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MATEMÁTICA
ACADEMIA PITÁGORAS EXAMEN DE ADMISIÓN 2015-IUNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA
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MATEMÁTICA
01. Sea el número E = 22001 + 32001.Calcule el residuo de dividir E entre 7.A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4
02. ¿Cuántos números de la forma son primos?(4a3)(3b)(4a3)
A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5
03. En la expresión siguiente, b0
0,a - 0,b = 0,4bÐ
aÐ
4Ñ
Entonces la suma de todos los valores
posibles de 0,a que satisfacen labÐ
ecuación anterior es:
A) 0,6 B) 1,3 C) 2,11Ð
3Ð
6Ð
D) 3,1 E) 4,11Ð
6Ð
04. Se tiene la siguiente igualdad:(9)(aaa1(9))
1/3 1(a2)Entonces podemos decir que elconjunto.
{a {1, 2, 3, ...., 8} / existe}(aaa1(9))1/2
A) No posee elementos B) Posee un solo elementoC) Posee dos elementos D) Posee tres elementos E) Posee cuatro elementos
05. Semanalmente, un trabajador ahorracierta cantidad en soles, y durante 40semanas ahorra las siguientescantidades:
21 35 29 31 23 22 28 33
28 25 31 26 24 27 27 33
37 29 19 36 23 18 46 12
26 41 30 18 39 15 24 4
25 33 10 28 20 27 17 31
Se construye una tabla de frecuenciasde 7 intervalos de igual longitud fijaA. Si F5 es la frecuencia acumuladadel quinto intervalo (ordenados losextremos de los mismos de formacreciente), determine el valor de(A+F5) - 1.A) 30 B) 32 C) 37D) 38 E) 39
06. Indique la alternativa correcta despuésde determinar si cada proposición esverdadera (V) o falsa (F) según elorden dado:( ) Sean A B C D, entonces la
probabilidadP(D) = P(D\A) + P(C\A) + P(B\A) + P(A)
( ) Se lanzan dos dados normales,entonces la probabilidad que su
suma sea 7 es .12
( ) Se lanzan dos dados normales,uno cada vez, entonces laprobabilidad de que salga 3 dado
que antes salió 1 es .136
A) VVV B) VFV C) FVVD) FFV E) FFF
07. Sabiendo que K = = yab(4) cd(5)
a+b+c+d = 11 en el sistema decimal
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con a 0, c 0. Determine K en elsistema decimal.A) 14 B) 23 C) 32D) 41 E) 51
08. Se sabe que en una división entera eldivisor en 50 y el residuo es 15.¿Cuántas unidades como mínimo sele debe disminuir al dividendo, paraque el cociente disminuya en 13unidades?A) 614 B) 615 C) 616D) 617 E) 618
09. En el primer cuadrante del plano seforma el conjunto A con los puntos concoordenadas enteros positivos, estoes:
A = {(m, n) / m , n }A cada punto (m, n) de A se le asigna
el valor . Calcule la suma de12mn
todos los valores de los puntos (m, n)de A con coordenadas m n.
A) B) C) 113
23
D) 2 E) +
10. Si S es el conjunto solución de lainecuación:
|x1| |x2| < 2se afirma:I. <1/4; +> SII. S <1/3; +>III. S <-; 1/2> Φ¿Cuáles son afirmaciones correctas?A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo IIID) I y II E) lI y III
11. Respecto a la función f(x) = |x| - x,indique la secuencia correcta,
después de determinar si laproposición es verdadera (V) o falsa(F).I. f(x + y) f(x) + f(y); x, y II. Si hacemos g(x) = x2 - 2x - 3
entonces el conjunto solución deg(x) = f(x) es 3; 3
III. Si hacemos h(x) = x2 - 3x + 5entonces el conjunto solución deh(x) = f(x) es vacío.
A) VFV B) VFF C) VVVD) FVV E) FVF
12. Indique el intervalo al cual perteneceel valor de m, para que la inecuación:
4x4x 2
x 2x1< m
se cumpla para todo x
A) ; 133
B) <1; ->C) <2; +>D) <3; 9>E) <5; +>
13. Sea una función f: <0; +> quecumple f(a + b) = f(a).f(b) a, b .Calcule el valor de f(a).f(-a)A) -1 B) 0 C) 1D) 2 E) 3
14. Considere la siguiente función f: definida por f(x) = ax2 + bx + c, a > 0,b > 0. Si f(0) = 2 y Rang(f) = [b; +>,determine el siguiente valor:
M = 8ab 2
abA) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5
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15. Sea f una función cuya regla decorrespondencia está dada por:
f(x) = loga (x x 21)Encuentre su función inversa.
A) ax + a-x B) C) ax - a-xa xa x
2
D) E) a xa x
2a x
2
16. Si A es una matriz invertible, despejela matriz X a partir de la expresión.
(AX)1 t 0,5 B 1
A) X = 0,5 A-1Bt
B) X = 0,5 BtA-1
C) X = 2A-1BD) X = 2B-1At
E) X = 2A-1Bt
17. Determine el conjunto solución delsistema de ecuaciones no lineales:
x 2y 22x2y 1 0x 22xy1 0
A) {(3, 1), (1, 1), (-1, -1)}B) {(2, -2), (2, 1), (1, 1)}C) {(-1, 0), (1, 1), (1, 2)}D) {(1, 0), (0, 1), (2, 1)}E) {(1, -1), (1, 0), (2, -1)}
18. Un granjero tiene 480 acres de tierraen la que puede sembrar maíz o trigo.Él calcula que tiene 800 horas detrabajo disponible durante la estaciónde verano. En el caso del maíz, eltrabajo demora 2 horas por acre y seobtiene una utilidad de S/. 40 por acre,mientras que en el trigo el trabajo esde 1 hora por acre y la utilidad es deS/. 30 por acre. ¿Cuántos acres demaíz y trigo debe plantar,
respectivamente, para maximizar suutilidad?A) (160, 320) B) (140, 340)C) (340, 140) D) (320, 160)E) (180, 300)
19. Considere la sucesión:
1, 122
, 132
, ...., 1n 2
, ...
Determine el menor valor de n , demodo que se cumpla:
1n 2
< 1 × 107
A) 2 081 B) 2 091 C) 2 991D) 3 001 E) 3 163
20. Halle el menor grado del polinomioxn + ax + b, a 0, (n > 1) para quex2 - 1 sea un divisor.A) 2 B) 3 C) 4D) 5 E) 6
21. El punto P se encuentra situado sobrela altura de un tetraedro regular delado a. Si P equidista de cada vértice,calcule esta distancia.
A) B) C) a 34
a 23
a 33
D) E) a 64
a 22
22. Un vaso de forma de prisma rectoexagonal con diagonal mayor de labase que mide 6 cm, contiene agua “altiempo”. Para enfriarla se coloca uncubo de hielo y se observa que el niveldel agua sube 2 cm. Calcule lalongitud de la arista del cubo de hielo(en cm).
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A) 3 B) C) 36
3 34
3
D) E) 33
3 3 3
23. En un cilindro de revolución de 5 cmde altura se inscribe un paralelepípedorectangular con superficie lateral de250 cm2. Una de sus aristas, ubicadaen la base del cilindro, mide 16 cm.Calcule la razón (en cm) entre elvolumen y el área lateral del cilindro.
A) B) C) 3374
3372
3374
D) E) 3372
337
24. En la Panamericana cerca de Casmase ha formado una duna en forma detronco de cono de revolución. Laslongitudes de las circunferencias son4π m y 2π m. Ver figura. Halle elvolumen de la duna en metroscúbicos.
A) 3π B) 5π C) 7πD) 10π E) 11π
25. En un tronco de cono de revolución elradio de la base mayor es el doble delradio de la base menor. Si el volumendel tronco de cono es 336π cm3 y elradio de la base menor es 6 cm,
entonces el volumen de una esferatangente a las bases del tronco decono (en cm3) es:
A) π B) π C) π303
313
323
D) π E) π333
343
26. En una pirámide cuadrangular regularla arista básica mide 8 u y su alturamide 15 u. ¿A qué distancia (en u) dela base de la pirámide se debe trazarun plano paralelo a dicha base, paraque el volumen del prisma recto, quetiene por base a dicha sección y poraltura la distancia de la sección al
vértice de la pirámide, sea los del38
volumen de la pirámide?
A) 9,5 B) 8,5 C) 7,5D) 6,5 E) 5,5
27. En el gráfico AB = AD = DC, calcule α(en grados).
A) 8 B) 9 C) 10D) 12 E) 13
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28. En la figura las circunferencias tienenradios r = 3 u y R = 6 u,respectivamente, C es punto detangencia y D es centro. Calculeproducto DA.DB (en u2)
A) 18 B) 24 C) 30D) 36 E) 40
29. En la figura se muestra el triángulorectángulo ABC recto en B. SiAB = 5 cm y AD = 3 cm, entonces lamedida (en cm) del segmento es:EF
A) 2,14 B) 2,16 C) 2,25D) 2,56 E) 2,82
30. En la siguiente figura, I es el incentrodel triángulo ABC, BI = 6 u, DE = 1 u.Calcule BE (en u)
A) 8 B) 9 C) 10D) 11 E) 12
31. En la figura AC = CD, AD = 6 u y área(∆BCD) = r (área ∆ABD). Halle r.
A) 1 + B) 2 + C) 2 - 3 3 3D) 1 + 2 E) 2 - 13 3
32. ABCD es un cuadrado y desde sucentro O se traza un segmento OEperpendicular al plano ABC, siOE = AB entonces la medida deldiedro E - DC - B es:
A) ArcTg 12
B) ArcTg(1)
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C) ArcTg 32
D) ArcTg(2)
E) ArcTg 52
33. Si x entonces determineπ, 3π2
los valores de y = 4 - 9 Csc2 x 2π3
A) <-, -12> B) <-, -11> C) <-, -10>D) <-, -9> E) <-, -8>
34. Al simplificar la expresión:
k = (1Sen(2x))Cos 2 π3x Cos 2 π
3x
32
se obtiene:
A) - Cos2(2x)32
B) Sen2(2x)32
C) - Sec(2x)32
D) Csc(x)32
E) 32
35. Si x y0, π2
= Tg , calcule el1Sen(x)1Sen(x)
xaπ2a
valor de (a2 + 1).
A) 2 B) 3 C) 4D) 5 E) 6
36. Sea la función f(x) = x 3
ArcTg(x)xDadas las siguientes proposiciones:I. La función f es imparII. Si x Dom(f), entonces
-x Dom(f)III. La gráfica de f corta a la curva
y = x2
Son correctasA) Sólo I B) Sólo IIC) Sólo III D) I y IIE) II y III
37. Si ABCD es un cuadrado de lado 2 u yT es un punto de tangencia, entoncesel área sombreada (en u2) es igual a:(O centro de la circunferencia quepasa por A, T y D)
A) 0,57 B) 0,68 C) 0,79D) 0,81 E) 0,92
38. En todo triángulo ABC la suma de loscuadrados de sus lados es igual a:K(bcCosA + acCosB + ab CosC)donde K vale:
A) B) C) 114
12
D) 2 E) 4
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39. Al resolver la ecuación:Sen(2x) - 12(Sen(x) - Cos(x)) + 12 = 0
obtenemos como soluciones:A) kπ , k Z
B) 2kπ y , k Zk 12π
C) 2kπ y kπ, k Z
D) (2k + 1)π y π , k Z2k 12
E) (3k + 1)π y , k Zk 12π
40. Del gráfico mostrado, el resultado de:E = Tgθ + Tgβ + TgΦ, es:
A) -4 B) -2 C) 0D) 2 E) 4
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RESOLUCIÓN
01. 23= +122001=(23)667=( +1)667= +17o
7o
7o
33 = -132001=(33)667 = ( -1)667= -17o
7o
7o
E = ( +1)-( -1) = 7o
7o
7o
Resto = 0
Rpta. A
02.
Luego, son primos:
101; 131; 151; 181; 191; 313; 353;373; 757; 797; 919 y 929
Hay 12 números NO HAY CLAVEObservación: Suponiendo que a y bson enteros, los números primos son:101; 131 y 191 Hay 3 números
Rpta. C
03. 0,a - 0,b = 0,4 ; b 0bÐ
aÐ
4Ð
8a - 8b = 40a - b = 5� �
6 17 28 39 4
0,6 + 0,7 + 0,8 + 0,9 = 3,11Ð
2Ð
3Ð
4Ð
1Ð
Rpta. D
04. 1/3 = ; a + 2 < 9aaa19 1(a2)9
( +1) = ( +a+2)39o
9o
Verificando la igualdad, sólo cumplepara a = 5
El conjunto posee un elemento
Rpta. B
05. De acuerdo a la tabla:
A = =6427
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Entonces:
Ahorro[Li; Ls>
Número desemanas
fi
4; 10 1
10; 16 3
16; 22 6
22; 28 12
28; 34 12 F5=34
34; 40 4
40; 46 2
A + F5 - 1 = 39
Rpta. E
06. I. Falso
A B C DP(D\A) = P(D) - P(A)P(D\A) + P(A) = P(D)P(C\A) 0 P(B\A) 0
| P(D\ A) + P(C\ A) + P(B\A) + P(A) P(D)
II. Falso: se lanzan dos dados n() = 6 × 6 = 36
A : La suma es 7 n(A) = 6
Luego:
P(A) = =636
16
III. FalsoSean los eventos:A: En el 2do dado salió 3B: En el 1er dado salió 1
P(A/B) = = = P(AB)P(B)
1366
36
16
Rpta. E
07. K = (4) = (5)ab cda + b + c + d = 11
Se cumple:
Para: K = 14 = 32(4) = 24(5)Obs: a + b + c + d = 3 + 2 + 2 + 4 = 11 K = 14
Rpta. A
08. Se tiene:
Se cumple:D = 50q + 15 ..... (1)D - x = 50(q-13) + 49 ..... (2)
Restando (1) - (2):x = 15 + 650 - 49 x = 616
Rpta. C
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09. Como:
(m; n) se le asigna el valor de 12mn
al reemplazar se forman las siguientesseries:
S1 = 122
123
124
.... 12
S2 = 124
125
126
.... 18
S3 = 126
127
128
.... 132
finalmente:
S = S1 + S2 + S3 + .... =
12
1 14
23
Rpta. B
10. Como:|x1| |x2| < 2
se cumple:|x+1| - |x-2| 0 2 0 |x+1|-|x-2|<4
I. |x + 1|2 |x - 2|2
x2+2x+1x2-4x+4 ... (α)x 12
II. 2 0 .... (β)x
III. |x + 1| - |x - 2| < 4es equivalente “a”:
|x + 1| - |2 - x | < 4
Se cumple:|x + 1| - |2 - x| |x + 1 + 2 - x||x + 1| - |2 - x| 3
|x + 1| - |2 - x| < 4 .... (θ) x
Finalmente α β θ
C.S = 12
;
S 13
;
Rpta. B
11. Como f(x) = |x| - xI. Verdadero
f(x + y) f(x) + f(y); x; y |x + y| - x - y |x| - x + |y| - y |x + y| |x| + |y|
II. Verdaderox2 - 2x - 3 = |x| - x|x| = x2 - x - 3x = x2 - x - 3 x = -x2 + x + 30 = (x 3)(x + 1) 0 = (x + )(x )3 3x = 3 x = -1 x = - x = 3 3
no cumplen x = -1; x = 3
C.S = {3; - }3
III. Verdaderox2 - 3x + 5 = |x| - x|x| = x2 - 2x + 5∆ = (-2)2 - 4(1)(5) ∆ < 0 No hay soluciones reales.
Rpta. C
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12. 4x4x 2
x 2x1< m
Como x2 - x + 1 > 0, entonces:4 + x - 4x2 < mx2 - mx + m0 < (m + 4)x2 - (m + 1)x + m - 4∆ = [-(m+1)]2-4(m+4)(m-4)<0m+4> 00 < 3m2 - 2m - 650 < (3m + 13)(m-5) m > -4
Luego m <5; +> <5; +>
Rpta. E
13. Sea f: <0; +>Como:
f(a + b) = f(a)f(b) : a; b hacemos:
a = b = 0f(0) = f(0).f(0) f(0) = 0 f(0) = 1pero f(0) = 0 no cumple:
f(0) = 1
hacemos b = -a = f(a)f(-a)f(0)
È1
f(a)f(-a) = 1
Rpta. C
14. Se tiene f: /f(x) = ax2 + bx + csiendo f(0) = 2 Ran(f) = [b; +> del dato f(0) = 2 resulta que c = 2Luego la función queda así:
f(x) = ax2 + bx + 2Completando cuadrados:
f(x) = a x b2a
2
8ab 2
4aAdemás como Ran(f) = [b; +> setiene:
b = 8ab 2
4a
4 = 8ab 2
ab
Rpta. D
15. Tenemos:y = f(x) Loga(x+ )x 21Notamos que f es una funcióninversible. Luego, despejando x enfunción de y.x + = ayx 21
= ay - xx 21
2xay = a2y - 1
x = a 2y12a y
x = a ya y
2
f-1(x) = a xa y
2
Rpta. D
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16. Tenemos A inversible con:
((AX)-1)t = 0,5B-1
Como tenemos (AX)-1 en la igualdad,podemos concluir que X también esuna matriz inversible. Luego, tomemostranspuesta a ambos miembros:
(AX)-1 = 0,5(Bt)-1
Multiplicando por AX a la derecha:I = 0,5(Bt)-1 (AX)
Finalmente multiplicando a la derechapor la matriz 2A-1Bt resulta:
2A-1Bt = X
Rpta. E
17. Completando cuadrados en lasecuaciones se tiene:
(x1)2(y1)21 .... Ec. de circunferenciay(x1)2 ..... Ec. de parábola
Graficando:
Aquí los cortes nos representan lassoluciones| C.S. = {(1; 0); (0; 1); (2; 1)}
Rpta. D
18. Del enunciado tenemos el cuadro:
Horas Terreno
Maíz 2 h 1
Trigo 1 h 1
Total = 800 h Total = 480
Función objetivo:
f(x; y) = 40x + 30y
Las condiciones son: x, y 02x y 800x y 480
El máximo ocurre en (320; 160)
f(320; 160) = 40(320) + 30(160) = 12 800 + 4 800 = 17 600 soles
Rpta. D
19. Tenemos la sucesión:
{an} = {1; ; ; ...; ; ....}122
132
1n 2
la condición es:
< 1 × 10-71n 2
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Se tiene luego de operar:n > 3 162, 2 .... El menor valor de n es 3 163 (n )
Rpta. E
20. Se tiene el polinomio:
p(x) = xn + ax + b con a 0 n > 1Por condición x2 - 1 es un divisor dep(x), es decir:xn + ax + b = (x+1)(x-1)q(x)Si x = 1:a + b = -1 ............... (I)Si x = -1:(-1)n + a(-1)+b = 0 -a+b = -(-1)n ...... (II)Como n > 1, supongamos que n = 2,entonces se tendría en (II):
-a + b = -1que al combinar con (I) resulta:
a = 0 b = -1ab1ab1
Pero por dato a 0. Por consiguienten 2.Entonces, si suponemos que n = 3tenemos en (II):-a + b = 1Combinando con (I)
a = -1 b = 0ab1ab1
Conclusión: el menor valor de n es 3.
Rpta. B
21.
En la figura:“P” es el centro del tetraedro regular,cuyo circunradio mide R.
Luego: R = ; h = 3h4
a 63
R = a 64
Rpta. D
22.
En la figura:2L = 6 L = 3Luego:Vsólido = Vlíquido
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sumergido desplazadoÆÉÉÉÈÉÉÉÇ ÆÉÉÉÈÉÉÉÉÇ Vcubo = Vprisma
x3 = 6 × 232
34
x3 = 27 3
x = 36
3
Rpta. B
23.
Se pide:
x Vcilindro
SL(cilindro)
x = π r 2g2π rg
x = ..... (I)r2
Luego, del dato:
(2r)2 = 162 + a2 = 162 + 92
r = 337
Reemplazamos en (I):
x 3374
Rpta. A
24.
Del dato:L1 = 2π = 2πr; r = 1L2 = 4π = 2πR; R = 2
Por Pitágoras en :h2 + 12 = h = 3( 10)2
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Luego:
V π(3)
3[4 12]
V = 7π
Rpta. C
25. Dato:Vtronco = 336π
Por dato:π(2R)
3(621226×12) 336π
VEsfera = π.R3 = 43
32π3
Rpta. C
26.
Al trazar el plano paralelo a la base dela pirámide, la pirámide parcial que seforma será semejante a la pirámideinicial. Luego en la pirámide parcial:
a = 8k h = 15k
Por dato:
VPrisma = Vpirámide38
(8k)2 . 15k = 38
. 13
.82 .15
k = h = 12
152
x = = 7,5152
Rpta. C
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- 18 -
27.
Se traza y se prolonga hastaBD BA“E”.En ∆ABD: mABD = mADB = 6α mDBC = αLuego: ∆BDC: Isósc: BD = DC ∆ABD: equilátero: 6α = 60
α = 10
Rpta. C
28. Calcular: DA.DB. Datos:r = 3 u; R = 6 u
En la circunferencia mayor se traza eldiámetro y se traza . Luego:DE AE
BDC ~ EDAADr
2RDB
AD . DB = 2Rr
AD . DB = 2(6)(3)
AD.DB = 36
Rpta. D
29.
En ABD: BD = 4En ABC: 52 = (AC)(3) AC = 25/3En ABC: 42 = (DC)(3) DC = 16/3Luego: ABC ~ DEC:
x4
16/325/3
x 6425
x = 2,56
Rpta. D
-16- -17-
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- 19 -
30.
Del gráfico:AE = EI = x - 6
(mIAE = mAIE = α + β)En el triángulo AEB, por propiedad:
(x - 6)2 = x . 1
x 213x36 0 x 9x 4
De donde: x = 9 (x = 4 no es solución)
Rpta. B
31.
Sea P un punto interior al triánguloDBC, tal que el triángulo PCD seacongruente con el triángulo BCA.Luego BC = PC= b, mBCP = 2α mBDP = αPor propiedad en el cuadriláteroDBCP: mDBC = 120 - αEn ∆DBC : α = 15
Observe que , del gráficoAB//DCreemplazamos en el dato:S(BCD) = rS(ABD)
2k.k2
r k( 31).k2
De donde:
r = 231
r = +13
Rpta. A
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- 20 -
32.
Sea: AB = OE = 2aSe traza:
y se traza: OM DC EM| OM = a EM CD mOME = xEn OME:Tgx = 2 x = ArcTg(2)
Rpta. D
33. x π, 3π2
π < x < 3π2
< x + < 5π3
2π3
13π6
| Csc < - Csc >2x 2π3
23
x 2π3
Luego:
Csc2 > x 2π3
43
-9Csc2 < -12x 2π3
4 - 9Csc2 < -8x 2π3
y < -8y <-, -8>
Rpta. E
34. k = [Cos2(60°+x)Cos2(60°x) ](1Sen2x)32
k = [Sen2(60°x)Sen2(60°+x) ](1Sen2x)32
k = [Sen120° Sen2x ](1Sen2x)32
k = (1+Sen2x)(1-Sen2x)32
k = Cos22x32
Rpta. A
35. 0 < x < π2
= Tg1Senx1Senx
xaπ2a
= Tg1Cos π
2x
1Cos π2x
xaπ2a
-18- -19-
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- 21 -
Ctg = Tgπ4
x2
xaπ2a
Tg = Tgx2π4
xaπ2a
| a = 2Lo pedido:
a2 + 1 = 5
Rpta. D
36. Sea la función:
f(x) x 3
ArcTgx x Su dominio: - {0} f(-x) = f(x)
(x)3
ArcTg(x) (x)
x 3
ArcTgxxEs una función par, por lo tanto six Dom(f), entonces -x Dom(f)Graficando:
La gráfica:
Por lo tanto las funciones:
f(x) = y = x2x 3
ArcTgxxno se cortanContestando las proposiciones:I. FalsoII. VerdaderoIII. Falso
Rpta. B
37.
Ssombreada = Strapecio - Ssemicírculo APCD
=
= 5π2
= 53,14162
= 0,92
Rpta. E
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- 22 -
38. Condición:a2+b2+c2 = K(bcCosA + acCosB + abCosC)2(a2+b2+c2)=K(2bcCosA+2acCosB+2abCosC)(Por el T. cosenos)2(a2+b2+c2) = K(a2+b2+c2) K = 2
Rpta. D
39. Sen2x = 1 - (Senx - Cosx)2
Sen2x - 12(Senx - Cosx) - 12 = 0(Senx-Cosx)2 + 12(Senx-Cosx)-13=0
I. Senx - Cosx = 13 (No haysolución)
II. Senx - Cosx = 1 x = (2k + 1)π
x = 2k 12π
Rpta. D
40.
De la figura:
Tgθ = 12
Tg (-β) = | Tgβ = -12
12
TgΦ = 2 Tgθ + Tgβ + TgΦ = 2
Rpta. D
-20- -21-
-22-
MATEMÁTICA