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Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Álgebra Lineal - p. 1/38

Álgebra LinealMa1010

Matrices: Conceptos y Operaciones BásicasDepartamento de Matemáticas

IntroduccionMatrizIgualdad entreMatricesMatricesespecialesSuma de matricesProducto porescalarMatriz por vectorMatrizrequerimientoProducto entrematricesComentarioPropiedadesNotas

Introducción

En esta lectura veremos conceptos básicos sobrematrices, las operaciones de suma entre matrices,producto de un escalar por una matriz y elproducto entre matrices.

Matriz

Una matriz A m× n es un arreglo rectangular dem · n números en forma de m rengloneshorizontales y n columnas verticales:

Matriz

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

am1 am2 · · · amn

Matriz

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

Nos referiremos al elemento que se encuentra enel renglón i y en la columna j como el elemento aijde A o como el (i, j)-esimo elemento de A.

Matriz

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

Nos referiremos al elemento que se encuentra enel renglón i y en la columna j como el elemento aijde A o como el (i, j)-esimo elemento de A. Ladimensión de A es el producto indicado delnúmero de renglones por el número de columnas,así en este caso la dimensión de A es m× n.

El i-esimo rengl on de A es:[

ai1 ai2 · · · ain

El i-esimo rengl on de A es:[

ai1 ai2 · · · ain

La j-esima columna de A es:

a2j...

También podemos considerar que la matriz A esuna secuencia de sus columnas a1, a2,..., an:

A = [a1 a2 · · · an] .

Ejemplo

Indique cuáles de las siguientes representacionesson matrices:

−2 4 −3

0 −1

−2 4 −3

5 0 −1

Ejemplo

Indique cuáles de las siguientes representacionesson matrices:

−2 4 −3

0 −1

−2 4 −3

5 0 −1

Recuerde: Matriz es un arreglo rectangular; Porconsiguiente, la única representación quecorresponde a una matriz es la última �

Ejemplo

Para cada matriz, indique el número de renglones, el número de columnas y sudimensión:

−1 −4]

6 −2

−5 6

−1 −1 1]

4 3 −4

2 5 −5

2 6 −3

−2 3

−6 6

−2 5

−3 −6 0

3 −1 0

Ejemplo

Para cada matriz, indique el número de renglones, el número de columnas y sudimensión:

−1 −4]

6 −2

−5 6

−1 −1 1]

4 3 −4

2 5 −5

2 6 −3

−2 3

−6 6

−2 5

−3 −6 0

3 −1 0

Soluci on

1. tiene 2 renglones y 1 columna: es 2× 1; 2. tiene 1 renglón y 2 columnas: es

1× 2, 3. tiene 3 renglones y 1 columna: es 3× 1, 4. tiene 2 renglones y 2 columnas:

es 2× 2, 5. tiene 1 renglón y 3 columnas: es 1× 3, 6. tiene 3 renglones y 3

columnas: es 3× 3, 7. tiene 3 renglones y 2 columnsa: es 3× 2, y 8. tiene 2

renglones y 3 columnas: es 2× 3 �

Ejemplo

Liste en orden los elementos (3, 1), (3, 2), y (2, 2) dela matriz:

−3 −4 −1

−3 1 2

−3 3 3

Ejemplo

Liste en orden los elementos (3, 1), (3, 2), y (2, 2) dela matriz:

−3 −4 −1

−3 1 2

−3 3 3

Soluci onEl elemento (3, 1) está en el renglón 3 y en lacolumna 1: es -3. El elemento (3, 2) está en elrenglón 3 y en la columna 2: es 3. El elemento(2, 2) está en el renglón 2 y en la columna 2: es 1�

Igualdad entre matrices

Dos matrices se dicen matrices iguales si tienen lamisma dimensión y además elemento porelemento son iguales.

Dos matrices se dicen matrices iguales si tienen lamisma dimensión y además elemento porelemento son iguales.Ejemplo

Cuál debe ser el valor de x y de y para que lasmatrices sean iguales:

y x+ y

1 y − x

Dos matrices se dicen matrices iguales si tienen lamisma dimensión y además elemento porelemento son iguales.Ejemplo

y x+ y

1 y − x

Soluci onSe requiere que: x = y − x, que y = 2 x y quex+ y = 3. Resolviendo el sistema se obtiene quex = 1 y que y = 2 �

Ejemplo

y x+ y

1 y − x

Ejemplo

y x+ y

1 y − x

Soluci onComo la matriz a la izquierda es 2× 2 y la de laderecha es 3× 2. Las matrices no pueden seriguales para ningún valor de x y de y �

Matrices especiales

1. Una matriz 1× n se llama matriz renglón.

Matrices especiales

1. Una matriz 1× n se llama matriz renglón.2. Una matriz m× 1 se denomina una matriz

columna o vector.

Matrices especiales

columna o vector.3. Una matriz n× n se llama matriz cuadrada.

Matrices especiales

columna o vector.3. Una matriz n× n se llama matriz cuadrada.4. Una matriz cuya totalidad de elementos es cero

se llama matriz cero y se representa por 0.

Sea A una matriz cuadrada:1. A la colección de elementos aii se le llama su

diagonal principal.2. Se dice matriz triangular superior si todos los

elementos que están abajo de la diagonalprincipal son cero.

3. Se dice matriz triangular inferior si todos loselementos que están arriba de la diagonalprincipal son cero.

4. Se dice matriz diagonal si todos los elementosque están por arriba y por abajo de la diagonalprincipal son cero.

5. Se dice matriz escalar si es diagonal y todos loselementos de la diagonal principal son iguales.

Ejemplo

Clasifique las siguientes matrices:

0 −8

Ejemplo

0 −8

Soluci on La matriz 1. por el elemento (2, 1) no esni triangular superior, ni diagonal, ni escalar. Por elelemento (1, 2) tampoco es triangular inferior

Ejemplo

0 −8

Soluci on La matriz 2. por el elemento (2, 1), no estriangular superior, ni diagonal ni escalar. Por ellemento (1, 2) tampoco es triangular inferior.

Ejemplo

0 −8

Soluci on La matriz 3. es triangular superior, perono diagonal ni escalar; no es triangular inferior.

Ejemplo

0 −8

Soluci on La matriz 4. es triangular superior ytriangular inferior, diagonal pero no matriz escalar.

Ejemplo

0 −8

Soluci on La matriz 5. es triangular inferior, perono diagonal ni escalar; no es triangular superior.

Ejemplo

0 −8

Soluci on La matriz 6. es triangular inferior, perono diagonal ni escalar; no es triangular superior.

Ejemplo

0 −8

Soluci on La matriz 7. es triangular inferior,triangular superior, matriz diagonal y matrizescalar.

Ejemplo

0 −8

Soluci on La matriz 8. no es triangular inferior,ni triangular superior, ni matriz diagonal, ni matrizescalar �

Suma de matrices

Dos matrices de las mismas dimensiones se pueden sumar; lasuma de dos matrices de diferente dimensión no. La suma de dosmatrices de las mismas dimensiones es una matriz de las mismadimensiones y se obtiene sumando sus elementoscorrespondientes:

a11 · · · a1n

a21 · · · a2n

.... . .

am1 · · · amn

b11 · · · b1n

b21 · · · b2n

.... . .

bm1 · · · bmn

a11 + b11 · · · a1n + b1n

a21 + b21 · · · a2n + b2n

.... . .

am1 + bm1 · · · amn + bmn

Ejemplo

Realice la suma de las matrices:

−1 2

−1 0

Ejemplo

Realice la suma de las matrices:

−1 2

−1 0

Observamos que la suma sí se puede realizarporque las dimensiones de las matrices coinciden,así:

−1 2

−1 0

(−1) + (−1) (2) + (0)

(1) + (1) (1) + (2)

(1) + (4) (1) + (1)

−2 2

Producto de un escalar por una matriz

Sea A cualquier matriz y c un escalar cualquiera. El productoescalar cA es una matriz que tiene las mismas dimensiones que lamatriz A, y que en cada elemento contiene el elementocorrespondiente de A multiplicado por c:

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

......

. . ....

c a11 c a12 · · · c a1n

c a21 c a22 · · · c a2n

......

. . ....

c am1 c am2 · · · c amn

Ejemplo

Realice el producto

−1 2

1 −4

Ejemplo

Realice el producto

−1 2

1 −4

Este producto siempre se puede realizar, y eneste caso:

−1 2

1 −4

(−3) · (−1) (−3) · (2)

(−3) · (1) (−3) · (0)

(−3) · (1) (−3) · (−4)

3 −6

−3 0

−3 12

Producto de una matriz por un vector

Sea A una matriz m× n y B una matriz columnan× 1, el Producto Matricial AB es la una matriz C

columna m× 1 definida como:

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

......

. . ....

j=1a1j bj

j=1a2j bj

...∑n

j=1amj bj

a11 b1 + a1,2 b2 + · · ·+ a1n bn

a21 b1 + a2,2 b2 + · · ·+ a2n bn

am1 b1 + am,2 b2 + · · ·+ amn bn

Alternativamente,

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

......

. . ....

+· · ·+bn

Ejemplo

Realize el producto de acuerdo a ambas definiciones y compruebela igualdad de resultados:

2 0 −1

3 4 −2

Ejemplo

Realize el producto de acuerdo a ambas definiciones y compruebela igualdad de resultados:

2 0 −1

3 4 −2

Soluci on

De acuerdo a la definición del producto como producto punto de losrenglones de A con b:

2 0 −1

3 4 −2

(2) (−4) + (0) (5) + (−1) (−7)

(3) (−4) + (4) (5) + (−2) (−7)

−8 + 0 + 7

−12 + 20 + 14

De acuerdo a la definición del producto como combinación lineal de las columnasde la matriz:

2 0 −1

3 4 −2

= − 4

2 0 −1

3 4 −2

= − 4

2 0 −1

3 4 −2

= − 4

2 0 −1

3 4 −2

= − 4

Observamos que hay equivalencia entre una forma y otra para el cálculo de un

producto de una matriz por un vector columna�

Ejemplo

Suponga una fábrica con varias etapas deensamble. En la primera etapa se producen dostipos de productos, digamos productos tipo X y tipoY. Estos productos están compuestos de partesque la fábrica denomina materia prima. La fábricaopera utilizando tres tipos de partes del tipomateria prima; tipo a, tipo b, y tipo c. Para armaruna pieza del tipo X requiere 4 piezas del tipo a, 3del tipo b y 5 del tipo c. Para armar una pieza deltipo Y requiere 5 del tipo a, 2 del tipo b y 6 del tipoc. Suponga que la planta desea armar 10 piezasdel tipo X y 21 piezas del tipo Y. ¿Cuántas piezasa, b, y c necesita?

Soluci onLa anterior composición podría ordenadamentepresentarse por la siguiente tabla.

Requerimientos por armado

un tipo X un tipo Y

tipo a 4 5

tipo b 3 2

tipo c 5 6

Para ver que este problema se resuelve usando el producto deuna matriz con un vector, desarrollemos los cálculos:

+ 21 ·

10 · 4

10 · 3

10 · 5

21 · 5

21 · 2

21 · 6

+ 21 ·

10 · 4

10 · 3

10 · 5

21 · 5

21 · 2

21 · 6

(10) · (4) + (21) · (5)

(10) · (3) + (21) · (2)

(10) · (5) + (21) · (6)

+ 21 ·

10 · 4

10 · 3

10 · 5

21 · 5

21 · 2

21 · 6

(10) · (4) + (21) · (5)

(10) · (3) + (21) · (2)

(10) · (5) + (21) · (6)

(4) · (10) + (5) · (21)

(3) · (10) + (2) · (21)

(5) · (10) + (6) · (21)

+ 21 ·

10 · 4

10 · 3

10 · 5

21 · 5

21 · 2

21 · 6

(10) · (4) + (21) · (5)

(10) · (3) + (21) · (2)

(10) · (5) + (21) · (6)

(4) · (10) + (5) · (21)

(3) · (10) + (2) · (21)

(5) · (10) + (6) · (21)

Ejemplo

Continuamos con la Empresa Ensambladora. Suponga que enuna siguiente etapa de ensamblado se prepan dos tipos depiezas; la pieza tipo M y la pieza tipo N. Suponga que para lapieza tipo M requiere 8 piezas tipo X y 3 piezas tipo Y. Mientrasque para la pieza tipo N requiere 2 piezas tipo X y 4 piezas tipoY. Suponga que la planta desea armar 11 piezas del tipo M y20 piezas del tipo N, ¿cuántas piezas X y Y se necesita? Digaentonces, cuántas piezas tipo a, b y c se requiere.

Soluci onLa información de la etapa se puede representaren forma de matriz como:

tipo M tipo N

tipo X 8 2

tipo Y 3 4

tipo M tipo N

tipo X 8 2

tipo Y 3 4

Así, las piezas requeridas se pueden calcular

tipo M tipo N

tipo X 8 2

tipo Y 3 4

(8) · (11) + (2) · (20)

(3) · (11) + (4) · (20)

tipo M tipo N

tipo X 8 2

tipo Y 3 4

(8) · (11) + (2) · (20)

(3) · (11) + (4) · (20)

tipo M tipo N

tipo X 8 2

tipo Y 3 4

(8) · (11) + (2) · (20)

(3) · (11) + (4) · (20)

Por ello es que para armar 11 piezas M y 20piezas N se requieren 128 del tipo X y 113 del tipoY.

Por otro lado, para saber cuántas piezas a, b y c serequieren hagamos:

(4) · (128) + (5) · (113)

(3) · (128) + (2) · (113)

(5) · (128) + (6) · (113)

(4) · (128) + (5) · (113)

(3) · (128) + (2) · (113)

(5) · (128) + (6) · (113)

(4) · (128) + (5) · (113)

(3) · (128) + (2) · (113)

(5) · (128) + (6) · (113)

De donde concluimos que se requieren en total1077 piezas a, 610 b y 1318 c �

Matriz de requerimiento

Para un proceso simplificado de entrada-salida que cumple las

propiedades de aditividad y proporcionalidad donde a la materia

prima se codifica como un vector de n componentes (el valor de n

es el total de tipos diferentes de materia prima en el proceso) y a la

salida se codifica como un vector de m componentes (el valor de m

es el total de tipos diferentes de productos posibles a la salida del

proceso):

proceso): la matriz de requerimiento del proceso es una matriz A

n×m tal que para determinar el total de cada tipo de materia prima

requerida para producir cantidades de productos codificados en el

vector y se realiza el producto A · y.

vector y se realiza el producto A · y. Note que el vector resultante

tiene n componentes que son precisamente el número de materias

primas disponibles.

primas disponibles. La matriz de requerimiento tiene en cada

columna el detalle de materia prima requerido para producir un

artículo o una unidad de cada tipo de artículo a la salida:

primas disponibles. La matriz de requerimiento tiene en cada

columna el detalle de materia prima requerido para producir un

artículo o una unidad de cada tipo de artículo a la salida: En la

primera columna aparece el correspondiente al tipo de producto 1,

y así sucesivamente.

En la primera etapa de la maquiladora del ejemplo anterior la matriz derequerimiento es simplemente la representación matricial de la información de latabla:

un tipo X un tipo Y

tipo a 4 5

tipo b 3 2

tipo c 5 6

matriz de requerimiento para la etapa de ensamble:

Producto entre Matrices

Sea A una matriz m× n y B una matriz n× k. Elproducto AB es la matriz m× k cuyas columnasson A b1,A b2,..., A bk, donde b1,b2,..., bk son lascolumnas de la matriz B.

AB = A[b1, . . . ,bk]

= [Ab1, . . .Abk]

Producto entre Matrices

Sea A una matriz m× n y B una matriz n× k. Elproducto AB es la matriz m× k cuyas columnasson A b1,A b2,..., A bk, donde b1,b2,..., bk son lascolumnas de la matriz B.

AB = A[b1, . . . ,bk]

= [Ab1, . . .Abk]

Equivalentemente, el elemento (i, j) del productopuede ser calculado haciendo el producto puntoentre el renglón i de la matriz a la izquierda por lacolumna j de la matriz a la derecha.

Ejemplo

Realice el producto A por B si

−2 4 5

0 3 −2

Ejemplo

−2 4 5

0 3 −2

Observamos que el número de columnas de A (3) coincidecon el número de renglones de B (3) por lo cual el producto sepuede efectuar. Para la realización trabajemos sobre lascolumnas de B:

Ejemplo

−2 4 5

0 3 −2

Observamos que el número de columnas de A (3) coincidecon el número de renglones de B (3) por lo cual el producto sepuede efectuar. Para la realización trabajemos sobre lascolumnas de B:■ A por columna 1 de B:

A b1 =

(2) (3) + (0) (−2) + (1) (0)

(2) (3) + (1) (−2) + (2) (0)

■ A por columna 2 de B:

A b2 =

(2) (2) + (0) (4) + (1) (3)

(2) (2) + (1) (4) + (2) (3)

A b2 =

(2) (2) + (0) (4) + (1) (3)

(2) (2) + (1) (4) + (2) (3)

A b3 =

(2) (4) + (0) (5) + (1) (−2)

(2) (4) + (1) (5) + (2) (−2)

A b2 =

(2) (2) + (0) (4) + (1) (3)

(2) (2) + (1) (4) + (2) (3)

A b3 =

(2) (4) + (0) (5) + (1) (−2)

(2) (4) + (1) (5) + (2) (−2)

Por consiguiente el producto es:

AB = [A b1 A b2 A b3] =

4 14 9

Ejemplo

Siguiendo con la situación de la empresa maquiladora, ¿Cuál serámatriz que da el cálculo de piezas a, b y c de la etapa 1 a la etapa2?

Ejemplo

Siguiendo con la situación de la empresa maquiladora, ¿Cuál serámatriz que da el cálculo de piezas a, b y c de la etapa 1 a la etapa2?Soluci on El producto de las matrices con ambas etapas respetandoel orden es la respuesta:

Ejemplo

(4) · (8) + (5) · (3) (4) · (2) + (5) · (4)

(3) · (8) + (2) · (3) (3) · (2) + (2) · (4)

(5) · (8) + (6) · (3) (5) · (2) + (6) · (4)

Ejemplo

(4) · (8) + (5) · (3) (4) · (2) + (5) · (4)

(3) · (8) + (2) · (3) (3) · (2) + (2) · (4)

(5) · (8) + (6) · (3) (5) · (2) + (6) · (4)

Ejemplo

(4) · (8) + (5) · (3) (4) · (2) + (5) · (4)

(3) · (8) + (2) · (3) (3) · (2) + (2) · (4)

(5) · (8) + (6) · (3) (5) · (2) + (6) · (4)

Es fácil comprobar que esta matriz contiene en las columnas los

requerimientos de piezas a, b y c para armar una pieza M y una

pieza N �

Matriz de requerimiento y producto de matrices

Es importante observar la bondad del producto dematrices respecto a las matrices de requerimiento:La matriz de requerimiento de un grupo de etapasde ensamble continuadas vistas como una solaetapa de ensamble es el producto de las matricesde requerimiento de las etapas involucradas justoen el mismo orden.

Propiedades de las operaciones

Sean A, B y C matrices m× n cualquiera, y seana, b, y c escalares cualquiera. Entonces sonválidas las siguientes afirmaciones:1. La suma de matrices es asociativa:

(A+B) +C = A+ (B+C).2. La suma de matrices es conmutativa:

A+B = B+A.3. La matriz 0 es el neutro bajo la suma:

A+ 0 = 0 +A = A.4. Cada matriz tiene un inverso aditivo y este es

precisamente el escalar −1 por la matriz:A+ (−1A) = (−1A) +A = 0.

5. El producto por escalares se distribuye sobre lasuma de matrices:c (A+B) = cA+ cB.

6. La suma de escalares se distribuye sobre lamultiplicación por matrices:(a+ b) A = aA+ bA.

7. La multiplicación por escalares es asociativa:(a · b) A = a (bA).

8. El escalar 1 multiplicado por una matriz dacomo resultado la matriz inicial:1A = A.

9. El escalar cero por una matriz da la matriz deceros:0A = 0.

10. La multiplicación de matrices es asociativa:A (BC) = (AB) C.

11. La multiplicación de matrices se distribuyesobre la suma de matrices:a) A (B+C) = AB+AC, yb) (A+B) C = AC+BC.

12. Movilidad de los escalares en unamultiplicación:a (AB) = (aA) B = A (aB).

13. La matriz cuadrada con sólo unos en ladiagonal In es la identidad multiplicativa:Im A = AIn = A.

14. El resultado de multiplicar la matriz cero, de ladimensión adecuada, por cualquier matriz dacomo resultado la matriz cero:0A = A0 = 0.

Notas Importantes

■ El producto de matrices sólo está definido en elcaso cuando el número de columnas de laprimera matriz es igual al número de renglonesde la segunda matriz. En cualquier otro caso sedice que está indefinido o que es irrealizable.

Notas Importantes

■ El producto matricial no es conmutativo: engeneral AB 6= BA.

Notas Importantes

■ El producto matricial no es conmutativo: engeneral AB 6= BA. Por ejemplo si

se tiene

A ·B =

6= B ·A =

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