Post on 09-Feb-2020
✓ Modelo heterogéneo de un reactor tubular de lecho fijo, C10 Carberry
✓ Básicamente, la estrategia consiste en modelar por separado los procesos que ocurren en fluido y en el sólido, y relacionar esos procesos mediante la(s) correspondiente(s) transferencia(s) en la interfase (gradientes de largo alcance).
k
k
Sistema Heterogéneo Reactor tubular de lecho fijo
✓ Modelo “general” de un reactor tubular de lecho fijo: tubo cilídrico empacado con partículas porosas, en las cuales se lleva a cabo una reacción química en condiciones no-isotérmicas no-adiabáticas, y con resistencia al transporte de masa y energía tanto en la interfase como en la intrafase de las partículas; las paredes del tubo no permiten el transporte de masa (no interfase de masa), pero si permiten el transporte de energía. ✓ Se modelan (ecuaciones explícitas) los procesos que pueden ocurrir en la fase fluida (bulk) y en las partículas porosas. ✓ Las fases fluida y sólida se relacionan a través de los términos de la rapidez de reacción RC y de liberación (absorción) de energía q que ocurren en la fase sólida y que se intercambian con la fase fluida… expresando todo en términos medibles. ✓ Esto implica el concurso de una cantidad considerable de parámetros. ✓ Indicar los parámetros más importantes implicados en dichos sistema. ✓ Señalar algunas simplificaciones.
2
2 ... (10-1)rz z c
DC C C CU D r Rt z z r r r
∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎡ ⎤+ − − =⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦
Reactor tubular de lecho fijo, empacado con pastillas “planas”
2
2 ... (10-2)rP P z P z P
KT T T TC C u C K C r qt z z r r r
ρ ρ ρ ρ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎡ ⎤+ − − =⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦
Balance de energía en el fluido:
# RC es la rapidez de reacción; q es el calor implicado en el desarrollo de la reacción; la reacción ocurre en las partículas catalíticas; el modelado de dichos términos describe el comportamiento del sólido. # Los términos del lado izquierdo de dichas ecuaciones describen el comportamiento de la fase fluida.
Balance de masa en el fluido:
2
20 0 0
1 ... (10-3)a a cD D Rf f f frZ Z u z Z u Cr r r
θτ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎡ ⎤+ − − =⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦
Para expresar las ecuaciones de conservación en forma adimensional se utilizaron las siguientes variables adimensionales:
20
20 0 0 0
1 ... (10-4)a r
p
K ZKt t T T qrZ Z u z R u R C Tr r r
θτ ρ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎡ ⎤+ − − =⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦
Balance de energía:
; ; ; 0 0 0 0
p p 0
Z R Z Zn m Ad d R u
θ= = = =
; ; ; ; 0 0 0 0
C T R Z tf t r zC T R Z
τθ
= = = = =
Balance de masa:
2
20
1 1 ... (10-6)c
a r
Rf f f A frZ Pe n z Pe m Cr r r
θτ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎡ ⎤+ − − =⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦
Definiendo los números de Peclet en términos del diámetro dp de la partícula catalítica (pastilla) se tiene:
2
20
1 1 ... (10-7)a r p
t t T A T qrZ z C TPe n Pe m r r r
θτ ρ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎡ ⎤+ − − =⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦
masa: ; ; energía: ; p p p pa ra r
a r a r
d u d u d u d uPe Pe Pe Pe
D D K K= = = =
Por lo tanto, los balances de masa y energía adimensionales quedan:
... (10-5)p p p0 0 0a
a a p a p a
d d u d uZ u Z u Z n Pe nD D d D d D
⇒ = = = =
y: ... (10-5)p p0 0 0 0 0 0r
r 0 r 0 p r 0 p
d d uR u R R u R R R mPeD Z D Z d D Z d A
= = =
2
20
1 1 c
a r
Rf f A frZ Pe n z Pe m Cr r r
θ∂ ∂ ∂ ∂⎡ ⎤− − =⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦2
20
1 1a r p
t T A T qrZ z C TPe n Pe m r r r
θρ
∂ ∂ ∂ ∂⎡ ⎤− − =⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦
En condiciones de estado estacionario, los balances de masa y energía adimensionales para el sistema en cuestión son:
Las condiciones límite son: A la entrada del reactor:
0 0
1 1en: 0 1 y: 1 ... (10-8)aZ Za
f tZ f tPe n Z ZPe n= =
∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠A la salida del reactor:
en: 1 0 y: 0 ... (10-8)f tZZ Z∂ ∂= = =∂ ∂
Continúan las condiciones límite: En el centro del tubo (eje axial), por simetría se tiene:
En la pared del reactor: 1 para masa: 0frr
∂= =∂
en: 0 0 y: 0 ... (10-9)f trr r
∂ ∂= = =∂ ∂
0 ... Biot en la pared ... (10-11)wr p
UR BiK Cρ
=
0como: y: y: pr rw
r p p
d u R UPe m St Bi StPe mK d u Cρ
= = = ⇒ =
St es el número de Stanton para la transferencia global de calor pared del reactor:
( )0
energía: r p cR R
TK C U T TR
ρ=
∂⎛ ⎞ = −⎜ ⎟∂⎝ ⎠
( )0
1
energía adimensional: ... (10-10)cr r p
URt t tK Cr ρ=
∂⎛ ⎞ = −⎜ ⎟∂⎝ ⎠
Parámetros de la reacción… el sólido El lados derecho de (10-1) y (10-2) expresan la naturaleza y magnitud de la rapidez de reacción global Rc y el calor generado (consumido) q asociado a dicha rapidez de reacción. Asumiendo que la reacción se lleva a cabo en un catalizador constituido por un agente activo (“X”) soportado en un material poroso; entónces, la rapidez de reacción global Rc puede estar afectada por problemas de transporte de masa y/o energía en la interfase y/o en la intrafase del catalizador. Suponiendo, además, que la reacción sea de primer orden e irreversible, la rapidez de reacción global sería:
... (10-12)1
c
g
kCR kk a
η
η=
+
Donde C es la concentración de la especie de interés en la fase fluida.
Como el sistema esta en estado estacionario, debe haber continuidad en la transferencia de masa y de energía entre la fase fluida y la interfase:
( )masa: ... (10-13)c g sR k a C C= −
Normalizando y poniéndolas en términos adimensionales:
( )0
masa: ... (10-14)cg s
R k a f fCθ θ= −
( )0
energía: ... (10-15)sp p
q ha t tC T Cθ θ
ρ ρ= −
Para poner a fs y Ts en términos conocidos, se analiza la intrafase. El reactor esta empacado con pastilla planas y es ahí, en la intrafase, en donde se llevan a cabo los procesos de reacción y difusión:
2
2masa: ... (10-16)nd CD kCdx
=
( )2
2energía: ... (10-16)nd T H kCdx
λ = −Δ
( )energía: ... (10-13)sq ha T T= −
Normalizando respecto a la composición y temperatura en la fase fluida Cb y Tb ; y expresando los balances de masa y de energía en términos adimensionales se tiene:
122
21masa: exp 1 ... (10-17)
nnb b
sk Cd f L fD td z
ε− ⎡ ⎤⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
( ) 2 12
21energía: exp 1 ... (10-18)
nb nb b
sb
H DC L k Cd t fT D td z
ελ
−−Δ ⎡ ⎤⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
Combinando (10-17) y (10-18) mediante el término de reacción: kCn se obtiene la forma adimensional de la temperatura de Prater:
( )1 ... (10-19)c st f fβ= + −
( )donde: número de Prater ... (10-20)b ad
b b
H DC TT T
βλ
−Δ Δ= = =
Las condiciones frontera de las ecuaciones de continuidad (balances) de masa y de energía en términos adimensionales son: En el centro de la pastilla, como hay simetría:
masa: 0 ... (10-21)dfd z
= energía: 0 ... (10-21)dtd z
=
En la superficie externa de la pastilla se cumple que hay continuidad, por lo tanto el flux que sale (entra) de la intrafase debe ser igual al flux que entra (sale) a la interfase:
( ) ( )masa: ... energía: a b s s bdC dTD k C C h T Tdx dx
λ− = − − = −
Expresándolas términos adimensionales y rerreglando se tiene: 1masa: ... (10-22) donde: ´gs
s b mb m
k LC dff f Bi ShC Bi Dd z
= = − = =
1energía: ... (10-23) donde: ´ss b h
b h
C dt hLt t Bi NuC Bi d z λ
= = − = =
Combinando las ecuaciones 10-22 y 10-23 con las 10-14 y 10-15, respectivamente, se obtienen las expresiones de RC y q (rapidez reacción y liberación (o consumo) de energía , respectivamente) en términos medibles:
20
masa: ... (10-24)g
m
k aR df D dfC Bi Ld z d z
θθ θ= − = −
20
energía: ... (10-24)p p h
q ha dt dtC T C Bi Ld z d zθ θ θλ
ρ ρ= − = −
El factor a es la relación área/volumen de la partícula; para una pastilla plana es:
1aL
=
En términos no adimensionales se tendría::
masa: ... energía: ... (10-25)dC dTR aD q adx dx
λ= − = −
Por otro lado, de acuerdo con la definición de factor de efectividad global (interfase e intrafase):
0 (́ , , )bulk
dCaDdx
f k C Tη
−=
Suponiendo que la reacción es de primer orden e irreversible, y que el reactor esta empacado con pastillas porosas (interfase e interfase) y que opera no-isotérmicamente se tiene que el factor de efectividad sería:
como: dCaD Rdx
− = 0 (́ , , ) ... (10-26)bulkR f k T Cη⇒ =
( )como: q H R= −Δ ( ) 0 (́ , , ) ... (10-27)bulkq H f k T Cη⇒ = −Δ
0 ... (10-28)1
g
kk a
ηηη
=+
( )0 ´́ , , , , ,m hf Da Bi Biη φ β ε=
En términos adimensionales:
( )0 0
, , , , , ... (10-29)m hR g Da Bi BiC Cθ θ φ β ε=
00 0
(́ , , )bulkR f k T CC Cθ θ η=
0 0
... (10-30)p
q RC T Cθ θ β
ρ=
es el cambio de temperatura adiabático globalβ
De esta manera han quedado los términos de la rapidez de reacción RC y de liberación (absorción) de energía q que la fase fluida intercambia con la partícula catalítica en términos medibles, y son los quiénes toman en cuenta el comportamiento de la reacción en las pastillas catalíticas.
Parámetros adimensionales Algunos comentarios…: 1.- De la fase fluida (bulk)… interpartícula…
convección axialdispersión axial
pa
a
d uPe
D= =
convección axialdispersión axial
pa
a
d uPe
λ= =
convección axialdispersión radial
pr
r
d uPe
D= =
convección axialdispersión radial
pr
r
d uPe
λ= =
longitud lechonúmero de apariencia axialdiámetro partículap
Znd
= = =
0 radio lechonúmero de apariencia radialdiámetro partículap
Rmd
= = =
0
longitud lechonúmero de apariencia reactor globalradio tubo
ZAR
= = =
teimpo realtiempo adimensionaltiempo residencia
tτθ
= = =
Parámetros adimensionales (continúa) Algunos comentarios…: 1.- De la fase fluida (bulk)… interpartícula…
0 grad. Temp. centro lechonúmero de Biot en la paredgrad. Temp película paredw
p r
URBiC Kρ
= = =
( )1
0 01
número Damköhlern
g
k CDak
−
= =
0
número Arrhenius ERT
ε = =
( ) 0
0 0
cambio adiabático de temp. adimensional ad
p
H C TC T T
βρ−Δ Δ= = =
Parámetros adimensionales 1.- De la pastilla… interfase e intrafase…
1rapidez reacción superficiemódulo de Thielerepidez difusión intrafase
n
i
kL CD
φ −= = =
transf. masa interfasenúmero Biot masa localtransf. masa intrafase
g Intram
i Inter
k L CBiD C
Δ= = = =Δ
transf. calor interfasenúmero Biot calor localtransf. calor intrafase
Intrah
Inter
ThLBiTλ
Δ= = = =Δ
( ), Re, Pr, Scgk h f=flujo convectivoRe número Reynolds
flujo viscosopd uν
= = =
difusión momentumPr número Prandtldifusión térmicafK
ν= = =
difusión momentumSc número Schmidtdifusión masafD
ν= = =
Parámetros adimensionales (continúa) 1.- De la pastilla… interfase e intrafase…
( ) 0
0
número Prater intrafase adiab. dif. temp. normalizadaH C DT
βλ
−Δ= = =
número Arrheniusb
ERT
ε = =
Naturaleza de los parámetros # Los parámetros que gobiernan los eventos globales (interpartícula) y locales (interfase e intrafase) que ocurren en el reactor de lecho fijo se dividen en dos tipos: 1) químicos: los que están relacionados con el desarrollo de la reacción (reacciones) química en las interfase e intrafase (locales); y 2) físicos los que representan a las propiedades de la interpartícula (globales), y que son prácticamente independientes de la reacción química.
Parámetros químicos (locales) …interfase e intrafase…
número Arrheniusb
ERT
ε = =
( )1
0 01
número Damköhlern
g
k CDak
−
= =
( ) 0
0 0
cambio adiabático de temp. adimensional ad
p
H C TC T T
βρ−Δ Δ= = =
1rapidez reacción superficiemódulo de Thielerepidez difusión intrafase
n
i
kL CD
φ −= = =
( ) 0
0
número Prater intrafase adiab. dif. temp. normalizadaH C DT
βλ
−Δ= = =
número Arrheniusb
ERT
ε = =
( ) 0
0
número Prater intrafase adiab. dif. temp. normalizadaH C DT
βλ
−Δ= = =
No hay rangos para el módulo de Thiele φ porque contempla el diámetro de la partícula, el cual cambia mucho de proceso a proceso
Parámetros físicos (globales) …interpartícula… Los números de: Pe, Bi, Sc, Re; y los números de apariencia: n, m, A. Carberry tiene un discusión de cómo se obtienen los coeficientes de difusividad, y los valores límite de los números de Pe (Cap. 4). Algunos valores típicos son los siguientes:
Parámetro Peam Perm Peah Peah n m Valor 1 a 2 8 a 12 - 5 a 10 >150 2 a 20
longitud lechonúmero de apariencia axialdiámetro partículap
Znd
= = =
0 radio lechonúmero de apariencia radialdiámetro partículap
Rmd
= = =
Con n>150 y m=5 se puede suponer que la dispersión axial es despreciable (no hay retromezclado) y que el gradiente radial es pequeño… casi flujo tapón.
Conclusiones # La descripción detallada (modelado) de un reactor tubular de lecho empacado con partículas porosas en donde se lleva a cabo una reacción química, en condiciones no-isotérmicas no-adiabáticas, cuando existen problemas de transporte de masa y energía en la interfase y en la intrafase, implica el conocimiento de una cantidad considerable de parámetros. # La solución del modelo es numérica. # El escalamiento (laboratorio a planta piloto) no puede hacerse con base (únicamente) en el valor de los números (grupos) adimensionales.