaacuteneas de f(x) en cada punto x Esto se corresponde a las pendientes de las tangentes de la graacutefica de dicha funcioacuten en el punto dado dichas tangentes pueden ser aproximadas por una secante que pase por dos puntos muy cercanos al punto bajo el que se desea obtener la tangente Las funciones no tienen derivadas en los puntos en donde hay una tangente vertical (la cual tiene una pendiente infinita) una discontinuidad o bien un pico
La Diferenciacioacuten puede ser usada para determinar el cambio que se produce como resultado de otro cambio si estaacute determinada una relacioacuten matemaacutetica entre dos objetos
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17
Una funcioacuten es diferenciable en un punto x si su derivada existe en ese punto una funcioacuten es diferenciable en un intervalo si lo es en cada punto x perteneciente al intervalo Si una funcioacuten no es continua en c entonces no puede ser diferenciable en c sin embargo aunque una funcioacuten sea continua en c puede no ser diferenciable Es decir toda funcioacuten diferenciable en un punto C es continua en C pero no toda funcioacuten continua en C es diferenciable en C (como f(x) = |x| es continua pero no diferenciable en x = 0)
22 REGLA GENERAL PARA DERIVAR FUNCIONES
Es difiacutecil hallar directamente la pendiente de la recta tangente de una funcioacuten porque soacutelo conocemos un punto de eacutesta el punto donde ha de ser tangente a la funcioacuten Por ello aproximaremos la recta tangente por rectas secantes Cuando tomemos el liacutemite de las pendientes de las secantes proacuteximas obtendremos la pendiente de la recta tangente Para obtener estas pendientes tomemos un nuacutemero arbitrariamente pequentildeo que llamaremos h h representa una pequentildea variacioacuten en x y puede ser tanto positivo como negativo La pendiente de la recta entre los puntos (xf(x)) y (x + hf(x + h)) es
Esta expresioacuten es un cociente diferencial de Newton La derivada de f en x es el liacutemite del valor del cociente diferencial conforme las liacuteneas secantes se acercan maacutes a la tangente
Si la derivada de f existe en cada punto x podemos definir la derivada de f como la funcioacuten cuyo valor en el punto x es la derivada de f en x Puesto que la inmediata sustitucioacuten de h por 0 da como resultado una divisioacuten por cero calcular la derivada directamente puede ser poco intuitivo Una teacutecnica es simplificar el numerador de modo que la h del denominador pueda ser cancelada Esto resulta muy sencillo con funciones poli noacutemicas pero para la mayoriacutea de las funciones resulta demasiado complicado Afortunadamente
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hay reglas generales que facilitan la diferenciacioacuten de la mayoriacutea de las funciones descritas ver abajo Algunos ejemplos de coacutemo utilizar este cociente Ejemplo 1 Consideremos la siguiente funcioacuten
Entonces
Esta funcioacuten es constante para cualquier punto de su dominio vale 5 (por eso f(x+h)=5) Noacutetese el uacuteltimo paso donde h tiende a cero pero no lo toca Si pensamos un poco observaremos que la derivada ademaacutes de ser la pendiente de la recta tangente a la curva es a la vez la recta secante a la misma curva
2 Consideremos la graacutefica de Esta recta tiene una pendiente igual a 2 en cada punto Utilizando el cociente mostrado arriba (junto a los conceptos de liacutemite secante y tangente) podremos determinar las pendientes en los puntos 4 y 5
Entonces
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El valor de la funcioacuten derivada de una recta es igual a la pendiente de la misma 3 Mediante esta diferenciacioacuten se puede calcular la pendiente de una curva Consideremos que
Entonces
Para cualquier punto x la pendiente de la funcioacuten es
NOTACIOacuteN
La notacioacuten maacutes simple para la diferenciacioacuten que se utiliza en la actualidad se debe a Lagrange y utiliza un apoacutestrofo o comilla prime De esta manera se expresan las derivadas de la funcioacuten f(x) en el punto x = a se escribe Para la primera derivada
Para la segunda derivada
Para la tercera derivada y luego de forma general
Para la n-eacutesima derivada (donde normalmente se da que n gt 3)
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20
Para la funcioacuten cuyo valor en cada x es la derivada de se escribe
De forma similar para la segunda derivada de f se escribe y asiacute sucesivamente La otra notacioacuten comuacuten para la diferenciacioacuten se debe a Leibniz Para la funcioacuten cuyo valor en x es la derivada de f en x se escribe
Se puede escribir la derivada de f en el punto a de dos formas distintas
Si la resultante de f(x) es otra variable por ejemplo si y=f(x) se puede escribir la derivada como
La notacioacuten de Newton para la diferenciacioacuten consiste en poner un punto sobre el nombre de la funcioacuten
y asiacute sucesivamente La notacioacuten de Newton se utiliza principalmente en la mecaacutenica normalmente para las derivadas con respecto al tiempo tales como la velocidad y la aceleracioacuten y en la teoriacutea de ecuaciones diferenciales ordinarias Normalmente soacutelo se utilizan para la primera y segunda derivadas Otra notacioacuten consiste en colocar una letra D mayuacutescula para indicar la operacioacuten de diferenciacioacuten con un subiacutendice que indica la variable sobre la que se derivaraacute
Dxf
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21
que es equivalente a la expresioacuten
En ese contexto se considera a la diferenciacioacuten como una operacioacuten sobre
funciones de modo que los siacutembolos y Dx son llamados operadores diferenciales
DERIVADAS DE FUNCIONES
NOMBRE FUNCIOacuteN DERIVADA
CONSTANTE kxf )( 1)( xf
ALGEBRAICA nxxf )( 1 )( nnxxf
LOGARIacuteTMICA
xxf alog)( )ln(
1)(
axxf
xxf ln)( x
xf1
)(
EXPONENCIAL
xaxf )( )ln()( aaxf x
xexf )( xexf )(
TRIGONOMEacuteTRICAS
xxf sin)( xxf cos)(
xxf cos)( xxf sin)(
xxf tan)( xxf 2 sec)(
xxf sec)( xxxf tansec)(
xxf cot)( xxf 2 csc)(
xxf csc)( xxxf cotcsc)(
FUNCIONES COMPUESTAS
NOMBRE FUNCIOacuteN DERIVADA
SUMA o
DIFERENCIA )()()( xhxgxf )()()( xhxgxf
PRODUCTO )()()( xhxgxf )()()()()( xhxgxhxgxf
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22
COCIENTE )(
)()(
xh
xgxf
)(
)()()()()(
2
xh
xhxgxhxgxf
FUNCIONES INVERSAS
TRIGONOMEacuteTRICAS
xxf 1sin)( 2
1
1)(
xxf
xxf 1cos)( 2
1
1)(
xxf
xxf 1tan)( 2
1
1)(
xxf
Ejemplos
Derivar las siguientes funciones
a
b
c
NOTA El desarrollo algebraico de lo deja al estudiante ELERCICIOS Derivar las siguientes funciones
1 453)( 25 xxxf
2 xxxxf 464)( 42
3 )1)(()( 32 xxxxf (es un producto)
16)(
1)3)(2()(
13)(
2
xxf
xxf
xxf
1128)(
42)(
23
34
xxxf
xxxxf
22
2
22
2
2
)3(
2
)3(
)1)(23()3)(1()(
3
1)(
xx
xx
xx
xxxxxf
xx
xxf
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23
4 3
23)(
x
xxf
5 xxf 3log)(
6 xexf )(
7 xxf 12)(
DERIVADAS SUCESIVAS DE UNA FUNCIOacuteN Regla de la cadena Definicioacuten Sea y = f(u) u = g(x) si g es diferenciable en x y f f es diferenciable en u = g(x) entonces la funcioacuten compuesta definida por f(g(x)) es diferenciable en x y
)()( xgxgfdx
xgdf
En palabras decimos que La derivada de una funcioacuten compuesta es la derivada de la funcioacuten exterior evaluada en la funcioacuten interna por la derivada de la funcioacuten interna DERIVADAS SUPERIORES Las derivadas de orden superior aparecen desde la segunda derivada en adelante consisten en derivar la funcioacuten inmediatamente anterior cuantas veces sea necesario
oacute
para la n-eacutesima derivada de f(x) o y respectivamente Histoacutericamente esto proviene del hecho de que por ejemplo la tercera derivada es
que se puede escribir sin mucho rigor como
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24
Eliminando las llaves nos da la notacioacuten que estaacute arriba
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25
CAPITULO III
3 INTEGRAL INDEFINIDA
31 Definicioacuten Llamamos a F una antiderivada de f en el intervalo I si Dx F(x)
= f(x) en I esto es si Facute(x) = f(x) para todo x en I
Teorema 1 Regla de la potencia
Si r es cualquier nuacutemero racional excepto -1 entonces
Cr
xdxx
rr
1
1
Corolario Regla generalizada de la potencia
Cr
xgdxxgxg
rr
1
)()()(
1
Teorema 2 La integral definida es un operador lineal
Sean f y g antiderivadas (integrales indefinidas) y sea k una constante
Entonces
a dxxfkdxxkf )()(
b dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
c dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
32 PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LA ANTIDIFERENCIACIOacuteN
Esta propiedad indica que podemos sacar un factor constante de la integral
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CAPITULO IV
4 MEacuteTODOS DE INTEGRACIOacuteN
Teorema 1 Regla de sustitucioacuten
Sea g una funcioacuten derivable y suponga que F es una antiderivada de f
Entonces u = g(x)
CxgFCuFduufdxxgxgf ))(()()()(
Teorema 2 Integracioacuten por partes
dxxuxvxvxuxvxu )()()()()()(
Teorema 3 Integraciones trigonomeacutetricas
Ejercicios resueltos
Efectuacutee las operaciones de antidiferenciacioacuten que se indican aplicando las
propiedades correspondientes en cada caso
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S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
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30
4 Solucioacuten
5 Solucioacuten
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31
6 Solucioacuten
7 Solucioacuten
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33
AUTOEVALUACIOacuteN PARA CAPIacuteTULOS 1 Y 2
Realice las integrales indicadas
dxx
xf
x
xxe
dtt
d
dxxxc
dxxxb
dxxa
2
2
2
5
5
cos
tan)
1
23)
12
5)
1)
5)
5)
dxxk
dtt
tj
dxxxi
dxxeh
dxxxg
x
2
5
csc)
ln)
1)
)
cos)
Utiliza la tabla de integrales para resolver los siguientes ejercicios
32)
1
32)
53)
169)
23)
2
2
22
2
tt
dte
dxx
xxd
dxxxc
x
dxb
dxxxa
TABLA DE INTEGRALES
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BIBLIOGRAFIacuteA
PURCELL VARBERG RIGDON 2003 Caacutelculo Diferencial e Integral
Pearson Prentice Hall Ecuador
GRANVILLE SMITH LONGLEY 1974 Caacutelculo Diferencial e Integral
Uteha Meacutexico
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4
GRACIAS
1 PERFIL DE CARRERA ADMINISTRACIOacuteN DE EMPRESAS
MENCIOacuteN CONTABILIDAD Y AUDITORIA
a) OBJETIVO DE FORMACION INTEGRAL DEL PROFESIONAL
Formar profesionales con personalidad definida altos valores eacuteticos morales
culturales y espiacuteritu emprendedor preparados cientiacutefica y tecnoloacutegicamente
para iniciar y administrar pequentildeas y medianas empresas con aplicacioacuten del
Mercadeo Finanzas Produccioacuten y Administracioacuten comprometido con el
desarrollo sostenido y sustentable del paiacutes
b) PERFIL DEL TECNOacuteLOGO EN CONTABILIDAD Y AUDITORIacuteA
Es un profesional emprendedor capaz de aplicar sistemas contables y
mecanismos de control contable y financiero sobre bases cientiacutefico-
metodoloacutegicas y legales demostrando espiacuteritu emprendedor y altos valores
eacuteticos y morales
c) COMPETENCIAS DEL TECNOacuteLOGO EN CONTABILIDAD Y
AUDITORIacuteA
Demostrar eficiencia en el manejo contable y financiero en el sector
empresarial y puacuteblico
Participar en auditoriacuteas de la actividad contable y financiera en empresas
y organizaciones
Adoptar decisiones oportunas en el manejo contable y financiero en
funcioacuten de la eficiencia y eficacia empresarial
Desarrollar los mecanismos de control interno que promuevan la
eficiencia reduzcan los riesgos de peacuterdida de activos asegurar la
confiabilidad de los estados financieros dentro del marco de
cumplimiento de las leyes y regulaciones
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Administrar su propia microempresa de servicios contables y de
auditoriacutea
SISTEMATIZACIOacuteN DE LAS COMPETENCIAS DEL TECNOacuteLOGO EN
CONTABILIDAD Y AUDITORIacuteA
d) NIVEL COMPETENCIA PRINCIPAL
Aplicar correctamente sus conocimientos micro y macro econoacutemicos en
una planificacioacuten estrateacutegica
Llevar a cabo proyectos de auditoriacutea en su propia microempresa
F) ESCENARIOS DE ACTUACION
El tecnoacutelogo en Contabilidad y Auditoriacutea podraacute desenvolverse en
Empresas del Sector puacuteblico o privado
Empresas nacionales o internacionales
Pymes
Industrias
Bancos
Financieras
ONG
Centros educativos
Su propia microempresa de servicios administrativos
Tecnologiacutea en Administracioacuten de Empresas
G) OCUPACIONES PROFESIONALES
El tecnoacutelogo en Contabilidad y Auditoriacutea podraacute desempentildearse como
Administrador de pequentildeas y medianas empresas
Director departamental
Jefe de oficina
Asesor de pequentildeas y medianas empresas
Funcionario bancario
Administrador de su propia microempresa
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6
INTRODUCCIOacuteN
La Matemaacutetica Aplicada es una rama de la Matemaacutetica muy utilizada para la
resolucioacuten de problemas praacutecticos que se presentan con frecuencia en la vida
cotidiana Es indispensable que los interesados en incursionar en este estudio
tengan las nociones fundamentales del algebra geometriacutea analiacutetica y
trigonometriacutea Por otro lado es necesario que el alumno este familiarizado con
el manejo de los nuacutemeros reales y haya adquirido cierta praacutectica en la
realizacioacuten de operaciones elementales tanto de igualdad como de
desigualdad
Si usted como estudiante desea aprender esta asignatura es fundamental que
se le dedique el tiempo necesario todos los diacuteas para que exista una
asimilacioacuten correcta de los contenidos
La guiacutea estaacute estructurada en cuatro capiacutetulos que permitiraacuten una mejor
compresioacuten de los conceptos necesarios para dominar la asignatura
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CONTENIDOS
Capiacutetulo I CONTINUIDAD
11 Definicioacuten
12 Continuidad
13 Teoremas sobre continuidad
14 Continuidad uniforme
15 Funciones casi continuas
Capitulo II DERIVADAS
21 Definiciones baacutesicas
22 Interpretacioacuten geomeacutetrica
23 Regla general para derivar funciones
24 Derivadas de funciones algebraicas
25 Derivadas de funciones logariacutetmicas y exponenciales
26 Derivadas de funciones compuestas
27 Derivadas de funciones inversas
Capitulo III INTEGRAL INDEFINIDA
31 Definicioacuten
32 Reglas para integrar funciones elementales e integracioacuten de potencias
33 Potencia
34 Propiedades de integracioacuten
Capitulo IV MEacuteTODOS DE INTEGRACIOacuteN
41 Integracioacuten por sustitucioacuten
42 Integracioacuten por partes
BIBLIOGRAFIacuteA
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COMPETENCIAS
COMPETENCIAS GENERALES
Comprender y aplicar los procesos correspondientes en la
determinacioacuten del la continuidad de una funcioacuten
Aplicar el concepto de la derivada en la diferenciacioacuten de funciones
Comprender y aplicar los procesos correspondientes en la
determinacioacuten del la integracioacuten de funciones
Utilizar y aplicar la integracioacuten de una funcioacuten en la resolucioacuten de
problemas praacutecticos
Entregar las herramientas necesarias de las ciencias exactas para
permitir que el estudiante llegue a un dominio en cuanto al
conocimiento de las matemaacuteticas
COMPETENCIAS POR UNIDADES
Determinar la continuidad o discontinuidad de una funcioacuten
Resolver problemas relativos a la pendiente recta tangente
diferenciabilidad y continuidad de una funcioacuten
Aplicar los teoremas de la diferenciabilidad de funciones algebraicas
en la resolucioacuten de problemas praacutecticos
Calcular las derivadas de funciones trigonomeacutetricas logariacutetmicas
exponenciales y funciones compuestas
Determinar la integracioacuten de funciones con potencias
Integrar funciones por diferentes meacutetodos
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Desarrollar habilidades de interpretar y desarrollo de los procesos
matemaacuteticos
Lograr en el alumno el desarrollo de capacidades para el manejo de
las matemaacuteticas
Avalizar en el estudiante el principio de aprendizaje su capacidad
para receptar y practicar problemas
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REPASO SOBRE LIgraveMITES
El liacutemite es un concepto que describe la tendencia de una sucesioacuten o una funcioacuten a medida que los paraacutemetros de esa sucesioacuten o funcioacuten se acercan a determinado valor En caacutelculo (especialmente en anaacutelisis real y matemaacutetico) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia continuidad derivacioacuten integracioacuten entre otros
LIMITES DE FUNCIONES
Definicioacuten rigurosa
Informalmente se dice que el liacutemite de la funcioacuten f(x) es L cuando x tiende a c y se escribe
Si se puede encontrar para cada ocasioacuten un x suficientemente cerca de c tal que el valor de f(x) sea tan proacuteximo a L como se desee
Ejemplos
1 Determine )54(lim3
xx
7
512
)5)3(4(lim3
x
2 Encuentre 3
6lim
2
3
x
xx
x
5
)23(lim
)2(lim
3
)2)(3(lim
3
3
3
x
x
x
x
x
xx
Teoremas principales sobre los liacutemites
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11
ncx
n
cx
n
cx
n
cx
cx
cx
cx
cxcxcx
cxcxcx
cxcxcx
cxcx
cx
cx
xfxf
xfxf
xg
xf
xg
xf
xgxfxgxf
xgxfxgxf
xgxfxgxf
xfkxkf
cx
kk
)(lim)(lim
)(lim)(lim
)(lim
)(lim
)(
)(lim
)(lim)(lim)()(lim
)(lim)(lim)()(lim
)(lim)(lim)()(lim
)(lim)(lim
lim
lim
Teorema de sustitucioacuten
Sea f una funcioacuten polinomial o una funcioacuten racional entonces
)()(lim cfxfcx
Liacutemites infinitos
Para calcular liacutemites al infinito es necesario dividir cada teacutermino de la
expresioacuten para el x con el mayor exponente y recordar que 01
y
0
1
Ejemplos
Calcular cada uno de los siguientes liacutemites
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12
054
2510lim
10
0
5)5(45
25)5(105lim
5)5(45
25)5(105lim
54
2510lim)
2
2
5
2
2
5
2
2
5
2
2
5
xx
xx
xx
xxa
x
x
x
x
24
13
49
214lim
48
26
49)1(
21)1(4)1(lim
49
214lim
2
2
1
2
2
1
2
2
1
x
xx
x
xx
x
x
x
14
86lim
01
001
4
86
lim
4
86lim)
2
2
22
2
222
2
2
2
xx
xx
x
x
x
x
xx
x
x
x
xx
xxc
x
x
x
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CAPITULO I
1 CONTINUIDAD
11 Definicioacuten Sea f definida en un intervalo abierto que contiene a c
Decimos que f es continua en c si
)()(lim cfxfcx
12 CONTINUIDADA
13 TEOREMAS SOBRE CONTINUIDAD
A Continuidad de funciones polinomiales y racionales
Una funcioacuten polinomial es continua en todo nuacutemero real c Una funcioacuten
racional es continua en todo nuacutemero real c en su dominio esto es en
todas partes excepto en donde el denominador es cero
B Continuidad de las funciones valor absoluto y raiacutez n-eacutesima
La funcioacuten valor absoluto es continua en todo valor real c Si n es impar
la funcioacuten raiacutez n-eacutesima es continua en todo valor real c si n es par la
raiacutez n-eacutesima es continua en todo valor positivo real c
C Continuidad de funciones trigonomeacutetricas
Las funciones seno y coseno son continuas en todo nuacutemero real c Las
funciones tan ctan csc sec son continuas en todo nuacutemero real c en
sus dominio
D Teorema del valor medio
Si f es una funcioacuten definida en un intervalo [ a b ] y sea W un nuacutemero
entre f(a) y f(b) Si f es continua en [ a b ] entonces existe al menos un
nuacutemero c entre a y b tal que f(c) = W
Ejemplos
Determinar la continuidad de las siguientes funciones
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14
a 52)( 2 xxxf
Por ser polinomial es continua en todos los nuacutemeros reales
b 1
1)(
xxf
Como se trata de una funcioacuten racional se puede notar que si x = 1 el
denominador se hace cero y por lo tanto existiriacutea una indeterminacioacuten
entonces es continua en todos los nuacutemeros reales excepto en 1
c 3
32)(
2
x
xxxf
Como podemos observar si x = -3 en el denominador la funcioacuten no
existe por lo tanto podriacuteamos decir que la funcioacuten es discontinua todos
los nuacutemeros reales excepto en -3 pero si facturamos el numerador y
simplificamos
13
)1)(3()(
x
x
xxxf
Podemos concluir que la funcioacuten es polinomial y por lo tanto es continua
en todos los reales (El factoreo es de mucha ayuda en las funciones
polinomiales)
14 CONTINUIDAD UNIFORME
Las funciones polinomiales valor absoluto sen (x) y cos (x) son continuas
de forma uniforme
15 FUNCIONES CASI CONTINUAS
Cualquier otra funcioacuten que no sean las nombradas anteriormente son casi
continuas ya que tienen por lo meno un nuacutemero real donde la funcioacuten no
existe
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EJERCICIOS
Determinar la continuidad de las siguientes funciones
a 5263)( 2 xxxf
b 4
3)(
x
xxf
c 5)( xxf
d 5 4)( xxf
e )2(
)4()(
2
x
xxf
f 2
44)(
2
x
xxxf
g 3
)65()(
2
x
xxxf
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CAPITULO II
2 DERIVADAS
21 DEFINICIOacuteN BAacuteSICA E INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA
En matemaacutetica la derivada de una funcioacuten es uno de los dos conceptos centrales del caacutelculo Las derivadas se definen tomando el liacutemite de la pendiente de las rectas secantes conforme se van aproximando a la recta tangente La derivada de una funcioacuten en un cierto punto es una medida de la tasa en la cual una funcioacuten cambia conforme un argumento se modifica Esto es una derivada involucra en teacuterminos matemaacuteticos una tasa de cambio Una derivada es el caacutelculo de las pendientes instantaacuteneas de f(x) en cada punto x Esto se corresponde a las pendientes de las tangentes de la graacutefica de dicha funcioacuten en el punto dado dichas tangentes pueden ser aproximadas por una secante que pase por dos puntos muy cercanos al punto bajo el que se desea obtener la tangente Las funciones no tienen derivadas en los puntos en donde hay una tangente vertical (la cual tiene una pendiente infinita) una discontinuidad o bien un pico
La Diferenciacioacuten puede ser usada para determinar el cambio que se produce como resultado de otro cambio si estaacute determinada una relacioacuten matemaacutetica entre dos objetos
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Una funcioacuten es diferenciable en un punto x si su derivada existe en ese punto una funcioacuten es diferenciable en un intervalo si lo es en cada punto x perteneciente al intervalo Si una funcioacuten no es continua en c entonces no puede ser diferenciable en c sin embargo aunque una funcioacuten sea continua en c puede no ser diferenciable Es decir toda funcioacuten diferenciable en un punto C es continua en C pero no toda funcioacuten continua en C es diferenciable en C (como f(x) = |x| es continua pero no diferenciable en x = 0)
22 REGLA GENERAL PARA DERIVAR FUNCIONES
Es difiacutecil hallar directamente la pendiente de la recta tangente de una funcioacuten porque soacutelo conocemos un punto de eacutesta el punto donde ha de ser tangente a la funcioacuten Por ello aproximaremos la recta tangente por rectas secantes Cuando tomemos el liacutemite de las pendientes de las secantes proacuteximas obtendremos la pendiente de la recta tangente Para obtener estas pendientes tomemos un nuacutemero arbitrariamente pequentildeo que llamaremos h h representa una pequentildea variacioacuten en x y puede ser tanto positivo como negativo La pendiente de la recta entre los puntos (xf(x)) y (x + hf(x + h)) es
Esta expresioacuten es un cociente diferencial de Newton La derivada de f en x es el liacutemite del valor del cociente diferencial conforme las liacuteneas secantes se acercan maacutes a la tangente
Si la derivada de f existe en cada punto x podemos definir la derivada de f como la funcioacuten cuyo valor en el punto x es la derivada de f en x Puesto que la inmediata sustitucioacuten de h por 0 da como resultado una divisioacuten por cero calcular la derivada directamente puede ser poco intuitivo Una teacutecnica es simplificar el numerador de modo que la h del denominador pueda ser cancelada Esto resulta muy sencillo con funciones poli noacutemicas pero para la mayoriacutea de las funciones resulta demasiado complicado Afortunadamente
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hay reglas generales que facilitan la diferenciacioacuten de la mayoriacutea de las funciones descritas ver abajo Algunos ejemplos de coacutemo utilizar este cociente Ejemplo 1 Consideremos la siguiente funcioacuten
Entonces
Esta funcioacuten es constante para cualquier punto de su dominio vale 5 (por eso f(x+h)=5) Noacutetese el uacuteltimo paso donde h tiende a cero pero no lo toca Si pensamos un poco observaremos que la derivada ademaacutes de ser la pendiente de la recta tangente a la curva es a la vez la recta secante a la misma curva
2 Consideremos la graacutefica de Esta recta tiene una pendiente igual a 2 en cada punto Utilizando el cociente mostrado arriba (junto a los conceptos de liacutemite secante y tangente) podremos determinar las pendientes en los puntos 4 y 5
Entonces
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El valor de la funcioacuten derivada de una recta es igual a la pendiente de la misma 3 Mediante esta diferenciacioacuten se puede calcular la pendiente de una curva Consideremos que
Entonces
Para cualquier punto x la pendiente de la funcioacuten es
NOTACIOacuteN
La notacioacuten maacutes simple para la diferenciacioacuten que se utiliza en la actualidad se debe a Lagrange y utiliza un apoacutestrofo o comilla prime De esta manera se expresan las derivadas de la funcioacuten f(x) en el punto x = a se escribe Para la primera derivada
Para la segunda derivada
Para la tercera derivada y luego de forma general
Para la n-eacutesima derivada (donde normalmente se da que n gt 3)
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20
Para la funcioacuten cuyo valor en cada x es la derivada de se escribe
De forma similar para la segunda derivada de f se escribe y asiacute sucesivamente La otra notacioacuten comuacuten para la diferenciacioacuten se debe a Leibniz Para la funcioacuten cuyo valor en x es la derivada de f en x se escribe
Se puede escribir la derivada de f en el punto a de dos formas distintas
Si la resultante de f(x) es otra variable por ejemplo si y=f(x) se puede escribir la derivada como
La notacioacuten de Newton para la diferenciacioacuten consiste en poner un punto sobre el nombre de la funcioacuten
y asiacute sucesivamente La notacioacuten de Newton se utiliza principalmente en la mecaacutenica normalmente para las derivadas con respecto al tiempo tales como la velocidad y la aceleracioacuten y en la teoriacutea de ecuaciones diferenciales ordinarias Normalmente soacutelo se utilizan para la primera y segunda derivadas Otra notacioacuten consiste en colocar una letra D mayuacutescula para indicar la operacioacuten de diferenciacioacuten con un subiacutendice que indica la variable sobre la que se derivaraacute
Dxf
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21
que es equivalente a la expresioacuten
En ese contexto se considera a la diferenciacioacuten como una operacioacuten sobre
funciones de modo que los siacutembolos y Dx son llamados operadores diferenciales
DERIVADAS DE FUNCIONES
NOMBRE FUNCIOacuteN DERIVADA
CONSTANTE kxf )( 1)( xf
ALGEBRAICA nxxf )( 1 )( nnxxf
LOGARIacuteTMICA
xxf alog)( )ln(
1)(
axxf
xxf ln)( x
xf1
)(
EXPONENCIAL
xaxf )( )ln()( aaxf x
xexf )( xexf )(
TRIGONOMEacuteTRICAS
xxf sin)( xxf cos)(
xxf cos)( xxf sin)(
xxf tan)( xxf 2 sec)(
xxf sec)( xxxf tansec)(
xxf cot)( xxf 2 csc)(
xxf csc)( xxxf cotcsc)(
FUNCIONES COMPUESTAS
NOMBRE FUNCIOacuteN DERIVADA
SUMA o
DIFERENCIA )()()( xhxgxf )()()( xhxgxf
PRODUCTO )()()( xhxgxf )()()()()( xhxgxhxgxf
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22
COCIENTE )(
)()(
xh
xgxf
)(
)()()()()(
2
xh
xhxgxhxgxf
FUNCIONES INVERSAS
TRIGONOMEacuteTRICAS
xxf 1sin)( 2
1
1)(
xxf
xxf 1cos)( 2
1
1)(
xxf
xxf 1tan)( 2
1
1)(
xxf
Ejemplos
Derivar las siguientes funciones
a
b
c
NOTA El desarrollo algebraico de lo deja al estudiante ELERCICIOS Derivar las siguientes funciones
1 453)( 25 xxxf
2 xxxxf 464)( 42
3 )1)(()( 32 xxxxf (es un producto)
16)(
1)3)(2()(
13)(
2
xxf
xxf
xxf
1128)(
42)(
23
34
xxxf
xxxxf
22
2
22
2
2
)3(
2
)3(
)1)(23()3)(1()(
3
1)(
xx
xx
xx
xxxxxf
xx
xxf
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23
4 3
23)(
x
xxf
5 xxf 3log)(
6 xexf )(
7 xxf 12)(
DERIVADAS SUCESIVAS DE UNA FUNCIOacuteN Regla de la cadena Definicioacuten Sea y = f(u) u = g(x) si g es diferenciable en x y f f es diferenciable en u = g(x) entonces la funcioacuten compuesta definida por f(g(x)) es diferenciable en x y
)()( xgxgfdx
xgdf
En palabras decimos que La derivada de una funcioacuten compuesta es la derivada de la funcioacuten exterior evaluada en la funcioacuten interna por la derivada de la funcioacuten interna DERIVADAS SUPERIORES Las derivadas de orden superior aparecen desde la segunda derivada en adelante consisten en derivar la funcioacuten inmediatamente anterior cuantas veces sea necesario
oacute
para la n-eacutesima derivada de f(x) o y respectivamente Histoacutericamente esto proviene del hecho de que por ejemplo la tercera derivada es
que se puede escribir sin mucho rigor como
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Eliminando las llaves nos da la notacioacuten que estaacute arriba
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CAPITULO III
3 INTEGRAL INDEFINIDA
31 Definicioacuten Llamamos a F una antiderivada de f en el intervalo I si Dx F(x)
= f(x) en I esto es si Facute(x) = f(x) para todo x en I
Teorema 1 Regla de la potencia
Si r es cualquier nuacutemero racional excepto -1 entonces
Cr
xdxx
rr
1
1
Corolario Regla generalizada de la potencia
Cr
xgdxxgxg
rr
1
)()()(
1
Teorema 2 La integral definida es un operador lineal
Sean f y g antiderivadas (integrales indefinidas) y sea k una constante
Entonces
a dxxfkdxxkf )()(
b dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
c dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
32 PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LA ANTIDIFERENCIACIOacuteN
Esta propiedad indica que podemos sacar un factor constante de la integral
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CAPITULO IV
4 MEacuteTODOS DE INTEGRACIOacuteN
Teorema 1 Regla de sustitucioacuten
Sea g una funcioacuten derivable y suponga que F es una antiderivada de f
Entonces u = g(x)
CxgFCuFduufdxxgxgf ))(()()()(
Teorema 2 Integracioacuten por partes
dxxuxvxvxuxvxu )()()()()()(
Teorema 3 Integraciones trigonomeacutetricas
Ejercicios resueltos
Efectuacutee las operaciones de antidiferenciacioacuten que se indican aplicando las
propiedades correspondientes en cada caso
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S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
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4 Solucioacuten
5 Solucioacuten
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6 Solucioacuten
7 Solucioacuten
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AUTOEVALUACIOacuteN PARA CAPIacuteTULOS 1 Y 2
Realice las integrales indicadas
dxx
xf
x
xxe
dtt
d
dxxxc
dxxxb
dxxa
2
2
2
5
5
cos
tan)
1
23)
12
5)
1)
5)
5)
dxxk
dtt
tj
dxxxi
dxxeh
dxxxg
x
2
5
csc)
ln)
1)
)
cos)
Utiliza la tabla de integrales para resolver los siguientes ejercicios
32)
1
32)
53)
169)
23)
2
2
22
2
tt
dte
dxx
xxd
dxxxc
x
dxb
dxxxa
TABLA DE INTEGRALES
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BIBLIOGRAFIacuteA
PURCELL VARBERG RIGDON 2003 Caacutelculo Diferencial e Integral
Pearson Prentice Hall Ecuador
GRANVILLE SMITH LONGLEY 1974 Caacutelculo Diferencial e Integral
Uteha Meacutexico
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5
Administrar su propia microempresa de servicios contables y de
auditoriacutea
SISTEMATIZACIOacuteN DE LAS COMPETENCIAS DEL TECNOacuteLOGO EN
CONTABILIDAD Y AUDITORIacuteA
d) NIVEL COMPETENCIA PRINCIPAL
Aplicar correctamente sus conocimientos micro y macro econoacutemicos en
una planificacioacuten estrateacutegica
Llevar a cabo proyectos de auditoriacutea en su propia microempresa
F) ESCENARIOS DE ACTUACION
El tecnoacutelogo en Contabilidad y Auditoriacutea podraacute desenvolverse en
Empresas del Sector puacuteblico o privado
Empresas nacionales o internacionales
Pymes
Industrias
Bancos
Financieras
ONG
Centros educativos
Su propia microempresa de servicios administrativos
Tecnologiacutea en Administracioacuten de Empresas
G) OCUPACIONES PROFESIONALES
El tecnoacutelogo en Contabilidad y Auditoriacutea podraacute desempentildearse como
Administrador de pequentildeas y medianas empresas
Director departamental
Jefe de oficina
Asesor de pequentildeas y medianas empresas
Funcionario bancario
Administrador de su propia microempresa
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INTRODUCCIOacuteN
La Matemaacutetica Aplicada es una rama de la Matemaacutetica muy utilizada para la
resolucioacuten de problemas praacutecticos que se presentan con frecuencia en la vida
cotidiana Es indispensable que los interesados en incursionar en este estudio
tengan las nociones fundamentales del algebra geometriacutea analiacutetica y
trigonometriacutea Por otro lado es necesario que el alumno este familiarizado con
el manejo de los nuacutemeros reales y haya adquirido cierta praacutectica en la
realizacioacuten de operaciones elementales tanto de igualdad como de
desigualdad
Si usted como estudiante desea aprender esta asignatura es fundamental que
se le dedique el tiempo necesario todos los diacuteas para que exista una
asimilacioacuten correcta de los contenidos
La guiacutea estaacute estructurada en cuatro capiacutetulos que permitiraacuten una mejor
compresioacuten de los conceptos necesarios para dominar la asignatura
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CONTENIDOS
Capiacutetulo I CONTINUIDAD
11 Definicioacuten
12 Continuidad
13 Teoremas sobre continuidad
14 Continuidad uniforme
15 Funciones casi continuas
Capitulo II DERIVADAS
21 Definiciones baacutesicas
22 Interpretacioacuten geomeacutetrica
23 Regla general para derivar funciones
24 Derivadas de funciones algebraicas
25 Derivadas de funciones logariacutetmicas y exponenciales
26 Derivadas de funciones compuestas
27 Derivadas de funciones inversas
Capitulo III INTEGRAL INDEFINIDA
31 Definicioacuten
32 Reglas para integrar funciones elementales e integracioacuten de potencias
33 Potencia
34 Propiedades de integracioacuten
Capitulo IV MEacuteTODOS DE INTEGRACIOacuteN
41 Integracioacuten por sustitucioacuten
42 Integracioacuten por partes
BIBLIOGRAFIacuteA
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COMPETENCIAS
COMPETENCIAS GENERALES
Comprender y aplicar los procesos correspondientes en la
determinacioacuten del la continuidad de una funcioacuten
Aplicar el concepto de la derivada en la diferenciacioacuten de funciones
Comprender y aplicar los procesos correspondientes en la
determinacioacuten del la integracioacuten de funciones
Utilizar y aplicar la integracioacuten de una funcioacuten en la resolucioacuten de
problemas praacutecticos
Entregar las herramientas necesarias de las ciencias exactas para
permitir que el estudiante llegue a un dominio en cuanto al
conocimiento de las matemaacuteticas
COMPETENCIAS POR UNIDADES
Determinar la continuidad o discontinuidad de una funcioacuten
Resolver problemas relativos a la pendiente recta tangente
diferenciabilidad y continuidad de una funcioacuten
Aplicar los teoremas de la diferenciabilidad de funciones algebraicas
en la resolucioacuten de problemas praacutecticos
Calcular las derivadas de funciones trigonomeacutetricas logariacutetmicas
exponenciales y funciones compuestas
Determinar la integracioacuten de funciones con potencias
Integrar funciones por diferentes meacutetodos
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Desarrollar habilidades de interpretar y desarrollo de los procesos
matemaacuteticos
Lograr en el alumno el desarrollo de capacidades para el manejo de
las matemaacuteticas
Avalizar en el estudiante el principio de aprendizaje su capacidad
para receptar y practicar problemas
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REPASO SOBRE LIgraveMITES
El liacutemite es un concepto que describe la tendencia de una sucesioacuten o una funcioacuten a medida que los paraacutemetros de esa sucesioacuten o funcioacuten se acercan a determinado valor En caacutelculo (especialmente en anaacutelisis real y matemaacutetico) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia continuidad derivacioacuten integracioacuten entre otros
LIMITES DE FUNCIONES
Definicioacuten rigurosa
Informalmente se dice que el liacutemite de la funcioacuten f(x) es L cuando x tiende a c y se escribe
Si se puede encontrar para cada ocasioacuten un x suficientemente cerca de c tal que el valor de f(x) sea tan proacuteximo a L como se desee
Ejemplos
1 Determine )54(lim3
xx
7
512
)5)3(4(lim3
x
2 Encuentre 3
6lim
2
3
x
xx
x
5
)23(lim
)2(lim
3
)2)(3(lim
3
3
3
x
x
x
x
x
xx
Teoremas principales sobre los liacutemites
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11
ncx
n
cx
n
cx
n
cx
cx
cx
cx
cxcxcx
cxcxcx
cxcxcx
cxcx
cx
cx
xfxf
xfxf
xg
xf
xg
xf
xgxfxgxf
xgxfxgxf
xgxfxgxf
xfkxkf
cx
kk
)(lim)(lim
)(lim)(lim
)(lim
)(lim
)(
)(lim
)(lim)(lim)()(lim
)(lim)(lim)()(lim
)(lim)(lim)()(lim
)(lim)(lim
lim
lim
Teorema de sustitucioacuten
Sea f una funcioacuten polinomial o una funcioacuten racional entonces
)()(lim cfxfcx
Liacutemites infinitos
Para calcular liacutemites al infinito es necesario dividir cada teacutermino de la
expresioacuten para el x con el mayor exponente y recordar que 01
y
0
1
Ejemplos
Calcular cada uno de los siguientes liacutemites
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12
054
2510lim
10
0
5)5(45
25)5(105lim
5)5(45
25)5(105lim
54
2510lim)
2
2
5
2
2
5
2
2
5
2
2
5
xx
xx
xx
xxa
x
x
x
x
24
13
49
214lim
48
26
49)1(
21)1(4)1(lim
49
214lim
2
2
1
2
2
1
2
2
1
x
xx
x
xx
x
x
x
14
86lim
01
001
4
86
lim
4
86lim)
2
2
22
2
222
2
2
2
xx
xx
x
x
x
x
xx
x
x
x
xx
xxc
x
x
x
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CAPITULO I
1 CONTINUIDAD
11 Definicioacuten Sea f definida en un intervalo abierto que contiene a c
Decimos que f es continua en c si
)()(lim cfxfcx
12 CONTINUIDADA
13 TEOREMAS SOBRE CONTINUIDAD
A Continuidad de funciones polinomiales y racionales
Una funcioacuten polinomial es continua en todo nuacutemero real c Una funcioacuten
racional es continua en todo nuacutemero real c en su dominio esto es en
todas partes excepto en donde el denominador es cero
B Continuidad de las funciones valor absoluto y raiacutez n-eacutesima
La funcioacuten valor absoluto es continua en todo valor real c Si n es impar
la funcioacuten raiacutez n-eacutesima es continua en todo valor real c si n es par la
raiacutez n-eacutesima es continua en todo valor positivo real c
C Continuidad de funciones trigonomeacutetricas
Las funciones seno y coseno son continuas en todo nuacutemero real c Las
funciones tan ctan csc sec son continuas en todo nuacutemero real c en
sus dominio
D Teorema del valor medio
Si f es una funcioacuten definida en un intervalo [ a b ] y sea W un nuacutemero
entre f(a) y f(b) Si f es continua en [ a b ] entonces existe al menos un
nuacutemero c entre a y b tal que f(c) = W
Ejemplos
Determinar la continuidad de las siguientes funciones
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14
a 52)( 2 xxxf
Por ser polinomial es continua en todos los nuacutemeros reales
b 1
1)(
xxf
Como se trata de una funcioacuten racional se puede notar que si x = 1 el
denominador se hace cero y por lo tanto existiriacutea una indeterminacioacuten
entonces es continua en todos los nuacutemeros reales excepto en 1
c 3
32)(
2
x
xxxf
Como podemos observar si x = -3 en el denominador la funcioacuten no
existe por lo tanto podriacuteamos decir que la funcioacuten es discontinua todos
los nuacutemeros reales excepto en -3 pero si facturamos el numerador y
simplificamos
13
)1)(3()(
x
x
xxxf
Podemos concluir que la funcioacuten es polinomial y por lo tanto es continua
en todos los reales (El factoreo es de mucha ayuda en las funciones
polinomiales)
14 CONTINUIDAD UNIFORME
Las funciones polinomiales valor absoluto sen (x) y cos (x) son continuas
de forma uniforme
15 FUNCIONES CASI CONTINUAS
Cualquier otra funcioacuten que no sean las nombradas anteriormente son casi
continuas ya que tienen por lo meno un nuacutemero real donde la funcioacuten no
existe
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EJERCICIOS
Determinar la continuidad de las siguientes funciones
a 5263)( 2 xxxf
b 4
3)(
x
xxf
c 5)( xxf
d 5 4)( xxf
e )2(
)4()(
2
x
xxf
f 2
44)(
2
x
xxxf
g 3
)65()(
2
x
xxxf
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CAPITULO II
2 DERIVADAS
21 DEFINICIOacuteN BAacuteSICA E INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA
En matemaacutetica la derivada de una funcioacuten es uno de los dos conceptos centrales del caacutelculo Las derivadas se definen tomando el liacutemite de la pendiente de las rectas secantes conforme se van aproximando a la recta tangente La derivada de una funcioacuten en un cierto punto es una medida de la tasa en la cual una funcioacuten cambia conforme un argumento se modifica Esto es una derivada involucra en teacuterminos matemaacuteticos una tasa de cambio Una derivada es el caacutelculo de las pendientes instantaacuteneas de f(x) en cada punto x Esto se corresponde a las pendientes de las tangentes de la graacutefica de dicha funcioacuten en el punto dado dichas tangentes pueden ser aproximadas por una secante que pase por dos puntos muy cercanos al punto bajo el que se desea obtener la tangente Las funciones no tienen derivadas en los puntos en donde hay una tangente vertical (la cual tiene una pendiente infinita) una discontinuidad o bien un pico
La Diferenciacioacuten puede ser usada para determinar el cambio que se produce como resultado de otro cambio si estaacute determinada una relacioacuten matemaacutetica entre dos objetos
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Una funcioacuten es diferenciable en un punto x si su derivada existe en ese punto una funcioacuten es diferenciable en un intervalo si lo es en cada punto x perteneciente al intervalo Si una funcioacuten no es continua en c entonces no puede ser diferenciable en c sin embargo aunque una funcioacuten sea continua en c puede no ser diferenciable Es decir toda funcioacuten diferenciable en un punto C es continua en C pero no toda funcioacuten continua en C es diferenciable en C (como f(x) = |x| es continua pero no diferenciable en x = 0)
22 REGLA GENERAL PARA DERIVAR FUNCIONES
Es difiacutecil hallar directamente la pendiente de la recta tangente de una funcioacuten porque soacutelo conocemos un punto de eacutesta el punto donde ha de ser tangente a la funcioacuten Por ello aproximaremos la recta tangente por rectas secantes Cuando tomemos el liacutemite de las pendientes de las secantes proacuteximas obtendremos la pendiente de la recta tangente Para obtener estas pendientes tomemos un nuacutemero arbitrariamente pequentildeo que llamaremos h h representa una pequentildea variacioacuten en x y puede ser tanto positivo como negativo La pendiente de la recta entre los puntos (xf(x)) y (x + hf(x + h)) es
Esta expresioacuten es un cociente diferencial de Newton La derivada de f en x es el liacutemite del valor del cociente diferencial conforme las liacuteneas secantes se acercan maacutes a la tangente
Si la derivada de f existe en cada punto x podemos definir la derivada de f como la funcioacuten cuyo valor en el punto x es la derivada de f en x Puesto que la inmediata sustitucioacuten de h por 0 da como resultado una divisioacuten por cero calcular la derivada directamente puede ser poco intuitivo Una teacutecnica es simplificar el numerador de modo que la h del denominador pueda ser cancelada Esto resulta muy sencillo con funciones poli noacutemicas pero para la mayoriacutea de las funciones resulta demasiado complicado Afortunadamente
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hay reglas generales que facilitan la diferenciacioacuten de la mayoriacutea de las funciones descritas ver abajo Algunos ejemplos de coacutemo utilizar este cociente Ejemplo 1 Consideremos la siguiente funcioacuten
Entonces
Esta funcioacuten es constante para cualquier punto de su dominio vale 5 (por eso f(x+h)=5) Noacutetese el uacuteltimo paso donde h tiende a cero pero no lo toca Si pensamos un poco observaremos que la derivada ademaacutes de ser la pendiente de la recta tangente a la curva es a la vez la recta secante a la misma curva
2 Consideremos la graacutefica de Esta recta tiene una pendiente igual a 2 en cada punto Utilizando el cociente mostrado arriba (junto a los conceptos de liacutemite secante y tangente) podremos determinar las pendientes en los puntos 4 y 5
Entonces
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El valor de la funcioacuten derivada de una recta es igual a la pendiente de la misma 3 Mediante esta diferenciacioacuten se puede calcular la pendiente de una curva Consideremos que
Entonces
Para cualquier punto x la pendiente de la funcioacuten es
NOTACIOacuteN
La notacioacuten maacutes simple para la diferenciacioacuten que se utiliza en la actualidad se debe a Lagrange y utiliza un apoacutestrofo o comilla prime De esta manera se expresan las derivadas de la funcioacuten f(x) en el punto x = a se escribe Para la primera derivada
Para la segunda derivada
Para la tercera derivada y luego de forma general
Para la n-eacutesima derivada (donde normalmente se da que n gt 3)
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Para la funcioacuten cuyo valor en cada x es la derivada de se escribe
De forma similar para la segunda derivada de f se escribe y asiacute sucesivamente La otra notacioacuten comuacuten para la diferenciacioacuten se debe a Leibniz Para la funcioacuten cuyo valor en x es la derivada de f en x se escribe
Se puede escribir la derivada de f en el punto a de dos formas distintas
Si la resultante de f(x) es otra variable por ejemplo si y=f(x) se puede escribir la derivada como
La notacioacuten de Newton para la diferenciacioacuten consiste en poner un punto sobre el nombre de la funcioacuten
y asiacute sucesivamente La notacioacuten de Newton se utiliza principalmente en la mecaacutenica normalmente para las derivadas con respecto al tiempo tales como la velocidad y la aceleracioacuten y en la teoriacutea de ecuaciones diferenciales ordinarias Normalmente soacutelo se utilizan para la primera y segunda derivadas Otra notacioacuten consiste en colocar una letra D mayuacutescula para indicar la operacioacuten de diferenciacioacuten con un subiacutendice que indica la variable sobre la que se derivaraacute
Dxf
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que es equivalente a la expresioacuten
En ese contexto se considera a la diferenciacioacuten como una operacioacuten sobre
funciones de modo que los siacutembolos y Dx son llamados operadores diferenciales
DERIVADAS DE FUNCIONES
NOMBRE FUNCIOacuteN DERIVADA
CONSTANTE kxf )( 1)( xf
ALGEBRAICA nxxf )( 1 )( nnxxf
LOGARIacuteTMICA
xxf alog)( )ln(
1)(
axxf
xxf ln)( x
xf1
)(
EXPONENCIAL
xaxf )( )ln()( aaxf x
xexf )( xexf )(
TRIGONOMEacuteTRICAS
xxf sin)( xxf cos)(
xxf cos)( xxf sin)(
xxf tan)( xxf 2 sec)(
xxf sec)( xxxf tansec)(
xxf cot)( xxf 2 csc)(
xxf csc)( xxxf cotcsc)(
FUNCIONES COMPUESTAS
NOMBRE FUNCIOacuteN DERIVADA
SUMA o
DIFERENCIA )()()( xhxgxf )()()( xhxgxf
PRODUCTO )()()( xhxgxf )()()()()( xhxgxhxgxf
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22
COCIENTE )(
)()(
xh
xgxf
)(
)()()()()(
2
xh
xhxgxhxgxf
FUNCIONES INVERSAS
TRIGONOMEacuteTRICAS
xxf 1sin)( 2
1
1)(
xxf
xxf 1cos)( 2
1
1)(
xxf
xxf 1tan)( 2
1
1)(
xxf
Ejemplos
Derivar las siguientes funciones
a
b
c
NOTA El desarrollo algebraico de lo deja al estudiante ELERCICIOS Derivar las siguientes funciones
1 453)( 25 xxxf
2 xxxxf 464)( 42
3 )1)(()( 32 xxxxf (es un producto)
16)(
1)3)(2()(
13)(
2
xxf
xxf
xxf
1128)(
42)(
23
34
xxxf
xxxxf
22
2
22
2
2
)3(
2
)3(
)1)(23()3)(1()(
3
1)(
xx
xx
xx
xxxxxf
xx
xxf
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23
4 3
23)(
x
xxf
5 xxf 3log)(
6 xexf )(
7 xxf 12)(
DERIVADAS SUCESIVAS DE UNA FUNCIOacuteN Regla de la cadena Definicioacuten Sea y = f(u) u = g(x) si g es diferenciable en x y f f es diferenciable en u = g(x) entonces la funcioacuten compuesta definida por f(g(x)) es diferenciable en x y
)()( xgxgfdx
xgdf
En palabras decimos que La derivada de una funcioacuten compuesta es la derivada de la funcioacuten exterior evaluada en la funcioacuten interna por la derivada de la funcioacuten interna DERIVADAS SUPERIORES Las derivadas de orden superior aparecen desde la segunda derivada en adelante consisten en derivar la funcioacuten inmediatamente anterior cuantas veces sea necesario
oacute
para la n-eacutesima derivada de f(x) o y respectivamente Histoacutericamente esto proviene del hecho de que por ejemplo la tercera derivada es
que se puede escribir sin mucho rigor como
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Eliminando las llaves nos da la notacioacuten que estaacute arriba
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CAPITULO III
3 INTEGRAL INDEFINIDA
31 Definicioacuten Llamamos a F una antiderivada de f en el intervalo I si Dx F(x)
= f(x) en I esto es si Facute(x) = f(x) para todo x en I
Teorema 1 Regla de la potencia
Si r es cualquier nuacutemero racional excepto -1 entonces
Cr
xdxx
rr
1
1
Corolario Regla generalizada de la potencia
Cr
xgdxxgxg
rr
1
)()()(
1
Teorema 2 La integral definida es un operador lineal
Sean f y g antiderivadas (integrales indefinidas) y sea k una constante
Entonces
a dxxfkdxxkf )()(
b dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
c dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
32 PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LA ANTIDIFERENCIACIOacuteN
Esta propiedad indica que podemos sacar un factor constante de la integral
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CAPITULO IV
4 MEacuteTODOS DE INTEGRACIOacuteN
Teorema 1 Regla de sustitucioacuten
Sea g una funcioacuten derivable y suponga que F es una antiderivada de f
Entonces u = g(x)
CxgFCuFduufdxxgxgf ))(()()()(
Teorema 2 Integracioacuten por partes
dxxuxvxvxuxvxu )()()()()()(
Teorema 3 Integraciones trigonomeacutetricas
Ejercicios resueltos
Efectuacutee las operaciones de antidiferenciacioacuten que se indican aplicando las
propiedades correspondientes en cada caso
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1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
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4 Solucioacuten
5 Solucioacuten
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6 Solucioacuten
7 Solucioacuten
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AUTOEVALUACIOacuteN PARA CAPIacuteTULOS 1 Y 2
Realice las integrales indicadas
dxx
xf
x
xxe
dtt
d
dxxxc
dxxxb
dxxa
2
2
2
5
5
cos
tan)
1
23)
12
5)
1)
5)
5)
dxxk
dtt
tj
dxxxi
dxxeh
dxxxg
x
2
5
csc)
ln)
1)
)
cos)
Utiliza la tabla de integrales para resolver los siguientes ejercicios
32)
1
32)
53)
169)
23)
2
2
22
2
tt
dte
dxx
xxd
dxxxc
x
dxb
dxxxa
TABLA DE INTEGRALES
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BIBLIOGRAFIacuteA
PURCELL VARBERG RIGDON 2003 Caacutelculo Diferencial e Integral
Pearson Prentice Hall Ecuador
GRANVILLE SMITH LONGLEY 1974 Caacutelculo Diferencial e Integral
Uteha Meacutexico
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INTRODUCCIOacuteN
La Matemaacutetica Aplicada es una rama de la Matemaacutetica muy utilizada para la
resolucioacuten de problemas praacutecticos que se presentan con frecuencia en la vida
cotidiana Es indispensable que los interesados en incursionar en este estudio
tengan las nociones fundamentales del algebra geometriacutea analiacutetica y
trigonometriacutea Por otro lado es necesario que el alumno este familiarizado con
el manejo de los nuacutemeros reales y haya adquirido cierta praacutectica en la
realizacioacuten de operaciones elementales tanto de igualdad como de
desigualdad
Si usted como estudiante desea aprender esta asignatura es fundamental que
se le dedique el tiempo necesario todos los diacuteas para que exista una
asimilacioacuten correcta de los contenidos
La guiacutea estaacute estructurada en cuatro capiacutetulos que permitiraacuten una mejor
compresioacuten de los conceptos necesarios para dominar la asignatura
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CONTENIDOS
Capiacutetulo I CONTINUIDAD
11 Definicioacuten
12 Continuidad
13 Teoremas sobre continuidad
14 Continuidad uniforme
15 Funciones casi continuas
Capitulo II DERIVADAS
21 Definiciones baacutesicas
22 Interpretacioacuten geomeacutetrica
23 Regla general para derivar funciones
24 Derivadas de funciones algebraicas
25 Derivadas de funciones logariacutetmicas y exponenciales
26 Derivadas de funciones compuestas
27 Derivadas de funciones inversas
Capitulo III INTEGRAL INDEFINIDA
31 Definicioacuten
32 Reglas para integrar funciones elementales e integracioacuten de potencias
33 Potencia
34 Propiedades de integracioacuten
Capitulo IV MEacuteTODOS DE INTEGRACIOacuteN
41 Integracioacuten por sustitucioacuten
42 Integracioacuten por partes
BIBLIOGRAFIacuteA
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8
COMPETENCIAS
COMPETENCIAS GENERALES
Comprender y aplicar los procesos correspondientes en la
determinacioacuten del la continuidad de una funcioacuten
Aplicar el concepto de la derivada en la diferenciacioacuten de funciones
Comprender y aplicar los procesos correspondientes en la
determinacioacuten del la integracioacuten de funciones
Utilizar y aplicar la integracioacuten de una funcioacuten en la resolucioacuten de
problemas praacutecticos
Entregar las herramientas necesarias de las ciencias exactas para
permitir que el estudiante llegue a un dominio en cuanto al
conocimiento de las matemaacuteticas
COMPETENCIAS POR UNIDADES
Determinar la continuidad o discontinuidad de una funcioacuten
Resolver problemas relativos a la pendiente recta tangente
diferenciabilidad y continuidad de una funcioacuten
Aplicar los teoremas de la diferenciabilidad de funciones algebraicas
en la resolucioacuten de problemas praacutecticos
Calcular las derivadas de funciones trigonomeacutetricas logariacutetmicas
exponenciales y funciones compuestas
Determinar la integracioacuten de funciones con potencias
Integrar funciones por diferentes meacutetodos
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Desarrollar habilidades de interpretar y desarrollo de los procesos
matemaacuteticos
Lograr en el alumno el desarrollo de capacidades para el manejo de
las matemaacuteticas
Avalizar en el estudiante el principio de aprendizaje su capacidad
para receptar y practicar problemas
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REPASO SOBRE LIgraveMITES
El liacutemite es un concepto que describe la tendencia de una sucesioacuten o una funcioacuten a medida que los paraacutemetros de esa sucesioacuten o funcioacuten se acercan a determinado valor En caacutelculo (especialmente en anaacutelisis real y matemaacutetico) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia continuidad derivacioacuten integracioacuten entre otros
LIMITES DE FUNCIONES
Definicioacuten rigurosa
Informalmente se dice que el liacutemite de la funcioacuten f(x) es L cuando x tiende a c y se escribe
Si se puede encontrar para cada ocasioacuten un x suficientemente cerca de c tal que el valor de f(x) sea tan proacuteximo a L como se desee
Ejemplos
1 Determine )54(lim3
xx
7
512
)5)3(4(lim3
x
2 Encuentre 3
6lim
2
3
x
xx
x
5
)23(lim
)2(lim
3
)2)(3(lim
3
3
3
x
x
x
x
x
xx
Teoremas principales sobre los liacutemites
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11
ncx
n
cx
n
cx
n
cx
cx
cx
cx
cxcxcx
cxcxcx
cxcxcx
cxcx
cx
cx
xfxf
xfxf
xg
xf
xg
xf
xgxfxgxf
xgxfxgxf
xgxfxgxf
xfkxkf
cx
kk
)(lim)(lim
)(lim)(lim
)(lim
)(lim
)(
)(lim
)(lim)(lim)()(lim
)(lim)(lim)()(lim
)(lim)(lim)()(lim
)(lim)(lim
lim
lim
Teorema de sustitucioacuten
Sea f una funcioacuten polinomial o una funcioacuten racional entonces
)()(lim cfxfcx
Liacutemites infinitos
Para calcular liacutemites al infinito es necesario dividir cada teacutermino de la
expresioacuten para el x con el mayor exponente y recordar que 01
y
0
1
Ejemplos
Calcular cada uno de los siguientes liacutemites
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12
054
2510lim
10
0
5)5(45
25)5(105lim
5)5(45
25)5(105lim
54
2510lim)
2
2
5
2
2
5
2
2
5
2
2
5
xx
xx
xx
xxa
x
x
x
x
24
13
49
214lim
48
26
49)1(
21)1(4)1(lim
49
214lim
2
2
1
2
2
1
2
2
1
x
xx
x
xx
x
x
x
14
86lim
01
001
4
86
lim
4
86lim)
2
2
22
2
222
2
2
2
xx
xx
x
x
x
x
xx
x
x
x
xx
xxc
x
x
x
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13
CAPITULO I
1 CONTINUIDAD
11 Definicioacuten Sea f definida en un intervalo abierto que contiene a c
Decimos que f es continua en c si
)()(lim cfxfcx
12 CONTINUIDADA
13 TEOREMAS SOBRE CONTINUIDAD
A Continuidad de funciones polinomiales y racionales
Una funcioacuten polinomial es continua en todo nuacutemero real c Una funcioacuten
racional es continua en todo nuacutemero real c en su dominio esto es en
todas partes excepto en donde el denominador es cero
B Continuidad de las funciones valor absoluto y raiacutez n-eacutesima
La funcioacuten valor absoluto es continua en todo valor real c Si n es impar
la funcioacuten raiacutez n-eacutesima es continua en todo valor real c si n es par la
raiacutez n-eacutesima es continua en todo valor positivo real c
C Continuidad de funciones trigonomeacutetricas
Las funciones seno y coseno son continuas en todo nuacutemero real c Las
funciones tan ctan csc sec son continuas en todo nuacutemero real c en
sus dominio
D Teorema del valor medio
Si f es una funcioacuten definida en un intervalo [ a b ] y sea W un nuacutemero
entre f(a) y f(b) Si f es continua en [ a b ] entonces existe al menos un
nuacutemero c entre a y b tal que f(c) = W
Ejemplos
Determinar la continuidad de las siguientes funciones
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14
a 52)( 2 xxxf
Por ser polinomial es continua en todos los nuacutemeros reales
b 1
1)(
xxf
Como se trata de una funcioacuten racional se puede notar que si x = 1 el
denominador se hace cero y por lo tanto existiriacutea una indeterminacioacuten
entonces es continua en todos los nuacutemeros reales excepto en 1
c 3
32)(
2
x
xxxf
Como podemos observar si x = -3 en el denominador la funcioacuten no
existe por lo tanto podriacuteamos decir que la funcioacuten es discontinua todos
los nuacutemeros reales excepto en -3 pero si facturamos el numerador y
simplificamos
13
)1)(3()(
x
x
xxxf
Podemos concluir que la funcioacuten es polinomial y por lo tanto es continua
en todos los reales (El factoreo es de mucha ayuda en las funciones
polinomiales)
14 CONTINUIDAD UNIFORME
Las funciones polinomiales valor absoluto sen (x) y cos (x) son continuas
de forma uniforme
15 FUNCIONES CASI CONTINUAS
Cualquier otra funcioacuten que no sean las nombradas anteriormente son casi
continuas ya que tienen por lo meno un nuacutemero real donde la funcioacuten no
existe
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EJERCICIOS
Determinar la continuidad de las siguientes funciones
a 5263)( 2 xxxf
b 4
3)(
x
xxf
c 5)( xxf
d 5 4)( xxf
e )2(
)4()(
2
x
xxf
f 2
44)(
2
x
xxxf
g 3
)65()(
2
x
xxxf
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16
CAPITULO II
2 DERIVADAS
21 DEFINICIOacuteN BAacuteSICA E INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA
En matemaacutetica la derivada de una funcioacuten es uno de los dos conceptos centrales del caacutelculo Las derivadas se definen tomando el liacutemite de la pendiente de las rectas secantes conforme se van aproximando a la recta tangente La derivada de una funcioacuten en un cierto punto es una medida de la tasa en la cual una funcioacuten cambia conforme un argumento se modifica Esto es una derivada involucra en teacuterminos matemaacuteticos una tasa de cambio Una derivada es el caacutelculo de las pendientes instantaacuteneas de f(x) en cada punto x Esto se corresponde a las pendientes de las tangentes de la graacutefica de dicha funcioacuten en el punto dado dichas tangentes pueden ser aproximadas por una secante que pase por dos puntos muy cercanos al punto bajo el que se desea obtener la tangente Las funciones no tienen derivadas en los puntos en donde hay una tangente vertical (la cual tiene una pendiente infinita) una discontinuidad o bien un pico
La Diferenciacioacuten puede ser usada para determinar el cambio que se produce como resultado de otro cambio si estaacute determinada una relacioacuten matemaacutetica entre dos objetos
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Una funcioacuten es diferenciable en un punto x si su derivada existe en ese punto una funcioacuten es diferenciable en un intervalo si lo es en cada punto x perteneciente al intervalo Si una funcioacuten no es continua en c entonces no puede ser diferenciable en c sin embargo aunque una funcioacuten sea continua en c puede no ser diferenciable Es decir toda funcioacuten diferenciable en un punto C es continua en C pero no toda funcioacuten continua en C es diferenciable en C (como f(x) = |x| es continua pero no diferenciable en x = 0)
22 REGLA GENERAL PARA DERIVAR FUNCIONES
Es difiacutecil hallar directamente la pendiente de la recta tangente de una funcioacuten porque soacutelo conocemos un punto de eacutesta el punto donde ha de ser tangente a la funcioacuten Por ello aproximaremos la recta tangente por rectas secantes Cuando tomemos el liacutemite de las pendientes de las secantes proacuteximas obtendremos la pendiente de la recta tangente Para obtener estas pendientes tomemos un nuacutemero arbitrariamente pequentildeo que llamaremos h h representa una pequentildea variacioacuten en x y puede ser tanto positivo como negativo La pendiente de la recta entre los puntos (xf(x)) y (x + hf(x + h)) es
Esta expresioacuten es un cociente diferencial de Newton La derivada de f en x es el liacutemite del valor del cociente diferencial conforme las liacuteneas secantes se acercan maacutes a la tangente
Si la derivada de f existe en cada punto x podemos definir la derivada de f como la funcioacuten cuyo valor en el punto x es la derivada de f en x Puesto que la inmediata sustitucioacuten de h por 0 da como resultado una divisioacuten por cero calcular la derivada directamente puede ser poco intuitivo Una teacutecnica es simplificar el numerador de modo que la h del denominador pueda ser cancelada Esto resulta muy sencillo con funciones poli noacutemicas pero para la mayoriacutea de las funciones resulta demasiado complicado Afortunadamente
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hay reglas generales que facilitan la diferenciacioacuten de la mayoriacutea de las funciones descritas ver abajo Algunos ejemplos de coacutemo utilizar este cociente Ejemplo 1 Consideremos la siguiente funcioacuten
Entonces
Esta funcioacuten es constante para cualquier punto de su dominio vale 5 (por eso f(x+h)=5) Noacutetese el uacuteltimo paso donde h tiende a cero pero no lo toca Si pensamos un poco observaremos que la derivada ademaacutes de ser la pendiente de la recta tangente a la curva es a la vez la recta secante a la misma curva
2 Consideremos la graacutefica de Esta recta tiene una pendiente igual a 2 en cada punto Utilizando el cociente mostrado arriba (junto a los conceptos de liacutemite secante y tangente) podremos determinar las pendientes en los puntos 4 y 5
Entonces
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El valor de la funcioacuten derivada de una recta es igual a la pendiente de la misma 3 Mediante esta diferenciacioacuten se puede calcular la pendiente de una curva Consideremos que
Entonces
Para cualquier punto x la pendiente de la funcioacuten es
NOTACIOacuteN
La notacioacuten maacutes simple para la diferenciacioacuten que se utiliza en la actualidad se debe a Lagrange y utiliza un apoacutestrofo o comilla prime De esta manera se expresan las derivadas de la funcioacuten f(x) en el punto x = a se escribe Para la primera derivada
Para la segunda derivada
Para la tercera derivada y luego de forma general
Para la n-eacutesima derivada (donde normalmente se da que n gt 3)
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Para la funcioacuten cuyo valor en cada x es la derivada de se escribe
De forma similar para la segunda derivada de f se escribe y asiacute sucesivamente La otra notacioacuten comuacuten para la diferenciacioacuten se debe a Leibniz Para la funcioacuten cuyo valor en x es la derivada de f en x se escribe
Se puede escribir la derivada de f en el punto a de dos formas distintas
Si la resultante de f(x) es otra variable por ejemplo si y=f(x) se puede escribir la derivada como
La notacioacuten de Newton para la diferenciacioacuten consiste en poner un punto sobre el nombre de la funcioacuten
y asiacute sucesivamente La notacioacuten de Newton se utiliza principalmente en la mecaacutenica normalmente para las derivadas con respecto al tiempo tales como la velocidad y la aceleracioacuten y en la teoriacutea de ecuaciones diferenciales ordinarias Normalmente soacutelo se utilizan para la primera y segunda derivadas Otra notacioacuten consiste en colocar una letra D mayuacutescula para indicar la operacioacuten de diferenciacioacuten con un subiacutendice que indica la variable sobre la que se derivaraacute
Dxf
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21
que es equivalente a la expresioacuten
En ese contexto se considera a la diferenciacioacuten como una operacioacuten sobre
funciones de modo que los siacutembolos y Dx son llamados operadores diferenciales
DERIVADAS DE FUNCIONES
NOMBRE FUNCIOacuteN DERIVADA
CONSTANTE kxf )( 1)( xf
ALGEBRAICA nxxf )( 1 )( nnxxf
LOGARIacuteTMICA
xxf alog)( )ln(
1)(
axxf
xxf ln)( x
xf1
)(
EXPONENCIAL
xaxf )( )ln()( aaxf x
xexf )( xexf )(
TRIGONOMEacuteTRICAS
xxf sin)( xxf cos)(
xxf cos)( xxf sin)(
xxf tan)( xxf 2 sec)(
xxf sec)( xxxf tansec)(
xxf cot)( xxf 2 csc)(
xxf csc)( xxxf cotcsc)(
FUNCIONES COMPUESTAS
NOMBRE FUNCIOacuteN DERIVADA
SUMA o
DIFERENCIA )()()( xhxgxf )()()( xhxgxf
PRODUCTO )()()( xhxgxf )()()()()( xhxgxhxgxf
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COCIENTE )(
)()(
xh
xgxf
)(
)()()()()(
2
xh
xhxgxhxgxf
FUNCIONES INVERSAS
TRIGONOMEacuteTRICAS
xxf 1sin)( 2
1
1)(
xxf
xxf 1cos)( 2
1
1)(
xxf
xxf 1tan)( 2
1
1)(
xxf
Ejemplos
Derivar las siguientes funciones
a
b
c
NOTA El desarrollo algebraico de lo deja al estudiante ELERCICIOS Derivar las siguientes funciones
1 453)( 25 xxxf
2 xxxxf 464)( 42
3 )1)(()( 32 xxxxf (es un producto)
16)(
1)3)(2()(
13)(
2
xxf
xxf
xxf
1128)(
42)(
23
34
xxxf
xxxxf
22
2
22
2
2
)3(
2
)3(
)1)(23()3)(1()(
3
1)(
xx
xx
xx
xxxxxf
xx
xxf
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23
4 3
23)(
x
xxf
5 xxf 3log)(
6 xexf )(
7 xxf 12)(
DERIVADAS SUCESIVAS DE UNA FUNCIOacuteN Regla de la cadena Definicioacuten Sea y = f(u) u = g(x) si g es diferenciable en x y f f es diferenciable en u = g(x) entonces la funcioacuten compuesta definida por f(g(x)) es diferenciable en x y
)()( xgxgfdx
xgdf
En palabras decimos que La derivada de una funcioacuten compuesta es la derivada de la funcioacuten exterior evaluada en la funcioacuten interna por la derivada de la funcioacuten interna DERIVADAS SUPERIORES Las derivadas de orden superior aparecen desde la segunda derivada en adelante consisten en derivar la funcioacuten inmediatamente anterior cuantas veces sea necesario
oacute
para la n-eacutesima derivada de f(x) o y respectivamente Histoacutericamente esto proviene del hecho de que por ejemplo la tercera derivada es
que se puede escribir sin mucho rigor como
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Eliminando las llaves nos da la notacioacuten que estaacute arriba
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CAPITULO III
3 INTEGRAL INDEFINIDA
31 Definicioacuten Llamamos a F una antiderivada de f en el intervalo I si Dx F(x)
= f(x) en I esto es si Facute(x) = f(x) para todo x en I
Teorema 1 Regla de la potencia
Si r es cualquier nuacutemero racional excepto -1 entonces
Cr
xdxx
rr
1
1
Corolario Regla generalizada de la potencia
Cr
xgdxxgxg
rr
1
)()()(
1
Teorema 2 La integral definida es un operador lineal
Sean f y g antiderivadas (integrales indefinidas) y sea k una constante
Entonces
a dxxfkdxxkf )()(
b dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
c dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
32 PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LA ANTIDIFERENCIACIOacuteN
Esta propiedad indica que podemos sacar un factor constante de la integral
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CAPITULO IV
4 MEacuteTODOS DE INTEGRACIOacuteN
Teorema 1 Regla de sustitucioacuten
Sea g una funcioacuten derivable y suponga que F es una antiderivada de f
Entonces u = g(x)
CxgFCuFduufdxxgxgf ))(()()()(
Teorema 2 Integracioacuten por partes
dxxuxvxvxuxvxu )()()()()()(
Teorema 3 Integraciones trigonomeacutetricas
Ejercicios resueltos
Efectuacutee las operaciones de antidiferenciacioacuten que se indican aplicando las
propiedades correspondientes en cada caso
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S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
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4 Solucioacuten
5 Solucioacuten
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31
6 Solucioacuten
7 Solucioacuten
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AUTOEVALUACIOacuteN PARA CAPIacuteTULOS 1 Y 2
Realice las integrales indicadas
dxx
xf
x
xxe
dtt
d
dxxxc
dxxxb
dxxa
2
2
2
5
5
cos
tan)
1
23)
12
5)
1)
5)
5)
dxxk
dtt
tj
dxxxi
dxxeh
dxxxg
x
2
5
csc)
ln)
1)
)
cos)
Utiliza la tabla de integrales para resolver los siguientes ejercicios
32)
1
32)
53)
169)
23)
2
2
22
2
tt
dte
dxx
xxd
dxxxc
x
dxb
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BIBLIOGRAFIacuteA
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CONTENIDOS
Capiacutetulo I CONTINUIDAD
11 Definicioacuten
12 Continuidad
13 Teoremas sobre continuidad
14 Continuidad uniforme
15 Funciones casi continuas
Capitulo II DERIVADAS
21 Definiciones baacutesicas
22 Interpretacioacuten geomeacutetrica
23 Regla general para derivar funciones
24 Derivadas de funciones algebraicas
25 Derivadas de funciones logariacutetmicas y exponenciales
26 Derivadas de funciones compuestas
27 Derivadas de funciones inversas
Capitulo III INTEGRAL INDEFINIDA
31 Definicioacuten
32 Reglas para integrar funciones elementales e integracioacuten de potencias
33 Potencia
34 Propiedades de integracioacuten
Capitulo IV MEacuteTODOS DE INTEGRACIOacuteN
41 Integracioacuten por sustitucioacuten
42 Integracioacuten por partes
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COMPETENCIAS
COMPETENCIAS GENERALES
Comprender y aplicar los procesos correspondientes en la
determinacioacuten del la continuidad de una funcioacuten
Aplicar el concepto de la derivada en la diferenciacioacuten de funciones
Comprender y aplicar los procesos correspondientes en la
determinacioacuten del la integracioacuten de funciones
Utilizar y aplicar la integracioacuten de una funcioacuten en la resolucioacuten de
problemas praacutecticos
Entregar las herramientas necesarias de las ciencias exactas para
permitir que el estudiante llegue a un dominio en cuanto al
conocimiento de las matemaacuteticas
COMPETENCIAS POR UNIDADES
Determinar la continuidad o discontinuidad de una funcioacuten
Resolver problemas relativos a la pendiente recta tangente
diferenciabilidad y continuidad de una funcioacuten
Aplicar los teoremas de la diferenciabilidad de funciones algebraicas
en la resolucioacuten de problemas praacutecticos
Calcular las derivadas de funciones trigonomeacutetricas logariacutetmicas
exponenciales y funciones compuestas
Determinar la integracioacuten de funciones con potencias
Integrar funciones por diferentes meacutetodos
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SEMIPRESENCIAL
VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
9
Desarrollar habilidades de interpretar y desarrollo de los procesos
matemaacuteticos
Lograr en el alumno el desarrollo de capacidades para el manejo de
las matemaacuteticas
Avalizar en el estudiante el principio de aprendizaje su capacidad
para receptar y practicar problemas
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10
REPASO SOBRE LIgraveMITES
El liacutemite es un concepto que describe la tendencia de una sucesioacuten o una funcioacuten a medida que los paraacutemetros de esa sucesioacuten o funcioacuten se acercan a determinado valor En caacutelculo (especialmente en anaacutelisis real y matemaacutetico) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia continuidad derivacioacuten integracioacuten entre otros
LIMITES DE FUNCIONES
Definicioacuten rigurosa
Informalmente se dice que el liacutemite de la funcioacuten f(x) es L cuando x tiende a c y se escribe
Si se puede encontrar para cada ocasioacuten un x suficientemente cerca de c tal que el valor de f(x) sea tan proacuteximo a L como se desee
Ejemplos
1 Determine )54(lim3
xx
7
512
)5)3(4(lim3
x
2 Encuentre 3
6lim
2
3
x
xx
x
5
)23(lim
)2(lim
3
)2)(3(lim
3
3
3
x
x
x
x
x
xx
Teoremas principales sobre los liacutemites
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11
ncx
n
cx
n
cx
n
cx
cx
cx
cx
cxcxcx
cxcxcx
cxcxcx
cxcx
cx
cx
xfxf
xfxf
xg
xf
xg
xf
xgxfxgxf
xgxfxgxf
xgxfxgxf
xfkxkf
cx
kk
)(lim)(lim
)(lim)(lim
)(lim
)(lim
)(
)(lim
)(lim)(lim)()(lim
)(lim)(lim)()(lim
)(lim)(lim)()(lim
)(lim)(lim
lim
lim
Teorema de sustitucioacuten
Sea f una funcioacuten polinomial o una funcioacuten racional entonces
)()(lim cfxfcx
Liacutemites infinitos
Para calcular liacutemites al infinito es necesario dividir cada teacutermino de la
expresioacuten para el x con el mayor exponente y recordar que 01
y
0
1
Ejemplos
Calcular cada uno de los siguientes liacutemites
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12
054
2510lim
10
0
5)5(45
25)5(105lim
5)5(45
25)5(105lim
54
2510lim)
2
2
5
2
2
5
2
2
5
2
2
5
xx
xx
xx
xxa
x
x
x
x
24
13
49
214lim
48
26
49)1(
21)1(4)1(lim
49
214lim
2
2
1
2
2
1
2
2
1
x
xx
x
xx
x
x
x
14
86lim
01
001
4
86
lim
4
86lim)
2
2
22
2
222
2
2
2
xx
xx
x
x
x
x
xx
x
x
x
xx
xxc
x
x
x
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13
CAPITULO I
1 CONTINUIDAD
11 Definicioacuten Sea f definida en un intervalo abierto que contiene a c
Decimos que f es continua en c si
)()(lim cfxfcx
12 CONTINUIDADA
13 TEOREMAS SOBRE CONTINUIDAD
A Continuidad de funciones polinomiales y racionales
Una funcioacuten polinomial es continua en todo nuacutemero real c Una funcioacuten
racional es continua en todo nuacutemero real c en su dominio esto es en
todas partes excepto en donde el denominador es cero
B Continuidad de las funciones valor absoluto y raiacutez n-eacutesima
La funcioacuten valor absoluto es continua en todo valor real c Si n es impar
la funcioacuten raiacutez n-eacutesima es continua en todo valor real c si n es par la
raiacutez n-eacutesima es continua en todo valor positivo real c
C Continuidad de funciones trigonomeacutetricas
Las funciones seno y coseno son continuas en todo nuacutemero real c Las
funciones tan ctan csc sec son continuas en todo nuacutemero real c en
sus dominio
D Teorema del valor medio
Si f es una funcioacuten definida en un intervalo [ a b ] y sea W un nuacutemero
entre f(a) y f(b) Si f es continua en [ a b ] entonces existe al menos un
nuacutemero c entre a y b tal que f(c) = W
Ejemplos
Determinar la continuidad de las siguientes funciones
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14
a 52)( 2 xxxf
Por ser polinomial es continua en todos los nuacutemeros reales
b 1
1)(
xxf
Como se trata de una funcioacuten racional se puede notar que si x = 1 el
denominador se hace cero y por lo tanto existiriacutea una indeterminacioacuten
entonces es continua en todos los nuacutemeros reales excepto en 1
c 3
32)(
2
x
xxxf
Como podemos observar si x = -3 en el denominador la funcioacuten no
existe por lo tanto podriacuteamos decir que la funcioacuten es discontinua todos
los nuacutemeros reales excepto en -3 pero si facturamos el numerador y
simplificamos
13
)1)(3()(
x
x
xxxf
Podemos concluir que la funcioacuten es polinomial y por lo tanto es continua
en todos los reales (El factoreo es de mucha ayuda en las funciones
polinomiales)
14 CONTINUIDAD UNIFORME
Las funciones polinomiales valor absoluto sen (x) y cos (x) son continuas
de forma uniforme
15 FUNCIONES CASI CONTINUAS
Cualquier otra funcioacuten que no sean las nombradas anteriormente son casi
continuas ya que tienen por lo meno un nuacutemero real donde la funcioacuten no
existe
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15
EJERCICIOS
Determinar la continuidad de las siguientes funciones
a 5263)( 2 xxxf
b 4
3)(
x
xxf
c 5)( xxf
d 5 4)( xxf
e )2(
)4()(
2
x
xxf
f 2
44)(
2
x
xxxf
g 3
)65()(
2
x
xxxf
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16
CAPITULO II
2 DERIVADAS
21 DEFINICIOacuteN BAacuteSICA E INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA
En matemaacutetica la derivada de una funcioacuten es uno de los dos conceptos centrales del caacutelculo Las derivadas se definen tomando el liacutemite de la pendiente de las rectas secantes conforme se van aproximando a la recta tangente La derivada de una funcioacuten en un cierto punto es una medida de la tasa en la cual una funcioacuten cambia conforme un argumento se modifica Esto es una derivada involucra en teacuterminos matemaacuteticos una tasa de cambio Una derivada es el caacutelculo de las pendientes instantaacuteneas de f(x) en cada punto x Esto se corresponde a las pendientes de las tangentes de la graacutefica de dicha funcioacuten en el punto dado dichas tangentes pueden ser aproximadas por una secante que pase por dos puntos muy cercanos al punto bajo el que se desea obtener la tangente Las funciones no tienen derivadas en los puntos en donde hay una tangente vertical (la cual tiene una pendiente infinita) una discontinuidad o bien un pico
La Diferenciacioacuten puede ser usada para determinar el cambio que se produce como resultado de otro cambio si estaacute determinada una relacioacuten matemaacutetica entre dos objetos
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Una funcioacuten es diferenciable en un punto x si su derivada existe en ese punto una funcioacuten es diferenciable en un intervalo si lo es en cada punto x perteneciente al intervalo Si una funcioacuten no es continua en c entonces no puede ser diferenciable en c sin embargo aunque una funcioacuten sea continua en c puede no ser diferenciable Es decir toda funcioacuten diferenciable en un punto C es continua en C pero no toda funcioacuten continua en C es diferenciable en C (como f(x) = |x| es continua pero no diferenciable en x = 0)
22 REGLA GENERAL PARA DERIVAR FUNCIONES
Es difiacutecil hallar directamente la pendiente de la recta tangente de una funcioacuten porque soacutelo conocemos un punto de eacutesta el punto donde ha de ser tangente a la funcioacuten Por ello aproximaremos la recta tangente por rectas secantes Cuando tomemos el liacutemite de las pendientes de las secantes proacuteximas obtendremos la pendiente de la recta tangente Para obtener estas pendientes tomemos un nuacutemero arbitrariamente pequentildeo que llamaremos h h representa una pequentildea variacioacuten en x y puede ser tanto positivo como negativo La pendiente de la recta entre los puntos (xf(x)) y (x + hf(x + h)) es
Esta expresioacuten es un cociente diferencial de Newton La derivada de f en x es el liacutemite del valor del cociente diferencial conforme las liacuteneas secantes se acercan maacutes a la tangente
Si la derivada de f existe en cada punto x podemos definir la derivada de f como la funcioacuten cuyo valor en el punto x es la derivada de f en x Puesto que la inmediata sustitucioacuten de h por 0 da como resultado una divisioacuten por cero calcular la derivada directamente puede ser poco intuitivo Una teacutecnica es simplificar el numerador de modo que la h del denominador pueda ser cancelada Esto resulta muy sencillo con funciones poli noacutemicas pero para la mayoriacutea de las funciones resulta demasiado complicado Afortunadamente
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hay reglas generales que facilitan la diferenciacioacuten de la mayoriacutea de las funciones descritas ver abajo Algunos ejemplos de coacutemo utilizar este cociente Ejemplo 1 Consideremos la siguiente funcioacuten
Entonces
Esta funcioacuten es constante para cualquier punto de su dominio vale 5 (por eso f(x+h)=5) Noacutetese el uacuteltimo paso donde h tiende a cero pero no lo toca Si pensamos un poco observaremos que la derivada ademaacutes de ser la pendiente de la recta tangente a la curva es a la vez la recta secante a la misma curva
2 Consideremos la graacutefica de Esta recta tiene una pendiente igual a 2 en cada punto Utilizando el cociente mostrado arriba (junto a los conceptos de liacutemite secante y tangente) podremos determinar las pendientes en los puntos 4 y 5
Entonces
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El valor de la funcioacuten derivada de una recta es igual a la pendiente de la misma 3 Mediante esta diferenciacioacuten se puede calcular la pendiente de una curva Consideremos que
Entonces
Para cualquier punto x la pendiente de la funcioacuten es
NOTACIOacuteN
La notacioacuten maacutes simple para la diferenciacioacuten que se utiliza en la actualidad se debe a Lagrange y utiliza un apoacutestrofo o comilla prime De esta manera se expresan las derivadas de la funcioacuten f(x) en el punto x = a se escribe Para la primera derivada
Para la segunda derivada
Para la tercera derivada y luego de forma general
Para la n-eacutesima derivada (donde normalmente se da que n gt 3)
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Para la funcioacuten cuyo valor en cada x es la derivada de se escribe
De forma similar para la segunda derivada de f se escribe y asiacute sucesivamente La otra notacioacuten comuacuten para la diferenciacioacuten se debe a Leibniz Para la funcioacuten cuyo valor en x es la derivada de f en x se escribe
Se puede escribir la derivada de f en el punto a de dos formas distintas
Si la resultante de f(x) es otra variable por ejemplo si y=f(x) se puede escribir la derivada como
La notacioacuten de Newton para la diferenciacioacuten consiste en poner un punto sobre el nombre de la funcioacuten
y asiacute sucesivamente La notacioacuten de Newton se utiliza principalmente en la mecaacutenica normalmente para las derivadas con respecto al tiempo tales como la velocidad y la aceleracioacuten y en la teoriacutea de ecuaciones diferenciales ordinarias Normalmente soacutelo se utilizan para la primera y segunda derivadas Otra notacioacuten consiste en colocar una letra D mayuacutescula para indicar la operacioacuten de diferenciacioacuten con un subiacutendice que indica la variable sobre la que se derivaraacute
Dxf
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que es equivalente a la expresioacuten
En ese contexto se considera a la diferenciacioacuten como una operacioacuten sobre
funciones de modo que los siacutembolos y Dx son llamados operadores diferenciales
DERIVADAS DE FUNCIONES
NOMBRE FUNCIOacuteN DERIVADA
CONSTANTE kxf )( 1)( xf
ALGEBRAICA nxxf )( 1 )( nnxxf
LOGARIacuteTMICA
xxf alog)( )ln(
1)(
axxf
xxf ln)( x
xf1
)(
EXPONENCIAL
xaxf )( )ln()( aaxf x
xexf )( xexf )(
TRIGONOMEacuteTRICAS
xxf sin)( xxf cos)(
xxf cos)( xxf sin)(
xxf tan)( xxf 2 sec)(
xxf sec)( xxxf tansec)(
xxf cot)( xxf 2 csc)(
xxf csc)( xxxf cotcsc)(
FUNCIONES COMPUESTAS
NOMBRE FUNCIOacuteN DERIVADA
SUMA o
DIFERENCIA )()()( xhxgxf )()()( xhxgxf
PRODUCTO )()()( xhxgxf )()()()()( xhxgxhxgxf
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COCIENTE )(
)()(
xh
xgxf
)(
)()()()()(
2
xh
xhxgxhxgxf
FUNCIONES INVERSAS
TRIGONOMEacuteTRICAS
xxf 1sin)( 2
1
1)(
xxf
xxf 1cos)( 2
1
1)(
xxf
xxf 1tan)( 2
1
1)(
xxf
Ejemplos
Derivar las siguientes funciones
a
b
c
NOTA El desarrollo algebraico de lo deja al estudiante ELERCICIOS Derivar las siguientes funciones
1 453)( 25 xxxf
2 xxxxf 464)( 42
3 )1)(()( 32 xxxxf (es un producto)
16)(
1)3)(2()(
13)(
2
xxf
xxf
xxf
1128)(
42)(
23
34
xxxf
xxxxf
22
2
22
2
2
)3(
2
)3(
)1)(23()3)(1()(
3
1)(
xx
xx
xx
xxxxxf
xx
xxf
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23
4 3
23)(
x
xxf
5 xxf 3log)(
6 xexf )(
7 xxf 12)(
DERIVADAS SUCESIVAS DE UNA FUNCIOacuteN Regla de la cadena Definicioacuten Sea y = f(u) u = g(x) si g es diferenciable en x y f f es diferenciable en u = g(x) entonces la funcioacuten compuesta definida por f(g(x)) es diferenciable en x y
)()( xgxgfdx
xgdf
En palabras decimos que La derivada de una funcioacuten compuesta es la derivada de la funcioacuten exterior evaluada en la funcioacuten interna por la derivada de la funcioacuten interna DERIVADAS SUPERIORES Las derivadas de orden superior aparecen desde la segunda derivada en adelante consisten en derivar la funcioacuten inmediatamente anterior cuantas veces sea necesario
oacute
para la n-eacutesima derivada de f(x) o y respectivamente Histoacutericamente esto proviene del hecho de que por ejemplo la tercera derivada es
que se puede escribir sin mucho rigor como
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Eliminando las llaves nos da la notacioacuten que estaacute arriba
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CAPITULO III
3 INTEGRAL INDEFINIDA
31 Definicioacuten Llamamos a F una antiderivada de f en el intervalo I si Dx F(x)
= f(x) en I esto es si Facute(x) = f(x) para todo x en I
Teorema 1 Regla de la potencia
Si r es cualquier nuacutemero racional excepto -1 entonces
Cr
xdxx
rr
1
1
Corolario Regla generalizada de la potencia
Cr
xgdxxgxg
rr
1
)()()(
1
Teorema 2 La integral definida es un operador lineal
Sean f y g antiderivadas (integrales indefinidas) y sea k una constante
Entonces
a dxxfkdxxkf )()(
b dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
c dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
32 PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LA ANTIDIFERENCIACIOacuteN
Esta propiedad indica que podemos sacar un factor constante de la integral
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CAPITULO IV
4 MEacuteTODOS DE INTEGRACIOacuteN
Teorema 1 Regla de sustitucioacuten
Sea g una funcioacuten derivable y suponga que F es una antiderivada de f
Entonces u = g(x)
CxgFCuFduufdxxgxgf ))(()()()(
Teorema 2 Integracioacuten por partes
dxxuxvxvxuxvxu )()()()()()(
Teorema 3 Integraciones trigonomeacutetricas
Ejercicios resueltos
Efectuacutee las operaciones de antidiferenciacioacuten que se indican aplicando las
propiedades correspondientes en cada caso
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S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
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4 Solucioacuten
5 Solucioacuten
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31
6 Solucioacuten
7 Solucioacuten
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AUTOEVALUACIOacuteN PARA CAPIacuteTULOS 1 Y 2
Realice las integrales indicadas
dxx
xf
x
xxe
dtt
d
dxxxc
dxxxb
dxxa
2
2
2
5
5
cos
tan)
1
23)
12
5)
1)
5)
5)
dxxk
dtt
tj
dxxxi
dxxeh
dxxxg
x
2
5
csc)
ln)
1)
)
cos)
Utiliza la tabla de integrales para resolver los siguientes ejercicios
32)
1
32)
53)
169)
23)
2
2
22
2
tt
dte
dxx
xxd
dxxxc
x
dxb
dxxxa
TABLA DE INTEGRALES
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BIBLIOGRAFIacuteA
PURCELL VARBERG RIGDON 2003 Caacutelculo Diferencial e Integral
Pearson Prentice Hall Ecuador
GRANVILLE SMITH LONGLEY 1974 Caacutelculo Diferencial e Integral
Uteha Meacutexico
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COMPETENCIAS
COMPETENCIAS GENERALES
Comprender y aplicar los procesos correspondientes en la
determinacioacuten del la continuidad de una funcioacuten
Aplicar el concepto de la derivada en la diferenciacioacuten de funciones
Comprender y aplicar los procesos correspondientes en la
determinacioacuten del la integracioacuten de funciones
Utilizar y aplicar la integracioacuten de una funcioacuten en la resolucioacuten de
problemas praacutecticos
Entregar las herramientas necesarias de las ciencias exactas para
permitir que el estudiante llegue a un dominio en cuanto al
conocimiento de las matemaacuteticas
COMPETENCIAS POR UNIDADES
Determinar la continuidad o discontinuidad de una funcioacuten
Resolver problemas relativos a la pendiente recta tangente
diferenciabilidad y continuidad de una funcioacuten
Aplicar los teoremas de la diferenciabilidad de funciones algebraicas
en la resolucioacuten de problemas praacutecticos
Calcular las derivadas de funciones trigonomeacutetricas logariacutetmicas
exponenciales y funciones compuestas
Determinar la integracioacuten de funciones con potencias
Integrar funciones por diferentes meacutetodos
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Desarrollar habilidades de interpretar y desarrollo de los procesos
matemaacuteticos
Lograr en el alumno el desarrollo de capacidades para el manejo de
las matemaacuteticas
Avalizar en el estudiante el principio de aprendizaje su capacidad
para receptar y practicar problemas
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REPASO SOBRE LIgraveMITES
El liacutemite es un concepto que describe la tendencia de una sucesioacuten o una funcioacuten a medida que los paraacutemetros de esa sucesioacuten o funcioacuten se acercan a determinado valor En caacutelculo (especialmente en anaacutelisis real y matemaacutetico) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia continuidad derivacioacuten integracioacuten entre otros
LIMITES DE FUNCIONES
Definicioacuten rigurosa
Informalmente se dice que el liacutemite de la funcioacuten f(x) es L cuando x tiende a c y se escribe
Si se puede encontrar para cada ocasioacuten un x suficientemente cerca de c tal que el valor de f(x) sea tan proacuteximo a L como se desee
Ejemplos
1 Determine )54(lim3
xx
7
512
)5)3(4(lim3
x
2 Encuentre 3
6lim
2
3
x
xx
x
5
)23(lim
)2(lim
3
)2)(3(lim
3
3
3
x
x
x
x
x
xx
Teoremas principales sobre los liacutemites
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11
ncx
n
cx
n
cx
n
cx
cx
cx
cx
cxcxcx
cxcxcx
cxcxcx
cxcx
cx
cx
xfxf
xfxf
xg
xf
xg
xf
xgxfxgxf
xgxfxgxf
xgxfxgxf
xfkxkf
cx
kk
)(lim)(lim
)(lim)(lim
)(lim
)(lim
)(
)(lim
)(lim)(lim)()(lim
)(lim)(lim)()(lim
)(lim)(lim)()(lim
)(lim)(lim
lim
lim
Teorema de sustitucioacuten
Sea f una funcioacuten polinomial o una funcioacuten racional entonces
)()(lim cfxfcx
Liacutemites infinitos
Para calcular liacutemites al infinito es necesario dividir cada teacutermino de la
expresioacuten para el x con el mayor exponente y recordar que 01
y
0
1
Ejemplos
Calcular cada uno de los siguientes liacutemites
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SEMIPRESENCIAL
VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
12
054
2510lim
10
0
5)5(45
25)5(105lim
5)5(45
25)5(105lim
54
2510lim)
2
2
5
2
2
5
2
2
5
2
2
5
xx
xx
xx
xxa
x
x
x
x
24
13
49
214lim
48
26
49)1(
21)1(4)1(lim
49
214lim
2
2
1
2
2
1
2
2
1
x
xx
x
xx
x
x
x
14
86lim
01
001
4
86
lim
4
86lim)
2
2
22
2
222
2
2
2
xx
xx
x
x
x
x
xx
x
x
x
xx
xxc
x
x
x
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13
CAPITULO I
1 CONTINUIDAD
11 Definicioacuten Sea f definida en un intervalo abierto que contiene a c
Decimos que f es continua en c si
)()(lim cfxfcx
12 CONTINUIDADA
13 TEOREMAS SOBRE CONTINUIDAD
A Continuidad de funciones polinomiales y racionales
Una funcioacuten polinomial es continua en todo nuacutemero real c Una funcioacuten
racional es continua en todo nuacutemero real c en su dominio esto es en
todas partes excepto en donde el denominador es cero
B Continuidad de las funciones valor absoluto y raiacutez n-eacutesima
La funcioacuten valor absoluto es continua en todo valor real c Si n es impar
la funcioacuten raiacutez n-eacutesima es continua en todo valor real c si n es par la
raiacutez n-eacutesima es continua en todo valor positivo real c
C Continuidad de funciones trigonomeacutetricas
Las funciones seno y coseno son continuas en todo nuacutemero real c Las
funciones tan ctan csc sec son continuas en todo nuacutemero real c en
sus dominio
D Teorema del valor medio
Si f es una funcioacuten definida en un intervalo [ a b ] y sea W un nuacutemero
entre f(a) y f(b) Si f es continua en [ a b ] entonces existe al menos un
nuacutemero c entre a y b tal que f(c) = W
Ejemplos
Determinar la continuidad de las siguientes funciones
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14
a 52)( 2 xxxf
Por ser polinomial es continua en todos los nuacutemeros reales
b 1
1)(
xxf
Como se trata de una funcioacuten racional se puede notar que si x = 1 el
denominador se hace cero y por lo tanto existiriacutea una indeterminacioacuten
entonces es continua en todos los nuacutemeros reales excepto en 1
c 3
32)(
2
x
xxxf
Como podemos observar si x = -3 en el denominador la funcioacuten no
existe por lo tanto podriacuteamos decir que la funcioacuten es discontinua todos
los nuacutemeros reales excepto en -3 pero si facturamos el numerador y
simplificamos
13
)1)(3()(
x
x
xxxf
Podemos concluir que la funcioacuten es polinomial y por lo tanto es continua
en todos los reales (El factoreo es de mucha ayuda en las funciones
polinomiales)
14 CONTINUIDAD UNIFORME
Las funciones polinomiales valor absoluto sen (x) y cos (x) son continuas
de forma uniforme
15 FUNCIONES CASI CONTINUAS
Cualquier otra funcioacuten que no sean las nombradas anteriormente son casi
continuas ya que tienen por lo meno un nuacutemero real donde la funcioacuten no
existe
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15
EJERCICIOS
Determinar la continuidad de las siguientes funciones
a 5263)( 2 xxxf
b 4
3)(
x
xxf
c 5)( xxf
d 5 4)( xxf
e )2(
)4()(
2
x
xxf
f 2
44)(
2
x
xxxf
g 3
)65()(
2
x
xxxf
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CAPITULO II
2 DERIVADAS
21 DEFINICIOacuteN BAacuteSICA E INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA
En matemaacutetica la derivada de una funcioacuten es uno de los dos conceptos centrales del caacutelculo Las derivadas se definen tomando el liacutemite de la pendiente de las rectas secantes conforme se van aproximando a la recta tangente La derivada de una funcioacuten en un cierto punto es una medida de la tasa en la cual una funcioacuten cambia conforme un argumento se modifica Esto es una derivada involucra en teacuterminos matemaacuteticos una tasa de cambio Una derivada es el caacutelculo de las pendientes instantaacuteneas de f(x) en cada punto x Esto se corresponde a las pendientes de las tangentes de la graacutefica de dicha funcioacuten en el punto dado dichas tangentes pueden ser aproximadas por una secante que pase por dos puntos muy cercanos al punto bajo el que se desea obtener la tangente Las funciones no tienen derivadas en los puntos en donde hay una tangente vertical (la cual tiene una pendiente infinita) una discontinuidad o bien un pico
La Diferenciacioacuten puede ser usada para determinar el cambio que se produce como resultado de otro cambio si estaacute determinada una relacioacuten matemaacutetica entre dos objetos
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Una funcioacuten es diferenciable en un punto x si su derivada existe en ese punto una funcioacuten es diferenciable en un intervalo si lo es en cada punto x perteneciente al intervalo Si una funcioacuten no es continua en c entonces no puede ser diferenciable en c sin embargo aunque una funcioacuten sea continua en c puede no ser diferenciable Es decir toda funcioacuten diferenciable en un punto C es continua en C pero no toda funcioacuten continua en C es diferenciable en C (como f(x) = |x| es continua pero no diferenciable en x = 0)
22 REGLA GENERAL PARA DERIVAR FUNCIONES
Es difiacutecil hallar directamente la pendiente de la recta tangente de una funcioacuten porque soacutelo conocemos un punto de eacutesta el punto donde ha de ser tangente a la funcioacuten Por ello aproximaremos la recta tangente por rectas secantes Cuando tomemos el liacutemite de las pendientes de las secantes proacuteximas obtendremos la pendiente de la recta tangente Para obtener estas pendientes tomemos un nuacutemero arbitrariamente pequentildeo que llamaremos h h representa una pequentildea variacioacuten en x y puede ser tanto positivo como negativo La pendiente de la recta entre los puntos (xf(x)) y (x + hf(x + h)) es
Esta expresioacuten es un cociente diferencial de Newton La derivada de f en x es el liacutemite del valor del cociente diferencial conforme las liacuteneas secantes se acercan maacutes a la tangente
Si la derivada de f existe en cada punto x podemos definir la derivada de f como la funcioacuten cuyo valor en el punto x es la derivada de f en x Puesto que la inmediata sustitucioacuten de h por 0 da como resultado una divisioacuten por cero calcular la derivada directamente puede ser poco intuitivo Una teacutecnica es simplificar el numerador de modo que la h del denominador pueda ser cancelada Esto resulta muy sencillo con funciones poli noacutemicas pero para la mayoriacutea de las funciones resulta demasiado complicado Afortunadamente
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hay reglas generales que facilitan la diferenciacioacuten de la mayoriacutea de las funciones descritas ver abajo Algunos ejemplos de coacutemo utilizar este cociente Ejemplo 1 Consideremos la siguiente funcioacuten
Entonces
Esta funcioacuten es constante para cualquier punto de su dominio vale 5 (por eso f(x+h)=5) Noacutetese el uacuteltimo paso donde h tiende a cero pero no lo toca Si pensamos un poco observaremos que la derivada ademaacutes de ser la pendiente de la recta tangente a la curva es a la vez la recta secante a la misma curva
2 Consideremos la graacutefica de Esta recta tiene una pendiente igual a 2 en cada punto Utilizando el cociente mostrado arriba (junto a los conceptos de liacutemite secante y tangente) podremos determinar las pendientes en los puntos 4 y 5
Entonces
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El valor de la funcioacuten derivada de una recta es igual a la pendiente de la misma 3 Mediante esta diferenciacioacuten se puede calcular la pendiente de una curva Consideremos que
Entonces
Para cualquier punto x la pendiente de la funcioacuten es
NOTACIOacuteN
La notacioacuten maacutes simple para la diferenciacioacuten que se utiliza en la actualidad se debe a Lagrange y utiliza un apoacutestrofo o comilla prime De esta manera se expresan las derivadas de la funcioacuten f(x) en el punto x = a se escribe Para la primera derivada
Para la segunda derivada
Para la tercera derivada y luego de forma general
Para la n-eacutesima derivada (donde normalmente se da que n gt 3)
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Para la funcioacuten cuyo valor en cada x es la derivada de se escribe
De forma similar para la segunda derivada de f se escribe y asiacute sucesivamente La otra notacioacuten comuacuten para la diferenciacioacuten se debe a Leibniz Para la funcioacuten cuyo valor en x es la derivada de f en x se escribe
Se puede escribir la derivada de f en el punto a de dos formas distintas
Si la resultante de f(x) es otra variable por ejemplo si y=f(x) se puede escribir la derivada como
La notacioacuten de Newton para la diferenciacioacuten consiste en poner un punto sobre el nombre de la funcioacuten
y asiacute sucesivamente La notacioacuten de Newton se utiliza principalmente en la mecaacutenica normalmente para las derivadas con respecto al tiempo tales como la velocidad y la aceleracioacuten y en la teoriacutea de ecuaciones diferenciales ordinarias Normalmente soacutelo se utilizan para la primera y segunda derivadas Otra notacioacuten consiste en colocar una letra D mayuacutescula para indicar la operacioacuten de diferenciacioacuten con un subiacutendice que indica la variable sobre la que se derivaraacute
Dxf
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que es equivalente a la expresioacuten
En ese contexto se considera a la diferenciacioacuten como una operacioacuten sobre
funciones de modo que los siacutembolos y Dx son llamados operadores diferenciales
DERIVADAS DE FUNCIONES
NOMBRE FUNCIOacuteN DERIVADA
CONSTANTE kxf )( 1)( xf
ALGEBRAICA nxxf )( 1 )( nnxxf
LOGARIacuteTMICA
xxf alog)( )ln(
1)(
axxf
xxf ln)( x
xf1
)(
EXPONENCIAL
xaxf )( )ln()( aaxf x
xexf )( xexf )(
TRIGONOMEacuteTRICAS
xxf sin)( xxf cos)(
xxf cos)( xxf sin)(
xxf tan)( xxf 2 sec)(
xxf sec)( xxxf tansec)(
xxf cot)( xxf 2 csc)(
xxf csc)( xxxf cotcsc)(
FUNCIONES COMPUESTAS
NOMBRE FUNCIOacuteN DERIVADA
SUMA o
DIFERENCIA )()()( xhxgxf )()()( xhxgxf
PRODUCTO )()()( xhxgxf )()()()()( xhxgxhxgxf
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COCIENTE )(
)()(
xh
xgxf
)(
)()()()()(
2
xh
xhxgxhxgxf
FUNCIONES INVERSAS
TRIGONOMEacuteTRICAS
xxf 1sin)( 2
1
1)(
xxf
xxf 1cos)( 2
1
1)(
xxf
xxf 1tan)( 2
1
1)(
xxf
Ejemplos
Derivar las siguientes funciones
a
b
c
NOTA El desarrollo algebraico de lo deja al estudiante ELERCICIOS Derivar las siguientes funciones
1 453)( 25 xxxf
2 xxxxf 464)( 42
3 )1)(()( 32 xxxxf (es un producto)
16)(
1)3)(2()(
13)(
2
xxf
xxf
xxf
1128)(
42)(
23
34
xxxf
xxxxf
22
2
22
2
2
)3(
2
)3(
)1)(23()3)(1()(
3
1)(
xx
xx
xx
xxxxxf
xx
xxf
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23
4 3
23)(
x
xxf
5 xxf 3log)(
6 xexf )(
7 xxf 12)(
DERIVADAS SUCESIVAS DE UNA FUNCIOacuteN Regla de la cadena Definicioacuten Sea y = f(u) u = g(x) si g es diferenciable en x y f f es diferenciable en u = g(x) entonces la funcioacuten compuesta definida por f(g(x)) es diferenciable en x y
)()( xgxgfdx
xgdf
En palabras decimos que La derivada de una funcioacuten compuesta es la derivada de la funcioacuten exterior evaluada en la funcioacuten interna por la derivada de la funcioacuten interna DERIVADAS SUPERIORES Las derivadas de orden superior aparecen desde la segunda derivada en adelante consisten en derivar la funcioacuten inmediatamente anterior cuantas veces sea necesario
oacute
para la n-eacutesima derivada de f(x) o y respectivamente Histoacutericamente esto proviene del hecho de que por ejemplo la tercera derivada es
que se puede escribir sin mucho rigor como
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Eliminando las llaves nos da la notacioacuten que estaacute arriba
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CAPITULO III
3 INTEGRAL INDEFINIDA
31 Definicioacuten Llamamos a F una antiderivada de f en el intervalo I si Dx F(x)
= f(x) en I esto es si Facute(x) = f(x) para todo x en I
Teorema 1 Regla de la potencia
Si r es cualquier nuacutemero racional excepto -1 entonces
Cr
xdxx
rr
1
1
Corolario Regla generalizada de la potencia
Cr
xgdxxgxg
rr
1
)()()(
1
Teorema 2 La integral definida es un operador lineal
Sean f y g antiderivadas (integrales indefinidas) y sea k una constante
Entonces
a dxxfkdxxkf )()(
b dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
c dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
32 PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LA ANTIDIFERENCIACIOacuteN
Esta propiedad indica que podemos sacar un factor constante de la integral
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CAPITULO IV
4 MEacuteTODOS DE INTEGRACIOacuteN
Teorema 1 Regla de sustitucioacuten
Sea g una funcioacuten derivable y suponga que F es una antiderivada de f
Entonces u = g(x)
CxgFCuFduufdxxgxgf ))(()()()(
Teorema 2 Integracioacuten por partes
dxxuxvxvxuxvxu )()()()()()(
Teorema 3 Integraciones trigonomeacutetricas
Ejercicios resueltos
Efectuacutee las operaciones de antidiferenciacioacuten que se indican aplicando las
propiedades correspondientes en cada caso
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S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
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4 Solucioacuten
5 Solucioacuten
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31
6 Solucioacuten
7 Solucioacuten
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AUTOEVALUACIOacuteN PARA CAPIacuteTULOS 1 Y 2
Realice las integrales indicadas
dxx
xf
x
xxe
dtt
d
dxxxc
dxxxb
dxxa
2
2
2
5
5
cos
tan)
1
23)
12
5)
1)
5)
5)
dxxk
dtt
tj
dxxxi
dxxeh
dxxxg
x
2
5
csc)
ln)
1)
)
cos)
Utiliza la tabla de integrales para resolver los siguientes ejercicios
32)
1
32)
53)
169)
23)
2
2
22
2
tt
dte
dxx
xxd
dxxxc
x
dxb
dxxxa
TABLA DE INTEGRALES
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BIBLIOGRAFIacuteA
PURCELL VARBERG RIGDON 2003 Caacutelculo Diferencial e Integral
Pearson Prentice Hall Ecuador
GRANVILLE SMITH LONGLEY 1974 Caacutelculo Diferencial e Integral
Uteha Meacutexico
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Desarrollar habilidades de interpretar y desarrollo de los procesos
matemaacuteticos
Lograr en el alumno el desarrollo de capacidades para el manejo de
las matemaacuteticas
Avalizar en el estudiante el principio de aprendizaje su capacidad
para receptar y practicar problemas
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REPASO SOBRE LIgraveMITES
El liacutemite es un concepto que describe la tendencia de una sucesioacuten o una funcioacuten a medida que los paraacutemetros de esa sucesioacuten o funcioacuten se acercan a determinado valor En caacutelculo (especialmente en anaacutelisis real y matemaacutetico) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia continuidad derivacioacuten integracioacuten entre otros
LIMITES DE FUNCIONES
Definicioacuten rigurosa
Informalmente se dice que el liacutemite de la funcioacuten f(x) es L cuando x tiende a c y se escribe
Si se puede encontrar para cada ocasioacuten un x suficientemente cerca de c tal que el valor de f(x) sea tan proacuteximo a L como se desee
Ejemplos
1 Determine )54(lim3
xx
7
512
)5)3(4(lim3
x
2 Encuentre 3
6lim
2
3
x
xx
x
5
)23(lim
)2(lim
3
)2)(3(lim
3
3
3
x
x
x
x
x
xx
Teoremas principales sobre los liacutemites
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ncx
n
cx
n
cx
n
cx
cx
cx
cx
cxcxcx
cxcxcx
cxcxcx
cxcx
cx
cx
xfxf
xfxf
xg
xf
xg
xf
xgxfxgxf
xgxfxgxf
xgxfxgxf
xfkxkf
cx
kk
)(lim)(lim
)(lim)(lim
)(lim
)(lim
)(
)(lim
)(lim)(lim)()(lim
)(lim)(lim)()(lim
)(lim)(lim)()(lim
)(lim)(lim
lim
lim
Teorema de sustitucioacuten
Sea f una funcioacuten polinomial o una funcioacuten racional entonces
)()(lim cfxfcx
Liacutemites infinitos
Para calcular liacutemites al infinito es necesario dividir cada teacutermino de la
expresioacuten para el x con el mayor exponente y recordar que 01
y
0
1
Ejemplos
Calcular cada uno de los siguientes liacutemites
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12
054
2510lim
10
0
5)5(45
25)5(105lim
5)5(45
25)5(105lim
54
2510lim)
2
2
5
2
2
5
2
2
5
2
2
5
xx
xx
xx
xxa
x
x
x
x
24
13
49
214lim
48
26
49)1(
21)1(4)1(lim
49
214lim
2
2
1
2
2
1
2
2
1
x
xx
x
xx
x
x
x
14
86lim
01
001
4
86
lim
4
86lim)
2
2
22
2
222
2
2
2
xx
xx
x
x
x
x
xx
x
x
x
xx
xxc
x
x
x
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CAPITULO I
1 CONTINUIDAD
11 Definicioacuten Sea f definida en un intervalo abierto que contiene a c
Decimos que f es continua en c si
)()(lim cfxfcx
12 CONTINUIDADA
13 TEOREMAS SOBRE CONTINUIDAD
A Continuidad de funciones polinomiales y racionales
Una funcioacuten polinomial es continua en todo nuacutemero real c Una funcioacuten
racional es continua en todo nuacutemero real c en su dominio esto es en
todas partes excepto en donde el denominador es cero
B Continuidad de las funciones valor absoluto y raiacutez n-eacutesima
La funcioacuten valor absoluto es continua en todo valor real c Si n es impar
la funcioacuten raiacutez n-eacutesima es continua en todo valor real c si n es par la
raiacutez n-eacutesima es continua en todo valor positivo real c
C Continuidad de funciones trigonomeacutetricas
Las funciones seno y coseno son continuas en todo nuacutemero real c Las
funciones tan ctan csc sec son continuas en todo nuacutemero real c en
sus dominio
D Teorema del valor medio
Si f es una funcioacuten definida en un intervalo [ a b ] y sea W un nuacutemero
entre f(a) y f(b) Si f es continua en [ a b ] entonces existe al menos un
nuacutemero c entre a y b tal que f(c) = W
Ejemplos
Determinar la continuidad de las siguientes funciones
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14
a 52)( 2 xxxf
Por ser polinomial es continua en todos los nuacutemeros reales
b 1
1)(
xxf
Como se trata de una funcioacuten racional se puede notar que si x = 1 el
denominador se hace cero y por lo tanto existiriacutea una indeterminacioacuten
entonces es continua en todos los nuacutemeros reales excepto en 1
c 3
32)(
2
x
xxxf
Como podemos observar si x = -3 en el denominador la funcioacuten no
existe por lo tanto podriacuteamos decir que la funcioacuten es discontinua todos
los nuacutemeros reales excepto en -3 pero si facturamos el numerador y
simplificamos
13
)1)(3()(
x
x
xxxf
Podemos concluir que la funcioacuten es polinomial y por lo tanto es continua
en todos los reales (El factoreo es de mucha ayuda en las funciones
polinomiales)
14 CONTINUIDAD UNIFORME
Las funciones polinomiales valor absoluto sen (x) y cos (x) son continuas
de forma uniforme
15 FUNCIONES CASI CONTINUAS
Cualquier otra funcioacuten que no sean las nombradas anteriormente son casi
continuas ya que tienen por lo meno un nuacutemero real donde la funcioacuten no
existe
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EJERCICIOS
Determinar la continuidad de las siguientes funciones
a 5263)( 2 xxxf
b 4
3)(
x
xxf
c 5)( xxf
d 5 4)( xxf
e )2(
)4()(
2
x
xxf
f 2
44)(
2
x
xxxf
g 3
)65()(
2
x
xxxf
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CAPITULO II
2 DERIVADAS
21 DEFINICIOacuteN BAacuteSICA E INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA
En matemaacutetica la derivada de una funcioacuten es uno de los dos conceptos centrales del caacutelculo Las derivadas se definen tomando el liacutemite de la pendiente de las rectas secantes conforme se van aproximando a la recta tangente La derivada de una funcioacuten en un cierto punto es una medida de la tasa en la cual una funcioacuten cambia conforme un argumento se modifica Esto es una derivada involucra en teacuterminos matemaacuteticos una tasa de cambio Una derivada es el caacutelculo de las pendientes instantaacuteneas de f(x) en cada punto x Esto se corresponde a las pendientes de las tangentes de la graacutefica de dicha funcioacuten en el punto dado dichas tangentes pueden ser aproximadas por una secante que pase por dos puntos muy cercanos al punto bajo el que se desea obtener la tangente Las funciones no tienen derivadas en los puntos en donde hay una tangente vertical (la cual tiene una pendiente infinita) una discontinuidad o bien un pico
La Diferenciacioacuten puede ser usada para determinar el cambio que se produce como resultado de otro cambio si estaacute determinada una relacioacuten matemaacutetica entre dos objetos
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Una funcioacuten es diferenciable en un punto x si su derivada existe en ese punto una funcioacuten es diferenciable en un intervalo si lo es en cada punto x perteneciente al intervalo Si una funcioacuten no es continua en c entonces no puede ser diferenciable en c sin embargo aunque una funcioacuten sea continua en c puede no ser diferenciable Es decir toda funcioacuten diferenciable en un punto C es continua en C pero no toda funcioacuten continua en C es diferenciable en C (como f(x) = |x| es continua pero no diferenciable en x = 0)
22 REGLA GENERAL PARA DERIVAR FUNCIONES
Es difiacutecil hallar directamente la pendiente de la recta tangente de una funcioacuten porque soacutelo conocemos un punto de eacutesta el punto donde ha de ser tangente a la funcioacuten Por ello aproximaremos la recta tangente por rectas secantes Cuando tomemos el liacutemite de las pendientes de las secantes proacuteximas obtendremos la pendiente de la recta tangente Para obtener estas pendientes tomemos un nuacutemero arbitrariamente pequentildeo que llamaremos h h representa una pequentildea variacioacuten en x y puede ser tanto positivo como negativo La pendiente de la recta entre los puntos (xf(x)) y (x + hf(x + h)) es
Esta expresioacuten es un cociente diferencial de Newton La derivada de f en x es el liacutemite del valor del cociente diferencial conforme las liacuteneas secantes se acercan maacutes a la tangente
Si la derivada de f existe en cada punto x podemos definir la derivada de f como la funcioacuten cuyo valor en el punto x es la derivada de f en x Puesto que la inmediata sustitucioacuten de h por 0 da como resultado una divisioacuten por cero calcular la derivada directamente puede ser poco intuitivo Una teacutecnica es simplificar el numerador de modo que la h del denominador pueda ser cancelada Esto resulta muy sencillo con funciones poli noacutemicas pero para la mayoriacutea de las funciones resulta demasiado complicado Afortunadamente
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hay reglas generales que facilitan la diferenciacioacuten de la mayoriacutea de las funciones descritas ver abajo Algunos ejemplos de coacutemo utilizar este cociente Ejemplo 1 Consideremos la siguiente funcioacuten
Entonces
Esta funcioacuten es constante para cualquier punto de su dominio vale 5 (por eso f(x+h)=5) Noacutetese el uacuteltimo paso donde h tiende a cero pero no lo toca Si pensamos un poco observaremos que la derivada ademaacutes de ser la pendiente de la recta tangente a la curva es a la vez la recta secante a la misma curva
2 Consideremos la graacutefica de Esta recta tiene una pendiente igual a 2 en cada punto Utilizando el cociente mostrado arriba (junto a los conceptos de liacutemite secante y tangente) podremos determinar las pendientes en los puntos 4 y 5
Entonces
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El valor de la funcioacuten derivada de una recta es igual a la pendiente de la misma 3 Mediante esta diferenciacioacuten se puede calcular la pendiente de una curva Consideremos que
Entonces
Para cualquier punto x la pendiente de la funcioacuten es
NOTACIOacuteN
La notacioacuten maacutes simple para la diferenciacioacuten que se utiliza en la actualidad se debe a Lagrange y utiliza un apoacutestrofo o comilla prime De esta manera se expresan las derivadas de la funcioacuten f(x) en el punto x = a se escribe Para la primera derivada
Para la segunda derivada
Para la tercera derivada y luego de forma general
Para la n-eacutesima derivada (donde normalmente se da que n gt 3)
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Para la funcioacuten cuyo valor en cada x es la derivada de se escribe
De forma similar para la segunda derivada de f se escribe y asiacute sucesivamente La otra notacioacuten comuacuten para la diferenciacioacuten se debe a Leibniz Para la funcioacuten cuyo valor en x es la derivada de f en x se escribe
Se puede escribir la derivada de f en el punto a de dos formas distintas
Si la resultante de f(x) es otra variable por ejemplo si y=f(x) se puede escribir la derivada como
La notacioacuten de Newton para la diferenciacioacuten consiste en poner un punto sobre el nombre de la funcioacuten
y asiacute sucesivamente La notacioacuten de Newton se utiliza principalmente en la mecaacutenica normalmente para las derivadas con respecto al tiempo tales como la velocidad y la aceleracioacuten y en la teoriacutea de ecuaciones diferenciales ordinarias Normalmente soacutelo se utilizan para la primera y segunda derivadas Otra notacioacuten consiste en colocar una letra D mayuacutescula para indicar la operacioacuten de diferenciacioacuten con un subiacutendice que indica la variable sobre la que se derivaraacute
Dxf
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que es equivalente a la expresioacuten
En ese contexto se considera a la diferenciacioacuten como una operacioacuten sobre
funciones de modo que los siacutembolos y Dx son llamados operadores diferenciales
DERIVADAS DE FUNCIONES
NOMBRE FUNCIOacuteN DERIVADA
CONSTANTE kxf )( 1)( xf
ALGEBRAICA nxxf )( 1 )( nnxxf
LOGARIacuteTMICA
xxf alog)( )ln(
1)(
axxf
xxf ln)( x
xf1
)(
EXPONENCIAL
xaxf )( )ln()( aaxf x
xexf )( xexf )(
TRIGONOMEacuteTRICAS
xxf sin)( xxf cos)(
xxf cos)( xxf sin)(
xxf tan)( xxf 2 sec)(
xxf sec)( xxxf tansec)(
xxf cot)( xxf 2 csc)(
xxf csc)( xxxf cotcsc)(
FUNCIONES COMPUESTAS
NOMBRE FUNCIOacuteN DERIVADA
SUMA o
DIFERENCIA )()()( xhxgxf )()()( xhxgxf
PRODUCTO )()()( xhxgxf )()()()()( xhxgxhxgxf
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COCIENTE )(
)()(
xh
xgxf
)(
)()()()()(
2
xh
xhxgxhxgxf
FUNCIONES INVERSAS
TRIGONOMEacuteTRICAS
xxf 1sin)( 2
1
1)(
xxf
xxf 1cos)( 2
1
1)(
xxf
xxf 1tan)( 2
1
1)(
xxf
Ejemplos
Derivar las siguientes funciones
a
b
c
NOTA El desarrollo algebraico de lo deja al estudiante ELERCICIOS Derivar las siguientes funciones
1 453)( 25 xxxf
2 xxxxf 464)( 42
3 )1)(()( 32 xxxxf (es un producto)
16)(
1)3)(2()(
13)(
2
xxf
xxf
xxf
1128)(
42)(
23
34
xxxf
xxxxf
22
2
22
2
2
)3(
2
)3(
)1)(23()3)(1()(
3
1)(
xx
xx
xx
xxxxxf
xx
xxf
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23
4 3
23)(
x
xxf
5 xxf 3log)(
6 xexf )(
7 xxf 12)(
DERIVADAS SUCESIVAS DE UNA FUNCIOacuteN Regla de la cadena Definicioacuten Sea y = f(u) u = g(x) si g es diferenciable en x y f f es diferenciable en u = g(x) entonces la funcioacuten compuesta definida por f(g(x)) es diferenciable en x y
)()( xgxgfdx
xgdf
En palabras decimos que La derivada de una funcioacuten compuesta es la derivada de la funcioacuten exterior evaluada en la funcioacuten interna por la derivada de la funcioacuten interna DERIVADAS SUPERIORES Las derivadas de orden superior aparecen desde la segunda derivada en adelante consisten en derivar la funcioacuten inmediatamente anterior cuantas veces sea necesario
oacute
para la n-eacutesima derivada de f(x) o y respectivamente Histoacutericamente esto proviene del hecho de que por ejemplo la tercera derivada es
que se puede escribir sin mucho rigor como
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Eliminando las llaves nos da la notacioacuten que estaacute arriba
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CAPITULO III
3 INTEGRAL INDEFINIDA
31 Definicioacuten Llamamos a F una antiderivada de f en el intervalo I si Dx F(x)
= f(x) en I esto es si Facute(x) = f(x) para todo x en I
Teorema 1 Regla de la potencia
Si r es cualquier nuacutemero racional excepto -1 entonces
Cr
xdxx
rr
1
1
Corolario Regla generalizada de la potencia
Cr
xgdxxgxg
rr
1
)()()(
1
Teorema 2 La integral definida es un operador lineal
Sean f y g antiderivadas (integrales indefinidas) y sea k una constante
Entonces
a dxxfkdxxkf )()(
b dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
c dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
32 PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LA ANTIDIFERENCIACIOacuteN
Esta propiedad indica que podemos sacar un factor constante de la integral
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CAPITULO IV
4 MEacuteTODOS DE INTEGRACIOacuteN
Teorema 1 Regla de sustitucioacuten
Sea g una funcioacuten derivable y suponga que F es una antiderivada de f
Entonces u = g(x)
CxgFCuFduufdxxgxgf ))(()()()(
Teorema 2 Integracioacuten por partes
dxxuxvxvxuxvxu )()()()()()(
Teorema 3 Integraciones trigonomeacutetricas
Ejercicios resueltos
Efectuacutee las operaciones de antidiferenciacioacuten que se indican aplicando las
propiedades correspondientes en cada caso
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S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
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4 Solucioacuten
5 Solucioacuten
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6 Solucioacuten
7 Solucioacuten
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AUTOEVALUACIOacuteN PARA CAPIacuteTULOS 1 Y 2
Realice las integrales indicadas
dxx
xf
x
xxe
dtt
d
dxxxc
dxxxb
dxxa
2
2
2
5
5
cos
tan)
1
23)
12
5)
1)
5)
5)
dxxk
dtt
tj
dxxxi
dxxeh
dxxxg
x
2
5
csc)
ln)
1)
)
cos)
Utiliza la tabla de integrales para resolver los siguientes ejercicios
32)
1
32)
53)
169)
23)
2
2
22
2
tt
dte
dxx
xxd
dxxxc
x
dxb
dxxxa
TABLA DE INTEGRALES
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BIBLIOGRAFIacuteA
PURCELL VARBERG RIGDON 2003 Caacutelculo Diferencial e Integral
Pearson Prentice Hall Ecuador
GRANVILLE SMITH LONGLEY 1974 Caacutelculo Diferencial e Integral
Uteha Meacutexico
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REPASO SOBRE LIgraveMITES
El liacutemite es un concepto que describe la tendencia de una sucesioacuten o una funcioacuten a medida que los paraacutemetros de esa sucesioacuten o funcioacuten se acercan a determinado valor En caacutelculo (especialmente en anaacutelisis real y matemaacutetico) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia continuidad derivacioacuten integracioacuten entre otros
LIMITES DE FUNCIONES
Definicioacuten rigurosa
Informalmente se dice que el liacutemite de la funcioacuten f(x) es L cuando x tiende a c y se escribe
Si se puede encontrar para cada ocasioacuten un x suficientemente cerca de c tal que el valor de f(x) sea tan proacuteximo a L como se desee
Ejemplos
1 Determine )54(lim3
xx
7
512
)5)3(4(lim3
x
2 Encuentre 3
6lim
2
3
x
xx
x
5
)23(lim
)2(lim
3
)2)(3(lim
3
3
3
x
x
x
x
x
xx
Teoremas principales sobre los liacutemites
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ncx
n
cx
n
cx
n
cx
cx
cx
cx
cxcxcx
cxcxcx
cxcxcx
cxcx
cx
cx
xfxf
xfxf
xg
xf
xg
xf
xgxfxgxf
xgxfxgxf
xgxfxgxf
xfkxkf
cx
kk
)(lim)(lim
)(lim)(lim
)(lim
)(lim
)(
)(lim
)(lim)(lim)()(lim
)(lim)(lim)()(lim
)(lim)(lim)()(lim
)(lim)(lim
lim
lim
Teorema de sustitucioacuten
Sea f una funcioacuten polinomial o una funcioacuten racional entonces
)()(lim cfxfcx
Liacutemites infinitos
Para calcular liacutemites al infinito es necesario dividir cada teacutermino de la
expresioacuten para el x con el mayor exponente y recordar que 01
y
0
1
Ejemplos
Calcular cada uno de los siguientes liacutemites
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12
054
2510lim
10
0
5)5(45
25)5(105lim
5)5(45
25)5(105lim
54
2510lim)
2
2
5
2
2
5
2
2
5
2
2
5
xx
xx
xx
xxa
x
x
x
x
24
13
49
214lim
48
26
49)1(
21)1(4)1(lim
49
214lim
2
2
1
2
2
1
2
2
1
x
xx
x
xx
x
x
x
14
86lim
01
001
4
86
lim
4
86lim)
2
2
22
2
222
2
2
2
xx
xx
x
x
x
x
xx
x
x
x
xx
xxc
x
x
x
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CAPITULO I
1 CONTINUIDAD
11 Definicioacuten Sea f definida en un intervalo abierto que contiene a c
Decimos que f es continua en c si
)()(lim cfxfcx
12 CONTINUIDADA
13 TEOREMAS SOBRE CONTINUIDAD
A Continuidad de funciones polinomiales y racionales
Una funcioacuten polinomial es continua en todo nuacutemero real c Una funcioacuten
racional es continua en todo nuacutemero real c en su dominio esto es en
todas partes excepto en donde el denominador es cero
B Continuidad de las funciones valor absoluto y raiacutez n-eacutesima
La funcioacuten valor absoluto es continua en todo valor real c Si n es impar
la funcioacuten raiacutez n-eacutesima es continua en todo valor real c si n es par la
raiacutez n-eacutesima es continua en todo valor positivo real c
C Continuidad de funciones trigonomeacutetricas
Las funciones seno y coseno son continuas en todo nuacutemero real c Las
funciones tan ctan csc sec son continuas en todo nuacutemero real c en
sus dominio
D Teorema del valor medio
Si f es una funcioacuten definida en un intervalo [ a b ] y sea W un nuacutemero
entre f(a) y f(b) Si f es continua en [ a b ] entonces existe al menos un
nuacutemero c entre a y b tal que f(c) = W
Ejemplos
Determinar la continuidad de las siguientes funciones
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a 52)( 2 xxxf
Por ser polinomial es continua en todos los nuacutemeros reales
b 1
1)(
xxf
Como se trata de una funcioacuten racional se puede notar que si x = 1 el
denominador se hace cero y por lo tanto existiriacutea una indeterminacioacuten
entonces es continua en todos los nuacutemeros reales excepto en 1
c 3
32)(
2
x
xxxf
Como podemos observar si x = -3 en el denominador la funcioacuten no
existe por lo tanto podriacuteamos decir que la funcioacuten es discontinua todos
los nuacutemeros reales excepto en -3 pero si facturamos el numerador y
simplificamos
13
)1)(3()(
x
x
xxxf
Podemos concluir que la funcioacuten es polinomial y por lo tanto es continua
en todos los reales (El factoreo es de mucha ayuda en las funciones
polinomiales)
14 CONTINUIDAD UNIFORME
Las funciones polinomiales valor absoluto sen (x) y cos (x) son continuas
de forma uniforme
15 FUNCIONES CASI CONTINUAS
Cualquier otra funcioacuten que no sean las nombradas anteriormente son casi
continuas ya que tienen por lo meno un nuacutemero real donde la funcioacuten no
existe
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EJERCICIOS
Determinar la continuidad de las siguientes funciones
a 5263)( 2 xxxf
b 4
3)(
x
xxf
c 5)( xxf
d 5 4)( xxf
e )2(
)4()(
2
x
xxf
f 2
44)(
2
x
xxxf
g 3
)65()(
2
x
xxxf
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CAPITULO II
2 DERIVADAS
21 DEFINICIOacuteN BAacuteSICA E INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA
En matemaacutetica la derivada de una funcioacuten es uno de los dos conceptos centrales del caacutelculo Las derivadas se definen tomando el liacutemite de la pendiente de las rectas secantes conforme se van aproximando a la recta tangente La derivada de una funcioacuten en un cierto punto es una medida de la tasa en la cual una funcioacuten cambia conforme un argumento se modifica Esto es una derivada involucra en teacuterminos matemaacuteticos una tasa de cambio Una derivada es el caacutelculo de las pendientes instantaacuteneas de f(x) en cada punto x Esto se corresponde a las pendientes de las tangentes de la graacutefica de dicha funcioacuten en el punto dado dichas tangentes pueden ser aproximadas por una secante que pase por dos puntos muy cercanos al punto bajo el que se desea obtener la tangente Las funciones no tienen derivadas en los puntos en donde hay una tangente vertical (la cual tiene una pendiente infinita) una discontinuidad o bien un pico
La Diferenciacioacuten puede ser usada para determinar el cambio que se produce como resultado de otro cambio si estaacute determinada una relacioacuten matemaacutetica entre dos objetos
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Una funcioacuten es diferenciable en un punto x si su derivada existe en ese punto una funcioacuten es diferenciable en un intervalo si lo es en cada punto x perteneciente al intervalo Si una funcioacuten no es continua en c entonces no puede ser diferenciable en c sin embargo aunque una funcioacuten sea continua en c puede no ser diferenciable Es decir toda funcioacuten diferenciable en un punto C es continua en C pero no toda funcioacuten continua en C es diferenciable en C (como f(x) = |x| es continua pero no diferenciable en x = 0)
22 REGLA GENERAL PARA DERIVAR FUNCIONES
Es difiacutecil hallar directamente la pendiente de la recta tangente de una funcioacuten porque soacutelo conocemos un punto de eacutesta el punto donde ha de ser tangente a la funcioacuten Por ello aproximaremos la recta tangente por rectas secantes Cuando tomemos el liacutemite de las pendientes de las secantes proacuteximas obtendremos la pendiente de la recta tangente Para obtener estas pendientes tomemos un nuacutemero arbitrariamente pequentildeo que llamaremos h h representa una pequentildea variacioacuten en x y puede ser tanto positivo como negativo La pendiente de la recta entre los puntos (xf(x)) y (x + hf(x + h)) es
Esta expresioacuten es un cociente diferencial de Newton La derivada de f en x es el liacutemite del valor del cociente diferencial conforme las liacuteneas secantes se acercan maacutes a la tangente
Si la derivada de f existe en cada punto x podemos definir la derivada de f como la funcioacuten cuyo valor en el punto x es la derivada de f en x Puesto que la inmediata sustitucioacuten de h por 0 da como resultado una divisioacuten por cero calcular la derivada directamente puede ser poco intuitivo Una teacutecnica es simplificar el numerador de modo que la h del denominador pueda ser cancelada Esto resulta muy sencillo con funciones poli noacutemicas pero para la mayoriacutea de las funciones resulta demasiado complicado Afortunadamente
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hay reglas generales que facilitan la diferenciacioacuten de la mayoriacutea de las funciones descritas ver abajo Algunos ejemplos de coacutemo utilizar este cociente Ejemplo 1 Consideremos la siguiente funcioacuten
Entonces
Esta funcioacuten es constante para cualquier punto de su dominio vale 5 (por eso f(x+h)=5) Noacutetese el uacuteltimo paso donde h tiende a cero pero no lo toca Si pensamos un poco observaremos que la derivada ademaacutes de ser la pendiente de la recta tangente a la curva es a la vez la recta secante a la misma curva
2 Consideremos la graacutefica de Esta recta tiene una pendiente igual a 2 en cada punto Utilizando el cociente mostrado arriba (junto a los conceptos de liacutemite secante y tangente) podremos determinar las pendientes en los puntos 4 y 5
Entonces
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El valor de la funcioacuten derivada de una recta es igual a la pendiente de la misma 3 Mediante esta diferenciacioacuten se puede calcular la pendiente de una curva Consideremos que
Entonces
Para cualquier punto x la pendiente de la funcioacuten es
NOTACIOacuteN
La notacioacuten maacutes simple para la diferenciacioacuten que se utiliza en la actualidad se debe a Lagrange y utiliza un apoacutestrofo o comilla prime De esta manera se expresan las derivadas de la funcioacuten f(x) en el punto x = a se escribe Para la primera derivada
Para la segunda derivada
Para la tercera derivada y luego de forma general
Para la n-eacutesima derivada (donde normalmente se da que n gt 3)
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Para la funcioacuten cuyo valor en cada x es la derivada de se escribe
De forma similar para la segunda derivada de f se escribe y asiacute sucesivamente La otra notacioacuten comuacuten para la diferenciacioacuten se debe a Leibniz Para la funcioacuten cuyo valor en x es la derivada de f en x se escribe
Se puede escribir la derivada de f en el punto a de dos formas distintas
Si la resultante de f(x) es otra variable por ejemplo si y=f(x) se puede escribir la derivada como
La notacioacuten de Newton para la diferenciacioacuten consiste en poner un punto sobre el nombre de la funcioacuten
y asiacute sucesivamente La notacioacuten de Newton se utiliza principalmente en la mecaacutenica normalmente para las derivadas con respecto al tiempo tales como la velocidad y la aceleracioacuten y en la teoriacutea de ecuaciones diferenciales ordinarias Normalmente soacutelo se utilizan para la primera y segunda derivadas Otra notacioacuten consiste en colocar una letra D mayuacutescula para indicar la operacioacuten de diferenciacioacuten con un subiacutendice que indica la variable sobre la que se derivaraacute
Dxf
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que es equivalente a la expresioacuten
En ese contexto se considera a la diferenciacioacuten como una operacioacuten sobre
funciones de modo que los siacutembolos y Dx son llamados operadores diferenciales
DERIVADAS DE FUNCIONES
NOMBRE FUNCIOacuteN DERIVADA
CONSTANTE kxf )( 1)( xf
ALGEBRAICA nxxf )( 1 )( nnxxf
LOGARIacuteTMICA
xxf alog)( )ln(
1)(
axxf
xxf ln)( x
xf1
)(
EXPONENCIAL
xaxf )( )ln()( aaxf x
xexf )( xexf )(
TRIGONOMEacuteTRICAS
xxf sin)( xxf cos)(
xxf cos)( xxf sin)(
xxf tan)( xxf 2 sec)(
xxf sec)( xxxf tansec)(
xxf cot)( xxf 2 csc)(
xxf csc)( xxxf cotcsc)(
FUNCIONES COMPUESTAS
NOMBRE FUNCIOacuteN DERIVADA
SUMA o
DIFERENCIA )()()( xhxgxf )()()( xhxgxf
PRODUCTO )()()( xhxgxf )()()()()( xhxgxhxgxf
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COCIENTE )(
)()(
xh
xgxf
)(
)()()()()(
2
xh
xhxgxhxgxf
FUNCIONES INVERSAS
TRIGONOMEacuteTRICAS
xxf 1sin)( 2
1
1)(
xxf
xxf 1cos)( 2
1
1)(
xxf
xxf 1tan)( 2
1
1)(
xxf
Ejemplos
Derivar las siguientes funciones
a
b
c
NOTA El desarrollo algebraico de lo deja al estudiante ELERCICIOS Derivar las siguientes funciones
1 453)( 25 xxxf
2 xxxxf 464)( 42
3 )1)(()( 32 xxxxf (es un producto)
16)(
1)3)(2()(
13)(
2
xxf
xxf
xxf
1128)(
42)(
23
34
xxxf
xxxxf
22
2
22
2
2
)3(
2
)3(
)1)(23()3)(1()(
3
1)(
xx
xx
xx
xxxxxf
xx
xxf
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SUPERIOR ldquoDAVID AUSUBELrdquo
SEMIPRESENCIAL
VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
23
4 3
23)(
x
xxf
5 xxf 3log)(
6 xexf )(
7 xxf 12)(
DERIVADAS SUCESIVAS DE UNA FUNCIOacuteN Regla de la cadena Definicioacuten Sea y = f(u) u = g(x) si g es diferenciable en x y f f es diferenciable en u = g(x) entonces la funcioacuten compuesta definida por f(g(x)) es diferenciable en x y
)()( xgxgfdx
xgdf
En palabras decimos que La derivada de una funcioacuten compuesta es la derivada de la funcioacuten exterior evaluada en la funcioacuten interna por la derivada de la funcioacuten interna DERIVADAS SUPERIORES Las derivadas de orden superior aparecen desde la segunda derivada en adelante consisten en derivar la funcioacuten inmediatamente anterior cuantas veces sea necesario
oacute
para la n-eacutesima derivada de f(x) o y respectivamente Histoacutericamente esto proviene del hecho de que por ejemplo la tercera derivada es
que se puede escribir sin mucho rigor como
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VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
24
Eliminando las llaves nos da la notacioacuten que estaacute arriba
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25
CAPITULO III
3 INTEGRAL INDEFINIDA
31 Definicioacuten Llamamos a F una antiderivada de f en el intervalo I si Dx F(x)
= f(x) en I esto es si Facute(x) = f(x) para todo x en I
Teorema 1 Regla de la potencia
Si r es cualquier nuacutemero racional excepto -1 entonces
Cr
xdxx
rr
1
1
Corolario Regla generalizada de la potencia
Cr
xgdxxgxg
rr
1
)()()(
1
Teorema 2 La integral definida es un operador lineal
Sean f y g antiderivadas (integrales indefinidas) y sea k una constante
Entonces
a dxxfkdxxkf )()(
b dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
c dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
32 PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LA ANTIDIFERENCIACIOacuteN
Esta propiedad indica que podemos sacar un factor constante de la integral
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28
CAPITULO IV
4 MEacuteTODOS DE INTEGRACIOacuteN
Teorema 1 Regla de sustitucioacuten
Sea g una funcioacuten derivable y suponga que F es una antiderivada de f
Entonces u = g(x)
CxgFCuFduufdxxgxgf ))(()()()(
Teorema 2 Integracioacuten por partes
dxxuxvxvxuxvxu )()()()()()(
Teorema 3 Integraciones trigonomeacutetricas
Ejercicios resueltos
Efectuacutee las operaciones de antidiferenciacioacuten que se indican aplicando las
propiedades correspondientes en cada caso
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29
S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
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30
4 Solucioacuten
5 Solucioacuten
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31
6 Solucioacuten
7 Solucioacuten
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32
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33
AUTOEVALUACIOacuteN PARA CAPIacuteTULOS 1 Y 2
Realice las integrales indicadas
dxx
xf
x
xxe
dtt
d
dxxxc
dxxxb
dxxa
2
2
2
5
5
cos
tan)
1
23)
12
5)
1)
5)
5)
dxxk
dtt
tj
dxxxi
dxxeh
dxxxg
x
2
5
csc)
ln)
1)
)
cos)
Utiliza la tabla de integrales para resolver los siguientes ejercicios
32)
1
32)
53)
169)
23)
2
2
22
2
tt
dte
dxx
xxd
dxxxc
x
dxb
dxxxa
TABLA DE INTEGRALES
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BIBLIOGRAFIacuteA
PURCELL VARBERG RIGDON 2003 Caacutelculo Diferencial e Integral
Pearson Prentice Hall Ecuador
GRANVILLE SMITH LONGLEY 1974 Caacutelculo Diferencial e Integral
Uteha Meacutexico
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11
ncx
n
cx
n
cx
n
cx
cx
cx
cx
cxcxcx
cxcxcx
cxcxcx
cxcx
cx
cx
xfxf
xfxf
xg
xf
xg
xf
xgxfxgxf
xgxfxgxf
xgxfxgxf
xfkxkf
cx
kk
)(lim)(lim
)(lim)(lim
)(lim
)(lim
)(
)(lim
)(lim)(lim)()(lim
)(lim)(lim)()(lim
)(lim)(lim)()(lim
)(lim)(lim
lim
lim
Teorema de sustitucioacuten
Sea f una funcioacuten polinomial o una funcioacuten racional entonces
)()(lim cfxfcx
Liacutemites infinitos
Para calcular liacutemites al infinito es necesario dividir cada teacutermino de la
expresioacuten para el x con el mayor exponente y recordar que 01
y
0
1
Ejemplos
Calcular cada uno de los siguientes liacutemites
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12
054
2510lim
10
0
5)5(45
25)5(105lim
5)5(45
25)5(105lim
54
2510lim)
2
2
5
2
2
5
2
2
5
2
2
5
xx
xx
xx
xxa
x
x
x
x
24
13
49
214lim
48
26
49)1(
21)1(4)1(lim
49
214lim
2
2
1
2
2
1
2
2
1
x
xx
x
xx
x
x
x
14
86lim
01
001
4
86
lim
4
86lim)
2
2
22
2
222
2
2
2
xx
xx
x
x
x
x
xx
x
x
x
xx
xxc
x
x
x
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13
CAPITULO I
1 CONTINUIDAD
11 Definicioacuten Sea f definida en un intervalo abierto que contiene a c
Decimos que f es continua en c si
)()(lim cfxfcx
12 CONTINUIDADA
13 TEOREMAS SOBRE CONTINUIDAD
A Continuidad de funciones polinomiales y racionales
Una funcioacuten polinomial es continua en todo nuacutemero real c Una funcioacuten
racional es continua en todo nuacutemero real c en su dominio esto es en
todas partes excepto en donde el denominador es cero
B Continuidad de las funciones valor absoluto y raiacutez n-eacutesima
La funcioacuten valor absoluto es continua en todo valor real c Si n es impar
la funcioacuten raiacutez n-eacutesima es continua en todo valor real c si n es par la
raiacutez n-eacutesima es continua en todo valor positivo real c
C Continuidad de funciones trigonomeacutetricas
Las funciones seno y coseno son continuas en todo nuacutemero real c Las
funciones tan ctan csc sec son continuas en todo nuacutemero real c en
sus dominio
D Teorema del valor medio
Si f es una funcioacuten definida en un intervalo [ a b ] y sea W un nuacutemero
entre f(a) y f(b) Si f es continua en [ a b ] entonces existe al menos un
nuacutemero c entre a y b tal que f(c) = W
Ejemplos
Determinar la continuidad de las siguientes funciones
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14
a 52)( 2 xxxf
Por ser polinomial es continua en todos los nuacutemeros reales
b 1
1)(
xxf
Como se trata de una funcioacuten racional se puede notar que si x = 1 el
denominador se hace cero y por lo tanto existiriacutea una indeterminacioacuten
entonces es continua en todos los nuacutemeros reales excepto en 1
c 3
32)(
2
x
xxxf
Como podemos observar si x = -3 en el denominador la funcioacuten no
existe por lo tanto podriacuteamos decir que la funcioacuten es discontinua todos
los nuacutemeros reales excepto en -3 pero si facturamos el numerador y
simplificamos
13
)1)(3()(
x
x
xxxf
Podemos concluir que la funcioacuten es polinomial y por lo tanto es continua
en todos los reales (El factoreo es de mucha ayuda en las funciones
polinomiales)
14 CONTINUIDAD UNIFORME
Las funciones polinomiales valor absoluto sen (x) y cos (x) son continuas
de forma uniforme
15 FUNCIONES CASI CONTINUAS
Cualquier otra funcioacuten que no sean las nombradas anteriormente son casi
continuas ya que tienen por lo meno un nuacutemero real donde la funcioacuten no
existe
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15
EJERCICIOS
Determinar la continuidad de las siguientes funciones
a 5263)( 2 xxxf
b 4
3)(
x
xxf
c 5)( xxf
d 5 4)( xxf
e )2(
)4()(
2
x
xxf
f 2
44)(
2
x
xxxf
g 3
)65()(
2
x
xxxf
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CAPITULO II
2 DERIVADAS
21 DEFINICIOacuteN BAacuteSICA E INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA
En matemaacutetica la derivada de una funcioacuten es uno de los dos conceptos centrales del caacutelculo Las derivadas se definen tomando el liacutemite de la pendiente de las rectas secantes conforme se van aproximando a la recta tangente La derivada de una funcioacuten en un cierto punto es una medida de la tasa en la cual una funcioacuten cambia conforme un argumento se modifica Esto es una derivada involucra en teacuterminos matemaacuteticos una tasa de cambio Una derivada es el caacutelculo de las pendientes instantaacuteneas de f(x) en cada punto x Esto se corresponde a las pendientes de las tangentes de la graacutefica de dicha funcioacuten en el punto dado dichas tangentes pueden ser aproximadas por una secante que pase por dos puntos muy cercanos al punto bajo el que se desea obtener la tangente Las funciones no tienen derivadas en los puntos en donde hay una tangente vertical (la cual tiene una pendiente infinita) una discontinuidad o bien un pico
La Diferenciacioacuten puede ser usada para determinar el cambio que se produce como resultado de otro cambio si estaacute determinada una relacioacuten matemaacutetica entre dos objetos
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Una funcioacuten es diferenciable en un punto x si su derivada existe en ese punto una funcioacuten es diferenciable en un intervalo si lo es en cada punto x perteneciente al intervalo Si una funcioacuten no es continua en c entonces no puede ser diferenciable en c sin embargo aunque una funcioacuten sea continua en c puede no ser diferenciable Es decir toda funcioacuten diferenciable en un punto C es continua en C pero no toda funcioacuten continua en C es diferenciable en C (como f(x) = |x| es continua pero no diferenciable en x = 0)
22 REGLA GENERAL PARA DERIVAR FUNCIONES
Es difiacutecil hallar directamente la pendiente de la recta tangente de una funcioacuten porque soacutelo conocemos un punto de eacutesta el punto donde ha de ser tangente a la funcioacuten Por ello aproximaremos la recta tangente por rectas secantes Cuando tomemos el liacutemite de las pendientes de las secantes proacuteximas obtendremos la pendiente de la recta tangente Para obtener estas pendientes tomemos un nuacutemero arbitrariamente pequentildeo que llamaremos h h representa una pequentildea variacioacuten en x y puede ser tanto positivo como negativo La pendiente de la recta entre los puntos (xf(x)) y (x + hf(x + h)) es
Esta expresioacuten es un cociente diferencial de Newton La derivada de f en x es el liacutemite del valor del cociente diferencial conforme las liacuteneas secantes se acercan maacutes a la tangente
Si la derivada de f existe en cada punto x podemos definir la derivada de f como la funcioacuten cuyo valor en el punto x es la derivada de f en x Puesto que la inmediata sustitucioacuten de h por 0 da como resultado una divisioacuten por cero calcular la derivada directamente puede ser poco intuitivo Una teacutecnica es simplificar el numerador de modo que la h del denominador pueda ser cancelada Esto resulta muy sencillo con funciones poli noacutemicas pero para la mayoriacutea de las funciones resulta demasiado complicado Afortunadamente
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hay reglas generales que facilitan la diferenciacioacuten de la mayoriacutea de las funciones descritas ver abajo Algunos ejemplos de coacutemo utilizar este cociente Ejemplo 1 Consideremos la siguiente funcioacuten
Entonces
Esta funcioacuten es constante para cualquier punto de su dominio vale 5 (por eso f(x+h)=5) Noacutetese el uacuteltimo paso donde h tiende a cero pero no lo toca Si pensamos un poco observaremos que la derivada ademaacutes de ser la pendiente de la recta tangente a la curva es a la vez la recta secante a la misma curva
2 Consideremos la graacutefica de Esta recta tiene una pendiente igual a 2 en cada punto Utilizando el cociente mostrado arriba (junto a los conceptos de liacutemite secante y tangente) podremos determinar las pendientes en los puntos 4 y 5
Entonces
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El valor de la funcioacuten derivada de una recta es igual a la pendiente de la misma 3 Mediante esta diferenciacioacuten se puede calcular la pendiente de una curva Consideremos que
Entonces
Para cualquier punto x la pendiente de la funcioacuten es
NOTACIOacuteN
La notacioacuten maacutes simple para la diferenciacioacuten que se utiliza en la actualidad se debe a Lagrange y utiliza un apoacutestrofo o comilla prime De esta manera se expresan las derivadas de la funcioacuten f(x) en el punto x = a se escribe Para la primera derivada
Para la segunda derivada
Para la tercera derivada y luego de forma general
Para la n-eacutesima derivada (donde normalmente se da que n gt 3)
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20
Para la funcioacuten cuyo valor en cada x es la derivada de se escribe
De forma similar para la segunda derivada de f se escribe y asiacute sucesivamente La otra notacioacuten comuacuten para la diferenciacioacuten se debe a Leibniz Para la funcioacuten cuyo valor en x es la derivada de f en x se escribe
Se puede escribir la derivada de f en el punto a de dos formas distintas
Si la resultante de f(x) es otra variable por ejemplo si y=f(x) se puede escribir la derivada como
La notacioacuten de Newton para la diferenciacioacuten consiste en poner un punto sobre el nombre de la funcioacuten
y asiacute sucesivamente La notacioacuten de Newton se utiliza principalmente en la mecaacutenica normalmente para las derivadas con respecto al tiempo tales como la velocidad y la aceleracioacuten y en la teoriacutea de ecuaciones diferenciales ordinarias Normalmente soacutelo se utilizan para la primera y segunda derivadas Otra notacioacuten consiste en colocar una letra D mayuacutescula para indicar la operacioacuten de diferenciacioacuten con un subiacutendice que indica la variable sobre la que se derivaraacute
Dxf
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que es equivalente a la expresioacuten
En ese contexto se considera a la diferenciacioacuten como una operacioacuten sobre
funciones de modo que los siacutembolos y Dx son llamados operadores diferenciales
DERIVADAS DE FUNCIONES
NOMBRE FUNCIOacuteN DERIVADA
CONSTANTE kxf )( 1)( xf
ALGEBRAICA nxxf )( 1 )( nnxxf
LOGARIacuteTMICA
xxf alog)( )ln(
1)(
axxf
xxf ln)( x
xf1
)(
EXPONENCIAL
xaxf )( )ln()( aaxf x
xexf )( xexf )(
TRIGONOMEacuteTRICAS
xxf sin)( xxf cos)(
xxf cos)( xxf sin)(
xxf tan)( xxf 2 sec)(
xxf sec)( xxxf tansec)(
xxf cot)( xxf 2 csc)(
xxf csc)( xxxf cotcsc)(
FUNCIONES COMPUESTAS
NOMBRE FUNCIOacuteN DERIVADA
SUMA o
DIFERENCIA )()()( xhxgxf )()()( xhxgxf
PRODUCTO )()()( xhxgxf )()()()()( xhxgxhxgxf
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22
COCIENTE )(
)()(
xh
xgxf
)(
)()()()()(
2
xh
xhxgxhxgxf
FUNCIONES INVERSAS
TRIGONOMEacuteTRICAS
xxf 1sin)( 2
1
1)(
xxf
xxf 1cos)( 2
1
1)(
xxf
xxf 1tan)( 2
1
1)(
xxf
Ejemplos
Derivar las siguientes funciones
a
b
c
NOTA El desarrollo algebraico de lo deja al estudiante ELERCICIOS Derivar las siguientes funciones
1 453)( 25 xxxf
2 xxxxf 464)( 42
3 )1)(()( 32 xxxxf (es un producto)
16)(
1)3)(2()(
13)(
2
xxf
xxf
xxf
1128)(
42)(
23
34
xxxf
xxxxf
22
2
22
2
2
)3(
2
)3(
)1)(23()3)(1()(
3
1)(
xx
xx
xx
xxxxxf
xx
xxf
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23
4 3
23)(
x
xxf
5 xxf 3log)(
6 xexf )(
7 xxf 12)(
DERIVADAS SUCESIVAS DE UNA FUNCIOacuteN Regla de la cadena Definicioacuten Sea y = f(u) u = g(x) si g es diferenciable en x y f f es diferenciable en u = g(x) entonces la funcioacuten compuesta definida por f(g(x)) es diferenciable en x y
)()( xgxgfdx
xgdf
En palabras decimos que La derivada de una funcioacuten compuesta es la derivada de la funcioacuten exterior evaluada en la funcioacuten interna por la derivada de la funcioacuten interna DERIVADAS SUPERIORES Las derivadas de orden superior aparecen desde la segunda derivada en adelante consisten en derivar la funcioacuten inmediatamente anterior cuantas veces sea necesario
oacute
para la n-eacutesima derivada de f(x) o y respectivamente Histoacutericamente esto proviene del hecho de que por ejemplo la tercera derivada es
que se puede escribir sin mucho rigor como
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Eliminando las llaves nos da la notacioacuten que estaacute arriba
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3 INTEGRAL INDEFINIDA
31 Definicioacuten Llamamos a F una antiderivada de f en el intervalo I si Dx F(x)
= f(x) en I esto es si Facute(x) = f(x) para todo x en I
Teorema 1 Regla de la potencia
Si r es cualquier nuacutemero racional excepto -1 entonces
Cr
xdxx
rr
1
1
Corolario Regla generalizada de la potencia
Cr
xgdxxgxg
rr
1
)()()(
1
Teorema 2 La integral definida es un operador lineal
Sean f y g antiderivadas (integrales indefinidas) y sea k una constante
Entonces
a dxxfkdxxkf )()(
b dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
c dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
32 PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LA ANTIDIFERENCIACIOacuteN
Esta propiedad indica que podemos sacar un factor constante de la integral
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CAPITULO IV
4 MEacuteTODOS DE INTEGRACIOacuteN
Teorema 1 Regla de sustitucioacuten
Sea g una funcioacuten derivable y suponga que F es una antiderivada de f
Entonces u = g(x)
CxgFCuFduufdxxgxgf ))(()()()(
Teorema 2 Integracioacuten por partes
dxxuxvxvxuxvxu )()()()()()(
Teorema 3 Integraciones trigonomeacutetricas
Ejercicios resueltos
Efectuacutee las operaciones de antidiferenciacioacuten que se indican aplicando las
propiedades correspondientes en cada caso
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S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
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30
4 Solucioacuten
5 Solucioacuten
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6 Solucioacuten
7 Solucioacuten
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AUTOEVALUACIOacuteN PARA CAPIacuteTULOS 1 Y 2
Realice las integrales indicadas
dxx
xf
x
xxe
dtt
d
dxxxc
dxxxb
dxxa
2
2
2
5
5
cos
tan)
1
23)
12
5)
1)
5)
5)
dxxk
dtt
tj
dxxxi
dxxeh
dxxxg
x
2
5
csc)
ln)
1)
)
cos)
Utiliza la tabla de integrales para resolver los siguientes ejercicios
32)
1
32)
53)
169)
23)
2
2
22
2
tt
dte
dxx
xxd
dxxxc
x
dxb
dxxxa
TABLA DE INTEGRALES
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BIBLIOGRAFIacuteA
PURCELL VARBERG RIGDON 2003 Caacutelculo Diferencial e Integral
Pearson Prentice Hall Ecuador
GRANVILLE SMITH LONGLEY 1974 Caacutelculo Diferencial e Integral
Uteha Meacutexico
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12
054
2510lim
10
0
5)5(45
25)5(105lim
5)5(45
25)5(105lim
54
2510lim)
2
2
5
2
2
5
2
2
5
2
2
5
xx
xx
xx
xxa
x
x
x
x
24
13
49
214lim
48
26
49)1(
21)1(4)1(lim
49
214lim
2
2
1
2
2
1
2
2
1
x
xx
x
xx
x
x
x
14
86lim
01
001
4
86
lim
4
86lim)
2
2
22
2
222
2
2
2
xx
xx
x
x
x
x
xx
x
x
x
xx
xxc
x
x
x
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13
CAPITULO I
1 CONTINUIDAD
11 Definicioacuten Sea f definida en un intervalo abierto que contiene a c
Decimos que f es continua en c si
)()(lim cfxfcx
12 CONTINUIDADA
13 TEOREMAS SOBRE CONTINUIDAD
A Continuidad de funciones polinomiales y racionales
Una funcioacuten polinomial es continua en todo nuacutemero real c Una funcioacuten
racional es continua en todo nuacutemero real c en su dominio esto es en
todas partes excepto en donde el denominador es cero
B Continuidad de las funciones valor absoluto y raiacutez n-eacutesima
La funcioacuten valor absoluto es continua en todo valor real c Si n es impar
la funcioacuten raiacutez n-eacutesima es continua en todo valor real c si n es par la
raiacutez n-eacutesima es continua en todo valor positivo real c
C Continuidad de funciones trigonomeacutetricas
Las funciones seno y coseno son continuas en todo nuacutemero real c Las
funciones tan ctan csc sec son continuas en todo nuacutemero real c en
sus dominio
D Teorema del valor medio
Si f es una funcioacuten definida en un intervalo [ a b ] y sea W un nuacutemero
entre f(a) y f(b) Si f es continua en [ a b ] entonces existe al menos un
nuacutemero c entre a y b tal que f(c) = W
Ejemplos
Determinar la continuidad de las siguientes funciones
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a 52)( 2 xxxf
Por ser polinomial es continua en todos los nuacutemeros reales
b 1
1)(
xxf
Como se trata de una funcioacuten racional se puede notar que si x = 1 el
denominador se hace cero y por lo tanto existiriacutea una indeterminacioacuten
entonces es continua en todos los nuacutemeros reales excepto en 1
c 3
32)(
2
x
xxxf
Como podemos observar si x = -3 en el denominador la funcioacuten no
existe por lo tanto podriacuteamos decir que la funcioacuten es discontinua todos
los nuacutemeros reales excepto en -3 pero si facturamos el numerador y
simplificamos
13
)1)(3()(
x
x
xxxf
Podemos concluir que la funcioacuten es polinomial y por lo tanto es continua
en todos los reales (El factoreo es de mucha ayuda en las funciones
polinomiales)
14 CONTINUIDAD UNIFORME
Las funciones polinomiales valor absoluto sen (x) y cos (x) son continuas
de forma uniforme
15 FUNCIONES CASI CONTINUAS
Cualquier otra funcioacuten que no sean las nombradas anteriormente son casi
continuas ya que tienen por lo meno un nuacutemero real donde la funcioacuten no
existe
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EJERCICIOS
Determinar la continuidad de las siguientes funciones
a 5263)( 2 xxxf
b 4
3)(
x
xxf
c 5)( xxf
d 5 4)( xxf
e )2(
)4()(
2
x
xxf
f 2
44)(
2
x
xxxf
g 3
)65()(
2
x
xxxf
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CAPITULO II
2 DERIVADAS
21 DEFINICIOacuteN BAacuteSICA E INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA
En matemaacutetica la derivada de una funcioacuten es uno de los dos conceptos centrales del caacutelculo Las derivadas se definen tomando el liacutemite de la pendiente de las rectas secantes conforme se van aproximando a la recta tangente La derivada de una funcioacuten en un cierto punto es una medida de la tasa en la cual una funcioacuten cambia conforme un argumento se modifica Esto es una derivada involucra en teacuterminos matemaacuteticos una tasa de cambio Una derivada es el caacutelculo de las pendientes instantaacuteneas de f(x) en cada punto x Esto se corresponde a las pendientes de las tangentes de la graacutefica de dicha funcioacuten en el punto dado dichas tangentes pueden ser aproximadas por una secante que pase por dos puntos muy cercanos al punto bajo el que se desea obtener la tangente Las funciones no tienen derivadas en los puntos en donde hay una tangente vertical (la cual tiene una pendiente infinita) una discontinuidad o bien un pico
La Diferenciacioacuten puede ser usada para determinar el cambio que se produce como resultado de otro cambio si estaacute determinada una relacioacuten matemaacutetica entre dos objetos
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Una funcioacuten es diferenciable en un punto x si su derivada existe en ese punto una funcioacuten es diferenciable en un intervalo si lo es en cada punto x perteneciente al intervalo Si una funcioacuten no es continua en c entonces no puede ser diferenciable en c sin embargo aunque una funcioacuten sea continua en c puede no ser diferenciable Es decir toda funcioacuten diferenciable en un punto C es continua en C pero no toda funcioacuten continua en C es diferenciable en C (como f(x) = |x| es continua pero no diferenciable en x = 0)
22 REGLA GENERAL PARA DERIVAR FUNCIONES
Es difiacutecil hallar directamente la pendiente de la recta tangente de una funcioacuten porque soacutelo conocemos un punto de eacutesta el punto donde ha de ser tangente a la funcioacuten Por ello aproximaremos la recta tangente por rectas secantes Cuando tomemos el liacutemite de las pendientes de las secantes proacuteximas obtendremos la pendiente de la recta tangente Para obtener estas pendientes tomemos un nuacutemero arbitrariamente pequentildeo que llamaremos h h representa una pequentildea variacioacuten en x y puede ser tanto positivo como negativo La pendiente de la recta entre los puntos (xf(x)) y (x + hf(x + h)) es
Esta expresioacuten es un cociente diferencial de Newton La derivada de f en x es el liacutemite del valor del cociente diferencial conforme las liacuteneas secantes se acercan maacutes a la tangente
Si la derivada de f existe en cada punto x podemos definir la derivada de f como la funcioacuten cuyo valor en el punto x es la derivada de f en x Puesto que la inmediata sustitucioacuten de h por 0 da como resultado una divisioacuten por cero calcular la derivada directamente puede ser poco intuitivo Una teacutecnica es simplificar el numerador de modo que la h del denominador pueda ser cancelada Esto resulta muy sencillo con funciones poli noacutemicas pero para la mayoriacutea de las funciones resulta demasiado complicado Afortunadamente
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hay reglas generales que facilitan la diferenciacioacuten de la mayoriacutea de las funciones descritas ver abajo Algunos ejemplos de coacutemo utilizar este cociente Ejemplo 1 Consideremos la siguiente funcioacuten
Entonces
Esta funcioacuten es constante para cualquier punto de su dominio vale 5 (por eso f(x+h)=5) Noacutetese el uacuteltimo paso donde h tiende a cero pero no lo toca Si pensamos un poco observaremos que la derivada ademaacutes de ser la pendiente de la recta tangente a la curva es a la vez la recta secante a la misma curva
2 Consideremos la graacutefica de Esta recta tiene una pendiente igual a 2 en cada punto Utilizando el cociente mostrado arriba (junto a los conceptos de liacutemite secante y tangente) podremos determinar las pendientes en los puntos 4 y 5
Entonces
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El valor de la funcioacuten derivada de una recta es igual a la pendiente de la misma 3 Mediante esta diferenciacioacuten se puede calcular la pendiente de una curva Consideremos que
Entonces
Para cualquier punto x la pendiente de la funcioacuten es
NOTACIOacuteN
La notacioacuten maacutes simple para la diferenciacioacuten que se utiliza en la actualidad se debe a Lagrange y utiliza un apoacutestrofo o comilla prime De esta manera se expresan las derivadas de la funcioacuten f(x) en el punto x = a se escribe Para la primera derivada
Para la segunda derivada
Para la tercera derivada y luego de forma general
Para la n-eacutesima derivada (donde normalmente se da que n gt 3)
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Para la funcioacuten cuyo valor en cada x es la derivada de se escribe
De forma similar para la segunda derivada de f se escribe y asiacute sucesivamente La otra notacioacuten comuacuten para la diferenciacioacuten se debe a Leibniz Para la funcioacuten cuyo valor en x es la derivada de f en x se escribe
Se puede escribir la derivada de f en el punto a de dos formas distintas
Si la resultante de f(x) es otra variable por ejemplo si y=f(x) se puede escribir la derivada como
La notacioacuten de Newton para la diferenciacioacuten consiste en poner un punto sobre el nombre de la funcioacuten
y asiacute sucesivamente La notacioacuten de Newton se utiliza principalmente en la mecaacutenica normalmente para las derivadas con respecto al tiempo tales como la velocidad y la aceleracioacuten y en la teoriacutea de ecuaciones diferenciales ordinarias Normalmente soacutelo se utilizan para la primera y segunda derivadas Otra notacioacuten consiste en colocar una letra D mayuacutescula para indicar la operacioacuten de diferenciacioacuten con un subiacutendice que indica la variable sobre la que se derivaraacute
Dxf
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que es equivalente a la expresioacuten
En ese contexto se considera a la diferenciacioacuten como una operacioacuten sobre
funciones de modo que los siacutembolos y Dx son llamados operadores diferenciales
DERIVADAS DE FUNCIONES
NOMBRE FUNCIOacuteN DERIVADA
CONSTANTE kxf )( 1)( xf
ALGEBRAICA nxxf )( 1 )( nnxxf
LOGARIacuteTMICA
xxf alog)( )ln(
1)(
axxf
xxf ln)( x
xf1
)(
EXPONENCIAL
xaxf )( )ln()( aaxf x
xexf )( xexf )(
TRIGONOMEacuteTRICAS
xxf sin)( xxf cos)(
xxf cos)( xxf sin)(
xxf tan)( xxf 2 sec)(
xxf sec)( xxxf tansec)(
xxf cot)( xxf 2 csc)(
xxf csc)( xxxf cotcsc)(
FUNCIONES COMPUESTAS
NOMBRE FUNCIOacuteN DERIVADA
SUMA o
DIFERENCIA )()()( xhxgxf )()()( xhxgxf
PRODUCTO )()()( xhxgxf )()()()()( xhxgxhxgxf
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COCIENTE )(
)()(
xh
xgxf
)(
)()()()()(
2
xh
xhxgxhxgxf
FUNCIONES INVERSAS
TRIGONOMEacuteTRICAS
xxf 1sin)( 2
1
1)(
xxf
xxf 1cos)( 2
1
1)(
xxf
xxf 1tan)( 2
1
1)(
xxf
Ejemplos
Derivar las siguientes funciones
a
b
c
NOTA El desarrollo algebraico de lo deja al estudiante ELERCICIOS Derivar las siguientes funciones
1 453)( 25 xxxf
2 xxxxf 464)( 42
3 )1)(()( 32 xxxxf (es un producto)
16)(
1)3)(2()(
13)(
2
xxf
xxf
xxf
1128)(
42)(
23
34
xxxf
xxxxf
22
2
22
2
2
)3(
2
)3(
)1)(23()3)(1()(
3
1)(
xx
xx
xx
xxxxxf
xx
xxf
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23
4 3
23)(
x
xxf
5 xxf 3log)(
6 xexf )(
7 xxf 12)(
DERIVADAS SUCESIVAS DE UNA FUNCIOacuteN Regla de la cadena Definicioacuten Sea y = f(u) u = g(x) si g es diferenciable en x y f f es diferenciable en u = g(x) entonces la funcioacuten compuesta definida por f(g(x)) es diferenciable en x y
)()( xgxgfdx
xgdf
En palabras decimos que La derivada de una funcioacuten compuesta es la derivada de la funcioacuten exterior evaluada en la funcioacuten interna por la derivada de la funcioacuten interna DERIVADAS SUPERIORES Las derivadas de orden superior aparecen desde la segunda derivada en adelante consisten en derivar la funcioacuten inmediatamente anterior cuantas veces sea necesario
oacute
para la n-eacutesima derivada de f(x) o y respectivamente Histoacutericamente esto proviene del hecho de que por ejemplo la tercera derivada es
que se puede escribir sin mucho rigor como
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Eliminando las llaves nos da la notacioacuten que estaacute arriba
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CAPITULO III
3 INTEGRAL INDEFINIDA
31 Definicioacuten Llamamos a F una antiderivada de f en el intervalo I si Dx F(x)
= f(x) en I esto es si Facute(x) = f(x) para todo x en I
Teorema 1 Regla de la potencia
Si r es cualquier nuacutemero racional excepto -1 entonces
Cr
xdxx
rr
1
1
Corolario Regla generalizada de la potencia
Cr
xgdxxgxg
rr
1
)()()(
1
Teorema 2 La integral definida es un operador lineal
Sean f y g antiderivadas (integrales indefinidas) y sea k una constante
Entonces
a dxxfkdxxkf )()(
b dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
c dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
32 PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LA ANTIDIFERENCIACIOacuteN
Esta propiedad indica que podemos sacar un factor constante de la integral
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CAPITULO IV
4 MEacuteTODOS DE INTEGRACIOacuteN
Teorema 1 Regla de sustitucioacuten
Sea g una funcioacuten derivable y suponga que F es una antiderivada de f
Entonces u = g(x)
CxgFCuFduufdxxgxgf ))(()()()(
Teorema 2 Integracioacuten por partes
dxxuxvxvxuxvxu )()()()()()(
Teorema 3 Integraciones trigonomeacutetricas
Ejercicios resueltos
Efectuacutee las operaciones de antidiferenciacioacuten que se indican aplicando las
propiedades correspondientes en cada caso
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S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
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4 Solucioacuten
5 Solucioacuten
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6 Solucioacuten
7 Solucioacuten
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AUTOEVALUACIOacuteN PARA CAPIacuteTULOS 1 Y 2
Realice las integrales indicadas
dxx
xf
x
xxe
dtt
d
dxxxc
dxxxb
dxxa
2
2
2
5
5
cos
tan)
1
23)
12
5)
1)
5)
5)
dxxk
dtt
tj
dxxxi
dxxeh
dxxxg
x
2
5
csc)
ln)
1)
)
cos)
Utiliza la tabla de integrales para resolver los siguientes ejercicios
32)
1
32)
53)
169)
23)
2
2
22
2
tt
dte
dxx
xxd
dxxxc
x
dxb
dxxxa
TABLA DE INTEGRALES
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BIBLIOGRAFIacuteA
PURCELL VARBERG RIGDON 2003 Caacutelculo Diferencial e Integral
Pearson Prentice Hall Ecuador
GRANVILLE SMITH LONGLEY 1974 Caacutelculo Diferencial e Integral
Uteha Meacutexico
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CAPITULO I
1 CONTINUIDAD
11 Definicioacuten Sea f definida en un intervalo abierto que contiene a c
Decimos que f es continua en c si
)()(lim cfxfcx
12 CONTINUIDADA
13 TEOREMAS SOBRE CONTINUIDAD
A Continuidad de funciones polinomiales y racionales
Una funcioacuten polinomial es continua en todo nuacutemero real c Una funcioacuten
racional es continua en todo nuacutemero real c en su dominio esto es en
todas partes excepto en donde el denominador es cero
B Continuidad de las funciones valor absoluto y raiacutez n-eacutesima
La funcioacuten valor absoluto es continua en todo valor real c Si n es impar
la funcioacuten raiacutez n-eacutesima es continua en todo valor real c si n es par la
raiacutez n-eacutesima es continua en todo valor positivo real c
C Continuidad de funciones trigonomeacutetricas
Las funciones seno y coseno son continuas en todo nuacutemero real c Las
funciones tan ctan csc sec son continuas en todo nuacutemero real c en
sus dominio
D Teorema del valor medio
Si f es una funcioacuten definida en un intervalo [ a b ] y sea W un nuacutemero
entre f(a) y f(b) Si f es continua en [ a b ] entonces existe al menos un
nuacutemero c entre a y b tal que f(c) = W
Ejemplos
Determinar la continuidad de las siguientes funciones
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a 52)( 2 xxxf
Por ser polinomial es continua en todos los nuacutemeros reales
b 1
1)(
xxf
Como se trata de una funcioacuten racional se puede notar que si x = 1 el
denominador se hace cero y por lo tanto existiriacutea una indeterminacioacuten
entonces es continua en todos los nuacutemeros reales excepto en 1
c 3
32)(
2
x
xxxf
Como podemos observar si x = -3 en el denominador la funcioacuten no
existe por lo tanto podriacuteamos decir que la funcioacuten es discontinua todos
los nuacutemeros reales excepto en -3 pero si facturamos el numerador y
simplificamos
13
)1)(3()(
x
x
xxxf
Podemos concluir que la funcioacuten es polinomial y por lo tanto es continua
en todos los reales (El factoreo es de mucha ayuda en las funciones
polinomiales)
14 CONTINUIDAD UNIFORME
Las funciones polinomiales valor absoluto sen (x) y cos (x) son continuas
de forma uniforme
15 FUNCIONES CASI CONTINUAS
Cualquier otra funcioacuten que no sean las nombradas anteriormente son casi
continuas ya que tienen por lo meno un nuacutemero real donde la funcioacuten no
existe
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EJERCICIOS
Determinar la continuidad de las siguientes funciones
a 5263)( 2 xxxf
b 4
3)(
x
xxf
c 5)( xxf
d 5 4)( xxf
e )2(
)4()(
2
x
xxf
f 2
44)(
2
x
xxxf
g 3
)65()(
2
x
xxxf
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2 DERIVADAS
21 DEFINICIOacuteN BAacuteSICA E INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA
En matemaacutetica la derivada de una funcioacuten es uno de los dos conceptos centrales del caacutelculo Las derivadas se definen tomando el liacutemite de la pendiente de las rectas secantes conforme se van aproximando a la recta tangente La derivada de una funcioacuten en un cierto punto es una medida de la tasa en la cual una funcioacuten cambia conforme un argumento se modifica Esto es una derivada involucra en teacuterminos matemaacuteticos una tasa de cambio Una derivada es el caacutelculo de las pendientes instantaacuteneas de f(x) en cada punto x Esto se corresponde a las pendientes de las tangentes de la graacutefica de dicha funcioacuten en el punto dado dichas tangentes pueden ser aproximadas por una secante que pase por dos puntos muy cercanos al punto bajo el que se desea obtener la tangente Las funciones no tienen derivadas en los puntos en donde hay una tangente vertical (la cual tiene una pendiente infinita) una discontinuidad o bien un pico
La Diferenciacioacuten puede ser usada para determinar el cambio que se produce como resultado de otro cambio si estaacute determinada una relacioacuten matemaacutetica entre dos objetos
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Una funcioacuten es diferenciable en un punto x si su derivada existe en ese punto una funcioacuten es diferenciable en un intervalo si lo es en cada punto x perteneciente al intervalo Si una funcioacuten no es continua en c entonces no puede ser diferenciable en c sin embargo aunque una funcioacuten sea continua en c puede no ser diferenciable Es decir toda funcioacuten diferenciable en un punto C es continua en C pero no toda funcioacuten continua en C es diferenciable en C (como f(x) = |x| es continua pero no diferenciable en x = 0)
22 REGLA GENERAL PARA DERIVAR FUNCIONES
Es difiacutecil hallar directamente la pendiente de la recta tangente de una funcioacuten porque soacutelo conocemos un punto de eacutesta el punto donde ha de ser tangente a la funcioacuten Por ello aproximaremos la recta tangente por rectas secantes Cuando tomemos el liacutemite de las pendientes de las secantes proacuteximas obtendremos la pendiente de la recta tangente Para obtener estas pendientes tomemos un nuacutemero arbitrariamente pequentildeo que llamaremos h h representa una pequentildea variacioacuten en x y puede ser tanto positivo como negativo La pendiente de la recta entre los puntos (xf(x)) y (x + hf(x + h)) es
Esta expresioacuten es un cociente diferencial de Newton La derivada de f en x es el liacutemite del valor del cociente diferencial conforme las liacuteneas secantes se acercan maacutes a la tangente
Si la derivada de f existe en cada punto x podemos definir la derivada de f como la funcioacuten cuyo valor en el punto x es la derivada de f en x Puesto que la inmediata sustitucioacuten de h por 0 da como resultado una divisioacuten por cero calcular la derivada directamente puede ser poco intuitivo Una teacutecnica es simplificar el numerador de modo que la h del denominador pueda ser cancelada Esto resulta muy sencillo con funciones poli noacutemicas pero para la mayoriacutea de las funciones resulta demasiado complicado Afortunadamente
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hay reglas generales que facilitan la diferenciacioacuten de la mayoriacutea de las funciones descritas ver abajo Algunos ejemplos de coacutemo utilizar este cociente Ejemplo 1 Consideremos la siguiente funcioacuten
Entonces
Esta funcioacuten es constante para cualquier punto de su dominio vale 5 (por eso f(x+h)=5) Noacutetese el uacuteltimo paso donde h tiende a cero pero no lo toca Si pensamos un poco observaremos que la derivada ademaacutes de ser la pendiente de la recta tangente a la curva es a la vez la recta secante a la misma curva
2 Consideremos la graacutefica de Esta recta tiene una pendiente igual a 2 en cada punto Utilizando el cociente mostrado arriba (junto a los conceptos de liacutemite secante y tangente) podremos determinar las pendientes en los puntos 4 y 5
Entonces
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El valor de la funcioacuten derivada de una recta es igual a la pendiente de la misma 3 Mediante esta diferenciacioacuten se puede calcular la pendiente de una curva Consideremos que
Entonces
Para cualquier punto x la pendiente de la funcioacuten es
NOTACIOacuteN
La notacioacuten maacutes simple para la diferenciacioacuten que se utiliza en la actualidad se debe a Lagrange y utiliza un apoacutestrofo o comilla prime De esta manera se expresan las derivadas de la funcioacuten f(x) en el punto x = a se escribe Para la primera derivada
Para la segunda derivada
Para la tercera derivada y luego de forma general
Para la n-eacutesima derivada (donde normalmente se da que n gt 3)
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Para la funcioacuten cuyo valor en cada x es la derivada de se escribe
De forma similar para la segunda derivada de f se escribe y asiacute sucesivamente La otra notacioacuten comuacuten para la diferenciacioacuten se debe a Leibniz Para la funcioacuten cuyo valor en x es la derivada de f en x se escribe
Se puede escribir la derivada de f en el punto a de dos formas distintas
Si la resultante de f(x) es otra variable por ejemplo si y=f(x) se puede escribir la derivada como
La notacioacuten de Newton para la diferenciacioacuten consiste en poner un punto sobre el nombre de la funcioacuten
y asiacute sucesivamente La notacioacuten de Newton se utiliza principalmente en la mecaacutenica normalmente para las derivadas con respecto al tiempo tales como la velocidad y la aceleracioacuten y en la teoriacutea de ecuaciones diferenciales ordinarias Normalmente soacutelo se utilizan para la primera y segunda derivadas Otra notacioacuten consiste en colocar una letra D mayuacutescula para indicar la operacioacuten de diferenciacioacuten con un subiacutendice que indica la variable sobre la que se derivaraacute
Dxf
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que es equivalente a la expresioacuten
En ese contexto se considera a la diferenciacioacuten como una operacioacuten sobre
funciones de modo que los siacutembolos y Dx son llamados operadores diferenciales
DERIVADAS DE FUNCIONES
NOMBRE FUNCIOacuteN DERIVADA
CONSTANTE kxf )( 1)( xf
ALGEBRAICA nxxf )( 1 )( nnxxf
LOGARIacuteTMICA
xxf alog)( )ln(
1)(
axxf
xxf ln)( x
xf1
)(
EXPONENCIAL
xaxf )( )ln()( aaxf x
xexf )( xexf )(
TRIGONOMEacuteTRICAS
xxf sin)( xxf cos)(
xxf cos)( xxf sin)(
xxf tan)( xxf 2 sec)(
xxf sec)( xxxf tansec)(
xxf cot)( xxf 2 csc)(
xxf csc)( xxxf cotcsc)(
FUNCIONES COMPUESTAS
NOMBRE FUNCIOacuteN DERIVADA
SUMA o
DIFERENCIA )()()( xhxgxf )()()( xhxgxf
PRODUCTO )()()( xhxgxf )()()()()( xhxgxhxgxf
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COCIENTE )(
)()(
xh
xgxf
)(
)()()()()(
2
xh
xhxgxhxgxf
FUNCIONES INVERSAS
TRIGONOMEacuteTRICAS
xxf 1sin)( 2
1
1)(
xxf
xxf 1cos)( 2
1
1)(
xxf
xxf 1tan)( 2
1
1)(
xxf
Ejemplos
Derivar las siguientes funciones
a
b
c
NOTA El desarrollo algebraico de lo deja al estudiante ELERCICIOS Derivar las siguientes funciones
1 453)( 25 xxxf
2 xxxxf 464)( 42
3 )1)(()( 32 xxxxf (es un producto)
16)(
1)3)(2()(
13)(
2
xxf
xxf
xxf
1128)(
42)(
23
34
xxxf
xxxxf
22
2
22
2
2
)3(
2
)3(
)1)(23()3)(1()(
3
1)(
xx
xx
xx
xxxxxf
xx
xxf
INSTITUTO TECNOLOacuteGICO
SUPERIOR ldquoDAVID AUSUBELrdquo
SEMIPRESENCIAL
VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
23
4 3
23)(
x
xxf
5 xxf 3log)(
6 xexf )(
7 xxf 12)(
DERIVADAS SUCESIVAS DE UNA FUNCIOacuteN Regla de la cadena Definicioacuten Sea y = f(u) u = g(x) si g es diferenciable en x y f f es diferenciable en u = g(x) entonces la funcioacuten compuesta definida por f(g(x)) es diferenciable en x y
)()( xgxgfdx
xgdf
En palabras decimos que La derivada de una funcioacuten compuesta es la derivada de la funcioacuten exterior evaluada en la funcioacuten interna por la derivada de la funcioacuten interna DERIVADAS SUPERIORES Las derivadas de orden superior aparecen desde la segunda derivada en adelante consisten en derivar la funcioacuten inmediatamente anterior cuantas veces sea necesario
oacute
para la n-eacutesima derivada de f(x) o y respectivamente Histoacutericamente esto proviene del hecho de que por ejemplo la tercera derivada es
que se puede escribir sin mucho rigor como
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SUPERIOR ldquoDAVID AUSUBELrdquo
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24
Eliminando las llaves nos da la notacioacuten que estaacute arriba
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25
CAPITULO III
3 INTEGRAL INDEFINIDA
31 Definicioacuten Llamamos a F una antiderivada de f en el intervalo I si Dx F(x)
= f(x) en I esto es si Facute(x) = f(x) para todo x en I
Teorema 1 Regla de la potencia
Si r es cualquier nuacutemero racional excepto -1 entonces
Cr
xdxx
rr
1
1
Corolario Regla generalizada de la potencia
Cr
xgdxxgxg
rr
1
)()()(
1
Teorema 2 La integral definida es un operador lineal
Sean f y g antiderivadas (integrales indefinidas) y sea k una constante
Entonces
a dxxfkdxxkf )()(
b dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
c dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
32 PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LA ANTIDIFERENCIACIOacuteN
Esta propiedad indica que podemos sacar un factor constante de la integral
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28
CAPITULO IV
4 MEacuteTODOS DE INTEGRACIOacuteN
Teorema 1 Regla de sustitucioacuten
Sea g una funcioacuten derivable y suponga que F es una antiderivada de f
Entonces u = g(x)
CxgFCuFduufdxxgxgf ))(()()()(
Teorema 2 Integracioacuten por partes
dxxuxvxvxuxvxu )()()()()()(
Teorema 3 Integraciones trigonomeacutetricas
Ejercicios resueltos
Efectuacutee las operaciones de antidiferenciacioacuten que se indican aplicando las
propiedades correspondientes en cada caso
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S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
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30
4 Solucioacuten
5 Solucioacuten
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31
6 Solucioacuten
7 Solucioacuten
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33
AUTOEVALUACIOacuteN PARA CAPIacuteTULOS 1 Y 2
Realice las integrales indicadas
dxx
xf
x
xxe
dtt
d
dxxxc
dxxxb
dxxa
2
2
2
5
5
cos
tan)
1
23)
12
5)
1)
5)
5)
dxxk
dtt
tj
dxxxi
dxxeh
dxxxg
x
2
5
csc)
ln)
1)
)
cos)
Utiliza la tabla de integrales para resolver los siguientes ejercicios
32)
1
32)
53)
169)
23)
2
2
22
2
tt
dte
dxx
xxd
dxxxc
x
dxb
dxxxa
TABLA DE INTEGRALES
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BIBLIOGRAFIacuteA
PURCELL VARBERG RIGDON 2003 Caacutelculo Diferencial e Integral
Pearson Prentice Hall Ecuador
GRANVILLE SMITH LONGLEY 1974 Caacutelculo Diferencial e Integral
Uteha Meacutexico
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14
a 52)( 2 xxxf
Por ser polinomial es continua en todos los nuacutemeros reales
b 1
1)(
xxf
Como se trata de una funcioacuten racional se puede notar que si x = 1 el
denominador se hace cero y por lo tanto existiriacutea una indeterminacioacuten
entonces es continua en todos los nuacutemeros reales excepto en 1
c 3
32)(
2
x
xxxf
Como podemos observar si x = -3 en el denominador la funcioacuten no
existe por lo tanto podriacuteamos decir que la funcioacuten es discontinua todos
los nuacutemeros reales excepto en -3 pero si facturamos el numerador y
simplificamos
13
)1)(3()(
x
x
xxxf
Podemos concluir que la funcioacuten es polinomial y por lo tanto es continua
en todos los reales (El factoreo es de mucha ayuda en las funciones
polinomiales)
14 CONTINUIDAD UNIFORME
Las funciones polinomiales valor absoluto sen (x) y cos (x) son continuas
de forma uniforme
15 FUNCIONES CASI CONTINUAS
Cualquier otra funcioacuten que no sean las nombradas anteriormente son casi
continuas ya que tienen por lo meno un nuacutemero real donde la funcioacuten no
existe
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15
EJERCICIOS
Determinar la continuidad de las siguientes funciones
a 5263)( 2 xxxf
b 4
3)(
x
xxf
c 5)( xxf
d 5 4)( xxf
e )2(
)4()(
2
x
xxf
f 2
44)(
2
x
xxxf
g 3
)65()(
2
x
xxxf
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CAPITULO II
2 DERIVADAS
21 DEFINICIOacuteN BAacuteSICA E INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA
En matemaacutetica la derivada de una funcioacuten es uno de los dos conceptos centrales del caacutelculo Las derivadas se definen tomando el liacutemite de la pendiente de las rectas secantes conforme se van aproximando a la recta tangente La derivada de una funcioacuten en un cierto punto es una medida de la tasa en la cual una funcioacuten cambia conforme un argumento se modifica Esto es una derivada involucra en teacuterminos matemaacuteticos una tasa de cambio Una derivada es el caacutelculo de las pendientes instantaacuteneas de f(x) en cada punto x Esto se corresponde a las pendientes de las tangentes de la graacutefica de dicha funcioacuten en el punto dado dichas tangentes pueden ser aproximadas por una secante que pase por dos puntos muy cercanos al punto bajo el que se desea obtener la tangente Las funciones no tienen derivadas en los puntos en donde hay una tangente vertical (la cual tiene una pendiente infinita) una discontinuidad o bien un pico
La Diferenciacioacuten puede ser usada para determinar el cambio que se produce como resultado de otro cambio si estaacute determinada una relacioacuten matemaacutetica entre dos objetos
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Una funcioacuten es diferenciable en un punto x si su derivada existe en ese punto una funcioacuten es diferenciable en un intervalo si lo es en cada punto x perteneciente al intervalo Si una funcioacuten no es continua en c entonces no puede ser diferenciable en c sin embargo aunque una funcioacuten sea continua en c puede no ser diferenciable Es decir toda funcioacuten diferenciable en un punto C es continua en C pero no toda funcioacuten continua en C es diferenciable en C (como f(x) = |x| es continua pero no diferenciable en x = 0)
22 REGLA GENERAL PARA DERIVAR FUNCIONES
Es difiacutecil hallar directamente la pendiente de la recta tangente de una funcioacuten porque soacutelo conocemos un punto de eacutesta el punto donde ha de ser tangente a la funcioacuten Por ello aproximaremos la recta tangente por rectas secantes Cuando tomemos el liacutemite de las pendientes de las secantes proacuteximas obtendremos la pendiente de la recta tangente Para obtener estas pendientes tomemos un nuacutemero arbitrariamente pequentildeo que llamaremos h h representa una pequentildea variacioacuten en x y puede ser tanto positivo como negativo La pendiente de la recta entre los puntos (xf(x)) y (x + hf(x + h)) es
Esta expresioacuten es un cociente diferencial de Newton La derivada de f en x es el liacutemite del valor del cociente diferencial conforme las liacuteneas secantes se acercan maacutes a la tangente
Si la derivada de f existe en cada punto x podemos definir la derivada de f como la funcioacuten cuyo valor en el punto x es la derivada de f en x Puesto que la inmediata sustitucioacuten de h por 0 da como resultado una divisioacuten por cero calcular la derivada directamente puede ser poco intuitivo Una teacutecnica es simplificar el numerador de modo que la h del denominador pueda ser cancelada Esto resulta muy sencillo con funciones poli noacutemicas pero para la mayoriacutea de las funciones resulta demasiado complicado Afortunadamente
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hay reglas generales que facilitan la diferenciacioacuten de la mayoriacutea de las funciones descritas ver abajo Algunos ejemplos de coacutemo utilizar este cociente Ejemplo 1 Consideremos la siguiente funcioacuten
Entonces
Esta funcioacuten es constante para cualquier punto de su dominio vale 5 (por eso f(x+h)=5) Noacutetese el uacuteltimo paso donde h tiende a cero pero no lo toca Si pensamos un poco observaremos que la derivada ademaacutes de ser la pendiente de la recta tangente a la curva es a la vez la recta secante a la misma curva
2 Consideremos la graacutefica de Esta recta tiene una pendiente igual a 2 en cada punto Utilizando el cociente mostrado arriba (junto a los conceptos de liacutemite secante y tangente) podremos determinar las pendientes en los puntos 4 y 5
Entonces
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El valor de la funcioacuten derivada de una recta es igual a la pendiente de la misma 3 Mediante esta diferenciacioacuten se puede calcular la pendiente de una curva Consideremos que
Entonces
Para cualquier punto x la pendiente de la funcioacuten es
NOTACIOacuteN
La notacioacuten maacutes simple para la diferenciacioacuten que se utiliza en la actualidad se debe a Lagrange y utiliza un apoacutestrofo o comilla prime De esta manera se expresan las derivadas de la funcioacuten f(x) en el punto x = a se escribe Para la primera derivada
Para la segunda derivada
Para la tercera derivada y luego de forma general
Para la n-eacutesima derivada (donde normalmente se da que n gt 3)
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20
Para la funcioacuten cuyo valor en cada x es la derivada de se escribe
De forma similar para la segunda derivada de f se escribe y asiacute sucesivamente La otra notacioacuten comuacuten para la diferenciacioacuten se debe a Leibniz Para la funcioacuten cuyo valor en x es la derivada de f en x se escribe
Se puede escribir la derivada de f en el punto a de dos formas distintas
Si la resultante de f(x) es otra variable por ejemplo si y=f(x) se puede escribir la derivada como
La notacioacuten de Newton para la diferenciacioacuten consiste en poner un punto sobre el nombre de la funcioacuten
y asiacute sucesivamente La notacioacuten de Newton se utiliza principalmente en la mecaacutenica normalmente para las derivadas con respecto al tiempo tales como la velocidad y la aceleracioacuten y en la teoriacutea de ecuaciones diferenciales ordinarias Normalmente soacutelo se utilizan para la primera y segunda derivadas Otra notacioacuten consiste en colocar una letra D mayuacutescula para indicar la operacioacuten de diferenciacioacuten con un subiacutendice que indica la variable sobre la que se derivaraacute
Dxf
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que es equivalente a la expresioacuten
En ese contexto se considera a la diferenciacioacuten como una operacioacuten sobre
funciones de modo que los siacutembolos y Dx son llamados operadores diferenciales
DERIVADAS DE FUNCIONES
NOMBRE FUNCIOacuteN DERIVADA
CONSTANTE kxf )( 1)( xf
ALGEBRAICA nxxf )( 1 )( nnxxf
LOGARIacuteTMICA
xxf alog)( )ln(
1)(
axxf
xxf ln)( x
xf1
)(
EXPONENCIAL
xaxf )( )ln()( aaxf x
xexf )( xexf )(
TRIGONOMEacuteTRICAS
xxf sin)( xxf cos)(
xxf cos)( xxf sin)(
xxf tan)( xxf 2 sec)(
xxf sec)( xxxf tansec)(
xxf cot)( xxf 2 csc)(
xxf csc)( xxxf cotcsc)(
FUNCIONES COMPUESTAS
NOMBRE FUNCIOacuteN DERIVADA
SUMA o
DIFERENCIA )()()( xhxgxf )()()( xhxgxf
PRODUCTO )()()( xhxgxf )()()()()( xhxgxhxgxf
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COCIENTE )(
)()(
xh
xgxf
)(
)()()()()(
2
xh
xhxgxhxgxf
FUNCIONES INVERSAS
TRIGONOMEacuteTRICAS
xxf 1sin)( 2
1
1)(
xxf
xxf 1cos)( 2
1
1)(
xxf
xxf 1tan)( 2
1
1)(
xxf
Ejemplos
Derivar las siguientes funciones
a
b
c
NOTA El desarrollo algebraico de lo deja al estudiante ELERCICIOS Derivar las siguientes funciones
1 453)( 25 xxxf
2 xxxxf 464)( 42
3 )1)(()( 32 xxxxf (es un producto)
16)(
1)3)(2()(
13)(
2
xxf
xxf
xxf
1128)(
42)(
23
34
xxxf
xxxxf
22
2
22
2
2
)3(
2
)3(
)1)(23()3)(1()(
3
1)(
xx
xx
xx
xxxxxf
xx
xxf
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4 3
23)(
x
xxf
5 xxf 3log)(
6 xexf )(
7 xxf 12)(
DERIVADAS SUCESIVAS DE UNA FUNCIOacuteN Regla de la cadena Definicioacuten Sea y = f(u) u = g(x) si g es diferenciable en x y f f es diferenciable en u = g(x) entonces la funcioacuten compuesta definida por f(g(x)) es diferenciable en x y
)()( xgxgfdx
xgdf
En palabras decimos que La derivada de una funcioacuten compuesta es la derivada de la funcioacuten exterior evaluada en la funcioacuten interna por la derivada de la funcioacuten interna DERIVADAS SUPERIORES Las derivadas de orden superior aparecen desde la segunda derivada en adelante consisten en derivar la funcioacuten inmediatamente anterior cuantas veces sea necesario
oacute
para la n-eacutesima derivada de f(x) o y respectivamente Histoacutericamente esto proviene del hecho de que por ejemplo la tercera derivada es
que se puede escribir sin mucho rigor como
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Eliminando las llaves nos da la notacioacuten que estaacute arriba
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CAPITULO III
3 INTEGRAL INDEFINIDA
31 Definicioacuten Llamamos a F una antiderivada de f en el intervalo I si Dx F(x)
= f(x) en I esto es si Facute(x) = f(x) para todo x en I
Teorema 1 Regla de la potencia
Si r es cualquier nuacutemero racional excepto -1 entonces
Cr
xdxx
rr
1
1
Corolario Regla generalizada de la potencia
Cr
xgdxxgxg
rr
1
)()()(
1
Teorema 2 La integral definida es un operador lineal
Sean f y g antiderivadas (integrales indefinidas) y sea k una constante
Entonces
a dxxfkdxxkf )()(
b dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
c dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
32 PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LA ANTIDIFERENCIACIOacuteN
Esta propiedad indica que podemos sacar un factor constante de la integral
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CAPITULO IV
4 MEacuteTODOS DE INTEGRACIOacuteN
Teorema 1 Regla de sustitucioacuten
Sea g una funcioacuten derivable y suponga que F es una antiderivada de f
Entonces u = g(x)
CxgFCuFduufdxxgxgf ))(()()()(
Teorema 2 Integracioacuten por partes
dxxuxvxvxuxvxu )()()()()()(
Teorema 3 Integraciones trigonomeacutetricas
Ejercicios resueltos
Efectuacutee las operaciones de antidiferenciacioacuten que se indican aplicando las
propiedades correspondientes en cada caso
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S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
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5 Solucioacuten
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6 Solucioacuten
7 Solucioacuten
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AUTOEVALUACIOacuteN PARA CAPIacuteTULOS 1 Y 2
Realice las integrales indicadas
dxx
xf
x
xxe
dtt
d
dxxxc
dxxxb
dxxa
2
2
2
5
5
cos
tan)
1
23)
12
5)
1)
5)
5)
dxxk
dtt
tj
dxxxi
dxxeh
dxxxg
x
2
5
csc)
ln)
1)
)
cos)
Utiliza la tabla de integrales para resolver los siguientes ejercicios
32)
1
32)
53)
169)
23)
2
2
22
2
tt
dte
dxx
xxd
dxxxc
x
dxb
dxxxa
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BIBLIOGRAFIacuteA
PURCELL VARBERG RIGDON 2003 Caacutelculo Diferencial e Integral
Pearson Prentice Hall Ecuador
GRANVILLE SMITH LONGLEY 1974 Caacutelculo Diferencial e Integral
Uteha Meacutexico
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EJERCICIOS
Determinar la continuidad de las siguientes funciones
a 5263)( 2 xxxf
b 4
3)(
x
xxf
c 5)( xxf
d 5 4)( xxf
e )2(
)4()(
2
x
xxf
f 2
44)(
2
x
xxxf
g 3
)65()(
2
x
xxxf
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CAPITULO II
2 DERIVADAS
21 DEFINICIOacuteN BAacuteSICA E INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA
En matemaacutetica la derivada de una funcioacuten es uno de los dos conceptos centrales del caacutelculo Las derivadas se definen tomando el liacutemite de la pendiente de las rectas secantes conforme se van aproximando a la recta tangente La derivada de una funcioacuten en un cierto punto es una medida de la tasa en la cual una funcioacuten cambia conforme un argumento se modifica Esto es una derivada involucra en teacuterminos matemaacuteticos una tasa de cambio Una derivada es el caacutelculo de las pendientes instantaacuteneas de f(x) en cada punto x Esto se corresponde a las pendientes de las tangentes de la graacutefica de dicha funcioacuten en el punto dado dichas tangentes pueden ser aproximadas por una secante que pase por dos puntos muy cercanos al punto bajo el que se desea obtener la tangente Las funciones no tienen derivadas en los puntos en donde hay una tangente vertical (la cual tiene una pendiente infinita) una discontinuidad o bien un pico
La Diferenciacioacuten puede ser usada para determinar el cambio que se produce como resultado de otro cambio si estaacute determinada una relacioacuten matemaacutetica entre dos objetos
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Una funcioacuten es diferenciable en un punto x si su derivada existe en ese punto una funcioacuten es diferenciable en un intervalo si lo es en cada punto x perteneciente al intervalo Si una funcioacuten no es continua en c entonces no puede ser diferenciable en c sin embargo aunque una funcioacuten sea continua en c puede no ser diferenciable Es decir toda funcioacuten diferenciable en un punto C es continua en C pero no toda funcioacuten continua en C es diferenciable en C (como f(x) = |x| es continua pero no diferenciable en x = 0)
22 REGLA GENERAL PARA DERIVAR FUNCIONES
Es difiacutecil hallar directamente la pendiente de la recta tangente de una funcioacuten porque soacutelo conocemos un punto de eacutesta el punto donde ha de ser tangente a la funcioacuten Por ello aproximaremos la recta tangente por rectas secantes Cuando tomemos el liacutemite de las pendientes de las secantes proacuteximas obtendremos la pendiente de la recta tangente Para obtener estas pendientes tomemos un nuacutemero arbitrariamente pequentildeo que llamaremos h h representa una pequentildea variacioacuten en x y puede ser tanto positivo como negativo La pendiente de la recta entre los puntos (xf(x)) y (x + hf(x + h)) es
Esta expresioacuten es un cociente diferencial de Newton La derivada de f en x es el liacutemite del valor del cociente diferencial conforme las liacuteneas secantes se acercan maacutes a la tangente
Si la derivada de f existe en cada punto x podemos definir la derivada de f como la funcioacuten cuyo valor en el punto x es la derivada de f en x Puesto que la inmediata sustitucioacuten de h por 0 da como resultado una divisioacuten por cero calcular la derivada directamente puede ser poco intuitivo Una teacutecnica es simplificar el numerador de modo que la h del denominador pueda ser cancelada Esto resulta muy sencillo con funciones poli noacutemicas pero para la mayoriacutea de las funciones resulta demasiado complicado Afortunadamente
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hay reglas generales que facilitan la diferenciacioacuten de la mayoriacutea de las funciones descritas ver abajo Algunos ejemplos de coacutemo utilizar este cociente Ejemplo 1 Consideremos la siguiente funcioacuten
Entonces
Esta funcioacuten es constante para cualquier punto de su dominio vale 5 (por eso f(x+h)=5) Noacutetese el uacuteltimo paso donde h tiende a cero pero no lo toca Si pensamos un poco observaremos que la derivada ademaacutes de ser la pendiente de la recta tangente a la curva es a la vez la recta secante a la misma curva
2 Consideremos la graacutefica de Esta recta tiene una pendiente igual a 2 en cada punto Utilizando el cociente mostrado arriba (junto a los conceptos de liacutemite secante y tangente) podremos determinar las pendientes en los puntos 4 y 5
Entonces
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SEMIPRESENCIAL
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19
El valor de la funcioacuten derivada de una recta es igual a la pendiente de la misma 3 Mediante esta diferenciacioacuten se puede calcular la pendiente de una curva Consideremos que
Entonces
Para cualquier punto x la pendiente de la funcioacuten es
NOTACIOacuteN
La notacioacuten maacutes simple para la diferenciacioacuten que se utiliza en la actualidad se debe a Lagrange y utiliza un apoacutestrofo o comilla prime De esta manera se expresan las derivadas de la funcioacuten f(x) en el punto x = a se escribe Para la primera derivada
Para la segunda derivada
Para la tercera derivada y luego de forma general
Para la n-eacutesima derivada (donde normalmente se da que n gt 3)
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SUPERIOR ldquoDAVID AUSUBELrdquo
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Para la funcioacuten cuyo valor en cada x es la derivada de se escribe
De forma similar para la segunda derivada de f se escribe y asiacute sucesivamente La otra notacioacuten comuacuten para la diferenciacioacuten se debe a Leibniz Para la funcioacuten cuyo valor en x es la derivada de f en x se escribe
Se puede escribir la derivada de f en el punto a de dos formas distintas
Si la resultante de f(x) es otra variable por ejemplo si y=f(x) se puede escribir la derivada como
La notacioacuten de Newton para la diferenciacioacuten consiste en poner un punto sobre el nombre de la funcioacuten
y asiacute sucesivamente La notacioacuten de Newton se utiliza principalmente en la mecaacutenica normalmente para las derivadas con respecto al tiempo tales como la velocidad y la aceleracioacuten y en la teoriacutea de ecuaciones diferenciales ordinarias Normalmente soacutelo se utilizan para la primera y segunda derivadas Otra notacioacuten consiste en colocar una letra D mayuacutescula para indicar la operacioacuten de diferenciacioacuten con un subiacutendice que indica la variable sobre la que se derivaraacute
Dxf
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que es equivalente a la expresioacuten
En ese contexto se considera a la diferenciacioacuten como una operacioacuten sobre
funciones de modo que los siacutembolos y Dx son llamados operadores diferenciales
DERIVADAS DE FUNCIONES
NOMBRE FUNCIOacuteN DERIVADA
CONSTANTE kxf )( 1)( xf
ALGEBRAICA nxxf )( 1 )( nnxxf
LOGARIacuteTMICA
xxf alog)( )ln(
1)(
axxf
xxf ln)( x
xf1
)(
EXPONENCIAL
xaxf )( )ln()( aaxf x
xexf )( xexf )(
TRIGONOMEacuteTRICAS
xxf sin)( xxf cos)(
xxf cos)( xxf sin)(
xxf tan)( xxf 2 sec)(
xxf sec)( xxxf tansec)(
xxf cot)( xxf 2 csc)(
xxf csc)( xxxf cotcsc)(
FUNCIONES COMPUESTAS
NOMBRE FUNCIOacuteN DERIVADA
SUMA o
DIFERENCIA )()()( xhxgxf )()()( xhxgxf
PRODUCTO )()()( xhxgxf )()()()()( xhxgxhxgxf
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COCIENTE )(
)()(
xh
xgxf
)(
)()()()()(
2
xh
xhxgxhxgxf
FUNCIONES INVERSAS
TRIGONOMEacuteTRICAS
xxf 1sin)( 2
1
1)(
xxf
xxf 1cos)( 2
1
1)(
xxf
xxf 1tan)( 2
1
1)(
xxf
Ejemplos
Derivar las siguientes funciones
a
b
c
NOTA El desarrollo algebraico de lo deja al estudiante ELERCICIOS Derivar las siguientes funciones
1 453)( 25 xxxf
2 xxxxf 464)( 42
3 )1)(()( 32 xxxxf (es un producto)
16)(
1)3)(2()(
13)(
2
xxf
xxf
xxf
1128)(
42)(
23
34
xxxf
xxxxf
22
2
22
2
2
)3(
2
)3(
)1)(23()3)(1()(
3
1)(
xx
xx
xx
xxxxxf
xx
xxf
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23
4 3
23)(
x
xxf
5 xxf 3log)(
6 xexf )(
7 xxf 12)(
DERIVADAS SUCESIVAS DE UNA FUNCIOacuteN Regla de la cadena Definicioacuten Sea y = f(u) u = g(x) si g es diferenciable en x y f f es diferenciable en u = g(x) entonces la funcioacuten compuesta definida por f(g(x)) es diferenciable en x y
)()( xgxgfdx
xgdf
En palabras decimos que La derivada de una funcioacuten compuesta es la derivada de la funcioacuten exterior evaluada en la funcioacuten interna por la derivada de la funcioacuten interna DERIVADAS SUPERIORES Las derivadas de orden superior aparecen desde la segunda derivada en adelante consisten en derivar la funcioacuten inmediatamente anterior cuantas veces sea necesario
oacute
para la n-eacutesima derivada de f(x) o y respectivamente Histoacutericamente esto proviene del hecho de que por ejemplo la tercera derivada es
que se puede escribir sin mucho rigor como
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Eliminando las llaves nos da la notacioacuten que estaacute arriba
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CAPITULO III
3 INTEGRAL INDEFINIDA
31 Definicioacuten Llamamos a F una antiderivada de f en el intervalo I si Dx F(x)
= f(x) en I esto es si Facute(x) = f(x) para todo x en I
Teorema 1 Regla de la potencia
Si r es cualquier nuacutemero racional excepto -1 entonces
Cr
xdxx
rr
1
1
Corolario Regla generalizada de la potencia
Cr
xgdxxgxg
rr
1
)()()(
1
Teorema 2 La integral definida es un operador lineal
Sean f y g antiderivadas (integrales indefinidas) y sea k una constante
Entonces
a dxxfkdxxkf )()(
b dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
c dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
32 PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LA ANTIDIFERENCIACIOacuteN
Esta propiedad indica que podemos sacar un factor constante de la integral
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CAPITULO IV
4 MEacuteTODOS DE INTEGRACIOacuteN
Teorema 1 Regla de sustitucioacuten
Sea g una funcioacuten derivable y suponga que F es una antiderivada de f
Entonces u = g(x)
CxgFCuFduufdxxgxgf ))(()()()(
Teorema 2 Integracioacuten por partes
dxxuxvxvxuxvxu )()()()()()(
Teorema 3 Integraciones trigonomeacutetricas
Ejercicios resueltos
Efectuacutee las operaciones de antidiferenciacioacuten que se indican aplicando las
propiedades correspondientes en cada caso
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S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
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4 Solucioacuten
5 Solucioacuten
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6 Solucioacuten
7 Solucioacuten
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AUTOEVALUACIOacuteN PARA CAPIacuteTULOS 1 Y 2
Realice las integrales indicadas
dxx
xf
x
xxe
dtt
d
dxxxc
dxxxb
dxxa
2
2
2
5
5
cos
tan)
1
23)
12
5)
1)
5)
5)
dxxk
dtt
tj
dxxxi
dxxeh
dxxxg
x
2
5
csc)
ln)
1)
)
cos)
Utiliza la tabla de integrales para resolver los siguientes ejercicios
32)
1
32)
53)
169)
23)
2
2
22
2
tt
dte
dxx
xxd
dxxxc
x
dxb
dxxxa
TABLA DE INTEGRALES
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BIBLIOGRAFIacuteA
PURCELL VARBERG RIGDON 2003 Caacutelculo Diferencial e Integral
Pearson Prentice Hall Ecuador
GRANVILLE SMITH LONGLEY 1974 Caacutelculo Diferencial e Integral
Uteha Meacutexico
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CAPITULO II
2 DERIVADAS
21 DEFINICIOacuteN BAacuteSICA E INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA
En matemaacutetica la derivada de una funcioacuten es uno de los dos conceptos centrales del caacutelculo Las derivadas se definen tomando el liacutemite de la pendiente de las rectas secantes conforme se van aproximando a la recta tangente La derivada de una funcioacuten en un cierto punto es una medida de la tasa en la cual una funcioacuten cambia conforme un argumento se modifica Esto es una derivada involucra en teacuterminos matemaacuteticos una tasa de cambio Una derivada es el caacutelculo de las pendientes instantaacuteneas de f(x) en cada punto x Esto se corresponde a las pendientes de las tangentes de la graacutefica de dicha funcioacuten en el punto dado dichas tangentes pueden ser aproximadas por una secante que pase por dos puntos muy cercanos al punto bajo el que se desea obtener la tangente Las funciones no tienen derivadas en los puntos en donde hay una tangente vertical (la cual tiene una pendiente infinita) una discontinuidad o bien un pico
La Diferenciacioacuten puede ser usada para determinar el cambio que se produce como resultado de otro cambio si estaacute determinada una relacioacuten matemaacutetica entre dos objetos
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Una funcioacuten es diferenciable en un punto x si su derivada existe en ese punto una funcioacuten es diferenciable en un intervalo si lo es en cada punto x perteneciente al intervalo Si una funcioacuten no es continua en c entonces no puede ser diferenciable en c sin embargo aunque una funcioacuten sea continua en c puede no ser diferenciable Es decir toda funcioacuten diferenciable en un punto C es continua en C pero no toda funcioacuten continua en C es diferenciable en C (como f(x) = |x| es continua pero no diferenciable en x = 0)
22 REGLA GENERAL PARA DERIVAR FUNCIONES
Es difiacutecil hallar directamente la pendiente de la recta tangente de una funcioacuten porque soacutelo conocemos un punto de eacutesta el punto donde ha de ser tangente a la funcioacuten Por ello aproximaremos la recta tangente por rectas secantes Cuando tomemos el liacutemite de las pendientes de las secantes proacuteximas obtendremos la pendiente de la recta tangente Para obtener estas pendientes tomemos un nuacutemero arbitrariamente pequentildeo que llamaremos h h representa una pequentildea variacioacuten en x y puede ser tanto positivo como negativo La pendiente de la recta entre los puntos (xf(x)) y (x + hf(x + h)) es
Esta expresioacuten es un cociente diferencial de Newton La derivada de f en x es el liacutemite del valor del cociente diferencial conforme las liacuteneas secantes se acercan maacutes a la tangente
Si la derivada de f existe en cada punto x podemos definir la derivada de f como la funcioacuten cuyo valor en el punto x es la derivada de f en x Puesto que la inmediata sustitucioacuten de h por 0 da como resultado una divisioacuten por cero calcular la derivada directamente puede ser poco intuitivo Una teacutecnica es simplificar el numerador de modo que la h del denominador pueda ser cancelada Esto resulta muy sencillo con funciones poli noacutemicas pero para la mayoriacutea de las funciones resulta demasiado complicado Afortunadamente
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hay reglas generales que facilitan la diferenciacioacuten de la mayoriacutea de las funciones descritas ver abajo Algunos ejemplos de coacutemo utilizar este cociente Ejemplo 1 Consideremos la siguiente funcioacuten
Entonces
Esta funcioacuten es constante para cualquier punto de su dominio vale 5 (por eso f(x+h)=5) Noacutetese el uacuteltimo paso donde h tiende a cero pero no lo toca Si pensamos un poco observaremos que la derivada ademaacutes de ser la pendiente de la recta tangente a la curva es a la vez la recta secante a la misma curva
2 Consideremos la graacutefica de Esta recta tiene una pendiente igual a 2 en cada punto Utilizando el cociente mostrado arriba (junto a los conceptos de liacutemite secante y tangente) podremos determinar las pendientes en los puntos 4 y 5
Entonces
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El valor de la funcioacuten derivada de una recta es igual a la pendiente de la misma 3 Mediante esta diferenciacioacuten se puede calcular la pendiente de una curva Consideremos que
Entonces
Para cualquier punto x la pendiente de la funcioacuten es
NOTACIOacuteN
La notacioacuten maacutes simple para la diferenciacioacuten que se utiliza en la actualidad se debe a Lagrange y utiliza un apoacutestrofo o comilla prime De esta manera se expresan las derivadas de la funcioacuten f(x) en el punto x = a se escribe Para la primera derivada
Para la segunda derivada
Para la tercera derivada y luego de forma general
Para la n-eacutesima derivada (donde normalmente se da que n gt 3)
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Para la funcioacuten cuyo valor en cada x es la derivada de se escribe
De forma similar para la segunda derivada de f se escribe y asiacute sucesivamente La otra notacioacuten comuacuten para la diferenciacioacuten se debe a Leibniz Para la funcioacuten cuyo valor en x es la derivada de f en x se escribe
Se puede escribir la derivada de f en el punto a de dos formas distintas
Si la resultante de f(x) es otra variable por ejemplo si y=f(x) se puede escribir la derivada como
La notacioacuten de Newton para la diferenciacioacuten consiste en poner un punto sobre el nombre de la funcioacuten
y asiacute sucesivamente La notacioacuten de Newton se utiliza principalmente en la mecaacutenica normalmente para las derivadas con respecto al tiempo tales como la velocidad y la aceleracioacuten y en la teoriacutea de ecuaciones diferenciales ordinarias Normalmente soacutelo se utilizan para la primera y segunda derivadas Otra notacioacuten consiste en colocar una letra D mayuacutescula para indicar la operacioacuten de diferenciacioacuten con un subiacutendice que indica la variable sobre la que se derivaraacute
Dxf
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que es equivalente a la expresioacuten
En ese contexto se considera a la diferenciacioacuten como una operacioacuten sobre
funciones de modo que los siacutembolos y Dx son llamados operadores diferenciales
DERIVADAS DE FUNCIONES
NOMBRE FUNCIOacuteN DERIVADA
CONSTANTE kxf )( 1)( xf
ALGEBRAICA nxxf )( 1 )( nnxxf
LOGARIacuteTMICA
xxf alog)( )ln(
1)(
axxf
xxf ln)( x
xf1
)(
EXPONENCIAL
xaxf )( )ln()( aaxf x
xexf )( xexf )(
TRIGONOMEacuteTRICAS
xxf sin)( xxf cos)(
xxf cos)( xxf sin)(
xxf tan)( xxf 2 sec)(
xxf sec)( xxxf tansec)(
xxf cot)( xxf 2 csc)(
xxf csc)( xxxf cotcsc)(
FUNCIONES COMPUESTAS
NOMBRE FUNCIOacuteN DERIVADA
SUMA o
DIFERENCIA )()()( xhxgxf )()()( xhxgxf
PRODUCTO )()()( xhxgxf )()()()()( xhxgxhxgxf
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COCIENTE )(
)()(
xh
xgxf
)(
)()()()()(
2
xh
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FUNCIONES INVERSAS
TRIGONOMEacuteTRICAS
xxf 1sin)( 2
1
1)(
xxf
xxf 1cos)( 2
1
1)(
xxf
xxf 1tan)( 2
1
1)(
xxf
Ejemplos
Derivar las siguientes funciones
a
b
c
NOTA El desarrollo algebraico de lo deja al estudiante ELERCICIOS Derivar las siguientes funciones
1 453)( 25 xxxf
2 xxxxf 464)( 42
3 )1)(()( 32 xxxxf (es un producto)
16)(
1)3)(2()(
13)(
2
xxf
xxf
xxf
1128)(
42)(
23
34
xxxf
xxxxf
22
2
22
2
2
)3(
2
)3(
)1)(23()3)(1()(
3
1)(
xx
xx
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xxxxxf
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23
4 3
23)(
x
xxf
5 xxf 3log)(
6 xexf )(
7 xxf 12)(
DERIVADAS SUCESIVAS DE UNA FUNCIOacuteN Regla de la cadena Definicioacuten Sea y = f(u) u = g(x) si g es diferenciable en x y f f es diferenciable en u = g(x) entonces la funcioacuten compuesta definida por f(g(x)) es diferenciable en x y
)()( xgxgfdx
xgdf
En palabras decimos que La derivada de una funcioacuten compuesta es la derivada de la funcioacuten exterior evaluada en la funcioacuten interna por la derivada de la funcioacuten interna DERIVADAS SUPERIORES Las derivadas de orden superior aparecen desde la segunda derivada en adelante consisten en derivar la funcioacuten inmediatamente anterior cuantas veces sea necesario
oacute
para la n-eacutesima derivada de f(x) o y respectivamente Histoacutericamente esto proviene del hecho de que por ejemplo la tercera derivada es
que se puede escribir sin mucho rigor como
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31 Definicioacuten Llamamos a F una antiderivada de f en el intervalo I si Dx F(x)
= f(x) en I esto es si Facute(x) = f(x) para todo x en I
Teorema 1 Regla de la potencia
Si r es cualquier nuacutemero racional excepto -1 entonces
Cr
xdxx
rr
1
1
Corolario Regla generalizada de la potencia
Cr
xgdxxgxg
rr
1
)()()(
1
Teorema 2 La integral definida es un operador lineal
Sean f y g antiderivadas (integrales indefinidas) y sea k una constante
Entonces
a dxxfkdxxkf )()(
b dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
c dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
32 PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LA ANTIDIFERENCIACIOacuteN
Esta propiedad indica que podemos sacar un factor constante de la integral
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CAPITULO IV
4 MEacuteTODOS DE INTEGRACIOacuteN
Teorema 1 Regla de sustitucioacuten
Sea g una funcioacuten derivable y suponga que F es una antiderivada de f
Entonces u = g(x)
CxgFCuFduufdxxgxgf ))(()()()(
Teorema 2 Integracioacuten por partes
dxxuxvxvxuxvxu )()()()()()(
Teorema 3 Integraciones trigonomeacutetricas
Ejercicios resueltos
Efectuacutee las operaciones de antidiferenciacioacuten que se indican aplicando las
propiedades correspondientes en cada caso
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S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
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4 Solucioacuten
5 Solucioacuten
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6 Solucioacuten
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AUTOEVALUACIOacuteN PARA CAPIacuteTULOS 1 Y 2
Realice las integrales indicadas
dxx
xf
x
xxe
dtt
d
dxxxc
dxxxb
dxxa
2
2
2
5
5
cos
tan)
1
23)
12
5)
1)
5)
5)
dxxk
dtt
tj
dxxxi
dxxeh
dxxxg
x
2
5
csc)
ln)
1)
)
cos)
Utiliza la tabla de integrales para resolver los siguientes ejercicios
32)
1
32)
53)
169)
23)
2
2
22
2
tt
dte
dxx
xxd
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BIBLIOGRAFIacuteA
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Pearson Prentice Hall Ecuador
GRANVILLE SMITH LONGLEY 1974 Caacutelculo Diferencial e Integral
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Una funcioacuten es diferenciable en un punto x si su derivada existe en ese punto una funcioacuten es diferenciable en un intervalo si lo es en cada punto x perteneciente al intervalo Si una funcioacuten no es continua en c entonces no puede ser diferenciable en c sin embargo aunque una funcioacuten sea continua en c puede no ser diferenciable Es decir toda funcioacuten diferenciable en un punto C es continua en C pero no toda funcioacuten continua en C es diferenciable en C (como f(x) = |x| es continua pero no diferenciable en x = 0)
22 REGLA GENERAL PARA DERIVAR FUNCIONES
Es difiacutecil hallar directamente la pendiente de la recta tangente de una funcioacuten porque soacutelo conocemos un punto de eacutesta el punto donde ha de ser tangente a la funcioacuten Por ello aproximaremos la recta tangente por rectas secantes Cuando tomemos el liacutemite de las pendientes de las secantes proacuteximas obtendremos la pendiente de la recta tangente Para obtener estas pendientes tomemos un nuacutemero arbitrariamente pequentildeo que llamaremos h h representa una pequentildea variacioacuten en x y puede ser tanto positivo como negativo La pendiente de la recta entre los puntos (xf(x)) y (x + hf(x + h)) es
Esta expresioacuten es un cociente diferencial de Newton La derivada de f en x es el liacutemite del valor del cociente diferencial conforme las liacuteneas secantes se acercan maacutes a la tangente
Si la derivada de f existe en cada punto x podemos definir la derivada de f como la funcioacuten cuyo valor en el punto x es la derivada de f en x Puesto que la inmediata sustitucioacuten de h por 0 da como resultado una divisioacuten por cero calcular la derivada directamente puede ser poco intuitivo Una teacutecnica es simplificar el numerador de modo que la h del denominador pueda ser cancelada Esto resulta muy sencillo con funciones poli noacutemicas pero para la mayoriacutea de las funciones resulta demasiado complicado Afortunadamente
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hay reglas generales que facilitan la diferenciacioacuten de la mayoriacutea de las funciones descritas ver abajo Algunos ejemplos de coacutemo utilizar este cociente Ejemplo 1 Consideremos la siguiente funcioacuten
Entonces
Esta funcioacuten es constante para cualquier punto de su dominio vale 5 (por eso f(x+h)=5) Noacutetese el uacuteltimo paso donde h tiende a cero pero no lo toca Si pensamos un poco observaremos que la derivada ademaacutes de ser la pendiente de la recta tangente a la curva es a la vez la recta secante a la misma curva
2 Consideremos la graacutefica de Esta recta tiene una pendiente igual a 2 en cada punto Utilizando el cociente mostrado arriba (junto a los conceptos de liacutemite secante y tangente) podremos determinar las pendientes en los puntos 4 y 5
Entonces
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El valor de la funcioacuten derivada de una recta es igual a la pendiente de la misma 3 Mediante esta diferenciacioacuten se puede calcular la pendiente de una curva Consideremos que
Entonces
Para cualquier punto x la pendiente de la funcioacuten es
NOTACIOacuteN
La notacioacuten maacutes simple para la diferenciacioacuten que se utiliza en la actualidad se debe a Lagrange y utiliza un apoacutestrofo o comilla prime De esta manera se expresan las derivadas de la funcioacuten f(x) en el punto x = a se escribe Para la primera derivada
Para la segunda derivada
Para la tercera derivada y luego de forma general
Para la n-eacutesima derivada (donde normalmente se da que n gt 3)
INSTITUTO TECNOLOacuteGICO
SUPERIOR ldquoDAVID AUSUBELrdquo
SEMIPRESENCIAL
VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
20
Para la funcioacuten cuyo valor en cada x es la derivada de se escribe
De forma similar para la segunda derivada de f se escribe y asiacute sucesivamente La otra notacioacuten comuacuten para la diferenciacioacuten se debe a Leibniz Para la funcioacuten cuyo valor en x es la derivada de f en x se escribe
Se puede escribir la derivada de f en el punto a de dos formas distintas
Si la resultante de f(x) es otra variable por ejemplo si y=f(x) se puede escribir la derivada como
La notacioacuten de Newton para la diferenciacioacuten consiste en poner un punto sobre el nombre de la funcioacuten
y asiacute sucesivamente La notacioacuten de Newton se utiliza principalmente en la mecaacutenica normalmente para las derivadas con respecto al tiempo tales como la velocidad y la aceleracioacuten y en la teoriacutea de ecuaciones diferenciales ordinarias Normalmente soacutelo se utilizan para la primera y segunda derivadas Otra notacioacuten consiste en colocar una letra D mayuacutescula para indicar la operacioacuten de diferenciacioacuten con un subiacutendice que indica la variable sobre la que se derivaraacute
Dxf
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SUPERIOR ldquoDAVID AUSUBELrdquo
SEMIPRESENCIAL
VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
21
que es equivalente a la expresioacuten
En ese contexto se considera a la diferenciacioacuten como una operacioacuten sobre
funciones de modo que los siacutembolos y Dx son llamados operadores diferenciales
DERIVADAS DE FUNCIONES
NOMBRE FUNCIOacuteN DERIVADA
CONSTANTE kxf )( 1)( xf
ALGEBRAICA nxxf )( 1 )( nnxxf
LOGARIacuteTMICA
xxf alog)( )ln(
1)(
axxf
xxf ln)( x
xf1
)(
EXPONENCIAL
xaxf )( )ln()( aaxf x
xexf )( xexf )(
TRIGONOMEacuteTRICAS
xxf sin)( xxf cos)(
xxf cos)( xxf sin)(
xxf tan)( xxf 2 sec)(
xxf sec)( xxxf tansec)(
xxf cot)( xxf 2 csc)(
xxf csc)( xxxf cotcsc)(
FUNCIONES COMPUESTAS
NOMBRE FUNCIOacuteN DERIVADA
SUMA o
DIFERENCIA )()()( xhxgxf )()()( xhxgxf
PRODUCTO )()()( xhxgxf )()()()()( xhxgxhxgxf
INSTITUTO TECNOLOacuteGICO
SUPERIOR ldquoDAVID AUSUBELrdquo
SEMIPRESENCIAL
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22
COCIENTE )(
)()(
xh
xgxf
)(
)()()()()(
2
xh
xhxgxhxgxf
FUNCIONES INVERSAS
TRIGONOMEacuteTRICAS
xxf 1sin)( 2
1
1)(
xxf
xxf 1cos)( 2
1
1)(
xxf
xxf 1tan)( 2
1
1)(
xxf
Ejemplos
Derivar las siguientes funciones
a
b
c
NOTA El desarrollo algebraico de lo deja al estudiante ELERCICIOS Derivar las siguientes funciones
1 453)( 25 xxxf
2 xxxxf 464)( 42
3 )1)(()( 32 xxxxf (es un producto)
16)(
1)3)(2()(
13)(
2
xxf
xxf
xxf
1128)(
42)(
23
34
xxxf
xxxxf
22
2
22
2
2
)3(
2
)3(
)1)(23()3)(1()(
3
1)(
xx
xx
xx
xxxxxf
xx
xxf
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SUPERIOR ldquoDAVID AUSUBELrdquo
SEMIPRESENCIAL
VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
23
4 3
23)(
x
xxf
5 xxf 3log)(
6 xexf )(
7 xxf 12)(
DERIVADAS SUCESIVAS DE UNA FUNCIOacuteN Regla de la cadena Definicioacuten Sea y = f(u) u = g(x) si g es diferenciable en x y f f es diferenciable en u = g(x) entonces la funcioacuten compuesta definida por f(g(x)) es diferenciable en x y
)()( xgxgfdx
xgdf
En palabras decimos que La derivada de una funcioacuten compuesta es la derivada de la funcioacuten exterior evaluada en la funcioacuten interna por la derivada de la funcioacuten interna DERIVADAS SUPERIORES Las derivadas de orden superior aparecen desde la segunda derivada en adelante consisten en derivar la funcioacuten inmediatamente anterior cuantas veces sea necesario
oacute
para la n-eacutesima derivada de f(x) o y respectivamente Histoacutericamente esto proviene del hecho de que por ejemplo la tercera derivada es
que se puede escribir sin mucho rigor como
INSTITUTO TECNOLOacuteGICO
SUPERIOR ldquoDAVID AUSUBELrdquo
SEMIPRESENCIAL
VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
24
Eliminando las llaves nos da la notacioacuten que estaacute arriba
INSTITUTO TECNOLOacuteGICO
SUPERIOR ldquoDAVID AUSUBELrdquo
SEMIPRESENCIAL
VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
25
CAPITULO III
3 INTEGRAL INDEFINIDA
31 Definicioacuten Llamamos a F una antiderivada de f en el intervalo I si Dx F(x)
= f(x) en I esto es si Facute(x) = f(x) para todo x en I
Teorema 1 Regla de la potencia
Si r es cualquier nuacutemero racional excepto -1 entonces
Cr
xdxx
rr
1
1
Corolario Regla generalizada de la potencia
Cr
xgdxxgxg
rr
1
)()()(
1
Teorema 2 La integral definida es un operador lineal
Sean f y g antiderivadas (integrales indefinidas) y sea k una constante
Entonces
a dxxfkdxxkf )()(
b dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
c dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
32 PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LA ANTIDIFERENCIACIOacuteN
Esta propiedad indica que podemos sacar un factor constante de la integral
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VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
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SUPERIOR ldquoDAVID AUSUBELrdquo
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28
CAPITULO IV
4 MEacuteTODOS DE INTEGRACIOacuteN
Teorema 1 Regla de sustitucioacuten
Sea g una funcioacuten derivable y suponga que F es una antiderivada de f
Entonces u = g(x)
CxgFCuFduufdxxgxgf ))(()()()(
Teorema 2 Integracioacuten por partes
dxxuxvxvxuxvxu )()()()()()(
Teorema 3 Integraciones trigonomeacutetricas
Ejercicios resueltos
Efectuacutee las operaciones de antidiferenciacioacuten que se indican aplicando las
propiedades correspondientes en cada caso
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S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
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4 Solucioacuten
5 Solucioacuten
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6 Solucioacuten
7 Solucioacuten
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AUTOEVALUACIOacuteN PARA CAPIacuteTULOS 1 Y 2
Realice las integrales indicadas
dxx
xf
x
xxe
dtt
d
dxxxc
dxxxb
dxxa
2
2
2
5
5
cos
tan)
1
23)
12
5)
1)
5)
5)
dxxk
dtt
tj
dxxxi
dxxeh
dxxxg
x
2
5
csc)
ln)
1)
)
cos)
Utiliza la tabla de integrales para resolver los siguientes ejercicios
32)
1
32)
53)
169)
23)
2
2
22
2
tt
dte
dxx
xxd
dxxxc
x
dxb
dxxxa
TABLA DE INTEGRALES
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BIBLIOGRAFIacuteA
PURCELL VARBERG RIGDON 2003 Caacutelculo Diferencial e Integral
Pearson Prentice Hall Ecuador
GRANVILLE SMITH LONGLEY 1974 Caacutelculo Diferencial e Integral
Uteha Meacutexico
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hay reglas generales que facilitan la diferenciacioacuten de la mayoriacutea de las funciones descritas ver abajo Algunos ejemplos de coacutemo utilizar este cociente Ejemplo 1 Consideremos la siguiente funcioacuten
Entonces
Esta funcioacuten es constante para cualquier punto de su dominio vale 5 (por eso f(x+h)=5) Noacutetese el uacuteltimo paso donde h tiende a cero pero no lo toca Si pensamos un poco observaremos que la derivada ademaacutes de ser la pendiente de la recta tangente a la curva es a la vez la recta secante a la misma curva
2 Consideremos la graacutefica de Esta recta tiene una pendiente igual a 2 en cada punto Utilizando el cociente mostrado arriba (junto a los conceptos de liacutemite secante y tangente) podremos determinar las pendientes en los puntos 4 y 5
Entonces
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El valor de la funcioacuten derivada de una recta es igual a la pendiente de la misma 3 Mediante esta diferenciacioacuten se puede calcular la pendiente de una curva Consideremos que
Entonces
Para cualquier punto x la pendiente de la funcioacuten es
NOTACIOacuteN
La notacioacuten maacutes simple para la diferenciacioacuten que se utiliza en la actualidad se debe a Lagrange y utiliza un apoacutestrofo o comilla prime De esta manera se expresan las derivadas de la funcioacuten f(x) en el punto x = a se escribe Para la primera derivada
Para la segunda derivada
Para la tercera derivada y luego de forma general
Para la n-eacutesima derivada (donde normalmente se da que n gt 3)
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Para la funcioacuten cuyo valor en cada x es la derivada de se escribe
De forma similar para la segunda derivada de f se escribe y asiacute sucesivamente La otra notacioacuten comuacuten para la diferenciacioacuten se debe a Leibniz Para la funcioacuten cuyo valor en x es la derivada de f en x se escribe
Se puede escribir la derivada de f en el punto a de dos formas distintas
Si la resultante de f(x) es otra variable por ejemplo si y=f(x) se puede escribir la derivada como
La notacioacuten de Newton para la diferenciacioacuten consiste en poner un punto sobre el nombre de la funcioacuten
y asiacute sucesivamente La notacioacuten de Newton se utiliza principalmente en la mecaacutenica normalmente para las derivadas con respecto al tiempo tales como la velocidad y la aceleracioacuten y en la teoriacutea de ecuaciones diferenciales ordinarias Normalmente soacutelo se utilizan para la primera y segunda derivadas Otra notacioacuten consiste en colocar una letra D mayuacutescula para indicar la operacioacuten de diferenciacioacuten con un subiacutendice que indica la variable sobre la que se derivaraacute
Dxf
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que es equivalente a la expresioacuten
En ese contexto se considera a la diferenciacioacuten como una operacioacuten sobre
funciones de modo que los siacutembolos y Dx son llamados operadores diferenciales
DERIVADAS DE FUNCIONES
NOMBRE FUNCIOacuteN DERIVADA
CONSTANTE kxf )( 1)( xf
ALGEBRAICA nxxf )( 1 )( nnxxf
LOGARIacuteTMICA
xxf alog)( )ln(
1)(
axxf
xxf ln)( x
xf1
)(
EXPONENCIAL
xaxf )( )ln()( aaxf x
xexf )( xexf )(
TRIGONOMEacuteTRICAS
xxf sin)( xxf cos)(
xxf cos)( xxf sin)(
xxf tan)( xxf 2 sec)(
xxf sec)( xxxf tansec)(
xxf cot)( xxf 2 csc)(
xxf csc)( xxxf cotcsc)(
FUNCIONES COMPUESTAS
NOMBRE FUNCIOacuteN DERIVADA
SUMA o
DIFERENCIA )()()( xhxgxf )()()( xhxgxf
PRODUCTO )()()( xhxgxf )()()()()( xhxgxhxgxf
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COCIENTE )(
)()(
xh
xgxf
)(
)()()()()(
2
xh
xhxgxhxgxf
FUNCIONES INVERSAS
TRIGONOMEacuteTRICAS
xxf 1sin)( 2
1
1)(
xxf
xxf 1cos)( 2
1
1)(
xxf
xxf 1tan)( 2
1
1)(
xxf
Ejemplos
Derivar las siguientes funciones
a
b
c
NOTA El desarrollo algebraico de lo deja al estudiante ELERCICIOS Derivar las siguientes funciones
1 453)( 25 xxxf
2 xxxxf 464)( 42
3 )1)(()( 32 xxxxf (es un producto)
16)(
1)3)(2()(
13)(
2
xxf
xxf
xxf
1128)(
42)(
23
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xxxf
xxxxf
22
2
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2
2
)3(
2
)3(
)1)(23()3)(1()(
3
1)(
xx
xx
xx
xxxxxf
xx
xxf
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SEMIPRESENCIAL
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23
4 3
23)(
x
xxf
5 xxf 3log)(
6 xexf )(
7 xxf 12)(
DERIVADAS SUCESIVAS DE UNA FUNCIOacuteN Regla de la cadena Definicioacuten Sea y = f(u) u = g(x) si g es diferenciable en x y f f es diferenciable en u = g(x) entonces la funcioacuten compuesta definida por f(g(x)) es diferenciable en x y
)()( xgxgfdx
xgdf
En palabras decimos que La derivada de una funcioacuten compuesta es la derivada de la funcioacuten exterior evaluada en la funcioacuten interna por la derivada de la funcioacuten interna DERIVADAS SUPERIORES Las derivadas de orden superior aparecen desde la segunda derivada en adelante consisten en derivar la funcioacuten inmediatamente anterior cuantas veces sea necesario
oacute
para la n-eacutesima derivada de f(x) o y respectivamente Histoacutericamente esto proviene del hecho de que por ejemplo la tercera derivada es
que se puede escribir sin mucho rigor como
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Eliminando las llaves nos da la notacioacuten que estaacute arriba
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CAPITULO III
3 INTEGRAL INDEFINIDA
31 Definicioacuten Llamamos a F una antiderivada de f en el intervalo I si Dx F(x)
= f(x) en I esto es si Facute(x) = f(x) para todo x en I
Teorema 1 Regla de la potencia
Si r es cualquier nuacutemero racional excepto -1 entonces
Cr
xdxx
rr
1
1
Corolario Regla generalizada de la potencia
Cr
xgdxxgxg
rr
1
)()()(
1
Teorema 2 La integral definida es un operador lineal
Sean f y g antiderivadas (integrales indefinidas) y sea k una constante
Entonces
a dxxfkdxxkf )()(
b dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
c dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
32 PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LA ANTIDIFERENCIACIOacuteN
Esta propiedad indica que podemos sacar un factor constante de la integral
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CAPITULO IV
4 MEacuteTODOS DE INTEGRACIOacuteN
Teorema 1 Regla de sustitucioacuten
Sea g una funcioacuten derivable y suponga que F es una antiderivada de f
Entonces u = g(x)
CxgFCuFduufdxxgxgf ))(()()()(
Teorema 2 Integracioacuten por partes
dxxuxvxvxuxvxu )()()()()()(
Teorema 3 Integraciones trigonomeacutetricas
Ejercicios resueltos
Efectuacutee las operaciones de antidiferenciacioacuten que se indican aplicando las
propiedades correspondientes en cada caso
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S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
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4 Solucioacuten
5 Solucioacuten
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6 Solucioacuten
7 Solucioacuten
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AUTOEVALUACIOacuteN PARA CAPIacuteTULOS 1 Y 2
Realice las integrales indicadas
dxx
xf
x
xxe
dtt
d
dxxxc
dxxxb
dxxa
2
2
2
5
5
cos
tan)
1
23)
12
5)
1)
5)
5)
dxxk
dtt
tj
dxxxi
dxxeh
dxxxg
x
2
5
csc)
ln)
1)
)
cos)
Utiliza la tabla de integrales para resolver los siguientes ejercicios
32)
1
32)
53)
169)
23)
2
2
22
2
tt
dte
dxx
xxd
dxxxc
x
dxb
dxxxa
TABLA DE INTEGRALES
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BIBLIOGRAFIacuteA
PURCELL VARBERG RIGDON 2003 Caacutelculo Diferencial e Integral
Pearson Prentice Hall Ecuador
GRANVILLE SMITH LONGLEY 1974 Caacutelculo Diferencial e Integral
Uteha Meacutexico
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El valor de la funcioacuten derivada de una recta es igual a la pendiente de la misma 3 Mediante esta diferenciacioacuten se puede calcular la pendiente de una curva Consideremos que
Entonces
Para cualquier punto x la pendiente de la funcioacuten es
NOTACIOacuteN
La notacioacuten maacutes simple para la diferenciacioacuten que se utiliza en la actualidad se debe a Lagrange y utiliza un apoacutestrofo o comilla prime De esta manera se expresan las derivadas de la funcioacuten f(x) en el punto x = a se escribe Para la primera derivada
Para la segunda derivada
Para la tercera derivada y luego de forma general
Para la n-eacutesima derivada (donde normalmente se da que n gt 3)
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Para la funcioacuten cuyo valor en cada x es la derivada de se escribe
De forma similar para la segunda derivada de f se escribe y asiacute sucesivamente La otra notacioacuten comuacuten para la diferenciacioacuten se debe a Leibniz Para la funcioacuten cuyo valor en x es la derivada de f en x se escribe
Se puede escribir la derivada de f en el punto a de dos formas distintas
Si la resultante de f(x) es otra variable por ejemplo si y=f(x) se puede escribir la derivada como
La notacioacuten de Newton para la diferenciacioacuten consiste en poner un punto sobre el nombre de la funcioacuten
y asiacute sucesivamente La notacioacuten de Newton se utiliza principalmente en la mecaacutenica normalmente para las derivadas con respecto al tiempo tales como la velocidad y la aceleracioacuten y en la teoriacutea de ecuaciones diferenciales ordinarias Normalmente soacutelo se utilizan para la primera y segunda derivadas Otra notacioacuten consiste en colocar una letra D mayuacutescula para indicar la operacioacuten de diferenciacioacuten con un subiacutendice que indica la variable sobre la que se derivaraacute
Dxf
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21
que es equivalente a la expresioacuten
En ese contexto se considera a la diferenciacioacuten como una operacioacuten sobre
funciones de modo que los siacutembolos y Dx son llamados operadores diferenciales
DERIVADAS DE FUNCIONES
NOMBRE FUNCIOacuteN DERIVADA
CONSTANTE kxf )( 1)( xf
ALGEBRAICA nxxf )( 1 )( nnxxf
LOGARIacuteTMICA
xxf alog)( )ln(
1)(
axxf
xxf ln)( x
xf1
)(
EXPONENCIAL
xaxf )( )ln()( aaxf x
xexf )( xexf )(
TRIGONOMEacuteTRICAS
xxf sin)( xxf cos)(
xxf cos)( xxf sin)(
xxf tan)( xxf 2 sec)(
xxf sec)( xxxf tansec)(
xxf cot)( xxf 2 csc)(
xxf csc)( xxxf cotcsc)(
FUNCIONES COMPUESTAS
NOMBRE FUNCIOacuteN DERIVADA
SUMA o
DIFERENCIA )()()( xhxgxf )()()( xhxgxf
PRODUCTO )()()( xhxgxf )()()()()( xhxgxhxgxf
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COCIENTE )(
)()(
xh
xgxf
)(
)()()()()(
2
xh
xhxgxhxgxf
FUNCIONES INVERSAS
TRIGONOMEacuteTRICAS
xxf 1sin)( 2
1
1)(
xxf
xxf 1cos)( 2
1
1)(
xxf
xxf 1tan)( 2
1
1)(
xxf
Ejemplos
Derivar las siguientes funciones
a
b
c
NOTA El desarrollo algebraico de lo deja al estudiante ELERCICIOS Derivar las siguientes funciones
1 453)( 25 xxxf
2 xxxxf 464)( 42
3 )1)(()( 32 xxxxf (es un producto)
16)(
1)3)(2()(
13)(
2
xxf
xxf
xxf
1128)(
42)(
23
34
xxxf
xxxxf
22
2
22
2
2
)3(
2
)3(
)1)(23()3)(1()(
3
1)(
xx
xx
xx
xxxxxf
xx
xxf
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23
4 3
23)(
x
xxf
5 xxf 3log)(
6 xexf )(
7 xxf 12)(
DERIVADAS SUCESIVAS DE UNA FUNCIOacuteN Regla de la cadena Definicioacuten Sea y = f(u) u = g(x) si g es diferenciable en x y f f es diferenciable en u = g(x) entonces la funcioacuten compuesta definida por f(g(x)) es diferenciable en x y
)()( xgxgfdx
xgdf
En palabras decimos que La derivada de una funcioacuten compuesta es la derivada de la funcioacuten exterior evaluada en la funcioacuten interna por la derivada de la funcioacuten interna DERIVADAS SUPERIORES Las derivadas de orden superior aparecen desde la segunda derivada en adelante consisten en derivar la funcioacuten inmediatamente anterior cuantas veces sea necesario
oacute
para la n-eacutesima derivada de f(x) o y respectivamente Histoacutericamente esto proviene del hecho de que por ejemplo la tercera derivada es
que se puede escribir sin mucho rigor como
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CAPITULO III
3 INTEGRAL INDEFINIDA
31 Definicioacuten Llamamos a F una antiderivada de f en el intervalo I si Dx F(x)
= f(x) en I esto es si Facute(x) = f(x) para todo x en I
Teorema 1 Regla de la potencia
Si r es cualquier nuacutemero racional excepto -1 entonces
Cr
xdxx
rr
1
1
Corolario Regla generalizada de la potencia
Cr
xgdxxgxg
rr
1
)()()(
1
Teorema 2 La integral definida es un operador lineal
Sean f y g antiderivadas (integrales indefinidas) y sea k una constante
Entonces
a dxxfkdxxkf )()(
b dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
c dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
32 PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LA ANTIDIFERENCIACIOacuteN
Esta propiedad indica que podemos sacar un factor constante de la integral
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SUPERIOR ldquoDAVID AUSUBELrdquo
SEMIPRESENCIAL
VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
26
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SUPERIOR ldquoDAVID AUSUBELrdquo
SEMIPRESENCIAL
VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
27
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SUPERIOR ldquoDAVID AUSUBELrdquo
SEMIPRESENCIAL
VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
28
CAPITULO IV
4 MEacuteTODOS DE INTEGRACIOacuteN
Teorema 1 Regla de sustitucioacuten
Sea g una funcioacuten derivable y suponga que F es una antiderivada de f
Entonces u = g(x)
CxgFCuFduufdxxgxgf ))(()()()(
Teorema 2 Integracioacuten por partes
dxxuxvxvxuxvxu )()()()()()(
Teorema 3 Integraciones trigonomeacutetricas
Ejercicios resueltos
Efectuacutee las operaciones de antidiferenciacioacuten que se indican aplicando las
propiedades correspondientes en cada caso
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29
S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
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VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
30
4 Solucioacuten
5 Solucioacuten
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31
6 Solucioacuten
7 Solucioacuten
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33
AUTOEVALUACIOacuteN PARA CAPIacuteTULOS 1 Y 2
Realice las integrales indicadas
dxx
xf
x
xxe
dtt
d
dxxxc
dxxxb
dxxa
2
2
2
5
5
cos
tan)
1
23)
12
5)
1)
5)
5)
dxxk
dtt
tj
dxxxi
dxxeh
dxxxg
x
2
5
csc)
ln)
1)
)
cos)
Utiliza la tabla de integrales para resolver los siguientes ejercicios
32)
1
32)
53)
169)
23)
2
2
22
2
tt
dte
dxx
xxd
dxxxc
x
dxb
dxxxa
TABLA DE INTEGRALES
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37
BIBLIOGRAFIacuteA
PURCELL VARBERG RIGDON 2003 Caacutelculo Diferencial e Integral
Pearson Prentice Hall Ecuador
GRANVILLE SMITH LONGLEY 1974 Caacutelculo Diferencial e Integral
Uteha Meacutexico
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20
Para la funcioacuten cuyo valor en cada x es la derivada de se escribe
De forma similar para la segunda derivada de f se escribe y asiacute sucesivamente La otra notacioacuten comuacuten para la diferenciacioacuten se debe a Leibniz Para la funcioacuten cuyo valor en x es la derivada de f en x se escribe
Se puede escribir la derivada de f en el punto a de dos formas distintas
Si la resultante de f(x) es otra variable por ejemplo si y=f(x) se puede escribir la derivada como
La notacioacuten de Newton para la diferenciacioacuten consiste en poner un punto sobre el nombre de la funcioacuten
y asiacute sucesivamente La notacioacuten de Newton se utiliza principalmente en la mecaacutenica normalmente para las derivadas con respecto al tiempo tales como la velocidad y la aceleracioacuten y en la teoriacutea de ecuaciones diferenciales ordinarias Normalmente soacutelo se utilizan para la primera y segunda derivadas Otra notacioacuten consiste en colocar una letra D mayuacutescula para indicar la operacioacuten de diferenciacioacuten con un subiacutendice que indica la variable sobre la que se derivaraacute
Dxf
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SUPERIOR ldquoDAVID AUSUBELrdquo
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VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
21
que es equivalente a la expresioacuten
En ese contexto se considera a la diferenciacioacuten como una operacioacuten sobre
funciones de modo que los siacutembolos y Dx son llamados operadores diferenciales
DERIVADAS DE FUNCIONES
NOMBRE FUNCIOacuteN DERIVADA
CONSTANTE kxf )( 1)( xf
ALGEBRAICA nxxf )( 1 )( nnxxf
LOGARIacuteTMICA
xxf alog)( )ln(
1)(
axxf
xxf ln)( x
xf1
)(
EXPONENCIAL
xaxf )( )ln()( aaxf x
xexf )( xexf )(
TRIGONOMEacuteTRICAS
xxf sin)( xxf cos)(
xxf cos)( xxf sin)(
xxf tan)( xxf 2 sec)(
xxf sec)( xxxf tansec)(
xxf cot)( xxf 2 csc)(
xxf csc)( xxxf cotcsc)(
FUNCIONES COMPUESTAS
NOMBRE FUNCIOacuteN DERIVADA
SUMA o
DIFERENCIA )()()( xhxgxf )()()( xhxgxf
PRODUCTO )()()( xhxgxf )()()()()( xhxgxhxgxf
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COCIENTE )(
)()(
xh
xgxf
)(
)()()()()(
2
xh
xhxgxhxgxf
FUNCIONES INVERSAS
TRIGONOMEacuteTRICAS
xxf 1sin)( 2
1
1)(
xxf
xxf 1cos)( 2
1
1)(
xxf
xxf 1tan)( 2
1
1)(
xxf
Ejemplos
Derivar las siguientes funciones
a
b
c
NOTA El desarrollo algebraico de lo deja al estudiante ELERCICIOS Derivar las siguientes funciones
1 453)( 25 xxxf
2 xxxxf 464)( 42
3 )1)(()( 32 xxxxf (es un producto)
16)(
1)3)(2()(
13)(
2
xxf
xxf
xxf
1128)(
42)(
23
34
xxxf
xxxxf
22
2
22
2
2
)3(
2
)3(
)1)(23()3)(1()(
3
1)(
xx
xx
xx
xxxxxf
xx
xxf
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23
4 3
23)(
x
xxf
5 xxf 3log)(
6 xexf )(
7 xxf 12)(
DERIVADAS SUCESIVAS DE UNA FUNCIOacuteN Regla de la cadena Definicioacuten Sea y = f(u) u = g(x) si g es diferenciable en x y f f es diferenciable en u = g(x) entonces la funcioacuten compuesta definida por f(g(x)) es diferenciable en x y
)()( xgxgfdx
xgdf
En palabras decimos que La derivada de una funcioacuten compuesta es la derivada de la funcioacuten exterior evaluada en la funcioacuten interna por la derivada de la funcioacuten interna DERIVADAS SUPERIORES Las derivadas de orden superior aparecen desde la segunda derivada en adelante consisten en derivar la funcioacuten inmediatamente anterior cuantas veces sea necesario
oacute
para la n-eacutesima derivada de f(x) o y respectivamente Histoacutericamente esto proviene del hecho de que por ejemplo la tercera derivada es
que se puede escribir sin mucho rigor como
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24
Eliminando las llaves nos da la notacioacuten que estaacute arriba
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CAPITULO III
3 INTEGRAL INDEFINIDA
31 Definicioacuten Llamamos a F una antiderivada de f en el intervalo I si Dx F(x)
= f(x) en I esto es si Facute(x) = f(x) para todo x en I
Teorema 1 Regla de la potencia
Si r es cualquier nuacutemero racional excepto -1 entonces
Cr
xdxx
rr
1
1
Corolario Regla generalizada de la potencia
Cr
xgdxxgxg
rr
1
)()()(
1
Teorema 2 La integral definida es un operador lineal
Sean f y g antiderivadas (integrales indefinidas) y sea k una constante
Entonces
a dxxfkdxxkf )()(
b dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
c dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
32 PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LA ANTIDIFERENCIACIOacuteN
Esta propiedad indica que podemos sacar un factor constante de la integral
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CAPITULO IV
4 MEacuteTODOS DE INTEGRACIOacuteN
Teorema 1 Regla de sustitucioacuten
Sea g una funcioacuten derivable y suponga que F es una antiderivada de f
Entonces u = g(x)
CxgFCuFduufdxxgxgf ))(()()()(
Teorema 2 Integracioacuten por partes
dxxuxvxvxuxvxu )()()()()()(
Teorema 3 Integraciones trigonomeacutetricas
Ejercicios resueltos
Efectuacutee las operaciones de antidiferenciacioacuten que se indican aplicando las
propiedades correspondientes en cada caso
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S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
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4 Solucioacuten
5 Solucioacuten
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6 Solucioacuten
7 Solucioacuten
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AUTOEVALUACIOacuteN PARA CAPIacuteTULOS 1 Y 2
Realice las integrales indicadas
dxx
xf
x
xxe
dtt
d
dxxxc
dxxxb
dxxa
2
2
2
5
5
cos
tan)
1
23)
12
5)
1)
5)
5)
dxxk
dtt
tj
dxxxi
dxxeh
dxxxg
x
2
5
csc)
ln)
1)
)
cos)
Utiliza la tabla de integrales para resolver los siguientes ejercicios
32)
1
32)
53)
169)
23)
2
2
22
2
tt
dte
dxx
xxd
dxxxc
x
dxb
dxxxa
TABLA DE INTEGRALES
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BIBLIOGRAFIacuteA
PURCELL VARBERG RIGDON 2003 Caacutelculo Diferencial e Integral
Pearson Prentice Hall Ecuador
GRANVILLE SMITH LONGLEY 1974 Caacutelculo Diferencial e Integral
Uteha Meacutexico
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21
que es equivalente a la expresioacuten
En ese contexto se considera a la diferenciacioacuten como una operacioacuten sobre
funciones de modo que los siacutembolos y Dx son llamados operadores diferenciales
DERIVADAS DE FUNCIONES
NOMBRE FUNCIOacuteN DERIVADA
CONSTANTE kxf )( 1)( xf
ALGEBRAICA nxxf )( 1 )( nnxxf
LOGARIacuteTMICA
xxf alog)( )ln(
1)(
axxf
xxf ln)( x
xf1
)(
EXPONENCIAL
xaxf )( )ln()( aaxf x
xexf )( xexf )(
TRIGONOMEacuteTRICAS
xxf sin)( xxf cos)(
xxf cos)( xxf sin)(
xxf tan)( xxf 2 sec)(
xxf sec)( xxxf tansec)(
xxf cot)( xxf 2 csc)(
xxf csc)( xxxf cotcsc)(
FUNCIONES COMPUESTAS
NOMBRE FUNCIOacuteN DERIVADA
SUMA o
DIFERENCIA )()()( xhxgxf )()()( xhxgxf
PRODUCTO )()()( xhxgxf )()()()()( xhxgxhxgxf
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COCIENTE )(
)()(
xh
xgxf
)(
)()()()()(
2
xh
xhxgxhxgxf
FUNCIONES INVERSAS
TRIGONOMEacuteTRICAS
xxf 1sin)( 2
1
1)(
xxf
xxf 1cos)( 2
1
1)(
xxf
xxf 1tan)( 2
1
1)(
xxf
Ejemplos
Derivar las siguientes funciones
a
b
c
NOTA El desarrollo algebraico de lo deja al estudiante ELERCICIOS Derivar las siguientes funciones
1 453)( 25 xxxf
2 xxxxf 464)( 42
3 )1)(()( 32 xxxxf (es un producto)
16)(
1)3)(2()(
13)(
2
xxf
xxf
xxf
1128)(
42)(
23
34
xxxf
xxxxf
22
2
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2
2
)3(
2
)3(
)1)(23()3)(1()(
3
1)(
xx
xx
xx
xxxxxf
xx
xxf
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23
4 3
23)(
x
xxf
5 xxf 3log)(
6 xexf )(
7 xxf 12)(
DERIVADAS SUCESIVAS DE UNA FUNCIOacuteN Regla de la cadena Definicioacuten Sea y = f(u) u = g(x) si g es diferenciable en x y f f es diferenciable en u = g(x) entonces la funcioacuten compuesta definida por f(g(x)) es diferenciable en x y
)()( xgxgfdx
xgdf
En palabras decimos que La derivada de una funcioacuten compuesta es la derivada de la funcioacuten exterior evaluada en la funcioacuten interna por la derivada de la funcioacuten interna DERIVADAS SUPERIORES Las derivadas de orden superior aparecen desde la segunda derivada en adelante consisten en derivar la funcioacuten inmediatamente anterior cuantas veces sea necesario
oacute
para la n-eacutesima derivada de f(x) o y respectivamente Histoacutericamente esto proviene del hecho de que por ejemplo la tercera derivada es
que se puede escribir sin mucho rigor como
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Eliminando las llaves nos da la notacioacuten que estaacute arriba
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CAPITULO III
3 INTEGRAL INDEFINIDA
31 Definicioacuten Llamamos a F una antiderivada de f en el intervalo I si Dx F(x)
= f(x) en I esto es si Facute(x) = f(x) para todo x en I
Teorema 1 Regla de la potencia
Si r es cualquier nuacutemero racional excepto -1 entonces
Cr
xdxx
rr
1
1
Corolario Regla generalizada de la potencia
Cr
xgdxxgxg
rr
1
)()()(
1
Teorema 2 La integral definida es un operador lineal
Sean f y g antiderivadas (integrales indefinidas) y sea k una constante
Entonces
a dxxfkdxxkf )()(
b dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
c dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
32 PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LA ANTIDIFERENCIACIOacuteN
Esta propiedad indica que podemos sacar un factor constante de la integral
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CAPITULO IV
4 MEacuteTODOS DE INTEGRACIOacuteN
Teorema 1 Regla de sustitucioacuten
Sea g una funcioacuten derivable y suponga que F es una antiderivada de f
Entonces u = g(x)
CxgFCuFduufdxxgxgf ))(()()()(
Teorema 2 Integracioacuten por partes
dxxuxvxvxuxvxu )()()()()()(
Teorema 3 Integraciones trigonomeacutetricas
Ejercicios resueltos
Efectuacutee las operaciones de antidiferenciacioacuten que se indican aplicando las
propiedades correspondientes en cada caso
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S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
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4 Solucioacuten
5 Solucioacuten
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6 Solucioacuten
7 Solucioacuten
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AUTOEVALUACIOacuteN PARA CAPIacuteTULOS 1 Y 2
Realice las integrales indicadas
dxx
xf
x
xxe
dtt
d
dxxxc
dxxxb
dxxa
2
2
2
5
5
cos
tan)
1
23)
12
5)
1)
5)
5)
dxxk
dtt
tj
dxxxi
dxxeh
dxxxg
x
2
5
csc)
ln)
1)
)
cos)
Utiliza la tabla de integrales para resolver los siguientes ejercicios
32)
1
32)
53)
169)
23)
2
2
22
2
tt
dte
dxx
xxd
dxxxc
x
dxb
dxxxa
TABLA DE INTEGRALES
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37
BIBLIOGRAFIacuteA
PURCELL VARBERG RIGDON 2003 Caacutelculo Diferencial e Integral
Pearson Prentice Hall Ecuador
GRANVILLE SMITH LONGLEY 1974 Caacutelculo Diferencial e Integral
Uteha Meacutexico
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22
COCIENTE )(
)()(
xh
xgxf
)(
)()()()()(
2
xh
xhxgxhxgxf
FUNCIONES INVERSAS
TRIGONOMEacuteTRICAS
xxf 1sin)( 2
1
1)(
xxf
xxf 1cos)( 2
1
1)(
xxf
xxf 1tan)( 2
1
1)(
xxf
Ejemplos
Derivar las siguientes funciones
a
b
c
NOTA El desarrollo algebraico de lo deja al estudiante ELERCICIOS Derivar las siguientes funciones
1 453)( 25 xxxf
2 xxxxf 464)( 42
3 )1)(()( 32 xxxxf (es un producto)
16)(
1)3)(2()(
13)(
2
xxf
xxf
xxf
1128)(
42)(
23
34
xxxf
xxxxf
22
2
22
2
2
)3(
2
)3(
)1)(23()3)(1()(
3
1)(
xx
xx
xx
xxxxxf
xx
xxf
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23
4 3
23)(
x
xxf
5 xxf 3log)(
6 xexf )(
7 xxf 12)(
DERIVADAS SUCESIVAS DE UNA FUNCIOacuteN Regla de la cadena Definicioacuten Sea y = f(u) u = g(x) si g es diferenciable en x y f f es diferenciable en u = g(x) entonces la funcioacuten compuesta definida por f(g(x)) es diferenciable en x y
)()( xgxgfdx
xgdf
En palabras decimos que La derivada de una funcioacuten compuesta es la derivada de la funcioacuten exterior evaluada en la funcioacuten interna por la derivada de la funcioacuten interna DERIVADAS SUPERIORES Las derivadas de orden superior aparecen desde la segunda derivada en adelante consisten en derivar la funcioacuten inmediatamente anterior cuantas veces sea necesario
oacute
para la n-eacutesima derivada de f(x) o y respectivamente Histoacutericamente esto proviene del hecho de que por ejemplo la tercera derivada es
que se puede escribir sin mucho rigor como
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Eliminando las llaves nos da la notacioacuten que estaacute arriba
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3 INTEGRAL INDEFINIDA
31 Definicioacuten Llamamos a F una antiderivada de f en el intervalo I si Dx F(x)
= f(x) en I esto es si Facute(x) = f(x) para todo x en I
Teorema 1 Regla de la potencia
Si r es cualquier nuacutemero racional excepto -1 entonces
Cr
xdxx
rr
1
1
Corolario Regla generalizada de la potencia
Cr
xgdxxgxg
rr
1
)()()(
1
Teorema 2 La integral definida es un operador lineal
Sean f y g antiderivadas (integrales indefinidas) y sea k una constante
Entonces
a dxxfkdxxkf )()(
b dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
c dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
32 PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LA ANTIDIFERENCIACIOacuteN
Esta propiedad indica que podemos sacar un factor constante de la integral
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CAPITULO IV
4 MEacuteTODOS DE INTEGRACIOacuteN
Teorema 1 Regla de sustitucioacuten
Sea g una funcioacuten derivable y suponga que F es una antiderivada de f
Entonces u = g(x)
CxgFCuFduufdxxgxgf ))(()()()(
Teorema 2 Integracioacuten por partes
dxxuxvxvxuxvxu )()()()()()(
Teorema 3 Integraciones trigonomeacutetricas
Ejercicios resueltos
Efectuacutee las operaciones de antidiferenciacioacuten que se indican aplicando las
propiedades correspondientes en cada caso
INSTITUTO TECNOLOacuteGICO
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1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
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4 Solucioacuten
5 Solucioacuten
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Realice las integrales indicadas
dxx
xf
x
xxe
dtt
d
dxxxc
dxxxb
dxxa
2
2
2
5
5
cos
tan)
1
23)
12
5)
1)
5)
5)
dxxk
dtt
tj
dxxxi
dxxeh
dxxxg
x
2
5
csc)
ln)
1)
)
cos)
Utiliza la tabla de integrales para resolver los siguientes ejercicios
32)
1
32)
53)
169)
23)
2
2
22
2
tt
dte
dxx
xxd
dxxxc
x
dxb
dxxxa
TABLA DE INTEGRALES
INSTITUTO TECNOLOacuteGICO
SUPERIOR ldquoDAVID AUSUBELrdquo
SEMIPRESENCIAL
VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
34
INSTITUTO TECNOLOacuteGICO
SUPERIOR ldquoDAVID AUSUBELrdquo
SEMIPRESENCIAL
VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
35
INSTITUTO TECNOLOacuteGICO
SUPERIOR ldquoDAVID AUSUBELrdquo
SEMIPRESENCIAL
VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
36
INSTITUTO TECNOLOacuteGICO
SUPERIOR ldquoDAVID AUSUBELrdquo
SEMIPRESENCIAL
VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
37
BIBLIOGRAFIacuteA
PURCELL VARBERG RIGDON 2003 Caacutelculo Diferencial e Integral
Pearson Prentice Hall Ecuador
GRANVILLE SMITH LONGLEY 1974 Caacutelculo Diferencial e Integral
Uteha Meacutexico
INSTITUTO TECNOLOacuteGICO
SUPERIOR ldquoDAVID AUSUBELrdquo
SEMIPRESENCIAL
VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
23
4 3
23)(
x
xxf
5 xxf 3log)(
6 xexf )(
7 xxf 12)(
DERIVADAS SUCESIVAS DE UNA FUNCIOacuteN Regla de la cadena Definicioacuten Sea y = f(u) u = g(x) si g es diferenciable en x y f f es diferenciable en u = g(x) entonces la funcioacuten compuesta definida por f(g(x)) es diferenciable en x y
)()( xgxgfdx
xgdf
En palabras decimos que La derivada de una funcioacuten compuesta es la derivada de la funcioacuten exterior evaluada en la funcioacuten interna por la derivada de la funcioacuten interna DERIVADAS SUPERIORES Las derivadas de orden superior aparecen desde la segunda derivada en adelante consisten en derivar la funcioacuten inmediatamente anterior cuantas veces sea necesario
oacute
para la n-eacutesima derivada de f(x) o y respectivamente Histoacutericamente esto proviene del hecho de que por ejemplo la tercera derivada es
que se puede escribir sin mucho rigor como
INSTITUTO TECNOLOacuteGICO
SUPERIOR ldquoDAVID AUSUBELrdquo
SEMIPRESENCIAL
VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
24
Eliminando las llaves nos da la notacioacuten que estaacute arriba
INSTITUTO TECNOLOacuteGICO
SUPERIOR ldquoDAVID AUSUBELrdquo
SEMIPRESENCIAL
VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
25
CAPITULO III
3 INTEGRAL INDEFINIDA
31 Definicioacuten Llamamos a F una antiderivada de f en el intervalo I si Dx F(x)
= f(x) en I esto es si Facute(x) = f(x) para todo x en I
Teorema 1 Regla de la potencia
Si r es cualquier nuacutemero racional excepto -1 entonces
Cr
xdxx
rr
1
1
Corolario Regla generalizada de la potencia
Cr
xgdxxgxg
rr
1
)()()(
1
Teorema 2 La integral definida es un operador lineal
Sean f y g antiderivadas (integrales indefinidas) y sea k una constante
Entonces
a dxxfkdxxkf )()(
b dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
c dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
32 PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LA ANTIDIFERENCIACIOacuteN
Esta propiedad indica que podemos sacar un factor constante de la integral
INSTITUTO TECNOLOacuteGICO
SUPERIOR ldquoDAVID AUSUBELrdquo
SEMIPRESENCIAL
VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
26
INSTITUTO TECNOLOacuteGICO
SUPERIOR ldquoDAVID AUSUBELrdquo
SEMIPRESENCIAL
VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
27
INSTITUTO TECNOLOacuteGICO
SUPERIOR ldquoDAVID AUSUBELrdquo
SEMIPRESENCIAL
VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
28
CAPITULO IV
4 MEacuteTODOS DE INTEGRACIOacuteN
Teorema 1 Regla de sustitucioacuten
Sea g una funcioacuten derivable y suponga que F es una antiderivada de f
Entonces u = g(x)
CxgFCuFduufdxxgxgf ))(()()()(
Teorema 2 Integracioacuten por partes
dxxuxvxvxuxvxu )()()()()()(
Teorema 3 Integraciones trigonomeacutetricas
Ejercicios resueltos
Efectuacutee las operaciones de antidiferenciacioacuten que se indican aplicando las
propiedades correspondientes en cada caso
INSTITUTO TECNOLOacuteGICO
SUPERIOR ldquoDAVID AUSUBELrdquo
SEMIPRESENCIAL
VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
29
S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
INSTITUTO TECNOLOacuteGICO
SUPERIOR ldquoDAVID AUSUBELrdquo
SEMIPRESENCIAL
VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
30
4 Solucioacuten
5 Solucioacuten
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SEMIPRESENCIAL
VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
31
6 Solucioacuten
7 Solucioacuten
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32
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SUPERIOR ldquoDAVID AUSUBELrdquo
SEMIPRESENCIAL
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33
AUTOEVALUACIOacuteN PARA CAPIacuteTULOS 1 Y 2
Realice las integrales indicadas
dxx
xf
x
xxe
dtt
d
dxxxc
dxxxb
dxxa
2
2
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5
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cos
tan)
1
23)
12
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1)
5)
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dxxk
dtt
tj
dxxxi
dxxeh
dxxxg
x
2
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csc)
ln)
1)
)
cos)
Utiliza la tabla de integrales para resolver los siguientes ejercicios
32)
1
32)
53)
169)
23)
2
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2
tt
dte
dxx
xxd
dxxxc
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BIBLIOGRAFIacuteA
PURCELL VARBERG RIGDON 2003 Caacutelculo Diferencial e Integral
Pearson Prentice Hall Ecuador
GRANVILLE SMITH LONGLEY 1974 Caacutelculo Diferencial e Integral
Uteha Meacutexico
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Eliminando las llaves nos da la notacioacuten que estaacute arriba
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25
CAPITULO III
3 INTEGRAL INDEFINIDA
31 Definicioacuten Llamamos a F una antiderivada de f en el intervalo I si Dx F(x)
= f(x) en I esto es si Facute(x) = f(x) para todo x en I
Teorema 1 Regla de la potencia
Si r es cualquier nuacutemero racional excepto -1 entonces
Cr
xdxx
rr
1
1
Corolario Regla generalizada de la potencia
Cr
xgdxxgxg
rr
1
)()()(
1
Teorema 2 La integral definida es un operador lineal
Sean f y g antiderivadas (integrales indefinidas) y sea k una constante
Entonces
a dxxfkdxxkf )()(
b dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
c dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
32 PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LA ANTIDIFERENCIACIOacuteN
Esta propiedad indica que podemos sacar un factor constante de la integral
INSTITUTO TECNOLOacuteGICO
SUPERIOR ldquoDAVID AUSUBELrdquo
SEMIPRESENCIAL
VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
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INSTITUTO TECNOLOacuteGICO
SUPERIOR ldquoDAVID AUSUBELrdquo
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INSTITUTO TECNOLOacuteGICO
SUPERIOR ldquoDAVID AUSUBELrdquo
SEMIPRESENCIAL
VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
28
CAPITULO IV
4 MEacuteTODOS DE INTEGRACIOacuteN
Teorema 1 Regla de sustitucioacuten
Sea g una funcioacuten derivable y suponga que F es una antiderivada de f
Entonces u = g(x)
CxgFCuFduufdxxgxgf ))(()()()(
Teorema 2 Integracioacuten por partes
dxxuxvxvxuxvxu )()()()()()(
Teorema 3 Integraciones trigonomeacutetricas
Ejercicios resueltos
Efectuacutee las operaciones de antidiferenciacioacuten que se indican aplicando las
propiedades correspondientes en cada caso
INSTITUTO TECNOLOacuteGICO
SUPERIOR ldquoDAVID AUSUBELrdquo
SEMIPRESENCIAL
VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
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S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
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SUPERIOR ldquoDAVID AUSUBELrdquo
SEMIPRESENCIAL
VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
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4 Solucioacuten
5 Solucioacuten
INSTITUTO TECNOLOacuteGICO
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SEMIPRESENCIAL
VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
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6 Solucioacuten
7 Solucioacuten
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SEMIPRESENCIAL
VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
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SUPERIOR ldquoDAVID AUSUBELrdquo
SEMIPRESENCIAL
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33
AUTOEVALUACIOacuteN PARA CAPIacuteTULOS 1 Y 2
Realice las integrales indicadas
dxx
xf
x
xxe
dtt
d
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dxxxb
dxxa
2
2
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5
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cos
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1
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12
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1)
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tj
dxxxi
dxxeh
dxxxg
x
2
5
csc)
ln)
1)
)
cos)
Utiliza la tabla de integrales para resolver los siguientes ejercicios
32)
1
32)
53)
169)
23)
2
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2
tt
dte
dxx
xxd
dxxxc
x
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BIBLIOGRAFIacuteA
PURCELL VARBERG RIGDON 2003 Caacutelculo Diferencial e Integral
Pearson Prentice Hall Ecuador
GRANVILLE SMITH LONGLEY 1974 Caacutelculo Diferencial e Integral
Uteha Meacutexico
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3 INTEGRAL INDEFINIDA
31 Definicioacuten Llamamos a F una antiderivada de f en el intervalo I si Dx F(x)
= f(x) en I esto es si Facute(x) = f(x) para todo x en I
Teorema 1 Regla de la potencia
Si r es cualquier nuacutemero racional excepto -1 entonces
Cr
xdxx
rr
1
1
Corolario Regla generalizada de la potencia
Cr
xgdxxgxg
rr
1
)()()(
1
Teorema 2 La integral definida es un operador lineal
Sean f y g antiderivadas (integrales indefinidas) y sea k una constante
Entonces
a dxxfkdxxkf )()(
b dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
c dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
32 PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LA ANTIDIFERENCIACIOacuteN
Esta propiedad indica que podemos sacar un factor constante de la integral
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4 MEacuteTODOS DE INTEGRACIOacuteN
Teorema 1 Regla de sustitucioacuten
Sea g una funcioacuten derivable y suponga que F es una antiderivada de f
Entonces u = g(x)
CxgFCuFduufdxxgxgf ))(()()()(
Teorema 2 Integracioacuten por partes
dxxuxvxvxuxvxu )()()()()()(
Teorema 3 Integraciones trigonomeacutetricas
Ejercicios resueltos
Efectuacutee las operaciones de antidiferenciacioacuten que se indican aplicando las
propiedades correspondientes en cada caso
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2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
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AUTOEVALUACIOacuteN PARA CAPIacuteTULOS 1 Y 2
Realice las integrales indicadas
dxx
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dtt
d
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dxxxb
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tj
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dxxeh
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csc)
ln)
1)
)
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Utiliza la tabla de integrales para resolver los siguientes ejercicios
32)
1
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169)
23)
2
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Pearson Prentice Hall Ecuador
GRANVILLE SMITH LONGLEY 1974 Caacutelculo Diferencial e Integral
Uteha Meacutexico
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4 MEacuteTODOS DE INTEGRACIOacuteN
Teorema 1 Regla de sustitucioacuten
Sea g una funcioacuten derivable y suponga que F es una antiderivada de f
Entonces u = g(x)
CxgFCuFduufdxxgxgf ))(()()()(
Teorema 2 Integracioacuten por partes
dxxuxvxvxuxvxu )()()()()()(
Teorema 3 Integraciones trigonomeacutetricas
Ejercicios resueltos
Efectuacutee las operaciones de antidiferenciacioacuten que se indican aplicando las
propiedades correspondientes en cada caso
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3 Solucioacuten
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4 Solucioacuten
5 Solucioacuten
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7 Solucioacuten
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AUTOEVALUACIOacuteN PARA CAPIacuteTULOS 1 Y 2
Realice las integrales indicadas
dxx
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xxe
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dxxxb
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2
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tan)
1
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1)
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dxxeh
dxxxg
x
2
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csc)
ln)
1)
)
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Utiliza la tabla de integrales para resolver los siguientes ejercicios
32)
1
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2
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dxx
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dxxxc
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Teorema 1 Regla de sustitucioacuten
Sea g una funcioacuten derivable y suponga que F es una antiderivada de f
Entonces u = g(x)
CxgFCuFduufdxxgxgf ))(()()()(
Teorema 2 Integracioacuten por partes
dxxuxvxvxuxvxu )()()()()()(
Teorema 3 Integraciones trigonomeacutetricas
Ejercicios resueltos
Efectuacutee las operaciones de antidiferenciacioacuten que se indican aplicando las
propiedades correspondientes en cada caso
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5 Solucioacuten
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7 Solucioacuten
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Realice las integrales indicadas
dxx
xf
x
xxe
dtt
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dxxxb
dxxa
2
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1
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dxxxi
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2
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csc)
ln)
1)
)
cos)
Utiliza la tabla de integrales para resolver los siguientes ejercicios
32)
1
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169)
23)
2
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dxxxc
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4 MEacuteTODOS DE INTEGRACIOacuteN
Teorema 1 Regla de sustitucioacuten
Sea g una funcioacuten derivable y suponga que F es una antiderivada de f
Entonces u = g(x)
CxgFCuFduufdxxgxgf ))(()()()(
Teorema 2 Integracioacuten por partes
dxxuxvxvxuxvxu )()()()()()(
Teorema 3 Integraciones trigonomeacutetricas
Ejercicios resueltos
Efectuacutee las operaciones de antidiferenciacioacuten que se indican aplicando las
propiedades correspondientes en cada caso
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1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
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4 Solucioacuten
5 Solucioacuten
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7 Solucioacuten
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Realice las integrales indicadas
dxx
xf
x
xxe
dtt
d
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dxxxb
dxxa
2
2
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cos
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5)
5)
dxxk
dtt
tj
dxxxi
dxxeh
dxxxg
x
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1)
)
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32)
1
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INSTITUTO TECNOLOacuteGICO
SUPERIOR ldquoDAVID AUSUBELrdquo
SEMIPRESENCIAL
VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
37
BIBLIOGRAFIacuteA
PURCELL VARBERG RIGDON 2003 Caacutelculo Diferencial e Integral
Pearson Prentice Hall Ecuador
GRANVILLE SMITH LONGLEY 1974 Caacutelculo Diferencial e Integral
Uteha Meacutexico
INSTITUTO TECNOLOacuteGICO
SUPERIOR ldquoDAVID AUSUBELrdquo
SEMIPRESENCIAL
VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
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S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
INSTITUTO TECNOLOacuteGICO
SUPERIOR ldquoDAVID AUSUBELrdquo
SEMIPRESENCIAL
VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
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4 Solucioacuten
5 Solucioacuten
INSTITUTO TECNOLOacuteGICO
SUPERIOR ldquoDAVID AUSUBELrdquo
SEMIPRESENCIAL
VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
31
6 Solucioacuten
7 Solucioacuten
INSTITUTO TECNOLOacuteGICO
SUPERIOR ldquoDAVID AUSUBELrdquo
SEMIPRESENCIAL
VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
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INSTITUTO TECNOLOacuteGICO
SUPERIOR ldquoDAVID AUSUBELrdquo
SEMIPRESENCIAL
VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
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AUTOEVALUACIOacuteN PARA CAPIacuteTULOS 1 Y 2
Realice las integrales indicadas
dxx
xf
x
xxe
dtt
d
dxxxc
dxxxb
dxxa
2
2
2
5
5
cos
tan)
1
23)
12
5)
1)
5)
5)
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dtt
tj
dxxxi
dxxeh
dxxxg
x
2
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csc)
ln)
1)
)
cos)
Utiliza la tabla de integrales para resolver los siguientes ejercicios
32)
1
32)
53)
169)
23)
2
2
22
2
tt
dte
dxx
xxd
dxxxc
x
dxb
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TABLA DE INTEGRALES
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SUPERIOR ldquoDAVID AUSUBELrdquo
SEMIPRESENCIAL
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SUPERIOR ldquoDAVID AUSUBELrdquo
SEMIPRESENCIAL
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VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
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SUPERIOR ldquoDAVID AUSUBELrdquo
SEMIPRESENCIAL
VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
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BIBLIOGRAFIacuteA
PURCELL VARBERG RIGDON 2003 Caacutelculo Diferencial e Integral
Pearson Prentice Hall Ecuador
GRANVILLE SMITH LONGLEY 1974 Caacutelculo Diferencial e Integral
Uteha Meacutexico
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SUPERIOR ldquoDAVID AUSUBELrdquo
SEMIPRESENCIAL
VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
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4 Solucioacuten
5 Solucioacuten
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SEMIPRESENCIAL
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7 Solucioacuten
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SEMIPRESENCIAL
VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
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SEMIPRESENCIAL
VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
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AUTOEVALUACIOacuteN PARA CAPIacuteTULOS 1 Y 2
Realice las integrales indicadas
dxx
xf
x
xxe
dtt
d
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2
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2
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Utiliza la tabla de integrales para resolver los siguientes ejercicios
32)
1
32)
53)
169)
23)
2
2
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2
tt
dte
dxx
xxd
dxxxc
x
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TABLA DE INTEGRALES
INSTITUTO TECNOLOacuteGICO
SUPERIOR ldquoDAVID AUSUBELrdquo
SEMIPRESENCIAL
VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
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SUPERIOR ldquoDAVID AUSUBELrdquo
SEMIPRESENCIAL
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SEMIPRESENCIAL
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SEMIPRESENCIAL
VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
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BIBLIOGRAFIacuteA
PURCELL VARBERG RIGDON 2003 Caacutelculo Diferencial e Integral
Pearson Prentice Hall Ecuador
GRANVILLE SMITH LONGLEY 1974 Caacutelculo Diferencial e Integral
Uteha Meacutexico
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SUPERIOR ldquoDAVID AUSUBELrdquo
SEMIPRESENCIAL
VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
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6 Solucioacuten
7 Solucioacuten
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SUPERIOR ldquoDAVID AUSUBELrdquo
SEMIPRESENCIAL
VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
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SUPERIOR ldquoDAVID AUSUBELrdquo
SEMIPRESENCIAL
VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
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AUTOEVALUACIOacuteN PARA CAPIacuteTULOS 1 Y 2
Realice las integrales indicadas
dxx
xf
x
xxe
dtt
d
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dxxxb
dxxa
2
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2
5
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cos
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1
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12
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1)
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dtt
tj
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x
2
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ln)
1)
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Utiliza la tabla de integrales para resolver los siguientes ejercicios
32)
1
32)
53)
169)
23)
2
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tt
dte
dxx
xxd
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TABLA DE INTEGRALES
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SUPERIOR ldquoDAVID AUSUBELrdquo
SEMIPRESENCIAL
VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
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SEMIPRESENCIAL
VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
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SEMIPRESENCIAL
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SEMIPRESENCIAL
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BIBLIOGRAFIacuteA
PURCELL VARBERG RIGDON 2003 Caacutelculo Diferencial e Integral
Pearson Prentice Hall Ecuador
GRANVILLE SMITH LONGLEY 1974 Caacutelculo Diferencial e Integral
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AUTOEVALUACIOacuteN PARA CAPIacuteTULOS 1 Y 2
Realice las integrales indicadas
dxx
xf
x
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2
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Utiliza la tabla de integrales para resolver los siguientes ejercicios
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23)
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TABLA DE INTEGRALES
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AUTOEVALUACIOacuteN PARA CAPIacuteTULOS 1 Y 2
Realice las integrales indicadas
dxx
xf
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1)
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Utiliza la tabla de integrales para resolver los siguientes ejercicios
32)
1
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BIBLIOGRAFIacuteA
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Pearson Prentice Hall Ecuador
GRANVILLE SMITH LONGLEY 1974 Caacutelculo Diferencial e Integral
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PURCELL VARBERG RIGDON 2003 Caacutelculo Diferencial e Integral
Pearson Prentice Hall Ecuador
GRANVILLE SMITH LONGLEY 1974 Caacutelculo Diferencial e Integral
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PURCELL VARBERG RIGDON 2003 Caacutelculo Diferencial e Integral
Pearson Prentice Hall Ecuador
GRANVILLE SMITH LONGLEY 1974 Caacutelculo Diferencial e Integral
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SUPERIOR ldquoDAVID AUSUBELrdquo
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PURCELL VARBERG RIGDON 2003 Caacutelculo Diferencial e Integral
Pearson Prentice Hall Ecuador
GRANVILLE SMITH LONGLEY 1974 Caacutelculo Diferencial e Integral
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PURCELL VARBERG RIGDON 2003 Caacutelculo Diferencial e Integral
Pearson Prentice Hall Ecuador
GRANVILLE SMITH LONGLEY 1974 Caacutelculo Diferencial e Integral
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