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Contenidos y sub-contenidos

q Definición de perímetro, área y polígono. q Polígonos regulares e irregulares. q Área de un polígono regular. q Polígonos inscrito y circunscrito. q Aplicaciones.

Analicemos lo siguiente:

AHORA RECORDEMOS ALGUNAS DEFINICIONES

El perímetro de una figura plana es la suma de las longitudes de sus lados. Esa suma representa una medida de longitud. Por ello, las unidades utilizadas son el metro y todos sus múltiplos y submúltiplos.

Por ejemplo: Calcular el perímetro de la siguiente figura:

P = (1.5 + 2.5 + 3 + 2)cm = 9 cm

El área de una región cualquiera es el número que indica cuantas veces una unidad cuadrada de área está contenida en la región.

1U

1U

Unidad cuadrada de área ( U2)

CONCEPTOS DE AREA

ÁREA

El área de una figura plana es la medida de la superficie que ocupa. Normalmente, para medir las superficies se utiliza el metro cuadrado. El metro cuadrado (m2) es la cantidad de superficie que ocupa un cuadrado de 1 metro de lado.

ÁREA DE UN RECTÁNGULO

1 cm2

base

altura

base=2

altura=4

Área de rectángulo = (base) (altura) = b⋅h

Área = (2cm)(4cm) = 8cm2

ÁREA DE UN CUADRADO

base

altura

base=3

Área de cuadrado = (base) (altura) = (lado) (lado) = l2

Área = (3cm) (3cm) = 9 cm2

1 cm2

ÁREA DE UN PARALELOGRAMO CUALQUIERA

Al suprimir en el paralelogramo el triángulo de la izquierda y ponerlo a la derecha, se convierte en un rectángulo. Luego:

base

Área del paralelogramo = (base) (altura) = b⋅h

altura

ÁREA DE UN ROMBO

DIAGONAL MENOR: d

D

Si observas, el área del rombo es la mitad del área del rectángulo.

DIAGONAL MAYOR: D

Área del rombo = 2

Dd2

menor)gonalmayor)(dia(diagonal=

ÁREA DE UN TRIÁNGULO

altura base base

altura

Tenemos un triángulo de base b y altura a. Le adosamos otro igual y se obtiene un paralelogramo. Por tanto, el área del triángulo es la mitad del área del paralelogramo.

ÁREA DE UN TRAPECIO

Tenemos un trapecio de base mayor B, base menor b y altura h. Si le adosamos otro igual se obtiene un paralelogramo de base B+b y altura h.

2)(

2)( hbBhmenorbasemayorbase +=

+

Base menor = b

Base mayor = B

altura = h

Base = b + B

altura = h

Área del trapecio =

Recordemos los principales aspectos de un polígono:

Un polígono es una figura plana compuesta por una secuencia finita de segmentos rectos consecutivos que cierran una región en el espacio.

POLÍGONOS REGULARES

Un polígono es regular si sus lados y ángulos interiores son congruentes entre sí. Entre ellos tenemos:

POLÍGONOS IRREGULARES

Un polígono es irregular si sus lados no son de igual longitud y/o sus vértices no están contenidos en una circunferencia

ÁREA DE UN POLÍGONO REGULAR

Si el polígono es regular, se puede descomponer en tantos triángulos como lados tiene el polígono. Observa:

lado = l

apotema = a

Si n es el número de lados, el área del polígono regular es n veces el área del triángulo que se forma. Luego:

2))((

2))(( apotemaPerímetroapotemaladovecesn =

Calcular el área de los siguientes polígonos regulares, siendo sus unidades en cm y pulgadas respectivamente:

EJEMPLO 1:

POLÍGONO INSCRITO: Un polígono está inscrito en una circunferencia si todos sus vértices están contenidos en ella.

POLÍGONO CIRCUNSCRITO: Un polígono está circunscrito en una circunferencia, si todos sus lados son tangentes a la circunferencia.

Determinar el área del cuadrado inscrito en una circunferencia de longitud 18.84 m.

EJEMPLO 2:

( )

(:es cuadrado del

área el tanto, por radio, el veces doses cuadrado del diagonal la Pero

:nciacircunfere la de Longitud

2222

182

362)6

2

328.684.18

14.3284.18

2

2

mmmDA

mmmr

Lr

rL

====

===

=

=

π

π

Acuadrado =l2 Acuad =(6cm)2 =36cm2 Acírculo =πr2

Acír = π(1cm)2

Acír = πcm2

Asombreada= Acuadrado- Acírculo Asomb=36cm2 - πcm2

Asomb= 32.8cm2

EJEMPLO 3: El lado del cuadrado es 6 cm. Calcular el área de la región sombreada.

En la figura, el perímetro del cuadrado es 4√2  cm, ¿cuál es el área de la superficie sombreada?

EJEMPLO 4:

( ) ( )

( ) ( ) 222

22

222

14.121

12422

2424

2444

cmcmcmA

lrAAAcmr

cmcmcmcmD

cmcml

cmllP

sombr

cuadradocírculosombr

cuadrado

=−=

−=−=

=

==+=

==

=⇒=

π

π : y ,Finalmente

:tiene se Pitágoras por tanto porcuadrado, del diagonal la con coincide

nciacircunfere la de diámetro el Pero