UNIDAD I CONJUNTOS

EUGENIO MARLON EVARISTO BORJA

Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja.

Bienvenidos a nuestra Primera Unidad

Nuestro tema transversal es Identidad Institucional

y Nacional

DIVERSIFICACIÓN

CAPACIDADES Razonamiento y demostración

• Demuestra y verifica el uso operaciones con conjuntos.

Comunicación Matemática

• Describe y utiliza Noción de conjunto. Determinación de conjuntos.

• Describe y utiliza las Relaciones y operaciones entre conjuntos.

• Describe y utiliza los Diagramas de clasificación y organización de información cuantitativa (Venn.).

• Representa de diversas formas la dependencia funcional entre variables: verbal, tablas, gráficos, etc.

Resolución de problemas

• Resuelve problemas con las relaciones y operaciones entre conjuntos.

• Resuelve problemas de contexto real y matemático que implican la organización de datos utilizando conjuntos.

CONOCIMIENTOS

Funciones • Noción de dependencia, función,

variables dependientes e independientes. • Representación tabular y gráfica de

funciones. • Dominio y rango de funciones lineales.

Relaciones lógicas y conjuntos • Noción de conjunto. Determinación de

conjuntos. • Relaciones y operaciones entre

conjuntos. • Diagramas de clasificación y

organización de información cuantitativa (Venn, Carroll, cuadros numéricos, etc.)

Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja.

ÍNDICE

• CONJUNTO

– Definición.

– Representación de conjuntos.

– Relación de pertenencia.

– Determinación de conjuntos.

– Clases de conjuntos.

– Relación entre conjuntos – Inclusión.

– Relación entre conjuntos – Igualdad.

– Conjuntos especiales – Conjunto Universal.

– Conjuntos especiales – Conjunto Potencia.

• Operaciones entre entre conjuntos. – Unión. – Intersección. – Diferencia. – Diferencia Simétrica. – Complemento. – Producto Cartesiano.

• Funciones. – Definición. – Dominio y Rango. – Variable Independiente y

Dependiente.

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CONJUNTO Un conjunto es una colección

de objetos que tienen características en común.

Cada objeto de un conjunto se llama elemento.

Escribir 5 ejemplos de conjuntos en

nuestra sociedad. Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja.

Ejemplo: Conjunto de vocales

Conjunto de tortas

NOTACIÓN DE CONJUNTO

Diagrama de Venn Euler

A={a, e, i, o, u}

Los conjuntos se nombran con letras mayúsculas: A, B, C, D ……….

Se puede representar por medio de diagramas o entre llaves.

Cuando se representa entre llaves se separan con comas y en el caso de números se separan con punto y coma. Cuando se representa en diagramas es necesario que lleven un punto en el lado izquierdo.

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CONJUNTO

Ejemplo: Ejemplo:

B={1, 3, 5, 7, 9}

C

C={pato, gallo, pollo} Escribir 5 ejemplos de

conjunto gráficamente y entre llaves.

Aquí algunos ejemplos de conjuntos.

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RELACION DE PERTENENCIA

Ejemplo:

B={1, 3, 5, 7, 9}

C

C={pato, gallo, pollo}

La relación de pertenencia se establece de elementos a

conjunto.

•1 Є A •3 Є A •5 Є A •7 Є A

•9 Є A •11 ∉ A •13 ∉ A •15 ∉ A

•gallo Є A •pollo Є A •pato Є A •zorro ∉ A

Se lee: El elemento 1 pertenece al conjunto A. El elemento 15 no pertenece al conjunto A.

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DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS

POR EXTENSIÓN

• Un conjunto se representa por extensión cuando se enumera uno a uno cada uno de sus elementos.

POR COMPRENSIÓN • Un conjunto se determina

por comprensión cuando se recurre a una propiedad que caracteriza todos sus elementos.

A={a, e, i, o, u} A={las vocales} ó A={x/x es una vocal}

B={0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} B={los números dígitos} ó B={x/x Є N <10}

¿Cuántas formas de determinar conjuntos hay?

Existen 2: Por Extensión y Por Comprensión

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DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS

POR EXTENSIÓN • A={x/x Є N, x es impar y x≤11}

• B={x/x Є N, x es impar y 2<x≤9}

• C={x/x es una vocal fuerte}

• D={x/x es un mes con cinco letras}

• E={x/x Є N, múltiplo de 5 y 10≤x ≤30 }

POR COMPRENSIÓN • A={1; 3; 5; 7; 9; 11}

• B={3; 5; 7; 9}

• C={a, e, o}

• D={enero, marzo, abril, junio, julio}

• E={10; 15; 20; 25; 30}

Por Comprensión: F={1; 2; 3; 4; 5; 6} G={gato, tigre, león, leopardo} H={7; 14; 21; 28; 35} I={Pinta, Niña, Santa María} J={55, 66, 77, 88, 99}

Por Extensión: K={x/x Є N, x es un número par 5<x<11} L={x/x es un ave domestico} M={x/x es un planeta del sistema solar} N={x/x Є N , x es un numero primo <13} O={x/x es una consonante}

Aquí tienen algunos ejemplos de determinación de conjuntos.

Determinar los siguientes conjuntos:

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CLASIFICACIÓN DE CONJUNTOS ¿Cuántos clases de conjuntos existen?

Existen 4 y son los que se muestran en la tabla

Conjuntos Por extensión Por comprensión Características

Finito A={a, e, i, o, u} A={x/x es vocal} Se puede enumerar todos sus elementos.

Infinito B={0;1;2;3;4;…} B={x/x ∈ ℕ} No se puede terminar de enumerar todos los elementos.

Vacio C={ } = Ø C={x/x ∈ ℕ ∧ 1<x<2} No tiene elementos.

Unitario D={3} D={x/x ∈ ℕ ∧ 2<x<4} Tiene un único elemento.

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RELACIÓN ENTRE CONJUNTOS

• B={1; 2; 3; 4; 5}

• C={1; 3; 5}

• D={2; 4; 6}

• E={6; 7; 8; 9}

INCLUSIÓN

1. C ⊂ B 2. D ⊄ B 3. B ⊂ B

4. C ⊂ C

5. B ⊄ E

¿A qué se llama relación de Inclusión?

Se dice que un conjunto esta incluido en otro si todo elemento del primero es

también elemento del segundo.

.2

.4

.1 .3 .5

C B

1) .1 .2

.3 .4 .5

B 3)

.2 .4 .6 .1 .3 .5

B

D

2)

.1 .3 .5

C 4) .1 .2

.3 .4 .5

B .6 .7 .8 .9

E 5)

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RELACIÓN ENTRE CONJUNTOS

Simbólicamente: A ⊂ B ⇔ ∀ x, x ∈ A ⇒ x ∈ B

Se escribe Se lee

A ⊂ B A esta incluido en B A es subconjunto de B

A ⊄ C A no esta incluido en C A no es subconjunto de C

C ⊄ B C no esta incluido en B C no es subconjunto de B

Propiedades de la inclusión

Reflexiva: Todo conjunto esta incluido en si mismo A ⊂ A

Transitiva: Si A ⊂ B ∧ B ⊂ C ⇒ A ⊂ C

Cuando un conjunto esta incluido en otro se dice también que es subconjunto del otro.

.d .e B

.a .b .c

A .i .o .u

C

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Simbólicamente: A = B ⇔ A ⊂ B ∧ B ⊂ A

RELACIÓN ENTRE CONJUNTOS

• B={b; 2; 3; d; 5}

• C={d; 3; 5; b; 2}

IGUALDAD DE CONJUNTOS

¿A qué se llama Igualdad de conjuntos?

Se dice que dos conjuntos son iguales si tienen exactamente

los mismos elementos.

• D={χ; ψ; ω; σ}

• E={ω; χ; ψ; σ}

.b .2 .3

.d .5

B C

E D

.ω .χ

.ψ .σ

B=C D=C

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CONJUNTOS ESPECIALES

¿Cuántas clases de conjuntos especiales existen?

Son dos y son los siguientes:

• U={plantas}

• F={flores}

• V={verduras}

• R={rosas}

CONJUNTO UNIVERSAL (U) O referencial es aquel que se fija de antemano e incluye a

todos los elementos que están en discusión.

U

flores F

rosas R verduras

V

F⊂U, V⊂U, R⊂F, R⊂U

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CONJUNTOS ESPECIALES ¿Y que es un conjunto

potencia?

• Sea el conjunto:

• A={pan, queso}

• Donald cuenta con alimentos del conjunto A entonces podemos formar 4 subconjuntos que muestran la manera de comer sus alimentos.

• P(A)={{pan},{queso},{pan, queso}, ninguna de las dos}

CONJUNTO POTENCIA P(A) Es aquel que está constituido

por todos los subconjuntos que es posible formar con los

elementos del conjunto A.

Cantidad de elementos de P(A)=cantidad de subconjuntos de A=n[P(A)]=2n(A)

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La unión de dos conjuntos A y B, es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a

A o a B o a ambos

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

• Sean los conjuntos:

• A={1; 2; 3; 4; 5}

• B={1; 3; 5}

• C={2; 4; 6}

• D={3; 4; 5}

Unión (U) de conjuntos

¿Cuáles son las operaciones entre conjuntos?

Existen 6 y son las siguientes:

.1 .2 .3

.4 .5

A

B

A ∪ B A ∪ B={1; 2; 3; 4; 5} C ∪ D={2; 3; 4; 5; 6}

.3

.5

C D .2 .4 .6

C∪ D

.1

.3

.5

B

.2

.4

.6

C

B ∪ C

B ∪ C={1; 3; 5; 2; 4; 6}

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La intersección de dos conjuntos A y B, es el conjunto formado por

todos los elementos que pertenecen a A y a B y a ambos.

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

• Sean los conjuntos:

• A={1; 2; 3; 4; 5}

• B={1; 3; 5}

• C={2; 4; 6}

• D={3; 4; 5}

Intersección (∩) de conjuntos

¿Cuál es la segunda Operación entre conjuntos?

La segunda es la Intersección

.1 .2 .3

.4 .5

A .1 .2

.3 B

A ∩ B A ∩ B={1; 2; 3} C ∩ D={4}

.1

.3

.5

B

.2

.4

.6

C

B ∩ C

B ∩ C={ }

.6

.2

.3

.5 .4

C D

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C ∩ D

La diferencia de dos conjuntos A y B, es el conjunto formado por

todos los elementos que pertenecen a A y no a B.

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

• Sean los conjuntos:

• A={1; 2; 3; 4; 5}

• B={1; 3; 5}

• C={2; 4; 6}

• D={3; 4; 5}

Diferencia (-) de conjuntos

¿Cuál es la tercera Operación entre conjuntos?

La tercera es la Diferencia

.1 .2 .3

.4 .5

A .1 .2

.3 B

A - B A - B={4; 5} C - D={6; 2; 3; 5}

.1

.3

.5

B

.2

.4

.6

C

B - C

B - C={1; 3; 5}

.6

.2

.3

.5 .4

C D

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C - D

La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B, es el conjunto

formado por todos los elementos que pertenecen a A y B. Pero no a ambos.

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

• Sean los conjuntos:

• A={1; 2; 3; 4; 5}

• B={1; 3; 5}

• C={2; 4; 6}

• D={3; 4; 5}

Diferencia Simétrica (∆) de conjuntos

¿Cuál es la cuarta Operación entre conjuntos?

La cuarta operación es la Diferencia simétrica

.1 .2 .3

.4 .5

A .1 .2

.3 B

A ∆ B A ∆ B={4; 5} C∆D={6; 2; 3; 5}

.1

.3

.5

B

.2

.4

.6

C

B ∆ C

B∆C={1; 3; 5; 2; 4; 6 }

.6

.2

.3

.5 .4

C D

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C ∆ D

El complemento de un conjunto A’ , es el conjunto formado por todos

los elementos del conjunto universal U que no pertenecen a A .

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

• Sean los conjuntos:

• U={1; 2; 3; 4; 5,6}

• A={1; 3; 5}

• B={2; 4; 6}

• C={3; 4; 5}

Complemento (’) de conjuntos

¿Cuál es la quinta Operación entre conjuntos?

La quinta operación es el Complemento

.2 .4 .6

U

.1 .5 .3

A

A’ A’={2; 4; 6} C’={1; 2; 6}

B’={2; 4; 6 }

.1 .2 .6 C .3 .4

.5

U

C’

.2

.4

.6

.1

.3

.5

B

B’

U

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El producto cartesiano de los conjuntos A y B es un conjunto de pares ordenados (x, y) tal que x ∈

A ∧ y ∈ B.

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

• Sean los conjuntos:

• B={2; 4; 6}

• C={3; 5; 7}

Producto Cartesiano (x) de conjuntos

¿Cuál es la sexta Operación entre conjuntos?

La sexta operación es el Producto Cartesiano.

.2

.4

.6

B .3 .5 .7

C

B x C B x C={(2;3),(2;5),(2;7),(4;3),(4;5),(4;7),(6;3),(6;5),(6;7)}

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FUNCIONES: Definición.

• Sean los conjuntos: A={2; 4; 6} B={3; 5; 7}

¿Qué es una función?

La función es una correspondencia entre

dos conjuntos

ƒ1={(2;3),(4;5),(6;7)}

Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja.

.2

.4

.6

A .3 .5 .7

B

Dominio Rango

.2

.4

.6

A .3 .5 .7

B

Dominio Rango

•Un conjunto A llamado conjunto de partida o dominio •Un conjunto B llamado conjunto de llegada o rango.

•Una regla que asigna a cada elemento de A un único elemento de B.

ƒ2={(2;3),(4;5),(6;7)}

.2

.4

.6

A .3 .5 .7

B

Dominio Rango No es una función

.2

.4

.6

A .3 .5 .7

B

Dominio Rango No es una función

FUNCIONES: Dominio y Rango.

• Sean los conjuntos:

• A={a; b; c}

• B={β; γ; δ}

¿Qué es el Dominio y Rango de una función?

La función es una correspondencia entre

dos conjuntos

ƒ1={(a;β),(b;γ),(c;δ)}

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.a

.b

.c

A .β .γ .δ

B

Dominio Rango

.a

.b

.c

A .β .γ .δ

B

Dominio Rango

•Dado una función ƒ de A en B: •El dominio de ƒ esta formado por todos los elementos de A.

•El Rango de ƒ esta formado por subconjunto de B.

ƒ2 ={(a; γ),(b;γ),(c; γ)}

FUNCIONES: Variable dependiente e independiente.

¿Cuántas clases de variable existe en una función?

Existen 2: •Variable dependiente. •Variable independiente.

Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja.

•Una función ƒ : A => B •La variable x representa cualquier valor del dominio y se llama

variable independiente. •Los valores que tome la variable “y” dependen de los valores que

tome x, por lo que se denomina variable dependiente.

.x

A

y= ƒ(x)

B

V. Ind. V. Depen.

ƒ (x,y) o (x, ƒ(x))

V. Ind. V. Depen. V. Ind. V. Depen.

FUNCIONES: Variable dependiente e independiente.

¿Cómo se determina el valor de la variable dependiente?

El valor de la V. dep. esta en función de la variable

independiente.

Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja.

•La función es ƒ={(1;2),(2;3),(3;4),(4;5)}

• Sean los conjuntos:

• A={1; 2; 3; 4}

• B={0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}

Se define la función

ƒ : AB por el criterio y = x+1

Solución Sabemos que ƒ(x) = y = x+1 Esto es ƒ(x)= x+1; reemplazamos en x los elementos de A ƒ(1)=1+1=2 ƒ(2)=2+1=3 ƒ(3)=3+1=4 ƒ(4)=4+1=5