MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM) Y MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD)

Prof. FIDEL GILBERTO MAIMA LAZOcel.: 973697116

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Divisores Comunes

Se llama divisores comunes de dos o mas números naturales a todos aquellos que los dividen exactamente

DIV(A;B)=DIV(A) DIV(B)

Ejemplo Determinar los Divisores Comunes de 12 y 15

Div(12)=

Div(15)=

Div(12;15)=

El Máximo Común Divisor (m.c.d.) de dos o más números es el mayor de los divisores comunes de tales números.

Máximo Común Divisor (MCD)

Ejemplo Determinar el MCD de M.C.D. (12, 15) = Div(12)=Div(15)=

M.C.D. (18, 24) =Div(18)=Div(24)=

Algoritmos para calcular el MCD

1. Método de descomposición canónicaSe determina la descomposición canónica de cada número. Luego, el MCD es el producto de los divisores comunes tomados con su menor exponente.Ejemplo:Calcula el MCD de 18; 27 y 45.Solución:Descomponemos canónicamente:

18 = 27 = 45 =

Luego:MCD(18; 27; 45) =

2. Método práctico o abreviadoDescomponemos sus factores primos comunes en forma simultánea, luego el MCD es el producto de los valores encontrados.

Ejemplo:Calcula el MCD de 48; 64 y 112.Solución:

Descomponemos en forma simultánea:

Luego:MCD(24; 36; 48) =

Algoritmos para calcular el MCD

3. Método indirectoDados tres o mas números, este método consiste en determinar el mcd de pares de números de manera sucesiva hasta evaluarlos todos.

Ejemplo:Calcula el MCD de 375; 250; 285 y 225Solución:

Luego:MCD(375; 250; 285; 225 ) =

4. Método del algoritmo de EuclidesTambién se le conoce con el nombre de divisiones sucesivas.

Luego: MCD(A, B) = r3Ejemplo:Calcula el MCD de 580 y 320.Solución:

Luego:MCD(580; 320) =

Cocientes q1 q2 q3 q4

A B r1 r2 r3

Residuos r1 r2 r3 0

Cocientes

580 320

Residuos

PROPIEDADES DEL MCD

1ra PropiedadEl MCD de dos números naturales (no nulos) es un número que siempre existe, es único y como mínimo es uno

Ejemplo:5 y 13Solución:

Luego:MCD(5; 13 ) =

2 da PropiedadEl MCD de dos números naturales es el elemento más grande de cualquiera de los conjuntos que conforman los divisores de cada númeroEjemplo:15 y 6

Solución:

Luego:MCD(15; 6 ) =

PROPIEDADES DEL MCD

3ra PropiedadLos divisores comunes de A y B, menores que el MCD(A;B) son también divisores de éste

Ejemplo:45 y 75

Solución:

Luego:MCD(45; 75 ) =

4ta PropiedadEl MCD(A;B)= MCD(B;A)

Ejemplo:Calcula el MCD de 15 y 6

Solución:

Luego:MCD(15; 6 ) =

PROPIEDADES DEL MCD

5ta Propiedadse tiene que el MCD(A;0)=A

Ejemplo:Dados los números 45 y 75

Solución:

Luego:MCD(45; 75) =

6ta PropiedadSi A=kB entonces el MCD(A;B)=MCD(KB;B)=B

Ejemplo:Dados los números 12 y 24

Solución:

Luego:MCD(12; 24) =

PROPIEDADES DEL MCD

7ma PropiedadSean A;B N no nulos a la vez y sea d 0 entoncesI) Si A= y B= entonces el

MCD(A;B)= II) Si A= y B= entonces dMCD(A;B)

Ejemplo:Dados los números 24= y 36=

Múltiplos Comunes

Se llama múltiplos comunes de dos o mas números naturales a todos aquellos números no nulos que los contiene exactamente

Mc(A;B)=M(A) M(B)

Ejemplo Determinar los Múltiplos Comunes de 8 y 12

M(8)=

M(12)=

M(8;12)=

El Mínimo Común Múltiplo (mcm) de dos o más números, es el menor múltiplo común de dichos números.

Mínimo Común Múltiplo (MCM)

Ejemplo Determinar el mcm de m.c.m. (12, 18) = M(12)=M(18)=

m.c.m. (24, 15) =M(15)=M(24)=

Algoritmos para calcular el MCM

1. Método de descomposición canónicaSe determina la descomposición canónica de cada número. Luego, el MCM es el producto de los factores primos comunes y no comunes afectados con su mayor exponente.Ejemplo:Calcula el MCM de 18; 27 y 45.Solución:Descomponemos canónicamente:

18 = 27 = 45 = Luego:MCM(18; 27; 45) = = 270

2. Método práctico o abreviadoDescomponemos sus factores primos comunes en forma simultánea, hasta llegar al cociente 1; luego el MCM es el producto de los valores encontrados.

Ejemplo:Calcula el MCM de 12; 16 y 18.Solución:Descomponemos en forma simultánea:

Luego:MCM(18; 27; 45) =

Algoritmos para calcular el MCM

3. Método indirectoDados tres o mas números, este método consiste en determinar el mcm de pares de números de manera sucesiva hasta evaluarlos todos.

Ejemplo:Calcula el MCM de 375; 250; 285 y 225Solución:

Luego:MCD(375; 250; 285; 225 ) = 641250

PROPIEDADES DEL MCM

1ra PropiedadEl mcm de dos números naturales (no nulos) es múltiplo de cualquiera de ellos y estos son divisores de aquel

Ejemplo:8 y 12

Solución:

Luego:MCM(8; 12 ) =

2da PropiedadLos múltiplos comunes de A y B son también múltiplos del mcm(A;B)

Ejemplo:8 y 12

Solución:

Luego:MCM(8; 12 ) =

PROPIEDADES DEL MCM

3ra Propiedadsi entonces se cumple que N es múltiplo del mcm(A;B)

Ejemplo:120

Solución:

4ta PropiedadSi al dividir un mismo número N entre A, B, C se obtiene el mismo resto, se cumple que al dividir N entre el múltiplo del mcm(A,B,C) el resto es el mismo

Ejemplo:Si dividimos 123 entre 15 o entre 20 el resto es 3

Solución:

PROPIEDADES DEL MCM

5ta PropiedadEl producto de dos números A y B es igual al producto de su MCD y su mcm

Ejemplo:120

Solución:

Ahora a resolver los ejercicios pág. 120Nunca consideres el estudio como una

obligación, sino como una oportunidad para penetrar en el bello y maravilloso mundo del saber