L02 Resolucion Sistemas NL

5/9/2018 L02 Resolucion Sistemas NL - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/l02-resolucion-sistemas-nl 1/23

0/09/2008 1

LECCIÓN 2

Asignatura:

Modelización Numérica de Estructuras deHormigón mediante el MEF

Máster Oficial en:

Ingeniería delHormigón

Departamento:

Ingeniería de laConstrucción

MÉTODOS DE RESOLUCIÓNDE SISTENAS DE ECUACIONES

NO LINEALES.

Pedro Miguel Sosa

Miguel A. Fernández Prada

30/09/2008 2

Máster Oficial en:

Departamento:

LECCIÓN 2

M É T O D O S D E R E S O L U C I Ó N

S I S T E N A S

D E E C U A

C I O N E S

N O L I N E A L E S

Asignatura:

Modelizaciónde Estructurasde Hormigón

mediante MEF

ÍNDICE

Clasificación de los Métodos de resolución de sistemasde ec. No lineales

Métodos de Nivel de Carga Constante

Método de Iteración directa Método de Newton-Raphson Método de Newton-Raphson modificado Método incremental

Métodos Cuasi-NewtonMétodos Globalmente Convergentes

Métodos de Control de Respuesta Método Arc-Length Método de Crisfield Método del Camino Plano

Ejemplos

Clasificación de los Métodos de resolución de sistemasde ec. No lineales

Métodos de Nivel de Carga Constante

Método de Iteración directa Método de Newton-Raphson Método de Newton-Raphson modificado Método incremental

Métodos Cuasi-NewtonMétodos Globalmente Convergentes

Métodos de Control de Respuesta Método Arc-Length Método de Crisfield Método del Camino Plano

Ejemplos

30/09/2008 3

Máster Oficial en:

Departamento:

LECCIÓN 2

S I S T E N A S D E E C U A

C I O N E S

N O L I N E A L E S

Asignatura:

mediante MEF

CALISIFICACIÓN DE LOS MÉTODOSDE RESOLUCIÓN DE ECUACIONES NO LINEALES

Métodos de Nivel de Carga Constante.

Método de iteración directa o Método de Rigidez Secante.

Método de Newton-Raphson.

Método de Newton-Raphson Modificado.

Método Incremental

Métodos Cuasi-Newton.

Métodos de Control de Respuesta.

Control por Arco.

Método de Crisfield.

Método de Camino Plano.

Métodos de Nivel de Carga Constante.

Método de iteración directa o Método de Rigidez Secante.

Método de Newton-Raphson.

Método de Newton-Raphson Modificado.Método Incremental

Métodos Cuasi-Newton.

Métodos de Control de Respuesta.

Control por Arco.

Método de Crisfield.

Método de Camino Plano.

30/09/2008 4

Máster Oficial en:

Departamento:

LECCIÓN 2

C I O N E S

N O L I N E A L E S

Asignatura:

mediante MEF

MÉTODOS DE NIVEL DE CARGA CONSTANTE

La magnitud de las fuerzas aplicadas es fijaLa magnitud de las fuerzas aplicadas es fija

)(rfni

• Permiten conocer los desplazamientos nodales para una carga aplicada determinada

30/09/2008 5

Máster Oficial en:

Departamento:

LECCIÓN 2

C I O N E S

N O L I N E A L E S

Asignatura:

mediante MEF

MÉTODOS DE NIVEL DE CARGA CONSTANTE

∑ ∫ ∑ ⋅⋅⋅=

e T e e

dV σBTF

Sistema de ecuaciones planteado por el MEF (n ecuaciones)

∑ ∫ ⋅⋅⋅=

e T e e

dV σBTrfni )( fuerzas nodales internas equivalentes

Ge Ffne fuerzas nodales exteriores equivalentes

fni(r)

rsolSolución

rNo solución

ψ ψψ ψ (r)

)r(fnifne)r(ψ −= fuerzas nodales residuales

∑≡

Ensamblaje

Calcular el valor de r que hace ΨΨΨΨ(r)=0

0)r(fnifne)r(ψ =−= sol sol

30/09/2008 6

Máster Oficial en:

Departamento:

LECCIÓN 2

C I O N E S

N O L I N E A L E S

Asignatura:

mediante MEF

MÉTODO DE ITERACIÓN DIRECTA

fni(r)

Solución

rNo solución

ψ ψψ ψ (r)

( ) ( )o s o εεεDσσ −⋅=− Ds

( ) ( ) rrKrfni ⋅= s

∫ ⋅⋅⋅=e V

e se T e se dV BDBK

Material

Elemento

Estructura

30/09/2008 7

Máster Oficial en:

Departamento:

LECCIÓN 2

C I O N E S

N O L I N E A L E S

Asignatura:

mediante MEF

MÉTODO DE ITERACIÓN DIRECTA

( ) fnerKr ⋅= −+ i s i

( )i s rK

)r(fnifne)r(ψ 11 ++ −= i i

)r(ψ 1+i

fni(ri)

rsolri

Ks(ri)

Ks(ri+1)

ψ ψψ ψ (ri)

30/09/2008 8

Máster Oficial en:

Departamento:

LECCIÓN 2

M É T O D O S

D E R E S O L U C I Ó N

D E S I S T E N A S D E E C U A

C I O N E S

N O L I N E A L E S

Asignatura:

mediante MEF

RIGIDEZ TANGENTE

∑ ∫ ⋅⋅⋅=

e T e e

dV σBT)r(fni

( ) ( )[ ]

( ) ( )

T ej Te ei

T e e T

Ge T e e T

T e e T

dV d dV d

rKrTKT

rTGSGΒDBT

rGSGrΒDBT

rfniΨ

⋅−=⋅

⋅⋅−=

⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−=

=⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−=

=⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅−=

⋅⋅⋅

∂+⋅

∂⋅⋅⋅=

=⋅∂

∂−=

∑ ∫

∑ ∫ ∑ ∫ ∫

∑ ∫ ∫ ∂

)r(fnifne)r(ψ −=

G T d d rKΨ ⋅−=

30/09/2008 9

Máster Oficial en:

Departamento:

LECCIÓN 2

M É T O D O S

C I O N E S

N O L I N E A L E S

Asignatura:

mediante MEF

RIGIDEZ TANGENTE

fni(r)

ψ ψψ ψ (r) dψ ψψ ψ

( ) ψrKr d d T ⋅−= −1

( ) ( )o T o εεεDσσ −⋅=−

∫ ∫ ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=e e V

el Te T ej

V el Te

T ej Te dV dV GSGBDBK

Material

Elemento

Estructura ∑ ∫ ⋅⋅⋅=

e T e e

dV σBTrfni )(

30/09/2008 10

Máster Oficial en:

Departamento:

LECCIÓN 2

M É T O D O S

C I O N E S

N O L I N E A L E S

Asignatura:

mediante MEF

MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON

fni(ri)

rsolri

KT(ri)

∆∆∆∆ψ ψψ ψ =0- ψ ψψ ψ (ri)

( ) ( )i i T i i rψrKrr ⋅+= −+

( )i T rK

)r(ψ 1+i

)r(fnifne)r(ψ o o −=

30/09/2008 11

Máster Oficial en:

Departamento:

LECCIÓN 2

M É T O D O S

C I O N E S

N O L I N E A L E S

Asignatura:

mediante MEF

MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON MODIFICADO

fni(r)

rsolri

KT(ro)

∆rri+1

( ) ( )i o T i i rψrKrr ⋅+= −+

( )o T rK

)r(ψ 1+i

)r(fnifne)r(ψ o o −=

ψ ψψ ψ (ro)

ψ ψψ ψ (ri) ( )o T rK 1−

30/09/2008 12

Máster Oficial en:

Departamento:

LECCIÓN 2

M É T O D O S

C I O N E S

N O L I N E A L E S

Asignatura:

mediante MEF

MÉTODO INCREMENTAL

)()( n n rfnifnerψ −=

fni(ri)

rsolri

KT(ri-1)

∆riri+1

( ) ( )[ ]111

1 −−−

− +∆⋅+= i i i T i i rψfnerKrr

1−i r

( )1−i T rK

)( n rψ

)()( 111 −−− −= i i i rfnifnerψ

ψ ψψ ψ (ri-1)fnei-1

∆∆∆∆fnei

fni(ri-1)

ψ ψψ ψ (ri)

( ) ( )n n T n n rψrKrr ⋅+= −+

N e w t o n - R a p h s o n

30/09/2008 13

Máster Oficial en:

Departamento:

LECCIÓN 2

M É T O D O S

C I O N E S

N O L I N E A L E S

Asignatura:

mediante MEF

MÉTODO DE CUASI-NEWTON

i i i i rKrψrψ ∆=− − .)()( 1

rrψψ

K n ecuaciones

n x n incógnitas

Algoritmos de solución

11 −− ∆+= i i i KKKA)

1 −−

−−

−∆+= i i i KKK

La matriz de rigidez se calcula con los resultados de las iteraciones anteriores.

i i T i i AKAK ⋅⋅= −

−− 1

Algoritmo BFGS

(Braydon- Fletcher - Goldferb -Shanno)

⋅∆

−⋅∆+⋅=

−−

−−−

i i T i

i i r ψ

ψψrψv

−−

−⋅∆

i i T i

T i i i wvIA ⋅+=

fni(ri-1)

rsolri

ψ ψψ ψ i-1

fni(ri)

ψ ψψ ψ i

∆ri-1

Newton-secante

−−

−⋅

T i K ψψb

*1 −− ∆−∆+∆= i i i rrrb

−−

⋅−=∆⋅−=∆

ψKrψKr

30/09/2008 14

Máster Oficial en:

Departamento:

LECCIÓN 2

M É T O D O S

C I O N E S

L I N E A L E S

Asignatura:

mediante MEF

MÉTODOS GLOBALMENTE CONVERGENTES

−⋅−

−⋅−⋅

)λ21(

λ / λλ / λ

λ / 1λ / 1

f a b b o n

2 ⋅⋅−+−=

)1λ0(λ1 ≤<∆⋅+=+ i i i rrr

Encontrar el valor de λ para reducir el valor de f por debajo de fo:

1λ1 =

)λ()λ(2

1)λ( i n i

T i i n i n r r r r f ∆+⋅∆+⋅= ψψ

1)0( i

T i i o r r f f ψψ ⋅⋅==0λ =o

1)1(1 i i

T i i i r r r r f f ∆+⋅∆+⋅== ψψ

)λ()λ(2

1)λ( 2222 i i

T i i i r r r r f f ∆+⋅∆+⋅== ψψ

)λ()λ(2

1)λ( i n i

T i i n i n r r r r f ∆+⋅∆+⋅= ψψ

−⋅−

−⋅−⋅

−−

−−−−

−−)λ21(

)λ21(

λ / λλ / λ

λ / 1λ / 1

n n n n

n n f f

)()(1i i T i rψrKr ⋅−=∆ −

30/09/2008 15

Máster Oficial en:

Departamento:

LECCIÓN 2

M É T O D O S

C I O N E S

L I N E A L E S

Asignatura:

mediante MEF

MÉTODOS DE CONTROL DE RESPUESTA

La magnitud de las fuerzas aplicadas es variable y sedetermina por una condición adicional

)(rfni

• Permiten conocer por puntos la trayectoria de carga-desplazamiento

• Permiten determinar el valor máximo de la carga (capacidad resistente)

• Permiten reproducir la rama descendente de la trayectoria de carga-desplazamiento

Condición de carga

30/09/2008 16

Máster Oficial en:

Departamento:

LECCIÓN 2

M É T O D O S

C I O N E S

L I N E A L E S

Asignatura:

mediante MEF

∑ ∫ ∑ ⋅⋅⋅=⋅

e T e e

dV σBTFµ )(µ)( rfnifnerψ −⋅=n ecuaciones

0),µ( =rg condición adicionaln+1 incognitas:

(r, µ)

fni(ri)

rsolri ri+1

ψ ψψ ψ (ri)

0),µ( =rg

)(rfni

fne⋅i µ

fne⋅+1µi

fne⋅∆ i µ

i r∆

( ) i i T i i rrKfnerψ ∆⋅−⋅∆=∆ µ)(

( ) ( ) )(µ 11i i T i T i i rψrKfnerKr ⋅+⋅⋅∆=∆ −−

i i i i rrr ′∆+′′⋅∆=∆ µ

r ′′i

r′∆

0),µµ( =∆+∆+ i i i i g rr

0)µ,µµ( =′∆+′′⋅∆+∆+ i i i i i i g rrr

0)µ( =∆ i h i µ∆

(ecuación de constricción)

Sistema de ecuaciones planteado por el MEF (n+1 ecuaciones)Sistema de ecuaciones planteado por el MEF (n+1 ecuaciones)

Factor de control

del nivel de carga

30/09/2008 17

Máster Oficial en:

Departamento:

LECCIÓN 2

M É T O D O S

D E R E S O L

U C I Ó N

C I O N E S

L I N E A L E S

Asignatura:

mediante MEF

)(µ)( i i i rfnifnerψ −⋅=

i i µ,r

( )i T rK

( ) fnerKr ⋅=′′ −i T i

( ) )(1

i i T i rψrKr ⋅=′∆−

Proceso de cálculoProceso de cálculo

fni(ri)

rsolri ri+1

ψ ψψ ψ (ri)

0),µ( =rg

)(rfni

fne⋅i µ

fne⋅+1µi

fne⋅∆ i µ

i r∆

i i h µ0)µ( ∆→=∆

i i i i i rrrr ′∆+′′⋅∆+=+ µ1

30/09/2008 18

Máster Oficial en:

Departamento:

LECCIÓN 2

M É T O D O S

D E R E S O L

U C I Ó N

D E S I S T E N A

S D E E C U A

C I O N E S

L I N E A L E S

Asignatura:

mediante MEF

MÉTODO “ARC-LENGTH”

0)µµµ()()µ,( 2222 =−⋅∆+−⋅+∆+−≡∆∆ m i m i i m i i i l b g frrrrLa ecuación de constricción es un arco ‘elíptico’

)(rfni

fne⋅m µ

fne⋅+1µm

fne⋅i µ

i i i i rrr ′∆+′′⋅∆=∆ µ

0)µµµ()µ()µ( 2222 =−⋅∆+−⋅+∆⋅′′+′∆+−≡∆ m i m i i i i m i i l b h frrrr

Ecuación de segundo grado

Escoger entre las 2 soluciones

• avance

• retroceso

30/09/2008 19

Máster Oficial en:

Departamento:

LECCIÓN 2

M É T O D O S

D E R E S O L

U C I Ó N

D E S I S T E N A

S D E E C U A

C I O N E S

L I N E A L E S

Asignatura:

mediante MEF

MÉTODO DE CRISFIELD

i i i i rrr ′∆+′′⋅∆=∆ µ

0)()µ,( 22 =−∆+−≡∆∆ m i m i i i l g rrrrLa ecuación de constricción es un arco ‘elíptico’ con b=0

)(rfni

fne⋅m µ

fne⋅+1µm

0)µ()µ( 22 =−∆⋅′′+′∆+−≡∆ m i i i m i i l h rrrr

i i i i rrr ′∆+′′⋅∆=∆ µ

Escoger entre las 2 soluciones• avance

• retroceso

30/09/2008 20

Máster Oficial en:

Departamento:

LECCIÓN 2

M É T O D O S

D E R E S O L

U C I Ó N

D E S I S T E N A

S D E E C U A

C I O N E S

I N E A L E S

Asignatura:

mediante MEF

MÉTODO DE CAMINO PLANO

0µ)µµµ()()µ,( 2211 =−⋅∆⋅∆+−⋅+∆⋅∆+−≡∆∆ m i m i

T i m i i i l b g frrrrr

( ) fnerKr ⋅=′′ −m T

La ecuación de constricción es un plano normal al vector tangenteen un punto fijo a una distancia no nula

0µ)µµµ()µ()µ( 2211 =−⋅∆⋅∆+−⋅+∆⋅∆⋅′′+′∆+−≡∆ m i m i

T i i i m i i l b h frrrrr

i i i i rrr ′∆+′′⋅∆=∆ µ

)(rfni

fne⋅m µ

fne⋅+1µm

1+m rrm

0)(ψ)( 111

1 =⋅=′∆ − rrKr T

0)µ()µ()µ( 2221

211 =−⋅∆⋅+∆⋅′′≡∆ m i l b h fr

m rr =1

0)(ψ 1 =r

111 µ rr ′′⋅∆=∆

1µ∆

30/09/2008 21

Máster Oficial en:

Departamento:

LECCIÓN 2

M É T O D O S

D E R E S O L

U C I Ó N

D E S I S T E N A

S D E E C U A

C I O N E S

I N E A L E S

Asignatura:

mediante MEF

MÉTODO DE DESPLAZAMIENTO IMPUESTO

0))()()((),( =−∆+−≡µ∆∆ m i m i i i l k r k r k r g r

La ecuación de constricción es el desplazamiento impuesto de ungrado de libertad de un nodo prefijado

0)()()()()( =−µ∆⋅′′+′∆+−≡µ∆ m i i i m i i l k r k r k r k r h

i i i i k r k r k r )()()( ′∆+′′⋅µ∆=∆

)(rfni

fne⋅m µ

fne⋅+1µm

1+m rrm

1+m l m l

i m i m i

k r k r k r l

))()()((

′′

′∆+−−=µ∆

)(rfni

fne⋅m µ

fne⋅+1µm

1+m rrm

1+m l m l

30/09/2008 22

Máster Oficial en:

Departamento:

LECCIÓN 2

M É T O D O S

D E R E S O L

U C I Ó N

D E S I S T E N A

S D E E C U A

C I O N E S

I N E A L E S

Asignatura:

mediante MEF

MÉTODO DEL INCREMENTO DE TRABAJO IMPUESTO

0)(),( =ξ−⋅µ⋅∆+−≡µ∆∆ m m T

i m i i i g frrrr

La ecuación de constricción es el incremento de trabajo que seimpone a la estructura en cada paso

( ) 0)( =ξ−⋅µ⋅µ∆⋅′′+′+−≡µ∆ m m T

i i i m i i h frr∆rr

i i i i rrr ′∆+′′⋅µ∆=∆

m i m i m i

µ⋅⋅′′

µ⋅⋅′∆+−−ξ=µ∆

frfrrr )(

30/09/2008 23

Máster Oficial en:

Departamento:

LECCIÓN 2

M É T O D O S

D E R E S O L

U C I Ó N

E S I S T E N A

S D E E C U A

C I O N E S

I N E A L E S

Asignatura:

mediante MEF

EJEMPLO

r r fni

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

L02 Resolucion Sistemas NL

Documents

Transcript of L02 Resolucion Sistemas NL

El equipo está integrado por: Johab nl:15, Vanessa nl:26, Galilea nl:2.

Nl 20140802

Nl 20140320

L02 - Excel Para Profesionales

Nl 20010423

Nl 20150907

Nl 20141004

Nl 20150531

T03 L02 WRITER Tablas

WASHINGTON NATIONALS (NL EAST) (NL …

Nl 20140508

Nl 20150325

Presentacion nl

transparencia.tamaulipas.gob.mxtransparencia.tamaulipas.gob.mx/wp-content/uploads/... · computadora portatil (1.02 vi.o) computadora portatil (l02 vi.o) computadora portatil (l02

Nl 20130829

T01 L02 WRITER Insertando Texto en Nuestro Documento

a1 m01 s01 l02 - Atos Administrativos

L02 gestión basada-procesos_completa[1]

Municipio de Juárez NL – Municipio de Juárez NL

T L02 J11 2014 - UNC