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MATEMÁTICA IICastagnola, Juan Luis
ACTIVIDAD Nº3
9.
f ( x )= x2+3x−10x−2
Calcule limx→2
f ( x ).
limx→2
x2+3x−10x−2
Tenemos aquí el límite de una función racional. Lo primero que hacemos es sustitución directa en el denominador:
2−2=0
Habiendo comprobado que el denominador se anula, no podemos aplicar la propiedad de sustitución directa en esta función.Factorizamos el numerador:
f ( x )= x2+3x−10x−2
=( x−2 ) ( x+5 )
x−2
Si x≠2 simplificando x−2 de la expresión anterior tenemos la función:
g ( x )=x+5quees igual a f ( x ) salvoen x=2
Tenemos entonces dos funciones iguales salvo en un punto, y queremos saber el límite de una de ellas justamente en “ese” punto. Podemos calcular el límite de la otra función, dicho límites serán iguales. Entonces:
limx →2
x2+3x−10x−2
=limx→ 2
( x−2 ) ( x+5 )x−2
=limx→2
x+5
Ahora podemos realizar sustitución directa:
2+5=7
Por lo cual concluimos que:
MATEMÁTICA IICastagnola, Juan Luis
limx→2
x2+3x−10x−2
=7
Calcule limx→−2
f ( x ) .
limx→−2
x2+3 x−10x−2
Tenemos aquí el límite de una función racional. Lo primero que hacemos es sustitución directa en el denominador:
−2−2≠0
Habiendo controlado la condición de que el denominador no se anula, procedemos a hacer sustitución directa en toda la función.
limx→−2
x2+3 x−10x−2
=(−2 )2+3 (−2 )−10
−2−2=3
Entonces concluimos que:
limx−−2
x2+3x−10x−2
=3
MATEMÁTICA IICastagnola, Juan Luis
Analizamos la continuidad en 2 de:
f ( x )= x2+3x−10x−2
Como 2 Df resulta de inmediato que f no es continua en x=2
A partir de la teoría sabemos que:
f es continua en a si y sólo si limx→a
f ( x )=f (a).
Entonces para todo a Df resulta que:
f ( a )=a2+3a−10a−2
limx→a
f ( x )=limx→a
x2+3x−10x−2
=a2+3a−10a−2
Por lo que concluimos que: f es continua para todo punto de su dominio
También se puede decir que: f es continua en R−{2 }
Analizamos la continuidad en -2 de:
f ( x )= x2+3x−10x−2
Por lo analizado anteriormente, sabemos que:
f es continua para todo punto de su dominio
MATEMÁTICA IICastagnola, Juan Luis
Como el valor -2 pertenece al Dominio de la función, concluimos que:
f es continua en -2
Calcule los límites al infinito.
limx→∞
x2+3 x−10x−2
A partir de la teoría sabemos que:
Si f ( x )=an x
n+…+a1 x+a0bmxm+…+b1 x+b0
conan≠0 ybm≠0
Entonces limx→∞
f ( x )=limx→∞
an xn
bm xm y limx →∞
f ( x )= limx→−∞
anxn
bm xm
Entonces:
limx→∞
x2+3 x−10x−2
= x2
x=∞
Calculamos el límite al infinito:
Por lo establecido anteriormente concluimos que:
limx→−∞
x2+3 x−10x−2
= x2
x=−∞
MATEMÁTICA IICastagnola, Juan Luis
Gráfico de la función:
f ( x )= x2+3x−10x−2
f(x)=(x^2+3x-10)/(x-2)
-5.5 -5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
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19.
g ( x )= x2−9x−3
Analice de manera explícita la continuidad de x=3. En caso de no serlo ¿Cómo la re definiría para que lo sea?
Como 3 Df resulta de inmediato que gno es continua en x=3
A partir de la teoría sabemos que:
f es continua en a si y sólo si limx→a
f ( x )=f (a).
Entonces para todo a Df resulta que:
g (a )=a2−9a−3
limx→a
g ( x )= limx→a
x2−9x−3
=a2−9a−3
Por lo que concluimos que: g es continua para todo punto de su dominio
También se puede decir que: g es continua en R−{3 }
Entonces decimos que:
g ( x )= x2−9x−3
es discontinuaen el punto x=3
La teoría establece que:
MATEMÁTICA IICastagnola, Juan Luis
Sea f una función , f discontinua enaSi lim
x→af ( x )existe decimos queaesun puntode discontinudad evitable .
Entonces evaluamos:
limx→3
x2−9x−3
Tenemos aquí el límite de una función racional. Lo primero que hacemos es sustitución directa en el denominador:
3−3=0
Habiendo comprobado que el denominador se anula, no podemos aplicar la propiedad de sustitución directa en esta función.Factorizamos el numerador:
g ( x )= x2−9x−3
=(x−3 ) (x+3 )
x−3
Si x≠3 simplificando x−3 de la expresión anterior tenemos la función:
f ( x )=x+3que es igual a g ( x ) salvo enx=3
Tenemos entonces dos funciones iguales salvo en un punto, y queremos saber el límite de una de ellas justamente en “ese” punto. Podemos calcular el límite de la otra función, dicho límites serán iguales. Entonces:
limx→3
x2−9x−3
=limx→3
( x−3 ) ( x+3 )x−3
=limx→3
x+3
Ahora podemos realizar sustitución directa:
3+3=6
Por lo cual concluimos que:
limx→3
x2−9x−3
=6
Entonces podemos concluir que:
Alexistir limx→a
f (x ) decimosque aesun puntode discontinudad evitable .
La función redefinida sería:
MATEMÁTICA IICastagnola, Juan Luis
f ( x )=x+3con x≠3
Analice de forma explícita la existencia de asíntotas.
Analizamos la existencia de asíntotas horizontales:
La teoría establece que:
La recta y=L
Es una asíntota horizontal de la curva y=f ( x )
Si se cumple cualquiera de las dos condiciones siguientes:
limx→∞
f (x )=Ló limx→−∞
f ( x )=L
g ( x )= x2−9x−3
Entonces verificamos si el límite de la función cumple alguna de las condiciones anteriores:
limx→∞
x2−9x−3
=(∞2−9 )∞−3
=∞
Entonces concluimos que no posee asíntota horizontal.
Analizamos la existencia de asíntota vertical:
La teoría establece que:
La recta x=c
Es una asíntota vertical de la curva y=f ( x )
Si y solo si se cumple cualquiera de las tres condiciones siguientes:
MATEMÁTICA IICastagnola, Juan Luis
limx→c
f ( x )=+∞ó limx→c
f ( x )=−∞ó limx→c
f ( x )=∞
g ( x )= x2−9x−3
Al ser g(x ) una función racional su denominador deber ser distinto a 0, para que esto ocurra debe ser:
x≠3
Entonces verificamos si la recta x=3 es una asíntota vertical:
limx→3
x2−9x−3
=3
Por lo cual concluimos que no posee asíntota vertical.
Calcule los límites al infinito.
limx→∞
x2−9x−3
A partir de la teoría sabemos que:
Si f ( x )=an x
n+…+a1 x+a0bmxm+…+b1 x+b0
conan≠0 ybm≠0
Entonces limx→∞
f ( x )=limx→∞
an xn
bm xm y limx →∞
f ( x )= limx→−∞
anxn
bm xm
Entonces: