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ANT- 2 - 1
Antenas LinealesDipolos– Dipolos Eléctricamente Cortos– Dipolos Rectos.
Antenas de Cuadro.HélicesMétodo de los Momentos.– Ecuación de Hallen– Ecuación Integral de Pocklington.– Ecuación de Shelkunoff– Point-Matching.– Método de los Residuos Promediados.– Método de Galerkin.– Modelado de la Fuente.
Yagis
ANT- 2 - 2
Antenas Lineales
Bajo esta denominación se estudian las antenas construidas con hilos conductores eléctricamente delgados (de diámetro muy pequeño en comparación con λ). En estas condiciones las corrientes fluyen longitudinalmente sobre la superficie del hilo.Para calcular los campos radiados se modelan como una lineade corriente infinitamente delgada coincidente con el eje del conductor real, que soporta en cada punto un valor de corriente idéntico al que transporta la corriente superficial real en el contorno de la sección correspondiente a ese punto.
( )r r rr
A er
I r e dljkr
jkr r
L= ′ ′
−⋅ ′
′∫µπ4
$Potencial Vector Lejano:
ANT- 2 - 3
Dipolos Eléctricamente PequeñosDipolos Ideales
rlA e
rI z
jkr
=−µ
π4 0 $r
lE j kI er
jkr
=−
η θπ
θ0 4sen $
I0
2a
z
x y
( )I z Ia
=<<<<
0
λλl
( )EEMAX
θθ= sen
( )P U d Z Irad = =
∫ θ φ
πλπ
, Ω4 0 0
22
3l D0 3 2=
R PIrad
R= =
2 800
22
2
πλl
Resistencia de Pérdidas
( )( )
RE aH as
z===
=ρρ
ωµσφ 2
z
dR dVI
E dzaH
Ra
dzperdz
a
s= = ==
2 2π πφ ρ
a >> δ
Resistencia de Radiación
=0,1λ Rrad=8Ω
Látigo de 1 m (1 MHz) formado por una varilla de cobre 8 mmRrad=0,0088ΩRperd=0,0103ΩRend ≈ 46%
( )RPI I
Ra
I z dza
Rperdperd S
l S= = =∫2 2 1
2 2 202
02
2
π πl
Rendimiento =+
RR R
rad
perds rad
ANT- 2 - 4
Dipolos Cortos RealesSin Carga Capacitiva (corriente triangular) <0,3λ ⇒ r r
A A∆ Π=12
r rE E∆ Π=
12
( )EE MAX
∆
∆
θθ= sen
P Prad rad∆ Π=14 D D0 0 3 2∆ Π= =
R Rrad rad∆ Π= =
14
20 22
πλl
R Ra
Rperd perd S∆ Π= =13 6
l
π
• Eficiencia menor que en el caso ideal (corriente uniforme).• Rin= Rrad+ Rperd casi 4 veces menor.• Zin= Rin + j Xc , Xc=-1/ ωC >> Rin• Difícil de adaptar. Bandas estrechas.
I0
z
I(z)
e jkr r− ⋅ ′ ≈$r
1
I0
2a
z
x yResistencia de Radiación
Resistencia de Pérdidas
ANT- 2 - 5
Monopolos Cortos RealesCon Carga Capacitiva (corriente uniformizada)
I(z)
L
Antena en L
Imagen
2≈
Modelo de Radiación
Aisladores
Sombrilla Capacitiva
Monopolo con riostras
•La capacidad terminal permite corrientes más uniformes en la zona activa•Se obtinenen valores de Rrad más próximas al dipolo ideal.•Se reduce la reactancia de entrada, facilitando la adaptación.
ANT- 2 - 6
Dipolos RectosPara dipolos como los de la figura de longitud L y alimen-tados en el centro la distribución aproximada de corriente es: I z I sin k L z z L
m( ) = −
<
2 2
L/2• La distribución de corriente se supone como la de la linea de transmisión en circuito abierto aún después de haberla rectificado.
z
I(z)Im
z
I(z)Im
z
I(z)Im
L=λ
z
I(z)
Lθ
I(z)
IIN
I I sin k LIN m=
2 L<λ/2 L=λ/2
ANT- 2 - 7
Dipolos Rectos
2 2
Comparación del modelo de corriente sinusoidal con la del Método de los Momentos
El modelo sinusoidal permite obtener expresiones cerradas para el diagrama de radiación suficientemente exactas y de fácil interpretación. Deja, sin embargo, bastante que desear a la hora de calcular la impedancia de entrada, sobre todo para dipolos antiresonantes (L=2del orden de λ)
ANT- 2 - 8
Dipolos RectosDiagrama de Radiación:
( )r r r
1 244 344
r
A er
I r e dl
er
I k L z e zdz
er
Ik
kL kL
rz
jkrjkr r
C
jkr
mjkz
L
L
jkrm
= ′ ′ =
= −
′ =
=
−
−
−⋅ ′
′
−′
−
−
∫
∫
µπ
µπ
µπ
θ
θθ θθ
θ
4
4 2
42 2 2
2
2
2
$
cos
/
/sen $
cos cos cos
sencos $ sen $
$
r
Potencial:
z
z’
Lθ
rI(z’)
( )rE j A A j e
rI
kL kLjkr
m= − + =
−
−
ω θ φ ηπ
θ
θθθ φ
$ $cos cos cos
sen$
22 2
( ) ( )$ sen cos $ sen sen $ cos $ $ cosr r x y z z z z⋅ ′ = + + ⋅ ′ = ′r
θ φ θ φ θ θ
Eφ = 0 Polarización Lineal
Campo:
ANT- 2 - 9
Dipolos Rectos
E j er
I
kL kLjkr
mθ ηπ
θ
θ=
−
−
22 2
cos cos cos
sen
0
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Eimax( )E
θi
0
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Eimax( )E
θi
0
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Eimax( )E
θi
z z z
BW-3dB=78º BW-3dB=47º
Diagrama de Radiación:
L=λ L=1.5λL=0.5λ
cos cos
cos
πθ
θ2
DiagramaNormalizadode campo:
( )12
+ cos cossen
π θθ
Diagrama Multilobuladocarente de interés
ANT- 2 - 10
Dipolos Rectos
Potencia Radiada ( )P U d E r d
rI
kL kL
r d d
I
kL kL
d
rad
m
m
= = =
=
−
=
=
−
−
∫ ∫
∫∫
∫
==
θ φη
ηπ
θ
θθ θ φ
ηπ
τ
ττ
π π
θ
π
φ
π
,
cos cos cos
sensen
cos cos
Ω Ω4
2 2
4
2 22
2
2
00
2
2
2
20
1
12
82 2
22 2
1
r
τ θ= cos
P I Rrad in rad=12
2 I I k Lin m2 2 2
2=
sen R P
I k Lradrad
m
=
2
22 2sen
Resistencia de Radiación
ANT- 2 - 11
Dipolos RectosResistencia de Entrada ≈ Rrad:
0 0.5 1 1.5 20
500
1000
1500
2000
2500
3000
R in( )L
R rad( )L
L /λ0 0.2 0.4 0.6 0.8
0
50
100
150
200
250
R in( )L
Ra in( )L
L
Valor Aproximado Rain:
Ra
L L
L L
L L
in ≈
< <
< <
< <
20 04
24 74 2
11142
0 637
2
2 4
4 17
πλ
λ
πλ
λ λ
πλ
λλ
.
. .
.
.
/λ
Rk L
kL kL
din =
−
−∫1
2
2 212
2
20
1
sen
cos cosηπ
τ
ττ
a →0L=λ/2Rrad=73 Ω
ANT- 2 - 12
Dipolos Rectos
Directividad:
( )D
UP
r E
I
kL kL
d
max
rad
max
m
0
22
2
2
20
1
4
4 2
22 2
1
= =
=
−
−∫
πθ φ
π η
ηπ
τ
τ
θ
,
cos cos
0.5 1 1.5 21
2
3
4
5
6
D( )L
L
dB
/λD0(L=λ/2)=1.64 ⇒ 2.16 dB
ANT- 2 - 13
Dipolos Rectos
L/2a
L/λ
L/2a
L/λ
Resonancia
L/2a
L = −
λ2
1100%
Autoimpedancia (ZIN=Re+jXe)
ZIN(λ/2)=73+j42,5 Ω cuando a → 0
( )( )( )
−+−
−
⋅−
−+−=
2
2IN
kL10kL705,1622
kLcot1aLln120j
kL5,27kL10265,122Z
Fórmula de Tai (Validez 2,6<kL<3,4)
a=radio del dipolo
Condición de Resonancia
ANT- 2 - 14
Dipolos RectosCuando es necesario trabajar en bandas muy anchas se utilizan dipolos gruesos construidos con varillas cortocircuitadas. En las fotos se pueden ver monopolos de onda corta utilizados sobre buques.
ANT- 2 - 15
Rotaciones de AntenasLa Rotación conlleva un giro de los vectores de Campo radiado.Las etapas necesarias son:• Se parte de la expresión del potencial en componentes cartesianas.• Los ángulos se definen en el nuevo sistema de coordenadas. Como ejemplo:
rA r
Ik
erd
mjkr
=
−
$cos cos
senµπ
πα
α42 2
2
rA r A xA yA zAd rd x y z= = + +$ $ $ $
( )cos $ $ sen sen cos cos cos
sen cos
α θ θ φ φ θ θ
α α
= ⋅ = − +
= −
r rd d d d
2 21
A AA A
A A
A AA A
x rd d d
y rd d d
z rd d
=
=
=
⇒= ⋅= ⋅
sen cossen sen
cos
$
$
θ φ
θ φ
θ
θφ
θ
φ
r
r
E j AE j A
θ θ
φ φ
ωω
= −= −
Dipolo sobre(θd,φd)
z
r
y
θd
φd
x
α
$rdz
λ/2θ
r
rA z I
ke
rm
jkr
=
−
$cos cos
senµπ
πθ
θ42 2
2
rE j e
rI
jkr
m=
−
ηπ
πθ
θθ
22
cos cos
sen$
ANT- 2 - 16
Rotaciones de Dipolos λ/2Dipolo según x (θd=π/2 ,φd=0) Dipolo según y (θd=π/2 ,φd=π/2)
cos sen cos
sen sen cos
α θ φ
α θ φ
=
= −2 2 21
( )( )
rA xA
A A x A
A A x Axx x
x x
== ⋅ =
= ⋅ = −
$
$ $ cos cos
$ $ senθ
φ
θ θ φ
φ φ
cos sen sen
sen sen sen
α θ φ
α θ φ
=
= −2 2 21
( )( )
rA yA
A A y A
A A y Ayy y
y y
== ⋅ =
= ⋅ =
$
$ $ cos sen
$ $ cosθ
φ
θ θ φ
φ φ
( )rE E E j A A= + = − +θ φ θ φθ φ ω θ φ$ $ $ $ ( )r
E E E j A A= + = − +θ φ θ φθ φ ω θ φ$ $ $ $
E j er
Ijkr
mθ ηπ
πθ φ
θ φθ φ= −
−
−
22
1 2 2
cos sen cos
sen coscos cos E j e
rI
jkr
mθ ηπ
πθ φ
θ φθ φ= −
−
−
22
1 2 2
cos sen sen
sen sencos sen
E j er
Ijkr
mφ ηπ
πθ φ
θ φφ= −
−
−
22
1 2 2
cos sen sen
sen sencosE j e
rI
jkr
mφ ηπ
πθ φ
θ φφ=
−
−
22
1 2 2
cos sen cos
sen cossen
ANT- 2 - 17
Traslaciones de AntenasLa expresión de los campos de una antena trasladada se relacionan con los que crea la misma antena centrada en el origen de coordenadas a través del fasor que tiene en cuenta el adelanto o retraso de fase de la onda radiada según la dirección considerada.
( ) ( )r r r
E E ejkr r1 0
1θ φ θ φ, , $= ⋅ ⋅
Traslación r1
θ r(θ,φ)^ z
y
x
r(θ,φ)^
θr1
_
$r r⋅r
1
z
θr(θ,φ)^
( )rE0 θ φ,
ANT- 2 - 18
dV
rJ
ρ
$z
( )rE zt = =0 0
Conductor EléctricoPerfecto, Plano e Indefinido
dV
rJ
ρ
( )rE zt = =0 0
Teorema de Imágenes en Electrodinámica
dV
rJi
ρ ρi = −
h
><h
ρρ ρi
x y z
i x y z
J J x J y J zJ J x J y J z= −
= + += − − +
r
r$ $ $
$ $ $
Cargas y Corrientes Imágenes
Resultadosválidos sólo para z ≥0
ANT- 2 - 19
Monopolo Vertical sobre Plano de Conductor
><V
I
z
h
2V
I
z
2h
I
D Dmonopolo dipolo= 2Z ZINmonopolo INdipolo=
12
( )( )
D UP
D UP
U U
P U d d P
mm
m
dd
d
m d
m m d
=
=
= ≤ ≤
= =
== ∫∫
4
4
0 2120
2
0
2
π
π
θ π
θ φ θ θ φθ
π
φ
π, sen
Z VI
ZINdipolo INMonopolo= =2 2
ANT- 2 - 20
Ejemplos de Monopolos VerticalesMonopolos de radiodifusión de
Onda Media sobre tierraMonopolo sobre plano conductor
simulado con varillas
Carga Capacitiva
Varillas radiales para reducir pérdidas
ohmicas
Diagrama Típico
ANT- 2 - 21
Dipolos paralelos a un plano conductor
I
z
hz
Ih
Ih><
Si h<<λ el campo radiado es pequeño (Rin muy pequeña).Si h=λ/4 el campo se refuerza en dirección del eje z.Con planos conductores finitos la aproximación no es mala si las dimensiones del plano son superiores a λ (dipolos λ/2). Afecta poco al diagrama frontal, pero aparece algo de radiación posterior a causa de la difracción en el borde del plano. Afecta algo más a Zin.
ANT- 2 - 22
Dipolo Doblado
Construido con dos dipolos paralelos conectados por sus extremos formando una espira alargada y alimentado en el centro de uno de los dipolos.Se analiza superponiendo dos modos de corriente:– Modo de Línea de Transmisión (no produce campo radiado d<<λ)– Modo de Antena.s
L V/2V/2
Ia/2+ +
Ia/2Modo de Línea de Transmisión
Modo de Antena
Z VI
jZ tan k Lt
tC= =
22
V
+
=IIN
V/2V/2
ItIt+
+Zc Z s
asi s aC =
>>120ln
ANT- 2 - 23
Dipolo DobladoImpedancia de Entrada
Para el modo antena la configuración se comporta como un dipolo normal de radio equivalente ae
V/2V/2
Ia/2+ +
Ia/2
V/2+Ia
=
2ae
a s ae = ⋅ a= radio de la varilla del dipolo plegado
I VZ
I VZ
I I Itt
aa
IN ta
=
=
= +
2
2 2Z V
IZ Z
Z Zint a
t a
= =+
42
Z Zin a= ≈ ⋅ =4 4 73 292Ω
Z Z VIa dipolo L a
ae
= =( , )2
s
Cuando el dipolo es resonante,L ≈ λ/2
Ventajas: Aumenta la impedancia de entrada y la anchura de banda, puesto que cuando Zt se hace inductiva (L/2<λ/4) Za es capacitiva y viceversa.
ANT- 2 - 24
Antenas de CuadroDistribuciones de Corriente Aproximadas Espira electricamente pequeña: Espira electricamente grande:
=λ/2
Nulo
Nulo
Máximo
Máximo
Linea Larga en c.c.
<<λAproximación delinea corta en c.c.
•Corriente no uniforme•Diagrama multilobulado poco útil•Rendimiento alto
•Corriente uniforme•Diagrama útil•Rendimiento bajo
ANT- 2 - 25
Antenas de cuadro con corriente uniforme
φ
φ’
r
r’
θ
x y
z
b
( )
( ) ( )
r r r
1 2444 3444
r
A er
I r e dl
er
I x y e bd
jkrjkr r
C
jkrjkb
= ′ ′ =
= − ′ + ′
′
′
−⋅ ′
′
−− ′
−
∫
∫
µπ
µπ
φ φ
φ
φθ φ φπ
4
4 00
2
$
sen cos$ sen $ cos$
( ) ( )( )
$ sen cos $ sen sen $ cos $ cos $ sen $
cos cos
r r x y z b x b y
b
⋅ ′ = + + ⋅ ′ + ′ =
= − ′
rθ φ θ φ θ φ φ
θ φ φ( ) ( )A e
rI b e d
I
e d
I
jkrjkb
x
jkb
y
θθ φ φπ θ φ φπµ
πθ φ φ φ φ φ φ= − ′ ′ + ′ ′
−− ′
−
− ′
−∫ ∫4 0 0
2
0
2cos [cos sen sen cos ]sen cos sen cos
1 24444 34444 1 24444 34444
( ) ( )A er
I b e d
I
e d
I
jkrjkb
x
jkb
y
φθ φ φπ θ φ φπµ
πφ φ φ φ φ φ= − − ′ ′ + ′ ′
−− ′
−
− ′
−∫ ∫4 0 0
2
0
2[ sen sen cos cos ]sen cos sen cos
1 24444 34444 1 24444 34444
( ) ( )A er
I b e djkr
jkbθ
θ φ φπµπ
θ φ φ φ= − ′ ′−
− ′
−∫4 0 0
2cos sen sen cos
( ) ( )A er
I b e djkr
jkbφ
θ φ φπµπ
φ φ φ= − ′ ′−
− ′
−∫4 0 0
2cos sen cos
( )I I′ =φ 0
Potencial:
ANT- 2 - 26
Análisis de las Antenas de Cuadro
( )sen
cos
cos
cos
x e
x e j J B
jB x
m
m
jB x
m
m−
−
∫∫
=
=2
2 1
0
2π
ππ
A θ = 0
( )A j er
I b J kbjkr
φµ
θ=−
2 0 1 sen
Función de Bessel
0 5 10 15 200.5
0
0.5
1
x
J1(x)
xmax 1.841 5.333 8.536 11.702J1(xmax) 0.582 -0.346 0.273 -0.233Ceros 3.833 7.016 10.175 13.324
Pendiente en el origen: 0,5
ANT- 2 - 27
Análisis de Antenas de Cuadro( ) ( )
rE j A A e
rI b J kb
jkr
= − + =−
ω θ φ πηλ
θ φθ φ$ $ sen $
0 1
Polarización LinealEθ = 0
0
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Eimax( )E
0
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Eimax( )E
0
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Eimax( )Ez z z
2πb=4λ
Diagrama Multilobuladocarente de interés
2πb=λ2πb=0,1λ
Campo:
( )kb J kb kb<< ≈1 121 sen senθ θ
!Expresión válida para cualquier forma de espira de area A!
rE e
rI A
jkr
=−ηπ
λθ φ2 0 sen $
A b= π 2
Aproximación de cuadro pequeño
ANT- 2 - 28
Cuadro Electricamente PequeñoCuadros Simples
( )EEMAX
θθ= sen
rE e
rI A
jkr
=−ηπ
λθ φ2 0 sen $
( )I z Iab
=<<<<
0
λλ
z
x y
z
bI0
a
A b= π 2
( ) ( )P U d Z I k Arad = =∫ θ φππ
, Ω4
00
2 2 2
12D0 3 2=
Mucho menor que la deldipolo de longitud 2πb
( )R PI
k A Arad
R= = =
2 20 312000
22 2
2
2
λResistencia de Radiación
( )RP
I IR
aI l dl b
aR b
aRperd
perd Sl S S= = = =∫
2 2 12 2
22
02
02
2
πππ
( )( )
RE aH as
z
z
===
=ρρ
ωµσ2
Rendimiento =+
RR R
rad
perds rad
Resistencia de Pérdidas
Valores típicos del orden de 10-4
restringen su uso a aplicaciones de recepción en baja frecuencia
ANT- 2 - 29
Cuadros Pequeños RealesSe obtiene una mayor Rin arrollando n espiras juntas. Para corriente uniforme (n2πb<<λ) vale:
E nI P n I R n Arad rad∝ ∝ =
0
202 2
2
2
31200λ
Se aumenta también la Rin arrollando las espiras sobre un nucleos de ferrita ya que el valor de k aumenta ( ). Utilizando la Ley de Faraday, la tensión en bornas de la antena vale:
R n Arad eff=
31200 2
2
µλ
La permeabilidad efectiva del material depende de la permeabilidad intrínseca y de su geometría. En la figura se relaciona el factor D de demagnetizacióncon la forma del nucleo.
( )µ
µµeff D
=+ −
int
int1 1
La impedancia de entrada de estos cuadros es siempre inductiva: Zin=Rin+jωL
L nb baeff=
−
µ µ0162
175ln .
V ddt
nB dS j nHAS eff= − ⋅ = −∫∫r r
ωµ µ0
k eff= ω µ ε µ0 0
µeff a≈ 10 102 3
ANT- 2 - 30
Cuadro de AlfordEs un cuadro especial de longitud de circunferencia del orden de λ recorrido por una corriente prácticamente constante. Su génesis y distribución de corriente son los de la figura. El rendimiento es próximo a 1, lo que permite utilizarla en transmisión (Rin ≈ 50 Ω).
2∆
I(x)
x
+-
I
L > λ/2
IIin=2I +-
I
l≈ λ/4
∆
ANT- 2 - 31
HélicesLa geometría de la hélice se caracteriza por:– D= Diámetro de la hélice (diámetro del cilindro sobre el que se arrolla)– C= Perímetro del cilindro= πD– S= Paso (Espaciado entre vueltas)= πD tanα– α= Angulo de Inclinación= atan(S/C)– L= Longitud de una vuelta– N= Número de vueltas– A= Longitud Axial= NS– d= Diámetro del conductor de la hélice
Opera en dos modos de radiación:– Modo Normal– Modo Axial
d
D
S
A
C=πD
S
α
L
ANT- 2 - 32
HélicesModo Normal de Radiación
En este modo la hélice es eléctricamente pequeña (NL<<λ) y se caracteriza por:
– La corriente se puede considerar aproximadamente constante en toda la hélice.
– El campo radiado por la hélice es la suma del de:» N cuadros pequeños situados en el plano XY.» N dipolos cortos según z.
– El diagrama (senθ) es así independiente del número de vueltas (N).
– Directividad=1,5– La polarización es elíptica de relación axial:
φθη+θθ
πωµ=
−−ˆsen
r4e
4DIkˆsen
r4eISjNE
jkr22
jkrr
z
x y
D/2
SI
I
Modelo de Radiación de 1 vuelta
AREE
SD
= =θ
φ
λπ2
2 2 Si 2Sλ=π2D2 ⇒ Polarización Circular
ANT- 2 - 33
HélicesModo Axial de Radiación
Este modo de radiación se da para hélices eléctricamente grandes, de dimensiones 3/4<C/λ<4/3 y α ≈ 12º-15º, y se caracteriza por:
– La corriente es una onda progresiva sobre la hélice: I( )=I0exp(-jk )
– Funciona en banda ancha: fsup/finf=1,78– La impedancia de entrada es aproximadamente
real, de valor:
– La polarización nominal es circular del mismo sentido de giro que el arrollamiento.
– Diagrama directivo tipo array endfire de Hansen-Woodyard, con un nivel de lóbulo secundario de -9 dB.
– Directividad:
– Anchura de Haz:
Ω≈λ
≈ 140C140Rin
λ≈
λ
λ≈
A15NSC15D2
I( )grados
A52
AC52BW dB3 λ
≈λλ
≈−
ANT- 2 - 34
Ejemplos de Hélices Reales
ANT- 2 - 35
Alimentación de Dipolos
Transmisoro Receptor
RedAdaptadoraZC
Zin Zant
z
I(z)
z
I(z)
I1 I2I1=I2 I1 I2
I1 ≠ I2
El objetivo es conseguir que la potencia disponible en el transmisor se entregue integra a la antena de forma equilibrada sobre sus dos brazos.Hay dos consideraciones:– La adaptación a la línea de transmisión (Zin=ZC)
– La distribución de la corriente de excitación sobre la antena
Equilibrada No Equilibrada
ANT- 2 - 36
Técnicas de Adaptación
Stubs.– Hasta 3 stubs
Transformadores de λ/4– Simples:– Multiples :Binómial,Chebychef
lineainstub ZZZ =
( )lk
ZZZZ
n2jexp n1n
n1nnN
0nnin
∆=θ
+−
=ρθ−ρ=Γ +
+
=∑
1 2 N ZLZ0
( ) ( )∑=
− θ−−+
−=
N
0n0L
0LNin n2jexp
!n!nN!N
ZZZZ
2
( ) ( )( )mN
mN
0L
0Lin secT
cossecTZZZZ
jNexpθ
θθ+−
θ−=
l
ds
ZLZ0
ΓBinomial:
ΓChebichef:
ANT- 2 - 37
Técnicas de Adaptación
Adaptador en T (T-Match) Adaptador en Γ (Gamma Match)
2a 2a’ s
CCl’/2 l’/2
2a s
C l’/2
2a’
Za2Zt
(1+α):1C
C
Rin Za2Zt
(1+α):1C
Rin
ANT- 2 - 38
Alimentación de DipolosBalunes (Simetrizadores)
– Son dispositivos que transforman una línea balanceada a no balanceada como su nombre indica: “balun” = balanced to unbalanced.
– Permiten alimentar de forma equilibrada estructuras simétricas, como el dipolo, con líneas de transmisión asimétricas, como los cables coaxiales utilizados para transportar la energía desde el transmisor hasta la antena.
– En la figura el dipolo conectado directamente al coaxial no se excita de forma equilibrada a causa de la corriente I3 que circula por el exterior del coaxial hacia tierra.
LíneaCoaxialI1=I2
I3
I1I2
I2-I3 I1
Alimentación no equilibrada
ANT- 2 - 39
BalunesBalun “Sleeve”
o “Bazooka”
λ/4
L
SecciónCoaxial
Cortocircuito
I3=0
I2 I1
I1
I2
h≈λ/4
L
Secciónbifilar
Cortocircuito
Balun Partido
I3=0
I2 I1
Por el exterior del conductor, si existen, las corrientes son iguales y se cancelan
ANT- 2 - 40
Balun utilizado en paneles de dipolos
h=λ/4
a
b
Zc ZIN
Circuito Equivalente
Z jZ khBALUN b= tg
Para h=λ/4 => ZBALUM= ∞
L
LíneaCoaxial
Plano Reflector
Zb
Zc
I3=0a b
Soporte
Aproximación de ZIN aplicando imágenes:I1
I2=-I1
V Z I Z I Z I Z I
Z VI
Z ZIN
1 11 1 12 2 11 1 12 1
1
111 12
= + = −
= = −
Para frecuencias h ≠λ/4, este balum continua simetrizando las corrientes, aunque I3 ≠0
ANT- 2 - 41
Otros tipos de BalunesBalunes de alta impedancia
Balun de elementos concentrados
Balunes tipo transformador
ANT- 2 - 42
Método de los MomentosEn su aplicación a antenas permite obtener la distribución de corrientes sobre la misma y los objetos metálicos que la rodean.Calcula numéricamente la distribución de corriente de una antena mediante la aplicación de la condición de contorno del campo eléctrico sobre la superficie de sus conductores:
– El campo impreso (excitación) es conocido: Ei=-1v/ δ» δ= hueco entre bornes de alimentación
– El campo dispersado se calcula en función de las corrientes utilizando las expresiones exactas de los potenciales, dando lugar a una ecuación integro diferencial del tipo:
iEr
I(s)
1voltio
O
∆s1
∆sN
rr
r′r
+-
s
r r rE E Etangencial erficie conductor tangencial
impresotangencialdispersado
sup= + = 0
( ) ( ) ( )I s K r r ds E stang
itang
′ ′ ′ = −∫r r,
ANT- 2 - 43
Método de los MomentosEvaluación Numérica
Las incógnitas son las corrientes que descritas como una suma de funciones base fi(s) transforma la e.i. en un sistema lineal de ecuaciones donde las incógnitas son las corrientes Ii.
El campo dispersado se conoce en función de las corrientes.
( ) ( )I s I f si ii
′ = ′∑
( ) ( ) ( )
( ) ( )mimpreso
z mn
n
mimpreso
C mn
nn
zEzdz,zKI
zEzdz,zKzfI
n
−=′′
−=′′′
∫∑∫ ∑
′∆
∆s1
I1I2
∆sN
ANT- 2 - 44
Modelado por HilosCualquier estructura se puede modelar como un volumen delimitado por hilos, donde prioritariamente deban circular las corrientes.La separación entre los hilos es tal que con el grosor de los hilos dado se “recubra” toda la superficie del cuerpo.Ejemplo: “modelado por hilos” de un F4.
ANT- 2 - 45
Método de los MomentosPlanteamiento de la Ecuación
Se plantea la ecuación que cumple las condiciones de contorno sobre los hilos:
( ) 0EEn dentrofuera =−×rr
n
l
dispersadoEr
impresoEr
Zω
dispersadoimpresofuera EEE
rrr+=
sss AjE Φ∇−ω−=rr
( ) ( )∫∫ ′
′−′π
µ=
S ss sd
RjkRexpJ
4A l
rr
( ) ( )∫∫ ′
′−′πε
=ΦS
s sdR
jkRexpsq4IZEdentro ω=
r
r r rE E Etangencial erficie conductor tangencial
impresotangencialdispersado
sup= + = 0
Conductor Perfecto:
ANT- 2 - 46
Simplificación 1: Ecuación de HallenEcuación integral para las antenas de hilo recto delgadas (2a<<λ) y muy largas (2a<< ).
( )rJ J z zs sz= ′ $
z
ρ
Js Js
σ= ∞
(µ0,ε0)
r’r
izz EE −=
+
∂∂
εωµ= z
22
z2
00z Ak
zA
j1E 0Ak
zA0E z
22
z2
z =+∂
∂⇒=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )zksinCzkcosBzAzAzAzJzJ 11zzzzz ′+′=′⇒′−′⇒′−=′
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )∫∫ ′′−′ωε−+=′
π−′
−
z
0
iz11
2
2 z zdzzksenzEk
jkzsinCkzcosBzdR4jkRexpzI
l
l
( ) ( )( )∫ ′′−′ωε−=⇒−=
z
0
izz
izz zdzzksenzE
kjEEE
Por simetría respecto z=0 ⇒ C1=0Condiciones de frontera I| z=± 2 =0 ⇒ B1
( ) 22 azzR +′−=
ANT- 2 - 47
Discretización de la Ecuación de HallenModelo de Excitación
( ) ( ) ( )zksin2V
jkkzcosBzd
R4jkRexpzI 1
2
2
N
0m
mm
ωεπ
=−′−′∫ ∑−=
l
l
N2nz l
=
=
′+∑
= N2nksin
j2kV
N2kncosBLI 1
N
0mnmm
ll
ωµ
( )∫−
′−′=2
2
mnm zd
R4jkRexpzL
l
l π
( ) 02IN
0m
mm =∑
=
l
N+1 puntos
ANT- 2 - 48
Discretización de la Ecuación de HallenSistema de Ecuaciones
( ) ( )( )( ) ( )( )
( ) ( )( )( )zksin
2V
0zzdzzksenz2V
0zzdzzksenz2V
zdzzksenzE
0
0z
0
iz =
<′′−′
<′′−′=′′−′
∫
∫∫
−
ε
ε
δ
δ
( ) ( ) εεδ ≤′≤−′=′ zz2VzEi
Distribución de Corrientes
( ) ∑=
=N
0m
mm zIzI
ANT- 2 - 49
Simplificación 2: Ecuación Integral de Pocklington
Ecuación integral para las antenas de hilo recto delgadas (2a<<λ). Situando el hilo sobre el eje z:
z
ρ
Js Js
σ= ∞
(µ0,ε0)
2a
E j Azz z= − −ω
∂Φ∂
Condición de Lorentz:
Expresión del Campo
∂∂
ωµ εAz
jz = − 0 0Φ Ej
Az
k Azz
z= +
1
0 0
2
22
ωµ ε∂∂
Solución para elelemento de corriente superficial:
dA er r
J dSz
jk r r
sz=− ′
− − ′µπ0
4
r r
r rr’r
( ) ( )dEj
r rz
k r r J dSz sz=′
+ ′
1
0
2
22
ωε∂ ψ
∂ψ
r rr r,,
( ) ( )Ej
r rz
k r r J dSzs
szS=
′+ ′
∫∫
1
0
2
22
ωε∂ ψ
∂ψ
r rr r,, '
( )ψπ
r rr r
r r
r r er r
jk r r
, ′ =− ′
− − ′
4
Campo dispersadopor todo el hilo:
( )rJ J z zs sz= ′ $
ANT- 2 - 50
Ecuación Integral de PocklingtonMás explícitamente:
Si a<<λ: 1) Campo nulo sobre el eje z2) Corriente uniforme en φ’
La condición de contorno:– Campo impreso:– Campo dispersado:
( ) ( ) ( )Ej
r rz
k r r J z adz dzs
szL
L
C=
′+ ′
′ ′ ′ ′
−∫∫1
0
2
22
2
2
ωε∂ ψ
∂ψ φ φ
r rr r,, ,
PR
-L/2
L/2
z
a
Js
c
PR
-L/2
L/2
z
a
Js
c
( )R r r z z a= − ′ = − ′ +r r 2 2
( ) ( ) ( )Ej
z zz
k z z I z dzzs
L
L=
′+ ′
′ ′
−∫1
0
2
22
2
2
ωε∂ ψ
∂ψ
,,
E Ezs
zi+ = 0
Ezi
Ezs ( ) ( ) ( ) ( )1
0
2
22
2
2
jz zz
k z z I z dz E zL
L
zi
ωε∂ ψ
∂ψ
,,′
+ ′
′ ′ = −
−∫
P
R
z
a
I
z’
ANT- 2 - 51
Ecuación Integral de 2 Potenciales (EFIE)
( ) 0EEn dentrofuera =−×rr ( ) 0EEˆ
dentrofuera =−⋅rr
l
dispersadoimpresofuera EEE
rrr+=
sss AjE Φ∇−ω−=rr ( ) ( )∫ ′′′
πµ
=C
s dGI4
A lllr
( ) ( )∫ ′′′πε
=ΦC
s dGq4
lll
IZEdentro ω=r
( ) ( )ll
l Iddjq
ω=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ′−
′′
ωε+′⋅ωµ−=⋅−ω C
a
ai dR
jkRexpdd
ddI1IˆjEˆIZ l
ll
llllll
a22
ee RararR =−≈−=rr
( ) ( ) ( )a
a
C RjkRexp
dCR
jkRexpa2
1G−
≈−
π= ∫l
nl
dispersadoEr
impresoEr
Zω
2a
rrr ′r
err
ar
rrR ′−=rr
rrR ′−=rr
Aproximaciónde Hilo Fino
ANT- 2 - 52
Ajuste por Puntos (Point Matching)( ) ( ) ( )I z K z z dz E zimpreso′ ′ ′ = −∫ ,
( ) ( )I z I f zn nn
′ ≈ ′∑
( )f zz z
fuerann′ =
′ ∈ ′
10
∆
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
I f z K z z dz E z
I K z z dz E z
I Z VZ K z z dz
V E zsalvoz
n nn
mC
impresom
nn
mz
impresom
nn
mn m
mn mz
mimpreso
malimentacion
n
n
′ ′ ′ = −
′ ′ = −
== ′ ′
= − =
∑∫∑ ∫
∑∫
′
′
,
,
,
∆
∆
∆01
∆z1
I1I2
zm
Punto mediodel segmento m
Función Integral:
Corrientes:
Función Base Tipo Pulso:∆zN
Sistema de Ecuaciones:
a
∆zn’
zm
Solución del Sistema m=n: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]Z I V I Z Vmn n m n mn m⋅ = ⇒ = −1
Zmn = Campo Ez producido en zm por un dipolo corto ∆zn’ recorrido por 1 A
ANT- 2 - 53
Método de los Residuos PromediadosR E Etangencial
impresotangencialdispersado= +
r rFunción Residuo:
Función Integral:Se promedia el Residuo mediante las funciones de peso Wm ( ) ( )W z R z dzm =∫ 0Corrientes:Se desarrollan en serie de funciones base ortogonales ( ) ( )I z I f zn n
n
′ ≈ ′∑
( ) ( ) ( ) ( ) ( )W z I f z K z z dz dz W z E z dzm n nCn
C mimpreso
C′ ′ ′
+ =
′∫∑∫ ∫, 0
( )W zz z
fueramm=
∈
10
∆
( )f zz z
fuerann′ =
′ ∈ ′
10
∆
( ) ( )( )
( )I Z V
Z z z K z z dz
Z Z z z dz
V E z dzn
nmn m
n z
mn nz
mimpreso
z
n
m
m
∑∫
∫∫
=
′ = ′ ′
= ′
= −
′, ,
,∆
∆
∆(Vm=0 excepto Vm alimentación=1 V)
Sistema de Ecuaciones:
Con pulsos:Función Base:
Función de Peso:
Zmn = Tensión inducida en el dipolo ∆zm en c.a. cuando se alimenta el dipolo ∆zn’ con 1 A
ANT- 2 - 54
Método de GalerkinEl Método de los Momentos se denomina de Galerkincuando utiliza la misma función como base y peso.Otras funciones utilizadas: Armónicos cosenoidales y polinomios extendidos sobre todo el hilo, triángulos, etc.– Una buena implementación se consigue empleando funciones
triangulares sinusoidales:
Se suele tomar zn+1-zn=zn-zn-1=∆zn para todo n (segmentación regular).
( ) ( )( )( )( )
( ) ( )( )( )( )
F z zk z zk z z
z z z
F z zk z zk z z
z z z
nn
n nn n
nn
n nn n
=−
−≤ <
=−
−≤ <
−
−−
+
++
$sensen
$sensen
1
11
1
11
zn zn+1 zn+2 zn+3zn-1zn-2zn-3
In In+1 In+2In-2 In-1
ANT- 2 - 55
Modelado de la Fuente ImpresaModelo de generador “delta gap”– Una tensión V entre los extremos de las varillas del
dipolo crea un campo impreso confinado en ese hueco:
Modelo del Generador tipo “frill”.– Supone unas corrientes magnéticas equivalentes a
una excitación de un monoplo mediante un coaxial.
Los resultados finales obtenidos son prácticamente iguales
zVEi δ−=r
φδ−=×−= ˆVEnM ir
( )( ) ( )
222
221
2
2
1
1
eje
i
bzRazRz
RjkRexp
RjkRexp
abln2VE
+=+=
−−
−−≈
r
δ
z z
M
a
b
ANT- 2 - 56
Uniones entre hilos
1ª Ley de Kirchov– Método de Chao y Strait
Redistribución de carga– Método de Sayre y Curtis– Imponen condiciones de
continuidad a la derivada de la corriente (la carga)
» Sayre: La densidad de carga lineal sobre los segmentos del nodo es constante.
» Curtis: La densidad superficial de la carga es constante.
– Se imponen nuevas condiciones en la matriz de impedancias.Hilo 2
Hilo 3
Hilo 1I10
I11
I12
I30
I31 I32I33 I34
I20
I21
I22
I23 I2
I3
I1
I1=-I20I2=I20-I30I3=I30I1+ I2 + I3 =0
ANT- 2 - 57
Método de la F.E.M. inducidaPermite obtener las expresiones de Zmn con corrientes triangulares sinusoidales.– Se pueden utilizar las expresiones clásicas de impedancias mutuas
entre dipolos paralelos recorridos por corrientes sinusoidales (vease Elliot pp 325 y ss.)
Campo de un dipolo recorrido por corriente sinusoidal.( ) ( )I z I k l zM= −sen 1
I(z)Para cualquier punto P:
( )
E j I eR
eR
kl er
E j I z l eR
z l eR
kl z er
z m
jkR jkR jkr
m
jkR jkR jkr
= − + −
=−
++
−
− − −
− − −
30 2
30 2
1 2
1 2
1 21
1
1
1
21
cos
cosρ ρ ρ ρ
ANT- 2 - 58
Impedancias Mutuasentre Dipolos Paralelos
2l1 2l2
Ez1
ξ2
ξ1
Posicióndel centro
r
R2
R1
( )( )( )
r y z
R y z l
R y z l
= + +
= + + −
= + + +
22
2
12
2 12
22
2 12
ξ
ξ
ξ
( ) ( ) ( )VI
I E dc a zl
l
22
2 2 1 2 210 2
2
. . =−
−∫ ξ ξ ξ
( )Z V
Ic a
212
1 0= . .
( )Z jkl kl
eR
eR
kl er
k l djkR jkR jkr
l
l
211 2 1 2
1 2 2 230 2
1 2
2
2= + −
−
− − −
−∫sen sencos sen ξ ξ
Tensión en c.a. en 2 (Método fem):
y sustituyendo:
En el programa MOMENTOS se utiliza esta formulación para calcular las autoimpedancias y las impedancias mutuas entre los diversos segmentos de los dipolos.
ANT- 2 - 59
Gráficas de Impedancias Mutuas
z=y
ANT- 2 - 60
Antenas YagiSon antenas construidas con dipolos paralelos , en las que sólo se alimenta uno (“excitador”, activo) de forma directa, haciéndolo los demás (“parásitos”, cortocircuitados) a través del acoplamiento mutuo con el primero.Yagi de 2 elementos.
D. Parásito: - l2>l1 “Reflector”- l2<l1 “Director”
D. Activo “Excitador”
2l2
2l1
( )r r r rE E E I
Ie ET
jkdd= + ≈ +
⋅1 2
2
1
1 cos ,θ θ φ
z
xd cosθ
θ
d
I1
I2
ANT- 2 - 61
Yagi de 2 elementosV Z I Z I
Z I Z I1 11 1 12 2
21 1 22 20= += +
II
ZZ
2
1
12
22
= −Variación rápida con l2/λ
Z VI
Z ZZIN = = −1
111
122
22
d=0,12λd=0,16λ
“Director”Cancela
el CampoPosterioral activo
Cancelael CampoPosterior
al reflector
Variación lenta con l2/λ “Reflector”
ANT- 2 - 62
Yagi de 2 elementosDiagramas Plano H
Plano XZ: Ed(θ,φ=0)=cte; F(θ,φ=0)=|1+I2/I1 exp(jkdcosθ)|
z
Director
Directividad=7,4 dB
Reflector -z
Directividad=7 dB
zPlano E (Plano YZ): Estos diagramas deben multiplicarse por el diagrama propio del dipolo λ/2
ANT- 2 - 63
Otras configuraciones de Yagis Yagi de doble reflector
R
R
A D D D
Como elemento activo es frecuente utilizar un dipolo doblado para aumentar la impedancia de entrada y el ancho de banda
ANT- 2 - 64
Otras configuraciones de Yagis
Yagi con reflector diédrico
A D D D
3λ/4 a λ
Varillas de l ≈ λ
ANT- 2 - 65
Otras configuraciones de Yagis
Yagi de cuernos
Estos elementos de cuernos aumentan el ancho de banda
ANT- 2 - 66
Ejemplos de Diseño2a/λ=
D= D0=2,16+D dBi
ANT- 2 - 67
Ejemplos de Diseño
ANT- 2 - 68
Ejemplo de Diseño- Yagi de 27 Elementos
La corriente se mantiene constante sobre los directores porque los excita la propia onda “endfire” radiada.
D0 ≈ 22 dB