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Divisores e multiplosMaximo divisor comum (MDC)
Simplificacao de fracoesExercıcios e atividade
MA091 – Matematica basicaAula 4 – Divisores e multiplos. MDC. Simplificacao de fracoes
Francisco A. M. Gomes
UNICAMP - IMECC
Marco de 2020
Francisco A. M. Gomes MA091 – Matematica basica
Divisores e multiplosMaximo divisor comum (MDC)
Simplificacao de fracoesExercıcios e atividade
Topicos importantes
O objetivo dessa aula e investigar como trabalhar com
1 Divisores e multiplos.
2 Maximo divisor comum.
3 Simplificacao de fracoes.
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Divisores e multiplosMaximo divisor comum (MDC)
Simplificacao de fracoesExercıcios e atividade
Divisores
Divisor
Um numero natural c e divisor de um numero natural a se o restoda divisao de a por c e zero (ou seja, se a e divisıvel por c).
Divisores de 6: 1, 2, 3 e 6.
6
1= 6
6
2= 3
6
3= 2
6
6= 1
Divisores de 165: 1, 3, 5, 11, 15, 33, 55 e 165.
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Multiplos
Multiplo
Um numero natural c e multiplo de outro numero natural a seexiste um numero natural b tal que
c = a× b.
(Ou seja, c e multiplo de a se c = a× b, com b ∈ N.)
Multiplos de 2: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, . . .
Multiplos de 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, . . .
Multiplos de 14: 14, 28, 42, 56, 70, 84, 98, 112, 126, 140, . . .
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Numeros primos
Numero primo
Um numero natural maior que 1 e dito primo se so tem comodivisores naturais ele mesmo e o numero 1.
Primeiros numeros primos:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, . . .
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Verificando se um numero e primo
Sera que e primo?
Para descobrir se um numero natural a e primo:
Divida a pelos primos menores que a metade de a.
Se alguma dessas divisoes tiver resto zero, a nao e primo.
Caso contrario, o numero e primo.
1 13 e primo.
13
2= 6, 5
13
3= 4, 333 . . .
13
5= 2, 6 (Ok!)
2 35 nao primo.
35
2= 17, 5
35
3= 11, 666 . . .
35
5= 7 (Opa!)
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Divisores e multiplosMaximo divisor comum (MDC)
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Maximo divisor comum
MDC
O maximo divisor comum (MDC) entre dois numeros naturais ae b e o maior numero natural c que e divisor de a e de b.
MDC entre 45 e 60:
Divisores de 45: 1, 3, 5, 9, 15 e 45.
Divisores de 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 e 60.
O maximo divisor comum entre 45 e 60 e 15.
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Fatoracao
Fatoracao
A fatoracao de um numero natural e a decomposicao dessenumero no produto de numeros primos, chamados fatores.
Fatoracao de 90:
90 2 2 e o menor divisor primo de 90. 90/2 = 45.
45 3 3 e o menor divisor primo de 45. 45/3 = 15.
15 3 3 e o menor divisor primo de 15. 15/3 = 5.
5 5 5 e o menor divisor primo de 5. 5/5 = 1.
1 Chegamos a 1. Nao ha como prosseguir.
A forma fatorada de 90 e 2 · 3 · 3 · 5.
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MDC por fatoracao
Definicao pratica do MDC
O MDC entre dois numeros naturais a e b e o produto dos fatorescomuns de a e b.
MDC entre 945 e 693:
945 3 693 3315 3 231 3105 3 77 7
35 5 11 117 7 11
945 = 3 · 3 · 3 · 5 · 7 693 = 3 · 3 · 7 · 11
mdc(945, 693) = 3 · 3 · 7 = 63.
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Fatoracao simultanea
Calculo pratico do MDC
Podemos determinar o mdc entre dois numeros decompondo-ossimultaneamente. Nesse caso,
1 a cada passo, dividimos os dois numeros pelo menor numeroprimo que e divisor de ambos;
2 paramos quando nao existirem divisores comuns.
MDC entre 945 e 693.
945, 693 3 3 e o menor primo que divide, ao mesmo tempo, 945 e 693.
315, 231 3 3 e o menor divisor de 315 e 231.
105, 77 7 7 e o menor divisor de 105 e 77.
15, 11 15 e 11 sao primos entre si. Nao ha como prosseguir.
mdc(945, 693) = 3 · 3 · 7 = 63.
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Simplificacao por divisoes sucessivas
Simplificacao de fracoes
Podemos dividir o numerador e o denominador de uma fracao porum divisor comum para obter uma fracao equivalente comdenominador menor.
840
1560=
840/10
1560/10=
84
156
=84/2
156/2=
42
78
=42/2
78/2=
21
39
=21/3
39/3=
7
13
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Simplificacao de fracoes usando o MDC
Simplificacao pelo MDC
Podemos encontrar a forma irredutıvel de uma fracao dividindo onumerador e o denominador pelo mdc dos dois numeros.
Simplificando945
693:
Como o mdc entre 945 e 693 e 63, temos
945
693=
945/63
693/63=
15
11.
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Simplificacao de fracoes durante o calculo do produto
Simplificando
(11
−8
)·(
21
11
):
(11
−8
)·(
21
11
)=
11 · 21
(−8) · 11Aplicando a regra do produto.
=11
11· 21
(−8)Isolando o termo 11
11.
= −21
8. Eliminando o termo que vale 1.
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Simplificacao de fracoes durante o calculo do produto
(6
5
)·(
20
9
)=
6 · 20
5 · 96 e 9 sao divisıveis por 3.
=(6/3) · 20
5 · (9/3)Divisao por 3.
=2 · 20
5 · 320 e 5 sao divisıveis por 5.
=2 · (20/5)
(5/5) · 3Divisao por 5.
=2 · 41 · 3
Nao ha mais como simplificar.
=8
3Fracao final.
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Simplificacao do quociente de fracoes
a)847
= 8 · 7
4=
8 · 74
=8/4 · 7
4/4= 2 · 7 = 14.
b) −3
11
3= − 3
11· 1
3= − 3
11 · 3= − 1
11.
c)136
6=
13
6· 1
6=
13
6 · 6=
13
36. (Aqui nao ha simplificacao)
d)58
118
=5
8· 8
11=
5 · 88 · 11
=5
11.
e)1253
25
=12
5· 25
3=
12 · 25/5
5/5 · 3=
12/3 · 53/3
= 4 · 5 = 20.
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Simplificacao de expressoes
Simplificando10x + 35
15:
10x + 35
15=
5 · 2x + 5 · 75 · 3
Separando o fator 5.
=5 · (2x + 7)
5 · 3Pondo o fator 5 em evidencia no numerador.
=5
5· 2x + 7
3Isolando o termo 5
5.
=2x + 7
3. Eliminando o termo que vale 1.
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Simplificacao de expressoes
Simplificando12x + 16y + 32
8:
12x + 16y + 32
8=
4 · 3x + 4 · 4y + 4 · 84 · 2
Separando o fator 4.
=4 · (3x + 4y + 8)
4 · 2Pondo o fator 4 em evidencia.
=4
4· 3x + 4y + 8
2Isolando o termo 4
4.
=3x + 4y + 8
2. Eliminando o termo que vale 1.
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Erros relacionados a simplificacao
Expressao Errado Correto
2x − 6
2�2x − 6
�2= x − 6
2(x − 3)
2= x − 3
3x − x
3�3x −
x
�3= x − x = 0
9x − x
3=
8x
3
5x + 12
10y − 6�51x +ZZ122
��102 y − A61=
x + 2
2y − 1
5x + 12
10y − 6
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Simplificacao de fracoesExercıcios e atividade
Exercıcio 1
Divisores e multiplos
Suponha que x seja um numero natural. Com base nas definicoesde divisor e multiplo, pode-se dizer que, excluindo o proprio x , ...
A) Os divisores e multiplos de x sao menores que x .
B) Os divisores de x sao maiores que x e os multiplos de x saomenores que x .
C) Os multiplos de x sao maiores que x e os divisores de x saomenores que x .
D) Os multiplos de x podem ser maiores ou menores que x , masos divisores de x sao menores que x .
E) Os multiplos de x podem ser maiores ou menores que x , masos divisores de x sao maiores que x .
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Exercıcio 2
Multiplos de 3
Para saber se um numero e divisıvel por 3, basta verificar se asoma de seus algarismos e divisıvel por 3. Dos numeros abaixo,quais sao divisıveis por 3?
A) 342
B) 8304
C) 49318
D) 967908
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Exercıcio 3
Multiplos de 5
Dos numeros abaixo, quais sao divisıveis por 5?
A) 5329
B) 3297465
C) 10340
D) 555553
E) 5050501
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Exercıcio 4
Simplificacao de expressoes com fracoes
Indique quais alternativas abaixo estao corretas.
A)3x − 4
3= x − 4
B) 2x − 1
2= x − 1
C) 4x − 3
4=
13x
4
D)8x − 3
2x= 1
E)4x − 3
2x − 3= 2x − 1
F)4x − 6
2x=
2x − 3
x
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Exercıcio 5
Simplificacao por divisoes sucessivas
Usando o metodo das divisoes sucessivas, simplifique a fracao18
42
3/7
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Exercıcio 6
Simplificacao com o MDC
Usando o mdc, simplifique a fracao512
192.
8/3
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Exercıcio 7
Simplificacao com o MDC
Simplifique a fracao(−40)
(−24).
5/3
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Exercıcio 8
Simplificacao do produto e do quociente
Simplifique as expressoes:
1 −3
7· 14
92
2234
15
1 −2/3 2 55/2
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Exercıcio 9
MDC
Calcule o maximo divisor comum entre 18, 30 e 54 e simplifique aexpressao
18x + 30
54.
MDC: 6 Expressao:3x + 5
9
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Exercıcio 10
Propriedade distributiva
Aplique a propriedade distributiva e simplifique a expressao abaixo.
4
9
(3x +
y
2− 15
4
)
4x
3+
2y
9− 5
3
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Exercıcio 11
Problema
Tres quartos dos moradores de Chopoto da Serra bebem cafe.
Desses, dois quintos preferem o cafe ”Serrano”.
Que fracao dos moradores da cidade prefere o cafe ”Serrano”?
Que fracao dos moradores bebe regularmente cafe de algumaoutra marca?
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Atividade
Vıdeo sobre a simplificacao de expressoes com fracoes
Crie um vıdeo com um exemplo de erro comum cometido nasimplificacao de expressoes com fracoes e que mostre como efetuarcorretamente a simplificacao.
Etapas da elaboracao do vıdeo, em grupos de ate 4 pessoas:
1 Crie um exemplo com erro na simplificacao (ex:(3x − 6)/3 = x − 6).
2 Resolva o mesmo problema com a simplificacao correta.
3 Grave o vıdeo (com duracao maxima de 3 min).
4 Submeta o vıdeo usando o moodle.
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