Post on 27-Mar-2020
Un teorema tipo E�mov para grafos en M2 × R.
Un trabajo conjunto con José A. Gálvez.
José Luis Teruel Carretero.
Universidad de Granada
Departamento de Geometría y Topología
18 de Septiembre de 2013
Introducción
Introducción.
José Luis Teruel Carretero (UGR) Un teorema tipo E�mov para grafos en M2 × R.Doctorado en Matemáticas 2 / 15
Introducción
Introducción
1 Euclídeo tridimensional.
� D. Hilbert demostró en 1901 que no existen inmersiones de super�cies
completas con curvatura de Gauss constante y negativa.
� N. H. E�mov generaliza este resultado en 1964 para super�cies
completas con curvatura extrínseca acotada superiormente por una
constante negativa.
2 Otros espacios ambiente.
� J. M. Schlenker demuestra en 2001 un resultado del mismo tipo que
E�mov para super�cies completas en H3, S3 y H3
1, con hipótesis
adicionales sobre el gradiente de la curvatura de Gauss especí�cas para
cada caso.
� No se conoce mucho sobre el comportamiento de la curvatura
extrínsica de super�cies completas en espacios producto M2 × R.
José Luis Teruel Carretero (UGR) Un teorema tipo E�mov para grafos en M2 × R.Doctorado en Matemáticas 3 / 15
Introducción
Introducción
1 Euclídeo tridimensional.
� D. Hilbert demostró en 1901 que no existen inmersiones de super�cies
completas con curvatura de Gauss constante y negativa.
� N. H. E�mov generaliza este resultado en 1964 para super�cies
completas con curvatura extrínseca acotada superiormente por una
constante negativa.
2 Otros espacios ambiente.
� J. M. Schlenker demuestra en 2001 un resultado del mismo tipo que
E�mov para super�cies completas en H3, S3 y H3
1, con hipótesis
adicionales sobre el gradiente de la curvatura de Gauss especí�cas para
cada caso.
� No se conoce mucho sobre el comportamiento de la curvatura
extrínsica de super�cies completas en espacios producto M2 × R.
José Luis Teruel Carretero (UGR) Un teorema tipo E�mov para grafos en M2 × R.Doctorado en Matemáticas 3 / 15
Introducción
Introducción
1 Euclídeo tridimensional.
� D. Hilbert demostró en 1901 que no existen inmersiones de super�cies
completas con curvatura de Gauss constante y negativa.
� N. H. E�mov generaliza este resultado en 1964 para super�cies
completas con curvatura extrínseca acotada superiormente por una
constante negativa.
2 Otros espacios ambiente.
� J. M. Schlenker demuestra en 2001 un resultado del mismo tipo que
E�mov para super�cies completas en H3, S3 y H3
1, con hipótesis
adicionales sobre el gradiente de la curvatura de Gauss especí�cas para
cada caso.
� No se conoce mucho sobre el comportamiento de la curvatura
extrínsica de super�cies completas en espacios producto M2 × R.
José Luis Teruel Carretero (UGR) Un teorema tipo E�mov para grafos en M2 × R.Doctorado en Matemáticas 3 / 15
Introducción
Introducción
1 Euclídeo tridimensional.
� D. Hilbert demostró en 1901 que no existen inmersiones de super�cies
completas con curvatura de Gauss constante y negativa.
� N. H. E�mov generaliza este resultado en 1964 para super�cies
completas con curvatura extrínseca acotada superiormente por una
constante negativa.
2 Otros espacios ambiente.
� J. M. Schlenker demuestra en 2001 un resultado del mismo tipo que
E�mov para super�cies completas en H3, S3 y H3
1, con hipótesis
adicionales sobre el gradiente de la curvatura de Gauss especí�cas para
cada caso.
� No se conoce mucho sobre el comportamiento de la curvatura
extrínsica de super�cies completas en espacios producto M2 × R.
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Introducción
Introducción
1 Euclídeo tridimensional.
� D. Hilbert demostró en 1901 que no existen inmersiones de super�cies
completas con curvatura de Gauss constante y negativa.
� N. H. E�mov generaliza este resultado en 1964 para super�cies
completas con curvatura extrínseca acotada superiormente por una
constante negativa.
2 Otros espacios ambiente.
� J. M. Schlenker demuestra en 2001 un resultado del mismo tipo que
E�mov para super�cies completas en H3, S3 y H3
1, con hipótesis
adicionales sobre el gradiente de la curvatura de Gauss especí�cas para
cada caso.
� No se conoce mucho sobre el comportamiento de la curvatura
extrínsica de super�cies completas en espacios producto M2 × R.
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Introducción
Introducción
1 Euclídeo tridimensional.
� D. Hilbert demostró en 1901 que no existen inmersiones de super�cies
completas con curvatura de Gauss constante y negativa.
� N. H. E�mov generaliza este resultado en 1964 para super�cies
completas con curvatura extrínseca acotada superiormente por una
constante negativa.
2 Otros espacios ambiente.
� J. M. Schlenker demuestra en 2001 un resultado del mismo tipo que
E�mov para super�cies completas en H3, S3 y H3
1, con hipótesis
adicionales sobre el gradiente de la curvatura de Gauss especí�cas para
cada caso.
� No se conoce mucho sobre el comportamiento de la curvatura
extrínsica de super�cies completas en espacios producto M2 × R.
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Introducción
Objetivos
1 Demostraremos que no hay grafos completos con curvatura extrínseca
acotada superiormente por una constante negativa en M2 × R cuando
la curvatura de M2 es no negativa usando razonamientos similares a
los usados por E. Heinz, el cual demostró en 1955 este mismo
resultado para grafos cuando el espacio ambiente es R3.
2 Daremos un ejemplo de existencia de super�cies completas con
curvatura extrínseca negativa en espacios producto cuando la
curvatura de M2 es negativa.
José Luis Teruel Carretero (UGR) Un teorema tipo E�mov para grafos en M2 × R.Doctorado en Matemáticas 4 / 15
Introducción
Objetivos
1 Demostraremos que no hay grafos completos con curvatura extrínseca
acotada superiormente por una constante negativa en M2 × R cuando
la curvatura de M2 es no negativa usando razonamientos similares a
los usados por E. Heinz, el cual demostró en 1955 este mismo
resultado para grafos cuando el espacio ambiente es R3.
2 Daremos un ejemplo de existencia de super�cies completas con
curvatura extrínseca negativa en espacios producto cuando la
curvatura de M2 es negativa.
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Grafos con curvatura extrínseca negativa.
Grafos con curvatura extrínseca
negativa.
José Luis Teruel Carretero (UGR) Un teorema tipo E�mov para grafos en M2 × R.Doctorado en Matemáticas 5 / 15
Grafos con curvatura extrínseca negativa.
Consideraciones previas.
. Sea M2 una super�cie riemanniana y (r , θ) coordenadas geodésicas
polares alrededor de un punto p0 ∈M2 bien de�nidas para r < R , conR cierto valor positivo. La métrica inducida viene dada por
〈·, ·〉 = dr2 + G (r , θ) dθ2.
. Consideramos M2 × R dotada con la métrica producto y sea Σ un
grafo vertical en M2 × R sobre la bola B (p0,R) y parametrizada por
ψ(r , θ) =(expp0
(rcos(θ), rsin(θ)
), z(r , θ)
)≡ (r , θ, z(r , θ))
con métrica inducida dada por
ds2 =(1 + z2r
)dr2 + 2zrzθdrdθ +
(G + z2θ
)dθ2.
José Luis Teruel Carretero (UGR) Un teorema tipo E�mov para grafos en M2 × R.Doctorado en Matemáticas 6 / 15
Grafos con curvatura extrínseca negativa.
Consideraciones previas.
. Sea M2 una super�cie riemanniana y (r , θ) coordenadas geodésicas
polares alrededor de un punto p0 ∈M2 bien de�nidas para r < R , conR cierto valor positivo. La métrica inducida viene dada por
〈·, ·〉 = dr2 + G (r , θ) dθ2.
. Consideramos M2 × R dotada con la métrica producto y sea Σ un
grafo vertical en M2 × R sobre la bola B (p0,R) y parametrizada por
ψ(r , θ) =(expp0
(rcos(θ), rsin(θ)
), z(r , θ)
)≡ (r , θ, z(r , θ))
con métrica inducida dada por
ds2 =(1 + z2r
)dr2 + 2zrzθdrdθ +
(G + z2θ
)dθ2.
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Grafos con curvatura extrínseca negativa.
. El correspondiente vector normal unitario
N =−1√
1 + z2r +z2θG
(zr∂r +
zθG∂θ − ∂t
)
Nota
Usando lo anterior, por medio de un cálculo llegamos a la siguiente fórmula:(√G)rd
((z2r +
z2θG
)dθ
)+ d
(zrd
(zθ√G
)− zθ√
Gdzr
)= 2√G
(1 + z2r +
z2θG
)2
Kext (dr ∧ dθ) ,
donde Kext denota la curvatura extrínseca de Σ.
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Grafos con curvatura extrínseca negativa.
. El correspondiente vector normal unitario
N =−1√
1 + z2r +z2θG
(zr∂r +
zθG∂θ − ∂t
)
Nota
Usando lo anterior, por medio de un cálculo llegamos a la siguiente fórmula:(√G)rd
((z2r +
z2θG
)dθ
)+ d
(zrd
(zθ√G
)− zθ√
Gdzr
)= 2√G
(1 + z2r +
z2θG
)2
Kext (dr ∧ dθ) ,
donde Kext denota la curvatura extrínseca de Σ.
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Grafos con curvatura extrínseca negativa.
Lemas previos.
De�nimos la siguiente función auxiliar:
f (r) =
∫Br
√G
(1 +
z2θG
), r > 0
donde Br denota la bola centrada en el origen de R2 y radio r , con r < R .Estamos identi�cando R2 y el plano tangente de M2 en p0, Tp0M2, de la
manera usual.
Lema 1
Se cumple la siguiente desigualdad:
|Br | ≤ f (r) ≤√|Br |
(∫Br
√G
(1 + z2ρ +
z2θG
)2) 1
2
.
donde |Br | denota el área del disco geodésico B(p0, r) en M2.
En la prueba se usa la desigualdad de Cauchy-Schwartz.
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Grafos con curvatura extrínseca negativa.
Lemas previos.
De�nimos la siguiente función auxiliar:
f (r) =
∫Br
√G
(1 +
z2θG
), r > 0
donde Br denota la bola centrada en el origen de R2 y radio r , con r < R .Estamos identi�cando R2 y el plano tangente de M2 en p0, Tp0M2, de la
manera usual.
Lema 1
Se cumple la siguiente desigualdad:
|Br | ≤ f (r) ≤√|Br |
(∫Br
√G
(1 + z2ρ +
z2θG
)2) 1
2
.
donde |Br | denota el área del disco geodésico B(p0, r) en M2.
En la prueba se usa la desigualdad de Cauchy-Schwartz.
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Grafos con curvatura extrínseca negativa.
Lemas previos.
De�nimos la siguiente función auxiliar:
f (r) =
∫Br
√G
(1 +
z2θG
), r > 0
donde Br denota la bola centrada en el origen de R2 y radio r , con r < R .Estamos identi�cando R2 y el plano tangente de M2 en p0, Tp0M2, de la
manera usual.
Lema 1
Se cumple la siguiente desigualdad:
|Br | ≤ f (r) ≤√|Br |
(∫Br
√G
(1 + z2ρ +
z2θG
)2) 1
2
.
donde |Br | denota el área del disco geodésico B(p0, r) en M2.
En la prueba se usa la desigualdad de Cauchy-Schwartz.José Luis Teruel Carretero (UGR) Un teorema tipo E�mov para grafos en M2 × R.Doctorado en Matemáticas 8 / 15
Grafos con curvatura extrínseca negativa.
Lema 2
Denotemos por KM la curvatura de Gauss de M2. Entonces en las
condiciones anteriores se tiene que,
d
dr
∫ 2π
0
(z2θ√G
)dθ =
∫ 2π
0
(√G)rz2r dθ +
∫Br
(z2ρ +
z2θG
)KM√G
− 2
∫Br
√G
(1 + z2ρ +
z2θG
)2
Kext .
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Grafos con curvatura extrínseca negativa.
Teorema
Sea M2 una super�cie riemanniana con un polo. Si su curvatura de Gauss
es no negativa, entonces no existen grafos verticales enteros en M2 × Rcon curvatura extrínseca acotada superiormente por una constante negativa
−α.
Idea de la demostración: Por Lema 2 tenemos que
f ′′(r) =
≥0︷ ︸︸ ︷∫2π
0
(√G)r
(1 + z2r
)dθ +
∫Br
(z2ρ +
z2θ
G
)KM√
G −2∫Br
√G
(1 + z2ρ +
z2θ
G
)2
Kext .
Luego f ′′(r) ≥ 2α|Br |
f (r)2 por Lema 1⇒ ddρ
(f ′(ρ)2
)≥ 4α
3|Br |ddρ
(f (ρ)3
).
Por integración tenemos que f ′(r)2 ≥ 4α3|Br |
(f (r)3 − f (ε)3
), con 0 < ε < r . Es claro que f (ε)→ 0 si ε→ 0, luego
− ddr
(f (r)− 1
2
)≥√
α3|Br |
.
Como KM ≥ 0, por el teorema de comparación de volúmenes se tiene que |Br | ≤ πr2, de lo anterior tenemos que∫ R2
R1
−d
dr
(f (r)− 1
2
)dr = −f (R2)
− 1
2 + f (R1)− 1
2 ≥√α
3πlog
(R2
R1
)
⇒∣∣∣BR1
∣∣∣− 1
2 ≥√
α3π
log(
R2R1
)por Lema 1 , esto es R2 ≤ R1 exp
√ 3πα
1√∣∣∣BR1 ∣∣∣ para cualesquiera 0 < R1 < R2,
con R2 arbitrario, lo que demuestra el teorema.
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Grafos con curvatura extrínseca negativa.
Teorema
Sea M2 una super�cie riemanniana con un polo. Si su curvatura de Gauss
es no negativa, entonces no existen grafos verticales enteros en M2 × Rcon curvatura extrínseca acotada superiormente por una constante negativa
−α.Idea de la demostración:
Por Lema 2 tenemos que
f ′′(r) =
≥0︷ ︸︸ ︷∫2π
0
(√G)r
(1 + z2r
)dθ +
∫Br
(z2ρ +
z2θ
G
)KM√
G −2∫Br
√G
(1 + z2ρ +
z2θ
G
)2
Kext .
Luego f ′′(r) ≥ 2α|Br |
f (r)2 por Lema 1⇒ ddρ
(f ′(ρ)2
)≥ 4α
3|Br |ddρ
(f (ρ)3
).
Por integración tenemos que f ′(r)2 ≥ 4α3|Br |
(f (r)3 − f (ε)3
), con 0 < ε < r . Es claro que f (ε)→ 0 si ε→ 0, luego
− ddr
(f (r)− 1
2
)≥√
α3|Br |
.
Como KM ≥ 0, por el teorema de comparación de volúmenes se tiene que |Br | ≤ πr2, de lo anterior tenemos que∫ R2
R1
−d
dr
(f (r)− 1
2
)dr = −f (R2)
− 1
2 + f (R1)− 1
2 ≥√α
3πlog
(R2
R1
)
⇒∣∣∣BR1
∣∣∣− 1
2 ≥√
α3π
log(
R2R1
)por Lema 1 , esto es R2 ≤ R1 exp
√ 3πα
1√∣∣∣BR1 ∣∣∣ para cualesquiera 0 < R1 < R2,
con R2 arbitrario, lo que demuestra el teorema.
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Grafos con curvatura extrínseca negativa.
Teorema
Sea M2 una super�cie riemanniana con un polo. Si su curvatura de Gauss
es no negativa, entonces no existen grafos verticales enteros en M2 × Rcon curvatura extrínseca acotada superiormente por una constante negativa
−α.Idea de la demostración: Por Lema 2 tenemos que
f ′′(r) =
≥0︷ ︸︸ ︷∫2π
0
(√G)r
(1 + z2r
)dθ +
∫Br
(z2ρ +
z2θ
G
)KM√G −2
∫Br
√G
(1 + z2ρ +
z2θ
G
)2
Kext .
Luego f ′′(r) ≥ 2α|Br |
f (r)2 por Lema 1⇒ ddρ
(f ′(ρ)2
)≥ 4α
3|Br |ddρ
(f (ρ)3
).
Por integración tenemos que f ′(r)2 ≥ 4α3|Br |
(f (r)3 − f (ε)3
), con 0 < ε < r . Es claro que f (ε)→ 0 si ε→ 0, luego
− ddr
(f (r)− 1
2
)≥√
α3|Br |
.
Como KM ≥ 0, por el teorema de comparación de volúmenes se tiene que |Br | ≤ πr2, de lo anterior tenemos que∫ R2
R1
−d
dr
(f (r)− 1
2
)dr = −f (R2)
− 1
2 + f (R1)− 1
2 ≥√α
3πlog
(R2
R1
)
⇒∣∣∣BR1
∣∣∣− 1
2 ≥√
α3π
log(
R2R1
)por Lema 1 , esto es R2 ≤ R1 exp
√ 3πα
1√∣∣∣BR1 ∣∣∣ para cualesquiera 0 < R1 < R2,
con R2 arbitrario, lo que demuestra el teorema.
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Grafos con curvatura extrínseca negativa.
Teorema
Sea M2 una super�cie riemanniana con un polo. Si su curvatura de Gauss
es no negativa, entonces no existen grafos verticales enteros en M2 × Rcon curvatura extrínseca acotada superiormente por una constante negativa
−α.Idea de la demostración: Por Lema 2 tenemos que
f ′′(r) =
≥0︷ ︸︸ ︷∫2π
0
(√G)r
(1 + z2r
)dθ +
∫Br
(z2ρ +
z2θ
G
)KM√G −2
∫Br
√G
(1 + z2ρ +
z2θ
G
)2
Kext .
Luego f ′′(r) ≥ 2α|Br |
f (r)2 por Lema 1
⇒ ddρ
(f ′(ρ)2
)≥ 4α
3|Br |ddρ
(f (ρ)3
).
Por integración tenemos que f ′(r)2 ≥ 4α3|Br |
(f (r)3 − f (ε)3
), con 0 < ε < r . Es claro que f (ε)→ 0 si ε→ 0, luego
− ddr
(f (r)− 1
2
)≥√
α3|Br |
.
Como KM ≥ 0, por el teorema de comparación de volúmenes se tiene que |Br | ≤ πr2, de lo anterior tenemos que∫ R2
R1
−d
dr
(f (r)− 1
2
)dr = −f (R2)
− 1
2 + f (R1)− 1
2 ≥√α
3πlog
(R2
R1
)
⇒∣∣∣BR1
∣∣∣− 1
2 ≥√
α3π
log(
R2R1
)por Lema 1 , esto es R2 ≤ R1 exp
√ 3πα
1√∣∣∣BR1 ∣∣∣ para cualesquiera 0 < R1 < R2,
con R2 arbitrario, lo que demuestra el teorema.
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Grafos con curvatura extrínseca negativa.
Teorema
Sea M2 una super�cie riemanniana con un polo. Si su curvatura de Gauss
es no negativa, entonces no existen grafos verticales enteros en M2 × Rcon curvatura extrínseca acotada superiormente por una constante negativa
−α.Idea de la demostración: Por Lema 2 tenemos que
f ′′(r) =
≥0︷ ︸︸ ︷∫2π
0
(√G)r
(1 + z2r
)dθ +
∫Br
(z2ρ +
z2θ
G
)KM√G −2
∫Br
√G
(1 + z2ρ +
z2θ
G
)2
Kext .
Luego f ′′(r) ≥ 2α|Br |
f (r)2 por Lema 1⇒ ddρ
(f ′(ρ)2
)≥ 4α
3|Br |ddρ
(f (ρ)3
).
Por integración tenemos que f ′(r)2 ≥ 4α3|Br |
(f (r)3 − f (ε)3
), con 0 < ε < r . Es claro que f (ε)→ 0 si ε→ 0, luego
− ddr
(f (r)− 1
2
)≥√
α3|Br |
.
Como KM ≥ 0, por el teorema de comparación de volúmenes se tiene que |Br | ≤ πr2, de lo anterior tenemos que∫ R2
R1
−d
dr
(f (r)− 1
2
)dr = −f (R2)
− 1
2 + f (R1)− 1
2 ≥√α
3πlog
(R2
R1
)
⇒∣∣∣BR1
∣∣∣− 1
2 ≥√
α3π
log(
R2R1
)por Lema 1 , esto es R2 ≤ R1 exp
√ 3πα
1√∣∣∣BR1 ∣∣∣ para cualesquiera 0 < R1 < R2,
con R2 arbitrario, lo que demuestra el teorema.
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Grafos con curvatura extrínseca negativa.
Teorema
Sea M2 una super�cie riemanniana con un polo. Si su curvatura de Gauss
es no negativa, entonces no existen grafos verticales enteros en M2 × Rcon curvatura extrínseca acotada superiormente por una constante negativa
−α.Idea de la demostración: Por Lema 2 tenemos que
f ′′(r) =
≥0︷ ︸︸ ︷∫2π
0
(√G)r
(1 + z2r
)dθ +
∫Br
(z2ρ +
z2θ
G
)KM√G −2
∫Br
√G
(1 + z2ρ +
z2θ
G
)2
Kext .
Luego f ′′(r) ≥ 2α|Br |
f (r)2 por Lema 1⇒ ddρ
(f ′(ρ)2
)≥ 4α
3|Br |ddρ
(f (ρ)3
).
Por integración tenemos que f ′(r)2 ≥ 4α3|Br |
(f (r)3 − f (ε)3
), con 0 < ε < r . Es claro que f (ε)→ 0 si ε→ 0,
luego
− ddr
(f (r)− 1
2
)≥√
α3|Br |
.
Como KM ≥ 0, por el teorema de comparación de volúmenes se tiene que |Br | ≤ πr2, de lo anterior tenemos que∫ R2
R1
−d
dr
(f (r)− 1
2
)dr = −f (R2)
− 1
2 + f (R1)− 1
2 ≥√α
3πlog
(R2
R1
)
⇒∣∣∣BR1
∣∣∣− 1
2 ≥√
α3π
log(
R2R1
)por Lema 1 , esto es R2 ≤ R1 exp
√ 3πα
1√∣∣∣BR1 ∣∣∣ para cualesquiera 0 < R1 < R2,
con R2 arbitrario, lo que demuestra el teorema.
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15
Grafos con curvatura extrínseca negativa.
Teorema
Sea M2 una super�cie riemanniana con un polo. Si su curvatura de Gauss
es no negativa, entonces no existen grafos verticales enteros en M2 × Rcon curvatura extrínseca acotada superiormente por una constante negativa
−α.Idea de la demostración: Por Lema 2 tenemos que
f ′′(r) =
≥0︷ ︸︸ ︷∫2π
0
(√G)r
(1 + z2r
)dθ +
∫Br
(z2ρ +
z2θ
G
)KM√G −2
∫Br
√G
(1 + z2ρ +
z2θ
G
)2
Kext .
Luego f ′′(r) ≥ 2α|Br |
f (r)2 por Lema 1⇒ ddρ
(f ′(ρ)2
)≥ 4α
3|Br |ddρ
(f (ρ)3
).
Por integración tenemos que f ′(r)2 ≥ 4α3|Br |
(f (r)3 − f (ε)3
), con 0 < ε < r . Es claro que f (ε)→ 0 si ε→ 0, luego
− ddr
(f (r)− 1
2
)≥√
α3|Br |
.
Como KM ≥ 0, por el teorema de comparación de volúmenes se tiene que |Br | ≤ πr2, de lo anterior tenemos que∫ R2
R1
−d
dr
(f (r)− 1
2
)dr = −f (R2)
− 1
2 + f (R1)− 1
2 ≥√α
3πlog
(R2
R1
)
⇒∣∣∣BR1
∣∣∣− 1
2 ≥√
α3π
log(
R2R1
)por Lema 1 , esto es R2 ≤ R1 exp
√ 3πα
1√∣∣∣BR1 ∣∣∣ para cualesquiera 0 < R1 < R2,
con R2 arbitrario, lo que demuestra el teorema.
José Luis Teruel Carretero (UGR) Un teorema tipo E�mov para grafos en M2 × R.Doctorado en Matemáticas 10 /
15
Grafos con curvatura extrínseca negativa.
Teorema
Sea M2 una super�cie riemanniana con un polo. Si su curvatura de Gauss
es no negativa, entonces no existen grafos verticales enteros en M2 × Rcon curvatura extrínseca acotada superiormente por una constante negativa
−α.Idea de la demostración: Por Lema 2 tenemos que
f ′′(r) =
≥0︷ ︸︸ ︷∫2π
0
(√G)r
(1 + z2r
)dθ +
∫Br
(z2ρ +
z2θ
G
)KM√G −2
∫Br
√G
(1 + z2ρ +
z2θ
G
)2
Kext .
Luego f ′′(r) ≥ 2α|Br |
f (r)2 por Lema 1⇒ ddρ
(f ′(ρ)2
)≥ 4α
3|Br |ddρ
(f (ρ)3
).
Por integración tenemos que f ′(r)2 ≥ 4α3|Br |
(f (r)3 − f (ε)3
), con 0 < ε < r . Es claro que f (ε)→ 0 si ε→ 0, luego
− ddr
(f (r)− 1
2
)≥√
α3|Br |
.
Como KM ≥ 0, por el teorema de comparación de volúmenes se tiene que |Br | ≤ πr2,
de lo anterior tenemos que∫ R2
R1
−d
dr
(f (r)− 1
2
)dr = −f (R2)
− 1
2 + f (R1)− 1
2 ≥√α
3πlog
(R2
R1
)
⇒∣∣∣BR1
∣∣∣− 1
2 ≥√
α3π
log(
R2R1
)por Lema 1 , esto es R2 ≤ R1 exp
√ 3πα
1√∣∣∣BR1 ∣∣∣ para cualesquiera 0 < R1 < R2,
con R2 arbitrario, lo que demuestra el teorema.
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Grafos con curvatura extrínseca negativa.
Teorema
Sea M2 una super�cie riemanniana con un polo. Si su curvatura de Gauss
es no negativa, entonces no existen grafos verticales enteros en M2 × Rcon curvatura extrínseca acotada superiormente por una constante negativa
−α.Idea de la demostración: Por Lema 2 tenemos que
f ′′(r) =
≥0︷ ︸︸ ︷∫2π
0
(√G)r
(1 + z2r
)dθ +
∫Br
(z2ρ +
z2θ
G
)KM√G −2
∫Br
√G
(1 + z2ρ +
z2θ
G
)2
Kext .
Luego f ′′(r) ≥ 2α|Br |
f (r)2 por Lema 1⇒ ddρ
(f ′(ρ)2
)≥ 4α
3|Br |ddρ
(f (ρ)3
).
Por integración tenemos que f ′(r)2 ≥ 4α3|Br |
(f (r)3 − f (ε)3
), con 0 < ε < r . Es claro que f (ε)→ 0 si ε→ 0, luego
− ddr
(f (r)− 1
2
)≥√
α3|Br |
.
Como KM ≥ 0, por el teorema de comparación de volúmenes se tiene que |Br | ≤ πr2, de lo anterior tenemos que∫ R2
R1
−d
dr
(f (r)− 1
2
)dr = −f (R2)
− 1
2 + f (R1)− 1
2 ≥√α
3πlog
(R2
R1
)
⇒∣∣∣BR1
∣∣∣− 1
2 ≥√
α3π
log(
R2R1
)por Lema 1 , esto es R2 ≤ R1 exp
√ 3πα
1√∣∣∣BR1 ∣∣∣ para cualesquiera 0 < R1 < R2,
con R2 arbitrario, lo que demuestra el teorema.
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Grafos con curvatura extrínseca negativa.
Teorema
Sea M2 una super�cie riemanniana con un polo. Si su curvatura de Gauss
es no negativa, entonces no existen grafos verticales enteros en M2 × Rcon curvatura extrínseca acotada superiormente por una constante negativa
−α.Idea de la demostración: Por Lema 2 tenemos que
f ′′(r) =
≥0︷ ︸︸ ︷∫2π
0
(√G)r
(1 + z2r
)dθ +
∫Br
(z2ρ +
z2θ
G
)KM√G −2
∫Br
√G
(1 + z2ρ +
z2θ
G
)2
Kext .
Luego f ′′(r) ≥ 2α|Br |
f (r)2 por Lema 1⇒ ddρ
(f ′(ρ)2
)≥ 4α
3|Br |ddρ
(f (ρ)3
).
Por integración tenemos que f ′(r)2 ≥ 4α3|Br |
(f (r)3 − f (ε)3
), con 0 < ε < r . Es claro que f (ε)→ 0 si ε→ 0, luego
− ddr
(f (r)− 1
2
)≥√
α3|Br |
.
Como KM ≥ 0, por el teorema de comparación de volúmenes se tiene que |Br | ≤ πr2, de lo anterior tenemos que∫ R2
R1
−d
dr
(f (r)− 1
2
)dr = −f (R2)
− 1
2 + f (R1)− 1
2 ≥√α
3πlog
(R2
R1
)
⇒∣∣∣BR1
∣∣∣− 1
2 ≥√
α3π
log(
R2R1
)por Lema 1 ,
esto es R2 ≤ R1 exp
√ 3πα
1√∣∣∣BR1 ∣∣∣ para cualesquiera 0 < R1 < R2,
con R2 arbitrario, lo que demuestra el teorema.
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Grafos con curvatura extrínseca negativa.
Teorema
Sea M2 una super�cie riemanniana con un polo. Si su curvatura de Gauss
es no negativa, entonces no existen grafos verticales enteros en M2 × Rcon curvatura extrínseca acotada superiormente por una constante negativa
−α.Idea de la demostración: Por Lema 2 tenemos que
f ′′(r) =
≥0︷ ︸︸ ︷∫2π
0
(√G)r
(1 + z2r
)dθ +
∫Br
(z2ρ +
z2θ
G
)KM√G −2
∫Br
√G
(1 + z2ρ +
z2θ
G
)2
Kext .
Luego f ′′(r) ≥ 2α|Br |
f (r)2 por Lema 1⇒ ddρ
(f ′(ρ)2
)≥ 4α
3|Br |ddρ
(f (ρ)3
).
Por integración tenemos que f ′(r)2 ≥ 4α3|Br |
(f (r)3 − f (ε)3
), con 0 < ε < r . Es claro que f (ε)→ 0 si ε→ 0, luego
− ddr
(f (r)− 1
2
)≥√
α3|Br |
.
Como KM ≥ 0, por el teorema de comparación de volúmenes se tiene que |Br | ≤ πr2, de lo anterior tenemos que∫ R2
R1
−d
dr
(f (r)− 1
2
)dr = −f (R2)
− 1
2 + f (R1)− 1
2 ≥√α
3πlog
(R2
R1
)
⇒∣∣∣BR1
∣∣∣− 1
2 ≥√
α3π
log(
R2R1
)por Lema 1 , esto es R2 ≤ R1 exp
√ 3πα
1√∣∣∣BR1 ∣∣∣ para cualesquiera 0 < R1 < R2,
con R2 arbitrario, lo que demuestra el teorema.
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Ejemplo de existencia.
Ejemplo de existencia.
José Luis Teruel Carretero (UGR) Un teorema tipo E�mov para grafos en M2 × R.Doctorado en Matemáticas 11 /
15
Ejemplo de existencia.
Sea M2 vista como R2 con la métrica inducida 〈·, ·〉 = dρ2 + G (ρ)dθ2, lacual está bien de�nida en R2 \ {(0, 0)}, donde (ρ, θ) son las coordenadas
polares usuales de R2.
Sea Σ una super�cie de rotación en M2 × R parametrizada por
Ψ(r , θ) =(k(r) cos(θ), k(r) sin(θ), z(r)
)≡(k(r), θ, z(r)
)donde k(r) > 0 y z(r) son funciones diferenciables, y r denota el
parámetro longitud de arco de la curva generatriz de Σ, es decir
β(r) = Ψ(r , 0). La métrica inducida en nuestra super�cie viene dada por
ds2 = dr2 + G(k(r)
)dθ2, y la curvatura extrínseca del grafo es
Kext = −z ′(r)Gρ
(k(r)
)2G(k(r)
)(k ′′(r)z ′(r)− k ′(r)z ′′(r)).
José Luis Teruel Carretero (UGR) Un teorema tipo E�mov para grafos en M2 × R.Doctorado en Matemáticas 12 /
15
Ejemplo de existencia.
Sea M2 vista como R2 con la métrica inducida 〈·, ·〉 = dρ2 + G (ρ)dθ2, lacual está bien de�nida en R2 \ {(0, 0)}, donde (ρ, θ) son las coordenadas
polares usuales de R2.
Sea Σ una super�cie de rotación en M2 × R parametrizada por
Ψ(r , θ) =(k(r) cos(θ), k(r) sin(θ), z(r)
)≡(k(r), θ, z(r)
)donde k(r) > 0 y z(r) son funciones diferenciables, y r denota el
parámetro longitud de arco de la curva generatriz de Σ, es decir
β(r) = Ψ(r , 0).
La métrica inducida en nuestra super�cie viene dada por
ds2 = dr2 + G(k(r)
)dθ2, y la curvatura extrínseca del grafo es
Kext = −z ′(r)Gρ
(k(r)
)2G(k(r)
)(k ′′(r)z ′(r)− k ′(r)z ′′(r)).
José Luis Teruel Carretero (UGR) Un teorema tipo E�mov para grafos en M2 × R.Doctorado en Matemáticas 12 /
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Ejemplo de existencia.
Sea M2 vista como R2 con la métrica inducida 〈·, ·〉 = dρ2 + G (ρ)dθ2, lacual está bien de�nida en R2 \ {(0, 0)}, donde (ρ, θ) son las coordenadas
polares usuales de R2.
Sea Σ una super�cie de rotación en M2 × R parametrizada por
Ψ(r , θ) =(k(r) cos(θ), k(r) sin(θ), z(r)
)≡(k(r), θ, z(r)
)donde k(r) > 0 y z(r) son funciones diferenciables, y r denota el
parámetro longitud de arco de la curva generatriz de Σ, es decir
β(r) = Ψ(r , 0). La métrica inducida en nuestra super�cie viene dada por
ds2 = dr2 + G(k(r)
)dθ2,
y la curvatura extrínseca del grafo es
Kext = −z ′(r)Gρ
(k(r)
)2G(k(r)
)(k ′′(r)z ′(r)− k ′(r)z ′′(r)).
José Luis Teruel Carretero (UGR) Un teorema tipo E�mov para grafos en M2 × R.Doctorado en Matemáticas 12 /
15
Ejemplo de existencia.
Sea M2 vista como R2 con la métrica inducida 〈·, ·〉 = dρ2 + G (ρ)dθ2, lacual está bien de�nida en R2 \ {(0, 0)}, donde (ρ, θ) son las coordenadas
polares usuales de R2.
Sea Σ una super�cie de rotación en M2 × R parametrizada por
Ψ(r , θ) =(k(r) cos(θ), k(r) sin(θ), z(r)
)≡(k(r), θ, z(r)
)donde k(r) > 0 y z(r) son funciones diferenciables, y r denota el
parámetro longitud de arco de la curva generatriz de Σ, es decir
β(r) = Ψ(r , 0). La métrica inducida en nuestra super�cie viene dada por
ds2 = dr2 + G(k(r)
)dθ2, y la curvatura extrínseca del grafo es
Kext = −z ′(r)Gρ
(k(r)
)2G(k(r)
)(k ′′(r)z ′(r)− k ′(r)z ′′(r)).
José Luis Teruel Carretero (UGR) Un teorema tipo E�mov para grafos en M2 × R.Doctorado en Matemáticas 12 /
15
Ejemplo de existencia.
Por ser r el parámetro arco de la generatriz se veri�ca
k ′(r)2 + z ′(r)2 = 1.
Si derivamos la ecuación anterior, la ecuación de la curvatura extrínseca del
grafo se puede reescribir así
k ′′(r) = −2G(k(r)
)Gρ
(k(r)
)Kext .
Tomemos ahora, por ejemplo, la función G (ρ) = ρ4eρ4e impongamos que
la curvatura extrínseca de Σ sea constantemente −1.Bajo estas condiciones, la ecuación anterior se transforma en la siguiente
EDO para k
k ′′(r) =k(r)
2 (1 + k(r)4)
Sea ahora k(r) una solución de la última EDO, con las condiciones iniciales
k(0) = k0 > 0, k ′(0) = 0, donde k0 es positivo.
José Luis Teruel Carretero (UGR) Un teorema tipo E�mov para grafos en M2 × R.Doctorado en Matemáticas 13 /
15
Ejemplo de existencia.
Por ser r el parámetro arco de la generatriz se veri�ca
k ′(r)2 + z ′(r)2 = 1.
Si derivamos la ecuación anterior, la ecuación de la curvatura extrínseca del
grafo se puede reescribir así
k ′′(r) = −2G(k(r)
)Gρ
(k(r)
)Kext .
Tomemos ahora, por ejemplo, la función G (ρ) = ρ4eρ4e impongamos que
la curvatura extrínseca de Σ sea constantemente −1.Bajo estas condiciones, la ecuación anterior se transforma en la siguiente
EDO para k
k ′′(r) =k(r)
2 (1 + k(r)4)
Sea ahora k(r) una solución de la última EDO, con las condiciones iniciales
k(0) = k0 > 0, k ′(0) = 0, donde k0 es positivo.
José Luis Teruel Carretero (UGR) Un teorema tipo E�mov para grafos en M2 × R.Doctorado en Matemáticas 13 /
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Ejemplo de existencia.
Por ser r el parámetro arco de la generatriz se veri�ca
k ′(r)2 + z ′(r)2 = 1.
Si derivamos la ecuación anterior, la ecuación de la curvatura extrínseca del
grafo se puede reescribir así
k ′′(r) = −2G(k(r)
)Gρ
(k(r)
)Kext .
Tomemos ahora, por ejemplo, la función G (ρ) = ρ4eρ4e impongamos que
la curvatura extrínseca de Σ sea constantemente −1.
Bajo estas condiciones, la ecuación anterior se transforma en la siguiente
EDO para k
k ′′(r) =k(r)
2 (1 + k(r)4)
Sea ahora k(r) una solución de la última EDO, con las condiciones iniciales
k(0) = k0 > 0, k ′(0) = 0, donde k0 es positivo.
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Ejemplo de existencia.
Por ser r el parámetro arco de la generatriz se veri�ca
k ′(r)2 + z ′(r)2 = 1.
Si derivamos la ecuación anterior, la ecuación de la curvatura extrínseca del
grafo se puede reescribir así
k ′′(r) = −2G(k(r)
)Gρ
(k(r)
)Kext .
Tomemos ahora, por ejemplo, la función G (ρ) = ρ4eρ4e impongamos que
la curvatura extrínseca de Σ sea constantemente −1.Bajo estas condiciones, la ecuación anterior se transforma en la siguiente
EDO para k
k ′′(r) =k(r)
2 (1 + k(r)4)
Sea ahora k(r) una solución de la última EDO, con las condiciones iniciales
k(0) = k0 > 0, k ′(0) = 0, donde k0 es positivo.
José Luis Teruel Carretero (UGR) Un teorema tipo E�mov para grafos en M2 × R.Doctorado en Matemáticas 13 /
15
Ejemplo de existencia.
Por ser r el parámetro arco de la generatriz se veri�ca
k ′(r)2 + z ′(r)2 = 1.
Si derivamos la ecuación anterior, la ecuación de la curvatura extrínseca del
grafo se puede reescribir así
k ′′(r) = −2G(k(r)
)Gρ
(k(r)
)Kext .
Tomemos ahora, por ejemplo, la función G (ρ) = ρ4eρ4e impongamos que
la curvatura extrínseca de Σ sea constantemente −1.Bajo estas condiciones, la ecuación anterior se transforma en la siguiente
EDO para k
k ′′(r) =k(r)
2 (1 + k(r)4)
Sea ahora k(r) una solución de la última EDO, con las condiciones iniciales
k(0) = k0 > 0, k ′(0) = 0, donde k0 es positivo.José Luis Teruel Carretero (UGR) Un teorema tipo E�mov para grafos en M2 × R.
Doctorado en Matemáticas 13 /15
Ejemplo de existencia.
? De la unicidad del PVI anterior, k es una función par.
? De la EDO, k veri�ca
k ′(r)2 = c0 +1
2arctan
(k(r)2
).
Si tomamos k0 > 0 su�cientemente pequeño, se tiene que |k ′(r)| < 1
para todo r ∈ R. Entonces, por la ecuación del parámetro arco, z(r)es una función diferenciable que está bien de�nida en R.
? Como k es positiva alrededor del 0, de la EDO se deduce que k ′′ tienesigno positivo y por lo tanto es una función globalmente convexa,
luego k(r) ≥ k(0) = k0 > 0 para todo r ∈ R y entonces Σ está
propiamente inmersa en M2 × R.? Como k(r) ≥ k0 > 0 para todo r ∈ R, podemos cambiar la métrica
〈·, ·〉 por ejemplo para 0 ≤ ρ < k02, y tendríamos una métrica completa
en M2 bien de�nida en el origen y tal que Σ preserva la misma métrica
inducida.
? Como Σ está propiamente inmersa, entonces Σ es una super�cie
completa con Kext ≡ −1 < 0.
José Luis Teruel Carretero (UGR) Un teorema tipo E�mov para grafos en M2 × R.Doctorado en Matemáticas 14 /
15
Ejemplo de existencia.
? De la unicidad del PVI anterior, k es una función par.
? De la EDO, k veri�ca
k ′(r)2 = c0 +1
2arctan
(k(r)2
).
Si tomamos k0 > 0 su�cientemente pequeño, se tiene que |k ′(r)| < 1
para todo r ∈ R. Entonces, por la ecuación del parámetro arco, z(r)es una función diferenciable que está bien de�nida en R.
? Como k es positiva alrededor del 0, de la EDO se deduce que k ′′ tienesigno positivo y por lo tanto es una función globalmente convexa,
luego k(r) ≥ k(0) = k0 > 0 para todo r ∈ R y entonces Σ está
propiamente inmersa en M2 × R.? Como k(r) ≥ k0 > 0 para todo r ∈ R, podemos cambiar la métrica
〈·, ·〉 por ejemplo para 0 ≤ ρ < k02, y tendríamos una métrica completa
en M2 bien de�nida en el origen y tal que Σ preserva la misma métrica
inducida.
? Como Σ está propiamente inmersa, entonces Σ es una super�cie
completa con Kext ≡ −1 < 0.
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Ejemplo de existencia.
? De la unicidad del PVI anterior, k es una función par.
? De la EDO, k veri�ca
k ′(r)2 = c0 +1
2arctan
(k(r)2
).
Si tomamos k0 > 0 su�cientemente pequeño, se tiene que |k ′(r)| < 1
para todo r ∈ R. Entonces, por la ecuación del parámetro arco, z(r)es una función diferenciable que está bien de�nida en R.
? Como k es positiva alrededor del 0, de la EDO se deduce que k ′′ tienesigno positivo y por lo tanto es una función globalmente convexa,
luego k(r) ≥ k(0) = k0 > 0 para todo r ∈ R y entonces Σ está
propiamente inmersa en M2 × R.
? Como k(r) ≥ k0 > 0 para todo r ∈ R, podemos cambiar la métrica
〈·, ·〉 por ejemplo para 0 ≤ ρ < k02, y tendríamos una métrica completa
en M2 bien de�nida en el origen y tal que Σ preserva la misma métrica
inducida.
? Como Σ está propiamente inmersa, entonces Σ es una super�cie
completa con Kext ≡ −1 < 0.
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Ejemplo de existencia.
? De la unicidad del PVI anterior, k es una función par.
? De la EDO, k veri�ca
k ′(r)2 = c0 +1
2arctan
(k(r)2
).
Si tomamos k0 > 0 su�cientemente pequeño, se tiene que |k ′(r)| < 1
para todo r ∈ R. Entonces, por la ecuación del parámetro arco, z(r)es una función diferenciable que está bien de�nida en R.
? Como k es positiva alrededor del 0, de la EDO se deduce que k ′′ tienesigno positivo y por lo tanto es una función globalmente convexa,
luego k(r) ≥ k(0) = k0 > 0 para todo r ∈ R y entonces Σ está
propiamente inmersa en M2 × R.? Como k(r) ≥ k0 > 0 para todo r ∈ R, podemos cambiar la métrica
〈·, ·〉 por ejemplo para 0 ≤ ρ < k02, y tendríamos una métrica completa
en M2 bien de�nida en el origen y tal que Σ preserva la misma métrica
inducida.
? Como Σ está propiamente inmersa, entonces Σ es una super�cie
completa con Kext ≡ −1 < 0.
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Ejemplo de existencia.
? De la unicidad del PVI anterior, k es una función par.
? De la EDO, k veri�ca
k ′(r)2 = c0 +1
2arctan
(k(r)2
).
Si tomamos k0 > 0 su�cientemente pequeño, se tiene que |k ′(r)| < 1
para todo r ∈ R. Entonces, por la ecuación del parámetro arco, z(r)es una función diferenciable que está bien de�nida en R.
? Como k es positiva alrededor del 0, de la EDO se deduce que k ′′ tienesigno positivo y por lo tanto es una función globalmente convexa,
luego k(r) ≥ k(0) = k0 > 0 para todo r ∈ R y entonces Σ está
propiamente inmersa en M2 × R.? Como k(r) ≥ k0 > 0 para todo r ∈ R, podemos cambiar la métrica
〈·, ·〉 por ejemplo para 0 ≤ ρ < k02, y tendríamos una métrica completa
en M2 bien de�nida en el origen y tal que Σ preserva la misma métrica
inducida.
? Como Σ está propiamente inmersa, entonces Σ es una super�cie
completa con Kext ≡ −1 < 0.
José Luis Teruel Carretero (UGR) Un teorema tipo E�mov para grafos en M2 × R.Doctorado en Matemáticas 14 /
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Ejemplo de existencia.
Muchas gracias por su atención.
José Luis Teruel Carretero (UGR) Un teorema tipo E�mov para grafos en M2 × R.Doctorado en Matemáticas 15 /
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