Las ecuaciones diferenciales parciales en el cálculo conimágenes.

Ángela Mireya León Mecías, Mariano Rodríguez GuerraJuan Luis Valerdi, Michel Borroto

Universidad de La Habana

Primer Encuentro Cuba-MéxicoAnálisis Numérico y Optimización

La Habana, 2-4 Abril 2012

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La imagen:medio de comunicación poderoso

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Contenido

Procesos de cálculo con las imágenesMétodos basados en EDP’sEcuaciones de difusiónLíneas de trabajo

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Imagen: función real que describe una escena del mundo realu : Ω ⊂ <2 → <d

d=1 los valores de u representan intensidad en los tonos de grisesd=3 imágenes a color

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Procesos de cálculo con imágenes: sistema entrada-salida

Modelación de la imagenModelación de los procesos que actuan sobre las imágenes

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Imagen digital

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Imagen digital

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Aproximaciones para procesos de cálculos con imágenes

Las más antiguasTeoría de filtrosAnálisis espectralConceptos básicos de probabilidades y estadística

En los últimos 25 añosModelación estocásticaAproximación waveletsMétodos basados en EDP’s

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Conexión entre imágenes y ecuaciones diferenciales

En un entorno dinámico la visión se convierte en nuestro sentido másvaliosoEn un entorno estático donde no hay cambios en las escenas, pues lavisión no sería imprescindible.Las imágenes son valiosas y necesarias cuando las componentes de laescena cambian, cuando hay movimiento ó cambio de escenas, es decircuando hay cierta variación en espacio y tiempoLa necesidad de contar con imágenes está basada en la presencia decambiosprecisamente los mecanismos de cambio están descritos y gobernadospor las ecuaciones diferencialesEl interés fundamental en usar métodos basados en PDE’s es queexiste una teoría matemática bien establecida para PDE’s.

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Ecuaciones diferenciales y cálculo con imágenes

Dos puntos de vista

Elegir el funcional de energía que mejor se adapte al problema yresolver las ecuaciones de Euler-Lagrange asociadas al problema deminimizaciónTrabajar directamente con las ecuaciones diferenciales sin pensar en laenergía

Forma general de los modelos

∂u(t, x)

∂t+ F (x , u(t, x),∇u(t, x),∇2u(t, x)) =0, en (0,T )× Ω

∂u(t, x)

∂n=0

u(0, x) =0

Destacar presencia del parámetro t,variando t se crea familia de funciones u(t, x), t > 0,Selección de F , p.e. en Suavizado y Restauración

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Suavizado. Ecuaciones que modelan procesos de difusión

Difusiónun proceso que equilibra diferencias de concentración sin crear odestruir masaidentificar la concentración u con el nivel de grisley de Fick j = −D.∇u, D representa el tensor de difusión que es unamatriz simétrica y definida positiva.ecuación de continuidad (la difusión sólo transporta la masa sindestruirla o crearla)

∂tu = −∇ • (j)

ecuación de difusión∂tu = −∇ • (D.∇u)

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Difusión lineal y convolución Gaussiana

u0 ∈ L1(<2), imagen en escala de grises, entonces para suavizar u0

(Kσ ∗ u0) :=

∫<2

Kσ(x − y)u0(y)dy , filtro de paso bajo

Kσ(x) :=1

2πσ2 exp(−|x |2

2σ2 )

u0 ∈ C (<2) acotada, entonces para el proceso de difusión lineal

∂u∂t

=∆u

u(x , 0) =u0(x)

u(x , t) =

u0(x), x = 0

(K√2t ∗ u0)(x), t > 0

t está relacionado con el parámetro σ =√2t. Parar el proceso de

difusión en T = 12σ

2

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Características de la difusión isotrópica

Los bordes no son respetadosEl enlace entre regiones es destruido

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Motivación para la difusión anisotrópica

Operador capaz de preservar la posición de los bordesy homogeneizar (o difuminar) otras partes

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Generalización y preservación de los bordes

Sea ecuación de la difusión del calor

∂u∂t

= ∇ · (∇u) .

Considerando coeficiente de difusión no homogéneo

∂u∂t

= ∇ · (c (x , y , t)∇u) = c (t, x , y) ∆u +∇c · ∇u.

Respetar los bordes (|∇u|) ⇒ c (x , y , t) = g (|∇u|)

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Generalización y preservación de los bordes

Sea ecuación de la difusión del calor

∂u∂t

= ∇ · (∇u) .

Considerando coeficiente de difusión no homogéneo

∂u∂t

= ∇ · (c (x , y , t)∇u) = c (t, x , y) ∆u +∇c · ∇u.

Respetar los bordes (|∇u|) ⇒ c (x , y , t) = g (|∇u|)

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Generalización y preservación de los bordes

Sea ecuación de la difusión del calor

∂u∂t

= ∇ · (∇u) .

Considerando coeficiente de difusión no homogéneo

∂u∂t

= ∇ · (c (x , y , t)∇u) = c (t, x , y) ∆u +∇c · ∇u.

Respetar los bordes (|∇u|) ⇒ c (x , y , t) = g (|∇u|)

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Condiciones para el coeficiente de difusión

Intuitivamente:

|∇u (x)| ↓ ⇒ x no borde ⇒ c (x)→ 1|∇u (x)| ↑ ⇒ x de borde ⇒ c (x) → 0

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Coeficientes de difusión

P. Perona and J. Malik. Scale-space and edge detection using anisotropicdiffusion. IEEE Trans. Pattern Anal. Mach. Intell., PAMI-12:629–639, 1990.

c(x) = exp

−[|∇u (x)|

k

]2

y c(x) =1

1 +(|∇u(x)|

k

)2

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Líneas de trabajo

Detección de bordes. Aplicar difusión anisotrópica como preprocesamientoSolución numérica eficiente de la ecuación de difusión anisotrópica condiferentes coeficientes(Diferencias Finitas, Método de Líneas verticales, MétodoWavelet-Galerkin)

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Líneas de trabajo

Desarrollo de una metodología que permite obtener el mejor k demanera automática haciendo uso de un modelo basado en redesneuronales artificiales (Detección de bordes)SegmentaciónDetección de movimiento

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Referencias

1 Aubert G., & Kornprobst Mathematical Problems in Image Processing.PDEs & Calculus of Variations. Springer 2006.

2 Bovik Al The Essential Guide to Image Processing. Elsevier 2009.3 P. Perona and J. Malik. Scale-space and edge detection using

anisotropic diffusion. IEEE Trans. Pattern Anal. Mach. Intell.,PAMI-12:629–639, 1990.

4 Weickert Joachim, Anisotropic Diffusion in Image Processing. B. G.Teubner Stuttgart, Copyright 2008.

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