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Agosto 2010
Tiene por misin, la formacin de la persona humana, y el fortalecimiento de la identidad cultural de la
nacin, fundado con el conocimiento cientfico y
tecnolgico, en correspondencia con el desarrollo
humano sostenible.
Sesin 3
Medidas de
Tendencia Central
Mg. Miriam Mattos
Definicin Las medidas de tendencia central
son los valores que representan un
conjunto de datos de forma tal que
nos ayudan a saber dnde estn
acumulados los datos pero sin
indicar como se distribuyen.
Se llaman as porque tienden a ubicarse en la parte central del
conjunto de datos.
Para cualquier conjunto de datos estudiados es importante tener
informacin resumida de sus
caractersticas. Esta informacin
nos indica cmo se comporta la
poblacin de datos que tenemos.
Fines
Mostrar en qu lugar se ubica la persona promedio o tpica del
grupo.
Como mtodo para comparar o interpretar cualquier puntaje en
relacin con el puntaje central o
tpico.
Como mtodo para comparar el puntaje obtenido por una misma
persona en dos diferentes
ocasiones.
Como un mtodo para comparar los resultados medios obtenidos
por dos o ms grupos.
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Medidas de Tendencia
Central Generales
nxxxx
nx n
n
i
i
...1 21
1
1. Media Aritmtica para Datos no Agrupados
Se define media aritmtica de una serie de valores como el
resultado producido al sumar
todos ellos y dividir la suma por el
nmero total de valores.
Nos ayuda a comparar, por ejemplo, el salario de los
empleados de una empresa cuya
media sea de S/.1500 contra el de
otra empresa con una media de
S/. 1650 y nos dar una idea de
que la segunda empresa paga
mejor a sus empleados. Su
formula de clculo es:
Ejemplo1: Sea el nmero de derrumbes en cinco semanas en
Pozuso: 8 , 3, 7, 12 y 10. Hallar el promedio de derrumbes:
Ejemplo2: : Sea el numero de asaltos en diez meses: 73, 68, 59, 40,
81, 72, 40, 70, 59 y 72. Hallar el promedio de asaltos:
1.1 Ejemplos
8 3 7 12 10 408
5 5X
El promedio de derrumbes en Pozuso es de 8.
6310
72...6873
x
El promedio de asaltos es de 63.
1.2 Observaciones:
La media se puede hallar solo para variables cuantitativas.
La media es independiente de las amplitudes de los intervalos.
La media es muy sensible a las puntuaciones extremas.
La media no se puede calcular si hay un intervalo o clase abierto
(con una amplitud indeterminada)
La media es un estadstico suficiente porque usa toda la informacin de la muestra.
4, 5, 7, 8, 8 , 10, 12, 15 El numero comn de obesos es 8 4, 7, 12,12 , 16, 20, 20 , 27 El numero comn de obesos es 12 o 20 7, 12, 15, 18, 25, 30, 31, 38
Ejemplo:
2. Moda para datos no agrupados:
En una serie de valores a
los que se asocia una
frecuencia, se
define moda como el
valor de la variable que
posee una frecuencia
mayor que los restantes.
La moda se simboliza
normalmente por Mo.
Un grupo de valores
puede tener varias
modas. Una serie de
valores con slo una
moda se denomina
unimodal; si tiene dos
modas, es bimodal, y as
sucesivamente.
Ejemplos: Sean los siguientes datos el
numero de alumnos obesos en colegios de
tres localidades de la Sierra:
3. Mediana para datos no agrupados:
La media aritmtica no siempre es representativa de
una serie estadstica. Para
complementarla, se utiliza un
valor numrico conocido
como mediana o valor central.
Dado un conjunto de valores ordenados, su mediana se
define como un valor numrico
tal que se encuentra en el
centro de la serie, con igual
nmero de valores superiores
a l que inferiores.
Normalmente, la mediana se
expresa como Me.
Paso 1.- Ordenar de menor a mayor los valores xi del conjunto
de datos individuales, i = 1,2,,n Paso 2.- Identificar si n es impar o
par
La mediana es nica para cada
grupo de valores. Cuando el nmero
de valores ordenados (de mayor a
menor, o de menor a mayor) de la
serie es impar, la mediana
corresponder al valor que ocupe la
posicin (n + 1)/2 de la serie.
Si el nmero de valores es par,
ninguno de ellos ocupar la posicin
central. Entonces, se tomar como
mediana la media aritmtica entre
los dos valores centrales.
3.1 Calculo de la Mediana para datos no agrupados:
3.2 Ejemplo cuando n es Impar
Ejemplo1
En 9 hospitales en el rea de pediatra se ha observado el nmero de nios con anemia, siendo los sgtes:
35, 24, 38, 40, 42, 39, 25, 41, 37
Hallar la mediana de este conjunto de datos.
Solucin:
valo
r ce
ntr
al
Posicin 1 2 3 4 5 6 7 8 9
datos ordenados 24 25 35 37 38 39 40 41 42
1 9 15
2 2
n
En el 50% de los hospitales el numero de nios con anemia es
menor o igual que 38.
3.3 Ejemplo cuando n es Par
Ejemplo2.
En 10 das se ha observado el nmero de viajes de los camiones de Yanacocha que transporta combustible, siendo los sgtes:
35, 24, 38, 40, 42, 39, 25, 41, 37,28
Hallar la mediana de este conjunto de datos.
Solucin:
/2 /2 1 37 38
37.52 2
n nx x
Me x
Posicin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
datos ordenados 24 25 28 35 37 38 39 40 41 42
va
lore
s
cen
tra
les
En el 50% de los das el numero de viajes es menor o igual que
38.
3.4 Observaciones:
Se puede utilizar para datos cualitativos ordinales y para
datos cuantitativos
La ventaja de la mediana sobre la media es que si
existe algn dato atpicos, es
decir, una observacin fuera
de serie con un valor
demasiado pequeo o
demasiado grande al resto de
los datos, la mediana no se
ve gravemente afectada, ya
que no toma en cuenta los
datos en s, sino el dato en la
posicin central en el listado.
4. Comparacin entre la Media, Mediana y Moda
Las distribuciones simtricas tienen el mismo valor para la media, la mediana y la moda.
En una distribucin con sesgo positivo, la moda se halla en el punto ms alto de la distribucin, la mediana est hacia la derecha de la moda y la
media ms a la derecha. Es decir Mo < Me < x
En una distribucin con sesgo negativo, la moda es el punto ms alto, la mediana est a la izquierda de la moda y la media est a la izquierda de la
mediana. Es decir, x < Me < Mo
1n
i i
i
n y
xn
5. Media Aritmtica para Datos Agrupados
Se Utilizar cuando los datos estn
distribuidos en una tabla de
frecuencias. Luego se calcula la
media aritmtica aplicando la
formula: Donde:
ni = frecuencia absoluta
yi = Marca de clase
n = nmero de observaciones
Ejemplo: Se esta analizando el numero de asaltos en los parques de Lima
y se ha obtenido la siguiente distribucin de frecuencias:
181422.68
80
i in x
xn
El promedio de asaltos es de 23
N de yi ni ni*yi Asaltos
Li Ls 5 12 8.5 10 85 12 19 15.5 14 217 19 26 22.5 28 630 26 33 29.5 20 590 33 40 36.5 8 292
TOTAL 80 1814
5.1 Ejemplo
Cuando se trabajan con tablas de frecuencias de intervalos, la formula
para calcular la moda es:
Donde:
LI : Lmite inferior de la clase modal
cj: Amplitud del intervalo de la clase modal
n : nmero total de observaciones o datos
1= nj nj-1 y 2= nj nj+1
nj-1: Frecuencia absoluta anterior a la clase modal.
nj+1: Frecuencia absoluta posterior a la clase modal.
1
2 1
I joM L c
6. Moda para Datos Agrupados
Ejemplo: De la tabla de distribucin de frecuencias anterior sobre el
numero de asaltos cometidos calcular la moda:
El numero de asaltos que se repite con mayor frecuencia es 22.
El numero de asaltos mas comn es de 22.
Ubicamos primero la mayor
frecuencia nj = 28
LI = 19 ; cj= 7 ; n = 80
1= nj nj-1 = 28-14= 14
2= nj nj+1 = 28- 20 =18
1419 7 22.06
14 18oM
N de yi ni Asaltos
Li Ls 5 12 8.5 10 12 19 15.5 14 19 26 22.5 28 26 33 29.5 20 33 40 36.5 8
TOTAL 80
6.1 Ejemplo
Cuando se trabajan con tablas de frecuencias de intervalos, la
formula para calcular la mediana es:
Donde:
LI : Lmite inferior de la clase mediana
cj: Amplitud del intervalo de la clase mediana
n : nmero total de observaciones o datos
Nj : Frecuencia acumulada de la clase mediana
Nj-1:Frecuencia acumulada anterior de la clase mediana.
j
I j
j j
nN
Me L cN N
1
1
2
7. Mediana para Datos Agrupados
En el 50% de los parques se cometieron un numero menor o igual a 23
asaltos.
Pasos:
i) Ubicar n/2=80/2=40 en Ni ii) n/2 se encuentra en el
intervalo 3, entonces:
Ni : 52 Ni-1: 24
LI : 19 cj: 7
40 2419 7 23
52 24Me
Ejemplo: De la tabla de distribucin de frecuencias anterior sobre el
numero de asaltos cometidos calcular la mediana:
N de yi ni Ni Asaltos
Li Ls 5 12 8.5 10 10 12 19 15.5 14 24 19 26 22.5 28 52 26 33 29.5 20 72 33 40 36.5 8 80
TOTAL 80
7.1 Ejemplo
kj j
j 1 1 1 2 2 k k
p
1 2 r
n xn x n x ... n x
xn n n ... n
k
j
j 1
n n
Donde
11. Media Ponderada
Hay ocasiones en que se quiere expresar en una sola cifra los resultados de varios grupos de datos, cada uno de los cuales ha sido resumido previamente mediante un promedio, teniendo cada grupo diferente numero de observaciones. Para hallar un promedio general de estos grupos hacemos uso de la media ponderada.
11.1 Ejemplo
Ejemplo: La nota final de la asignatura Estadstica es una media ponderada de
las notas que han obtenido los alumnos en los cuatro elementos evaluables que
determina el profesor. El responsable de la asignatura otorga un peso de 3 al
examen inicial, de 1 al trabajo entregable, 2 al trabajo final y 4 al examen final.
Las notas de un alumno han sido las siguientes:
La nota final del alumno en esta asignatura es de 6,14
Gracias