Post on 16-Feb-2020
Matrices de Rotación. Ángulos de Euler
Transformaciones Ortogonales
( e1 , e2 , e3 ) base del cuerpo, solidaria o ligada
( i , j , k )base fija o del espacio
ke3
e2
e311 12 13e e eª º
« »
e3 = e1 x e2
j21 22 23E e e e« » « »
« »¬ ¼j
i e1
31 32 33e e e« »¬ ¼i e1 E ortonormal de determinante = 1
Transformaciones OrtogonalesCambio de baseCambio de base
kke3
e2
j
i e1
Transformaciones OrtogonalesCambio de base
11 21 31 1xp e e e pª º ª º ª º« » « » « »
Cambio de base
12 22 32 2yp e e e p« » « » « » �« » « » « »« » « » « »¬ ¼ ¬ ¼ ¬ ¼
ke
13 23 33 3zp e e e p« » « » « »¬ ¼ ¬ ¼ ¬ ¼e2
e3
j
2
j
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i e1
E E por ser E ortonormal
RotacionesGiro de un ángulo α alrededor de eje XGiro de un ángulo α alrededor de eje X
ke3 α
e2j
e2α
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«º»i e1 Ex,D 0 cosD senD
0 �senD cosD¬
«««
¼
»»»0 senD cosD¬ ¼
RotacionesGiro de un ángulo θ alrededor de eje Y
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Giro de un ángulo θ alrededor de eje Y
cos 0 sen0 1 0yE T
T T�ª º« » « »k ,
sen 0 cosy T
T T« »« »¬ ¼
kθe3
j
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RotacionesGiro de un ángulo ψ alrededor de eje Z
cos sen 0\ \ª º
Giro de un ángulo ψ alrededor de eje Z
,
cos sen 0sen cos 0 zE \
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ª º« » �« »k e3
0 0 1« »« »¬ ¼
e2
3
jψ
e2
i
ψ
ψi ψ e1
Teorema de Euler
Leonhard Paul Euler(Basilea, Suiza, 15/07/1707 - San Petersburgo, Rusia, 18/09/1783)
“Rotando una esfera de formaRotando una esfera de formaarbitraria alrededor de su centro,siempre es posible encontrar unsiempre es posible encontrar undiámetro cuya posición tras larotación es igual que la inicial”rotación es igual que la inicial
Teorema de Euler
El movimiento más general de un SR con punto fijose puede replicar mediante un único giro alrededorde un eje que pasa por el punto fijo
11 12 13e e eE e e e
ª º« » « »Como las rotaciones con punto fijo son
matrices E ortonormales:
21 22 23
31 32 33
E e e ee e e
« »« »¬ ¼
Toda matriz ortonormal con determinante unidadtiene un autovalor igual a 1 (y solo uno)
• El eje de la rotación es el autovector del autovalor λ=1:
Si Pϵ al eje, queda invariante: E P P PO� JJG JJG JJG
• El ángulo de giro T vale: )1 (21 )cos( 332211 ��� eeeT
Ángulos de Euler
Expresan la posición más general de un SR cont fij di t 3 á l L i iópunto fijo mediante 3 ángulos. La posición se
alcanza mediante 3 rotaciones sucesivas:
1 ‐ Precesión: giro alrededor de un eje fijo: φ2‐Nutación: giro alrededor del eje
φ
θperpendicular al fijo y a otro solidario:
3 ‐ Rotación propia (Spin): giro alrededor ψθ
3 Rotación propia (Spin): giro alrededordel eje solidario al cuerpo:
ψ
Ángulos de Euler Precesión : T≈25800 añosóNutación : T≈18.6 años
Spin: T≈24 horas
Ángulos de Euler: Primer giro: ángulo de precesión ϕ
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Ángulos de Euler: Segundo giro: ángulo de nutación θ
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Ángulos de Euler: Tercer giro: ángulo de spin ψ
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Ángulos de Euler. Matriz de rotación de los 3 giros
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Ángulos de Euler. Matriz de Euler
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senT senI �senT cosI cosT¬
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Ángulos de Euler. Problema Inverso
Los datos de partida, en lugar de ser los 3 ángulos I��T��\son los vectores e1 e2 e3 que representan la posición del SR1 2 3
11 12 131e e e e x§ · ª º § ·¨ ¸ ¨ ¸« »¨ ¸ ¨ ¸« »
¿ Cuánto valen I��T��\ ? 21 22 232e e e e ye e e ze
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¿Resolver el sistema de ecuaciones?(no lineal)31 32 333 e e e ze¨ ¸ ¨ ¸« »
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(no lineal)
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coscoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscos
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\T\ITI\\ITI\coscos
coscoscoscoscoscoscossensensen
sensensensensen
Ángulos de Euler. Problema Inverso
Conocida la posición del SR dados e1 e2 e3¿Cuánto valen I��T��\ ?
k e
¿ I� � \
e2
e3
e1
ijj
Ángulos de Euler: Problema Inverso
k e22
ee3
e1
ijÖ Línea nodal
Tj
en=i1
Ángulos de Euler: Problema Inverso
k e2I e2
e3
e1
ij
Tj
en
Ángulos de Euler: Problema Inverso
k e2I
2\
e3
e1
ij
Tj
en
Ángulos de Euler: Velocidad angular
¡¡no es un triedro ortogonal!!
Ik eI e2\e3
e1
ij
Tj
en
Ángulos de Euler: Velocidad angular k e2I
\
e1
e3
En base fijai
jen
Ten
Ángulos de Euler: Velocidad angular k e2
e
I\
e1
e3
En base del cuerpo sin spin Ö (base 2)i
jen
T
Ángulos de Euler: Velocidad angular k e2I
\
e1
e3
En la base del cuerpoi
jen
Tp
Ángulos de Euler: Aceleración angular k e2
e
I\
e1
e3
ij
enT
Derivando la ω expresada en velocidades de Euler
Ángulos de Euler: Aceleración angular k e2
e
I\
e1
e3
ij
enT
Si ω en base fija
h d i l thay que derivar las componentes
Por ejemplo:Por ejemplo:
Ángulos de Euler: Aceleración angular z e2I
\
e1
e3=z2
Tx
yen=x2=x1en x2 x1
Si ω en base del cuerpo sin spín Ö (base 2)
Ángulos de Euler: Aceleración angular z e2I
\
e1
e3=z2
Tx
yen=x2=x1en x2 x1
Si ω en base del cuerpo
0
hay que derivar las componentes