Guıa n◦ 3Funciones de variable compleja

Metodos matematicos 2 (CF–604)1

1. Encuentre las partes real e imaginaria, u(x, y) y v(x, y), de lassiguientes funciones:

a) z,

b) |z|,c) 1/z,

d) cos z.

2. Use las condiciones de Cauchy-Riemann para determinar silas funciones del ejemplo anterior son analıticas.

3. Usando las series que usted conoce de sus cursos de calculo,escriba las series de potencias (alrededor del origen) de lassiguientes funciones. Encuentre el disco de convergencia decada serie.

a) ln(1− z),

b) sinh z.

4. Sea f = u + iv una funcion analıtica, y sea F el vector F =vı + uȷ. Muestre que las ecuaciones div F = 0 y curl F = 0son equivalentes a las ecuaciones de Cauchy-Riemann.

5. Encuentre las ecuaciones de Cauchy-Riemann en coordenadaspolares. Muestre que u y v satisfacen la ecuacion de Laplaceen coordenadas polares si f(z) = u(r, θ) + iv(r, θ) es analıti-ca.

6. Determine, usando coordenadas polares, si las siguientes fun-ciones satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann.

a)√z,

b) |z|2.

7. Muestre que las siguientes funciones son armonicas (esto es,que satisfacen la ecuacion de Laplace) y para cada una de ellasencuentre una funcion f(z) de la cual la funcion dada es laparte real. Muestre que la funcion v(x, y) (que usted encontro)tambien es armonica.

a) xy,

b) ex cos y,

c) ln(x2 + y2).

8. Evalue, por integracion directa las siguientes integrales de li-nea en el plano complejo.

1fpennini@ucn.cl

a)∫ i+1

iz dz a lo largo de una linea recta paralela al eje x.

b)∮Cz2 dz a lo largo de los caminos indicados:

−1 10 −1 10

C−1 + i 1 + iC

(b)(a)

c)∫ 1+2i

0|z|2 dz a lo largo de los dos caminos indicados:

0 0

1 + 2i2i 1 + 2i

(a) (b)

9. Una condicion necesaria para que∫ b

aF ·dr sea independiente

del camino de integracion (esto es, para que∮CF ·dr sea cero

a lo largo de una curva cerrada simple C) es que curl F =0, o en dos dimensiones ∂Fy/∂x = ∂Fx/∂y. Muestre quela correspondiente condicion para que

∮Cf(z) dz sea cero es

que se cumplan las condiciones de Cauchy-Riemann.

10. Use el teorema de Cauchy o la formula integral de Cauchypara evaluar las siguientes integrales.

a) ∮C

sin z dz

2z − π,

donde C es: primero el cırculo |z| = 1 y luego el cırculo|z| = 2.

b) ∮C

e3z dz

z − ln 2,

si C es el cuadrado con vertices {−1, 1, i,−i}.

11. Muestre que diferenciando la formula de Cauchy n veces seobtiene

f (n)(z) =n!

2πi

∮C

f(w) dw

(w − z)n+1.

12. Usando el problema anterior evalue la siguiente integral.∮C

e3z dz

(z − ln 2)4,

donde C es el cuadrado con vertices {±1,±i}.

13. Encuentre el residuo de la funcion en el punto indicado:

a)sin2 z

2z − πen z = π/2 .

b)cos z

1− 2 sin zen z = π/6 .

c)e3z − 3z − 1

z4en z = 0 .

14. Usando integrales de contorno evalue:

1

a) ∫ 2π

0

dθ

5− 4 sin θ.

b) ∫ π

0

dθ

1− 2r cos θ + r2(0 6 r < 1) .

c) ∫ 2π

0

cos 2θ dθ

5 + 4 cos θ.

d) ∫ ∞

0

dx

(4x2 + 1)3.

e) ∫ ∞

0

x2 dx

(x2 + 4)(x2 + 9).

f ) ∫ ∞

−∞

x sinx dx

x2 + 4x+ 5.

g) ∫ ∞

0

cos 2x dx

(4x2 + 9)2.

15. Asuma que a > 0 y m > 0. Por medio de integrales de con-torno en el plano complejo, muestre que∫ ∞

0

cosmxdx

x2 + a2=

π

2ae−ma .

16. Evalue las siguientes integrales. Encuentre el valor principalsi es necesario.

a) ∫ ∞

−∞

dx

(x2 + 4)(2− x).

b) ∫ ∞

−∞

x sinπx

1− x2dx .

17. a) Evalue ∫ ∞

0

dx

1 + x4.

b) Haga el cambio de variable u = x4 en la integral en 17a)y evalue la integral en u resultante.

18. Use el metodo del problema 17b) para evaluar∫ ∞

0

dx

(1 + x4)2.

19. Evalue las siguientes integrales:

a) ∫ ∞

0

√x dx

1 + x2.

b) ∫ ∞

0

lnx

x3/4(1 + x)dx .

c) ∫ ∞

−∞

e2πx/3

coshπxdx .

d)

I =

∫ ∞

−∞

eax dx

coshπx(−π < a < π).

Indicacion: use un rectangulo de altura R que contengaal polo en z = i/2.

20. Las integrales de Fresnel, S(x) y C(x), son dos funcio-nes trascendentales que hacen honor a Augustin-Jean Fresnel(1788–1827) y que son utilizadas en el campo de la optica(aparecen en la teorıa de difraccion). Se definen segun las si-guientes expresiones integrales:

S(x) =

∫ x

0

sin(t2)dt, C(x) =

∫ x

0

cos(t2)dt.

Muestre que el lımite de estas funciones, cuando x tiende ainfinito, es∫ ∞

0

sin(t2)dt =

∫ ∞

0

cos(t2)dt =

√π

8.

21. Encuentre la transformada de Laplace inversa dep

p4 − 1.

22. Encuentre la transformada de Laplace inversa dep

(p+ 1)(p2 + 4).

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Los problemas de esta tarea son del cap. 14 (Functions of a Com-plex Variable) de la referencia [2]. Puede consultar las otras refe-rencias del curso.

Referencias[1] George B. Arfken and Hans J. Weber, Mathematical Methods

for Physicists, Academic Press, 2005. ISBN 978-0120598762.

[2] Mary L. Boas, Mathematical Methods in the Physical Sciences,Wiley, 2005. ISBN 978-0471198260.

[3] Eugene Butkov, Mathematical Physics, Addison Wesley, 1968.ISBN 978-0201007275.

[4] Frederick W. Byron and Robert W. Fuller, Mathematics ofClassical and Quantum Physics, Dover Publications, 1992.ISBN 978-0486671642.

[5] Richard Courant and David Hilbert, Methods of MathematicalPhysics, vol. 1, Wiley, 1989. ISBN 978-0471504474.

[6] Richard Courant and David Hilbert, Methods of MathematicalPhysics, vol. 2, Wiley, 1989. ISBN 978-0471504399.

[7] Philippe Dennery and Andre Krzywicki, Mathematics for Phy-sicists, Dover Publications, 1996. ISBN 978-0486691930.

[8] Sadri Hassani, Mathematical Physics, Springer, 1999. ISBN978-0387985794.

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