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Trabajo de trigonometria primer Quinquimetres
Juan Diego rodriguez
14 de Enero de 2013
juan diego_11@hotmail.com
Demostrar que las suguientes igualdades son iden-tidades
1 ejercicio tgx senx + cosx = secx
1.1 Demostacion Analiticasenxcosx sen x + cos x = sec x
sen2
cosx+ cos = sec x
sen2+cos2xcosx = secx
1cosx= secx
sec x = sec
1.2 Demostacion Grafica
1
2 ejercico ctgx - secx cscx (1 - 2 sen2x) = tgx
2.1 Demostacion Analiticacosxsenx - 1
cosx - 1senx (1- sen2x) = tg x
cos2−senxcosx+senxcosx(1−2sen2xsenxcosx = tg x
cos2x(1−2sen2x)sexcosx = tg x
cos2−(1−2(1−cos2))senxcosx = tg x
cos2x(1−2+2−cos2)senxcox = tgx
cos2x−1+2−2cos2senxcosx = tg x
1−cos2xsenxcosx= tg x
sen2xsenxcosx= tg xsexcosx= tg x
tgx= tgx
2.2 Demotracion Grafica
3 Ejercico (tg x + ctg x) sen x cos x = 1
3.1 Demotracion Analitica( senxcosx+ cosx
senx ) sen x cos x
(sen2xcos2x)senxcosxsenxcosx = 1
sen2x cos2x = 1
1 = 1
2
3.2 Demotracion Grafica
4 Ejercico seny1+cosy = 1−cosy
seny
4.1 Denotracion Analiticaseny
sen2ycos2y+cosy= 1−cosyseny
1senycos2y+cosy= 1−cosy
seny
sen2cos2
senycos2y+cosy= 1−cosyseny
(1−cos2y)cos2ysenycos2+cosy = 1−cosy
seny
1−cos2ysenycosy= 1−cosy
seny
1−cosyseny = 1−cosy
seny
4.2 Demotacion Grafica
3
5 Ejercico tg x sen x cos x + sen x cos x ctg x=1
5.1 Demostacion Analiticatg x sen x cos x + sen x cos x ctg x =1senxcosx sen x cos x + senx cos x cosx
senx=
sen2+ cos2x = 1
5.2 Demostracion Grafica
6 Ejercicio cts2x = cos2+(ctg x cos)2
6.1 Demostacion Analiticacos2xsen2x=cos2x + ( cosxsenxcosx)2
cos2
sen2 = cos2x + cos4xsen2x
cos2
sen2 = sen2x+cos4
sen2x
cos2x = cos2x (cos2x + sen2x)
1=(cos2x+sen2x)
6.2 Demostracion Grafica
4
7 Ejercicio (sec y + csc y) (1-ctg y) = (sec y -csc y ) (1 + ctg y)
7.1 Demotacion Analitica(sec y + csc y)(1- ctg y ) = (sec y -csc y)(1+ctg y)
Secy+Cscy-SecyCtgy-CscyCtgy=Secy+SecyCtgy-Cscy-CscyCtgy
1cosy+ 1
seny+ 1cosy ·
cosyseny - 1
seny ·cosyseny - 1
seny - 1seny ·
cosysen2y
1cosy+ 1
sen - 1seny - cosysen2 = 1
cosy - cosysen2y
1cosy - cosysen2y= 1
cosy - cosysen2y
7.2 Demotracion Grafica
8 Ejercicio sen2z + cos2 z ctg z + 2sen z cos z =tg z + ctg z
8.1 Demotracion Analiticasen2z tg z + cos2z ctgz+2sen z cos z = tgz + ctgz
5
sen2z· senzcosz ·cos2z · coszsenz+2 ·senz cosz= senzcosz+ cosz
senz
sen4z + cos4z +2sen2zcos2z= sen2z+cos2z
sen4z+cos4z+2sen2cos2zcoszsenz - sen
2z+cos2zcoszsenz
(sen2+cos2z)2= 1
(1)2= 1
1 = 1
8.2 Demostracio Grafica
9 Ejercicio sen3x + cos3x = (sen x+cos x ) (1-sen x cos x)
9.1 Demostracion Analiticasin3x + cos3x = (sin x + cos x ) (1- sin x cos x)
sin3x + cos3x = sin x - sin2x cos x - (sin x - cos2)
sin3x + cos3 x = sin x (1-cos2 x) + cos x(1-sin2 x)
sin2 x + cos3 x = sin x (1-cos2 x) + cos x (1-sin2 x)
sin3 x + cos3 x = sin x sin2 x + cos x cos2 x
sin3 x + cos3 x = sin3 x + cos3 x
6
9.2 Demostracion Grafica
10 Ejercicio sen6x+ cos6x= sen4x- sen 2x cos2x
10.1 Demotracion Analiticasen6 x+cos6 x=sen4 x+cos4 x-1
1=sen4 x+cos4 x-sen6 x-cos6 x
1=-(sen2 x-cos6 x)
1=(sen2 x+cos2 x)
1=1
10.2 Demostracion Grafica
11 Ejercicio sen B tg2B + csc B sec2B = 2 tg Bsec + csc B- sen B
11.1 Demostracion AnaliticasenB sen3B
cosB + 1senB+ 1
cos2B=2 ( senBcosB )( 1cosB )− senB
sen3
cos2 + 1senBcos2B= 2 ( senBcosB )+( 1−sen
2B)senB )
sen2+1senBcos2B=( 2senBcos2B )+( 1−sen
2BsenB )
sen2BsenBcos2B=( 2sen
2B+1−sen2Bcos2Bcos2BsenB )
7
sen2BsenBcos2B= ( 2sen
2B+1−1cos2BsenB )
sen2BsenBcos2 =( sen2B
cos2BsenB )
11.2 Demotracion Grafica
12 Ejercicio cos (x+y) cos (x-y) = cos2x - sen2y
12.1 Demotracion Analiticacos(senx cosy-cosx seny)cos(cosx cosy+senx seny)=cos2 x-sen2 y
(senx cos2- x-cos2 xseny)(cos2 xcos2 y+senxseny)=cos2 x-sen2 y
senxcos4 ycos2 x+sen2 xseny cos2 y-cos4 xcos2 y seny-cos2 xsenx sen2 y=cos2x-sen2 y
senx cos2 x cos4 y+sen4 x seny cos2 y-senycos2 y cos2 y-senx sen2 ycos2x=cos2 x-sen2 y
12.2 Demotracio Grafica
8
13 Ejercico sen (A+B) sen (A-B) = cos2B cos2A
13.1 Demotracion Analitica(sen2 A cosB+cosA senB)(senA cosB-cosA senB)=cos2 B-cos2 A
sen2Acos2-A-senAcosBcosBsenB+senAcosBsenB-sen2 B=cos2 B-cos2
sen2 A-sen2 B=cos2 B-cos2 A
13.2 Demostracio Grafica
14 Ejercico cos(x−y)cos(x+y)=
1+tgx∗tgy1−tgx∗tgy
14.1 Demotracion Analiticacosxcosy+senxsenycosxcosy−senxseny=
senxcosx−
senycosy
1− senxcosx + seny
cosy
cosxcosy+senxsenycosxcosy−senxseny=
1+ senxycosxy
1− senxycosxy
cosxy+senxycosxy−senxy=
cosy+senycosy
cosxy−senxycosxy
cosxy+senxycosxy−senxy= cos2xy+senxycosxy
cos2xy−cosxseny
14.2 Demostracion Grafica
9
15 Ejercicio tg A - tg B = senABcosAcosB
15.1 Demotracion AnaliticatanA - tanB = senA−b
cosA−B
senAcosA - senBcosA
cosAcosB= sen(A−BcosAcosB
senAcosB−cosAsenBcosAcosB = senAcosB−cosBsenA
cosAcosB
1=1
15.2 Demostracion Grafica
16 Ejercicio cos x sen(y-z)+cosy sen(z-x)+coszsen(x-y)=0
16.1 Demotracion Analiticacos x (sen x cos z - cos z sen ycos z)+cos y (sen z cos x-cos z sen x+cos z)sen xcos y-cos y-cos x sen y = 0
cos x sen y cos x-cos x sen y cos z+cos x sen y sen z-sen x cos z = 0 sen x cosy cos z-cos x sen y cos z = 0
10
16.2 Demostracion Grafica
17 Ejercicio Ctg2x=cos2x +(ctg x cos x)2
17.1 Demotracion Analiticacos2xsen2x=cos2x +( cosxsenxcosx)
cos2
sen2x=cos2x + cos4
sen2x
cos2
sen2x= sen2xcos2x+cos4xsen2x
cos2x = cos2x (cos2x+sen2x)
1= (cos2x +sen2x)
1=1
17.2 Demostracion Grafica
18 Ejercicio tg(θ−φ)+tgφ1−tg(θ−φ)tgφ =tg θ
18.1 Demotracion Analiticatgφ
1−tg(θ−φ)tgφ= tg φ
1tgθ+tgφ= tgφ1
tg2φ=tgφ- tgφ
1tg2φ= tg2φ
1
11
18.2 Demostracion Grafica
19 Ejercicio tan x = sen2x1+cos20
19.1 Demotracion Analiticatan x = 2senxcosx
sen2x+cos2x+cos22x−sen22x
tan x = 2senxcosx2cos22x
tan x = sinxcosx
tanx = tanx
19.2 Demostracion Grafica
12
20 Ejercicio cosxsen(y-z)+cosy sen(z-x)+cosz sen(x-y)=0
20.1 Demotracion Analiticacos x(sen ycos z-sen zcos y)+cos y(sen zcos x - sen x cos z)+cos z (sen xcos y -sen y cos x) = 0
cos x sen y cos z - cos x sen z cos y + cos y sen z cos x- cos y sen x cos z + cosz sen x cos y - cos z sen y cos x = 0
cos x sen ycos z - cos x sen z cos y + cos y sen z cos x - cos y sen x cos z + cosz sen x cos y - cos z sen y cos x = 0
20.2 Demostracion Grafica
13
21 Ejercicio cos5α cos4α+sen5α sen4α = cosα
21.1 Demotracion Analiticacos(x-y)= cos
cos(5-4) =cos
cos(1)-cos
cos=cos
21.2 Demostracion Grafica
22 Ejercicio sen(x+75)cos(x-75)-cos(x+75) sen(x-75)=1
2
22.1 Demostracion analiticasen(x+75)cos(x-75)-sen(x-75)cos(x+75) = 1
2
14
sen(x-y) = 12
sen[(x+75)-(x-75)] = 12
sen(150) = 12
12 = 1
2
22.2 Demostracion Grafica
23 Ejercicio: cot x = sen2x1−cos2x
23.1 Demostracion analiticacot x = 2senxcosx
sen22x+cos22x−cos22x+sen22x
cot x = 2senxcosx2sen22x
cot x = cosxsenx
23.2 Demostracion grafica
15
24 Ejercicio: tg x = sen2x1+cos2x
24.1 Demostracion analiticatg x = 2senxcosx
sen2x+cos2x+cos22x−sen22x
tg x = 2senxcosx2cos22x
tg x = senxcosx
tg x = tg x
24.2 Demostracion grafica
25 Ejercicio: (1+sen2x)1−sen2x = ( tgx+1
tgx−1)2
25.1 Demostracion analitica1+2senxcosx1−senxcosx =
sen2xcos2x
+ 2senxcosx +1
sen2xcos2x
− 2senxcosx +1
senx2+2senxcosx+cos2x
cos2xsen2x−2senxcosx+cos2x
cos2x
2senxcosx1−senxcosx = 2senxcosx
1−senxcosx
16
25.2 Demostracion grafica
26 Ejercicio: cos 2x = (2−sec2x)(sec2x)
26.1 Demostracion analitica1
cos2x (2cos2x - 1) = 2 - (1)cos2x
(2cos2x−1)cos2x = (2cos2x−1)
cos2x
26.2 Demostracion grafica
27 Ejercicio: ctg y - tg y = 2 ctg 2y
27.1 Demostracion analiticacosyseny - senycosy = 2( 1
tg2y )
cos2y−sen2ysenycosy = 2( 1
2tgy
1−tg2y
)
cos2y−sen2y
senycosy = 1−tg2ytgy
cos2y−sen2ysenycosy =
1−sen2y
cos2ysenycosy
17
senycosy ( cos
2y−sen2ysenycosy ) = cos2y−sen2y
cos2y
cos2y = cos2y
27.2 Demostracion grafica
28 Ejercicio: 2 csc 2x = sec x csc x
28.1 Demostracion analitica2
sen2x = 1cosx* 1
senx
22senxcosx = 1
cosxsenx
28.2 Demostracion grafica
29 Ejercicio: 1sen2x - 2 = 1
sen2x (2cos2x - 1)
29.1 Demostracion analitica1−2sen2xsen2x = 2cos2x−1
sen2x
18
2 = 2cos2x + 2sen2x
1 = cos2x sen2x
29.2 Demostracion grafica\
30 Ejercicio:cos 2x = cos4x - sen4x
30.1 Demostracion analiticacos 2x = (cos2x + sen2x) (cos2x + sen2x)
cos 2x = 1(cos2x + sen2x)
cos 2x = (cos2x + sen2x)
cos 2x = cos 2x
30.2 Demostracion grafica
31 Ejercicio: tg P + ctg P = 2 csc P
31.1 Demostracion analiticasencosP + 1
tgP = 2 csc P
tg P + tg P = 2 csc P
2 csc P = 2 csc P
19
31.2 Demostracion grafica
32 Ejercicio: cos 2x = 1−tg2x1+tg2x
32.1 Demostracion analiticacos 2x = sen2x+cos2x− senx
cosx
sen2x+cos2x+ senxcosx
cos 2x = sen2x+cos2x+cos2xsen2x+cos2x
cos 2x = cos 2x
32.2 Demostracion grafica
33 Ejercicio: sen 2x = 2tgx1+tg2x
33.1 Demostracion analiticasen 2x = 2tgx
2tg2x
20
sen 2x = 2 sencos x
2( sencos )2x
sen 2x =2senx2cosx4senx4senx
33.2 Demostracion grafica
34 Ejercicio: tg (45 + C) + tg (45 - C) = 2 sec2C
34.1 Demostracion analiticatg 45 + tg C+ tg 45 - tg C = 2 sec 2C
2 tg 45 = 2 sec 2C
2sen452cos45 = 2 sec 2C
12csc45
2cos45 = 2 sec 2C
12csc45(2cos45) = 2 sec 2C
12cos2C = 2 sec 2C
2 sec 2C = 2 sec 2C
34.2 Demostracion grafica
21
35 Ejercicio: tg (45 + x) - tg (45 - x) = 2 tg 2x
35.1 Demostracion analiticatg 45 + tg x - tg 45 + tg x = 2 tg 2x
tg x + tg x = 2 tg 2x
2tg 2x = 2 tg 2x
35.2 Demostracion grafica
36 Ejercicio:cot(45−y)cot(45+y)=
1+2senycosy1−2senycosy
36.1 Demostracion analiticacos(45−y)sen(45−y)cos(45+y)sen(45+y)
= 1+2senycosy1−2senycosy
22
cos45cosy+sen45senysen45cosy−cos45senycos45cosy−sen45senysen45cosy+cos45seny
= 1+2senycosy1−2senycosy
√4
2 (cosy+seny)2√
22 (cosy−seny)2
= 1+2senycosy1−2senycosy
(cosy+seny)2
(cosy−seny)2 = 1+2senycosy1−2senycosy
1+2senycosy1−2senycosy = 1+2senycosy
1−2senycosy
36.2 Demostracion grafica
37 Ejercicio: cos (2x + y) cos (x + 2y) + sen (2x+ y) sen (x + 2y) =cos x cos y + sen x sen y
37.1 Demostracion analiticacos ((2x + y) - (x + 2y)) = cos x cos y + sen x sen y
cos(2x + y -x - 2y) = cos x cos y + sen x sen y
cos (x - y) = cos x cos y + sen x sen y
cos x cos y + sen x sen y = cos x cos y + sen x sen y
37.2 Demostracion grafica
23
38 Ejercicio sen2 x = 14
38.1 Demotracion Analitica
sen=√
14
sen x =(12 )x= arc sen1
2x = 30
39 Ejercicio csc2x = 2
39.1 Demostacion Analiticacsc x =
√2
1sen(x)=
√2
1√2= sen x
x= arc (√22 )
x= 45
40 Ejercicio tg2x -3= 0
40.1 Demostacion Analiticatg2x = 3
tgx =√
3x = arc tg (
√3)
x=-60x=60
41 Ejercicio sec2x - 4=0
41.1 Demotacion Analiticasec2x = 4
sec x=√
41
cosx=√
41
cosx=2
24
12=cosxx=arccos 12x= 60x=120x=240x=360
42 Ejercicio tg 2 x - 3 = 0
42.1 Demostracion Analitica2x = arctg(1)
2x= 45x= 45
2x= 202.5x=-+ 22.5
43 Ejercicio 2 cos 2x +√3=0
43.1 Demotacion Analitica2 cos 2x =
√3
cos 2x =−√3
2
2x= arc cos(−√3
2 )x= arcos (−
√3
2 )x=75x=-75x=255x=-255
44 Ejercicio sen22x = 1
44.1 Demostracion Analiticasen22x =1
sen22x =√
1x= arcsen
√2
x=arcsen√1
2x=45
25
45 Ejercicio ctg2x2=3
45.1 Demostracion Analiticactgx2=
√3
1tang x
2=√
31√3= tanx2
x2=arctang 1√
3
x=2 arctang 1√3
x= 60
46 Ejercico 4cos2 2x -1= 0
46.1 Demostacion Analitica4cos22x=1
cos22x= 14
cos2x=√
14
2x=arc cos√
14
x=arcos√
14
2x=30
47 Ejercicio sec2x2=2
47.1 Demotacion Analiticasecx2=
√2
1cos x
2=cosx2
1√2= cosx2
x2= arccos x√
2
x=2 arccos 1√2
x=90
48 Ejercicio (tg x+ 1)(√3ctg x -1)=0
48.1 Demotacion Analitica(tg x +1 )
[ √3
tg(x) − 1]= 0
√3−tg x +
√3
tx(x) - 1 = 0- tg2x + (
√3- 1) tg x +
√3 = 0
tg 2x -(√
3-1) tg x -√
3 = 0
26
tg 2x + ( 1-√
3 ) tg x -√
3= 0
tg x = −(1−√3)+√
(1−√3)2−4(1)(−
√3)
2 = −(1−√3)+√
1−2√3+3+4
√3
2
tg x =√3−1−1−
√3
2 = - 2√3
2 =-1x = tg−1(-1)x = 315 = ( 74
∏)
x = 135 = ( 34∏
)tg x =
√3−1+1+
√3
2 = 2√3
2 =√
3x = 60 = ( 13
∏)
x =240= ( 43∏
)
49 Ejercicio (2 cos x + 1)(sen x - 1)=0
49.1 Demostracion Analiticaposibilidades
a) (1)()b) (0)(1)c) (0)(0)A) 2 cos x +1 = 12 cos x = 0cosx = 0x =
∏2 ; 3
2
∏sen x -1 = 0sen x = 0x = 2
∏,0
B) 2cos x +12cos x = -1cos x = −1
2
x = 1∏3 , 4
3
∏sen x -1 = 1sen x = 2x = no existe∴B) no es valido
50 Ejercico (4 cos2- 3)(csc+2)=0
50.1 Demotacion AnaliticaPosilidades : a)=(0)(0)
b)=(1)(0)=0c)=(0)(1)=0A) 4cos2θ - 3 = 0cos2θ = 3
4
cos=√34
27
cosθ =√32
θ =∏6 ; 11
∏6
θ= 5∏6 ; 7
∏6
csc +2 = 01
senθ= -2senθ = - 12θ = 7
∏6 ; 11
∏6
51 Ejercicio 2ctg sen + ctg=0
51.1 Demostracion analitica2 cosθsenθ senθ + cosθ
sen = 02 cos + cosθ
senθ= 02 sen θcosθ+ cosθ - 04 sen θ cos2θ= cos2θ4 sen 2θ= 1sen2θ = 1
2senθ = 1
2
θ=∏6 ; 5
∏6
θ = 11∏6 ; 7
∏6
52 Ejercicio tg2- (1+√3) tg x +
√3 = 0
52.1 Demostracion analitica
tg x = (1+√3)+
√(1+√
3)2−4(1)(√3)
2 = (1+√3)+√
(1−√3)2
2
tg x = (1+√3)+(1−
√3)
2 = 1+√3+1−
√3
2 =1x = 1+
√3+1−
√3
2
x =∏4 ; 5
∏4
x= (1+√3)+(1−
√3)
2 = 2√3
2 =√
3
x =∏3 ; 4
∏3
53 Ejercicio 2 sen 2 x + (2 -√3) sen x -
√3 = 0
53.1 demostracion analitica
sen x = −(1−√3)+√
(2−√3)2−4(1)(
√3)
4
sen x = (√3−2)+
√(2+√3)2
4 = (√3−2)+(2+
√3)
4
senx = 2√3
4 =√32 x =
∏3 ; 3
∏3
28
sen = −44 = -1 x = 3
∏2
x = 120; 240
54 Ejercicio 2 sen x + 3 cos x = 0
54.1 Demostracion analitica2 (1-cos2x) +3cos x = 0
2-2cos2x+3cos x = 02sen2x-3cos x-2 = 0cos = 3+−
√32−4∗2∗22∗2
cos x = 3+−54
cos x = 84
cos x = - 12x = arc cos - 12x = 120
55 Ejercicio cos2- sen2 = -12
55.1 Demostracion analiticacos2- ( 1 - cos2) = 1
22 cos2= 3
2
cos2=32
2cos2= 3
4
cos =√
34
α = arc cos√
34
α = 30
56 Ejercicio 2√3 cos2 = sen x
56.1 Demostracion analitica2√
3-2√
3sen2x = sen x2√
3sen 2 x + sen x - 2√
3 = 0
sen x = −1+−√
1−4(2√3)(−2
√3)
(2√3)2
sen x = −1+−√1+48
4√3
sen x = −1−+74√3
sen x = 64√3= 3
2√3
sen x = 3√3
6
sen x =√32
29
x = arc sen (√32 )
x = 60
57 Ejercicio sen2y - 2 cos y + 14 = 0
57.1 Demostracion analitica(- 1 cos2y) - 2 cos y + 1
4=01- cos 2y + 1
4 = 0- cos2y + 2 cos y - 54 = 0
cos y = −8−+√
82−4(4)(−5)2∗4
cos y = −8+−√144
8cos y = −8+−12
8cos y = −8−12
8 = - 208cos y = −8+12
8 = 48
cos y = − 12
y = cos−1( 12 )y = 60
58 Ejercicio 4 sec2y - 7 tg2y = 3
58.1 Demostracion analitica4 1cos2y -7 sen2y
cos2y = 34
cos2y - 7(1cos2y)
cos2y = 34
cos2y−7
cos2y+ 7cos2ycos2y = 3
−3cos2y = -4cos2y = 3
4
cos y =√
34
cos y =√32
y = arc cos (√32 )
y = 30
59 Ejercicio tg B + ctg B = 2
59.1 Demostracion analiticatg2B+ 1= 2tgB
tg2B - 2tgB + 1 = 0tgy = 1√
3y=30y=150
30
y=210y=330
60 Ejercicio sen x + cos x = 0
60.1 Demostracion analiticasenx =-cos x
1= - cosxsenx
senxcosx = 1tgx=-1x=135x=315
61 Ejercicio senx + cosx= 1
61.1 Demostracion analiticasen x + 1 - cos x
sen2x = 1-2cosx +cosx +cos2x1-cos2x = 1-2cosx + cos2+ cos2x2cos2x-2cos x = 02cos x(cos x-1)=0cos x =0cos-1=0cos x = 1x = 90x = 270x = 0x = 2Π
62 Ejercicio 2 tg2x + 3 sec x = 0
62.1 Demostracion analitica2(sec2x - 1) + 3 sec x = 0
2 sec2x +3 sec x - 2 =0sec x = −3−+
√9−4(2)(−2)6
x=−3+−56secx = −8
6 = - 32sec x = 2
6= ( 13 )x = 120x = 240
31
63 Ejercicio cos2x + 2 sen x + 2= 0
63.1 Demostracion analitica(1-sen2x ) + 2 sen x +2 =0
-sen2+2sen x +3= 0sen2x -2 sen x -3 =0sen x = 2−+
√4−4(1)(−3)4 = 2−+4
4sen x = 2+4
4 = 64= 3
2sen x = - 24= - 12x = 330x = 210
64 Ejercicios cts2α- 3 csc +3 =0
64.1 Demostracion analiticacsc2α-1-3csα + 3 = 0
css2α- 3 csc α +2 = 0cscα = 3+−
√9−4(1)(2)2 = 3+4
2cscα = 4
2 = (2)cscα = 1x = 30x = 90x =150
65 Ejercicios tg2x + ctg2 x - 2 = 0
65.1 Demostracion analiticatg4x +1-2tg2x = 0
tgx4- 2 tg2x +1
tg2x = 2+−√
4−4(1)(1)2
1+−02 =1
tg x = +-1x = 45x = 135x = 225x = 315
66 Ejercicios csc x ctg x = 2√3
66.1 Demostracion analitica( 1senx )( cosxsenx ) = 2
√3
32
2√
3cos2x + cos x - 2√
3 = 02√
3(1- cos 2x ) =cos x2√
3cos2x + cos x -2√
3=0
cos x = −1−+√
1−4(2√3)(−2
√3)
4√3
= −1+−74√3
cos x = -( 2√3) cos x ( 3
2√3)
x = 30x = 330
67 Ejercicios senx cos x + 14= 0
67.1 Demostracion analiticasen x cos x = - 14
sen2x cos2 x = - 116
sen2x (1- sen2x ) = 116
sen4x -sen2x + 116= 0
sen2x = 1+−√1−4(1)( 1
6 )
2
sen2x = 1−√
34
2
sen2x = 1−+√
34
2x= 75 x = 105 x = 255 x = 285x = 15 x= 105 x= 285
68 Ejercicios cos 2x +cos x = -1
68.1 Demostracion analitica-1 + 2 cos2x +cos x = -1
2 cos2 + cos x + 1 = 0cosx (2 cos x + 1 ) = 0cos x - 0x = 90 , 2702 cos x + 1 = 0cos x = - 12x =120, 240
69 Ejercicios 2 sen y= sen 2y
69.1 Demostracion analitica2 sen y = 2 sen y cos y
cos y = 1y = 0, 2Π= 360
33
70 Ejercicio cos 2x = cos x
70.1 Descripcion analitica2 cos2x -1 = cos x
2cos2x - cos x -1 = 0cos x = 1+−
√1−4(2)(−1)4
cos x = 1+−34
cos x = 1cos x = - 12x = 0 , 360x = 120 , 240
71 Ejercicio cos 2x = cos2x
71.1 Descripcion analitica2cos 2x - 1 = cos2x
cos2x = 1cos x = +-1x = 0 , π , 2π
72 Ejercicio tg (x + 45) = 1 + sen 2x
72.1 Descripcion analiticatgx+tg451−tgxtg45 = 1- sen 2x
tgx+11−tgx = 1 - 2 cos x sen xsenxcosx +1
1− senxcosx
= 1- 2 cos x sen xsenx+cosxcosx−senx = 1-2 cos x sen xx = 0 , 135 , 180 , 315 , 360
73 Ejercicio sen (60 - x) - sen (60 + x) =√
32
73.1 Descripcion analitica
sen 60 cos x - cos 60 sen x - (sen 60 cos x + cos 60 sen x) =√32√
32 cos x - ( 12 ) sen x -
√32 cos x - 1
2 sen x =√32
-sen x =√32
sen x = -√32
x = 300 , 240
34
74 Ejercicio sen (30 + x) - cos (60 + x) = -√
32
74.1 Descripcion analitica
sen 30 cos x + cos 30 sen x - (cos 60 cos x - sen 60 sen x ) = -√32
12cos x +
√32 sen x - 1
2 cos x +√32 sen x = -
√32√
3sen x = -√32
sen x = - 12x = 330 , 210
75 Ejercicio tg (45 - x) + ctg (45 - x) = 4
75.1 Descripcion analiticatg45−tgx1+tg45tgx + 1
tg45−tgx1+tg45tgx
= 41−tgx1+tgx + 1+tgx
1−tgx = 4(1 - tg x) (1 - tg x) (1 + tg x)2= 4 (1- tg2x)1-2 tg x + tg2x +1 + 2 tg x + tg2x = 4 - 1 tg2x2(1 + tg2x) = 4 (1 - tg2x)1 + tg 2x - 2 + 2tg2x = 03 tg 2x - 1 = 0tg x = +- 1√
3x = 30 , 150 , 210, 330
76 Ejercicio sen x sen x x2 = 1 - cos x
76.1 Descripcion analitica
sen x√
1−cosx2 = 1 - cos x
(1 - cos2x)( 1−cosx2 ) = 1 - 2 cos x + cos2x1−cosx−cos2x+cos3x
2 = 1 - 2 cos x + cos2xcos3x - 3 cos 2x + 3 cos x - 1 = 0(cos x - 1)3= 0cos x = 1x = 0.360
77 Ejercicio sen x2 + cos x = 1
77.1 Descripcion analitica√2−cosx
2 = 1 - cos x1−cosx
2 = 1 - 2 cos x + cos 2x
35
2 cos2 x - 3 cos x + 1 = 0cos x = 3+−
√9−4(2)(1)4 = 3+−1
4cos x = 1
2cos x = 1x = 60, 300x = 0 , 360
78 Ejercicio csc y + ctg y =√3
78.1 Descripcion analitica1
seny + cosyseny =
√3
1 + cos2y =√
3 sen y1 + 2 cos2 y + cos4 y =
√3(1 - cos2 y)
cos 4y + (2 +√
3) cos2 y + (1 -√
3) = 0y = 60
79 Ejercicio 3 (sec 2a + ctg2a) = 13
79.1 Descripcion analitica
3[
1cos2a + cos2a
sen2a
]= 13
3(
1cos2asen2a
)= 13
3 = 13 sen2a (1 - sen2x)3 = 13 sen2a - 13 sen4x13 sen 4x - 13 sen2a + 3 = 0sen 2x = 13+−
√169−4(13)(3)26 = 13+−
√13
26x = 53.05 , 143.05 , 36.95 , 126.9
80 Ejercicio sen x = 3cos x
80.1 Demostracion analiticatg x = 3
x = 71 34 , 521 34
81 Ejercicio 2 cos x = cos 2x
81.1 Demostracion analitica2 cos x = 2 cos2x - 1
2 cos 2x - 2 cos x - 1 = 0cos x = 2+−
√4−4(2)(−1)4
36
cos x = 2+−√12
4 = 1+−√3
2x = 111.97
82 Ejercicio tg x = tg 2x
82.1 Demostracion analiticatg x = 2tgx
1−tg2xtg x (1 - tg2x) = 2 tg x- tg3x + tg x - 2 tg x = 0tg 3 + tg x = 0tg x (tg2x + 1) = 0tg x =0x= 0,360tg 2x + 1 = 0
83 Ejercicio 3 cos2x + 5 sen x - 1 = 0
83.1 Demostracion analitica3 (1 - sen2x) + 5 sen x - 1 = 0
-3 sen 2x + 5 sen x +2 = 0sen x = 5+−
√25−4(3)(−2)
6 = 5+−76
sen x = - 13x = 19.47 , 109.47
84 Ejercicio 3 sen x tg x - 5 tg x + 7 = 0
84.1 Demostracion analitica3sen2xcosx - 5senx
cosx + 7 = 03 sen 2x - 5 sen x + 7 cos x = 03 sen 2x - 5 sen x = -7 cos x5 sen x - 3 sen2x = 7 cos xcomparo : x = 70 , 32 ; 289 , 28
85 Ejercicio csc2x (1 + sen x ctg x) = 2
85.1 Demostracion analitica1
sen2x (1 + senxcosxsenx ) = 2
1 + cos x = 2 sen2x1 + cos x = 2 (1 - cos2x)2 cos 2x + cos x - 1 = 0
37
cos x = −1+−√
1−4(2)(−1)4 = 1+−3
4x = 0.2π = 360x = 120 ; 240
86 Ejercicio tg x + sec2x -3 = 0
86.1 Demostracion analiticatg x + (1 + tg 2x) - 3 = 0
tg2x + tg x -2 = 0
tg x = −1+−√
1−4(1)(−2)2 = −1+−3
2tg x1= 1x1= 45 ; 225tg x2 = -2x2= 296 , 33 ; 116 , 34
87 Ejercicio sen x + cos 2x = 4 sen 2x - 1
87.1 Demostracion analiticasen x + (1 - 2sen2x) = 4 sen2x - 1
sen x +1 -2 sen2x = 4 sen2x - 16 sen 2x - sen x - 2 = 0sen x = −1+−
√1−4(6)(−2)12 = −1+−
√49
12 = −1+−712
sen x1 = 12
x1 = 30 , 150sen x2 = - 23x2= 318 , 11 ; 221 , 48
88 Ejercicio sen (2 x - 180) = cos x
88.1 Demostracion analiticasen 2 x cos 180 - cos 2x sen 180 = cos x
-2 sen x cos x = cos xsen x = − 1
2-2 sen x cos x - cos x = 0cos x (2 sen x + 1)cos x = 0x = 90 , 270x = 330 , 210
38
89 Ejercicio sec (x+ 120) + sec (x - 120) = 2 cosx
89.1 Demostracion analitica1
cos(x+120) + 1cos(x−120) = 2 cos x1
cosxcos120−senxsen120 + 1cosxcos120+senxsen120 = 2 cos x
1
− 12−√
32 senx
+ 1
− 12 cosx+
√3
2 senx= 2cos x
- 12cos x +√32 sen x + (− 1
2cos x −√32 sen x) = 2 cos x (14cos2x - 3
4 sen2x)-cos x = 2 cos
[14cos
2x− 34 (1− cos2x)
]-cos x = 2 cos
[14cos
2 − 34 + 3
4cos2x]
-cos x = 2 cos x (cos2x - 34 )-cos x = 2 cos3x - 32cos x-2 cos x = 4 cos 3x - 3 cos x4 cos3x - cos x = 0cos x (4 cos2x-1) = 0cos x = 0x = 90 , 2704 cos2x - 1 = 0cos x = +- 12x = 60 , 120 , 240 , 300
90 Ejercicio cos2x + 2 sen x = 0
90.1 Demostracion analitica(1 - sen 2x ) + 2 sen x = 0
1 +2 sen x - sen 2x = 0sen x = +2+−
√4−4(−1)(1)2 = 2+−2
√2
2 = 1 +-√
2
x = sen−1(1 +-√
2)x = 335 , 31 ; 204 , 28
91 Ejercicio sec2x - 4 tg x = 0
91.1 Demostracion analitica(1 + tg2x) - 4 tg x = 0
tg2x - 4 tg x + 1 = 0
tg x = 4+−√
16−4(1)(1)2 = 4+−2
√3
2 = 2+-√
3
x = tg−1 (2+-√
3)x = 75 , 255x = 15 , 195
39
92 Ejercicio 55 sen22x - sen 2x -2=0
92.1 Descripcion analitica
sen (2x) = 1√
1−4(1)(−2)2 = 1+3
2sen x = 1+3
2 = 22x = sen−1(2)sen 2x = 1−3
2 = -12x = sen−1(1)2sex = -90x = -45, 135, 315
93 Ejercicio tg2(x2)- tg x2-2 = 0
93.1 Descripcion analitica
tg(x2 ) = 1+√
1−4(1)(−2)2
x2= tg−1( 1+3
2 )x2= tg−1(2)x = 126; 52x2 = -45x= 270
94 Ejercicio 4 sen x +3 cosx = 3
94.1 Descripcion analitica[4senx]
2+3 [3− (cosx)]2
16 sen2x = 9 ( 1-2cosx +cos2x )16 (1- cos2x ) = 9(1- 2 cosx +9 cos2x16-16 cos2x - 18 cos x - 7 = 0cos x =18+
√182−4(25)(−7)2(25) = 18+
√1024
50 = 18+3250
x = cos−1( 18−3250 )x = cos−1(1) = 0 , 360x = cos−1(-0.28) = 106 ; 15
95 Ejercicio 5 senx =4 cos x +4
95.1 Descripcion analitica25 sen2x = 16 cos2x +32 cos x +16
25(1-cos2x) = 16 cos2x +32 cosx +16-41 cos2x -32 cos x +9 = 041 cos2x +32cos x -9 =0
40
cos x = −32+√
322−4(4)(−9)82 = −32+50
82x = cos −1(-1) = 180x = cos (0.22195) = 77◦19′
96 Ejercicio senx + sen 2x + sen 3x = 0
96.1 Descripcion analiticasen x + 2 sen x cos x + sen x cos 2x +cos x sen 2x = 0
sen x +2 sen x cos z + sen x (1+2 sen2x ) + cos x ( 2 sen x cos x ) = 0sen x + 2 sen cos x + sen x - 2 sen 3x + 2 sen x 2 sen cos2 = 0sen x + 2sen x cos x + sen x - 2 sen3 x + 2 sen x - 2 sen 3x = 04 sen x - 4 sen 3x + 2 sen xcos x = 02 sen x ( 2-2sen2x+cos )2 sen x = 0sen x = 0x = 0; 3602 - sen 2x+ cos x2-(2)sen x + cos x2-(2) + 2 cos 2x + cos x = 0cos x ( 2 cos x + 1)= 0cos x = 0x = 90 , 270cos x = - 12x =120,240
97 jercicio tg x + tg2x +tg3x = 0
97.1 Demotacion Analiticatg x + 2tgx
1−tg2x+ tg (x+2x) = 0
tg x + 2tgx1−tg2x + tgx+tg2x
1−tgxtg2x=0
tg x + 2tgx1−tgx2 +
tgx+ 2tgx
1−tgx2x
1−tgx 2tgx
1−tg2x
=0
tg x + 2tgx1−tg2x+ tgx(1−tg2x)+2tgx
(1−tg2x)−2tg2x = 0
tg x + 2tgx1−tg2 + tgx−tg3+2tgx
1−3tg2xtg x (1-tg2x)(1-3tg2x)+2tg x (1- 3tg2x)+(3tg x -tg3x )(1-tg2x)=0(tg x -3tg2x)(1-3tg5x + 2tg x -6tg2x+3tg x -3tg x - tg3x +tg5x = 04tg5x -8tg3x-6tg2x + 6 tg x = 0 ÷22tg5x -4 tg3x - 3tg2x + 3tgx =0tg x (2tg4x - 4tg2- 3tg x +3)2tg4x -4 tg2x + 3=0tgx = no tiene solucion real
41
tgx = 0x = 0,360
98 Ejercicio sen 4 x - cso 3 x = sen 2x
98.1 Descripcion analiticasen ( 2x +2x ) - cos ( x +2x) = 2 senx cosx
sen x (2x) cos (2x) + cos2x sen2x - [ cos x (1-2sen2x ) - senx(2) sen x cos]=2 sen x cos x
2 sen x cosx [1- 2sen2x](2) sen x sen x - [ cosx-2sen2x) - senx (2) sen x cosx] = 2sen x cos x
2senx cosx - 8 sen3cosx - cosx +4 sen3x cos - (cosx -2sen2x cos x -2 sen2xcos x= 2 sen2x cos x 2 sen x cos x
4 sen x - 8 sen3x + 4 sen2xcos x= 2 sen x2 sen x - 8 sen3+ 4 sen2= 0sen x(2-8sen2x+4 sen2x )-8 sen2x + 4 sen x +2 = 08 sen2x - 4sen x -2 = 02sen2- senx -1 = 0sen x = 1+
√1−4(2)(−1)2(2) = 1+3
4
sen x = 44= 1 x = 90
senx = -12 x = 330; 210
99 Ejercicio sen 3x - sen = sen5x
99.1 Demostracion Analiticasen (x+2x) - senx = sen (2x +3x)
senx cosx +cosx sen2x - senx = sen 2x cos3x + cos2x sen3xsenx(1-2sen2x) + cosx (2senx cosx ) - senx = 2senx cosx cos 2x +(1- 2sen2x)(sen(x+2x))senx-2sen3x +2 sen x cos2x - sen x = 2 sen x cos x [cos x cos 2x - sex sen
2x]+(1-2sen2x)[ sen x cos 2x + cos x sen 2x]-2sen3x + 2 senx cos 2x = 2 sen x cos x (2senx cosx)]+ (1-2sen2x [sen x (1-2
senx )+cos x (2senx cosx)]+ (1-2 sen2x )[senx (1-2sen2x)+cosx(2senx cosx)]2sen x -4sen 2x= 2 sen x(1-sen2x ) -4 sen3(1-sen2x) -a sen 3x (1-sen2x) +
sen x - 2 sen 3x2sen x - 2 sen 3x - 2 sen 3x + 4 sen 5x - 4 sen 3x +4 sen 5x2 sen x - 4 sen2x = 2 sen x - 2sen 3x - 4 sen3x + 4 sen 5x - sen3x +4 sen5x
+ sen x - 2 sen3x2 sen x - 2sen3x- 2 sen3x +4 sen5x - 4 sen 3x + 4sen5x2 sen x - 4 sen2x = 5 sen x - 20 sen3x + 16 sen 5x16 sen5x - 20 sen2x + 4 sen2x + 3 sen x = 0sen x(16 sen4- 20 sen2x +4 sen x +3 )= 0senx = 0
42
x = 0 ; 36016 sen 4- 20 sen 2x + 4 sen x +3 = 0x = no tiene solucion real
100 Ejercicio: ¿Cuales son los angulos agudos deun triangulo rectangulo si la diferencia de loscuadrados de los catetos es igual al doble desu producto?
a = c sen Ab= c sen Bab = c2sen A sen Ba2= c2sen2Ab2= c2sen2Bc2(sen2A - sen2B2)2 c2sen A sen Bsen2A - sen2B = 2 sen A sen B[sen(90 +B)]
2 - [sen(A+ 90)]2 = 2 sen (90 + B) sen (90 + A)
[senA]2- [sen(A+ 90)]
2= 2 sen (90 + B) sen (90 +A)[senA]
2- [sen(A+ 90)]2= 2 sen A sen (90 + A)
sen2A−[senAcos90+cosAsen90]2senA[senAcos90+cosAsen90] =
sen 2A - cos 2A = 2 sen A cos Asen2A (1 - sen2A) = 2 sen A
√1− sen2A
(2 sen 2A - 1)2= 4 sen2A (1 - sen2A)4 sen 4A - 4 sen2A +1 = 4 sen2 A - 4 sen 4A8 sen4- 8 sen2A + 1 = 0sen2A = 8+−
√64−4(8)(1)16 = 4(2+−
√2)
16 == 2+−
√2
4sen A 1= 8 , 25 , 15.81sen A 2= 58 , 36 , 1.03
101 Ejercicio: ¿Que angulos comprendidos entre90 y 270 satisfacen la ecuacion cos (x + 60)cos (x - 60) = -1
2?
cos (x + 60) cos (x - 60) = − 12
[cosxcos60− senxsen60][cosxcos60 + senxsen60][12cosx−
√32 senx
] [12cosx+
√32 senx
]= - 12
14cos2x +
√34 sen x cos x -
√34 sen x cos x - 34 sen2x = − 1
214 (1 - sen2x)- 34 sen2 x = - 12
43
14 - 1
4 sen2x - 34 sen2x = - 12
+ sen2x = 34
sen x = +-√32
x = 60 , 120
102 Ejercicio 1 cos2A=12+
12cos2A
102.1 Demostracion Analiticacos2A=cosAcosA-senAsenA
cos2A=cos2AsinA
cos2A=cos2A-(1-cos2A)cos2A=cos2A-1+cos2Acos2A=2cos2A-11+cos2A=2cos2A2cos2A=1+cos2Acos2A= 1+cos2A
2cos2A= 1
2+ 12cos2A
102.2 Demostacion Grafica
44
102.3 Comprovacion Analitica
A=∏6
cos2A=(∏6 )= 1
2+ cos(2∗∏6 )
234=1 1
2+ 14
34= 3
4
103 Expancion 2 sin2A=12-
12cos2A
103.1 Demostracion Analiticacos2A=cos2A-sin2A
cos2A=1-sin2A-sin2Acos2A=1-sin2
2cos2A=1-cos2Asin2=1-cos2Acos2A= 1
2 - 12cos2A
45
103.2 Demostracion Grafica
103.3 Comprovacion NumericaA=0
sin2(0)= 12 - 12cos2(0)
0= 12 - 12
0=0
104 Expancion 3 cos3A=34cosA+1
4cos3A
104.1 Demostracion Analiticacos3A=cos(A+2A)
cos3A=cosAcosA-sin2AsinAcos3A=cosA(2cos2A-1)-(2sinAcosA)cos3A=2cos3A-cosA-(2sin2AcosA)cos3A=2cos3A-cosA-2sin2A-cosAcos3A2cos3A-ocsA-2(1-cos2A)cosAcos3A2cos3A-cosA-2(cos2A-cos3A)cos3A=2cos3A-cosA-2cosA+2cos3Acos3A=-3cos3A+4cos3A4acos3A=3cosA+cos3Acos3A= 3
4cosA+ 14cos3A
46
104.2 Demostracion Grafica
104.3 Demostracion NumericaA=0
cos3(0)= 34cos(0)+ 1
4cos3(0)1=1
105 Expancion sin3A=34sinA-1
4sin3A
105.1 Demostracion Analiticasin3A=sin(A+2A)
47
sin3A=sinA+cos2A+cosA+sin2Asin3A=sin(1-2sin2A)+cosA(sin2AcosA)sin3A=sinA-2sin3A+2sinAcos2Asin3A=sin A-2sin3A+2sin(1-sin2A)sin3A=sin A-2sin3A+2sinA-2sin3Asin3A=3sinA-4sin3A4sin3A= 3
4 sinA- 14 sin3
105.2 Demostracion Grafica
105.3 Demostracion NumericaA=0
4sin3(0)= 34 sin(0)- 14 sin3(0)
0=0
48
106 Expancion cos4A=38+
12cos2A+1
8cos4A
106.1 Demostracion Analiticacos4A=cos(2A+2A)
cos4A+cos2Acos2A-sin2Asin2Acos4A=(2cos2A-1)cos2A-2(2sinAcosA)(2sinAcosA)cos4A=2cos2Acos2A-cos2A-4sin2Acos2Acos4A=2cos2A(2cos2A-1)-cos2A-4sin2Acos2Acos4A=4cos4A-2cos2A-cos2A-cos2A-(1-4cos2A)cos2Acos4A=4cos4A - 2cos2A - cos2A - (4 - 4cos2A)cos2Acos4A=4cos4A - 2cos2A - cos2A - cos2A - 4cos2A + 4cos2Acos4A=8cos4A -6cos2A - cos2Acos4A=8cos4A -6( 1
2 + 12 cos2A)- cos2A
cos4A=8cos4A - 62 - 6
2cos2A - cos2Acos4A=8cos4A - 3 - 3cos2A - cos2Acos4A=8cos4A - 4cos2A - 3cos4A=4cos2A + 3 + 4cos4Acos4A= 4
8 cos2A + 38 + 1
8 cos4Acos4A= 3
8+ 12cos2A+ 1
8cos4A
106.2 Demostracion Grafica
49
106.3 Demolstracion NumericaA=0
cos40= 38+ 1
2cos20+ 18cos40
1=1
107 Expancion sin4A=38-
12cos2A+1
8cos4A
107.1 Demostracion Analiticacos4A=cos(2A+2A)
cos4A=cos2Acos2A-sin2sin2Acos4A=(cos2A-sin2A)(cos2A-sin2A)-(2sinAcosA)(2sinAcosA)cos4A=(1 - sin2A - sin2A)(4sen2A(sin2A))cos4A=(1 - sin2A - sin2A)(4sin2Asin4A)cos4A=1 - sin2A - 4sin4A - sin4Acos4A=-(-1 + cos2A - 4sin4A - sen4A8sin4A = 1 - cos2A + 4cos4A + 28sin4A = 3 - cos2A + 4cos4Asin4A = 3
8 - 12 cos2A + 1
8 cos4A
107.2 Demostracio Grafica
107.3 Demostracion NumericaA=1
sin4(1) = 38 - 1
2 cos2(1) + 18 cos4(1)
0=0
50
108 Expancion cos5A=58cosA+ 5
16cos3A + 116cos5A
108.1 Desmotracion Analiticacos5A = cos(2A + 3A)
cos5A = cos2Acos3A - sin2Asin3Acos5A = 4cos3A - 3cosAcos2A - sin2A - 3sinA - 4sin3A2sinAcosAcos5A = 4cos3A - 3cosAcos2A - (-1 - cos2A) - 6sin2AcosA - 8sin4AcosAcos5A = 4cos3A - 3cosAcos2A - 1 + cos2A - 6(1 - cos2A)cosA - 8(1 - cos2A)(1
- cos2A)cosAcos5A = 16cos5A + 12cos3A + 9cosAcos5A= 5
8cosA+ 516cos3A + 1
16cos5A
108.2 Demostracion Grafica
51
108.3 Demostracion NumericaA=0
cos5(0)= 58cos(0)+ 5
16cos3(0) + 116cos5(0)
1=1
109 Expancion sin5A=58sinA- 5
16sin3A+ 1
16sin5A
109.1 Demostracion Analiticasin5A = sinA(2A + 3A)
sin5A = sin2Acos3A + sin2Acos3Asin5A = 3sinA - 4sin2Acos2A - sin2A + 2sinAcosA(4cos3A - 5cosA)sin5A = 3sinA - 4sin2A + 4sin4A - sin2A + 2sin4A(1 - sin2A)(1 - sin2A) -
2sinA3cos2Asin5A = 5sinA - 5sin2A + 4sin4A - 2sin3A + 8sin5A8sin5A = 5sinA - 5sin2A + 4sin4A - 2sin3A + sin5Asin5A= 5
8 sinA- 516 sin3A+ 1
16 sin5A
52
109.2 Demostracion Grafica
109.3 Demostracion NumericaA=0
sin5(0)= 58 sin(0)- 5
16 sin3(0)+ 116 sin5(0)
0=0
110 Expancion cos6= 516+
1532cos2A+ 3
16cos4+ 132cos6A
110.1 Demostracion Analiticacos6A = cos(3A + 3A)
cos6A = cos3Acos3A - sin3Asin3Acos6A = (4cos3A - 3cosA)(4cos3A - 3cosA) - (3sinA - 4sin3A)(3sinA - 4sin3A)cos6A = 16cos6A - 12cos4A - 12cos4A + 9cos2A - 9(1 - cos2A + 12(1 -
cos2A)(1 - cos2A) - 12(1 - cos2A)cos6A = 32cos6A + 24cos4A - 30cos2A + 1932cos6A = cos6A + 24cos4A - 30cos2A + 19
53
cos6A = 516+ 15
32cos2A+ 316cos4+ 1
32cos6A
110.2 Demostracion Grafica
110.3 Demostracion NumericaA=0
cos6(0) = 516+ 15
32cos2(0)+ 316cos4+ 1
32cos6(0)
111 Expancion sin6A = 516 - 15
32cos2A + 316cos4A -
13cos6A
111.1 Demostracion Analiticacos6A = cos(3A + 3A)
cos6A = cos3Acos3A - sin3Asin3Acos6A = (4cos3A - 3cosA)(4cos3A - 3cosA) - (3sinA - 4sin3A)(3sinA - 4sin3A)cos6A = 16cos6A - 12cos4A - 12cos4A + 9cos2A - 9(1 - cos2A) + 12(1 -
cos2A)(1 - cos2A) - 12(1 - cos2A)cos6A = 32cosA + 24cos4A - 30cos2A + 1932cos6A = cos6A + 24cos4A - 30cos2A + 19sin6A = 5
16 - 1532cos2A + 3
16cos4A - 13cos6A
54