II Coloquio Internacional sobre Enseñanza de las MatemáticasLima, Febrero 2007

Intuición y rigor en la resolución de problemas

Uldarico Malaspina Juradoumalasp@pucp.edu.peDirector del IREM – LimaPontificia Universidad Católica del Perú

Una forma de trabajar proponiendo y resolviendo problemas

I. Presentación del problema o de la situación.II. Propuesta de actividades individuales, con

algunas dificultades iniciales.III. Propuesta de actividades grupales, con mayores

y crecientes dificultades, entre las que estámodificar el problema o crear uno nuevo.

IV. Puesta en común (Exposiciones-Discusión)V. Comentarios del profesor.

Un ejemplo

ProblemaDeterminar el perímetro mínimo que puede tener una región poligonal construida con n cuadrados, cada uno de área 1.

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

Situación

Se tienen 11 fichas cuadradas, todas del mismo tamaño.

Actividades individuales

(Asumir que cada ficha es un cuadrado unitario, de perímetro 4.)

1. Construir con las 11 fichas, sin superposiciones, una región poligonal que tenga perímetro 18.

2. Construir con las 11 fichas, sin superposiciones, una región poligonal que tenga el menor perímetro posible.

Actividades grupales

1. Explicar cómo se construiría una región poligonal con 476 cuadrados, cada uno de área 1, de modo que tenga perímetro mínimo.

2. Hallar el perímetro de la región poligonal correspondiente a la actividad anterior.

3. Determinar el perímetro mínimo que puede tener una región poligonal construida con ncuadrados, cada uno de área 1.

4. Proponer otras actividades u otro problema a partir de lo trabajado.

Examinando el problema propuestoEs una excelente oportunidad para examinar el problema general examinando previamente los casos más sencillos

Llamemos P(n) al perímetro mínimo del polígono construido con n cuadrados unitarios .n = 1

Caso trivial.

P(n) = P(1) = 4x1 = 4

n = 2

Esencialmente, sólo hay una posibilidad:

un rectángulo de 2 x 1

P(n) = P(2) = 2x2 +2 = 6

Examinando el problema propueston = 3Esencialmente, sólo hay dos formas de añadir un cuadrado al rectángulo anterior:

• Pegarlo al lado más corto, formando un rectángulo de 3 x 1:

perímetro = 2 x 3 + 2 = 8

• Pegarlo al lado más largo, formando una escuadra:

perímetro = 2 x 2 + 2 + 2 = 8

En consecuencia P(3) = 8

Observación:Examinando el problema propuesto

En el caso n = 2.Dijimos:

Esencialmente, sólo hay una posibilidad:

Intuitivamente hemos descartado otras posibilidades, sin justificación formal

Es una oportunidad para• Reflexionar sobre el rigor • Considerar el problema

Minimizar 8 -2x , con la restricción 0 ≤ x ≤ 1

Examinando el problema propuesto

Minimizar 8 -2x , con la restricción 10 ≤≤ x

• (1, 6)

También es una oportunidad para examinar el significado geométrico y analítico al considerar la restricción 0 < x < 1 .

n = 4Construyendo polígonos de perímetro mínimo

Sólo hay, esencialmente, cuatro formas:

En consecuencia P(4) = 8

• Un rectángulo de 4 x 1: perímetro = 2 x 4 + 2 = 10

• Una L: perímetro = 2 x 3 + 2 + 2 = 10

• Una “ S”

perímetro = 2x4 + 2 = 10

• Un cuadrado de lado 2:perímetro = 2x4 = 8

n = 5Las formas resultan de añadir de diversas maneras un cuadrado a cada una de las formas obtenidas para n = 4:

Construyendo polígonos de perímetro mínimo

n = 5Construyendo polígonos de perímetro mínimo

Una oportunidad para identificar situaciones equivalentes y casos esenciales en una situación problemática

En resumen, hay dos casos al construir un polígono con 5 cuadrados unitarios, teniendo en cuenta su perímetro y partiendo de los casos para n = 4 :

a. Al añadir el cuadrado, el perímetro se incrementa en dos unidades.

b. Al añadir el cuadrado, el perímetro no se incrementa.

Como los polígonos con 4 cuadrados unitarios tienen perímetro 10 óperímetro 8, podemos construir polígonos con 5 cuadrados unitarios cuyo perímetro sea 12 ó 10, y en consecuencia P(5) = 10

Construyendo polígonos de perímetro mínimoOportunidad para hacer conjeturas para el caso general – formalizarlas y refutarlas o demostrarlas - a partir de las observaciones de casos particulares

En general, cuando se tienen n cuadrados de área unoObservaciones

1. Los casos vistos anteriormente y los que se pueden seguir obteniendo, nos hacen intuir que la figura plana que tendrá el perímetro mínimo será aquella que más se aproxime a un cuadrado.2. Lo anterior es coherente con la solución del problema de determinar el rectángulo de perímetro mínimo y área dada. Tal problema lo planteamos como

Min 2x + 2ysujeto a xy = K (constante dada)

Construyendo polígonos de perímetro mínimo : resumen de los diversos casos

Resumiendo:

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

+≤<∈++=+−+

≤<∈+=+−∈=

=

+

napróximomásenteroelkkwZwwkknsiwn

napróximomásenteroelkkZknsin

Zkknsin

nP

2

2

2

2

2

,10,,)1441(2

,0,,24,4

)(νννν

Construyendo polígonos de perímetro mínimo : resumen de los diversos casos

Oportunidad para usar la función máximo entero

nEn la formalización anterior, en verdad k = [ ]y entonces podemos escribir más resumidamente:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+≤<∈++=+≤<∈+=+

==

1][0,,][][4][4][0,,][2][4

][4)(

2

2

2

nwZwwnnnsinnZnnsin

nnsinnP ννν

Un estudio empírico con problemas sencillos de optimización

Introducción

• Buscamos el mejor camino

• Tratamos de encontrar la mejorubicación cuandovamos al cine

•

• Problemasisoperimétricos

• Programaciónmatemática

• Teoría de control

•

PROBLEMAS DEOPTIMIZACIÓN

Vida diaria Ciencias naturales y sociales

Matemáticas

• Economía: la teoríaneoclásica

• Física: la maximización de la entropía y la minimización de la energía•

• Usamos nuestraexperiencia e intuición

•No usamos mat. formalizada

• Teorías

• Métodos• Modelosmatemáticos

Introducción (continuación)

1 Los problemas de optimización generalmente son estudiados en carreras científicas en las universidades .

Introducción (continuación)

.2 Vemos cómo una actividad mental e

intuitiva que se practica permanentemente en la vida diaria, es conocida y tratada formal y rigurosamente recién en el nivel universitario o a nivel introductorio en cursos de cálculo diferencial ofrecidos a estudiantes de 16 ó 17 años.

Introducción (continuación)

3. Se ha observado que jóvenes que han estudiado capítulos de máximos y mínimos en un curso de cálculo diferencial, ante problemas de optimización con variables continuas, aplican mecánicamente la rutina de la primera y segunda derivada de la función a optimizar.

Introducción (continuación)

4. Pero no han desarrollado una actitud científica quecombine

INTUICIÓNHABILIDAD PARA HACER CONJETURAS

FORMALIZACIÓN Y RIGOR

Especialmente cuando la dificultad no es obtener el valor óptimo de una función continua definida sobre un intervalocerrado y acotado

Introducción (continuación)

5. Esta situación motiva investigarSobre cómo orientar el aprendizaje del cálculodiferencial,

especialmente el capítulo de máximos y mínimosSobre cómo introducir adecuadamente problemasde optimización en la educación básicaSobre la manera de estudiar estos problemascomo una parte importante del curriculum

Marco conceptual

ProblemaProblema de optimizaciónFormalizaciónRigorIntuición

Los problemas propuestos

Problema 1 (Con variaciones continuas):

Hallar en el plano cartesiano cuatro puntos de coordenadas enteras, de modo que sean los vértices de un paralelogramo cuyo perímetro sea 28 y cuya área sea máxima.

Los problemas propuestos

Problema 2 (Con variaciones discretas)

Llamamos “paso” aplicado a un número, cuando se le multiplica por 2 ó cuando se le disminuye en 3 unidades. Hallar el menor número de pasos que se deben aplicar para obtener el número 25, partiendo del número 11.

Análisis del problema 1

Hacemos un análisis epistémico del problema, usando los seis objetosmatemáticos que “se ponen en juego en la actividad matemática” , según el enfoque ontosemiótico de Godino (*)

__________________(*) Godino, J.D. et al (2005) An onto-semiotic analysis of

combinatorial problems and the solving processes by university students. Educational Studies in Mathematics 60: pp 3-36.

Lenguajes

Problemas Conceptos

Procedimientos Proposiciones

Argumentos

R e p r e s e n t a n

Permiten Justifican

Resuelven

Representan Representan

Relacionan

Variables

Análisis del problema 1 (continuación)Hallar en el plano cartesiano cuatro puntos de coordenadas enteras, de modo que sean los vértices de un paralelogramo cuyo perímetro sea 28 y cuya área sea máxima

Lenguaje: Plano cartesiano; coordenadas de un punto; área máxima; el perímetro es 28Conceptos: Paralelogramo; vértices, perímetro y área de un paralelogramo; seno y coseno de un ángulo; rectángulo; cuadrado; rombo; orden en los números reales.Problema: ¿Cómo es el paralelogramo de perímetro dado y área máxima?

Análisis del problema 1 (continuación)

Procedimientos:• Considerar gráficamente un paralelogramo

representando una situación general (lados no perpendiculares)

• Observar que varía el área al variar el ángulo, manteniendo constantes las longitudes de los lados.

• Determinar el ángulo más conveniente (maximizante)• Hacer variar las longitudes de los lados.• Determinar las longitudes más convenientes

(maximizantes)• Seguir una secuencia similar a la anterior, pero

fijando primero el ángulo• Escoger las coordenadas de los vértices

Análisis del problema 1 (continuación)

Proposiciones:a. El paralelogramo de mayor área, con las

longitudes de sus lados fijas, es el rectángulo.

b. El rectángulo de mayor área, con perímetro dado, es el cuadrado.

c. El paralelogramo de mayor área, fijado el perímetro y un ángulo entre sus lados, es un rombo.

d. El rombo de mayor área, fijada la longitud de sus lados, es un cuadrado.

Análisis del problema 1 (continuación)

Argumentos:- Razonamiento deductivo- Tanteo inteligente- Afirmaciones haciendo variar un ángulo entre los

lados del paralelogramo, manteniendo fijas las longitudes; y, fijado un ángulo, haciendo variar las longitudes de los lados, manteniendo el perímetro.

Variables: un ángulo entre los lados del paralelogramo y las longitudes de estos lados, con sus restricciones correspondientes.

Análisis de las soluciones de los estudiantes

Mostraron sólo sus resultados

36,8% 28,9%

P2

¿Procedimientos?¿Argumentos?¿Proposiciones?

P1

Respuesta correcta

Respuesta correcta

57,1% 72,7%

¿Buena aproximación intuitiva?

Débil influencia del Cálculo Diferencial para ir más allá de una solución intuitiva para “to develop formal structures of logical

thinking” (Fischbein).

Análisis de las soluciones de los estudiantes

Presentaron formalizaciones

P1

23,7%

P2

55,3%

Respuesta correcta

Respuesta correcta

66,7% 66,7%

Hay deficiencias en el manejo formal de argumentos, procedimientos y proposiciones

Las deficiencias son más serias al resolver el problema con variación discreta.

Análisis de las soluciones de los estudiantes

Presentaron formalizaciones

P1

23,7%

P2

55,3%

No justific. su res. es óptimo

No justific. su res. es óptimo

28,6% 55,6%

Hay deficiencias en el pensamiento riguroso y en el uso de formalizaciones para demostrar resultados. ¿Y el Cálc. Dif?

Las deficiencias son más serias al resolver el problema con variación discreta.

Análisis de las soluciones de los estudiantesIntentaron justificar que

sus resultados son óptimos

42,1% 10,5%

P1 P2

Justificaron

18,8% 50%

Justificaron

Deficiencias en el pensamiento riguroso y en la capacidad de probar resultados

Consideran suficiente encontrar una solución que parece convincente

Conclusiones preliminares

1. Debemos prestar más atención a educar en la formalización y el rigor, como una actitud científica que complementa la intuición y contribuye a clarificar y desarrollar argumentos, procedimientos y proposiciones y no sólo como el uso de ciertas reglas o rutinas para obtener una secuencia de resultados parciales .

En particular, es necesario profundizar una investigación sobre la presencia de este enfoque en la enseñanza y aprendizaje de máximos y mínimos en el cálculo diferencial

Conclusiones preliminares

2. Debemos contribuir a potenciar la “intuición optimizadora” que se genera al buscar situaciones óptimas en la vida diaria, educando en la formalización y el rigor desde la educación primaria, usando problemas adecuados de optimización.

Referencias[1] Dubinsky, E. (2000) Meaning and formalism in

mathematics, International Journal of Computers for Mathematical Learning, Volume 5, Number 3, pp 211-240.

[2] Fischbein, E. (1994). Intuition in science and mathematics. Reidel Publishing Company. Second printing, Holland.

[3] Godino, J.D. et al (2005) An onto-semiotic analysis of combinatorial problems and the solving processes by university students. Educational Studies in Mathematics60: pp 3-36.

[4] Malaspina, U. (2005). Motivation and development of mathematical thinking using optimization problems. Proceedings of the 4th Mediterranean conference on mathematics education. Volume II, pp 491- 500

[5] Malaspina, U. (2005 - 2006) El rincón de los problemas. Revista UNIÓN. FISEM, Nos. 1 al 8.http://www.fisem.org/paginas/union/revista.php