Post on 14-Jan-2016
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LEY DE SENOS Y COSENOS
ACT. J. JAVIER SEGURA RAMÍREZ
LEY DE SENOSEn todo triángulo, los lados son proporcionales a los senos de
los ángulos opuestos: senCc
senBb
senAa B
C A
D
a
c
bE
Se tiene el triángulo ABC y se trazan las alturas y .
En el triángulo ABE: Sen A =
Por lo que = c Sen A
En el triángulo CBE: Sen (180°-C)= Sen C
Sen C = . Por lo que = a Sen C
CD BE
cBE
BE
aBE
BE
Entonces = c Sen A = a Sen C
Y despejando: ---(1)
En el triángulo BCD: Sen B =
Por lo que = a Sen B
En el triángulo ACD: Sen A =
Por lo que = b Sen A
Entonces = a Sen B = b Sen A
Y despejando: ---(2)
De (1) y (2) y la propiedad transitiva de la igualdad:
BE
SenCc
SenAa
aCD
CD
bCD
CD
CD
SenBb
SenAa
senCc
senBb
senAa
LEY DE COSENOSa2 = b2 + c2 – 2bc Cos A
b2 = a2 + c2 – 2ac Cos B c2 = a2 + b2 – 2ab Cos C
Ab
C
B
a
c
D
En el ABC, se traza la altura
En el BCD, a2 = 2 + 2 ---(1)
En el ACD, b2 = 2 + 2
Y despejando: 2 = b2 - 2 ---(2)
En el segmento : ---(3)
Sustituyendo (2) y (3) en (1) :
a2 = ( c - ) 2 + b2 - 2
BD CD
AD CD
CD AD
AB ADcBD
AD AD
CD
a2 = c2 – 2c + 2 + b2 - 2
a2 = b2 + c2 – 2c ---(4)
Pero cos A =
Y despejando: = b cos A
Por lo que sustituyendo en (4):
a2 = b2 + c2 – 2c ( b cos A )
a2 = b2 + c2 – 2bc cos A
AD AD AD
AD
bAD
AD
1. Resuelve el triángulo oblicuángulo cuyos lados miden: a = 80, b = 65, c = 74.
Debemos hallar la medida de los tres ángulos: A, B y C.
Calculamos el ángulo A aplicando la Ley de Cosenos: a2 = b2 + c2 – 2bc cos A
Despejando: cos A =
Entonces Cos –1 0.343139 = 69.931765° , y para obtener minutos y segundos:
60(.931765) = 55.9059 y 60(.9059) = 54.354 por lo que A = 69° 55’ 54’’.
Calculamos el ángulo B aplicando la Ley de Senos:
Despejando: sen B =
Entonces sen –1 0.763169 = 49.744372° por lo que B = 49° 44’ 39’’.
Calculamos el ángulo C aplicando la Ley de Senos:
Despejando: sen C =
Entonces sen –1 0.868839 = 60.324003° por lo que C = 60° 19’ 26’’.
Comprobación: A + B + C = 179° 59’ 59’’. La diferencia es 1’’ por redondeo.
343139.0)74)(65(2
7465802
222222
bccba
senBb
senAa
763169.080
931765.6965 sena
bsenA
senCc
senAa
868839.080
931765.6974 sena
csenA
2. Resuelve el triángulo oblicuángulo con datos: a = 50, b= 40, C= 76°42’
Debemos hallar la medida del tercer lado (c) y de los otros dos ángulos A y B.
Calculamos el lado c aplicando la Ley de Cosenos: c2 = a2 + b2 – 2ab cos C
c2 = 502 + 402 – 2(50)(40) cos 76°42’. Como 42 / 60 = 0.7, entonces:
c2 = 2500 + 1600 – 4000 cos 76.7° = 3179.8 Así que c = = 56.39
Calculamos el ángulo A aplicando la Ley de Senos:
Despejando: Sen A =
Entonces Sen –1 0.862900 = 59.643771° por lo que A = 59° 38’ 37’’
Calculamos el ángulo B aplicando la Ley de Senos:
Despejando: Sen B =
Entonces Sen –1 0.69032 = 43.655445° por lo que B = 43° 39’ 19’’ .
Comprobación: A + B + C = 179° 59’ 56’’ . La diferencia es de 4’’ por redondeo.
8.3179
senCc
senAa
862900.039.56
7.7650 Senc
aSenC
SenBb
SenAa
69032.050
643771.5940 Sena
bSenA
3. Un túnel se va a construir a través de una montaña.Se fija un punto de referencia que se observa desde los puntos de entrada y de salida. La distancia de este punto al de entrada es de 253 m y al de salida es de 462 m. El ángulo formado por estas distancias con vértice en el punto de referencia es de 75° 30’. Calcula la longitud del túnel.
Según la figura, tenemos que C = 75° 30’ y el lado opuesto será c, que representa la longitud del túnel.
Como 30 / 60 = 0.5, entonces C = 75.5° a = 462 m y b = 253 m
A B
253462
C
c
Calculamos el lado c aplicando la Ley de Cosenos: c2 = a2 + b2 – 2ab cos C
c2 = 4622 + 2532 – 2(462)(253) Cos 75.5°
c2 = 218921.17 por lo que c =
c = 467.89
Entonces, la longitud del túnel es 468 m.
17.218921
4. Dos personas situadas en puntos opuestos de una ciudad ubicada en un terreno plano, observan que sobre la ciudad hay un objeto que parece ser un OVNI. Los ángulos de elevación del punto de observación de cada persona con respecto al objeto son de 25° y 30°. Si la distancia entre las dos personas es de 2 km, ¿a qué altura se encuentra el objeto?
A B
C
D
ab
c
El ángulo A= 25° y el ángulo B= 30°.
En el ABC, el lado c mide 2000 m y queremos hallar la medida de la altura .
Como A + B + C = 180°, entonces C = 125° Calculamos el lado a, aplicando la Ley de Senos:
CD
senCc
senAa
Despejando: a =
a = 1031.84 m
Ahora, el BCD es rectángulo y respecto al ángulo B, conocemos la hipotenusa a y queremos hallar el cateto opuesto . Por lo que
Sen B = y despejando:
= a Sen 30° = 1031.84 (0.5)
= 515.92
Por lo que el objeto se encuentra a una altura de 516 m.
125252000
SenSen
SenCcSenA
CD
aCD
CD
CD
Practica con estos ejercicios:
1. Resuelve el triángulo oblicuángulo siguiente: b = 50, A = 57° 7’, C = 78° 28’.
2. La magnitud de la resultante de dos fuerzas de 115 kg y 215 kg es de 275 kg. Encuentra el ángulo formado por las direcciones de las dos componentes.
No veas las respuestas hasta que estés seguro de tus resultados.
Respuestas a los ejercicios:Recuerda: No veas estas respuestas hasta que estés
seguro de tus resultados.
1. B = 44° 25’ , a = 60 , c = 70 .
2. = 109° 5’ 33’’
Si deseas ampliar el tema, puedes consultar:
• Aurelio Baldor. Geometría y Trigonometría.
• Abelardo Guzmán. Geometría y Trigonometría.
• Burrill-Cummins et al. Geometría.
• Francisco Ortíz. Matemáticas II, Geometría y Trigonometría.
• www.acienciasgalilei.com
• www.monografias.com