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ARQUIDIÓCESIS DE CALI FUNDACIONES EDUCATIVAS ARQUIDIOCESANAS
DISEÑO CURRICULAR COLEGIOS ARQUIDIOCESANOS
GUÍA TALLER AÑO LECTIVO ______________
ÁREA: MATEMÁTICAS
GRADO: DÉCIMO
PERÍODO: PRIMERO
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PRESENTACIÓN COLEGIO:
GRADO DÉCIMO
ÁREA MATEMÁTICAS
DOCENTE:
TIEMPO PREVISTO PRIMER PERÍODO
HORAS 48
PROPÓSITOS DEL PERÍODO A NIVEL AFECTIVO: Que mostremos mucho interés por:
Plantear y resolver situaciones problemas en la aplicabilidad práctica del diario
vivir y las tecnologías, con relación a las secciones cónicas.
Extraer pensamientos y modelar mentefactos conceptuales y proposicionales
cromatizados, con aproximación al pensamiento científico integral.
A NIVEL COGNITIVO: Que: Comprehendamos claramente en forma visual, gráfica y algebraica las
clasificaciones de las curvas cónicas.
A NIVEL EXPRESIVO: Que tengamos la capacidad de:
Extraer adecuadamente pensamientos.
Modelar mentefactos proposicionales cromatizados y conceptuales.
Interpretemos, resolvamos y argumentemos situaciones problemas en la
aplicabilidad de las curvas cónicas, demostrando avances en el desarrollo del
pensamiento científico integral.
EVALUACIÓN: INDICADORES DE DESEMPEÑO
Resuelvo y propongo estrategias en la solución de problemas trigonométricos
que involucren las razones trigonométricas, para obtener conclusiones acerca del
fenómeno estudiado los cuales tienen relación con situaciones cotidianas.
Establezco relaciones entre dos expresiones trigonométricas, teniendo como eje
central la aplicación de las identidades trigonométricas y las leyes del seno y
coseno en la solución de problemas en un contexto determinado.
Reconozco y comprehendo el concepto de geometría analítica, además
argumento, realizo construcciones, resuelvo problemas y aplicaciones de
geometría analítica en contextos de otras áreas del conocimiento.
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COMPETENCIAS Y HABILIDADES
COMPETENCIAS HABILIDADES
El razonamiento.
La modelación.
Resolución y planteamiento de
problemas.
La comunicación, elaboración,
comparación y ejercitación de
procedimientos.
Desarrollo de semejanzas y
diferencias.
Elaboración y comparación de
ejercitación de procesos.
Graficar e interpretar situaciones
problemas.
Analizar
Comparar
Contrastar
Argumentar
Establecer relaciones y
diferencias
Comprehender
Resolver y formular
problemas
Graficar
Interpretar
Utilizar
Inferir
Modelar
EJES TEMÁTICOS
1. RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS
1.1 Razones y funciones trigonométricas.
1.2 Resolución de triángulos (Ley de senos – Ley de cosenos).
1.3 Identidades y ecuaciones trigonométricas.
2. GEOMETRÍA ANALÍTICA
2.1 Secciones cónicas.
DIDÁCTICAS
Didácticas proposicionales.
Didácticas conceptuales.
Didácticas Argumentales.
RECURSOS
Logísticos: salón, tablero, marcadores, carteleras
Audiovisuales: video-beam, sala de internet, diapositivas, videos,
grabadoras.
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ÁREA DE MATEMÁTICAS
PRUEBA DE DIAGNÓSTICA DE MATEMÁTICAS
Propósito Expresivo: Que yo interprete, plantee y resuelva situaciones problemas aplicados a
la caracterización de la medición en los números Reales.
Respondo las preguntas 1 a 4, de
acuerdo con la siguiente representación
gráfica.
1.) Una de las siguientes expresiones,
es falsa:
A. los números naturales son enteros.
B. los números racionales son reales.
C. los números irracionales son reales.
D. los números racionales son enteros.
2.) La expresión simbólica que mejor
determina la relación existente entre los
conjuntos numéricos es:
A. N Z Q R.
B. .
C. .
D. .
3.) Se dice, que una operación entre los
elementos de un conjunto es asociativa,
si:
A. al operar tres elementos, el orden de
ellos no altera el resultado.
B. el resultado de operar tres elementos,
es un elemento del conjunto.
C. al operar más de dos elementos, la
forma de asociar sus operaciones, no
altera el resultado.
D. todos los elementos que componen la
operación pertenecen al conjunto.
4.) La relación de equivalencia de la
forma - , no pertenece al conjunto
numérico:
A. de los números reales R.
B. de los números irracionales I.
C. de los números enteros Z.
D. de los números racionales Q.
5.) Cuando se compara los elementos
de los conjuntos numéricos, se utiliza los
símbolos (menor que), (mayor que),
(igual a), por tanto puedo inferir que
es falso decir que:
A. – 14 > - 10.
B. = .
C. – 15
D.
6.) Al tomar el número racional positivo
, su localización en una recta
numérica, expresa que:
A. se encuentra entre el 2 y el 3.
B. se encuentra en toda la mitad entre 0
y 1.
C. se encuentra entre el 13 y el 4.
D. se encuentra entre el 3 y el 4.
7.) Se deduce que un ángulo es
positivo, cuando:
A. coincide con el lado final de otro
ángulo.
B. coincide con el movimiento de las
manecillas del reloj.
C. coincide con el movimiento contrario
al de las manecillas del reloj.
D. coincide con un ángulo en posición
normal o canónica.
8.) El resultado de -5 [- 6 -3(4)] + 70,
es:
A. 160 B. – 160
C. – 20 D. 20
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GUÍA – TALLER N° 1
Semana número _1_ del ___ al ___ de_______________ de 20___ (4 horas / semana)
FASE AFECTIVA ACTIVIDAD DE MOTIVACIÓN
EL PLANO DE COORDENADAS Y ÁNGULOS La trigonometría surgió hace más de 3.000 años, como medio para resolver diversos
problemas de navegación y agricultura. Las funciones trigonométricas se utilizan en la
actualidad para describir y analizar fenómenos periódicos como mareas, ondas sonoras
y porque no voltaje eléctrico.
El concepto básico para poder aplicar la trigonometría en casos como lo anterior, es el
sistema de coordenadas dentro de un plano, es decir el sistema de coordenadas
rectangulares, que nos sirve la especificar posiciones y determinar distancias.
1.) EL JUEGO DE LOS TRES CUADRADOS:
Dispongo de tres cuadrados iguales, tal como
lo muestra el gráfico a continuación.
Usando solamente geometría elemental o
trigonometría, demuestro que el ángulo C, es
igual a la suma de los ángulos A y B.
2.) Para el triángulo rectángulo de la forma, donde uno de sus catetos mide 40 cm y la
hipotenusa 50 cm.
¿Cuál es el valor del otro cateto?
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PROPÓSITO EXPRESIVO:
Que yo analice, resuelva y siga instrucciones precisas para dar solución adecuada
de las situaciones problemas, de gráficos, al igual diferencie e interprete las relaciones
trigonométricas.
INDICADORES DE DESEMPEÑO: Resuelvo y propongo estrategias en la solución de problemas trigonométricos
que involucren las razones trigonométricas, para obtener conclusiones acerca del
fenómeno estudiado los cuales tienen relación con situaciones cotidianas.
Establezco relaciones entre dos expresiones trigonométricas, teniendo como eje
central la aplicación de las identidades trigonométricas y las leyes del seno y
coseno en la solución de problemas en un contexto determinado.
Tengamos en cuenta que la distancia entre dos puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2), se obtiene,
utilizando adecuadamente la expresión:
P1P2 = .
Un ángulo se encuentra en posición normal dentro de un sistema de coordenadas sólo
si su vértice coincide con el origen y su lado inicial se encuentra sobre el eje positivo de
la x.
Respondo las preguntas 1 y 2
teniendo en cuenta la siguiente
información: Si en un plano de
coordenadas se tiene los puntos de la
forma A (6, 2) y B (-3, 5), en metros
1.) La distancia exacta que existe entre
los puntos A y B, es
A.) 3 √10 metros.
B.) 10 metros.
C.) 3 metros.
D.) 0 metros.
2.) Al analizar los puntos dados
anteriormente A y B, puedo inferir que
respectivamente se encuentran en
A.) I y III cuadrante.
B.) II y IV cuadrante.
C.) I y II cuadrante.
D.) II y III cuadrante.
Trazo el gráfico en posición normal y
determino en cada caso, la medida del
ángulo en grados.
3.) en rotación contraria a las
manecillas del reloj es
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A.) 540º B.) 240º C.) 270º D.) 120º.
II CUADRANTE I CUADRANTE
240º P.
Q
III CUADRANTE IV CUADRANTE
4.) Los en rotación en el sentido de las
manecillas del reloj, es
A.) 300º B.) – 300º
C.) – 432º D.) 432º.
-300º
DEFINICIÓN DE RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
Un triangulo rectángulo es aquel que
tiene un ángulo recto (de 90 grados). En
todo triángulo rectángulo, el lado mayor
se denomina hipotenusa en este caso
(c). Además, cada ángulo tiene un lado
o cateto opuesto (enfrente) y uno
adyacente (cercano).
Para el ángulo θ mostrado, b es el lado
opuesto y a es el lado adyacente.
Para β, a es el lado opuesto; y b es el
lado adyacente. Además, en todo
triángulo la suma de los ángulos
internos es 180º, donde 90º + θ + β =
180º. Y recordando a Pitágoras, se tiene
que: a2 + b2 = c2.
Las razones trigonométricas son seis:
Seno (Sen), Coseno (Cos), Tangente
(tan), Cosecante (Csc), Secante (Sec), y
Cotangente (Cotan).
Cada razón trigonométrica es la división
de un lado entre otro de un triángulo
rectángulo. Así:
Sin = .
Cos . Tan .
Sec . Csc .
Cotan .
1.) Usando la calculadora, completo la
siguiente tabla:
0º 30º 45º 60º 90º
Sen 0 0,5 √2 /2 √3 /2 1
Cos 1 √3 /2 √2 /2 0,5 0
Tan 0 √3 /3 1 √3 ∞
Respondo las preguntas 2 a 4, de
acuerdo con la siguiente información.
Utilizo el triángulo rectángulo ABC
anterior, donde Θ = 30 grados, b = 4 cm.
2.) Deduzco que el valor exacto que
adquiere el ángulo β, es
A.) 30 grados. B.) – 30 grados.
C.) – 60 grados. D.) 60 grados.
3.) Tomo la información de razón
trigonométrica e infiero que el valor de
la hipotenusa c, es
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A.) 8 cm. B.) 4 cm. C.) 2 cm. D.) ⅛ cm.
4.) Según el teorema de Pitágoras, puedo concluir que el valor que debe tomar el otro
cateto “a” del triángulo, es
A.) 4 cm. B.) 4 √3 cm. C.) 24 √3 cm. D.) √3 cm.
5.) Establezco la relación entre las medidas de los lados para un triángulo si sus
ángulos interiores tienen como medidas 45 grados, 45 grados y 90 grados.
A.) Podemos decir que sus tres lados son iguales, y forman un triángulo isósceles.
B.) Podemos decir que sus tres lados son iguales, y forman un triángulo escaleno.
C.) Se deduce que dos de sus lados son iguales, y forman un triángulo isósceles.
D.) Se deduce que dos de sus lados son iguales, y forman un triángulo equilátero.
6.) Si la hipotenusa de un triángulo rectángulo, con ángulos de 45 grados, 45 grados y
90 grados, mide 8√2 cm.
A.) Deduzco que la medida de los catetos, es de 8√2 cm.
B.) Deduzco que la medida de los catetos, es de 4√2 cm.
C.) Deduzco que la medida de los catetos, es de 8 cm.
D.) Deduzco que la medida de los catetos, es de 4 cm.
Respondo las preguntas 7 a 9, dado un triángulo ABC, rectángulo en B; si tomo la
razón “Cos A = 2/3, los lados medidos en cm.
7.) Puedo concluir que el valor del cateto opuesto al ángulo A,
A.) adquiere una longitud de √5 cm.
B.) adquiere una longitud de 5 cm.
C.) adquiere una longitud de 5.√5 cm.
D.) adquiere una longitud de 3/2 cm.
8.) Las razones trigonométricas Sin A, y Tan A, respectivamente, toman los valores de
A.) √2 / 3 y √5 / 2.
B.) √5 / 2 y √2 / 2.
C.) 5 y 2.
D.) 2 y 5.
9.) La hipotenusa, que representa el lado opuesto al ángulo recto (ángulo de 90
grados), mide exactamente.
A.) 2 cm.
B.) 5 cm.
C.) 3 cm.
D.) 3/2 cm.
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GUÍA-TALLER N° 2
Semana número_2_ Del ___ al ___ de _______________ de 20 ___ (4 horas/semana)
FASE AFECTIVA
ACTIVIDAD DE MOTIVACIÓN
EL TRIÁNGULO
Un triángulo es una figura geométrica formada por tres lados, tres ángulos y tres
vértices, además se clasifican según sus lados, y según sus ángulos. Los
triángulos según la medida de sus lados toman nombres especiales, así:
triángulos equiláteros donde todos sus lados son iguales, triángulos isósceles,
tiene dos lados iguales, y triángulos escalenos donde todos sus lados son
desiguales. Por último, según sus ángulos se llaman, triángulos acutángulos,
todos sus ángulos son agudos y miden menos de 90 grados, triángulos
rectángulos son los que tienen un ángulo recto (mide exactamente 90 grados), y
los triángulos obtusángulos que tienen un ángulo con más de 90 grados y menos
de 180 grados.
♥ Con la siguiente representación gráfica, expresaremos el número total de posibles
triángulos que se pueden formar, indicándolos claramente.
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PROPÓSITO EXPRESIVO:
Que yo utilice las relaciones trigonométricas en la resolución de triángulos
rectángulos, con la aplicación a fenómenos periódicos de nuestro entorno.
INDICADORES DE DESEMPENO:
Resuelvo y propongo estrategias en la solución de problemas trigonométricos
que involucren las razones trigonométricas, para obtener conclusiones acerca
del fenómeno estudiado los cuales tienen relación con situaciones cotidianas.
Establezco relaciones entre dos expresiones trigonométricas, teniendo como eje
central la aplicación de las identidades trigonométricas y las leyes del seno y
coseno en la solución de problemas en un contexto determinado.
Existe el proceso de calcular los lados y los ángulos desconocidos en un triángulo
teniendo los conocimientos de la trigonometría acerca de las relaciones entre los tres
ángulos y los tres lados.
Se sabe que la suma de los tres ángulos interiores de cualquier triángulo es dos rectos,
es decir 180 grados, el tercer ángulo se puede calcular si se conocen los otros dos.
1.) Dado el triángulo rectángulo BAC, rectángulo en A, cuyos catetos son b y c,
hipotenusa a, de la
forma.
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Como podemos observar del triángulo, se deduce que: a = 5 m, B = 41,7° por tanto se
calcula C = 90° - 41,7° = 48,3°.
Sin B = b/a, entonces b = a. Sin B = 5 m Sin 41,7° = 3,35 m.
Cos B = c/a, entonces c = a. Cos B = 5 m Cos 41,7° = 3,75 m.
El ángulo recto A = 90°.
2.) Con el triángulo BAC, conocido el ángulo B = 54,6° y su cateto opuesto b = 3 m,
determinaremos los otros elementos desconocidos.
El ángulo recto A = 90°, puesto que el triángulo es rectángulo en A.
El ángulo C = 90° - 54,6° = 35,4°.
Para calcular el cateto adyacente c, tenemos:
Para determinar el valor de la hipotenusa a, se procede así:
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Respondo las preguntas 1 y 2, de acuerdo con la siguiente información: Un triángulo BAC, rectángulo en A, siendo B = 45° y la hipotenusa “a = 5cm”
1.) El valor aproximado de los catetos b
y c, es
A.) 3,55 cm y 3,55 cm.
B.) 5,0 cm y 5,0 cm.
C.) 3,55 cm y 5,0 cm.
D.) 35,5 cm y 50 cm.
2.) Al realizar la representación gráfica
del triángulo, resulta
A.) un triángulo rectángulo escaleno.
B.) un triángulo rectángulo isósceles.
C.) un triángulo equilátero.
D.) un triángulo obtuángulo.
Respondo las preguntas 3 y 4
teniendo en cuenta la siguiente
información.
Se muestra el triángulo BCA, rectángulo
en C, con catetos a = 20cm y b = 15cm.
3.) Del análisis del gráfico se hacen las
siguientes afirmaciones:
I. La hipotenusa c = 25 cm.
II. El ángulo β = 53° 7’ 48’’.
III. La hipotenusa c = 35 cm.
Las afirmaciones correctas son:
A.) II y III.
B.) I únicamente.
C.) I y II.
D.) III únicamente.
4.) El valor de los ángulos agudos Θ y β
respectivamente son:
A.) 36° 52’ 12’’ y 53° 7’ 48’’.
B.) 53° 7’ 48’’ y 36° 52’ 12’’.
C.) 45° y 45°.
D.) 39° y 51°.
5.) Un árbol de aproximadamente 12 m
de alto, proyecta una sombra de 3 m en
una determinada hora del día. El valor
del ángulo de elevación ∂ del sol en ese
momento, es
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A.) ∂ = 75° 57’ 50’’.
B.) ∂ = 14° 2’ 10’’.
C.) ∂ = 90°.
D.) ∂ = 45°.
1.) Resuelvo el triángulo, hallando el
valor del cateto restante y los valores de
los ánglos agudos alfa y beta.
2.) De acuerdo al esquema, hallo la
altura del edificio y el valor de la
hipotenusa de cada uno de los
triángulos que se forman.
3.) En el triángulo ACB rectángulo en C,
el valor . Determino los otros
elementos del triángulo.
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GUÍA – TALLER N° 3
Semana número _3_ del ___ al ___ de______________________ de 20___ (4 horas / semana)
FASE AFECTIVA
ACTIVIDAD DE MOTIVACIÓN
SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES
El sistema de coordenadas rectangulares divide al plano en cuatro cuadrantes I, II, III,
IV, por medio de dos rectas perpendiculares que se cortan en un punto “0” llamado
origen. La horizontal X’0X se denomina eje X, la vertical Y’0Y, eje Y, y ambas
constituyen los dos ejes de coordenadas. El punto “0” se llama origen del sistema.
La distancia de un punto al eje Y se llama abscisa del mismo, mientras que la distancia
de un punto al eje X es la ordenada, y ambas constituyen las coordenadas del punto, y
se representa por el símbolo (x, y). Las abscisas son positivas cuando el punto está
situado a la derecha del eje Y, y negativas en caso contrario. Las ordenadas son
positivas cuando el punto está por encima del eje X, y negativas en caso contrario.
Para representar puntos de coordenadas conocidas hay que adoptar una escala
adecuada sobre cada uno de los ejes coordenados. Ambas escalas pueden ser iguales
o distintas.
Dado el sistema de coordenadas rectangulares.
1.) Expreso correctamente el cuadrante que
corresponde para cada punto de la forma
(X, Y): 1.1) (4, - 5) __________________
1.2) (- 3, 2) _________________________
1.3) (- 9, - 7) ________________________
2.) Localizo en un sistema de coordenadas rectangulares los siguientes puntos:
A (3, 5), B (- 2, 1), C (0, - 2), D (4, 0), E (3, 5), F (0, 4), G (- 5, 2), H (- 1, 0).
PROPÓSITO EXPRESIVO:
Que yo conozca y maneje reglas claras empleadas en la solución de situaciones
problemas que involucren distancia entre dos puntos a partir del concepto de valor
absoluto.
Y
II CUADRANTE I CUADRANTE
(-, +). (+, +).
X’ 0 X
(-, -). (-, +).
III CUADRANTE IV CUADRANTE
Y’
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Y
P2 (X2, Y2)
P (X, Y) Y2 – Y1
X2 - X
P1 (X1, Y1). Y – Y1
X – X1
X’ X.
Y’
INDICADORES DE DESEMPEÑO:
Resuelvo y propongo estrategias en la solución de problemas trigonométricos que
involucren las razones trigonométricas, para obtener conclusiones acerca del fenómeno
estudiado los cuales tienen relación con situaciones cotidianas.
Establezco relaciones entre dos expresiones trigonométricas, teniendo como eje central
la aplicación de las identidades trigonométricas y las leyes del seno y coseno en la
solución de problemas en un contexto determinado.
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
Y
P2 (X2, Y2)
d Y2 – Y1
P1 (X1, Y1) X2 – X1 X’ 0 X
Y’
La distancia “d” entre dos puntos tal
como se expresa en el gráfico se
expresa por
d = .
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje X (de las abscisas) o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la
diferencia de sus abscisas .
MODELACIÓN
Al tomar los puntos de la forma A (-1, 4)
localizado en el IV cuadrante, y B (3, 7)
del I cuadrante, la distancia entre estos
puntos, es
d =
=
= = = 5 unidades.
PUNTO DE DIVISIÓN
El punto de división de un segmento, es
el que divide a este en una relación
dada.
Al interpretar el siguiente gráfico, donde
P (X, Y) tercer punto que divide al
segmento en la relación = r.
Como P1P y PP2 son del mismo
sentido, dicha relación es positiva.
Si el punto de división P (X, Y) estuviera
situado en la prolongación del
segmento, a uno y otro lado del mismo,
la relación = r sería negativa, ya que
P1P y PP2 tendrían sentidos opuestos.
Teniendo en cuenta los triángulos
semejantes del gráfico, resulta que:
= = r.
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Despejando x, obtenemos la expresión de la forma x = , igualmente para y, se
obtiene: y = .
Si consideramos ahora que P (X, Y) es el punto medio del segmento P1P2, con r = 1,
resulta como coordenadas:
X = , Y = .
Respondo las preguntas 1 y 2
teniendo en cuenta la siguiente
información: Dados los puntos de la
forma P1 (- 2, 4) se localiza en el II
cuadrante, y P2 (3, - 1) en el IV
cuadrante.
1.) La distancia d (P1, P2), es
A.) 5. Unidades.
B.) 5 Unidades.
C.) Unidades.
D.) 2. Unidades.
2.) El punto medio de P1P2, es
A.) ( , ).
B.) (1, 3).
C.) (- , - ).
D.) (- 1, - 3).
Cuando localizo los puntos A (3, 8),
B (- 11, 3), C (- 8, - 2) en un sistema de
coordenadas rectangulares, son los
vértices de un triángulo. Contesto las
preguntas 3 y 4, teniendo en cuenta la
distancia en centímetros.
3.) Al unir los vértices A, B, C, se forma
A.) un triángulo escaleno.
B.) un triángulo isósceles.
C.) un triángulo rectángulo.
D.) un triángulo obtusángulo.
4.) Las distancias d (A, B), y d (B, C)
respectivamente son
A.) 110.5 cm y cm.
B.) cm y cm.
C.) cm y 17 cm.
D.) 17cm y cm.
Se sabe que el perímetro de un
triángulo es la suma de las medidas de
sus lados, por tanto si ubico los puntos
P (7, 5), Q (2, 3), R (6, - 7). Respondo
las preguntas 5 y 6.
5.) La representación gráfica PQR, es
A.) de un triángulo isósceles. B.) de un triángulo rectángulo.
C.) de un triángulo obtusángulo. D.) de un triángulo acutángulo.
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6.) Puesto que el área de un triángulo es el semiproducto de la base por la altura del
triángulo, concluyo que
A.) el área es de 29 unidades de superficie.
B.) el área del es de 145 unidades de superficie.
C.) el perímetro del es de 290 unidades.
D.) el perímetro del es de 29 unidades.
7.) La distancia del origen al punto P (X, - 4) es igual a 5 metros, infiero que
A.) el valor que toma X es 3 m.
B.) el valor que toma X es 9 m.
C.) el valor que toma X es m.
D.) el valor que toma X es 3 m.
8.) Las coordenadas del punto P (x, y) que divide al segmento determinado por P1 (1,7)
y P2 (6, - 3) en la relación r = 2/3, son
A.) X = 3, Y = 3, formando el par P (3, 3).
B.) X = 3, Y = 2, formando el par P (3, 2).
C.) X = - 3, Y = 3, formando el par P (- 3, 3).
D.) X = - 3, Y = - 3, formando el par P (- 3, - 3).
9.) Cuando se realiza la localización en un sistema de coordenadas rectangulares de
los pares de puntos A (0, 4), B (3, - 2), y C (- 2, 8), observo que
A.) los puntos forman un triángulo.
B.) los puntos son colineales.
C.) los puntos representan un segmento de distancia 12.
D.) los puntos forman un triángulo isósceles.
10.) Con la representación gráfica de la forma, la
distancia AC en centímetros, es
A.) 82 cm.
B.)
C.)
D.) 58 cm.
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GUÍA – TALLER N° 4
Semana número_4_ Del ___ al ___ de _______________ de 20 ___ (4 horas/semana)
FASE AFECTIVA
ACTIVIDAD DE MOTIVACIÓN
IDENTIDADES BÁSICAS
La trigonometría se caracteriza por la gran cantidad de fórmulas que presentan una
interrelación entre funciones trigonométricas, ejemplo: Csc = , expresa que la
función cosecante es inversa o recíproca de la función seno.
Estas fórmulas facilitan, con mucha frecuencia, el trabajo de evaluación de una función
o una expresión que contiene otras funciones.
Las identidades son conocidas como relaciones trigonométricas, entre ellas aparecen,
las inversas o recíprocas, las cocientes, y las pitagóricas. Las identidades o relaciones
fundamentales son válidas para todos los valores del ángulo en los que las funciones
contenidas en ellas están definidas.
En conclusión una identidad trigonométrica es una relación que contiene funciones
trigonométricas y que es válida para todos los valores del ángulo en los que están
definidas las funciones.
♥ Verificar una identidad trigonométrica significa transformar una expresión en otra,
para ello tengo en cuenta:
Simplificar la expresión que aparenta ser más compleja.
Emplear las identidades fundamentales.
De ser posible, factorizar, adicionar fracciones, desarrollar binomios o
racionalizar algún denominador.
En algunos casos, escribir toda expresión en términos de seno o coseno.
De ser necesario, trabajar las dos expresiones hasta obtener un resultado
común.
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PROPÓSITO EXPRESIVO:
Que yo reconozca las diferentes identidades fundamentales básicas, para dar
solución a cada situación problema.
INDICADORES DE DESEMPEÑO:
Resuelvo y propongo estrategias en la solución de problemas trigonométricos
que involucren las razones trigonométricas, para obtener conclusiones acerca
del fenómeno estudiado los cuales tienen relación con situaciones cotidianas.
Establezco relaciones entre dos expresiones trigonométricas, teniendo como eje
central la aplicación de las identidades trigonométricas y las leyes del seno y
coseno en la solución de problemas en un contexto determinado.
MODELACIÓN:
Usando Csc = , entonces Cos .Csc = Cos . = = Cotan .
Si se aplica la relación Sin2 + Cos2 = 1, entonces
= = = 1 + Sin .
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♥ Para los siguientes pensamientos, le construyo su respectivo mentefacto
proposicional:
P1: Una identidad trigonométrica es una relación con funciones trigonométricas válida
para todos los valores del ángulo en los que están definidas las funciones, mientras que
una ecuación trigonométrica es una relación de la forma f(x) = k, siendo f(x) función
trigonométrica, k constante, válida para determinados valores del ángulo.
relación con funciones trigonométricas
válidas para todos los valores del
ángulo en los que están definidas las
funciones.
relación de la forma f(x) = k, siendo
f(x) función trigonométrica, k
constante, válida para
determinados valores del ángulo.
identidad Trigonométrica ecuación Trigonométrica diferir
IDENTIDAD
TRIGONOMÉTRICA
IDENTIDAD MATEMÁTICA
IGUALDAD MATEMÁTICA
ECUACIÓN MATEMÁTICA
IDE
NT
IDA
D
ALG
EB
RA
ICA
- Involucra razones trigonométricas. - Es válida para todos los valores del ángulo que aparecen en la igualdad.
Según las relaciones básicas comprendidas
I. T. RECÍPROCAS
I. T. POR COCIENTE
I. T. PITAGÓRICAS
I. T. AUXILIARES
- Involucra expresiones algebraicas. - Es válida para cualquier valor de la variable algebraica.
- Se verifica para cualquier valor de alguna variable de las tantas que intervienen.
- Expresión indicativa que dos cantidades son equivalentes. - Se compone de dos expresiones unidas por el signo igual.
- Sólo se verifican para algunos valores concretos de las variables, los valores llamados solución de la ecuación.
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P2. Un ángulo de elevación es aquel que se forma cuando el objeto está a un nivel más alto que la visual horizontal del observador, mientras que el ángulo de depresión se forma cuando el objeto está a un nivel más bajo que el observador.
Utilizo las identidades trigonométricas
fundamentales:
1.) Al expresar la función trigonométrica
Tan , en términos de Sin , resulta
A.) Tan = .
B.) Tan = .
C.) Tan = .
D.) Tan = Sin Csc
2.) Del análisis de las relaciones básicas
de las identidades trigonométricas, se
hacen las siguientes afirmaciones:
I. Cos2 = 1 – Sin2 .
II. Csc = .
III. Cotan = .
De las afirmaciones, puedo decir que
son correctas
A.) la I y II.
B.) la II y III.
C.) la I y III.
D.) la I únicamente.
3.) Simplifico la expresión de la forma
Sec – Sec .Sin2 , y resulta:
A.) Sec .Cos .
B.) Sec2 .Cos .
C.) Cos .
D.) Sin .
4.) Al descomponer en factores la
expresión trigonométrica de la forma
Cos2 - Cos2 .Sin2 , obtengo:
A.) Cos4
B.) Sin4
C.) Cos2 (1 + Sin2 .
D.) Cos2 .Sin2
5.) Utilizo las relaciones trigonométricas
para encontrar los valores de las
funciones de , siendo que Sin = .
Una de las expresiones es falsa:
A.) Cos = .
B.) Tan = .
C.) Csc = .
D.) Cotan .
se forma cuando el objeto esta a un
nivel más bajo que el observador.
se forma cuando el objeto esta a un
nivel más alto que el observador.
ángulo de Depresión ángulo de Elevación diferir
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1.) Sin Sec Tan .
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
________________________________________________________________
2.) 1 – = Sin
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
________________________________________________________________
3.) = Sin x.Tan x.
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
________________________________________________________________
4.) Sin .Cos β (Tan β + Cotan β) = 1.
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
5.) Encuentro el valor de , en el II y III cuadrante cuando la
función Tan = - .
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
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GUÍA-TALLER N° 5
Semana número _5_ Del ___ al ___ de _______________ de 20 ___ (4 horas/semana)
FASE AFECTIVA
ACTIVIDAD DE MOTIVACIÓN
ECUACIÓN DE LA RECTA EN NUESTRA VIDA
Muchas situaciones de la vida diaria pueden plantearse como ecuaciones de la recta. A
modo de ejemplo voy a crear la ecuación de la recta de “La cantidad de pan que se
compra en mi casa, según el número de personas que se encuentran en ésta”.
Desarrollo: “Por decir algo, en mi casa cada persona se come dos panes al día,
además, mi madre siempre compra tres panes extra para que la bolsa del pan nunca
quede vacía”, es decir, vamos a crear la función P(n) que representa la cantidad de pan
a comprar, y “n” la cantidad de personas que se encuentran en casa.
Con la información dada, si en casa hay una persona, la cantidad de pan a comprar
sería: P (1) = 2(1) + 3 = 5.
De la misma forma
P (2) = 2(2) + 3 = 7
P (3) = 2(3) + 3 = 9
P (4) = 2(4) + 3 = 11
Por lo tanto podemos deducir que P(n) = 2n + 3 relación que representa la cantidad de
pan a comprar, cuando en mi casa se encuentran “n” personas.
Al inferir, y procediendo matemáticamente, la expresión de la forma Y = 2x + 3
representa la ecuación de la recta, la cual me muestra la cantidad de pan que debe
comprarse en mi casa.
La representación gráfica en un plano de coordenadas rectangulares, es:
PROPÓSITO EXPRESIVO:
♥ Que yo conozca las diferentes representaciones de la línea recta, para la búsqueda
de solución a cada situación problema y a los procesos aplicados a fenómenos
periódicos del mundo real.
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INDICADORES DE DESEMPEÑO:
Resuelvo y propongo estrategias en la solución de problemas trigonométricos que
involucren las razones trigonométricas, para obtener conclusiones acerca del fenómeno
estudiado los cuales tienen relación con situaciones cotidianas.
Establezco relaciones entre dos expresiones trigonométricas, teniendo como eje central
la aplicación de las identidades trigonométricas y las leyes del seno y coseno en la
solución de problemas en un contexto determinado.
CLARIDAD COGNITIVA
Toda relación de la forma AX + BY = C, donde A, B, C números reales, representa una
ecuación lineal con dos incógnitas (o variables), las soluciones son pares ordenados de
la forma (x, y). El par ordenado (x, y) corresponde a un punto de un sistema de
coordenadas rectangulares (plano cartesiano).
MODELACIÓN:
La ecuación L de la forma x + y = 4 Tabla de valores Gráfico.
x y (x, y)
2 2 (2, 2)
1 3 (1, 3)
0 4 (0, 4)
-1 5 (-1, 5)
Observaciones: A toda ecuación lineal (de primer grado) con dos incógnitas le corresponde
gráficamente una recta.
Cada par ordenado de números de la forma (x, y) corresponde a las
coordenadas de un punto que es solución de la ecuación dada, es decir satisface
la ecuación.
Los puntos que cada par ordenado representa pertenecen a la recta
correspondiente.
PENDIENTE DE LA RECTA
Se denomina pendiente “m” de una recta al grado de inclinación “” que tiene la recta
respecto del eje de las abscisas (eje x), lo cual se expresa, así:
x-
y - y
12
12
xm
1 -1
1
-1
2
2
3
3
4
4
5
L
x
Y
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x1 x2
y1
y2
L
x2 – x1
y 2 –
y1
x
Y
x X
y
Y
L
ECUACIÓN DE LA LÍNEA RECTA
Toda igualdad de la forma AX + BY = C
donde A, B, C R, también se puede
escribir en la forma Y = mX + n, es
decir como una función, donde m es la
pendiente o coeficiente de dirección y
“n” es la intersección de la recta con el
eje Y, llamada también coeficiente de
posición. La primera expresa la
ecuación general y la segunda la
ecuación explícita de la línea recta.
De esta forma, se puede afirmar que
una recta está perfectamente definida si
se conocen:
DOS PUNTOS DE ELLA
MODELACIÓN: Determino la ecuación
de la recta que pasa por los puntos
A (5, 4) y B (7, 8).
Calculo la pendiente m de la forma,
2 m 2
4 m
5 - 7
4 - 8 m
Como Y = mX + n, al considerar el punto
A (5,4) con x = 5 e y = 4.
Se tiene entonces que 4 = 2(5) + n,
luego 4 = 10 + n, resultando n = - 6.
Por último concluyo que la ecuación de
la forma y = 2x – 6 es la ecuación
pedida.
UN PUNTO Y SU PENDIENTE
Determino la ecuación de la recta que
pasa por el punto A (2, -5) y tiene
pendiente m = - 4
Como el punto es A (2, - 5) siendo x = 2,
y = - 5 y el valor de la pendiente es
m = - 4. Entonces para Y = mX + n.
Resulta que: - 5 = - 4 (2) + n.
Donde - 5 = - 8 + n
Luego: n = 3, por lo que Y = - 4X + 3
es la ecuación explícita pedida. Mientras
que 4X + Y = 3 es la ecuación general.
PUNTOS DE INTERSECCIÓN DE UNA
RECTA
CON LOS EJES COORDENADOS
Según la gráfica que se muestra, los
puntos donde la recta L corta al eje x es
de la forma (x, 0) y donde corta al eje y,
de la forma (0, y).
MODELACIÓN: Hallo la intersección de la recta 2x – 3y = 12 con los ejes coordenados: La intersección con el eje x: se hace cuando y = 0. Resulta, 2x = 12. Luego se obtiene que x = 6. Así la recta corta al eje x en el punto de la forma (6, 0). La intersección con el eje y: se hace cuando x = 0. Resulta, - 3y = 12. De donde: y = - 4. Así, la recta corta al eje y en el punto de la forma (0, - 4).
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P.
Q.
R. X
S.
Respondo las preguntas 1 y 2, si en
un sistema de coordenadas
rectangulares localizo el par de puntos
de la forma A (6, - 5), y B (2, 3).
1.) La pendiente m que pasa por los
puntos A y B, es
A.) 2. B.) – 2.
C.)
. D.) -
.
2.) Propongo como ecuación de la recta
que pasa por el par de puntos, a
A.) 2X + Y = 7. B.) 2X – Y = 7.
C.) Y = 2X + 7. D.) Y = - 2X – 7.
3.) Dado el plano cartesiano, y en el
ubicamos los puntos de la forma P (a, b)
Q (- c, d), R (e, - f), y S (- g, - h). Puedo
asegurar que es falso que:
Y
A.) P pertenece al I Cuadrante.
B.) Q pertenece al II Cuadrante.
C.) S pertenece al III Cuadrante.
D.) R pertenece al I Cuadrante.
4.) Busco la ecuación general y la
ecuación explícita (punto-pendiente) de
la recta que pasa por el punto (- 3, 1) y
tiene pendiente m =
.
A.) – X + 3Y = 6 Ecuación general.
Y = 3X + 2 Ecuación explícita.
B.) – X + 3Y = 6 Ecuación general.
Y =
X + 2 Ecuación explícita.
C.) X + 3Y = 6 Ecuación general.
Y =
X + 2 Ecuación explícita.
D.) X + 3Y = 6 Ecuación general.
Y = 3X + 2 Ecuación explícita.
5.) El valor de la constante k que
aparece en la ecuación explícita de la
forma Y =
X – 1, para que pase por el
punto A (2, - 5), es:
A.) – 10. B.) 10.
C.) 2. D.) -
.
X
Y
6
-4
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GUÍA-TALLER N° 6
Semana número 6 del ___ al ___ de______________________ de 20___ (4 horas / semana)
FASE AFECTIVA
ACTIVIDAD DE MOTIVACIÓN
INTRODUCCIÓN HISTÓRICA:
Uno de los genios más extraordinarios de la historia de las Matemáticas fue el
matemático Alemán Karl Friedrich Gauss (1777 – 1855).
En 1799, Gauss demostró el teorema fundamental del álgebra, que dice que cada
ecuación algebraica tiene una raíz de la forma a + bi, donde a y b son números reales,
e i es la raíz cuadrada de -1. Los números expresados en la forma
a + bi se llaman números complejos y Gauss demostró que se
podían representar análogamente a los puntos de un plano. En
1801 demostró el teorema fundamental de la aritmética: “todo
número natural se puede representar como el producto de primos
de una y solamente una forma”. Así dejó fundamentada la
Aritmética Superior. Su obra principal fue “Disquisitione
Arithmeticae”
1.) Puesto que en la información de Gauss aparece (1777 – 1855), lo cual expresa año
de nacimiento y año de muerte, deduzco matemáticamente la cantidad de años vividos.
______________________________________________________________________
2.) Dado que a + bi es la expresión de cualquier número complejo, siendo a y b
números reales, e i = cantidad imaginaria.
Expreso mínimo 5 ejemplos de números complejos:
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
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PROPÓSITO EXPRESIVO:
♥ Que yo utilice las diferentes representaciones de líneas rectas paralelas y rectas
perpendiculares, para la búsqueda de solución a cada situación problema y a los
procesos aplicados a fenómenos periódicos del mundo real.
INDICADORES DE DESEMPEÑO:
Resuelvo y propongo estrategias en la solución de problemas trigonométricos que
involucren las razones trigonométricas, para obtener conclusiones acerca del fenómeno
estudiado los cuales tienen relación con situaciones cotidianas.
Reconozco y comprehendo el concepto de geometría analítica, además argumento,
realizo construcciones, resuelvo problemas y aplicaciones de geometría analítica en
contextos de otras áreas del conocimiento.
Rectas Paralelas – Rectas Perpendiculares
Toda ecuación de la forma
(Ec. punto-pendiente), puede escribirse
en la forma (ecuación
general de la recta) siendo
.
Dos rectas son paralelas si y sólo si
tienen la misma pendiente, es decir,
m1 = m2.
Dos rectas son perpendiculares si y sólo
si el producto de sus pendientes es igual
a -1, es decir m1.m2 = - 1.
MODELACIÓN:
Construyo el mentefacto para el
siguiente pensamiento:
P1: La función lineal, aquella que tiene la
forma F(x)= mX + k, donde “m” es una
constante diferente de cero, se
representa con una línea recta.
Determino el valor de la variable “y”
de manera que la recta que pasa por
(- 2, -1) y (10, y) sea perpendicular a la
recta que pasa por (6, -2) y (5, 7).
S// Busco las pendientes: m1=
=
.
m2 =
=
= - 9.
Como m1.m2 = - 1 por ser las rectas
perpendiculares, entonces resulta que
. (- 9) = - 1. Por tanto - 9y – 9 = - 12
luego – 9y = - 12 + 9
- 9y = - 3
9y = 3
Y =
.
Encuentro “y” de manera que la recta
pasa por (4, - 3) y (8, y) sea paralela a la
recta que pasa por (4, 4) y (3, 5).
S// Calculo adecuadamente las
pendientes.
Aquella…
Fn. Lineal L. Recta Representar
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m1 =
=
. m2 =
=
= - 1.
Como las rectas son paralelas, sus pendientes son iguales, por tanto
= - 1.
Entonces Y + 3 = - 1. (4)
Y + 3 = - 4.
Y = - 4 – 3 = - 7.
Y = - 7.
Respondo las preguntas 1 a 3, teniendo en cuenta la siguiente información: Los
punto P (- 2, 0), Q (4, 2) y R (0,4), vértices de un triángulo, en un sistema de
coordenadas rectangulares.
1.) La pendiente mPR del lado PR, es
A.) – 2.
B.) 2.
C.)
.
D.) -
.
2.) Verifico, los P, Q, y R, representan los vértices del triángulo:
I. Isósceles.
II. Equilátero.
III. Rectángulo.
IV. Escaleno.
Las afirmaciones correctas, son
A.) I y II.
B.) II y III.
C.) I y III.
D.) II y IV.
3.) La ecuación implícita de la recta paralela del lado PR por el vértice Q, es:
A.) Y = 2X + 6.
B.) Y = 2X – 6.
C.) Y = - 2X + 6.
D.) Y = - 2X – 6.
4.) Una de las siguientes afirmaciones es falsa:
A.) El punto A (0,0) pertenece a la recta de la forma 3x + 4y = 0.
B.) El punto B (- 1, 3) pertenece a la recta cuya ecuación es 2x + 3y – 7 = 0.
C.) Las rectas P: x – y + 2 = 0, y T: 2x – 2y = - 4, son paralelas.
D.) Las rectas A: 2x + y = 2, y B: y = 2x – 3, son perpendiculares.
5.) Sabiendo que el par ordenado de la forma (a, a+2) pertenece a la recta de ecuación de la recta 2x + 3y - 1 = 0, Determino las coordenadas de dicho par, y su valor es
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A.) (- 1, 1).
B.) (1, - 1).
C.) (1, 1).
D.) (- 1, - 1).
6.) Al localizar los siguientes puntos en un sistema de coordenadas rectangulares que
son pares ordenados de la forma A (3, 5), B (7, 1), C (- 4, 4), y D (- 2, 2), puedo deducir
que:
I. AB es perpendicular a CD.
II. AB es paralela a CD.
III. AC es paralela a BD.
Las afirmaciones correctas, son
A.) I y II.
B.) II únicamente.
C.) III únicamente.
D.) I y III.
7.) La recta que pasa por el punto J (8, 2) y que es perpendicular a la recta de la forma
5x – 3y = 7, tiene por ecuación:
A.) 3x + 5y – 34 = 0.
B.) 3x + 5y + 34 = 0.
C.) – 3x + 5y – 34 = 0.
D.) – 3X + 5y + 34 = 0.
8.) Trazo en un sistema de coordenadas las rectas T: - X + Y = 4, S: Y = X – 3,
J: Y = - x + 4.
Del análisis gráfico se hacen las siguientes afirmaciones:
I. T y S son rectas paralelas con pendientes m = 1.
II. S y J son rectas perpendiculares y de pendientes m = - 1.
III. T y J son rectas paralelas con pendientes m = – 1.
Las afirmaciones correctas son:
A.) I y II.
B.) II y III.
C.) I y III.
D.) III únicamente.
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GUÍA – TALLER N° 7
Semana número 7 del ___ al ___ de______________________ de 20___ (4 horas / semana)
FASE AFECTIVA
ACTIVIDAD DE MOTIVACIÓN
¡ACERTIJOS MATEMÁTICOS!
♥ Un hombre esta al principio de un largo pasillo que tiene tres interruptores, al final hay
una habitación con la puerta cerrada. Uno de estos tres interruptores enciende la luz de
esa habitación, que está inicialmente apagada.
¿Cómo hace para conocer qué interruptor enciende la luz, recorriendo una sola vez el
trayecto del pasillo?
Pista: El hombre tiene una linterna.
RESPUESTA: Al principio del pasillo hay tres interruptores, A, B y C, nuestro
personaje pulsa el interruptor A, espera 10 minutos, lo apaga, pulsa el
interruptor B y atraviesa el pasillo.
Al abrir la puerta se puede encontrar con tres situaciones:
Primera situación: Si la luz está encendida el pulsador será el B.
Segunda situación: Si la luz está apagada y la bombilla caliente será el A.
Y si está apagada y la bombilla fría será el interruptor C.
♥ Un prisionero está encerrado en una celda que tiene dos puertas, una conduce a la
muerte y la otra a la libertad. Cada puerta está custodiada por un vigilante, el prisionero
sabe que uno de ellos siempre dice la verdad, y el otro siempre miente. Para elegir la
puerta por la que debe pasar, sólo puede hacer una pregunta a uno solo de los
vigilantes.
¿Cómo puede salvarse?
RESPUESTA: La pregunta podría ser: ¿Sí yo le pregunto al otro guardián por
qué puerta tengo que salir que me respondería?
En el caso de que estemos hablando con el que siempre miente te diría "El otro
guardián te diría que la puerta por la que debes salir es... (La puerta falsa)".
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PROPÓSITO EXPRESIVO: Que yo clasifique las secciones cónicas a partir de su definición geométrica, para poder planear y resolver problemas cotidianos que involucren este tipo de figuras geométricas.
EVALUACIÓN: INDICADOR O INDICADORES DE DESEMPEÑO:
Reconozco y comprehendo el concepto de geometría analítica, además
argumento, realizo construcciones, resuelvo problemas y aplicaciones de
geometría analítica en contextos de otras áreas del conocimiento.
Consideremos en un plano “ una circunferencia C. Tracemos una recta l
perpendicular a “ , que pase por el centro de la circunferencia C como lo muestra la siguiente figura.
Sea V un punto en l distinto del centro de C.
DEFINICION 1: La intersección de un
plano y un cono se llama sección
cónica. Si por el punto V trazamos un
plano perpendicular a la recta l, entonces
el cono queda dividido en dos figuras
simétricas respecto al plano trazado.
Cada una de estas figuras se llama hoja
del cono.
DEFINICION 2: Si un plano Ω corta sólo
a una hoja del cono, pero no es paralelo a ninguna generatriz, la sección cónica se
llama elipse. Un caso particular se obtiene cuando el plano Ω es perpendicular al eje l
del cono, y se llama circunferencia. Veamos la figura arriba.
♥ El conjunto de todas las rectas que pasan por el punto V y la circunferencia C
se llama cono circular recto.
♥ Cualquier recta que pase por V y por el punto C se llama generatriz del cono.
♥ La recta l que pasa por V y el centro de C se llama vértice del cono
Equipo Académico-Pedagógico Área de Matemáticas Colegios Arquidiocesanos de Cali Page 33
DEFINICION 3: Si el plano Ω es paralelo a las dos generatrices
(y por tanto interseca a las dos hojas del cono), la sección cónica
se llama hipérbola. Cada curva que se forma en las hojas del
cono se llama rama de la hipérbola. Veamos la siguiente figura.
DEFINICION 4: Si el plano Ω es
paralelo a una única generatriz (y por
tanto interseca solo una hoja del cono), la sección cónica se
llama parábola. Veamos la figura.
CÓNICAS: Denotemos con S cualquiera de las tres cónicas
no degeneradas distintas a una circunferencia, en el plano Ω,
entonces existen una recta d, un punto F en Ω y un número
real positivo e, tal que S coincide con el conjunto de puntos de Ω, donde el cociente de
la forma
es constante e igual a e.
La recta d se llama directriz, el punto F foco y el número e, excentricidad de la cónica
S. Muchas veces la excentricidad de una cónica nos ayuda a determinar a qué clase
corresponde.
1. Construcción de una elipse. Sobre una hoja de papel pergamino
trazo una circunferencia de tamaño
mediano. Dibujo en su interior un punto
F cualquiera (evitando que sea el
centro).
Uno el punto F con un punto P sobre la
circunferencia y marco bien el doblez.
Trazo la mediatriz del segmento FP.
Repito el paso anterior tantas veces
como sea posible, de modo que uno el
punto F con puntos de todas las zonas
de la circunferencia y trazo la mediatriz
en cada caso. El conjunto de
mediatrices envuelve una figura en
forma de una elipse. Escribo en mi
cuaderno por qué sucede esto.
2. Construcción de una hipérbola. En una hoja de papel pergamino trazo
una circunferencia grande. Dibujo en su
exterior un punto F cualquiera.
Uno el punto F con un punto C de la
circunferencia, marco bien el doblez y
trazo la mediatriz del segmento FC.
Repito el paso anterior tantas veces
como sea posible, de modo que uno el
Si e = 1 la sección cónica es una parábola.
Si e > 1 la sección cónica es una hipérbola.
Si e < 1 la sección cónica es una elipse.
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punto F con puntos de todas las zonas
de la circunferencia y trazo las
mediatrices respectivas.
El conjunto de mediatrices envuelve una
figura en forma de hipérbola, cuyos
focos son el punto F y el centro de la
circunferencia. Escribo en mi cuaderno
por qué sucede esto.
3. Construcción de una parábola. En una hoja de papel pergamino trazo un segmento horizontal en la parte inferior de la hoja. Dibujo por encima del segmento un punto F centrado horizontalmente en la hoja. Uno el punto F con un punto S del segmento, marco bien el doblez y trazo la mediatriz del segmento FS. Repito el paso anterior tanta veces como sea posible, de modo que uno el punto F con puntos de toda la zona del segmento y trazo las mediatrices correspondientes. El conjunto de mediatrices envuelve una figura en forma de parábola, cuyo foco es el punto F y su directriz es la recta que contiene el segmento trazado. Escribo en mi cuaderno por qué sucede esto.
Con base en las figuras que se
obtuvo anteriormente, escribo en mi
cuaderno la(s) respuesta(s) a las
siguientes preguntas:
1.) ¿Qué pasa cuando coloco el punto F en la misma circunferencia? ________________________________
________________________________
________________________________
________________________________
________________________________
_______________________________
2.) ¿Qué ocurre cuando ubico el punto F
en el centro de la circunferencia?
________________________________
________________________________
________________________________
________________________________
________________________________
3.) ¿Qué les pasa a las elipses y a las
hipérbolas cuando alejo o acerco F a la
circunferencia?
________________________________
________________________________
________________________________
________________________________
________________________________
4.) ¿Qué le pasa a la parábola cuando
alejo o acerco F a la directriz?
________________________________
________________________________
________________________________
________________________________
________________________________
5.) ¿Qué le pasa a la parábola cuando
situó F sobre la directriz?
________________________________
________________________________
________________________________
________________________________
________________________________
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GUÍA – TALLER N° 8
Semana número 8 del ___ al ___ de _______________ de 20 ___ (4 horas/semana)
FASE AFECTIVA
ACTIVIDAD DE MOTIVACIÓN
EL CÍRCULO Y LA CIRCUNFERENCIA.
Desde la más remota antigüedad, la relación entre la longitud del contorno de un círculo
y su diámetro fue una preocupación de filósofos y matemáticos. Ese
dato, muy importante en todos los cálculos astronómicos, para la construcción de
objetos o la delimitación de parcelas circulares de tierra, era un enigma. Si bien era
sabido que la razón entre la circunferencia y el diámetro de un círculo es una constante
para todas las figuras circulares, cada vez que la
calculaban obtenían como resultado un número
que no conocían; no era un número entero.
El Papiro Egipcio de Rhind, que data del 1650 a.C.,
muestra que los egipcios le atribuían a ese número
el valor 3,16… y en la Biblia figura con valor de 3.
La aparición de las calculadoras en el siglo XX
revolucionó el conocimiento acerca de ese número.
En esta unidad se va a explorar esa relación y su
valor enigmático.
1.) Construyo una circunferencia. Mido su diámetro con alguna unidad de medida,
ejemplo una pita, una regla, luego busco la manera de medir la longitud de la
circunferencia.
Por último, realizo la razón entre las longitudes resultantes, y escribo
conclusiones.
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
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PROPÓSITO EXPRESIVO:
Que yo construya las diferentes ecuaciones de una circunferencia a partir de su definición como sección cónica, para poder planear y resolver problemas cotidianos que involucren este tipo de figuras geométricas.
INDICADORES DE DESEMPEÑO:
Reconozco y comprehendo el concepto de geometría analítica, además argumento, realizo construcciones, resuelvo problemas y aplicaciones de geometría analítica en contextos de otras áreas del conocimiento.
Resuelvo y propongo estrategias en la solución de problemas trigonométricos
que involucren las razones trigonométricas, para obtener conclusiones acerca
del fenómeno estudiado los cuales tienen relación con situaciones cotidianas.
Una circunferencia, analíticamente, es una ecuación de segundo grado, con dos
variables, conocida su centro de la forma C (h, k), y su radio r.
En conclusión, una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos P(x, y) del plano,
que equidistan de un punto C (h, k) llamado Centro, y un radio r.
MODELACIÓN:
1.) Realizo la obtención de la ecuación canónica de la circunferencia:
Por definición de distancia entre dos puntos, se tiene:
r = d (C, P). Esto es: d (C, P) = 22 )()( kyhx r = 22 )()( kyhx .
Elevo al cuadrado: 2222 ])()([ kyhxr
Por tanto: r2 = (x - h)2 + (y - k)2.
Ecuación canónica de la Circunferencia de centro C (h, k) y radio r.
ECUACIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA
2.) Realizo la expansión o desarrollo la Ecuación Canónica (x - h)2 + (y - k)2 = r2 y
resulta:
(x - h)2 + (y - k)2 = r2 x2 - 2hx + h2 + y2 – 2ky + k2 = r2
Entonces x2 + y2 - 2hx – 2ky + h2 + k2 =r2
Ahora tengo:
Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0
Donde A = B y no aparece producto de la variable ó incógnita x, y.
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3.) Para la expresión de la forma (x – 1)2 + (y + 3)2 = 16; ecuación de una
Circunferencia.
Se puede deducir que h = 1 y k = - 3, luego el centro de la circunferencia es C (1,-3), y su radio es r = 4.
4.) Dada la relación de la forma x2 + (y – 4)2 = 7. Ecuación de una Circunferencia.
En su análisis, deduzco que el centro es de la forma C (0, 4) y el radio r = 7 .
5.) Si el centro de la Circunferencia es C (0,0) y el radio r = 5.
La ecuación de la Circunferencia se expresará de la forma: x2 + y2 = 52.
Resultando: x2 + y2 = 25.
6.) Una circunferencia tiene centro C (- 3, 4) y pasa por el punto P (1, -2).
Determino su Ecuación General: Para llegar a la ecuación general parto de la ecuación canónica, de la forma:
r2 = (x - h)2 + (y - k)2
Observo que si el centro, es C (- 3, 4) pero el radio no está dado. ¿Cómo
encontrarlo?
Es sencillo, ya que me dan un punto P (1, -2) por donde pasa las circunferencia; y se
sabe que r = d (C, P).
Entonces, por definición de distancia, resulta:
r = d(C, P) 2242)3(1 r
2264 r
3616r
52r .
Luego, sustituyendo tengo:
(x - h)2 + (y - k)2 = r2 (x+3)2 + (y - 4)2 252 .
Desarrollando la Ecuación canónica, la ecuación general queda expresada por:
x2 + y2 + 6x – 8y – 27 = 0.
Gráficamente:
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1.) Siendo el centro de la circunferencia
de la forma C (- 2, 3), y de radio r = 4,
infiero que su ecuación será
A.) x2 + y2 + 4x – 6y = 3.
B.) x2 + y2 – 4x – 6y = 3.
C.) x2 – y2 + 4x – 6y = 3.
D.) x2 + y2 – 4x + 6y = 3.
2.) Para la circunferencia cuya ecuación
es de la forma x2 + y2 – 3x + 5y – 14 = 0,
el centro C (h, k), y el radio r, son:
A.) C (
, -
), r =
.
B.) C (
,
), r =
.
C.) C (-
, -
), r =
.
D.) C (-
,
), r =
.
Respondo las preguntas 3 y 4,
teniendo en cuenta la siguiente
información: Sea una circunferencia
donde uno de sus diámetros tiene el
segmento de recta que une los puntos
(5, - 1) y el punto (- 3, 7).
3.) Al calcular adecuadamente el centro
de la circunferencia C (h, k), se concluye
que es
A.) C (1, - 3).
B.) C (1, 3).
C.) C (- 1, 3).
D.) C (- 1, - 3).
4.) La ecuación general de la
circunferencia, se expresa por:
A.) x2 + y2 – 2x + 6y + 22 = 0.
B.) x2 + y2 – 2x + 6y - 22 = 0.
C.) x2 + y2 + 2x + 6y - 22 = 0.
D.) x2 + y2 – 2x - 6y - 22 = 0.
5.) El centro y la ecuación de una
circunferencia que pasa por el punto
A (0, 0), con radio r = 13, siendo la
abscisa de su centro – 12, es.
A.) C (- 12, 5), x2 + y2 + 24x – 10y = 0.
B.) C (- 12, 5), x2 + y2 - 24x – 10y = 0.
C.) C (12, - 5), x2 + y2 + 24x + 10y = 0.
D.) C (12, - 5), x2 + y2 - 24x + 10y = 0.
Respondo las preguntas 6 a 8, de
acuerdo con la siguiente información:
Dada una circunferencia de centro de
forma C (h, k) y radio r, pasa por los
puntos P (5, 3), Q (6, 2), y R (3, - 1).
6.) El valor del radio r, es
A.) .
B.) 29.
C.) .
D.) 5.
7.) En la búsqueda del centro C (h, k),
resultó
A.) C (1, 4).
B.) C (4, 1).
C.) C (- 1, 4).
D. C (1, - 4).
8.) La ecuación de la circunferencia que
resulta es de la forma:
A.) x2 + y2 – 8x + 2y + 12 = 0.
B.) x2 + y2 – 8x - 2y + 12 = 0.
C.) x2 + y2 + 8x + 2y + 12 = 0.
D.) x2 + y2 – 8x - 2y - 12 = 0.
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GUÍA – TALLER N° 9
Semana número 9 del ___ al ___ de______________________ de 20___ (4 horas / semana)
FASE AFECTIVA
ACTIVIDAD DE MOTIVACIÓN
LA IMPORTANCIA DE UNA PARÁBOLA
Las parábolas aparecen en diferentes situaciones de la vida cotidiana. Se puede
apreciar claramente cuando lanzamos un balón bombeado o cuando golpeamos una
pelota de tenis.
En la curva que describe la pelota en su movimiento se puede ver que se trata de una
trayectoria parabólica. Al dibujar este desplazamiento, podemos considerar esta
parábola como la representación gráfica de una función que asigna a cada
desplazamiento horizontal “x” la altura “y” alcanzada por la pelota.
Una vez situada la parábola en este marco, que es un sistema de coordenadas
rectangulares, son visibles dos propiedades fundamentales: Tiene un punto
extremo, que corresponde al instante en el que la pelota alcanza la altura máxima. Este
punto es el vértice de la parábola. Las alturas a las que llega la pelota son las mismas
en posiciones horizontales equidistantes de la abscisa del vértice. Por tanto, la recta
paralela al eje de ordenadas que pasa por el vértice es el eje de simetría de la parábola.
En términos generales, se podría definir la parábola como el conjunto de punto de la
forma (x, y) equidistante de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada
directriz.
1.) Dibujo lo que considero según la lectura parábolas representativas.
_________________________________________________________________
2.) Para la siguiente representación expreso
abiertamente mi análisis.
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
Y
F
V
X2
2
5
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PROPÓSITO EXPRESIVO:
Que yo construya las diferentes ecuaciones de una parábola a partir de su
definición como sección cónica, para poder planear y resolver problemas
cotidianos que involucren este tipo de figuras geométricas.
INDICADOR DE DESEMPEÑO:
Reconozco y comprehendo el concepto de geometría analítica, además
argumento, realizo construcciones, resuelvo problemas y aplicaciones de
geometría analítica en contextos de otras áreas del conocimiento.
La Parábola, es el lugar geométrico de los puntos P(x, y) y del plano que equidistan
(están a la misma distancia) de un punto fijo llamado “foco” y una recta fija llamada
directriz.
Vemos la gráfica para identificar los elementos
en un sistema de coordenadas cartesianas.
Por Definición: d (P, F) = d (P, M)
F = Foco. E = Eje. V = Vértice
I = Punto de Intersección. Eje Directriz.
d (F, V) = d (V, I) = p parámetro.
OBSERVACIONES:
1.) Cuando la parábola abre hacia arriba, el punto más bajo es el vértice. Si la parábola
abre hacia abajo, el vértice es el punto más alto. La recta que divide a la parábola en
dos partes simétricas pasando por el vértice es el eje de simetría.
2.) CASOS ESPECIALES:
2.1) Cuando la parábola abre hacia arriba, cuya ecuación canónica es:
(x – h)2 = 4p (y – k). Donde C (h, k) es el centro de “p” el parámetro.
ELEMENTOS: V (h, k), F (h, k+p), I (h, k-p) Eje: x = h Directriz: y = k – p.
2.2) Cuando la Parábola abre hacia abajo, cuya ecuación canónica es:
(x – h)2 = - 4p (y – k). Donde C (h, k) es el centro de “p” el parámetro.
ELEMENTOS: V (h, k), F (h, k - p), I (h, k + p), Eje: x = h, Directriz: y = k – p.
2.3) Cuando la parábola abre hacia la derecha, cuya ecuación canónica es:
(y – k)2 = 4p(x – h). Donde C (h, k) es el centro de “p” el parámetro.
ELEMENTOS: V (h, k), F (h+p, k), I (h-p, k), Eje: y = k, Directriz: x = h – p.
2.4) Cuando la parábola abre hacia la izquierda, cuya ecuación canónica es:
(y – k)2 = - 4p(x – h). Donde C (h, k) es el centro de “p” el parámetro.
ELEMENTOS: V (h, k), F (h-p, k), I (h+p, k), Eje: y = k, Directriz: x = h + p
Y
F
V
X2
2
5
Equipo Académico-Pedagógico Área de Matemáticas Colegios Arquidiocesanos de Cali Page 41
ECUACIÓN GENERAL DE LA PARÁBOLA
Al desarrollar las ecuaciones canónicas, cualquiera que sea el caso llegamos a una ecuación de la forma:
1.) Ax2 +Cx +Dy + E = 0 ó 2.) Ay2 +Cx +Dy + E=0
P1: Las secciones cónicas se clasifican en tres categorías, según su forma y
propiedades establecidas por los valores de la excentricidad e: si e = 1, la cónica es una
parábola, si e 1, la cónica es una elipse, mientras que si e 1, la cónica es una
hipérbola.
P2: La expresión matemática x2 = 4ay representa la ecuación de la parábola, cuando
el foco pertenece al eje y.
según su forma y propiedades establecidas por los valores de
la excentricidad e.
para e = 1
para e 1
parábola
elipse
hipérbola
para e 1
secciones cónicas clasificar
x2 = 4y ecuación de la parábola
cuando el foco pertenece al eje y
representar
Equipo Académico-Pedagógico Área de Matemáticas Colegios Arquidiocesanos de Cali Page 42
Respondo las preguntas 1 a 3, si la
ecuacion y2 - 4y - 12x + 28 = 0
corresponde a una parábola.
1.) Al interpretar la ecuación, deduzco
que
A.) el eje es paralelo al eje x.
B.) el eje es paralelo al eje y.
C.) Y = - 2.
D.) X = - 3. 2.) Las coordenadas del vértice V, es
A.) V (2, 3).
B.) V (3, 2).
C.) V (2, 2).
D.) V (2, 5).
3.) El foco, está representada por las
coordenadas de la forma
A.) F (2, 5).
B.) F (2, 2).
C.) F (3, 2).
D.) F (2, 3).
4.) La ecuación de la parábola de vértice
V (3, 2), y foco F (5, 2), es de la forma
A.) y2 – 4y – 8x – 28 = 0.
B.) y2 – 4y - 8x + 28 = 0.
C.) y2 + 4y + 8x + 28 = 0.
D.) y2 + 4y + 8x – 28 = 0.
5.) La ecuación de la parábola de vértice
el origen, de eje el de coordenadas “y”,
y que pasa por el punto (6, - 3), es de la
forma
A.) x2 + 12y = 0.
B.) x2 = 12y.
C.) y2 = - 12x.
D.) y2 + 12x = 0.
Dada la parábola de ecuación con
forma y2 + 8y – 6x = - 4, podemos
deducir en las preguntas 6 a 8.
6.) Las coordenadas del vértice V, es
A.) V (2, - 4).
B.) V (- 2, 4).
C.) V (- 2, - 4).
D.) V (2, 4).
7.) La ecuación de la directriz, es
A.) x =
.
B.) x = -
.
C.) y =
.
D.) y = -
.
8.) Las coordenadas del foco de la
parábola, es
A.) F (- 4, -
). B.) F (-
, - 4).
C.) F (4,
). D.) F (
, 4).
9.) Para la representación gráfica de la
ecuación y2 – 4y – 2x + 6 =0, concluyo
que
A.) Se abre hacia arriba.
B.) Se abre hacia abajo.
C.) Se abre hacia la izquierda.
D.) Se abre hacia la derecha.
10.) Las coordenadas del foco y la
ecuación de la directriz de la parábola
de ecuación x2 = -
y, son:
A.) F (0, -
), y =
.
B.) F (0, -
), y = -
.
C.) F (0,
), y = -
.
D.) F (0,
), y =
.
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GUÍA – TALLER N° 10
Semana número 10 del ___ al ___ de_____________________ de 20___ (4 horas / semana)
FASE AFECTIVA
ACTIVIDAD DE MOTIVACIÓN
GRÁFICA DE LA PARÁBOLA
La parábola es una curva que tiene una gran
importancia en física y que se ajusta a la descripción o
a la representación matemática de muchos
fenómenos. Pero la parábola también tiene
importancia en nuestra vida cotidiana y, aunque
muchas veces no nos fijemos o no seamos
conscientes de ello, tenemos muchas parábolas a
nuestro alrededor. Ejemplos importantes: antenas
parabólicas, las tenciones de un puente colgante
entre otras.
Ahora al observar la figura, la curva se abre hacia
arriba, por encima del eje x, con el foco F (- 3, 7), y eje
focal x = - 3.
1.) Expreso ejemplos prácticos del diario
vivir que puedan ilustrar la
representación de parábola:
________________________________
________________________________
________________________________
________________________________
2.) Interpreto el gráfico e indico
claramente la ecuación de la directriz:
________________________________
________________________________
3.) Escribo algunas coordenadas de la
forma (x, y) que pertenecen a la curva
de la parábola:
________________________________
________________________________
________________________________
________________________________
4.) Como líneas rectas, expreso la
característica de la directriz respecto al
eje focal:
________________________________
________________________________
Equipo Académico-Pedagógico Área de Matemáticas Colegios Arquidiocesanos de Cali Page 44
PROPÓSITO EXPRESIVO:
Que yo identifique, clasifique y construya las diferentes ecuaciones de una
parábola a partir de su definición como sección cónica, para poder planear y
resolver problemas cotidianos que involucren este tipo de figuras geométricas.
INDICADOR DE DESEMPEÑO:
Reconozco y comprehendo el concepto de geometría analítica, además
argumento, realizo construcciones, resuelvo problemas y aplicaciones de
geometría analítica en contextos de otras áreas del conocimiento.
Una parábola tiene su vértice en el origen, su eje focal es el eje x, y pasa por el
punto P (- 5,10), hallo su ecuación y realizo su representación gráfica.
Como el vértice es (0,0) y el eje focal es el eje x,
Entonces la ecuación de la parábola es de la
forma: =4px.
Puesto que la parábola pasa por el punto P (-5,10)
entonces sus coordenadas deben satisfacer la
anterior ecuación.
Por tanto: , entonces
Luego la ecuación de la parábola es: Como p es negativo, entonces la parábola aparece dibujada a la izquierda del origen.
Dada la parábola que tiene por ecuación y2 + 6x + 8y + 1 = 0 busco el vértice, el
foco, la ecuación de la directriz, la ecuación del eje y. Trazo el gráfico representativo.
Gráfico.
Como y2 + 6x + 8y + 1 = 0.
(y2 + 8y) = - 6x –1.
(y2 + 8y + 16) = - 6x – 1 + 16.
(y + 4)2 = - 6x + 15
(y + 4)2 = - 6 (x –
).
4,2
5
2
112/364
2
12
vaa
Equipo Académico-Pedagógico Área de Matemáticas Colegios Arquidiocesanos de Cali Page 45
Como el vértice es de la forma V (
, - 4), entonces la coordenadas del foco, se
expresará por F (
-
, - 4) = F (1, - 4).
La ecuación de la directriz, x =
+
= 4.
Ecuación del eje y, es y = 4.
Relaciono la ecuación general de la parábola dada en la izquierda, con su
correspondiente ecuación canoníca que se encuentra a la derecha.
Dada la ecuacion general de cada parábola, completo la tabla con sus elementos que se encuentran a la derecha.
Ecuación general Vértice V.
Foco F.
Ecuación de la directriz
(-3,
) Y =
(1, 2)
(
, - 3)
(1, 4)
(1, 0) Y = - 6
(4, 4)
A.) y2 – 4y – 8x + 20 = 0. ( ) 1. (x – 2)2 = 10 (y – 3).
B.) y2 – 2y + 2x – 1 = 0. ( ) 2. (y + 3)2 = 16 (x – 1).
C.) y2 + 6y – 16x + 25 = 0. ( ) 3. (y – 2)2 = 8 (x – 2).
D.) x2 – 6x + 12y + 21 = 0. ( ) 4. (x – 3)2 = - 12 (y + 1).
E.) x2 – 4x 10y + 34 = 0. ( ) 5. (y – 1)2 = 2 (x – 1).
F.) x2 – 6x – 12y + 21 = 0. ( ) 6. (y – 1)2 = - 2 (x – 1).
G.) x2 – 2x + 10y + 21 = 0. ( ) 7. (x – 3)2 = 12 (y – 1).
H.) x2 – 2x + 10y + 21 = 0. ( ) 8. (x – 1)2 = 10 (y – 2).
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Respondo las preguntas 1 a 3, de
acuerdo con la siguiente información.
Una parábola con vértice en el origen
V (0, 0), que se abre hacia la derecha y
eje de simetría el eje x, cuya ecuación
es de la forma y2 – 3x = 0.
1.) En la búsqueda de las coordenadas
del foco F, obtengo.
A.) F (-
, 0).
B.) F (
, 0).
C.) F (0, -
).
D.) F (0,
).
2.) La ecuación de la directriz, la
expreso por.
A.) x = 0.
B.) x =
.
C.) x = -
.
D.) x = - 3.
3.) Deduzco, que el valor de la longitud
del lado recto de dicha parábola, es
A.) 3.
B.) – 3.
C.)
.
D.) -
.
Contesto las preguntas 4 y 5,
teniendo en cuenta la siguiente
información. Se muestra la gráfica de
una parábola.
4.) Del análisis de la gráfica establezco
las siguientes afirmaciones:
I. El vértice está expresa por V (2.5, 4).
II. Ecuación de la directriz x = - 4.
III. El punto (1, - 7) pertenece a la curva
de la parábola.
De las afirmaciones son correctas
A.) la I y II.
B.) la III únicamente.
C.) la I y III.
D.) la II únicamente.
5.) Las coordenadas del foco, y la
ecuación del eje y respectivamente son
A.) F (1, - 4), La ecuación y = 4.
B.) F (1, 4), La ecuación y = - 4.
C.) F (1, - 4), La ecuación y = - 4.
D.) F (- 4, 1), La ecuación y = 4.
Respondo las preguntas 6 y 7 de
acuerdo a la siguiente situación: El
vértice de una parábola es el centro de
la circunferencia cuya ecuación es de la
forma ,
además la parábola tiene como
coordenadas del foco F (- 2, 0).
6.) Las coordenadas del vértice, son
A.) V (- 2, 1).
B.) V (2, 1).
C.) V (1, 2).
D.) V (1, - 2).
7.) En la búsqueda de la ecuación de la
parábola, se obtiene de la forma
A.) x2 + 4x + 4y + 8 = 0.
B.) x2 + 4x - 4y + 8 = 0.
C.) x2 - 4x + 4y = 0.
D.) x2 + 4x + 4y - 8 = 0.
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GUÍA – TALLER N° 11
Semana número 11 del ___ al ___ de____________________ de 20___ (4 horas / semana)
FASE AFECTIVA
ACTIVIDAD DE MOTIVACIÓN
ÓRBITAS ELÍPTICAS
Es posible que creas que la mayoría de los objetos que orbitan alrededor de algo se
muevan en círculos, pero este no es el caso. Aún cuando los objetos siguen órbitas
circulares, la mayoría de las órbitas tienen forma de círculos u óvalos "estirados hacia
afuera". A esta forma ovalada, los matemáticos y astrónomos la llaman, elipse. Todos
los planetas de nuestro sistema solar, gran cantidad de satélites, y la mayoría de las
lunas, se desplazan a lo largo de órbitas elípticas.
Una elipse puede ser muy larga y delgada, también puede ser bastante redonda -casi
como un círculo. Para describir cuán redonda y "estirada hacia afuera" es una elipse,
los científicos se refieren a ella con el término especial, "excentricidad". Si la
excentricidad de una elipse se encuentra cerca de 1 (como 0.8 ó 0.9), la elipse es larga
y delgada. Si la excentricidad está cerca de cero, entonces la elipse es casi un círculo.
La Tierra se mueve alrededor del Sol en una órbita elíptica. La órbita de la Tierra es
prácticamente un círculo perfecto, ¡su excentricidad es de sólo 0.0167! Plutón tiene la
órbita menos circular de todos los planetas del sistema solar. La órbita de Plutón tiene
una excentricidad de 0.2488.
PROPÓSITO EXPRESIVO:
Que yo identifique, clasifique y construya las diferentes ecuaciones de una elipse a partir de su definición como sección cónica, para poder plantear y resolver problemas cotidianos que involucren este tipo de figuras geométricas.
INDICADORES DE DESEMPEÑO:
Resuelvo y propongo estrategias en la solución de problemas trigonométricos
que involucren las razones trigonométricas, para obtener conclusiones acerca
del fenómeno estudiado los cuales tienen relación con situaciones cotidianas.
Reconozco y comprehendo el concepto de geometría analítica, además
argumento, realizo construcciones, resuelvo problemas y aplicaciones de
geometría analítica en contextos de otras áreas del conocimiento.
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La Elipse es el lugar geométrico de los puntos P (X, Y), cuya suma de distancias a dos
puntos fijos F’, y F es constante. Los puntos fijos se llaman focos. (Observo el gráfico).
Sean los dos puntos fijos F (c, 0) y F’ (- c, 0), y 2a la suma constante, (a c), P(x, y)
punto de la elipse, luego por definición F’P + PF = 2a.
Es decir: + = 2a.
Luego: = 2a - .
Elevo al cuadrado y reduzco términos semejantes, cx – a2 = - a .
Por tanto, elevo al cuadrado nuevamente y simplifico, (a2 – c2).x2 + a2y2 = a2 (a2 – c2).
Ahora divido por a2 (a2 – c2), y resulta:
+
= 1.
Como a c, entonces (a2 – c2) es positivo, y si lo hago igual a b2, es decir a2 – c2 = b2.
Entonces resulta la ecuación de la elipse:
+
= 1.
Otra manera de expresar la ecuación, sería: b2x2 + a2y2 = a2b2.
OBSERVACIÓN: Como la ecuación sólo contiene potencias pares de x e y, la curva es
simétrica con respecto a los ejes de coordenadas x e y, y con respecto al origen (0, 0),
el punto “0” es el centro de la elipse y los ejes se denominan eje mayor y eje menor.
Si los focos fueran los puntos de coordenadas (0, c) y (0, - c), el eje mayor estaría sobre
el eje y, con lo que la ecuación resulta de la forma:
+
= 1.
La excentricidad e =
=
, también puede suceder que c = e.a.
Como toda elipse tiene dos focos, también tendrá dos directrices, por tanto las
ecuaciones de las directrices D’D’ y DD son respectivamente: x +
= 0, y x -
= 0.
Si los focos estuvieran sobre el eje y, las ecuaciones de las directrices sería de la forma
y +
= 0, y y -
= 0.
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Se denomina longitud del lado recto de la elipse a la cuerda perpendicular al eje mayor
por uno de los focos, y se calcula con la expresión:
. Los puntos en los cuales la
elipse corta al eje mayor, se llaman vértices.
Si el centro de la elipse es C (h, k) y el eje mayor tiene la dirección del eje x, la ecuación
de la elipse es de la forma:
+
= 1.
Cuando el eje mayor es paralelo al eje y, resulta:
+
= 1.
Luego la forma general de la ecuación de la elipse, es: Ax2 + By2 + Dx + Ey + F = 0, siempre que A y B sean del mismo signo.
1.) Con la ecuación de la elipse de la forma 9x2 + 16y2 – 576 = 0, determinaré: 1)
semiejes. 2.) la excentricidad. 3.) las coordenadas de los focos. 4.) las ecuaciones de
las directrices. 5.) la longitud del lado recto.
Organizo la ecuación dada: 9x2 + 16y2 = 576.
Divido entre 576, entonces:
+
= 1. Por lo que resulta a = 8 semieje mayor, y b = 6
semieje menor. La excentricidad e =
=
=
=
=
=
; e =
.
Como c = , entonces c = = = = = 2 , c = 2 .
Las coordenadas del foco: (2 , 0) y (- 2 0).
Ecuaciones de las directrices: x =
=
,
y la longitud del lado recto
=
= 9.
2.) Encuentro la ecuación de la elipse de centro el origen, foco F (0, 4) y semieje mayor
igual a 6.
Como el foco es F (0, 4), entonces c = 4, y a = 6 semieje mayor, por tanto
b = = = = = 2 .
Al aplicar la expresión
+
= 1, luego la ecuación es:
+
= 1,
Es decir:
+
= 1
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Respondo las preguntas 1 a 3 si
tengo una elipse de centro el origen
C (0, 0), foco en el punto F (- 3, 0) y
semieje menor igual a 4.
1.) El valor del semieje mayor de la
elipse, es
A.) – 4. B.) 5. C.) – 5. D.) 4.
2.) La ecuación de la elipse es de la
forma:
A.)
+
= 1. B.)
+
= 1.
C.)
+
= 1. D.)
+
= 1.
3.) Al hacer el esquema correspondiente
del gráfico de la elipse, concluyo que
A.) pasa por los puntos ( 4, 0), (0, ).
B.) pasa por los puntos ( 3, 0), (0, ).
C.) pasa por los puntos ( 4, 0), (0, ).
D.) pasa por los puntos ( 4, 0), (0, 0).
Teniendo en cuenta la siguiente situación: “Una elipse de centro el origen, eje mayor sobre el eje x, y pasa por los puntos (4, 3), Y (6, 2)”, doy solución a las preguntas 4 y 5.
4.) Los valores que toman los semiejes son:
A.) semieje mayor a = , semieje
menor b = .
B.) semieje mayor a = - , semieje
menor b = - .
C.) semieje mayor a = 52, semieje menor b = 13.
D.) semieje mayor a = - 52, semieje menor b = - 13.
5.) La ecuación de la elipse está representada en la forma.
A.)
+
= 1. B.)
+
= 1.
C.)
+
= 1. D.)
+
= 1.
Para determinar la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuya distancia al punto (4, 0) es igual a la mitad de la correspondiente a la recta de la forma x – 16 = 0, busco la solución de las preguntas 6 y 7.
6.) La ecuación de la elipse la expreso por
A.)
+
= 1. B.)
+
= 1.
C.)
+
= 1. D.)
+
= 1.
7.) El valor de los semiejes mayor “a”, y el semieje menor “b”, son:
A.) a = 8, b = 4 .
B.) a = 64, b = 48.
C.) a = 8, b = 48.
D.) a = 64, b = 4 .
8.) Una elipse cuya ecuación es de la forma 4x2 + 9y2 – 48x + 72y + 144 = 0, con semiejes 6 y 4. Su ecuación, y el centro, son:
A.)
+
= 1. Ecuación.
(- 6, 4) Centro.
B.)
+
= 1. Ecuación.
(6, 4) Centro.
C.)
+
= 1. Ecuación.
(6, - 4) Centro.
D.)
+
= 1. Ecuación.
(6, - 4) Centro.
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GUÍA – TALLER N° 12
Semana número 12 del ___ al ___ de_____________________ de 20___ (4 horas / semana)
FASE AFECTIVA
ACTIVIDAD DE MOTIVACIÓN
LENGUAJE EN MATEMÁTICAS
La ley de Boyle establece que el volumen V de un gas es inversamente proporcional a
la presión, suponiendo que la masa y la temperatura son constantes.
Si denotamos con P a la presión y con V al volumen, resulta la expresión de la forma
PV = k, siendo k constante.
♥ Trazo el gráfico correspondiente de P en función de V, teniendo en cuenta que
15mm3 de gas están a presión de 400kPa a temperatura constante.
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
PROPÓSITO EXPRESIVO:
Que yo identifique, clasifique y construya las diferentes ecuaciones de una
hipérbola a partir de su definición como sección cónica, para poder planear y
resolver problemas cotidianos que involucren este tipo de figuras geométricas.
INDICADOR DE DESEMPEÑO:
Reconozco y comprehendo el concepto de geometría analítica, además
argumento, realizo construcciones, resuelvo problemas y aplicaciones de
geometría analítica en contextos de otras áreas del conocimiento.
Resuelvo y propongo estrategias en la solución de problemas trigonométricos que
involucren las razones trigonométricas, para obtener conclusiones acerca del fenómeno
estudiado los cuales tienen relación con situaciones cotidianas.
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DEFINICIÓN
La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancias a los
puntos fijos F (c, 0) y F’ (- c, 0) es constante e igual a 2a.
La ecuación estándar de la hipérbola es de la forma:
-
= 1. Con centro C (0, 0),
Focos F (c, 0), y F’ (- C, 0), Ecuación de las asíntotas: y =
x, cuando el eje real o
transversal es el eje x.
Si los focos fueran F (0, c), y F’ (0, - c), la ecuación sería de la forma:
-
= 1.
Ahora cuando el centro es C (h, k), la ecuación es:
–
= 1, con a 0, b 0,
c = . Focos: F ( h + c , k ), y F’ ( h – c , k ).
Vértices: V ( h + a , k ), y V’ ( h – a , k ). Ecuación del eje focal: y = k.
Ecuación del eje normal: x = h. Distancia focal: 2c. Longitud del lado recto:
Centro C (h, k). Ecuación de las directrices: x = h
. Longitud del eje conjugado: 2b.
Ecuación de las asíntotas: y = k
. Longitud del eje transverso: 2a.
Excentricidad: e =
> 1.
Ecuación general: A x 2 + C y 2 + D x + E y + F = 0.
( A > 0 C < 0 A E 2 + C D 2 – 4 A C F < 0 ), h =
, k =
.
Por último: CA
FCADCEAa
2
22
4
4–
2
2
22
4
4––
CA
FCADCEAb
2
MODELACIÓN
Dados los focos y los vértices de una hipérbola con: F (5, 0), F’ (-5, 0), V (4, 0),
V’ (-4,0), respectivamente.
Calculo la ecuación de la hipérbola y realizo la construcción gráfica e indico las
asíntotas.
Como los focos están sobre el eje x, la ecuación de la hipérbola es de la forma:
12
2
2
2
b
y
a
x
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En este caso: a = 4; c = 5, de donde 31625 b .
En consecuencia, la ecuación de la hipérbola es de la forma: 1916
22
yx
Gráfico representativo:
En este caso, analizaré la hipérbola cuya ecuación es de la forma:
-
= 1.
De la ecuación se obtiene: a2 = 49, b2 = 25, por tanto a = 7, y b = 5, luego c2 = 49 + 25,
entonces c = .
Focos: F ( , 0), y F’ (- , 0). Vértices: V (7, 0), y V’ (- 7, 0).
Respondo las preguntas 1 y 2,
teniendo en cuenta la siguiente
situación: La hipérbola de centro el
origen C (0, 0), eje real sobre el de
coordenadas x, y pasa por los puntos de
la forma P (4, 6), y Q (1, - 3).
1.) Los valores de “a” y “b”
respectivamente, son
A.)
, y 2. B.) 2, y
.
C.)
, y 2. D.) 2, y
.
2.) La ecuación correspondiente es de la
forma:
A.)
-
= 1. B.)
-
= 1.
C.)
-
= 1. D.)
-
= 1.
Hallo adecuadamente las
coordenadas de los vértices, las
coordenadas de los focos, las
ecuaciones de las directrices.
Las ecuaciones de las asíntotas para la
hipérbola 18x2 – 32y2 – 200 = 88.
3.) Las coordenadas de los vértices y
los focos respectivamente, son:
A.) (0, 4), (0, - 4); y (0, 5), (0, - 5).
B.) (4, 0), (- 4, 0); y (5, 0), (- 5, -0).
C.) (4, - 4), (0, 0); y (0, 5), (0, - 5).
D.) (4, 0), (- 4, 0); y (0, 0), (5, - 5).
4.) Las ecuaciones de las directrices y
las ecuaciones de las asíntotas
respectivamente, son:
A.) directrices x =
. Asíntotas: y =
x.
B.) directrices x =
. Asíntotas: y =
x.
C.) directrices x =
. Asíntotas: y =
x.
D.) directrices x =
. Asíntotas: y =
x.
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1.) Si la hipotenusa de un triángulo
rectángulo, con ángulos interiores de
60°, 30°, y 90°, mide 9 m.
A.) Deduzco que la medida de los
catetos, es 4 m, y 4 m.
B.) Deduzco que la medida de los
catetos, es 4 m, y 4 m.
C.) Deduzco que la medida de los
catetos, es 4 m, y 4 m.
D.) Deduzco que la medida de los
catetos, es 4 m, y 4 m.
2.) Un árbol de 10,26 m de alto,
proyecta una sombra de 2,85m en una
determinada hora del día. El valor del
ángulo de elevación ∂ del sol en ese
momento, será:
A.) ∂ = 70° 30’ 40’’.
B.) ∂ = 74° 28’ 33.2’’.
C.) ∂ = 75°.
D.) ∂ = 45°.
Respondo las preguntas 3 y 4,
teniendo en cuenta la siguiente
información: Dados los puntos de la
forma P (- 2, - 3) se localiza en el III
cuadrante, y Q (- 3, 4) en el I cuadrante.
3.) La distancia d (P, Q), es
A.) 5. Unidades.
B.) 5 Unidades.
C.) Unidades.
D.) 2 Unidades.
4.) El punto medio de PQ, es
A.) (
, -
).
B.) (5, 2).
C.) (-
,
).
D.) (- 5, - 2).
5.) El valor de la constante k que
aparece en la ecuación explícita de la
forma Y =
X + 3, para que pase por el
punto A (- 2, 1), es:
A.) – 6. B.) 6.
C.) -
. D.) -
.
6.) La ecuación de la recta que pasa por
(2, 3) y es paralela a la recta que une
los puntos (4, 1), y (- 2, 2), es:
A.) x + 6y + 20 = 0. B.) x – 6y – 20 = 0.
C.) x + 6y – 20 = 0. D.) x – 6y + 20 = 0.
7.) La recta que pasa por el punto
P (- 4, 3) y que es perpendicular a la
recta de la forma 2x + 3y = 1, tiene por
ecuación:
A.) 3x - 5y – 17 = 0.
B.) 3x + 5y + 17 = 0.
C.) – 3x + 5y – 17 = 0.
D.) – 3X + 5y + 17 = 0.
Respondo las preguntas 8 y 9,
teniendo en cuenta la siguiente
información: Dada una circunferencia
donde uno de sus diámetros tiene el
segmento de recta que une los puntos
(4, 1) y el punto (2, - 7).
8.) Al calcular el centro de la
circunferencia C (h, k), se concluye que
es
A.) C (- 3, - 3).
B.) C (3, 3).
C.) C (3, - 3).
D.) C (- 3, 3).
9.) La ecuación general de la
circunferencia, se expresa por:
A.) x2 + y2 – 6x + 6y + 50 = 0.
Equipo Académico-Pedagógico Área de Matemáticas Colegios Arquidiocesanos de Cali Page 55
B.) x2 + y2 – 6x + 6y - 50 = 0.
C.) x2 + y2 + 6x + 6y - 50 = 0.
D.) x2 + y2 –6x - 6y - 50 = 0.
Dada la parábola de ecuación con
forma y2 + 6y – 4x = 3, se puede deducir
en las preguntas 10 a 12.
10.) Las coordenadas del vértice V es
A.) V (3, - 3).
B.) V (- 3, 3).
C.) V (- 3, - 3).
D.) V (3, 3).
11.) Las coordenadas del foco de la
parábola es
A.) F (- 2, - 3). B.) F (- 2, 3).
C.) F (2, 3). D.) F (2, - 3).
12.) La ecuación de la directriz es
A.) x =
.
B.) x = -
.
C.) y =
.
D.) y = -
.
Respondo las preguntas 13 a 15; si
tengo una elipse de centro el origen
C (0, 0), uno de los focos en el punto
F (0, 4) y semieje mayor igual a 5.
13.) El valor del semieje menor de la
elipse es
A.) – 4. B.) 5. C.) – 5. D.) 4.
14.) La ecuación de la elipse es de la
forma:
A.)
+
= 1. B.)
+
= 1.
C.)
+
= 1. D.)
+
= 1.
15.) Al hacer el esquema
correspondiente del gráfico de la elipse,
concluyo que
A.) pasa por los puntos ( 4, 0), (0, ).
B.) pasa por los puntos ( 3, 0), (0, ).
C.) pasa por los puntos ( 4, 0), (0, ).
D.) pasa por los puntos ( 4, 0), (0, 0).
Respondo las preguntas 16 y 17,
teniendo en cuenta la siguiente
situación: La hipérbola de centro el
origen C (0, 0), eje real sobre el de
coordenadas “x”, y pasa por los puntos
de la forma A (4, 6), y B (1, - 3).
16.) Los valores de “a” y “b”
respectivamente son
A.)
, y 2. B.) 2, y
.
C.)
, y 2. D.) 2, y
.
17.) La ecuación correspondiente es de
la forma:
A.)
-
= 1. B.)
-
= 1.
C.)
-
= 1. D.)
-
= 1.
18.) La ecuación de la circunferencia de
centro C (0, 5) y radio r = 5 es de la
forma:
A.) x2 + y2 + 10y = 0.
B.) x2 + y2 - 10y = 0.
C.) x2 - y2 + 10y = 0.
D.) x2 + y2 – 10x = 0.
19.) Si tengo la ecuación de una elipse,
así: 9x2 + 16y2 – 36x + 96y + 6 = - 30,
deduzco que:
A.) las coordenadas del centro es (2, 3).
B.) las coordenadas del centro es (2, -3)
C.) las coordenadas del centro es (-2, 3)
D.) las coordenadas del centro es (2, 3).