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Óptica
Fco Javier Corral 2016-2017
Reflexión
La reflexión es el cambio de dirección que se produce cuando un rayo de luz choca
contra una superficie reflectante.
1. Rayo incidente, normal y rayo reflejado están en el mismo plano.
2. Los ángulos de incidencia y de refracción son iguales.
Reflexión especular: los rayos que llegan paralelos a una superficie plana se
reflejan paralelamente
Reflexión difusa: si la superficie no es plana, los rayos reflejados no son paralelos.
Refracción
La luz no se mueve a la misma velocidad en todos los medios. El valor máximo corresponde al vacío. Se
define el índice de refracción como el cociente:
VACIO
MEDIO
MEDIO
vn 1
v
Medio n
Vacío / Aire 1,00
Agua 1,33
Vidrio 1,52
Diamante 2,41
La refracción es el cambio de velocidad producida en un rayo cuando pasa de un
medio a otro de distinto índice de refracción.
1. El rayo incidente, el rayo refractado y la normal están en el mismo plano.
2. La relación entre el ángulo de incidencia y el ángulo de refracción viene dada
por la Ley de Snell: 1 2n seni n senr
La reflexión y la refracción son dos fenómenos que pueden darse a la vez. Cuando
un rayo choca con la superficie de separación de dos medios, parte se refleja y
parte se refracta.
Reflexión total: Angulo límite
Supongamos que un rayo de luz pasa de un medio a otro con un índice de refracción menor; el ángulo de
refracción es mayor que el de incidencia (el rayo se aleja de la normal). Si aumentamos el ángulo de
incidencia llegará un momento en el que el ángulo de refracción sea de 90º.
A ese ángulo de incidencia vamos a llamarle ángulo límite. Cualquier rayo
que incida con un ángulo mayor se reflejará hacia el medio de partida.
Para calcular el ángulo límite aplicamos la ley de Snell:
1
2 1
2
nn seni n sen90 i arcsen
n
para un ángulo de incidencia superior al ángulo límite solo se produce
reflexión.
N
i r
N
i
r
n1
n2
n1<n2
n2 i
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Prisma óptico
Un prisma óptico es un conjunto de dos caras, no paralelas,
que separa dos medios de distinto índice de refracción.
Vamos a calcular el ángulo de desviación del prisma .
Sabemos las características del prisma: el ángulo , el índice
de refracción n y suponemos que está en el aire.
Para la refracción en la primera cara: 1 1
seni nsenr con lo que conocemos el valor de r1.
En el triángulo ABC: 1 2 2 1r i 180 180 i r
Para la refracción en la segunda cara: 2 2
nseni senr
En el cuadrado ABCE: 1 2 1 2
180 i r 180 360 i r
es el ángulo de desviación del prisma; ángulo que forma la dirección del rayo de entrada con la dirección del
rayo de salida.
Dispersión de la luz
El índice de refracción depende del medio y de la longitud de
onda. Así para el vidrio:
Color nm n
Rojo 640 1,509 Amarillo 590 1,511 Verde 510 1,515 Azul 485 1,517
Violeta 435 1,521
Si a un prisma llega un rayo de luz blanca, los rayos que la componen se refractan de acuerdo con el índice
de refracción y se separan. A esa descomposición de la luz blanca le llamamos dispersión.
Lámina de caras plano paralelas
Aplicando la ley de Snell 1 1 2 1 2 1 2
n seni n senr n seni i i vemos que el rayo emergente de la lámina y el
de entrada son paralelos, se produce un desplazamiento lateral. ¿Cuánto vale ese desplazamiento lateral?
Llamando n21
al cociente de índices de refracción
2 2221
21 2
2121
n sen isen iseni n senr cosr 1
nn
en el triángulo ABC 21
2 2
21
hnh hcosr AC
AC cosr n sen i
y en el triángulo ACD tenemos:
21
2 2
21
hn sen(i r)dsen(i r) d ACsen(i r) d
AC n sen i
i1
r1 r2
i2
180-
A C
B
D
E
Aire n=1
n
Luz blanca
rojo
azul
h
d
i
r i-r
A
B C
D
n1
n2
n1
i2
r
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Dioptrio esférico
Un dioptrio es una superficie de separación entre dos medios de diferente índice de refracción. Vamos a
estudiar dos: el esférico y el plano. Vamos a trabajar con rayos paraxiales: rayos próximos a los ejes, con
ángulos pequeños de forma que se confundan el arco, el seno y la tangente.
Criterio de signos:
Distancias horizontales: positivas a la derecha del dioptrio, negativas a la izquierda.
Distancias verticales: positivas por encima del eje óptico, negativas por debajo.
Ángulos con el eje óptico: Positivos si el camino más corto para hacerlo coincidir con el eje óptico va
en sentido antihorario. ¡Ojo, σ1 es negativo!
Ángulos con la normal: son positivos.
Supongamos un rayo paraxial que sale del punto P1 se refracta en el punto A y llega al punto P2. Si aplicamos
la ley de Snell tenemos:
1 2n seni n senr y al ser rayos paraxiales 1 2
n i n r (1)
En el triángulo P1AC: 1
(180 i) 180 luego 1
i
En el triángulo CAP2: 2
r (180 ) 180 luego 2
r
Si sustituimos estos valores en la expresión (1) tenemos:
1 1 2 2n ( ) n ( ) (2)
Teniendo en cuenta que estamos trabajando en la zona paraxial:
1 1 2 2
1 2
h h htg tg tg
s s R
Sustituyendo estos valores en la expresión (2):
1 2
1 2
h h h hn n
R s R s
o lo que es lo mismo 1 2
1 2
1 1 1 1n n
R s R s
que es la invariante de Abbe, que también se puede escribir como 2 1 2 1
2 1
n n n n
s s R
i
r
h P1 P2 1 2
s1 s2
R
A
B
C
n2 n1
EJE OPTICO
EJE OPTICO
DIOPTRIO
DIOPTRIO
n2 n
1
N
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Focos del dioptrio
Todos los rayos que llegan paralelos al eje óptico se refractan y pasan
por el mismo punto, al que vamos a llamar foco imagen F2. La
distancia desde el vértice hasta ese punto es la distancia focal f2.
Para calcular la distancia focal aplicamos la ecuación del dioptrio con
1s y
2 2s f
2 1 2 1 2
2
2 2 1
n n n n nf R
f R n n
Todos los rayos que pasan por un punto al que vamos a llamar foco
objeto salen paralelos al eje óptico. A ese punto le vamos a llamar
foco objeto F1 y f1 a la distancia focal objeto. Para calcular la
distancia focal aplicamos la ecuación del dioptrio con 2
s y
1 1s f
2 1 2 1 1
1
1 2 1
n n n n nf R
f R n n
La suma de las distancias focales es:
1 2
1 2
2 1 2 1
n nf f R R R
n n n n
El cociente de las distancias focales es:
1 1
2 2
f n
f n
Si la ecuación del dioptrio la dividimos entre el segundo miembro obtenemos una nueva ecuación del dioptrio,
más sencilla:
2 1 2 1 2 1 2 1
2 1 2 2 1 1 2 1 2 1
n n n n n R n R f f1 1
s s R s (n n ) s (n n ) s s
que es la ecuación de Gauss (¡…!) del dioptrio esférico.
Formación de imágenes en un dioptrio
Los rayos paralelos al eje óptico pasan por el foco 2.
Los rayos que pasan por el centro de curvatura no se
desvían.
Los rayos que pasan por el foco 1 salen paralelos al eje
óptico.
El punto de corte de las tres líneas determina el final de
la imagen que comienza en el eje óptico.
La imagen es real si los rayos se cortan y virtual si se cortan las prolongaciones hacia atrás.
f2
F2
f1
y1
y2
F2
C F1
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Aumento de un dioptrio
El aumento de un dioptrio es la relación entre los tamaños
de la imagen y del objeto. Si aplicamos la ley de Snell,
tenemos: 1 2n seni n senr y como estamos en la zona
paraxial: seni i tgi y senr r tgr
con lo que 1 2n tg i n tgr ; 1 2
1 2
1 2
y yn n
s s y el aumento del
dioptrio es: 2 1 2
1 2 1
y n sA
y n s
Lentes
Una lente es un medio transparente limitado por dos dioptrios de los que, al menos uno, es esférico. Vamos a
trabajar solo con lentes delgadas; en las que la anchura es despreciable frente al radio de curvatura.
Las lentes son de dos tipos:
Lentes convergentes: son más gruesas en el centro que en los extremos
y pueden ser biconvexa (R1>0 y R2<0) planoconvexa (R1>0 y R2= ) y
menisco convergente (R1>0, R2>0, R2>R1)
Lentes divergentes: son más gruesas en los extremos y pueden ser
biconcava (R1<0 y R2>0) planoconcava (R1= y R2<0) y menisco
divergente (R1>0, R2>0, R1>R2)
Para deducir la fórmula de las lentes sólo hay que tener en cuenta que
se trata de dos dioptrios en el aire:
Dioptrio 1: n1=1; n2=n; R=R1
y al sustituir en la ecuación del dioptrio:
1 1
n 1 n 1
s s R
Dioptrio 2: n1=n; n2=1; R=R2
y al sustituir en la ecuación del dioptrio:
2 2
1 1 1 n
s s R
Si sumamos las dos expresiones, para eliminar s’ tenemos:
2 1 1 2
1 1 1 1(n 1)
s s R R
(3)
Todos los rayos que vienen paralelos al eje óptico se refractan pasando por el foco. La distancia focal de la
lente se calcula a partir de (3) teniendo en cuenta que:
1
2 2 2 1 2
s 1 1 1(n 1)
s f f R R
(4)
Comparando las expresiones (3) y (4) obtenemos la ecuación de las lentes:
2 1 2
1 1 1
s s f
y1
y2
i r
s2 s1
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Aumento de una lente
Tenemos dos triángulos semejantes A1B1O y A2B2O. Definimos el
aumento de una lente como la relación de tamaño entre la
imagen y2 y el objeto y1.
2 2
1 1
y sA
y s
2
P 0 convergente1P
P 0 divergentef
Se define la potencia de una lente como la inversa de su distancia focal expresada en metros. La unidad es la
dioptría que es la potencia de una lente que tiene una distancia focal de 1m.
La potencia de una lente convergente es positiva y la de una divergente es negativa.
Formación de imágenes en las lentes
Para formar imágenes, al igual que en el dioptrio esférico hay que tener en cuenta:
1. Rayo que llega paralelo al eje óptico sale por el foco
2. Rayo que pasa por el centro óptico (centro de la lente) no se desvía
3. La imagen se forma desde el eje óptico hasta el punto de corte de los dos anteriores.
Lentes convergentes.
Dependiendo de la posición del objeto tenemos cinco posibilidades:
Si el objeto está la imagen se forma y la imagen es
antes de 2F entre F y 2F menor, real e invertida
en 2F en 2F igual, real e invertida
entre F y 2F entre 2F y mayor, real e invertida
en F no hay imagen no hay imagen
entre F y la lente entre y F mayor, virtual y derecha
y1
y2
s1 s2
O
A2
A1
B2
B1
F 2F F 2F
F 2F F 2F
F 2F
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Lentes divergentes.
Sólo hay una posibilidad de formación de imagen que siempre es
menor, virtual y derecha, independientemente de donde se encuentre
el objeto.
Espejos
Vamos a considerar un espejo como un dioptrio esférico en el que el índice de refracción n2
es igual y de
sentido contrario al n1. El rayo llega, se refleja y vuelve por el primer medio pero en sentido contrario.
En la ecuación del dioptrio esférico: 2 1 2 1
2 1
n n n n
s s R
si
2 1n n , tenemos:
1 1 1 1
2 1
n n n n
s s R
o bien
2 1
1 1 2
s s R que es la fórmula de los espejos.
¡Cuidado con los signos de los radios!
Los espejos cóncavos tienen radio negativo y los convexos tienen radio positivo.
De la fórmula de los espejos podemos deducir inmediatamente que la distancia focal es la mitad del radio.
Formación de imágenes en los espejos
1. Los rayos paralelos al eje óptico se reflejan pasando por el foco.
2. Los rayos que pasan por el foco se reflejan y salen paralelos al eje óptico.
3. Los rayos que pasan por el centro no se desvían.
Espejos cóncavos. Se pueden dar cinco posibilidades, dependiendo de la posición del objeto.
F
F C
F C
F C
F C
F C
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Espejos convexos
Sólo hay una posibilidad de formación de imagen.
Independientemente de dónde esté el objeto, la imagen siempre
es menor, derecha y virtual.
Aumento de un espejo
Se obtiene a partir del aumento de un dioptrio, sin más que hacer la sustitución 2 1
n n
2 1 2 2
1 2 1 1
y n s sA
y n s s
Instrumentos ópticos
El ojo
El ojo humano es una esfera de unos 25 mm de diámetro. En él se distinguen las siguientes partes:
Esclerótica: membrana blanca, opaca y resistente.
Termina en la córnea por la parte anterior.
Coroides: Recubre la parte interior del ojo excepto la
córnea y tiene por misión mantener la temperatura del
ojo.
Retina: membrana situada en el fondo del ojo llena de
células nerviosas en la que se proyectan las imágenes. En
la retina hay dos tipos de células: conos y bastones. Los
bastones detectan la intensidad de luz y los conos los
colores.
Hay tres tipos de conos en función del color al que son sensibles: rojo, verde y azul. Cualquier color se forma
por combinación de esos tres. Las señales luminosas que llegan a la retina se convierten en impulsos
eléctricos que son enviados por el nervio óptico hasta el cerebro. La mácula es la zona en la que hay mayor
concentración de conos.
Cristalino: Lente biconvexa elástica. Está sujeto al globo ocular por los músculos ciliares que permiten
modificar el radio de curvatura y por tanto la potencia de la lente.
El conjunto pupila/iris selecciona la cantidad de luz que entra en el ojo.
El punto remoto es la distancia máxima a la que está situado un objeto para que se distinga claramente y
punto próximo a la distancia mínima. Un ojo normal tiene el punto próximo a 25 cm y el punto lejano en el
infinito.
C F
Esclerótica
Coroides
Retina
Cristalino
Musc Ciliares
Córnea
Iris
Nervio óptico
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Defectos de la visión
Miopía.
Se debe a un alargamiento del ojo. El punto próximo está más cerca del ojo. Se
ven bien los objetos cercanos pero la imagen de objetos lejanos se forma por
delante de la retina por lo que se ven borrosos. Se corrige con lentes
divergentes.
Hipermetropía.
Es lo contrario de la miopía. El punto próximo se aleja de ojo. Se ven bien los
objetos lejanos pero no los cercanos porque la imagen se forma por detrás de la
retina. Se corrige con lentes convergentes.
Astigmatismo.
La cornea normal tiene forma esférica. Si la córnea tiene forma elipsoidal se produce el astigmatismo y los
rayos paralelos no coinciden en el mismo foco. Se pone de manifiesto porque dificulta la visión clara y
simultánea de dos rectas perpendiculares, de los radios de una bicicleta. Se corrige con lentes cilíndricas.
Presbicia.
También se llama vista cansada y suele aparecer a partir de los 40-45 años. Se debe a la pérdida de
flexibilidad de los músculos ciliares o del cristalino. Consiste en un alejamiento del punto próximo debido
a la edad (a los 10 años de edad el punto próximo está a unos 7cm, a los 60 años está a 1m) . Los que lo
padecen ven bien de lejos pero mal de cerca, necesitan alejar el texto que van a leer para verlo con
claridad. Este defecto se corrige con lentes convergentes (o bien con cristales bifocales o progresivos).
Cataratas.
Al aumentar la edad el cristalino pierde transparencia y los objetos se ven borrosos, como si estuvieran
colocados detrás de un velo o de una película acuosa. Suele aparecer a partir de los 60 años y no admite
corrección. Sólo admite cirugía en la que se limpia el cristalino o bien se sustituye por uno sintético.
Daltonismo.
Es un defecto genético de la vista, relacionado con el cromosoma X, que impide
distinguir ciertos colores; generalmente el rojo y el verde (se presenta en el 8%
de los hombres y en el 1% de las mujeres). Menos frecuente es la confusión
entre el azul y el amarillo. Se debe a la deficiencia de conos en la retina.
Se detecta por medio de un test de colores. Aquí tienes una muestra del test de
Ishihara para detectar el daltonismo.
Si no ves los números… ¡preocúpate!
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Aberraciones
Si los rayos que salen de un punto objeto no coinciden en el mismo punto imagen, la imagen obtenida es
borrosa y se le llama aberración.
Aberración esférica: Los rayos que salen de un
punto del eje óptico, y llegan a la lente lejos del
eje (zona no paraxial) se desvían más que los
cercanos al mismo. La imagen tiene forma de disco.
Aberración cromática: El índice de refracción
depende de la longitud de onda (dispersión de la
luz) y si trabajamos con luz no monocromática
aparecen varios focos.
Cuando el aumento de la lente no es el mismo en todas las direcciones aparecen distorsiones en la imagen:
Imagen normal Distorsión Barril Distorsión cojín
Instrumentos ópticos
La lupa: Microscopio simple
Telescopio
La lupa es un instrumento óptico formado por una
lente convergente que se utiliza para ver un objeto
cercano, ampliado y derecho. El objeto se coloca
entre el foco y la lente y la imagen obtenida es
virtual. El aumento máximo de una lupa es 20.
Instrumento óptico diseñado para ver objetos muy
lejanos con un tamaño mayor. Como los objetos
están muy alejados, los rayos que proceden de él
llegan paralelos. Está formado por dos lentes
convergentes: objetivo y ocular, de forma que sus
focos coinciden.
F
FOb FOb
FOc
OBJETIVO OCULAR
FOc
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Microscopio compuesto
Instrumento óptico diseñado para ver cuerpos
pequeños, formado por dos lentes convergentes. El
objetivo tiene una distancia focal menor que la del
ocular. La imagen final, invertida y mayor puede ser
hasta 2000 veces el tamaño del objeto. El ojo normal
no puede ver separados dos puntos cuando su
distancia es menor a una décima de milímetro. En el
microscopio el poder separador máximo es de 0,2
décimas de micra (2·10-7 m).
Prismáticos (binoculares)
Son pequeños telescopios refractores formados por un
objetivo y un ocular. Los prismas permiten que veamos
imágenes que vienen de ejes más separados y nos dan
una sensación de relieve. Cada tubo contiene dos
prismas (prismas de Porro), uno invierte la imagen
derecha-izquierda y el otro arriba-abajo.
Cámara fotográfica
Una cámara fotográfica es un instrumento formado por una lente (o
sistema de lentes) convergente, el objetivo, alojada en una caja opaca
(cámara oscura).
Un diafragma que regula la entrada de luz y un obturador.
Una película fotográfica (analógica) o un sensor electrónico (digital).
El pentaprisma sirve para ver lo mismo que se va a fotografiar sin errores
de paralaje.
FOb FOb
FOc
OBJETIVO OCULAR
FOc
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Espectro electromagnético
El espectro electromagnético es el conjunto de todas las posibles radiaciones electromagnéticas ordenadas
por frecuencia o por longitud de onda. La frecuencia y la longitud de onda son inversas.
Ondas de radio
Comprenden las ondas de radio, FM, televisión, GPS y GSM.
Microondas
Se utilizan para calentar cuerpos que contienen agua (microondas doméstico) y en comunicaciones
dada su facilidad para atravesar la atmósfera (WiFi y Bluetooth).
Infrarrojo
Se utilizan en aparatos de visión nocturna, mandos a distancia de electrodomésticos y conexiones sin
cables entre periféricos de ordenador.
Visible
Conjunto de radiaciones que detecta el ojo humano. Las longitudes de onda van desde 380 nm
(violeta) hasta 780 nm (rojo).
Ultravioleta
Se trata de una radiación con mucha energía, es capaz de romper enlaces en moléculas. La mayor
parte de la radiación UV emitida por el Sol es absorbida por la capa de ozono.
Radiación X
Atraviesa la mayor parte de las sustancias por lo que son útiles en medicina y en cristalografía para
determinar la posición de los átomos en las estructuras cristalinas.
Radiación
Se genera en reacciones nucleares y es muy peligrosa para las células por lo que se utilizan, junto con
rayos X de alta energía, en el tratamiento de algunas lesiones cancerígenas (radioterapia).
102
Frecuencia
104 106 108 1010 1012 1014 1016 1018 1020 1022 1024
V UV IR Micro
ondas Ondas de radio
UHF VHF SW MW LW
380nm 780nm
Energía
Radiaciones ionizantes Radiaciones no ionizantes
Rayos y cósmicos Rayos X
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Teoría corpuscular (Newton 1704)
La luz está formada por partículas (corpúsculos) que son lanzados a gran velocidad por los cuerpos emisores
de luz y que se mueven en línea recta. Estas partículas tienen un tamaño muy pequeño y se mueven sin
rozamiento. Cuando la luz choca contra un obstáculo las partículas no pueden atravesarlo y se producen
sombras. Relaciona la intensidad luminosa con el número de corpúsculos emitidos.
Explica la reflexión como un choque entre una partícula pequeña con una superficie
de gran masa: la velocidad en vertical se invierte pero se mantiene en horizontal,
con lo que los ángulos de incidencia y de refracción son iguales.
No explica correctamente la refracción. La velocidad en horizontal se mantiene
pero aumenta en vertical (las partículas son atraídas por el medio) con lo que la
velocidad de propagación en un medio con mayor índice de refracción es superior a
la del vacío.
Teoría ondulatoria (Huygens 1690)
La masa de los cuerpos emisores de luz no cambia por lo que no se pueden emitir partículas sin un descenso
de masa. La luz es una perturbación ondulatoria, similar al sonido, que se propaga por el medio. Como en esa
época solo se conocían las ondas mecánicas y necesitan un medio material para propagarse, se inventa un
medio de elasticidad perfecta, llamado éter, en el que se propaga la luz. La teoría fue abandonada, debido al
mayor prestigio de Newton, hasta que en 1800 Young observó la difracción de la luz y se pudo medir la
velocidad de propagación de la luz en distintos medios.
Teoría electromagnética (Maxwell 1865)
Supone que la luz es una onda electromagnética de alta frecuencia. Una onda
electromagnética es una perturbación simultánea de un campo eléctrico y
uno magnético, perpendiculares entre sí, que no necesita un medio material
para propagarse. La velocidad de propagación de estas ondas en un medio es
8 11v 3·10 ms
Difracción
Es una consecuencia del principio de Huygens: un punto alcanzado por una onda se
convierte en emisor secundario de ondas. Las ondas luminosas cuando pasan a través de una
rendija o por el borde de un objeto se flexionan y alcanzan puntos que no están en línea
recta con el emisor de la onda. Para que se produzca difracción el tamaño de la rendija o el
objeto tiene que ser de un tamaño similar a la longitud de la onda que incide.
N