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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
Trigonometría 1
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
Trigonometría 2
-3
C B 0 A
-2 -1 0 1 3 2 3...
+-H ac ia el H ac ia el
...
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
TEMA: RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS
DE CUALQUIER MAGNITUD
Conceptos Previos
Recta Numérica
Es una recta dirigida en la cual se han señalado dos sentidos; uno positivo
y otro negativo. En donde además a cada punto de esta se le a asignado
tan sólo un número real. Veamos un gráfico :
Al punto “0” se le asigna el valor 0 (se le denomina ORIGEN)
Al punto “A” se le asigna el valor
Al punto “B” se le asigna el valor -1.
Al punto “C” se le asigna el valor -.
Plano Cartesiano: Es aquel que se forma por la intersección de 2
rectas numéricas perpendiculares entre sí en sus orígenes.
Trigonometría 3
P rim er C u adran te
(IC )
C u arto C u adran te
(IV C )
SegundoCuadrante
(IIC )
TercerCuadrante
(IIIC )
Y
X(Hacia e l + )
(Hacia e l + )
(Hacia e l - )
(Hacia e l - )
(E je de A bscisas)
(E je de O rdenadas)
0
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
Nota: A la intersección de rectas se le denomina “origen” de coordenadas.
Coordenada de un punto: A cada uno de los puntos del plano
cartesiano se le asocia un par ordenado. El cual se representará de la
siguiente manera:
P (a;b) en donde:
a Abscisa del punto “P”
b Ordenada del punto “P”
Trigonometría 4
P(a;b)
a
b
Y
X
1
3 4-1-1
-3
2
-2
-2
P(3;2)
S(4;-2)
R (-1;-3)
Q (-2;1)
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
Observemos gráficamente:
Así se representa el punto P(a,b) en el plano cartesiano.
Veamos un ejemplo de Aplicación:
Ubique los siguientes puntos en el plano cartesiano.
a) P (3;2) b) Q (-2;1)
c) R (-1;3) d) S (4;2)
Resolución:
Trigonometría 5
0
Y
X
b
a
r
P(a;b)
0
Y
X
b
a
r
P(a;b)
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
Radio Vector (r): Es la distancia del origen de coordenadas a cualquiera
del plano cartesiano se representa de la siguiente manera:
Ejm.: Sea el punto P (a;b) del I.C.:
Así se representa el radio vector (r) del punto P (a,b).
Calculemos su valor:
Trigonometría 6
0
Y
X
r
r
P
R
P(-4;3)
R(1;-3)
3
1
-3
-4
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
Por el teorema de Pitágoras calculemos “r”.
Veamos un ejemplo de aplicación
Calcular el radio vector de los puntos P (-4; 3) y R (1; -3).
Resolución:
- Ubicamos los puntos P (-4; 3) y R ( 1; -3) en el plano:
Calculamos rp:
Trigonometría 7
Y
X
O
II IC
IIC IC
IV C
Lado F ina l de
Lado F ina l de
Eje positivo de las abscisas (lado inicialde todo ángulo enposición norm al)
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
Calculamos rR:
Angulo en Posición Normal: Es un ángulo trigonométrico inscrito en el
plano cartesiano y que tiene las siguientes particularidades:
Su vértice es el origen de coordenadas.
Su lado inicial se encuentra en el semieje positivo de las abscisas.
Su lado final se encuentra en cualquier parte del plano, el cual indicará a
que cuadrante pertenece dicho ángulo.
Analicemos Gráficamente
Trigonometría 8
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
Trigonometría 9
Y
X
O
qn
p
m
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
Ya que el lado final de se encuentra en el IIC, entonces pertenece al
IIC.
Ya que el lado final de se encuentra en el IIIC, entonces pertenece al
IIIC.
Nota Importante:
¿Cuáles de los ángulos no son ángulos en posición normal?
Rpta.: “R y p no son ángulos en posición normal” porque su lado inicial no
es el semieje positivo de las abscisas mientras que m y q “si son ángulos
en posición normal”.
Ejemplo de Aplicación:
Trace en posición normal un ángulo cuyo lado terminal pasa por el punto P
(3; -4).
Trigonometría 10
Y
X
-4 P(3;-4)
3
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
Resolución:
De inmediato se nos viene a la mente 2 posibilidades:
y son ángulos en posición normal para el punto P (3; -4). Pero …¿son
los únicos? … La respuesta es NO, cada uno de los puntos del plano
cartesiano poseen infinitos ángulos en posición estándar.
A continuación explicaremos el porque de esto cuando conozcamos los
ángulos coterminales.
Nota: Pero es más práctico y recomendable trabajar con y por ser de
menor magnitud.
Ángulos Coterminales: Dos o más ángulo en POSICIÓN NORMAL se
denominan COTERMINALE, cuando sus lados finales coincide. Además la
Trigonometría 11
Y
X
Y
X
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
diferencia de los ángulos debe dar como resultado un número entero de
vueltas o revoluciones.
Veámoslo gráficamente:
Para ángulos coterminales.
En la figura se observa: y poseen el mismo lado terminal.
Además:
= + 1 vuelta
- = 1 vuelta
Entonces y son COTERMINALES.
En General: Si X e Y son COTER-MINALES entonces X – Y = R (vueltas) = R
(2rad) = n (360 º).
También son coterminales:
Trigonometría 12
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
Trigonometría 13
Y
X
mn
-
Y Y
X X
O O
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
Ambos con orientación negativa.
Uno con orientación positiva y otro con orientación negativa.
“Para todos los casos se cumple la misma regla”
Nota: Si 2 ángulos son coterminales entonces tendrán los mismo valores
para sus razones trigonométricas. Es decir si y son coterminales:
Sen + Sen Sec = Sec
Cos = cos Ctg = Ctg
Tg = Tg Csc = Csc
Nota Importante:
Cambio de la orientación de un ángulo
Sea el ángulo trigonométrico “”.
Trigonometría 14
(- )
Y Y
X X
O O
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
Observamos que para modificar la orientación de un ángulo lo que se hace
es anteponerle un signo (-) y se le cambia el sentido a la “flecha” que
representa la orientación del ángulo.
De igual manera se realiza el cambio de orientación para un ángulo
negativo ().
Ángulos Cuadrantales: Un ángulo en posición normal es cuadrantal,
cuando su lado final coincide con uno de los semiejes del plano cartesiano.
Nota: “Los ángulos cuadrantales no pertenecen a ningún cuadrante”
- Éstos ángulos son de la forma:
n x 90º ó R x
Ejm.:
Trigonometría 15
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
n (# Entero)
Valores de las Razones Trigonométricas de Ángulos Cuadrantales
0 90 180 270 360
Sen
Cos
0
1
1
0
0
-1
-1
0
0
1
Trigonometría 16
Y
XO
r
a
bP(a;b)
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
Tg
Ctg
Sec
Csc
0
ND
1
ND
ND
0
ND
1
0
ND
-1
ND
ND
0
ND
-1
0
ND
1
ND
ND: No definido
Razones Trigonométricas de un Ángulo en Posición Normal:
Sea “” un ángulo en posición normal y P (a,b) un punto que pertenece a
su lado final.
Definimos las razones trigonométricas de “” de la siguiente manera:
Donde
Trigonometría 17
Y
X
O
r
-2
4P ( - 2 ;4 )
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
Ejm. de Aplicación:
Siendo P (-2; 4) un punto que pertenece al lado final del ángulo en posición
normal . Calcular:
Resolución:
Trigonometría 18
Y
X
Seny
CscLas demásR.T. Son (-)
Tgy
CtgLas demásR.T. Son (-)
Cosy
SecLas demásR.T. Son (-)
Todas las R.T.Son positivas
(+)
(+) (+)
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
Calculamos:
Calculamos Sen y Cos
Reemplazamos
A = 9 Rpta.
Signos de las Razones Trigonométricas (R.T.)Presentamos a continuación los respectivos signos de las razones trigonométricas para cada cuadrante en el siguiente cuadro:
Trigonometría 19
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
Para recordar:
Primer Cuadrante P Positivos todas R.T.
Segundo Cuadrante S Seno y su Co-Razón (Csc) son (+)
Tercer Cuadrante T Tangente y su Co – Razón (Ctg) son (+)Cuarto Cuadrante C Coseno y su Co-Razón (Sec) son (+)
Trigonometría 20
Y
X
0
(-3;-2 )
Y
X
O
(-1 ;-2 )
(-2 ;1 )
Y
X
0
P (-3 ;-2)
Q (2 ;-5 )
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
PROBLEMAS PARA LA CLASE
01. Si el punto P (-12;5)
pertenece al lado final del
ángulo en posición normal
“”. Hallar Sen.
Rpta.:
02. Siendo P (-5;6) un punto
perteneciente al lado final de
un ángulo en posición normal
. Calcular:
Rpta.:
03. Si Cot = -6/8; y sabiendo
que IVC. Hallar:
R = Sen - Cos
Rpta.:
04. De la figura calcular el valor de:
Rpta.:
05. Hallar el signo de cada producto:
I. Sen190º: Cos(190º)
II. Tg160º: Sec(200º)
III. Cos120º: Sec (200º)
Rpta.:
06. Calcular: Cos.Cos.
Rpta.:
07. Del gráfico, Hallar:
Rpta.:
Trigonometría 21
Y
X
0
(X -1 ; 4 x-1 )
Y
X
O
B
A
Y
X
O
P (-1 ;m )
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
08. Si Sen = -1/3, además:
Cos > 0. Hallar el valor de
Rpta.:
09. Si Tg = 3. Calcular x
Rpta.:
10. Si el punto P (-2,3) pertenece
al lado final del ángulo “”
(en posición normal tal que
(90º < < 180º). Calcular el
valor de:
Rpta.:
11. Del gráfico calcular “Tg”. Si:
OABC es un cuadrado:
Rpta.:
12. En la figura mostrada; Hallar
el valor de:
Trigonometría 22
Y
X
OO
O
0B
(4;-2)
CD
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
Rpta.:
13. Si se cumple:
Csc2 - 9 = 0
Además: Cos < 0 y
Sen > 0. Determinar el valor
Rpta.:
14. Si
Determine el signo de
Rpta.:
15. Del gráfico calcular:
Tg + Tg
Siendo 0BCD un cuadrado
Trigonometría 23
Y
X
0
P(2a ; -b )
(-a;0)
Y
X
(-5 ; -3 )
Y
X
0Q
P
(-a ;2a )
( 3a ;-a )
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
Rpta.:
16. De la figura calcular
Rpta.:
17. Si
Hallar M = Tg - Sec
Además ( IV C)
Rpta.:
18. Hallar Tg
Rpta.:
19. Del gráfico calcular:
3sec2 - Tg
Rpta.:
Trigonometría 24
Y
X
O
(-2;1 )
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
20. Si: 712tgx + 5 = 1; (x II C)
Calcular A = Senx – Cosx
Rpta.:
PROBLEMAS PARA LA CASA
01. A que cuadrante pertenece el
ángulo si:
Cos < 0 Tg > 0
a) I C b) 2 C c) III C
d) IV C e) V C
02. De la figura, calcular el valor
de:
a) 1 b) 9 c) 3
d) 7 e) 5
03. Si el punto P (-1; -7)
pertenece al lado final del
ángulo en posición normal
“”, calcular:
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 9
04. Si y φ son dos ángulos
coterminales. Además Tg.
Calcular P = Csc + Cosφ
Trigonometría 25
Y
X
P ( 1 ; 2 )
X
Y
X
3 7
0
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
a) b)
c) d)
e)
05. Si sen2a= y Cosa < Cos90
Calcular el menor valor de:
a) -7 b) -1 c) 1
d) 2 e) 3
06. Del gráfico mostrado calcular:
a) b) c)
d) e)
07. Siendo y Ángulos
trigonométricos calcular:
a) 0 b) -1 c) 2
d) e)
08. Si IV C además:
Calcular: Sec - Tg
a) 1/3 b) 2 c) -3
d)-2 e) 0
09. Del gráfico calcular “Tg φ”
Trigonometría 26
Y
X0
1-2a
(2a;1+a)
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
a) -4/7 b) -3/7 c) -7/4
d) 7/3 e) -7/3
10. De la figura calcular el valor de:
Ctg - Csc
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
11. Sabiendo que: ( II C)
4Sen2 - 13sen + 3 = 0.
Calcular el valor de: M =
ctg . cos
a) -1/2 b) -1/3 c) -1/4
d) -1/5 e) -1/6
12. Si (Sen)Sen =
Además 90º < < 180º
Indicar un valor de la Ctg.
a) b) c)
d) e) -1
13. Si II C y Cos = -0,8
Hallar: D = Sec + Tg
a) -3 b) 1 c) -2
d) 4 e) 2
Trigonometría 27
Y
X0
1-2a
(2a;1+a)
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
14. Calcular
M = Ctg + Csc2 - 3Tg
a) 9 b) 8 c) 10
d) 12 e) 11
15. Simplificar
N = (a2+b2) sec + (a-b)2 sen3 2 2
.
(a2+b2) sec + (a-b)2 cos
a) 1 b) -1 c) 2
d) -2 e) 4
Trigonometría 28
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
TEMA: REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE
La conservación de una razón
trigonométrica (r.t) de un ángulo
cualquiera en otra razón
equivalente de un ángulo del
primer cuadrante se llama:
”reducción al primer cuadrante”
También reducir al primer
cuadrante un ángulo significa
encontrar los valores de las RT
de cualquier ángulo en forma
directa mediante reglas practicas
las cuales mencionaremos a
continuación recordando antes
que:
- Para el Seno: Su Co-Razón es
el Coseno.
- Para la Tangente: Su Co-
Razón es la Cotangente.
- Para la secante: Su Co-Razón
es la Cosecante.
I Regla: “Para ángulos positivos
menores a una vuelta.
¡Importante!
- El signo + ó – del segundo
miembro depende del
cuadrante al cual pertenece el
“ángulo a reducir”.
- se considera un ángulo agudo.
Ejemplos de Aplicación:
1. Reducir al primer cuadrante:
a) Cos 150º b) Tg 200º
c) Sen 320º d) Sec 115º
e) Csc 240º f) Ctg 345º
Resolución:
1a.
Trigonometría 29
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
Cos 150º = Cos (180º - 30º) =
-Cos 30º
“El signo (-) se debe a que el
ángulo a reducir (150º) pertenece
al II C, en el cual el coseno es
negativo”
1b.
Tg 200º = Tg (180º + 120º) =
+ Tg 20º.
“El signo (+) se debe a que el
ángulo a reducir (200) pertenece
al III C, en el cual la tangente es
positiva”.
1c.
Sen 320º = Sen (270º + 50º) =
-Cos 50º
“El signo (-) se debe a que el
ángulo a reducir (320º) pertenece
al IV C, en donde e seno es
negativo y se cambia a coseno
(Co-razón del seno porque se
trabajo con 270º”.
1d.
Sec 115º = Sec (90º + 25º) =
- Csc (25º)
Ojo: También se pudo haber
resuelto de la siguiente manera:
Sec 115º = Sec(180º - 65º) =
- Sec (25º)
“Ambas respuestas son
correctas, por ser éstas
equivalentes”
- Csc 25º = - Sec 65º
Csc 25º = Sec 65º
Ya que:
Donde:
y suman 90º
Nota: A éste par de ángulos se les
denomina “Ángulo Complementarios”.
e)Csc 240º = Csc (180º + 60º) =
- Csc (60º) ó
Trigonometría 30
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
Csc 240º = Csc (270º - 30º) =
- Sec (30º)
f) Ctg 345º = Ctg (270º + 75º) =
- Tg (75º) ó
Ct 345º = Ctg (360º - 15º) =
- Ctg 15º
II Regla: “Para ángulos positivos
mayores de una vuelta.
Nota: Se eliminan los múltiplos
de 360º.
Ejemplos de Aplicación
2. Reducir al primer cuadrante:
a) Sen (548º) b) Cos (987º)
c) Tg (1240º
Resolución
2a) Sen548° = sen(1 × 360° +
188°) = sen188°
Luego:
Sen548° = sen188 =
sen(180° + 8°) = -sen8°
ó
sen548° = sen188° =
sen(270 - 72°) = -cos72°
Trigonometría 31
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
2b) Cos987° = cos(2 × 360° +
267) = cos267°
Luego:
Cos987° = cos267° =
cos(180° + 87°) = -cos87°
ó
cos987° = cos267° =
cos(270° - 3) = -sen3°
2c) Tg1240 =Tg(3 × 360° +
160°) = Tg160°
Luego:
Tg1240° = Tg160°.Tg(90°
+ 70°) = -ctg70°
ó
Tg1240° = Tg160° =
Tg(180° - 20°) = -Tg20°
III Regla: para ángulos
negativos:
Para todo ángulo , se cumple:
Nota:
Observamos que para el coseno
y secante el signo “desaparece”
es decir, solo trabajamos con el
valor positivo. Veamos ejemplos:
Ejemplo de Aplicación
3. Reducir al primer cuadrante:
A) cos(-130°) B) sec(-274°)
C) Ctg(-1120°) D( Csc(-2140°)
Resolución:
3a) cos(-30°) = cos(30°)
3b) Sec(-274°) = sec(274°) =
Sec(270° + 4°) = Csc4°
ó
Trigonometría 32
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
Sec(274°) = sec(360°-86°) =
sec86°
3c) Ctg(-1120) = -Ctg(1120°) =
-Ctg(3×360° + 40°)
Ctg(-1120°) = -Ctg(40°)
3d) Csc(-2140°) = -Csc(2140°) =
-Csc(5×306° + 340°)
Csc(-2140°) = -Csc(340°) =
-Csc(270 + 70°) = -[-Sec 70º]
= Sec 70º
- Csc(340º) = - Csc (360º -
20º) = -[-Csc(20º)]
= Csc 20º
Nota Importante: Todo el
capítulo “Reducción al 1er
Cuadrante” se desarrolló
trabajando netamente en el
sistema sexagesimal la cual
también se pudo haber
trabajando en el Sistema Radian
incluyendo todos los casos
reglas y aplicaciones propuestas.
PROBLEMAS PARA LA CLASE
Trigonometría 33
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
01. Hallar la siguiente expresión:
Rpta.:
02. Hallar el valor de P:
Rpta.:
03. Al simplificar la expresión se
obtiene
Rpta.:
04. Simplificar
Rpta.:
05. Hallar el valor de Q:
Rpta.:
06. Hallar X en la siguiente
expresión:
Rpta.:
07. Marcar V o F en cada
proposición:
I : sen110° = sen70°
II : cos200° = cos20
III: Tg300° = -ctg30°
IV: sen618° = sen 78°
V : sec(-310°) = -Csc40°
Rpta.:
Trigonometría 34
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
08. Reducir la expresión
Rpta.:
09. Hallar E:
Rpta.:
10. Simplificar
Rpta.:
11. Hallar el valor de M
Rpta.:
12. Relacionar según
corresponda.
I. a. Sen x
II. b. – Tg x
III. c. Sen (-x)
A) I-a; II-b; III-c
B) I-b; II-a; III-c
C) I-c; II-a; III-b
D) I-c; II-b; III-a
E) I-a; II-c; III-b
13. Calcular Sen(5x). Si:
Rpta.:
14. Calcular A:
Trigonometría 35
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
Rpta.: 15. Calcular P
P = sen140° + cos20° + sen220°
+ Cos160° + sen150°
Rpta.:
16. Reducir
Rpta.:
17. Si x + y = 180. Calcular
Rpta.:
18. Calcular
C = 5Tg1485 + 4Cos2100
Trigonometría 36
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
Cos120
Rpta.:
19. Dado un triángulo ABC,
calcular:
A= Sen (A+B) - Tg(B+C)
Sen C TgA
Rpta.:
20. Calcular
Si x + y = 2
Rpta.:PROBLEMAS PARA LA CASA
01. Reducir y calcular E.
E = Sen150º.Cos120º
+ Sec150º.Csc120º
a) 19/12 b) -19/12
c) 4/3 d) -3/4
e) – 3/2
02. Hallar el valor de:
Trigonometría 37
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
a) 1 b) – 1 c) 2
d) -2 e) 0
03. Calcular:
a) -2 b) 1 c) 0
d) -1 e) 2
04. Simplificar:
a) -3 b) -1 c) 0
d) 1 e) 3
05. Cuántas de las siguientes
preposiciones son verdaderas.
a) Ninguna b) 1 c) 2
d) 3 e) Todas
06. Sabiendo que:
Determine:
Tgx + Ctgx
Trigonometría 38
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
a) b) c)
d) e)
07. Reducir la expresión:
a) 1 b) -1 c) -2
d) 2 e) 0
08. Hallar 2senx Si:
a) 1 b)
c) -2
d) -1 e)
09. Calcular el valor de:
a) -1 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
10. Calcular del valor de
a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2
11. Afirmar si es (V) o (F)
I. senx + sen(-x) = 0
II. cosx + cos(-x) = 0
III. Tgx + tg(-x) = 0
a) VVV b) VFV c) VFF
d) FFV e) FFF
12. Dado un triángulo ABC
Simplificar:
a) -1 b) 2 c) 1
d) -2 e) 5
Trigonometría 39
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
13. Resolver
a) 1 b) -1 c) a
d) b e) a/b
14. Simplificar
a) 2senx b) 2cosx
c) -2senx d) -2cosx e) 0
15. Calcular
a) 13 b) 12 c) 9
d) 11 e) 10
Trigonometría 40
Y
P
P
2
1
C(-1;0)
0 ra d
ra d
B (0 ;1 ) M ed ida de l A rco P ositivo
Medida del Arco Positivo
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
TEMA: CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA
Definición:
La circunferencia trigonométrica
es una circunferencia inscrita en
un sistema de coordenadas
rectangulares a la cual hemos
denominado plano cartesiano.
Tiene como características
principales:
- El valor de su radio es la
unidad (R = 1)
- Su centro coincide4 con el
origen de coordenadas del
plano cartesiano.
Veamosla gráficamente
Nota: Todos y cada uno de los
puntos que pertenecen a la
circunferencia trigonométrica
(C.T.) cumplen la ecuación
siguiente:
x2 + y2 = 1
Donde:
X Abscisa del Punto
Y Ordenada del Punto
Para un mejor entendimiento de
las definiciones posteriores se
enuncian las siguientes
denominaciones a los puntos:
A (1;0) Origen de Arcos
B (0;1) Origen de
Complementos
C (-1;0) Origen de
Suplementos
P1 y P2 Extremos de
Suplementos
Trigonometría 41
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
Arco en Posición Normal:
Es aquel arco cuyo extremo
inicial es el origen de arcos de la
C.T. y su extremo final cualquier
punto sobre la C.T. (es aquel que
indica el cuadrante al cual
pertenece dicho arco.
Observación: El ángulo central
correspondiente a un arco en
Posición normal o estándar, tiene
igual medida en radianes que la
medida del arco.
Veamos Ejms.:
P
0
C A
B
rad
rad
Y
X
T
Trigonometría 42
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
Se observa que:
Además:
“” y “” son arcos en posición
normal o estándar tales que:
es (+) y al I C
es (-) y al III C
Nota: Importante:
Del gráfico: Éstos extremos
servirán como referencia para
ubicar aproximadamente otros
arcos en la C.T.
Ejemplos de Aplicación:
Ubique gráficamente en la
circunferencia trigonométrica los
extremos de los arcos (en
posición standar):
Resolución
- Para que los arcos se
encuentren en posición
estándar en la C.T. éstos
tendrán su posición inicial en
el punto A(1,0).
M: Extremo del arco
Trigonometría 43
0C A
B
0
Y
X3,14 =
2 = 6,28
3 = 4,71 2
= 1,572
C
A
BY
X
-1rad
M
5 /6
0
5 rad 6
N4 -1Q
AT
AP
Y
P(X ;Y )0 0
1
X
R ad
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
N : Extremo del arco 4
Q: Extremo del arco -1
Razones Trigonométricas de
Arco en Posición Normal o
Standar:
Son numéricamente iguales a las
razones trigonométricas de su
respectivo ángulo central en la
C.T. Es decir:
R.T. (arco) = R.T. (ángulo central)
Luego entonces:
Sea P(xo, yo) (P I C) que
pertenece a la C.T. y también al
lado final del ángulo en posición
normal o standar .
Calculemos las R.T. del ángulo .
Observación
Vemos que:
Yo = Sen Xo = Cos
Por lo tanto
Trigonometría 44
C.T.
Y
X
P’ (-cos ; -sen
BP(Cos ;Sen )
)
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
El punto P también se representa
de la siguiente manera:
P (xo, yo) = P (cos; sen)
De la observación
Coordenadas del extremo de arco:
Nota Importante:
- Ya que P y Q a la C.T.
entonces cumplen la ecuación
X2 + y2 = 1
* Para P: Cos2 + Sen2 = 1
Para Q : Cos2 + Sen2 = 1
Se concluye que “para todo arco
la suma de los cuadrados de su
seno y coseno dará la unidad”
Algunos alcances importantes:
Para hallar coordenadas
opuestas:
P’ (-cos ; -sen )
0
Y
X
C.T.
P’ (cos ; sen )
Para hallar coordenadas simétricas
Trigonometría 45
Y
X0
P (-Sen ;Cos )P(Cos ;Sen )
C.T.
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
Para hallar Coordenadas Ortogonales: Líneas Trigonométricas
Son segmentos de recta
dirigidos, los cuales nos
representan en la circunferencia
trigonométrica, el valor numérico
de una razón trigonométrica de
un ángulo o número.
Las principales Líneas
Trigonométricas son:
- Línea SENO
- Línea COSENO
- Línea TANGENTE
- Línea COTANGENTE
- Línea COSECANTE
- Línea SECANTE
Las líneas trigonométricas
auxiliares son:
- Línea COVERSO.
- Línea VERSO.
- Línea EX-SECANTE
Trigonometría 46
Y
X
C .T.
0
PR
ra d
Y
X
C .T.
0
1
Q A
P
ra d
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
Nota Importante:
- Si el segmento de Recta está
dirigido hacia la derecha ó
hacia arriba entonces el valor
numérico de la línea
trigonométrica correspondiente
será positivo.
- Si el segmento de recta está
dirigido hacia la izquierda o
hacia abajo entonces el valor
numérico de la línea trigonométrica
correspondiente será negativo.
Veamos y analicemos sus
representaciones:
Línea Seno:
Se representa mediante la
perpendicular trazada desde el
extremo del arco, hacia el
diámetro horizontal (Eje X)
(apuntando hacia el extremo del
arco).
En el gráfico:
Se observa que representa
al coseno del Arco
Trigonométrico .
Nota:
Como en el Ejm. el segmento
está dirigido hacia la derecha
entonces el coseno es positivo.
Línea Coseno:
Se representa por la
perpendicular trazada desde el
extremo del arco, hacia el
diámetro vertical (Eje Y)
apuntando hacia el extremo del
arco.
Trigonometría 47
Y
X
C .T.
0
A(1,0 )
P
Q
ra d
C .T.
P
0
T
ra d
Ta ng e n te G e o m é tr ic a
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
En el gráfico:
Se observa que RP representa al
coseno del Arco Trigonométrico .
Nota:
Como en el Ejm. El segmento RP
esta dirigido hacia la derecha
entonces el coseno es positivo.
Línea Tangente
Es una parte de la tangente
geométrica trazada por el origen
de arcos A(1;0). Se mide desde
el origen e arcos y termina en la
intersección de la tangente
geométrica con el radio
prolongado de la C.T. que pasa
por el extremo del arco. Apunta
hacia la intersección.
En el gráfico:
Se observa que representa
a la tangente del Arco
Trigonométrico .
Nota:
Como en el ejemplo el segmento
está dirigido, hacia abajo
entonces la tangente es negativa.
Línea Cotangente
Es una porción de la tangente
geométrica que pasa por el
origen de complementos B(0;1),
se empieza a medir desde el
origen de complemento y termina
en la intersección de la tangente
mencionada con el radio
prolongado de la C.T. que pasa
Trigonometría 48
tan gen te geom étrica
C.T.
P
0rad
A
Y
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
por el extremo del arco, Apunta
hacia dicha intersección.
En el gráfico:
Se observa que representa
a la cotangente del arco
trigonométrico .
Nota: Como en el ejemplo, el
segmento está dirigido hacia
la izquierda entonces la
cotangente es negativa.
Línea Secante:
Es una porción del diámetro
prolongado que pasa por el
origen de arcos A(1;0) y que se
mide desde el centro de la C.T.
hasta la intersección del diámetro
prolongado con la tangente
geométrica trazada por el
extremo del arco. Apunta hacia la
intersección.
En el gráfico:
Se observa que representa
a la secante del arco
trigonométrico .
Nota: Como en el ejemplo, el
segmento está dirigido
hacia la derecha entonces la
secante es positiva.
Línea Cosecante:
Es una parte del diámetro
prolongado que pasa por el
origen del complemento B(0; 1),
Trigonometría 49
tan ge n te g eo m é tr ica
C .T.P
M
0rad
B(0;1)Y
C .T.
P
0
ra d
Y
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
y que se mide desde el centro de
la C.T. hasta la intersección del
diámetro prolongado mencionado
con la tangente geométrica
trazada por el extremo del arco
apunta hacia la intersección.
En el gráfico:
Se observa que representa
a la cosecante del arco
trigonométrico .
Nota: Como en el ejemplo, el
segmento está dirigido
hacia abajo entonces la
cosecante es negativa.
Línea Auxiliar verso o seno verso:
«Es lo que le falta al coseno de
un arco para valer la unidad» se
mide a partir de origen de arcos
A(1; 0), hasta el pie de la
perpendicular trazada desde el
extremo del arco, al diámetro
horizontal del (Eje X) . apunta
hacia el origen de arcos es decir
« el verso jamás es negativo».
Trigonometría 50
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
En el gráfico:
Se observa que , representa al
verso del arco trigonométrico .
Cumple la fórmula
Verso() = 1 - Cos
Línea Auxiliar Coverso o
Coseno Verso:
«Es lo que le falta al seno para
valer la unidad» el coverso se
mide a partir de origen de
complementos B(0; 1), hasta el
pie de la perpendicular trazada
desde el extremo del arco a
diámetro vertical de la C.T. (Eje
Y). Apunta hacia el origen de
complementos « el coverso
jamás es negativo»
Trigonometría 51
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
En el gráfico:
Se observa que representa
al arco trigonométrico .
Cumple la Fórmula:
Coverso() = 1 - Seno
Línea Auxiliar Ex-Secante
“«Es el exceso del al; secante a
partir de la unidad ». Se mide a
partir del origen de arcos A(1; 0),
hasta el punto donde termina la
secante de ese arco. apunta
hacia el punto donde termina la
secante.
Trigonometría 52
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
En el gráfico:
Se observa que representa a
la Ex-Secante del arco
trigonométrico .
Cumple la Fórmula:
ExSec() = Sec - 1
PROBLEMAS PARA LA CLASE
01. Indicar verdadero (V) o (F)
I. sen230° > sen310°
II. cos65° < cos 290°
III. cos15° > sen15°
Rpta.:
02. En la C.T. se tiene que:
90º < X1 < X2 < 135º, cual de
las siguientes proposiciones
es falsa.
Rpta.:
03. Calcular en la C.T.:
Rpta.:
Trigonometría 53
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
04. En el gráfico calcular :
Rpta.:
5. Determinar las coordenadas
de P:
Rpta.:
06. Indicar si es V o F.
Rpta.:
07. De la figura:
Calcular
Rpta.:
08. Al ordenar en forma
descendente los siguientes
valores Tg50º; Tg100º,
Tg180º, Tg200º, Tg290º. El
cuarto término es:
Trigonometría 54
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
Rpta.: 09. En la figura hallar: PQ
Rpta.:
10. En la C.T. hallar el valor de
la región sombreada.
Rpta.:
Trigonometría 55
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
11. En la circunferencia
trigonométrica mostrada.
y OM = MB.
Calcular el área de la región
triangular OMP.
Rpta.:
12. En la C.T. mostrada calcular
Tg + Tg + Sex
Rpta.:
Trigonometría 56
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
13. Hallar el área de la región
sombreada:
Rpta.:
14. En el gráfico. Calcular RQ:
Rpta.:
Trigonometría 57
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
15. Indicar en la circunferencia
trigonométrica, la expresión falsa.
a)
b)
c)
d)
e)
Rpta.:
16.
Hallar el área de la región
triangular PBQ
Rpta.:
17. Calcular el área de la Región
sombreada
Rpta.:
18. Si II < < < II
Señale las proposiciones
verdaderas.
I. Tg < Tg
II. Tg . Ctg < 0
III. Ctg < Ctg
Rpta.:
Trigonometría 58
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
19. En la C.T. mostrada. Hallar el
área de la región sombreada.
Rpta.:
20. Indicar los signos de cada
expresión:
A : Tg1.Tg2
B: Ctg2.Ctg3
C: Ctg1:Tg3
Rpta.:
Trigonometría 59
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
PROBLEMAS PARA LA CASA
01. Indicar verdadero (V) o Falso
(F) lo incorrecto.
I. Sen50º - Cos70º > 0
II. Tg50º - Tg200º > 0
III. Ctg89º + Ctg350º > 0
02. Si .
Indicar si es (V) o (F) si es
falso.
a) VFV b) VFF c) VVF
d) FVF e) VVV
03. Hallar las coordenadas de P
Trigonometría 60
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
a) (1; Tg) b) (1; -Tg)
c) (-1; Tg) d) (1; Ctg)
e) (1; -Ctg)
04. En la C.T. hallar:
a) csc.ctg b) cos.tg
c) sen.ctg d) cos.csc
e) sec.tg
05. Calcular el área de la región
sombreada.
a) Sen b) cos c) 2sen
d) 2cos e) sen
06. De la C.T. que se muestra
calcular :
a) b) c)
d) e)
07. Calcular el área de la región
triangular ABC
Trigonometría 61
B C
AO
E
F
D
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
a) b) c)
d) e)
08. En la circunferencia trigonométrica
halle Tg + Ctg. Si CP = 2x
+ 1 y = 4x + 1
a) 4/3 b) 13/12 c)25/2
d) 12/13 e) 25/3
09. Halla el área de la región
sombreada.
a) 3Cos b) Cos c)
d) 2cos e)
10. En la figura se muestra la
cuarta parte de la C.T. a que
es igual
a) Sen - Cos b) Cos-
Sen
c) Tg d) Cos
e) Sen
11. Hallar el área de la región
sombreada de la C.T. mostrada.
Trigonometría 62
P
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
a) Cos b)
c) d) sen
e)
12. I. Si: < Tg < Tg
II. Si: > Tg > Tg
III. Si: < Ctg < Tg
Indique V o F
a) VFF b) VVV c) VFV
d) FFV e) FFF
13. Calcular el área de la región
sombreada.
a) sec b) Tg c) Tg2
d) Csc2 e) Sen2
14. Sabiendo que: 90º < X
135º, indicar el valor de
verdad de cada una de
las siguientes
proposiciones:
I. Senx > Tg x
II. Cosx < Tg x
III. Senx + Cosx > Tgx
a) VVV b) VFV c) VFF
d) VVF e) FVV
Trigonometría 63
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
15.En la C.T. mostrada
90º < < 135º. Si a, b y c
son líneas geométricas
indicar respectivamente los
signos de a + b, a + c, b + c.
a) (-) (-) (+) b) (-) (+) (-)
c) (-) (-) (-) d) (+) (+) (+)
e) (+) (+) (-)TEMA: IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
Este capitulo es muy extenso y
muy importante a su vez por que
va a servir como base para
capítulos posteriores, esta
considerado como clave dentro
de la trigonometría, y
definitivamente tendremos que
demostrar las razones por las
cuales se les considera de gran
importancia en el desarrollo de la
asignatura.
Obs:
- La Igualdad (x - 2)(x + 2) = 0;
Es cierto si solamente si;
cuando x = 2 ó x = -2
Trigonometría 64
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
A este tipo de igualdad se le
denomina “Ecuación Condi-
cional”
- En cambio la igualdad (x – 2)
(x + 2) x² -9, cumple para todo
valor de “x”
A este tipo de igualdad se le
denomina “Identidad”
- Recordar que no existe la
división entre cero
- Para indicar una identidad, se
utiliza el símbolo ““ que se lee:
“Idéntico a”
Definición:
Una Identidad Trigonométrica es
una igualdad que contienen
expresiones trigonométricas que
se cumplen para todo valor
admisible del ángulo:
Por Ejemplo: La Identidad
‘sen² + cos² = 1",
Comprobemos la valides de la
Identidad:
Para = 37° Sen²37+ cos²37 = 1
Identidades Fundamentales:
Las identidades trigonométricas
fundamentales, sirven de base
par la demostración de otras
identidades mas complejas
se clasifican en:
1.- Por cociente
2.- Reciprocas
3.- PiTgóricas
Para obtener dichas identidades,
hacemos uso de la circunferencia
trigonométrica.
Trigonometría 65
Y
X
C .T.
0
1
T
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
1. Identidades por Cociente:
Sabemos que PT = | Sen|
OT = |Cos| , (en el ejemplo
ambos (+) ya que I C. y en el
triángulo Rec. POT: Tg =
Tg =
Tg = Demostrado
De la misma manera se
demuestra: Cot =
En Resumen: Las identidades
por cociente son:
Se observa que:
Tg =
Trigonometría 66
Y
P
X
C .T.
0
1
T Y
PB
X
C .T.
0
1
T A
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
A continuación veremos las
identidades recíprocas
2. Identidades Recíprocas:
Sabemos que PT = | Sen| y
también OT = |Cos|
Luego: En el triangulo POT, se
observa:
Csc =
y
Sec =
(sen y cos (+) ya que
Ic)
Por lo tanto:
y
En resumen:
Las identidades recíprocas son:
3. Identidades Pitagóricas:
Recordemos que: P = P (cos;
sen) es decir: PT = |Cos| y
también: OT = |sen| y en el
triángulo rec. POT: por el
teorema de Pitágoras.
(OP)2 = (OT)2 + (PT)2
12 = (|Sen|)2 + (|Cos|)2
1 = Sen2 + Cos2 … (I)
Trigonometría 67
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
Demostrado
Con la identidad (I),
demostramos también:
1 + Tg2 = Sec2 y 1 + Cot2
= Csc2
De la siguiente manera
Sen2 + Cos2 =1
Dividimos ambos miembros entre
(Sen2):
Finalmente:
De las identidades por división:
Y de la identidad por cociente:
Reemplazamos:
(1)2 + (Ctg)2 = (Csc)2
∴ 1 + Ctg2 = Csc2
De similar manera se demuestra:
1 + Tg2 = Sec2
De similar manera se demuestra:
1 + Tg2 = Sec2
En resumen las identidades
pitagóricas son:
- Sen2 + Cos2 = 1
- 1 + Tg2 = Sec2
- 1 + Ctg2 = Csc2
Algunas Identidades Auxiliares
Sen4 + Cos4 = 1 – 2Sen2
Cos2
Tg + Ctg = Sec.Csc
Sen6 + Cos6 = 1
– 3Sen2.Cos2
Sec2 + Csc2 = Sec2 . Csc2
Los ejercicios sobre
identidades son de 4 tipos:
a) Demostraciones:
Trigonometría 68
2
Sen12
SenSen2
SenSen
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
Para demostrar una identidad,
implica que el primer miembro o
viceversa ó que cada miembro
por separado se pueda reducir a
una misma forma.
Ejm:
- Demostrar que : Csc - Ctg .
Cos = Sen
Resolución:
Csc - Ctg . cos = sen
Sen = Sen. Demostrado
b)Demostrar que:
Resolución
Utilizamos artificios:
Luego se tendría
. (Demostrado)
c) Simplificaciones:
Lo que se busca es una
expresión reducida de la
planteada con ayuda de las
identidades fundamentales y/o
auxiliares. Utilizar transforma-
ciones algebraicas.
Ejms.
1) Simplificar:
(2Cos2-1)2 + 4Sen2Cos2
Resolución:
(2Cos2-1)2 + 4Sen2 Cos2
(2cos² - 2(2cos²)(1) + 1 +
4sen² Cos²
Trigonometría 69
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
4cos²cos² - 4cos² + 1 +
4sen²cos²
4cos² [cos² - 1 + sen²] + 1
4cos² [(cos² + sen²) - 1] + 1
4cos² [1 - 1] + 1
4cos²(0) + 1 = 1
2) Simplificar:
(1 - cosx) (Cscx + Ctgx)
Resolución:
(1-Cosx)
(1-Cosx)
d) Condicionales:
Si la condición es complicada
debemos simplificarla y así
llegar a una expresión que
pueda ser la pedida o que nos
permita hallar lo que nos
piden. Si la condición es
sencilla se procede a
encontrar la expresión pedida.
Ejms.
a) Si Sen + Csc = a.
Calcular el valor de
E = Sen2 + Csc2
Resolución
Si: sen + Csc = a (Elevemos
al cuadrado)
(Sen + Csc = a²
Sen² + 2(Sen)(Csc + Csc²
= a²
Sen² + 2 + Csc² = a²
Sen² + Csc² = a² - 2
E = a² - 2
b) Si: senx - cosx = m .
Hallar el valor de:
D = 1 -2senxcosx
Resolución
senx - cosx = m (elevemos al
cuadrado)
(Senx cosx)² = m²
sen²x - 2senx Cosx + Cos²x = m²
Sen²x + Cos²x - 2senxcosx = m²
1 - 2senxcosx = m²
Trigonometría 70
SenxSenx
xxSen
Senx
x2Cos1
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
D = m²
e) Eliminación del Ángulo:
Estos ejercicios consisten en que
a partir de ciertas relaciones
trigonométricas debemos hallar
relaciones algebraicas en la cual
no aparezca el ángulo. Nos
ayudaremos de identidades
como por Ejem.
Tgx.Ctgx = 1
Senx.Cscx = 1
Cosx.secx = 1
Sen²x + cos²x = 1
Sec²x - Tg²x = 1
Csc²x - Ctg²x = 1
Ejm.:
1. Eliminar “” de:
Csc = m + n …(1)
Ctg = m – n …(2)
Resolución:
Csc = n + n
Ctg = m – n
Csc2 = (m+n)2 = m2+2mn+n2 (-)
Csc2 = (m+n)2 = m2 -2mn+n2
1 = 4mn
2. Eliminar “” de:
Resolución:
De la expresión 1
(xSen)
aSenCos - bSen2 = 1 …(3)
De la expresión 2
(XCos)
Trigonometría 71
(Elevamos ambas expresiones al
cuadrado)
)2n2mn-2(m - 2n2mn2m 2Ctg-2Csc
)Cos(Cos
k)bSenaSen(Cos
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
aSenCos - bCos2 = K …(4)
Restamos (4) menos (3)
b = x - 1
K = b + 1
Recomendación:
Cuando en un problema de
identidades trigonométricas estés
frente a esta expresión:
E = (senx ± cosx) y se te pide
“senx.cosx”, se recomienda que
eleves al cuadrado ambos
miembros para obtener:
E² = (senx ± cosx)² = sen² ±
2senxcosx - cos²x
E² = Sen²x + Cos²x ± 2Senx.Cosx
E² = 1 ± 2 SenxCosx
Lo que se pide
Identidad Importante:
(1 ± sen ± cos)² =
2 (1± sen)(1± cos)
Demostración: Recordemos
(a+b+c)2 = a2 + b2 + c2 +
2(ab+bc+ac)
Trigonometría 72
12bSenCosaSen)(k2bCosCosaSen
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
(1± sen ± cos)² = 1² + (±sen)² +
(±cos)² + 2[1(±sen) + 1(±cos)+
(±sen)(±cos)]
= 1 + sen² + cos² + 2[1(±sen) +
1(±cos) + (±sen)(±cos)
Agrupamos nuevamente
2 + 2[1(±sen)+ 1 (±cos) +
(±sen)(±cos)]
= 2[1 + (±sen) + (±cos) + (±sen)
(±cos)]
= 2[(1 ± (±sen) + (±cos(1 +
(±sen))]
= 2[(1± (±sen)[1 + (± cos)]
(1 ± sen ± cos)² = 2(1± sen)
(1 ± cos) ………...(Demostrado)PROBLEMAS PARA LA CLASE
01. Demostrar las siguientes
identidades:
a) (Csc + Ctg)² =
b)
c)
02. Simplificar las siguientes
expresiones:
a)
Trigonometría 73
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
b)
c)
03. Eliminar el ángulo en las
siguientes expresiones:
a) x = 3sen ....(1)
y = 2cos.......(2)
b) x = cos...................(1)
y = cos² - sen²......(2)
c) 1 + Ctg = n.............(1)
sen = …........(2)
04. Si: Secx - Tgx = 0,75
Entonces el valor de:
Secx + Tgx , es:
Rpta.:
05. Si cos + sec = 3
Calcular el valor de:
sec² - sen²
Rpta.:
06. Si Sen - Cos = Tg30°
Calcular el valor de:
Sen4 + Cos4
Rpta.:
07. Si 1 + Tgx = asecx y
1 - Tgx = bsecx
calcular a² + b²
Rpta.:
08. Simplificar:
Tal que (0 < x < /2)
Rpta.:
09. Reducir:
Trigonometría 74
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
10. Simplificar la expresión:
Rpta.
11. Dado:
Hallar:
Rpta.:
12. Simplificar la expresión
Rpta.:
13. Simplificar la siguiente
expresión:
Rpta.:
14. Si a = senx; b = tg,
encontrar el valor de:
R =(1 - a²)(1 + b²)
Rpta.:
15. Eliminar a partir de:
Sen + cos = .... (I)
Tg + Ctg = ..............(II)
Rpta.:
16. Señale cuales son identidades:
I.
II.
III.
Rpta.:
17. Simplificar la expresión:
Rpta.:
Trigonometría 75
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
18. Reducir la expresión:
Rpta.:
19. Calcular “cosx”, si se tienen
la siguiente expresión
Secx + Tgx = a
Rpta.:
20. Hallar “m”para que la
siguiente igualdad sea una
identidad:
Rpta.:
PROBLEMAS PARA LA CASA
01. Demostrar ;las siguientes
identidades:a) (Ctg + Csc)2
b) (cosx - Ctgx)² + (senx - 1)²
Trigonometría 76
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
(1- Cscx)²
c) (1 - Cos²) (1+ Tg2)
Tg²
02. Simplificar las siguientes
expresiones:
a) Tgx(1-Ctg²x) + Ctgx(1 - Tg²x)
b)
c)
A) 1, 0, Tg4x
B) 0, 1, Tg6x
C) -1, 0, Tg6x
D) 0, -1, Tg6x
E) 0, -1, Tg6x
03. Eliminar el ángulo en las
siguientes expresiones:
a) asenx - cosx = 1........(I)
bsenx + cosx = 1........(II)
b) m = sen + cos..........(I)
n = sen - cos ..........(II)
c) Psec²x + Tg²x = 1
Csc²x + qCtg²x = q
A) ab = 1; m² + n² = 1;
pq = 0
B) ab = -1; m² + n² = 4; pq = 1
C) ab = 0; m² + n² = 1; pq = 1
D) ab = 1; m² + n² = 1; pq = -1
E) ab = -1; m² + n² = 0; pq = 1
04. Simplificar:
a) 2 b) Tg² c) sec²
d) Csc² e) Ctg²
05. Si X I C, simplificar:
A) 2senx + cosx
B) 2senx – cosx
c) 2cosx + senx
D) 2cosx - senx
E) cosx
Trigonometría 77
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
06. Simplifique la siguiente
expresión:
A) 0 B) 1 C) -1
D) 2 E) -2
07. Si Tgx + Ctgx = .
Calcule el valor de:
a) 6 b) 9 c) 12
d) 18 e) 36
08. Simplificar la siguiente expresión:
a) 1/2 b) 1/4 c) 2/3
d) 2/5 e) 1/5
09. Si se cumple la siguiente
identidad:
calcular el valor de:
A) Tg120° B) Tg240°
C) Tg360° D) Tg60°
E) Tg30°
10. Encontrar el valor de “n”de
tal manera que se cumpla:
(Senx + cosx)(Tgx + Ctgx)
= n + Cscx
a) Secx b) Ssenx c) Cosx
Trigonometría 78
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
d) Cscx e) Tgx
11. Simplificar:
a) 4 b) 2 c) 1
d) 1/4 e) 1/2
12. Si: asenx = bcosx
Halle el valor de:
a) a b) b c) ab
d) a/b e) b/a
13. Si senx + cosx = , calcular
el valor de la siguiente
expresión:
P = secx + Cscx
a) 1/4 b) -1/4 c) 3/4
d) -3/4 e) 5/4
Trigonometría 79
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
14. En la siguiente identidad
Halle el valor de “n”
a) 0 b) 1 c) 2
d) -1 e) -2
15. Reducir la siguiente
expresión:
tal que X I C
a) Senx b) Cosx
c) Tgx d) Senx
e) Cosx
TEMA: SUMA Y RESTA DE DOS ANGULOS
En el presente capítulo
realizaremos el estudio de las
razones trigonométricas de
aquellos ángulos que a su vez
están constituidas por la suma o
resta de otros 2 ángulos.
Iniciaremos el estudio del presente
capitulo con la demostración de las
Trigonometría 80
1 S R
P Q A X
Y
MB
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
principales Identidades para
ángulos compuestos que son:
* Sen( + ) = SenCos +
CosSen
* Cos( + ) = CosCos-
SenSen
Demostración:
A partir del grafico:
Se observa:
Sen ( + ) = MP = PS + SM =
QR + SM; (PS = QR)
En el OQR QR = ORSen
= Sen.Cos; (OR = Cos); (OR
= Cos)
En el MSR SM = RMCos =
Cos.Sen; (RM = Sen)
Reemplazando
Sen (+) = Sen Cos
+ Cos.Sen …….. Demostrado
También observamos:
Cos(+) = OP = OQ - PQ = OQ
- SR; (PQ = SR)
En el OQR OQ = ORCos =
Cos.Cos; (OR = Cos)
En el MSR SR = MRSen
= Sen.Sen; (MR = Sen)
Reemplazamos:
Cos(+) = CosOC.Cos -
Sen.Sen .......
(Demostrado)
Procedemos ahora a obtener la
Tg(+) de la siguiente manera:
Trigonometría 81
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
Sabemos que:
Tg(+) =
Dividimos a la expresión por
(Cos.Cos)
Tg(+) =
Simplificando obtendremos:
Tg(+) =
Tg(+) =
(Demostrado)
Tomaremos en cuenta para las
demás razones trigonométricas
que:
Identidades Trigonométricas
para la Diferencia de Ángulos:
Usando las Identidades para la
suma de ángulos (ya
demostrados), deducimos las
identidades para la diferencia de
ángulos, utilizando el siguiente
artificio.
* Sen(+) = sen(+(-))
Sen(+(-)) =
Demostrado
Trigonometría 82
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
* Cos(-) = Cos(+())
Cos(+(-)) = Cos . Cos(-
)
Cos
- SenSen(-)
- Sen
(Demostrado)
* Tg(-) =Tg(+(-))
Tg( +(-)) =
Tg(-) =
(Demostrado)
De igual manera tomar en cuenta
que:
Algunas Propiedades de
Importancia
* Sen(-).Sen(-) =
Sen² - Sen²
* Tg + Tg +
Tg(+).Tg.Tg =
Tg(+)
* Si: + + = 180° ⇒ Tg
+ Tg + Tg = Tg . Tg .
Tg
* Si: + + = 90° ⇒ Tg .
Tg + Tg . Tg + Tg.
Tg = 1
Demostremos las propiedades
Trigonometría 83
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
a) “sen(+). sen(-) =
Sen² - sen²”
Sabemos que:
Sen(+) = Sencos +
cossen ..(I)
Sen(-) = sencos -
cossen ..(II)
Multiplicamos Miembro a miembro:
sen( + ).sen( - ) = sen² -
cos² - cos² - sen²
Reemplazamos:
Cos² = 1 - sen
Cos² = 1 - sen²
sen( + ) sen(-) = sen²(1 -
sen²) - (1 - sen²)sen²
= sen² - sen².sen² - [sen² -
sen².sen²]
= sen² - sen².sen² - sen² +
sen².sen²
sen(+).sen(-) = sen² -
sen²......................(Demostrado)
b) “Tg + Tg + Tg(+). TgTg
= Tg(+)”
Sabemos que:
Tg(+) =
Multiplicamos (1-Tg.Tg) a
ambos miembros:
(1 - Tg.Tg)Tg(+) = (1
- Tg.Tg)
Tg(+) -TgTg.Tg(+) =
Tg + Tg
Ordenamos convenientemente:
Tg + Tg + Tg( + ).TgTg
= Tg( + )
Demostrado
Trigonometría 84
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
c) Si: “ + + = 180° Tg + Tg
+ Tg = Tg Tg Tg”
Sabemos que:
+ + = 180° + = 180° -
Tomamos tangente a ambos
miembros:
Tg( + ) = Tg(180° - )
= -Tg
Tg + Tg = -Tg (1 - TgTg)
Tg + Tg = -Tg +
Tg.Tg.Tg
Ordenamos convenientemente:
Tg + Tg + Tg = Tg Tg Tg
(Demostrado)
d) Si: “ + + = 90° Tg. Tg +
Tg. Tg + Tg. Tg = 1"
Sabemos que:
+ + = 90° + = 90° -
Tomamos tangente a ambos
miembros:
Tg( + ) = Tg(90° - )
Tg (Tg + Tg) = 1 - Tg.Tg
Tg .Tg + Tg.Tg = 1 - Tg.Tg
Ordenamos convenientemente:
Tg.Tg+Tg.Tg+Tg.Tg =1
(Demostrado)
Trigonometría 85
5 3 ºA
B C
D
3 0 ºB
2 x
32 3
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
PROBLEMAS PARA LA CLASE
1. Simplificar la siguiente
expresión
Rpta.:
2. Si Sen(x+y) = 0,8 Cosy +
0,6Seny
Calcular Tgx:
Rpta.:
3. Calcular el valor de:
Rpta.:
4. Reducir la siguiente
expresión:
Rpta.:
5. Calcular “Tg” ABCD:
(Cuadrado)
Rpta.:
6. Calcular el valor “” si se
cumple que:
Además ( IC)
Rpta.:
7. En la figura adjunta determinar
el valor de “x”.
Trigonometría 86
A
B C
D
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
Rpta.:
8. En un triángulo ABC las
tangentes de los ángulos A y
B valen 2 y 3, Calcular el
ángulo “C”:
Rpta.:
9. Determinar el valor de la
siguiente expresión trígono-
métrica.
R = Ctg ( - + ). Si
Rpta.:
10. Calcular el valor de la
siguiente expresión:
Rpta.:
11. Si las raíces de la ecuación
X2 + Px + 9 = 0 son Tg y
Tg. Calcular el valor de:
Rpta.:
12. Calcular Tg (ABCD:
Cuadrado).
Rpta.:
13. Si sabemos que:
Trigonometría 87
5
1 2
1 4
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
Tg(3a - 3b) = 3 Tg (3a + 3b)
= 5
Determinar el valor de: Tg6.
Rpta.:
14. Si sabemos que:
K(Sen100+Sen10) =
(Sen65+ Sen25)
Determinar el valor de K.
Rpta.:
15. De la figura determinar el
valor de Sen
Rpta.:
16. Calcular el valor de la
expresión siguiente:
M = Cos345º + Cos15º - Tg165º
Rpta.:
Trigonometría 88
M
QP
T
B
D
A3 0
C
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
17. Si CtgCtg = 1 y además
= Csc"Cs$, calcular el
valor de [Sec($-") .
Rpta.:
18. En la figura adjunta, PM es
mediana y "+ $ = /6.
Calcular Tg$:
Rpta.:
19. Simplificar la siguiente
expresión:
Rpta.:
20. En la figura que se muestra,
los triángulos ABC y AOB
son rectos en B y D
respectivamente. Si AB = 4 y
BD = DC. Encontrar el valor
de la Tg".
Rpta.:
Trigonometría 89
5
4
8
2
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
PROBLEMAS PARA LA CASA
1. Determinare el valor de la
siguiente expresión:
a) 1 b) 2
c) 3 d)
e)
2. Simplificar la siguiente
expresión
a) 2 b)
c) 1 d)
e)
3. En el gráfico adjunto
determinar Ctg:
a) b)
c) d)
e)
4. Determinar el valor de:
F = Tg66.Ctg57-Ctg24Ctg33
a) 2 b)
c) 1 d) -1
e) -2
5. Si sabemos que:
Tg2" – Tg2$ + 2Tg2" Tg2$ = 2
y además Tg(" -$ ) = 3.
Determinar el valor de Tg
("+$).
a) 6 b)
c) d)
Trigonometría 90
P V T S
Q R
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
e)
6. En la figura PQRS es un
trapecio isósceles, QRTV es
un cuadrado y además PR = PS
Hallar Tg .
a) b)
c) d)
e)
7. Calcular el valor de M:
a) 3 b)
c) 2| d)
e) 1
9. Reducir la siguiente expresión:
a) 1 b) 2
c) Senx d) Cosx
e) Tgx
10. Reducir la siguiente
expresión trigonométrica:
a) Sen70º b) Cos70º
c) 2Sen70º d) 2Cos70º
e) 2Sen50º
11. Determinar el valor de:
J = Tg35º+Cot80º+Cto55º.Tg10º
a) 3 b) 2
c) 1 d) 0
e) – 1
Trigonometría 91
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
12. Hallar el valor de la siguiente
expresión:
a) 1 b) ½
c) ¼ d) 1/8
e) 1/16
13. Si Tg("+$) = 33. Calcular el
valor de Tg2$. Si Tg" = 3.
a) 62/91 b) 60/91
c) 61/91 d) 63/91
d) 64/91
14. Si a – b = calcular el
valor de:
a) 3 b) 1
c) d)
e) -3
Trigonometría 92
A
2
4
6
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
15. Calcular el valor de la Tg$ en el gráfico siguiente:
a) 1 b) ½
c) 2 d) 1/3
e) 3
Trigonometría 93
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
Trigonometría 94