Transcript of Libro de matematicas 8vo grado
- 1. Coordinacin General, Revisin y Asesora Tcnica Profesora Mara
Elsa Guilln Profesora Rosala Ros Rivas Autor Profesor Luis Adolfo
Gmez Rodrguez Revisin Tcnica General Profesora Rosala Ros Rivas
Revisin y Asesora Tcnica Cientfica Profesor Francisco Emilio Daz
Vega Profesor Humberto Antonio Jarqun Lpez Profesor Jorge Alberto
Velsquez Benavidez Sociedad Matemtica de Nicaragua Diseo y
Diagramacin Ramn Nonnato Morales Rger Alberto Romero Miguel ngel
Mendieta Rostrn Ilustracin Rger Alberto Romero Fuente de
Financiamiento PASEN I - Recursos del Tesoro - PROSEN Agradecemos
los valiosos aportes de la Sociedad Matemtica de Nicaragua y de los
docentes durante el proceso de validacin. Primera Edicin___________
Todos los derechos son reservados al Ministerio de Educacin
(MINED), de la Repblica de Nicaragua. Este texto es propiedad del
Ministerio de Educacin (MINED) , de la Repblica de Nicaragua. Se
prohbe su venta y reproduccin total o parcial. La presente
publicacin ha sido reproducida con el apoyo de la Unin Europea a
travs del Programa de Apoyo al Sector Educacin en Nicaragua
(PROSEN). El contenido de la misma es responsabilidad exclusiva del
MINED y en ningn caso debe considerarse que refleja los puntos de
vista de la Unin Europea.
- 2. PRESENTACIN El Gobierno de Reconciliacin y Unidad Nacional,
a travs del Ministerio de Educacin (MINED), entrega a docentes y a
estudiantes de Educacin Secundaria, el libro de texto de Matemtica
en el cual se desarrollan los cinco pensamientos: aleatorio
,numrico ,variacional, mtrico y espacial. La Matemtica es una
herramienta esencial en campos como las ciencias de la Tierra y la
naturaleza, la medicina, las ciencias sociales, la computacin, la
arquitectura, la ingeniera y en la vida cotidiana. El propsito
fundamental del texto, es propiciar en los estudiantes un papel ms
activo en el proceso de aprendizaje para que puedan interactuar con
los conocimientos planteados en el libro, permitindoles que
complementen lo desarrollado en la clase, consolidar, comparar,
profundizar en aquellos aspectos que explic su docente y prepararse
para la evaluacin. El libro de texto a travs de sus contenidos y
actividades, contribuye a la formacin en valores individuales,
comunitarios y sociales, los que se reflejarn en el comportamiento
de la o el estudiante dentro y fuera del Centro Educativo. El libro
de texto es un tesoro valioso en las manos de cada estudiante, y
cuidarlo con esmero, permitir que otros compaeros que estn en los
grados que les anteceden tambin puedan hacer uso de l, en su
proceso de aprendizaje. Esto significa que el libro de texto es una
propiedad social por tanto se debe cuidar porque no solo a usted le
ser de ayuda, sino que dependiendo del cuido que le d, tambin le
ser de provecho a otros, razn por la que le sugerimos lo forre, no
lo manche, no lo ensucie, no lo rompa, ni lo deshoje. Esa ser su
contribucin desinteresada y solidaria, con los prximos estudiantes
que utilizarn este libro. Ministerio de Educacin
- 3. INTRODUCCIN El presente texto corresponde a los contenidos
del rea de Matemtica del Octavo Grado de la Educacin Media. El
texto contiene 7 unidades con los siguientes contenidos: En la
Unidad I, se desarrollan los conceptos fundamentales de la
Estadstica Descriptiva para datos agrupados. Se presenta un repaso
de los temas de Estadstica Descriptiva para datos no agrupados, los
cuales son abordados con detalle en el Libro de Texto de Matemtica
de Octavo Grado. En la Unidad II, se estudia el conjunto de los
nmeros reales y sus propiedades. Se hace nfasis en la interpretacin
geomtrica de las propiedades de los nmeros reales. Se hace un
repaso de las propiedades fundamentales de los nmeros naturales,
enteros y racionales. En la Unidad III, se estudian los conceptos
fundamentales de lgebra. Se abordan las expresiones algebraicas
tales como monomio, binomio y trinomio, y las operaciones en las
que intervienen. Se utiliza la geometra para la interpretacin de
las propiedades bsicas de las expresiones algebraicas y la
construccin de modelos algebraicos basados en situaciones de la
realidad. En la Unidad IV, se estudian las operaciones con
polinomios: suma, resta, multiplicacin y divisin. Se introduce la
divisin sinttica (mtodo de Ruffini) para la divisin de polinomios.
La geometra se utiliza para la interpretacin de las propiedades de
los polinomios. Se desarrollan los productos notables y su
interpretacin geomtrica. En la Unidad V, se estudian las funciones.
Se inicia con un repaso del concepto de relacin, que ya ha sido
abordado con detalle en Sptimo Grado. Una caracterstica fundamental
de esta unidad, es que las funciones que se estudian tienen como
dominio el conjunto de los nmeros enteros o subconjuntos de nmeros
enteros. Estas funciones son llamadas funciones discretas. Se
abordan las funciones lineales con sus propiedades tratndolas como
funciones lineales discretas. Se presentan diferentes
interpretaciones del concepto de funcin a travs de modelos basados
en situaciones de la realidad cotidiana. Tambin se estudian en esta
unidad las ecuaciones lineales de primer orden con una incgnita y
sus aplicaciones a situaciones de la realidad. En la Unidad VI, se
desarrollan los conceptos bsicos de Geometra Euclidiana Plana a
partir del concepto de pentgono regular. Los conceptos bsicos de
Geometra se abordan con detalle en el Sptimo Grado. En esta Unidad
se hace un repaso de los conceptos bsicos hasta los cuadrilteros.
Las demostraciones estn presentes sin embargo, no representan un
peso especfico significativo en el desarrollo de la teora. Se
concluye la unidad con el concepto de circunferencia y crculo.
- 4. En la Unidad VII, se estudian permetros y reas de regiones
poligonales. Se estudian los permetros de polgonos regulares y se
presenta una clasificacin de los polgonos regulares. Tambin se
aborda el concepto de rea de una regin limitada por un polgono
regular y el rea del crculo. Se concluye esta unidad con el tema
Construcciones geomtricas con regla y comps. El texto est
estructurado a doble columna, siendo la columna izquierda dedicada
a temas sobre historia de la Matemtica, reforzamiento, curiosidades
matemticas, juegos matemticos. Algunos conceptos sobre los cuales
es necesario hacer especial nfasis. En la columna derecha se
desarrolla el contenido cientfico, ejemplo, trabajo en equipo y
actividaddes finales para cada unidad. Los iconos utilizados en el
texto tienen los siguientes significado: Ma tem ti ca 7 Sabas qu?
Lea, analice e interprete. Refuerce sus conocimientos.
- 5. Primera Unidad: Estadstica Estadstica. 2 Introduccin 2
Repaso de estadstica descriptiva para datos no agrupados. 2 Medidas
de tendencia central para datos no agrupados. 7 Estadstica
descriptiva para datos agrupados. 13 Actividades Finales de la
Primera Unidad 41 Segunda Unidad: El Conjunto de los Nmeros
Irracionales El Conjunto de los Nmeros Reales. 52 Introduccin. 52
El conjunto de los nmeros irracionales. 53 Representacin de nmeros
irracionales en una recta numrica.56 Representacin de un nmero real
en una recta numrica. 58 Valor absoluto de un nmero real. 58 Suma
de nmeros reales. 53 Sumando dos nmeros reales utilizando la recta
numrica real. 59 Propiedades de la suma de nmeros reales. 60
Multiplicacin de nmeros reales. 62 Propiedad conmutativa del
producto de nmeros reales. 63 Divisin de nmeros reales 65
Propiedades de la relacin de orden en el conjunto de los nmeros
reales. 68 Actividades Finales de la Segunda Unidad 73 Tercera
Unidad: Introduccin al lgebra Introduccin al lgebra. 80 Expresiones
algebraicas. 80 Dominio de una variable. 82 Qu es un monomio? 85
Monomios semejantes. 86 Tipos de monomios. 87 Suma y resta de
monomios. 88 Qu es un binomio? 92 Qu es un trinomio? 95 Qu es un
polinomio? 97 El trmino independiente de un polinomio. 98 Concepto
de polinomio ordenado. 99 Valor numrico de una expresin algebraica.
100 Actividades Finales de la Tercera Unidad 104 Cuarta Unidad :
Operaciones con polinomios Operaciones con polinomios. 114
Indice
- 6. Cmo se suman dos polinomios? 114 Propiedades de potenciacin
(Repaso) 116 Multiplicacin de monomios. 120 Divisin de monomios.
121 Suma y resta de polinomios. 122 Suma de polinomios. 122 Resta
de polinomios. 124 Los signos de agrupacin. 129 Multiplicacin de
polinomios. 131 Multiplicacin de dos polinomios. 132 Simplificacin
de expresiones algebraicas que contienen productos indicados. 134
Divisin de polinomios. 137 Divisin sinttica o Regla de Ruffini. 141
Productos notables. 144 Cubo de la suma de dos trminos.148 Cubo de
la diferencia de dos trminos. 149 Producto de la forma (x + a)(x +
b). 150 Actividades Finales de la Cuarta Unidad 160 Quinta Unidad :
Funciones Funciones. 168 Introduccin. 168 Repaso de relaciones. 168
Concepto de funcin. 175 Funciones discretas. 181 Concepto de funcin
discreta. 181 Concepto de variable independiente y de variable
dependiente. 183 Funciones definidas por ecuaciones. 184 El
criterio de la recta vertical para identificar funciones. 186 La
funcin lineal. 187 Operaciones con funciones lineales. 190
Ecuaciones lineales en una variable (incgnita). 197 El concepto de
igualdad. 197 Grado de una ecuacin lineal con una incgnita 199
Propiedades de las ecuaciones lineales con una incgnita. 199
Ecuaciones de la forma ax = b (a 0). 202 Ecuaciones de la forma ax
b = cx + d; (a 0). 203 Ecuaciones lineales con una incgnita y
coeficientes fraccionarios. 204 Ecuacin lineal con una variable 205
Procedimiento general para resolver ecuaciones lineales con una
variable 206 Resolucin de problemas modelados por ax + b = c. 207
Algunas ideas para resolver problemas aplicados 208 Actividades
Finales de la Quinta Unidad 214
- 7. Sexta Unidad : Construccin de Figuras Geomtricas.
Construccin de figuras geomtricas. 222 Conceptos bsicos de
Geometra. 222 Regiones poligonales y polgonos regulares 226 Lnea
poligonal. 226 Regin poligonal cerrada. 227 El pentgono regular.
228 Suma de las medidas de los ngulos internos de un polgono. 232
ngulo exterior de un polgono con regin interior convexa. 233 El
hexgono regular. 234 Propiedades de los ngulos externos de un
polgono regular. 242 La circunferencia y el crculo. 244 La
circunferencia. 244 Posiciones relativas de dos circunferencias.
247 Propiedades de los arcos. 249 El crculo. 250 Polgonos regulares
inscritos y circunscritos a una circunferencia. 252 Nombres de
algunos polgonos regulares. 255 Curiosidades matemticas. 256 Sptima
Unidad : rea y permetro de regiones poligonales regulares. rea del
crculo. rea y permetro de regiones poligonales regulares. rea del
crculo. 260 Introduccin. 260 rea de una regin poligonal. 261 reas
de crculos y sectores circulares. 265 ngulos notables en la
circunferencia. 266 Ejercicios resueltos. 270 Construcciones
geomtricas con regla y comps. 275 Introduccin. 275 Construcciones
bsicas. 275 Actividades Finales de la Sptima Unidad 283
- 8. Estadstica Unidad 1 El Gobierno de Reconciliacin y Unidad
Nacional puso en funcionamiento el parque elico Comandante Camilo
Ortega quien es considerado el Apstol de la Unidad Sandinista. La
unidad de todos los nicaragenses, unidos por el Bien Comn de este
pas, en reconciliacin y haciendo patria siempre para este pueblo.
Este parque elico cuenta con una capacidad para generar 40
megawatts (MW), y se encuentra ubicado en el sureo departamento de
Rivas. Con este se busca la transformacin de la matriz energtica y
la generacin de energa renovable, lo cual conlleva a un impacto de
menos costos de produccin y un mayor benecio para las familias.
Fuente: 19 digital 12 de Marzo 2 014 Altura de las cumbres de
Nicaragua.
- 9. 2 Estadstica. Introduccin Qu temas sobre Estadstica
Descriptiva se estudiarn en Octavo Grado? En el libro de texto de
Sptimo Grado se estudiaron los conceptos bsicos de Estadstica
Descriptiva para conjuntos de datos no agrupados. Los conjuntos
analizados contenan cantidades pequeas de datos. En este texto se
estudiarn los conceptos bsicos de Estadstica Descriptiva para
conjuntos de datos agrupados. Repaso de estadstica descriptiva para
datos no agrupados. Lea, analice e interprete Recordemos algunos
conceptos. Actividad A continuacin se presentan las calificaciones
de Matemtica de 10 estudiantes varones y mujeres del 8vo grado del
Colegio Rafaela Herrera, del municipio de Masaya, correspondientes
al primer semestre del ao 2013. 85 91 78 78 85 78 90 80 90 91 Para
el conjunto de datos dado realizar las siguientes actividades:
Construir una tabla estadstica para la frecuencias absoluta.
Construir un diagrama de barras. Construir una tabla estadstica
para la frecuencias absoluta. Construir una tabla estadstica que
indique los porcentajes para la frecuencias absoluta. Construir un
diagrama de sectores circulares. Fuunprominentecientfico, matemtico
y pensador, que estableci la disciplina de la estadstica matemtica.
Karl Pearson (1 857 - 1 936 ) La estadstica trata de la recoleccin,
organizacin, presentacin e interpretacin de datos Estadstica
Descriptiva Estadstica Inferencial Subdivisiones de la Estadstica
Recuerde El Rango es la diferencia entre sus valores extremos; es
decir la diferencia entre el valor mximo y el valor mnimo. Es
importante recordar los conceptos de poblacin, muestra, distribucin
de frecuencias, media aritmtica, mediana y moda para datos no
agrupados. Nota histrica
- 10. 3 Recordemos Muchos problemas de la vida real y toma de
decisiones se resuelven utilizando mtodos estadsticos. Construccin
de una tabla estadstica para la frecuencias absoluta.
Calificaciones Frecuencias 85 2 91 2 78 3 90 2 80 1 n =10 Tabla 1
La tabla indica que: La calificacin 85 la obtuvieron 2 estudiantes.
La calificacin 91 la obtuvieron 2 estudiantes. La calificacin 80 la
obtuvo slo 1 estudiante. Actividad Observar la tabla de frecuencias
y responda a las siguientes preguntas: Qu frecuencias corresponden
a las calificaciones 78 y 90? Cul es la calificacin de mayor
frecuencia? Construccin de un diagrama de barras. Cmo se construye
un diagrama de barras? Un diagrama de barras se construye por medio
de dos ejes que se intersectan en un ngulo recto, es decir, un
ngulo cuya medida es 90 En el eje horizontal ubicamos las
calificaciones. En el eje vertical ubicamos las frecuencias. Qu es
tabla de frecuencias? Tabla de frecuencias en una variable
cualitativa es un resumen de los datos obtenidos de la muestra
frente a la variable que se quiere caracterizar. La frecuencia nos
indica el nmero de veces que un dato se repite en el conjunto. Qu
es diagrama de barras de frecuencias? Diagrama de barras de
frecuencias es un diagrama en el que se representan grficamente los
datos de una tabla de frecuencias.
- 11. 4 Matemtico ruso. Uno de los matemticos ms brillantes del
siglo XX. Junto a sus colaboradores realiz importantes aportes a la
teora relacionada con el anlisis estadstico de los textos, tanto en
prosa como en verso. Realiz grandes contribuciones a la teora de
probabilidades. A.N. Kolmogrov (1 903 - 1 987) El diagrama de
barras se construye con los datos de la tabla 1. 0 1 2 3 4
Calificaciones 85 91 78 90 80 2 2 2 1 3 Frecuencias Fig. 1
Interpretar el diagrama de barras de frecuencias. La calificacin de
85 la obtuvieron 2 estudiantes. La calificacin de 91 la obtuvieron
2 estudiantes. La calificacin de 80 la obtuvo un estudiante.
Actividad Observar el diagrama de barras de frecuencias y contestar
las siguientes preguntas: Cul es la calificacin de mayor
frecuencia? Qu frecuencia corresponde a la calificacin de 90?
Encuentre el nmero total de datos a partir del diagrama de barras.
Construccin de una tabla estadstica de frecuencias relativas. La
frecuencia relativa fr se obtiene dividiendo la frecuencia entre el
nmero total de datos n. Verifique los valores para de acuerdo con
los datos presentados en la siguiente tabla: Calificaciones fi fr
85 2 2/10=0,2 91 2 2/10=0,2 78 3 3/10=0,3 90 2 2/10=0,2 80 1
1/10=0,10 n =10 Tabla 2 Nota histrica
- 12. 5 Construccin de una tabla estadstica que indique los
porcentajes para la frecuencias absoluta. Los porcentajes se
obtienen multiplicando por 100 las frecuencias relativas. En el
ejemplo y a partir de la tabla 2, obtenemos: Calificaciones fi fr
Porcentajes 85 2 2/10 = 0,2 0,2(100) = 20% 91 2 2/10 = 0,2 0,2(100)
= 20% 78 3 3/10 = 0,3 0,3(100) = 30% 90 2 2/10 = 0,2 0,2(100) = 20%
80 1 1/10 = 0,10 0,1(100) = 10% n = 10 Total = 100% Tabla 3
Actividad Observe la tabla de porcentajes y conteste las siguientes
preguntas: Qu calificacin corresponde al 30% del total? Qu
calificacin corresponde al 10% del total? Cmo calcula el nmero
total de datos a partir de cualquiera de los porcentajes?
Construccin de un diagrama de sector circular. Qu es un diagrama de
sector circular? El diagrama circular es una representacin de las
frecuencias en un crculo. Calificaciones Porcentajes ngulo 85
0,2(100)= 20% 72 91 0,2(100) = 20% 72 78 0,3(100) = 30% 108 90
0,2(100) = 20% 72 80 0,1(100) = 10% 36 Total = 100% Tabla 4 Un
diagrama circular se construye de la siguiente manera: Recordemos
que el crculo corresponde a un ngulo de 360. El ngulo para cada
frecuencia se obtiene mediante una regla de tres: 360100% x 20% x =
72 Por lo tanto, el 20% corresponde a un ngulo de 72. En el Sptimo
Grado, el ngulo se calcula as: x = 360fr x = (0,20)(360) x = 72 Ma
tem ti ca 7 Sabas qu?
- 13. 6 Actividad Compruebe que el ngulo para el 30% es de 108 y
para el 10% es de 36. El diagrama de sector circular es el que
podemos apreciar a nuestra derecha. Qu informacin brinda este
diagrama? El30%delosestudiantesobtuvieron una calificacin de 78. El
10% de los estudiantes obtuvieron una calificacin de 80. Actividad
Encuentre las calificaciones que corresponden al 20%. Actividad A
continuacin se presenta un grfico de pastel (ver explicacin columna
izquierda), correspondiente a un grupo de 50 estudiantes varones y
mujeres de la clase de Fsica de Dcimo Grado. Observe el grfico y
responda la pregunta: Mujeres Varones 40 % 60 % Fig. 3 Cuntas
mujeres y cuntos varones hay en el grupo? Actividad Realice un
grfico de sector circular correspondiente al grupo de estudiantes
de su aula de clases. Investigue el nmero total de estudiantes de
su centro de estudios o Instituto de clases y realice un grfico de
sector circular. Naci en Londres. Psiclogo de profesin, estudi
estadstica y logr desarrollar notables aplicaciones de la
estadstica en el campo de la psicologa. Charles Edward Spearman (1
863 - 1 945) Fig. 2 30 % 20 % 20 % 20 % 10 % 78 90 809185 Sabas qu?
Ma tem tic a 7 Si el diagrama se dibuja de esta forma, se le
denomina Diagrama de sectores circulares. Noticias Novelas Pelculas
Documentales Si se le dibuja de esta otra forma, se le llama
Diagrama de pastel. Noticias Novelas Pelculas Documentales Nota
histrica
- 14. 7 Medidas de tendencia central para datos no agrupados.
Clculo de la media aritmtica , para datos no agrupados. Media
aritmtica x = Suma de todos los datos Nmero de datos Cmo se calcula
la media aritmtica o promedio? Actividad Las calificaciones
obtenidas por 10 estudiantes en una prueba parcial de Matemtica son
las siguientes: 72 78 80 84 85 87 90 90 90 91 Encontrando la media
aritmtica o promedio de estos datos. Calculando la suma de todas
las calificaciones: Suma = 72 + 78 + 80 + 84 + 85 + 87 + 90 + 90 +
90 + 91 = 847 Nmero de datos = 10 Efectuando la siguiente operacin:
x = Suma de todos los datos Nmero de datos = 10 847 = 84,7 se
obtiene que la media aritmtica es 84,7 Actividad Un estudiante
necesita saber su calificacin del tercer corte evaluativo de
Matemtica. El docente de la disciplina le informa que su promedio
de entrada al cuarto corte evaluativo es de 75 y que las
calificaciones de primero y segundo corte son respectivamente 68 y
74. Cul es la calificacin del tercer corte evaluativo?. Clculo de
la mediana. Cmo se calcula la mediana de un conjunto de datos no
agrupados? Si el nmero de datos es impar, entonces se suma 1 al
nmero de datos y el resultado se divide entre 2. Considere un
conjunto de 11 datos 86 91 84 80 86 64 81 86 86 84 92 El smbolo
(Sigma), se utiliza para indicar sumatorias en forma abreviada. x x
x xi i k k = = + + + 1 1 2 ... Si n = 4, entonces: x x x x xi i= =
+ + + 1 4 1 2 3 4 Smbolo de sumatoria La mediana de un conjunto de
datos, es el dato que divide al conjunto en dos partes iguales. La
mediana se denota por Me . Ma tem ti ca 7 Sabas qu?
- 15. 8 Con este nmero de datos se procede de la siguiente
manera: Sumar 1 al nmero de datos: 11 + 1 = 12. Dividir el
resultado entre 2: 2 12 = 6. Por lo tanto, la mediana se encuentra
en la posicin 6. La mediana es 86. 1 64 2 80 3 81 4 84 5 84 6 86 7
86 8 86 9 86 10 91 11 92 5 datos 5 datos Mediana Observe que tanto
a la izquierda como a la derecha de la mediana hay 5 datos. La
mediana est en el centro de la muestra y es 86. Qu ocurre si el
nmero de datos es par? Ejemplo El siguiente conjunto de datos
corresponde a las calificaciones finales de Matemtica del primer
semestre 2010 de 10 estudiantes del 11mo Grado B del Colegio Pblico
de Santa Cruz, Departamento de Estel. Se pide encontrar la mediana
para este conjunto de datos. 86 91 84 80 86 64 81 86 86 84 Se
siguen los pasos siguientes: Ordenando los datos de menor a mayor.
1 64 2 80 3 81 4 84 5 84 6 86 7 86 8 86 9 86 10 91 El nmero de
datos es par. Si el nmero de datos es par, entonces se realizan los
siguientes pasos: Dividiendo el nmero de datos entre 2. El nmero de
datos es 10. Dividiendo 10 entre 2, se obtiene 5. Matemtico
britnico. En teora de probabilidades existe un teorema que lleva su
apellido y trata sobre la probabilidad de un suceso condicionado
por la ocurrencia de otro suceso. Thomas Bayes (1 702 - 1 761) Nota
histrica
- 16. 9 Se suma el dato que se encuentra en la posicin 5 con el
dato que le sigue y se calcula el promedio de los dos. El resultado
del promedio ser la mediana. El dato que se encuentra en la posicin
5 es 84 y el dato que le sigue es 86, La mediana ser el promedio de
84 y 86. Me = 84 + 86 2 = 85 1 64 2 80 3 81 4 84 5 84 6 86 7 86 8
86 9 86 10 91 85 Observar que en este caso la mediana no pertenece
al conjunto de datos. Actividad Calcular la mediana para el
siguiente conjunto de datos ya ordenados de menor a mayor: 43 70 76
76 77 78 80 81 82 85 87 90 Clculo de la moda Mo , para un conjunto
de datos no agrupados Ejemplo En el primer corte evaluativo de
Matemtica 10 estudiantes de Octavo Grado obtuvieron las
calificaciones siguientes: 56 57 61 67 72 72 72 84 91 92 Observe
que los datos estn ordenados de menor a mayor. El dato que ms se
repite es 72, por lo tanto la moda de este conjunto de datos es: Mo
= 72. Ejemplo Se da un conjunto de datos correspondiente a las
calificaciones de la asignatura Fsica de 11vo grado: 70 70 70 72 78
78 79 81 82 85 La moda es el dato que ms se repite en un conjunto
de datos. No existe una frmula para calcular la moda con datos no
agrupados. Lo nico que se debe hacer es encontrar el dato que ms se
repite. Un conjunto de datos puede tener ms de una moda, en estos
casos se dice que la muestra es bimodal, trimodal, etc. Dr. Luis
Adolfo Gmez Rodrguez (1 959 - 2 011) Destacado profesor
universitario, nacido en Estel, con profundos conocimientos en
Fsica Terica y Matemtica. Fue presidente de la Sociedad Matemtica
de Nicaragua y Realiz sus estudios en la Universidad Estatal M.V.
Lomonsov de Mosc. Ma tem ti ca 7 Sabas qu?
- 17. 10 Actividad Verifique los valores de la siguiente tabla de
frecuencias absolutas, frecuencias relativas y de porcentajes. xi
fi fr % 70 3 3/10 = 0,30 30 72 1 1/10 = 0,10 10 78 2 2/10 = 0,20 20
79 1 1/10 = 0,10 10 81 1 1/10 = 0,10 10 82 1 1/10 = 0,10 10 85 1
1/10 = 0,10 10 Total = 10 1 100 Tabla 5 Ejemplo La calificacin 70
aparece 3 veces en el conjunto de datos, es decir, que su
frecuencia absoluta es 3. Su frecuencia relativa es 3 10 0 03= , Su
frecuencia porcentual (o porcentaje) es 0,30(100) = 30%. A
continuacin, se utilizarn los datos de la tabla 5 para construir un
diagrama de barras de porcentajes. Diagrama de barras de
porcentajes correspondiente a la Tabla 5. En el eje horizontal se
ubican la calificaciones y en el eje vertical se ubican los
porcentajes correspondientes a cada calificacin. Diagrama de barras
para porcentajes 35 % 30 % 25 % 20 % 15 % 10 % 5 % 0 % 70 72 78 79
81 30 10 10 10 10 10 20 % 82 85 Calificaciones Porcentaje Fig. 4 La
frecuencia absoluta fi representa el nmero de veces que cada dato
aparece en el conjunto de datos. La frecuencia relativa fr es el
cociente entre la frecuencia absoluta y el total de datos. Ma tem
ti ca 7 Sabas qu?
- 18. 11 Ejemplo Los datos a continuacin corresponden a las
calificaciones de la asignatura Fsica de 12 estudiantes de 11mo
Grado: 60 62 63 63 64 65 68 70 70 70 81 85 Para estos datos la
tabla de frecuencias absolutas f, frecuencias relativas fr y de
porcentajes, es la siguiente: xi fi fr % 60 1 1/12 = 0,08333 8,33
62 1 1/12 = 0,08333 8,33 63 2 2/12 = 0,1666 1,66 64 1 1/12 =
0,08333 8,33 65 1 1/12 = 0,08333 8,33 68 1 1/12 = 0,08333 8,33 70 3
3/12 = 0,25 25 81 1 1/12 = 0,08333 8,33 85 1 1/12 = 0,08333 8,33
Total 12 1 100 Tabla 6 Actividad 1. Verifique que los valores
contenidos en la Tabla 6 son correctos. 2. Un pelotero consigue 15
temporadas de 86, 75 , 91, 120,100, 75, 96, 102, 100, 96, 86, 97,
115, 88 y 75 hits. a.Elabore una tabla de frecuencia absoluta con
estos datos. b.Determine las medidas de tendencia central: Mediana
Media aritmtica Moda. c.Elabore un histograma. La frecuencia
porcentual es el resultado de multiplicar cada frecuencia relativa
por 100. Ma tem ti ca 7 Sabas qu?
- 19. 12 Actividad Con ayuda del diagrama de barras presentado en
la figura 5 Diagrama de barras 4 3 2 1 0 60 62 63 64 65 1 1 1 1 1 3
2 68 70 Calificaciones Frecuencias 1 1 81 85 Fig. 5 Responda las
preguntas: a.Cuntos estudiantes obtuvieron una calificacin menor de
85? b.Cuntos estudiantes obtuvieron una calificacin menor que 81 y
mayor que 62? c.Calcule la media aritmtica, la mediana y la moda.
Trabajemos en equipo. Para el conjunto de datos: 63 61 67 70 71 71
71 84 84 84 90 91 92 93 94 1. Construya: a.Una tabla estadstica que
contenga frecuencias absolutas, frecuencias relativas y
porcentajes. b.El histograma de barras. c.El diagrama de sector
circular. d.Calcule la media aritmtica y la mediana. e.Cuntas modas
tiene este conjunto de datos?
- 20. 13 Estadstica descriptiva para datos agrupados. Qu ocurre
cuando los datos a ser analizados son numerosos? Para muestras que
contienen una gran cantidad de datos, por lo general 30 o ms datos,
existen mtodos de la Estadstica Descriptiva que se basan en la
agrupacin de los datos de la muestra. Estos mtodos se conocen como
mtodos de la Estadstica Descriptiva para datos agrupados. Lea,
analice e interprete Distribuciones de frecuencias. Ejemplo Los
datos dados a continuacin corresponden a las calificaciones de
Matemtica de un grupo de 30 estudiantes del Octavo Grado de un
colegio del municipio de Managua. 73 50 52 76 70 72 75 76 51 53 79
72 74 70 54 55 70 52 51 74 71 77 57 53 84 76 77 76 86 89 Qu
procedimiento ser ms fcil para analizar el conjunto de datos
presentado? Ordenamos los datos de menor a mayor. 50 51 51 52 52 53
53 54 55 58 70 70 70 71 72 72 73 74 74 75 76 76 76 76 77 77 79 84
86 89 A continuacin se pueden dividir estos datos en grupos. A
estos grupos los llamaremos clases. Clase o intervalo de clase.
Cuandoelnmerodedatosenmuygrande,resultamsconveniente dividir la
muestra en intervalos de clase o clases. Cuntas clases se deben
tomar? Para un conjunto de datos se tomar un mnimo de 4 clases y un
mximo de 12 clases.
- 21. 14 Para el conjunto dado tomaremos 5 clases. 50 51 51 52 52
53 53 54 55 58 70 70 70 71 72 72 73 74 74 75 76 76 76 76 77 77 79
84 86 89 Rango. El Rango es la diferencia entre sus valores
extremos; es decir la diferencia entre el valor mximo y el valor
mnimo. Se calcula as: Rango = Valor mximo Valor mnimo Retomando el
ejercicio de grupo de 30 estudiantes de la pgina 13 el rango ser: R
= 89 - 50 = 39 Se llama intervalo de clase a cada uno de los
intervalos en que pueden agruparse los datos de una variable
estadstica. Amplitud de clase. Es el nmero de datos contenidos en
la clase. La amplitud de clase es igual para todas las clases. Esto
significa que todas las clases contienen el mismo nmero de datos.
La amplitud de clase se calcula de la siguiente manera: Amplitud de
clase = Rango nmero de clases En el ejemplo propuesto de los
estudiantes de octavo grado: Amplitud de clase = Matemtico suizo.
Introdujo la primera ley de los grandes nmeros, que establece que,
bajos ciertas condiciones, un promedio muestral se aproxima al
promedio de la poblacin de donde se obtuvo la muestra, si el tamao
de sta es grande. Jakob Bernoulli (1 654 - 1 705) Nota
histrica
- 22. 15 Cmo construir una tabla de frecuencias para datos
agrupados? Ordenamos los datos de menor a mayor, se determina el
rango, la amplitud de clase, se forman los intervalos, a
continuacin se encuentra la frecuencia absoluta, frecuencia
relativa, frecuencia acumulada y otra informacin que se requiera.
Ejemplo Con los siguientes datos ordenados de menor a mayor,
construir una tabla de frecuencias absolutas. 50 51 51 52 52 53 53
54 55 58 70 70 70 71 72 72 73 74 74 75 76 76 76 76 77 77 79 84 86
89 Se seguirn los siguientes pasos: Paso 1. Se encuentran las
clases. El extremo superior de cada clase se obtiene sumando al
extremo inferior la amplitud de clase disminuida en (8 - 1). El
extremo inferior del primer intervalo es el dato ms pequeo, en este
caso corresponde a 50. Para obtener el extremo superior procedemos
de la siguiente manera: Extremo superior = Extremo inferior +
(Amplitud de clase menos 1) Paso 2. Sumamos a 50 la amplitud de
clase disminuida en uno, es decir: Extremo superior = 50 + (8 1) =
50 + 7 = 57 Extremo inferior Amplitud de clase menos 1 Por lo
tanto, el primer intervalo de clase es: 50 - 57 La simbologa
utilizada en estadstica es: fi : Es la frecuencia absoluta. fr : Es
la frecuencia relativa. %fr : Porcentajes para frecuencia relativa.
Fi : Es la frecuencia acumulada. Fr : Frecuencia acumulada
relativa. %Fr : Porcentaje para la frecuencia acumulada relativa Xi
: Marca de clase. N: Tamao de la poblacin cuando es finita. n:
Tamao de la muestra o total de datos. Ma tem ti ca 7 Sabas qu?
- 23. 16 El segundo intervalo de clase tiene como extremo
inferior 58. El extremo superior ser: Extremo superior = 58 + 7 =
65. Por lo tanto, el segundo intervalo de clase es: 58 - 65 El
tercer intervalo de clase tiene como extremo inferior 66. El
extremo superior ser: Extremo superior = 66 + 7 = 73. Por lo tanto,
el tercer intervalo de clase es: 66 - 73 El cuarto intervalo de
clase tiene como extremo inferior 74. El extremo superior ser:
Extremo superior = 74 + 7 = 81. Por lo tanto, el tercer intervalo
de clase es: 74 - 81 El quinto intervalo de clase es: 82 - 89.
Verifquelo. Observe que los extremos de cada clase no
necesariamente estn contenidos en el conjunto de datos que se est
analizando. Describimos las clases con los siguientes esquemas:
Datos de la clase 50-57 50 51 51 52 52 53 53 54 55 (9) Datos de la
clase 58-65 58 (1) Datos de la clase 66-73 70 70 70 71 72 72 73 (7)
Datos de la clase 74-81 74 74 75 76 76 76 76 77 77 79 (10) Datos de
la clase 82-89 84 86 89 (3) La amplitud de clase no necesariamente
es igual al nmero de datos en una clase. Por ejemplo, la clase 58 -
65 contiene solamente 1 dato y su amplitud, igual que la amplitud
de todas las clases, es 8. Los nmeros que van de 58 a 65 son: 58,
59, 60, 61, 62, 63, 64, 65 Son 8 cifras, lo que nos indica que la
amplitud de clase es 8. Lmite interior o extremo inferior. Lmite
superior o extremo superior. Caractersticas de una clase. 58 - 65
Ma tem ti ca 7 Sabas qu?
- 24. 17 En la siguiente tabla se presentan los intervalos de
clase y las frecuencias absoluta correspondientes. Tabla de
frecuencias absoluta. Clases fi 50 - 57 9 58 - 65 1 66 - 73 7 74 -
81 10 82 - 89 3 Total: 30 Tabla 7 El histograma de frecuencias
absoluta. Histograma de frecuencias absoluta Frecuencias Intervalos
de Clase (50 - 57) 0 5 10 15 9 1 10 3 7 (85 - 65) (66 -73) (74 -
81) (82 - 89) Fig. 6 Interpretacin del histograma de frecuencias
absoluta. 9 estudiantes obtuvieron calificaciones entre 50 y 57. 1
estudiante obtuvo una calificacin entre 58 y 65 7 estudiantes
obtuvieron una calificacin entre 66 y 73 10 estudiantes obtuvieron
una calificacin entre 74 y 81. 3 estudiantes obtuvieron una
calificacin entre 82 y 89. Fue un matemtico ruso, estudiante de
Kolmogrov. Naci en Simbirsk, Rusia y muri en Mosc. Es muy conocido
por sus trabajos con Kolmogrov en el campo de la Teora de
Probabilidades. Boris Vladmirovich Gnedenko. (1 912 - 1 995)
Histograma: Se emplea para ilustrar muestras agrupadas en
intervalos. Est formado por rectngulos unidos a otros, cuyos
vrtices de la base coinciden con los lmites de los intervalos y el
centro de cada intervalo es la marca de clase, que representamos en
el eje de las abscisas. La altura de cada rectngulo es proporcional
a la frecuencia del intervalo respectivo. La frecuencia absoluta fi
representa el nmero de observaciones (datos) que se encuentran
ubicadas dentro de un intervalo. Ma tem ti ca 7 Sabas qu? Nota
histrica
- 25. 18 Observe que el nmero total de datos se obtiene sumando
los valores correspondientes a las frecuencias absoluta. En el
ejemplo tenemos que: 9 + 1 + 7 + 10 + 3 = 30, que es el nmero de
datos. Recuerde que la amplitud de clase no necesariamente coincide
con el nmero de datos contenidos en la clase. Construccin de un
polgono de frecuencias. El polgono de frecuencias es un grfico de
lneas que se construye uniendo con segmentos de recta los puntos
medios (o marcas de clase) de los intervalos de clase. El punto
medio de la clase (o marca de clase) para la clase 50 - 57 es: 50 +
57 2 = 53,5 Marca de clase. Clase Xi : Marca de clase fi 50 - 57
53,5 9 58 - 65 61,5 1 66 - 73 69,5 7 74 - 81 77,5 10 82 - 89 85,5 3
n = 30 Tabla 8 Actividad Verifique los valores para las marcas de
clase correspondientes a las siguientes clases presentadas en la
Tabla 8: 58 - 65; 66 - 73; 74 - 81; 82 - 89 En el eje horizontal se
ubican las marcas de clase y en el eje vertical se ubican las
frecuencias.
- 26. 19 Al unir los puntos medios de las bases superiores de los
rectngulos correspondientes al histograma de frecuencias absoluta,
se obtiene una figura conocida como Polgono de Frecuencias. Polgono
de Frecuencias Frecuencias Marcas de Clase 53,5 0 5 10 15 9 1 10 3
7 61,5 69,5 77,5 85,5 Fig. 7 Frecuencias acumuladas. La frecuencia
acumulada es igual al nmero de datos que hay en el intervalo ms las
frecuencias de los datos anteriores. Denotaremos las frecuencias
acumulada por Fi . En la Tabla 8 se presentan los intervalos de
clase con las correspondientes frecuencias absolutas. Clases
Frecuencias absoluta (fi ) 50 - 57 9 58 - 65 1 66 - 73 7 74 - 81 10
82 - 89 3 n = 30 Tabla 9 Laprimerafrecuencia acumulada coincide
conlaprimerafrecuencia absoluta; es decir que la primera frecuencia
acumulada es 9.
- 27. 20 La segunda frecuencia acumulada ser: 9 + 1 = 10 El
proceso continua en forma anloga, obtenemos entonces: 10 + 7 = 17
17 + 10 = 27 27 + 3 = 30 Los datos se presentan en la tabla
siguiente: Clases fi Fi 50 - 57 9 9 58 - 65 1 9 + 1 = 10 66 - 73 7
10 + 7 = 17 74 - 81 10 17 + 10 = 27 82 - 89 3 27 + 3 = 30 n = 30
Tabla 10 Histograma de frecuencias acumuladas. Cmo se construye un
histograma de frecuencias acumuladas? En el eje horizontal se
ubican los intervalos de clase y en el eje vertical las frecuencias
acumuladas. Histograma de Frecuencias Acumuladas
FrecuenciasAcumuladas Intervalos de Clase 50 - 57 0 10 20 30 9 10
27 30 17 58 - 65 66 - 73 74 - 81 82 - 89 40 Fig. 8 Qu informacin
nos brinda este histograma? 9 estudiantes obtuvieron calificaciones
en el intervalo 50 - 57. Es conocido por su trabajo en el rea de la
probabilidad y estadstica. La desigualdad de Chebyshev se emplea
para demostrar la ley dbil de los grandes nmeros y el teorema de
Bertrand-Chebyshev (1845-1850) que establece que la cantidad p(n)
de nmeros primos menores que n es: p(n) = n / log(n) + o(n) Pafnuti
Lvvich Chebyshev (1 821 - 1 894) Nota histrica
- 28. 21 10 estudiantes obtuvieron calificaciones menores o
iguales a 65. 17 estudiantes obtuvieron calificaciones menores o
iguales a 73. 27 estudiantes obtuvieron calificaciones menores o
iguales a 81. 30 estudiantes obtuvieron calificaciones menores o
iguales a 89. Ojiva. Una ojiva se construye tomando en cuenta que
en el eje horizontal aparecen los lmites superiores y en el eje
vertical las frecuencias acumuladas. Las coordenadas formadas por
ambos son unidas por segmentos. Clase xi fi Fi 50 - 57 53,5 9 9 58
- 65 61,5 1 9 + 1 = 10 66 - 73 69,5 7 10 + 7 = 17 74 - 81 77,5 10
17 + 10 = 27 82 - 89 85,5 3 27 + 3 = 30 n = 30 Tabla 11 Ojiva
FrecuenciasAcumuladas Lmite superior 57 0 20 (57,9) (65,10) (81,27)
(89,30) (73,17) 40 65 7373 81 89 Fig. 9
- 29. 22 Frecuencia relativa fr . La frecuencia relativa se
obtiene dividiendo la frecuencia absoluta entre el nmero total de
datos. El porcentaje % para la frecuencia relativa se obtiene
multiplicando cada frecuencia relativa por 100. La frecuencia
acumulada se obtiene sumando a cada frecuencia el acumulado de las
frecuencias anteriores. La primera frecuencia acumulada coincide
con la primera frecuencia absoluta. La frecuencia acumulada
relativa se obtiene dividiendo cada frecuencia acumulada entre el
nmero de datos. El porcentaje para la frecuencia relativa acumulada
se obtiene multiplicando por 100 cada frecuencia acumulada
relativa. Ejemplo Verificar en la tabla 11 con relacin a la
frecuencia 10 lo siguiente: La frecuencia relativa. El porcentaje
para las frecuencias relativas. La frecuencia acumulada. La
frecuencia relativa acumulada. El porcentaje para las frecuencias
relativas acumuladas. Para la frecuencia con valor de 10 tenemos:
La frecuencia relativa es: 10 30 0 33= , El porcentaje para la
frecuencia relativa es: 0,33(100) = 33%
- 30. 23 La frecuencia acumulada hasta la frecuencia de valor 10
es: 9 + 1 + 7 +10 = 27 o bien 9 + 10 + 17 = 27 La frecuencia
relativa acumulada es: 27 30 0 9= , El porcentaje para la
frecuencia relativa acumulada es: 0,9(100) = 90% Intervalo de clase
fi fr % fr Fi Fr %Fr 50 - 57 9 9/30 =3/10 58 - 65 1 1/30 66 - 73 7
7/30 74 - 81 10 1/3 33 27 0,9 90 82 - 89 3 1/10 Total 30 30/30
Tabla 12 Actividad Realizar los mismos clculos del ejemplo anterior
para las dems frecuencias de la Tabla 12. Intervalo de clase fi fr
% fr Fi Fr %Fr 50 - 57 9 9/30 =3/10 58 - 65 1 1/30 66 - 73 7 7/30
74 - 81 10 1/3 33 27 0,9 90 82 - 89 3 1/10 Total 30 30/30 Tabla
13
- 31. 24 Actividad Los siguientes datos son de una cooperativa de
taxis que midi la cantidad de kilmetros recorridos por 40 vehculos
por galn consumido. 45 38 44 45 44 44 39 40 43 44 43 43 45 44 45 42
38 43 39 38 40 41 42 44 43 41 37 38 40 42 41 43 40 40 38 39 44 43
42 40 Tabla 14 Realice los siguiente: a.Ordene los datos de menor a
mayor. b.Elabore una tabla de distribucin de frecuencia con 5
intervalos. c.Construya un histograma. d.Construya una ojiva.
Medidas de tendencia central para datos agrupados. Lea, analice e
interprete. Las medidas de tendencia central son valores numricos
en torno a los cuales est concentrado el resto de la muestra. Las
medidas de tendencia central son: la media aritmtica (o promedio),
la moda y la mediana. Media aritmtica para un conjunto de datos
agrupados. Para datos agrupados el clculo de la media aritmtica se
realiza utilizando la tabla de frecuencias absolutas y las marcas
de clase de acuerdo a los siguientes pasos: Paso 1. Se multiplica
cada marca de clase por la frecuencia absoluta correspondiente.
Paso 2. Se suman los productos obtenidos en el paso 1. La media
aritmtica para datos no agrupados es el valor obtenido al sumar
todos los datos y dividir el resultado entre el nmero total de
datos. Ma tem ti ca 7 Sabas qu?
- 32. 25 Paso 3. Se divide el resultado de la suma obtenido en el
Paso 2, entre el nmero de datos de la muestra. x i k k k = = + ++=
1 1 1 2 2 f X n f X f X f X n i i donde las Xi son las marcas de
clase (puntos medios de los intervalos de clase) y las fi son las
frecuencias absoluta. A travs del ejemplo que se presenta a
continuacin, reconozca los pasos para calcular la media aritmtica
con datos agrupados. Ejemplo Con los datos de la tabla dada a
continuacin, calcule la media aritmtica del conjunto de datos
utilizando la frmula para el clculo de la media aritmtica para
datos agrupados. La tabla contiene las clases, las frecuencias
absoluta, las marcas de clase y los productos de las frecuencias
absolutas con las marcas de clase, fi Xi Clases fi Xi fi Xi 50 - 57
9 53,5 (9)(53,5) = 481,5 58 - 65 1 61,5 (1)(61,5) = 61,5 66 - 73 7
69,5 (7)(69,5) = 486,5 74 - 81 10 77,5 (10)(77,5) = 775 82 - 89 3
85,5 (3)(85,5) = 256,5 Total n = 30 k i = 1 fi Xi = 2 061 Tabla 15
La frmula es: x i k k k = = + ++= 1 1 1 2 2 f X n f X f X f X n i i
Sumando los productos fi . Xi de la tabla: 481,5 + 61,5 + 486,5 +
775 + 256,5 = 2 061 Dividiendo este resultado entre el nmero total
de datos que es n = 30. x i = = = = 1 5 2061 68 7 f X n 30 i i ,
Por lo tanto, la media aritmtica para este conjunto de datos es
68,7 Las marcas de clase son los puntos medios de las clases. Se
encuentran calculando la suma de los extremos de cada clase y
dividiendo el resultado entre 2. La simbologa empleada en
estadstica ser: fi : Es la frecuencia absoluta. Xi : Marca de
clase. n: Tamao de la muestra o total de datos. Ma tem ti ca 7
Sabas qu?
- 33. 26 Mediana para un conjunto de datos agrupados. La mediana
de un conjunto de datos es el dato (o valor) que se sita en el
centro de la muestra (un 50% de los valores se encuentran por
debajo de la mediana y otro 50% por arriba). Para calcular la
mediana para datos agrupados se realizan los siguientes pasos: Paso
1. La mediana se encuentra en el intervalo de clase cuya frecuencia
acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias
absolutas. Es decir que la clase de la mediana tiene una frecuencia
igual o menor a n 2 , donde n es la suma de las frecuencias
absolutas. Paso 2. Se encuentra la frecuencia acumulada antes de la
clase de la mediana. Paso 3. Se encuentra el extremo o lmite
inferior de la clase de la mediana. La amplitud de clase es C.
Estos datos se sustituyen en la siguiente expresin: Me L n F C f i
i i = + 2 1 Li : es el extremo inferior del intervalo que contiene
a la mediana. n: es el nmero total de dato. Fi - 1 : es la
frecuencia acumulada anterior a la clase de la mediana. C: es la
amplitud de la clase que contiene a la mediana. fi : es la
frecuencia de la clase de la mediana.
- 34. 27 Ejemplo Utilizar los datos de la tabla 15 para encontrar
la mediana Me del conjunto de datos. Paso 1. La mitad de la suma de
las frecuencias absolutas es: n 2 30 2 15= = Por lo tanto, la clase
de la mediana es la de frecuencia absoluta menor o igual a 15. La
frecuencia acumulada 17 es mayor que 15, por lo tanto la clase
correspondiente a la mediana es la de frecuencia absoluta 7, es
decir la clase 66 - 73. Paso 2. La frecuencia acumulada, hasta
antes de la clase de la mediana es 10. Paso 3. El extremo inferior
o lmite inferior de la clase de la mediana es 66. La amplitud del
intervalo de clase es 8. M L n F f 66 30 e i i-1 = + = + 2 2 10 8 7
C i Me = 71,7 72 Moda para un conjunto de datos agrupados. Moda. La
moda en un conjunto de datos, es el dato que ms se repite; es decir
el de mayor frecuencia. Se denota por Mo. Clculo de la moda para
datos agrupados. Para calcular la moda para un conjunto de datos
agrupados se aplica la expresin siguiente: M L Co i= + + 1 1 2 Li :
es el lmite inferior de la clase que contiene a la moda que es la
de mayor frecuencia absoluta. Para datos agrupados, la moda esta en
la mayor concentracin de datos (mayor frecuencia), la clase con
mayor frecuencia es la clase modal. La moda si existe puede ser no
nica y sedenota por Mo. Ma tem ti ca 7 Sabas qu?
- 35. 28 1 : Mayor frecuencia absoluta menos la inmediata
anterior. 2 : Mayor frecuencia absoluta menos la inmediata
posterior. C: es la amplitud de la clase. A continuacin se plantea
un ejemplo del clculo de la moda para un conjunto de datos
agrupados con la expresin indicada. Ejemplo Utilizar los datos de
la tabla para encontrar la moda Mo del conjunto de datos. Clases f
F 50 - 57 9 9 58 - 65 1 10 66 - 73 7 17 74 - 81 10 27 82 - 89 3 30
Total 30 Tabla 16 La clase que contiene a la moda es la de mayor
frecuencia, en este caso es 74 - 81. La frecuencia para esta clase
es fi = 10. El lmite inferior es Li = 74. La frecuencia anterior a
la clase modal es 7. La frecuencia posterior a la clase modal f es
3. La amplitud de clase es 8. La frmula para al clculo de la moda
de dato agrupado es: M L Co i= + + 1 1 2
- 36. 29 Entonces, sustituyendo los datos obtenemos: Mo = + ( )+
( ) 74 10 7 10 7 10 3 8 Mo = 76,4 76 Trabajemos en equipo.
Actividad Los datos que se presentan a continuacin corresponden a
los bonos productivos entregados por el gobierno de reconciliacin y
unidad nacional a 30 municipios del pas. Para este conjunto de
datos encuentre la media aritmtica, la mediana y la moda. 80 99 125
113 117 142 131 103 111 123 135 97 109 86 117 107 125 94 121 90 117
128 120 130 129 98 90 82 81 95 Refuerce sus conocimientos. Explique
con sus palabras y ejemplifique los conceptos que usted ha
aprendido sobre media aritmtica, mediana y moda para datos
agrupados. 1. En un conjunto de datos Cul es la moda? 2. El que
divide al conjunto de datos en dos partes iguales es: a.El que ms
se repite. b.Es el promedio de los datos. c.Tiene la menor
frecuencia. 3. La media aritmtica de un conjunto de datos que
contenga slo nmeros enteros puede no ser un nmero entero? 4. La
mediana de un conjunto de datos que contenga slo nmeros enteros
puede no ser un nmero entero? 5. La moda de un conjunto de datos
que contenga slo nmeros enteros, en el caso que exista, debe ser un
nmero entero? Durante la Cruzada Nacional de Alfabetizacin (CNA),
Hroes y Mrtires por la Liberacin de Nicaragua, que se realiz en el
ao 1 980, impulsado por el gobierno sandinista en su primera etapa,
el porcentaje de analfabetismo pas de un 50,35 % al 12,86 % al
finalizar la Cruzada. Ma tem ti ca 7 Sabas qu?
- 37. 30 Aplico los conocimientos aprendidos. 1. A continuacin se
presenta el siguiente conjunto de datos correspondientes a la
presin sangunea sistlica de 30 pacientes de un hospital: 129 117
128 135 122 128 143 122 143 128 120 128 140 160 150 120 129 130 140
120 150 170 140 120 124 130 140 130 124 126 2. Construya una tabla
de frecuencias absolutas, frecuencias relativas y de porcentajes.
3. Apartir de las tablas construidas en el ejercicio anterior,
calcule la media aritmtica, la mediana y la moda. 4. El siguiente
grfico corresponde al nmero de habitantes por vivienda en los
Distritos de la Ciudad de Managua, segn datos del Censo Nacional
del 2005. Diagrama de Barras Habitantesporvivienda Distritos de la
ciudad de Managua 4,6 4,8 5 5,2 5,4 5,6 Distrito II Distrito III
Distrito IV Distrito V Distrito VI 5 5,2 5,25,2 5,5 Fig. 10 5.
Observa el diagrama y contesta a las preguntas: Cuntos habitantes
por vivienda hay en el Distrito II? Cul es el Distrito con mayor
nmero de habitantes por vivienda? El promedio de bateo se calcula
dividiendo el nmero de imparables conectados entre el nmero de
turnos oficiales al bate. Ejemplo: Si un bateador conecta 3
imparables en 10 turnos oficiales al bate, entonces su promedio de
bateo ser: 3 10 0 333= , Ma tem ti ca 7 Sabas qu?
- 38. 31 6. A continuacin se presentan los promedios de bateo de
30 jugadores del Campeonato de Beisbol Juvenil de Nicaragua en el
ao 2 009 impulsado por el Gobierno de Reconciliacin y Unidad
Nacional (GRUN) 0,559 0,500 0,488 0,474 0,447 0,417 0,412 0,410
0,405 0,395 0,370 0,350 0,340 0,340 0,333 0,333 0,330 0,300 0,300
0,300 0,298 0,290 0,290 0,285 0,280 0,280 0,277 0,270 0,270 0,260
0,222 0,220 Tabla 17 Construir una tabla de frecuencias. 7.
Considere los datos correspondientes a las calificaciones obtenidas
por 14 estudiantes en una prueba parcial Matemtica de Octavo
Grado.: 58 62 63 64 64 68 70 70 70 72 78 79 81 85 El diagrama de
sectores circulares para estos datos es el siguiente: Diagrama de
sectores circulares 58 62 63 64 68 70 78 21% 15% 7% 7% 7% 7% 7%7%
7% 7% 7% 72 79 81 85 Fig. 11 Interpretando el diagrama de sectores
circulares. La calificacin 70 aparece tres veces en el conjunto de
datos, por lo tanto representa un 21% del total. El 21% se obtiene
dividiendo 3 (nmero de veces que aparece 70) entre 14 (nmero total
de datos). 3 14 0 21 21= =, %
- 39. 32 La calificacin 64 aparece dos veces, Qu porcentaje
representa? Las calificaciones que aparecen una vez, qu porcentaje
representan? Qu ngulos corresponden a cada porcentaje? Encuentre la
media aritmtica, la mediana y la moda 8. Recuerda que un pictograma
es un grfico con dibujos alusivos al carcter que se est estudiando
y cuyo tamao es proporcional a la frecuencia que representan; dicha
frecuencia se suele indicar. Ejemplo rboles Plantados Enero Febrero
Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre
Diciembre 150 100 50 0 Fig. 12 En qu mes se plantaron menos
rboles?, En cul se hicieron ms plantaciones? La cumbre de mayor
altura en Nicaragua es el Mogotn, que se encuentra en la Sierra de
Dipilto, con una altura sobre el nivel del mar de 2 107 metros.
(Fuente: Jaime ncer Barquero. Geografa iIustrada de Nicaragua, pg.
55, Julio del 2,008) 9. En el cuadro se presenta el nmero de
estudiantes que practican deportes en un aula de clase Deporte
Nmero de Estudiantes Ftbol 20 Bsquetbol 15 Bisbol 10 Otros 5 Total
50 Tabla18 Ma tem ti ca 7 Sabas qu?
- 40. 33 Construir un diagrama de sectores circulares. Para
representar el diagrama de sectores circulares, se debe calcular qu
rea del crculo en grados corresponde a la frecuencia absoluta de la
variable estudiada. As, para saber qu rea corresponde al ftbol que
fue escogido como el deporte preferido por 20 estudiantes de un
total de 50, se realiza el siguiente procedimiento. N de
Estudiantes Grados 50 360 20 x x = 20 360 50 ( )( )o = 144 Luego el
rea que corresponde al ftbol es 144 Asimismo se calcula el rea para
cada uno de los otros deportes. Bsquetbol N de Estudiantes Grados
50 360 15 x x = 15 360 50 ( )( )o = 108 El rea que corresponde a
bsquetbol es de 108 Bisbol N de Estudiantes Grados 50 360 10 x x =
10 360 50 ( )( )o = 72 Nota: La suma de los grados de todos los
deportes escogidos debe dar 360 que es el rea total del crculo.
Veamos: Deporte ngulo Ftbol 144 Bsquetbol 108 Bisbol 72 Otros 36
Total 360 Tabla 19
- 41. 34 El diagrama de sectores circulares correspondiente es:
Basquetbol: 15 Ftbol: 20 Beisbol: 10 Otros: 5 Deporte Preferido
Figura 13 10. Toma en cuenta el siguiente histograma de los
estudiantes de 7mo grado de un instituto y responde: 70 60 50 40 30
20 10 143 158153148 Clases Estaturas en cm A B S O L U T A F R E C
U E N C I A Fig. 14 En cuntas clases se han agrupado los datos?
Cuntos estudiantes de 7o grado hay en esta poblacin? Cul es la
clase de datos que tiene menor frecuencia? En qu clase se concentra
el mayor nmero de estudiantes? Por lo tanto, se puede considerar
que la mayor parte de dicha poblacin tiene una estatura regular
entre: 146 y 150 cm 151 y 155 cm 141 y 145 cm 156 y 160 cm
- 42. 35 11. Dados los datos de las estaturas en centmetros de 30
personas, represente grficamente la distribucin en un histograma.
175 147 160 167 167 170 157 164 158 162 168 166 158 166 169 169 169
154 163 165 162 168 162 168 163 150 165 166 163 165 Solucin: Por
una parte, la variable que estamos estudiando es continua (la
estatura). Adems, entre los datos que tenemos hay una gran
variedad. Por tanto, debemos agrupar los datos en intervalos. El
menor valor es 147 y el mayor es 175; su diferencia es 175 - 147 =
28. As, podemos tomar 6 intervalos de longitud 5, empezando por
146,5: Intervalo fi 146,5 - 151,5 2 151,5 - 156,5 1 156,5 - 161,5 4
161,5 - 166,5 13 166,5 - 171,5 9 171,5 - 176,5 1 30 Tabla 20 0
146,5 151,5 156,5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Frecuencia
Estatura 176,5161,5 166,5 171,5 Histograma de la tabla de
frecuencia anterior (Fig.15) La notacin de intervalos de clase [
LI, LS ] o bien [ Li, Ls ] expresa: Li : Lmite inferior de un
intervalo. Ls : Lmite superiorde un intervalo. Marca de clase (Xi
): Se calcula sumando el lmite inferior y el lmite superior, luego
dividimos el resultado por 2. X L +L i i s = 2 Lmites reales: Los
lmites reales se determinan restando 0,5 o 1 2 al lmite inferior y
al superior le sumamos 0,5 o 1 2 Ma tem ti ca 7 Sabas qu?
- 43. 36 En algunos casos dependiendo de la cantidad de datos es
necesario organizar los datos en una representacin grfica de doble
tronco. Diagrama de Tallo y Hoja El diagrama de tallo y hoja es una
herramienta que permite obtener una representacin visual
informativa de un conjunto de datos, para su elaboracin es
necesario separar para cada uno de los datos el ltimo dgito de la
derecha (hoja) del bloque de cifras restantes (tallo). Los pasos
para construir el diagrama son: Paso 1: Paso opcional, ordenar de
forma ascendente (de menor a mayor) los datos. Este paso permite
obtener una representacin ordenada del diagrama de tallo y hoja.
Paso 2: Seleccionar el ltimo dgito de la derecha para el valor de
la hoja, siendo los dgitos iniciales los valores del tallo. Para
nmeros mayores de cuatro dgitos es posible utilizar valores de
hojas de ms de un dgito. Paso 3: Hacer una lista de los valores de
los tallos en una columna, ordenados de forma ascendente (de menor
a mayor). Paso 4: Registrar las hojas por cada observacin junto al
valor correspondiente del tallo. Tambin es posible agregar una
columna de datos adicionales con informacin complementaria como lo
son la frecuencia relativa, la frecuencia acumulada, un indicador
del tallo que incluya la mediana. El nmero de tallos puede variar
de un diagrama a otro, sin embargo es recomendable que este nmero
oscile entre 5 y 20 tallos ya que esto nos facilitar y permitir: 1.
Identificar el valor caracterstico de la distribucin de los datos.
2. Identificar la forma general de la distribucin de los datos. 3.
La dispersin de los datos. Sin embargo lo anterior no ser posible
si la dispersin de los datos es muy grande. Ma tem ti ca 7 Sabas
qu?
- 44. 37 Ejemplo Dimetro: Se presentan los dimetros (Tabla 21)
Dimetro, datos ordenados 2,5 2,5 2,9 3,9 3,9 3,9 4,2 4,3 4,5 De
cada dato, Tallo 2 2 2 3 3 3 4 4 4 Hoja 5 5 9 9 9 9 2 3 5 Diagrama
de tallo y hojas (Tabla 22): Tallo Hojas 2 5 5 9 3 9 9 9 4 2 3 5 5
3 Para completar la informacin se suele aadir una columna delante
del tallo en la que se cuentan las frecuencias de cada tallo
acumulndolas de arriba hacia abajo y viceversa, en el tallo donde
se encuentre el dato mediano se escribe solamente la frecuencia de
ese tallo. Si se desea se pueden marcar las filas donde estn los
cuartiles colocando un asterisco a continuacin de la frecuencia.
Para los datos anteriores: frecuencias Tallo Hojas 3 2 5 5 9 3 3 9
9 9 3 4 2 3 5 1 5 3 Tabla 23 Actividad 1. Considere las siguientes
calificaciones del primer corte evaluativo en la disciplina de
fsica aplicada a 20 estudiantes y construya un diagrama de tallo y
hojas. 698452936174796588 63 576467727455826168 77
- 45. 38 Trabajo en equipo 1. Considere las siguientes
calificaciones del cuarto corte evaluativo de 20 estudiantes. del
octavo grado A del colegio Primero de Mayo. 69 84 52 93 61 74 79 65
88 63 57 64 67 72 74 55 82 61 68 77 Determine lo que se le pide: a.
Elabore un diagrama de tallo y hojas. b. Construye una tabla de
distribucin de frecuencias. c. Calcule: La media aritmtica. La
mediana. La moda. d. Elabore dos grficos estadsticos de los
estudiados. 2. Al investigar los precios por habitacin de 50
hoteles de la cuarta regin de Nicaragua se han obtenido los
siguientes resultados 700 300 500 400 500 700 400 750 800 500 500
750 300 700 1 000 1 500 500 750 1 200 800 400 500 300 500 1 000 300
400 500 700 500 300 400 700 400 700 500 400 700 1 000 750 700 800
750 700 750 800 700 700 1 200 800 Determne: a.La distribucin de
frecuencias de los precios. Agrupados en 5 intervalos de igual
amplitud. b.Porcentaje de hoteles con un precio superior a 750.
c.Cuntos hoteles tienen un precio mayor o igual que 500 pero menor
o igual a 1 000?.
- 46. 39 Ejemplo La tabla de datos correspondiente a las edades
de 50 estudiantes de la modalidad de secundaria a distancia del
Instituto Experimental Mxico est dada a continuacin: Intervalo
Marca de clase: Xi Frecuencia absoluta: fi Frecuencia absoluta
acumulada Fi Frecuencia porcentual fr Frecuencia porcentual
acumulada % [15,22) 18,5 37 37 0,74=74% 74% [22,29) 25,5 5 42
0,10=10% 84% [29,36) 32,5 3 45 0,06=6% 90% [36,43) 39,5 4 49
0,08=8% 98% [43,50) 46,5 0 49 0,00=0% 98% [50,57) 53,5 0 49 0,00=0%
98% [57,64) 60,5 1 50 0;02=2% 100% Total n = 50 1,00=100% La moda
es la edad de 18,5 aos que es la marca de clase que corresponde a
la mayor frecuencia absoluta 37 Me L n F C f i i i = + 2 1 La
mediana es la edad que se encuentra en el centro de todas las
edades para calcularla utilizaremos la frmula Donde: Me = Mediana,
la cual se encuentra ubicada en el primer intervalo pues n 2 = = 50
2 25 y este dato se encuentra en la frecuencia acumulada del primer
intervalo. Li = Lmite inferior del intervalo que contiene la
mediana, es decir, 15 C = amplitud = 7 porque 22 - 15 = 7 n = Nmero
de datos = 50 Tabla 24
- 47. 40 Fi - 1 = frecuencia acumulada anterior al intervalo que
contiene la mediana = 0 porque antes de este primer intervalo no
hay datos acumulados. fi = La frecuencia absoluta que corresponde
al intervalo que contiene la mediana = 37 Me = + 15 7 50 2 0 37 Me
= + [ ]15 7 25 37 Por tanto: Me = +15 175 37 Me = 15 + 4,73 Me =
19,73 Lo cual significa que la mediana o la edad que se encuentra
en el centro de los datos recolectados es 19. Actividad 1. La tabla
de frecuencias siguiente corresponde al nmero de consultas
realizadas por una brigada de mdicos sandinistas en diferentes
comunidades del pas. Calcular la media artmetica, mediana y moda.
Intervalo Marca de clase Xi Frecuencia absoluta fi Frecuencia
absoluta acumulada Fi Frecuencia porcentual % Frecuencia porcentual
acumulada % [44,51) 47,5 16 16 10,67 10,67 [51,58) 54,5 19 35 12,67
23,33 [58,65) 61,5 24 59 16 39,33 [65 ,72) 68,5 31 90 20,67 60
[72,79) 75,5 23 113 15,33 75,33 [79,86) 82,5 15 128 10 85,33
[86,93) 89,5 13 141 8,67 94 [93,100) 96,5 9 150 6 100 150 Tabla
25
- 48. 41 Actividades Finales de la Primera Unidad 1. Se pregunta
a 40 nias y nios cul de los siguientes deportes prefiere practicar:
bsquetbol (B), natacin (N), ftbol (F), tenis (T), ajedrez (A).
Estos son los resultados: FFBFF FAFBT NFFFA BBFFA BFFFF BFBBT FTFFB
BFTTA Realice la correspondiente tabla de frecuencias 2. Hemos
preguntado a un grupo de 30 vecinos del barrio en el que vivimos
sobre las actividades realizadas en su tiempo libre. stas fueron
las respuestas obtenidas: baile baile cine baile baile deporte
baile msica msica baile amigos idiomas baile amigos cine deporte
baile cine baile amigos msica msica baile baile deporte baile
amigos baile baile baile Elabora: Una tabla de categoria y un
grfico de barras. 3. Encuentre el valor de la media aritmtica, la
mediana y la moda en las siguientes situaciones: a.El nmero de
estrellas de los hoteles de una ciudad viene dado por la siguiente
serie: 3, 3, 4, 3, 4, 3, 1, 3, 4, 3, 3, 3, 2, 1, 3, 3, 3, 2, 3, 2,
2, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 4, 1. b.Las
calificaciones de 50 estudiantes en Matemtica han sido las
siguientes: 5, 2, 4, 9, 7, 4, 5, 6, 5, 7, 7, 5, 5, 2, 10, 5, 6, 5,
4, 5, 8, 8, 4, 0, 8, 4, 8, 6, 6, 3, 6, 7, 6, 6, 7, 6, 7, 3, 5, 6,
9, 6, 1, 4, 6, 3, 5, 5, 6, 7. 4. En un grupo de 30 personas se
miden la estatura, en centmetros, de cada una de ellas, obteniendo
los siguientes resultados: 160 163 165 164 162 168 175 167 159 160
161 164 167 168 154 163 164 167 164 165 166 168 165 167 159 164 150
166 147 170 a.Elabore una tabla de frecuencias con cuatro
intervalos.
- 49. 42 5. A continuacin se presentan las alturas en metros
sobre el nivel del mar de las principales cumbres de Nicaragua.
Altura Nombre Ubicacin Altura Nombre Ubicacin 2 107 Mogotn Nueva
Segovia 1 442 Apante Matagalpa 1 792 Jess Sierra de Jalapa 1 421
Malacate Nueva Segovia 1 750 Kilamb Jinotega 1 410 Marimacho Nueva
Segovia 1 745 Peas Blancas Matagalpa 1 364 Zinica Jinotega 1 730
Pataste Madriz 1 348 El Fraile Estel 1 700 Tepesomoto Madriz 1 345
Chagitillo Matagalpa 1 680 Chimborazo Jinotega 1 338 Quirragua
Matagalpa 1 675 Cspide Jinotega 1 326 Arenales Nueva Segovia 1 652
Sazlaya Jinotega 1 305 Guabule Matagalpa 1 640 El Diablo Jinotega 1
250 Cuscawas Matagalpa 1 367 Quiab Estel 1 200 Baba Jinotega 1 550
Tisey Estel 1 184 Cerro Alegre Boaco 1 053 El Variador Chinandega 1
120 Gisisil Managua 1 450 Musn Matagalpa 1 108 Masige Boaco 1 445
Tomab Estel 1 059 Mombachito Boaco a.Construye una tabla de
frecuencias absolutas, frecuencias relativas y de porcentajes.
b.Calcule: La media aritmtica La mediana La moda.
- 50. 43 6. Los datos que se dan a continuacin corresponden a las
alturas en metros sobre el nivel del mar de los volcanes de
Nicaragua. Altura Volcn Ubicacin Altura Nombre Ubicacin 859
Cosigina Chinandega 818 Asososca Len 1 105 Chonco Chinandega 1 280
Momotombo Len 1 745 San Cristbal Chinandega 480 Chiltepe Managua 1
405 Casitas Chinandega 632 Masaya Masaya 1 061 Telica Len 1 345
Mombacho Granada 834 San Jacinto Len 629 Zapatera Granada 675 Cerro
Negro Len 1 610 Concepcin Rivas 836 Rota Len 1 394 Maderas Rivas
938 Pilas Len 1 050 El Hoyo Len a.Construye una tabla de
frecuencias absolutas, frecuencias relativas y de porcentajes.
b.Calcule: La media aritmtica La mediana La moda. c.Elabora los
grficos estadsticos siguientes: Diagrama de barra. Grfico de sector
circular.
- 51. 44 7. El gobierno Sandinista desea saber si el nmero medio
de hijos por familia ha descendido respecto a la dcada anterior.
Para ello ha encuestado a 50 familias respecto al nmero de hijos y
ha obtenido los siguientes datos: 2 4 2 3 1 2 4 2 3 0 2 2 2 3 2 6 2
3 2 2 3 2 3 3 4 3 3 4 5 2 0 3 2 1 2 3 2 2 3 1 4 2 3 2 4 3 3 2 2 1
a.Construye la tabla de frecuencias a partir de estos datos.
b.Cuntas familias tienen exactamente tres hijos?qu porcentaje de
familias tienen exactamente 3 hijos? c.Qu porcentaje de las
familias de la muestra tienen ms de dos hijos? Y menos de 3?
d.Construye un diagrama de sector circular. e.Construye un
histograma 8. En un hospital se desea hacer un estudio sobre el
peso en kilogramos de los recin nacidos. Para ello, se recogen los
datos de 40 bebs y se tiene: 3,2 3,7 4,2 4,6 3,7 3,0 2,9 3,1 3,0
4,5 4,1 3,8 3,9 3,6 3,2 3,5 3,0 2,5 2,7 2,8 3,0 4,0 4,5 3,5 3,5 3,6
2,9 3,2 4,2 4,3 4,1 4,6 4,2 4,5 4,3 3,2 3,7 2.1 3,1 3,5 a.Construir
una tabla de frecuencias b.Si sabemos que los bebs que pesan menos
de 3 kilogramos nacen prematuramente Qu porcentaje de nios
prematuros han nacido entre estos 40? c.Normalmente los nios que
pesan ms de 3 kilogramos y medio no necesitan estar en la
incubadora qu porcentaje de nios est en esta situacin? d.Represente
a travs de un grfico estadstico estudiado la informacin
recogida.
- 52. 45 9. Los estudiantes del Instituto Nacional de Oriente
fueron clasificados segn sexo (masculino - femenino) y si usan
lentes (si o no). Estas variables forman parte de un estudio que se
realiz entre septiembre y octubre de 2 014 y tena como objetivo
determinar los factores claves asociados con el rendimiento
acadmico a fin de proponer un plan de mejoras. A continuacin la
tabla de contingencia que resume los datos relacionados con las dos
variables. SEXO Usa lentes Total Si No Masculino (1) 350 90
Femenino (0) 40 Total 110 800 Una tabla de este tipo se llama de
doble entrada o de contingencia. La tabla contiene celdas, totales
marginales fila, totales marginales columna y el total general. Las
dimensiones de una tabla de contingencia se especifican por el
nmero de filas multiplicadas por el nmero de columnas. En este caso
la tabla es de 2 x 2 ya que hay dos niveles de la variable sexo
(filas) y dos niveles de la variable usa lentes (columnas).
Responda: a.Complete la tabla b.Cuntos estudiantes son del sexo
masculino? qu porcentaje del total representa esto? c.Qu porcentaje
de estudiantes usa lente? d.Del total de estudiantes, qu porcentaje
son del sexo femenino y no usa lente? e.De los estudiantes del sexo
masculino, qu porcentaje usa lente? f. De los estudiantes que usa
lente, qu porcentaje es femenino? g.Haga un grfico estadstico que
muestre la interaccin entre ambas variables. Describa una conclusin
relevante
- 53. 46 10.Los datos son mediciones de intensidad solar directa
(en watts/m2 ) realizados en distintos das en una localidad. 562
869 708 775 775 704 809 856 655 806 878 909 918 558 768 870 918 940
946 661 820 898 935 952 957 693 835 905 a) Construya una tabla de
distribucin de frecuencia con 4 frecuencias b) Elabore un
histograma, polgono de frecuencia u ojiva c) Determine las medidas
de tendencia central Media aritmtica Mediana Moda 12. La gran
variedad de factores a considerar en la compra de una vivienda,
lugar, precio, tasa de amortizacin, tipo de construccin y otros
hacen que el tiempo que un comprador tarda en llegar a su decisin
final sea muy variable. Los siguientes datos representan la duracin
de la bsqueda (en semanas) de 25 compradores de vivienda en cierta
poblacin. 15 177 1520 5 3 19103 11104813 9 15628 1212134
a.Construya un histograma de frecuencias que contenga 3 intervalos.
b.A qu conclusin llega con esta descripcin grfica acerca del tiempo
de bsqueda que invierten los compradores de vivienda?
- 54. 47 13. Los datos a continuacin son el nmero de bono
productivo alimentario aprobado por el gobierno sandinista en 28
municipios del pas. 56 86 70 77 77 70 80 85 65 80 87 90 91 55 76 87
91 94 64 61 82 89 93 95 95 69 83 90 a.Construya una tabla de
distribucin de frecuencia con 3 intervalos. b.Elabore un
histograma. c.Determine las medidas de tendencia central con datos
agrupados: Media aritmtica Mediana Moda. 14. El responsable de una
biblioteca de cierta Universidad orden un estudio del tiempo que un
estudiante tiene que esperar (en minutos) para que le sea entregado
el libro solicitado para consulta. Los datos fueron tomados durante
un da normal a una muestra de 20 estudiantes: 12 16 11 10 14 3 11
17 9 18 16 4 7 14 15 16 5 6 7 7 Hallar las medidas de tendencia
central: La media aritmtica La moda La mediana
- 55. 48 15. La tabla siguiente muestra la distribucin por edades
del cabeza de familia en el barrio Hugo Chvez de Managua durante el
ao 2 014. Edad fi [20,25) 2 [25,30) 4 [30,35) 5 [35,40) 10 [40,45)
9 [45,50) 6 [50,55) 4 [55,60) 2 a.Determine la mediana y la moda.
b.Por qu la mediana es una medida ms adecuada que la media
aritmtica en este caso? 16. En una empresa de transporte se tomaron
40 datos que significan el peso de carga por viaje (en miles de
libras) 60 55 80 72 75 63 48 79 82 72 58 60 74 80 53 61 80 68 76 75
63 65 72 81 64 78 62 83 79 61 63 62 77 76 51 74 78 50 79 55
Conteste: a. Cuntos camiones llevaron carga con menos de 60 000
libras? b. Qu porcentaje de camiones llevaban cargas entre 6 000 y
77 000 libras? c. Cul es el peso promedio de los vehculos que
cargaron entre 78 000 y 83 000 libras?
- 56. 49 17. Las siguientes son cantidades de xido de azufre (en
toneladas) emitidas por una planta industrial en 60 das: 15 26 17
11 23 24 18 13 9 13 22 9 6 14 17 26 12 28 17 23 26 22 18 20 11 20
15 19 16 10 19 15 22 26 20 21 19 21 16 19 18 23 24 20 16 18 7 13 23
14 14 29 19 17 20 24 22 24 18 18 Elabore una tabla de frecuencia de
5 intervalos. 18. Las notas finales en la asignatura de matemtica
de 50 estudiantes de octavo grado en el Colegio Carmela Noguera de
la ciudad de Granada fueron las siguientes: 58 68 73 61 66 96 79 65
86 93 43 67 80 62 78 78 65 79 84 33 90 75 88 75 82 89 67 73 73 55
66 81 67 97 61 75 87 73 82 61 92 68 60 74 94 75 78 88 72 82
Conteste: a. Cul es el promedio de las notas menores a 70? b. Cul
es el porcentaje de estudiantes que tienen notas mayores o iguales
a 70? c. Elabore un grfico estadstico apropiado a estos datos, 19.A
continuacin se da la tabla de frecuencia correspondiente a las
notas finales de un curso en Ciencias Naturales, expresadas en la
escala de 1 al 10: Intervalo Frecuencia 1 - 2 8 3 - 4 15 5 - 6 7 7
- 8 13 9 - 10 7 Total 50 Elabore el histograma correspondiente a
estos datos.
- 57. 50 20. Las siguientes cantidades reflejan el pago de 55
abonados de Enacal que cancelaron sus recibos el da de hoy,
correspondientes al mes de marzo de 2 014. 111 97 114 109 118 94
105 91 114 138 115 88 132 141 99 89 103 110 116 105 82 114 113 108
112 141 125 102 102 94 92 108 146 101 96 132 107 95 124 132 112 118
101 98 118 97 114 115 140 123 135 129 104 107 108 Elabore los una
tabla de frecuencias con cuatro intervalos y un histograma.
Determine las medidas de tendencia central: Media aritmtica Mediana
Moda 21. El Ministerio de la Familia visit la Penitenciara de
Estel, con el objetivo de hacer un estudio sobre las edades de los
jvenes comprendida entre los 15 y 17 aos y que han tenido problemas
relacionados con el consumo de drogas. Estas edades fueron las
siguientes: 15 15 15 16 17 17 16 15 16 17 16 16 15 15 15 15 15 15
17 16 16 16 16 15 17 16 15 16 17 15 15 15 15 16 16 15 16 17 15 16
Determine las medidas de tendencia central: Media aritmtica Mediana
Moda
- 58. Unidad 2 El Gobierno de Reconciliacin y Unidad Nacional ha
impulsado un importante proyecto como es la construccin del puente
Santa Fe y paralelo a la construccin del puente tambin se construy
la carretera ubicada en la costa Sur del Ro San Juan de Nicaragua
hasta concluir en la frontera con Costa Rica, lo que facilitar que
las exportaciones de la zona central del pas puedan salir en esa
direccin hacia Puerto Limn en Costa Rica, adems de la entrada y
salida de nicaragenses hacia el pas vecino del Sur. Fuente: 19
digital. Abril 2 014. Conjunto de Nmeros Reales
- 59. 52 El Conjunto de los Nmeros Reales. Introduccin. En el
Sptimo Grado fueron estudiados los siguientes conjuntos numricos:
El conjunto de los nmeros naturales que se denota por . El conjunto
de los nmeros enteros que se denota por . Z = { }, , , , , ,2 1 0 1
2 El conjunto de los nmeros racionales que se denota por . Un nmero
es racional si puede ser expresado como el cociente de dos nmeros
enteros, siempre que el denominador sea diferente de cero. En
notacin de conjuntos se escribe as: Q Z Z= = x x| , , p q donde p q
y q 0 El smbolo se lee pertenece a. El conjunto de los nmeros
naturales est contenido en el conjunto de los nmeros enteros y el
conjunto de los nmeros enteros est contenido en el conjunto de los
nmeros racionales. Utilizando la simbologa de los conjuntos se
escribe: El conjunto de los nmeros naturales es subconjunto de los
nmeros enteros y el conjunto de los nmeros enteros es subconjunto
de los nmeros racionales. IMPORTANTE La suma de dos nmeros
irracionales no necesariamente es irracional. Ejemplo: 2 2 0+ ( )=
Tanto 2 como 2 son nmeros irracionales. Sin embargo, su suma da
como resultado el nmero cero que es un nmero racional. Lo mismo
ocurre con el producto y la divisin de nmeros irracionales.
Ejemplos: 3 12 36 6( )( )= = 2 2 1= Tanto 6 como 1 son nmeros
racionales Fue un respetado matemtico y fsico. Se le considera el
principal matemtico del siglo XVIII y uno de los ms grandes de
todos los tiempos. Leonhard Paul Euler (1 707 - 1 783) Nota
histrica
- 60. 53 El conjunto de los nmeros irracionales. Lea, analice e
interprete. Introduccin. Qu conjuntos de nmeros han sido
estudiados? Han sido estudiados el conjunto de los nmeros naturales
, el conjunto de los nmeros enteros y el conjunto de los nmeros
racionales . Actividad Al efectuar las siguientes divisiones: 1 3 0
333333= , ...; 1 6 0 166666= , ; 1 7 0 142857142= , se obtienen
decimales peridicos. Los decimales peridicos se pueden expresar
como cociente de dos nmeros enteros con denominador distinto de
cero. Esto significa que son nmeros racionales. Surgen dos
preguntas: Existen desarrollos decimales que no sean peridicos? Si
existen, qu nmeros representan? Para contestar la primera pregunta
consideremos los siguientes nmeros decimales: 0,20 200 2000 20000
200000 2 5,7822 3222 42222 5222222 6 Observe que los dos nmeros
decimales anteriores no son peridicos y no se pueden expresar como
cociente de dos nmeros enteros, por lo tanto no son nmeros
racionales. Si usted intenta con una calculadora o por clculo
directo encontrar el valor de 2 , observar que nunca obtendr un
decimal peridico. El nmero 2 es un ejemplo de un nmero irracional.
Qu conjunto de nmeros incluye a los nmeros decimales no peridicos?
El conjunto de los nmeros irracionales no es cerrado respecto a la
suma ni respecto al producto Nota histrica Nmeros irracionales
famosos. Pi es un nmero irracional famoso. Se han calculado ms de
un milln de sus cifras decimales sin repetirse. Las primeras son:
3,1415926535897932384 626433832795... e Se han calculado muchas
cifras decimales de e sin encontrar ningn patrn. Los primeros
decimales son: 2,7182818284590452353 602874713527... El nmero ureo
o nmero de oro es un nmero irracional. Sus primeros dgitos son:
1,6180339887498948 4820... Ma tem ti ca 7 Sabas qu?
- 61. 54 Analizaremos un ejemplo que tiene un significado
histrico muy importante en el surgimiento de los nmeros
irracionales. Ejemplo Se da un cuadrado cuyo lado tiene medida 1m.
Se pide calcular la medida de la diagonal del cuadrado. De acuerdo
con el teorema de Pitgoras la longitud o medida de la diagonal es:
d AB BC= + = + =2 2 2 2 1 1 2 D C BA 1 1 d = 2 El nmero 2 no se
puede expresar como el cociente de dos nmeros enteros y por tanto
no es un decimal peridico, o sea que no es racional. Se ha obtenido
un nmero que no pertenece ninguno de los conjuntos que se han
estudiado. El concepto de nmero irracional Los nmeros que no son
decimales peridicos y no se pueden expresar como el cociente de dos
nmeros enteros reciben el nombre de nmeros irracionales. Se
denotarn los nmeros irracionales con el smbolo ' Ejemplo Son nmeros
irracionales los siguientes: 2 3 5 7, , , ,... Informacin
importante. El nmero e 2,718281828449es irracional. El nmero e, que
adems de ser irracional es un nmero trascendente, es la base de los
logaritmos neperianos o logaritmos naturales que sern estudiados en
el Noveno Grado. Tambin aparece en los procesos de crecimiento y
decaimiento, en el estudio de la desintegracin radiactiva, en la
farmacologa, en el estudio de crecimiento de colonias de bacterias,
en el estudio de las epidemias, en arqueologa, en la fsica nuclear,
en ciencias econmicas, en ciencias ambientales, etc. Fue un
estudiante de Pitgoras, quin descubri los nmeros irracionales
intentando escribir la raiz cuadrada de 2 en forma de fraccin (se
cree que usando Geometra). Pero en su lugar demostr que no se puede
escribir como fraccin, as que es un nmero irracional. Muchas races
cuadradas, cbicas, etc. tambin son irracionales. Ejemplos: 77 11
173 4 ... No todas las races son irracionales. 4 2 27 33 = = ...
son nmeros racionales. Nota histrica
- 62. 55 El nmero 3,141592653589es irracional. El nmero es el
nmero irracional ms famoso y probablemente el ms conocido. La
longitud de una circunferencia se calcula utilizando el nmero
(Longitud = 2r), el rea de un crculo se calcula usando el nmero
(rea = r2 ). Tambin se calcula utilizando el nmero : el volumen de
una esfera, el volumen de un cilindro, el volumen de un cono, reas
de superficies, etc. Calcule usted el valor aproximado del nmero
dividiendo la longitud de cualquier circunferencia entre el dimetro
de la misma. El nmero ureo o nmero de oro. = + 1 5 2 1
618033988749, ... es un nmero irracional. El nmero ureo o nmero de
oro ,(Phi,se lee fi) es un nmero irracional muy interesante.
Aparece en la pintura, la arquitectura, en las estructuras de la
naturaleza. Luca Pacioli se refera a la divina proporcin, Leonardo
de Vinci se refera a la perfeccin urea. En el estudio de los
poliedros en Geometra tambin aparece el nmero de oro. Trabajemos en
equipo. Actividad Mida con una cuerda la circunferencia de
cualquier recipiente que tenga forma cilndrica. A continuacin
encuentre el dimetro de la circunferencia. Con los datos obtenidos
realice el siguiente clculo: El valor que obtendr es una
aproximacin al nmero , cuyo valor es aproximadamente 3,14159 Si
realiza esta misma actividad con diferentes recipientes circulares,
obtendr el mismo resultado. Esto justifica referirse al nmero como
la relacin entre la longitud de la circunferencia y su dimetro.
Filsofo griego nacido en la isla de Samos y muerto en Metaponto. Se
le considera el primer matemtico puro. La sociedad que lider estaba
regida por cdigos secretos que hace que su figura sea muy
misteriosa. El Teorema de Pitgoras El cuadrado de la medida de la
hipotenusa de un tringulo rectngulo es igual a la suma de los
cuadrados de las medidas de los catetos. c (Cateto) a (Hipotenusa)
b (Cateto) A B C a2 = b2 + c2 Pitgoras de Samos (580 a. C.-520 a.C)
Dimetro Circunferencia Nota histrica
- 63. 56 Representacin de nmeros irracionales en una recta
numrica. Cmo se ubica un nmero irracional en una recta numrica?
Trabajemos en equipo. 1. Dibuje un cuadrado de lado de longitud 1.
2. Trace la diagonal del cuadrado. 3. Calcule la medida de la
diagonal del cuadrado. D C BA 1 1 La longitud de la diagonal se
puede encontrar por medio del teorema de Pitgoras. AC AB BC AC AC
AC2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2= + = + = = = La longitud de la diagonal
AC es 2 . El nmero 2 no se puede expresar como un cociente de dos
nmeros enteros y no es un decimal peridico, luego no es un nmero
racional. Cmo se representa en una recta numrica el nmero
irracional 3 ? Usted puede utilizar la construccin de la diagonal
de un cuadrado de lado de longitud 1 para ubicar el nmero
irracional 2 en la recta numrica. Ejemplo Utilizando la figura
realice la siguiente construccin: Prolongue el lado AB hacia la
derecha. Con un comps, tomando como centro el punto D y con radio
DB trace una circunferencia. La circunferencia cortar a la
prolongacin del lado DC en un punto que corresponde al nmero
irracional 2 . El smbolo se lee si,,entonces Ma tem ti ca 7 Sabas
qu?
- 64. 57 Ha obtenido una figura como la que se muestra a
continuacin: Por el teorema de Pitgoras se obtiene: DB = + =1 1 22
2 DE = ( ) +2 1 2 2 DE = + =2 1 3 Observe que la medida del
segmento DB = 2 y la medida del segmento DE = 3 . Trabajemos en
equipo. Siguiendo los mismos pasos que en el ejemplo anterior,
encuentre la ubicacin sobre la recta real de los siguientes nmeros
irracionales: 7 8 11, . Sugerencia: 7 4 3 2 32 2 = + = + ( ) El
conjunto de los nmeros reales. Lea, analice e interprete. El
siguiente esquema muestra los distintos conjuntos de nmeros La unin
del conjunto de los nmeros racionales con el conjunto de los nmeros
irracionales, recibe el nombre de conjunto de los nmeros reales y
se denota con la letra , simblicamente se escribe: = '
Simblicamente tambin se puede escribir el conjunto de los nmeros
reales de est manera: = '. Vase el esquema que sigue: Nmeros reales
Nmeros racionales Nmeros irracionales Nmeros enteros Nmeros
fraccionarios Positivos Negativos Nmeros naturales Nmeros enteros
negativos Cero A B CD 1 1 E Una construccin alternativa de algunos
nmeros irracionales Paso 1. Dibujar un tringulo PAB rectngulo en A
y con catetos de medida 1. Paso 2. Trazar un segmento perpendicular
al segmento BP en el punto B, cuya medida sea 1. Paso 3. Trazar un
seg- mento perpendicular al segmento PC en el punto C cuya medida
sea 1. Obtenemos la figura siguiente: A B C D P 2 3 5 1 1 1 1 Por
el teorema de Pitgoras aplicado al tringulo PAB, obtenemos: BP2 =
AP2 + AB2 BP2 = 12 + 12 BP2 = 2 BP = 2 De forma similar con el PBC
se obtiene que: PC = ( ) + =2 1 3 2 2 Con un proceso similar se
obtienen: 5 6 7 ...
- 65. 58 Representacin de un nmero real en la recta numrica.
Consideremos una lnea recta y ubiquemos en ella nmeros reales. Cero
Nmeros reales negativos Nmeros reales positivos 0 0,5 1,51 2-1-2
-1,5 -0,5 A la lnea recta donde se ubican los nmeros reales se le
llama recta numrica o recta real. El nmero real cero 0 se llama
origen de la recta real. Valor absoluto de un nmero real. En muchas
actividades de la vida real es necesario trabajar con nmeros que
siempre deben ser positivos. Ejemplo de esto son las distancias
entre puntos. Qu es el valor absoluto de un nmero real?
Consideremos dos nmeros reales ubicados sobre una recta numrica,
por ejemplo el nmero 3 y el nmero - 4. La distancia entre -4 y 0 es
4 La distancia entre 0 y 3 es 3 0 1 2 3-1-2-3-4 4 Observe que la
distancia siempre es un nmero positivo. Ahora se presenta el
concepto de valor absoluto. Valor absoluto de un nmero real
Esladistanciaentreelorigenyelnmeroreal.Representaremos el valor
absoluto de un nmero real a por |a|. La siguiente tabla ilustra el
concepto de valor absoluto. Si a es un nmero positivo, entonces |a|
= a Ejemplo: |3| = 3. Si a es cero, entonces |a| = 0 Ejemplo: |0| =
0 Si a es un nmero negativo, entonces |a| = a. Ejemplo: |3|=(3)=3
La unin del conjunto de los nmeros naturales, con el conjunto de
los nmeros enteros, el conjunto de los nmeros racionales y el
conjunto de los nmeros irracionales, se obtiene el conjunto de los
nmeros reales. El valor absoluto de un nmero entero x se define: x,
si x es positivo (x0) x= 0, si x = 0 -x, si x es negativo (x0)
Donde -x es el opuesto del nmero entero x. Donde -x es el opuesto
del nmero entero x. Ma tem ti ca 7 Sabas qu?
- 66. 59 Importante: a a a2 = = Ejemplo: 4 2 22 = = Suma de
nmeros reales. Al sumar dos nmeros reales se obtiene un nmero real.
Esta propiedad de la suma de nmeros reales se llama propiedad de
cerradura o de clausura. Propiedad de clausura Si a y b ,entonces a
+ b , a, b Ejemplos a.2 es nmero real y 0,5 es un nmero real,
entonces la suma 2 + 0,5 = 2,5 es un nmero real. b. 3 2 3 1 2 3 3
3+ = +( ) = Sumando dos nmeros reales utilizando la recta numrica
real. Ejemplo Encuentre la suma 3 + 7. Solucin: Contar 7 unidades
hacia la derecha a partir de 3 El resultado de la suma ser el nmero
que se encuentra a 7 unidades a la derecha de - 3 en la recta
numrica. El resultado de la suma es 4. Actividades 1. Encuentre la
suma 2 + 6 utilizando la recta numrica. 2. Si a = 20, b = 10, c = 5
compruebe que (a b) c a (b c) 3. Determine el valor absoluto: |4 +
(100)| |80 16 24| |(x)| La divisin de nmeros reales en general no
es conmutativa a b b a Ejemplo. 6 3 = 6 3 = 2 3 6 = 3 6 = 0,5 2 0,5
La divisin de nmeros reales en general no es asociativa. a (b c) (a
b) c Ejemplo. 16 (8 4) = 16 2 = 8 (16 8) 4 = 2 4= 1 2 8 1 2 Smbolo
Se lee Para todo Pertenece a No pertenece a Ma tem ti ca 7 Sabas
qu?
- 67. 60 Propiedades de la suma de nmeros reales. El orden en que
se sumen dos nmeros reales alterar el resultado? Ejemplo 2 + 5 = 7
y 5 + 2 = 7. El resultado es el mismo. Esta propiedad de los nmeros
reales se llama propiedad conmutativa. Propiedad conmutativa Si a y
b ,entonces a + b = b + a, a, b Qu ocurre cuando se suman 3 o ms
nmeros reales? Consideremos el siguiente ejemplo: Ejemplo Al
efectuar la suma 2 3 5 4 7 2 3 39 7 14 117 21 131 21 + + = + = + =
se obtiene el mismo resultado que al sumar 2 3 5 4 7 17 3 4 7 119
12 21 131 21 + + = + = + = Esta propiedad se llama propiedad
asociativa. Propiedad asociativa Si a , b y c , entonces a + (b +
c) = (a + b) + c, a, b, c Compruebe que: 1. 2. 0 8 0 057 4 3 0 08 0
057 3 4 , , , ,+ + = + + Reforzamiento Compruebe que: 8 20 6 15 6
15 8 20 + = + 10 10 10 7 7 10+ = + 6 7 1 8 2 9 6 7 1 8 2 9 + + = +
+ 0 8 20 8 20 8 0 8, ,+ = +
- 68. 61 Sumando tres nmeros reales utilizando la recta real.
Ejemplo Encuentre la suma 3 + 5 + ( 6). 5 unidades hacia la derecha
a partir de -3 6 unidades hacia la izquierda a partir de 2 -3
-1-2-6 -4-5 4 651 320 La distancia de cero al extremo que indica la
punta de la flecha verde es de -4 Entonces: 3 + 5 + ( 6) = ( 3 6) +
5 = 9 + 5( 9 6) = 4 . Qu entenderemos por el opuesto o inverso
aditivo de un nmero real? Dado un nmero real a cualquiera, el nmero
a se llama el inverso aditivo u opuesto de a. El inverso aditivo u
opuesto del nmero 2 es 2. El inverso aditivo u opuesto del nmero 2
es: (2) = 2. Qu ocurre si sumamos un nmero real cualquiera con su
opuesto o inverso aditivo? Opuesto de un nmero real Si a ,entonces
a , a El nmero a se llama el opuesto o inverso aditivo del nmero a.
La suma de todo nmero real a con el nmero real 0 da como resultado
el mismo nmero a. Esta propiedad se llama propiedad del idntico
aditivo y se dice que el cero es el elemento identidad o elemento
neutro para la suma de nmeros reales. Ejemplo 0,289 + 0 = 0,289 Cmo
se interpreta en un grfico el opuesto de un nmero real? El nmero
real a y su opuesto (o inverso aditivo) el nmero real a, se
encuentran a la misma distancia con respecto al origen. Tambin se
dice que son simtricos. Un nmero par x se denota como: x = 2k, k Un
nmero impar x se denota como: x = 2k + 1, k Reforzamiento: Cual de
las siguientes afirmaciones son correctas? Los nmeros enteros son
subconjuntos de los nmeros racionales La interseccin de los nmeros
racionales e irracionales es el conjunto vacio. El conjunto de los
nmeros racionales unido al conjunto de los nmeros irracionales es
el conjunto de los nmeros reales. Ma tem ti ca 7 Sabas qu?
- 69. 62 Propiedad del opuesto de un nmero real. Todo nmero real
a sumado con su opuesto o inverso aditivo, da como resultado el
nmero cero. a + (a) = 0 Ejemplo a) + = 5 9 5 9 0 b) 10 10 0+ ( )=
Resta de nmeros reales. a + (b) = a b; a, b Cuando un nmero real se
suma con el opuesto de otro nmero real, obtenemos la resta de estos
nmeros reales. Ejemplos a.5 + ( 3) = 5 3 = 2 b. 10 + ( 3) = 10 3 =
13 c. 13 2 15 2 13 15 2 2 2 = ( ) = Multiplicacin de nmeros reales.
Propiedad de clausura del producto de nmeros reales. El producto de
dos nmeros reales es un nmero real. Si a y b , entonces a b , a, b
Ejemplo 1. 3(0,5) = 1,5 2. 3 2 5 4 15 8 = 3. (-0,2)(3,42) = - 0,684
4. 1 2 2 3 3 4 6 7 6 + = + = 5. 2 5 10 = En Matemtica se acostumbra
utilizar un punto , el asterisco * y tambin parntesis ( ) para la
multiplicacin de nmeros reales. Ejemplos: El producto de un nmero
real a con el nmero real b se puede escribir as: 1) ab 2) a*b 3)
(a)(b) La propiedad conmutativa es de gran importancia en el
estudio de los nmeros reales y el lgebra. Ma tem ti ca 7 Sabas
qu?