LÓGICA PROPOSICIONALLÓGICA PROPOSICIONALLÓGICA PROPOSICIONALLÓGICA PROPOSICIONAL

20132013

1Aprendizaje Esperado: Aprendizaje Esperado: Resuelve problemas de lógica proposicional con eficiencia y creatividad.

PROBLEMA MOTIVADOR

Resuelve el siguiente caso haciendo uso de tus propias estrategias:

“Si voy a la biblioteca, entonces sacaré un libro de historia. Pero resulta que no pude sacar un libro de historia. De ahí que:a)Fui a la bibliotecab)Saque un libro de historiac)No pude ir a la bibliotecad)No hubo libros de historiae)No hay libros

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ORGANIZADOR VISUALORGANIZADOR VISUAL

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MARCO TEÓRICOMARCO TEÓRICO

ProposiciónEs una expresión donde se afirma o se niega algo. Una proposición puede ser calificada sin ambigüedades como verdadera (V) o falsa (F). V ó F también recibe el nombre de valor de verdad. Ejemplos: p : Arequipa es la capital del Perú. Fq : 12 + 4 = 16 V

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......Clasificación de las proposiciones

Proposición simple o atómica. Son aquellas que carecen de enlaces lógicos Predicativas. Es aquella que no se relaciona con otra. Tiene un sujeto y un predicado. “S” es “P” . Ejemplos:p : 24 es un número par.q : La papa es una planta oriunda del Perú. Relacionales. Aquellas que establecen un nexo entre dos o más sujetos. “A” relación “B”. Ejemplos: Yo estoy al lado tuyo relación por ubicación

Miguel y Flor se aman relación por afinidad

Mi abuelo fue tu contemporáneo relación de grado

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......

Proposición compuesta o molecular. Combinación de dos o más proposiciones simples enlazadas por conectivos lógicos.

Ejemplos:Marco está en Lima y está estudiando. p q

Tengo sueño de día entonces estoy cansado o me faltan vitaminas. p q r

Práctica sobre proposicionesContesta a las siguientes preguntas teniendo presente lo que

acabamos de comentar sobre lo que es y no es un enunciado o proposición.

"El sol no es un astro“es una proposición con valor de verdad V es una proposición con valor de verdad Fno es una proposición "El lago de los cisnes“es una proposición con valor de verdad V es una proposición con valor de verdad Fno es una proposición"2+2=4“es una proposición con valor de verdad V es una proposición con valor de verdad Fno es una proposición

Resolución"El sol no es un astro“ es una proposición con valor de verdad V es una proposición con valor de verdad F no es una proposición

"El lago de los cisnes“ es una proposición con valor de verdad V es una proposición con valor de verdad F no es una proposición

"2+2=4“ es una proposición con valor de verdad V es una proposición con valor de verdad F no es una proposición

Analicemos los elementos de esta tabla de verdad:•En las dos primeras columnas aparecen todas las posibles combinaciones de valores de verdad de los enunciados p y q •p verdadero y q verdadero, •p verdadero y q falso, •p falso y q verdadero, y, •por último, p falso y q falso.

Estos son todos los posibles "estados de cosas" o "interpretaciones".

•En la columna tercera aparecen los valores de verdad de la conjunción de p y q para todas las posibles combinaciones de valores de verdad de p y de q.

•Así, la primera fila muestra el valor de p q en caso de que p sea verdadero y q sea también verdadero, la seguna fila muestra el valor de p q en caso de que p sea verdadero y q falso, etc.

p q p q

V V V

V F F

F V F

F F F

∧

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PENSAMIENTOPENSAMIENTO

La lógica es una incertidumbre cierta entre la La lógica es una incertidumbre cierta entre la verdad o falsedad.verdad o falsedad.

OPERACIONES LÓGICAS

∧∧

Ejemplo 1 Sean los cuatro enunciados siguientes:

a)París esta en Francia y 2 + 2 = 4

b)París esta en Francia y 2 + 2 = 5

c) París esta en Inglaterra y 2 + 2 = 4

d)París esta en Inglaterra y 2 + 2 = 5

Si p es verdadero y q es verdadero, entonces p ^ q es verdadero, en otro caso p ^ q es falso

∧∧

Ejemplo 2 Para comprender la operación lógica de la

disyunción, utilizaremos un contexto de una persona que habla francés:

p: El estudió francés en la universidad

q: El vivió en francia

p v q : El estudio francés en la universidad o el vivió en Francia.

∧∧

∧∧

∧∧

∧∧

FÓRMULAS LÓGICAS.- Están conformadas por proposiciones simples, conectivos lógicos y signos de agrupación.

Al evaluar una fórmula se confecciona su TABLA DE VERDAD Si en esta tabla todos los valores de

verdad son V, es una TAUTOLOGÍA.Si todos son F, es una CONTRADICCIÓNSi algunos valores de verdad son V y otros son F, tal fórmula es una CONTINGENCIA

Ejemplos:

Evaluar la siguiente fórmula:

Esta fórmula lógica corresponde a una TAUTOLOGÍA.

TRADUCIR LOS SIGUIENTES EJERCICIOS A LENGUAJE MATEMÁTICO.

Si la tormenta continúa o anochese, nos quedaremos a cenar o a dormir; si nos quedamos a cenar o a dormir no iremos mañana al concierto; pero si iremos mañana al concierto. Así pues la tormenta no continua.

p: la tormenta continúaq: anocheser: nos quedamos a cenars: nos quedamos a dormirt : ir mañana al concierto

(p v q) (r V s)(r v s) ¬ tt .¬ p

RESOLUCIÓN

1. En una fórmula condicional si se afirma el antecedente en la conclusión:

a)Se niega el consecuente.

b)Se niega el antecedente.

c)Se afirma el consecuente.

d)Se afirma el antecedente y consecuente.

e)Se niega antecedente y consecuente.

Resolver los ejercicios siguientes:

2. “Si voy a la biblioteca, entonces sacaré un libro de historia. Pero resulta que no pude sacar un libro de historia. De ahí que:a)Fui a la bibliotecab)Saque un libro de historiac)No pude ir a la bibliotecad)No hubo libros de historiae)No hay libros

3. “Me voy al cine o al parque, sin embargo llamo a Juan por teléfono. Por lo tanto…”

a)Voy al cine y al parque

b)Voy al cine y no al parque.

c)No voy al cine o no voy al parque.

d)No llamo por teléfono a Juan.

e)Voy al cine o al parque.

4. “Raúl es médico. Raúl es sociólogo”. Por lo tanto, Raúl:

a)No es medico per sociólogo.

b)Es sociólogo y no es médico.

c)No es cierto que sea médico y sociólogo.

d)Es médico y sociólogo.

e)Es un gran filósofo.

5. Si canta y baila, María es artista; sin embargo no es artista. Por lo tanto,…….

a)Ni canta ni baila.

b)No es el caso que canta y baila.

c)Canta si baila.

d)No canta o baila.

e)Ya que baila, canta.

1. De los siguientes enunciados indicar cuales son proposiciones

5+8¡Bravo!

7<11

a. VFV b. VVF c. FVVd. FVF e. VVV

2. De los siguientes enunciados indicar cuales son proposiciones

x+5=9x-3< 103+4 = 6

a. VVF b. FFF c. VVVd. FFV e. FVF

3. Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

I. ( ) ( )3 5 8 5 3 4+ = ∨ − =

II. ( ) ( )3 8 11 7 3 1+ = ∨ − >

III. ( ) ( )5 3 8 1 7 6− = ⇒ − =

5. Cuantos V y F tiene la matriz principal de:

( )p q q ⇒ ∧ ∼

a. 2 y 2 b. 3 y 1 c. 1 y 3d. 4V e. 4F

6. Determine la matriz principal de la proposición de:

( ) ( )p q p q∨ ⇔ ∧∼ ∼ ∼

a. VVFF b. FFVV c. VVVVd. FFFF e. VFVF

7. Halle la tabla de verdad de:

( ) ( )p q p q∨ ⇔ ∨∼ ∼

a. FFFF b. VVVV c. FFVVd. VVFF e. VFVF

( )p r q∨ →

( )p r q→ ∧ ∼( )p q r→ ∧

8. Las siguientes proposiciones son verdaderas:

II.

III.

Señale el valor de verdad de: p,q y r

I.

( ) ( )3 5 8 5 3 4+ = ∨ − =

( ) ( )5 3 8 1 7 6− = → − =( ) ( )3 8 11 7 4 > 6+ = ∧ −

( ) ( )4 6 9 5 2 4+ = ↔ − =

9. Determinar los valores de verdad de las siguientes proposiciones

b.

c.

d. a. VVVFb. VFVFc. VVVVd. FFFFe. VFVV

a.

10. Sean:p: Juan Estudia Inglesq: Pedro esta en casaExpresar oralmente la proposición:

( )M ~ ~ p ~ q p q = ∧ → ∨

Verdades y mentiras El tema de verdades y mentiras es la parte importante de la lógica matemática que permite descifrar acertijos sobre veraces y mentirosos, es decir, identificar a los personajes hipotéticos que dicen siempre la verdad o siempre mienten, a partir de sus afirmaciones o de terceros. Para identificar a los personajes hipotéticos, utilizaremos los razonamientos por casos, por suposición, por analogía, por contradicción y otros. Estos razonamientos nos permiten descartar un cierto número de posibilidad consistente. Recuerda que, de dos proposiciones contradictorias una tiene que ser verdadera y la otra falsa.

PROBLEMA1. Marco, Luís, Ignacio, Leonardo son acusados de cometer un delito, por lo cual son sometidos a un interrogatorio y el acta policial consigna la siguiente manifestación:Marco : “Fue Luis”Leonardo: “Luís miente”Ignacio: “Yo no fui, soy inocente.”Luís : “El delito lo cometió Leonardo.”Si se sabe que sólo uno de ellos miente, ¿quién cometió el delito?A). Leonardo: b). Ignacio: c). Luís d). Marco e). Falta información RESOLUCION:*Del enunciado sabemos que solo uno de ellos miente.Marco: “Fue Luis” (V)Leonardo: “Luis miente” contradicciónIgnacio: “Yo no fui, soy Inocente.” (V)Luís: “El delito lo cometió Leonardo.” contradicción Observamos que las afirmaciones de Leonardo y Luís se contradicen, por tanto, una de ellas debe ser falsa. De allí las afirmaciones de Marco e Ignacio son verdaderas.Marco dice fue Luis (V), entonces el culpable es Luís.

2. Cuatro hermanas son interrogadas por su madre, pues una de ellas usó sus joyas en una fiesta sin su permiso.Katia dice : “Liliana fue”.Liliana dice : “Maribel fue”.Maribel dice: “Liliana miente al decir que fui yo”Zulema dice: “Yo no fui”.

Si la madre sabe que solo una de ellas dice la verdad, ¿Quién es la culpable?

UTILIZA TUS PROPIAS ESTRATEGIAS PARA RESOLVER EL PROBLEMA

PROBLEMAS PROPUESTOS 3. Cuatro “Hackers” son sospechosos de haber introducido un ultravirus en la Internet y al ser interrogados por la policía contestaron:Felipe : “Hernán participó”Hernán : “Víctor participó”Víctor : “Hernán miente.”Jesús : “Yo no participé.” Si el único inocente es el único que dice la verdad ¿quién es?a). Felipe: b). Hernán c). Víctor d). Jesús e). No se puede determinar

4. Un juez estaba convencido que tres de los cuatro: Lenin, Rony, Peter y Daga, eran los asesinos de “Nemesio”. Cada delincuente hizo una afirmación, pero sólo una de las cuatro afirmaciones es verdadera:Lenin dijo : “Yo no lo maté”Rony : “Lenin miente”Peter : “Rony miente.”Daga : “Rony lo mató.”¿Quién no es el asesino?a). Lenin b). Rony c). Peter d). Daga e). No se puede determinar

5. Un individuo miente siempre los martes, jueves y sábados y es completamente veraz los demás días. Cierto día mantiene el siguiente diálogo con una dama:

- Pregunta la dama : ¿Qué día es hoy?- Responde el individuo: Sábado- Pregunta la dama : ¿Qué día será mañana?- Responde el individuo: Miércoles

¿De que día de la semana se trata?

a). Martes b). Miércoles c). Jueves d). Viernes e). Domingo

1) Sea p “Samuel es rico” y sea q “Samuel es felíz”. Escriba cada una de las siguientes frases en sus formas simbólicas ( Asuma que “Samuel es pobre” significa “Samuel no es rico”, es decir ¬p)

a) Samuel es pobre pero feliz

b) Samuel no es ni rico ni feliz

c) Samuel no es ni rico ni infeliz

d) Samuel es pobre o es rico e infeliz

2) Con las siguientes asignación de significados para las variables proposicionales:

p : Necesita un doctor q: Necesita un abogado r: Tiene un accidentes: Está enfermo u: Es injuriado

Expresar en español las siguientes sentencias:

a) ( s → p ) ( r →q )∧

b) p →( s u )∨

c) ( p q ) → r∧

d) ( p q ) ↔ ( s u )∧ ∧

e) ¬ ( s u ) →¬ p∨

3) Sean p, q, r las proposiciones siguientes

p “Está lloviendo” q “El sol está brillando” r “ hay nubes en el cielo”

Traduzca lo siguiente a notación lógica, utilizando p, q, r y conectivos lógicos

a) Está lloviendo y el sol está brillando

b) Si está lloviendo, entonces hay nubes en el cielo

c) Si no está lloviendo, entonces el sol no está brillando y hay nubes en el cielo

d) El sol está brillando si y sólo si no está lloviendo

e) Si no hay nubes en el cielo, entonces el sol está brillando

TABLAS DE VERDAD

Por ejemplo construir la siguiente tabla de verdad : ( p → q ) → ( p q)∧

p q ( p q ) → ( p q)∧ ( p q ) ( p q)→ → ∧

Nota: cuando se tienen dos variables p y q se tienen 4 filas

V

V

F

F

V

F

F

V

V

F

V

V

V

F

F

F

V

V

V

V

V

EJERCICIOS

Construir la tabla de verdad de las siguientes proposiciones:

p q ¬ p ( q p ) → ¬ p ( q p )→ →

a) ¬ p → ( q → p )

V

V

F

F

V

F

F

V

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BIBLIOGRAFÍABIBLIOGRAFÍA

Lipschutz, Seymour (1996). Teoría de conjuntos y temas afines. México: Mc Graw Hill.Cabrera, Alan (2006) Razonamiento Matemático Superior. Lima. Ed. UNI.Dienes, Z.P. (1970). Las seis etapas del aprendizaje en Matemática Barcelona, Teide. Flores, P. (2001). Aprendizaje y evaluación en matemáticas. Matemáticas y su Didáctica para la formación inicial de maestros de primaria. Madrid, Síntesis.