Post on 20-Dec-2015
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Introducción
Los métodos de energía se basaran principalmente en el principio de la conservación de energía, que
establece que la energía no se crea ni se destruye, solo se transforma. Expresado para este caso
“El trabajo realizado por todas las fuerzas externas que actúan sobre una estructura (Ue) se transforma
en trabajo interno o energía de deformación (Ui), la cual se desarrolla al deformarse la estructura”
Ue=Ui
Trabajo externo= Trabajo interno
Trabajo externo - Fuerza
Considerando, que el Trabajo (Fd) es una fuerza externa, podemos determinar que para el
trabajo cuando el desplazamiento es x definimos
Para ejemplo de entendimiento, consideremos el efecto causado por una fuerza axial
aplicada en el extremo de una barra. A medida de que la magnitud F se incremente
gradualmente desde cero hasta un valor limite F = P, la elongación final de la barra se
convierte en ∆. Si el material tiene una respuesta elástica lineal, entonces .
Si sustituimos en la ecuación anterior y se integra de 0 a ∆, resulta
Lo que representa el área descrita por la pendiente formada de la ecuación F, es decir el
trabajo externo.
Trabajo externo - Fuerza
Suponga ahora que P ya está aplicada sobre la barra y que ahora se aplica otra fuerza F, por lo
que la barra se deforma aún más en una cantidad ∆', Entonces, el trabajo realizado por P (no
por F ') cuando la barra experimenta la deformación adicional ∆' es
Aquí el trabajo representa el área rectangular sombreada de la figura mostrada. En este caso,
P no cambia su magnitud porque ∆' es causado sólo por F'. Por lo tanto, el trabajo es
simplemente la magnitud de la fuerza (P) por el desplazamiento (∆').
Entonces, puede afirmarse de manera resumida que al aplicar una fuerza P a la barra, seguida
por la aplicación de una fuerza F’, e l trabajo total realizado por las dos fuerzas está
representado por el área triangular ACE de la figura mostrada. El área triangular ABG
representa el trabajo de P que es causado por su desplazamiento A, el área triangular BCD
representa el trabajo de F' debido a que esta fuerza provoca un desplazamiento ∆ 'y, por
último, el área rectangular sombreada BDEG representa el trabajo adicional realizado por P
cuando se desplaza ∆' a causa de F '.
Trabajo externo - Momento
El trabajo de un momento se define por el producto de la magnitud del
momento M y el ángulo dθ a través del cual gira. Es decir , si el trabajo se
establece en radianes entonces
Como en el caso de la fuerza, si el momento se aplica gradualmente a una
estructura que tiene respuesta elástica lineal entre cero y M, entonces el trabajo
es
Sin embargo, si el momento ya está aplicado a la estructura y otras cargas
deforman aún más la estructura en una cantidad ,entonces M gira ' y el trabajo
es
Energía de deformación. – Fuerza axial
Cuando se aplica una 1 fuerza axial N de manera gradual a una barra,
deformará el material de manera que el trabajo externo realizado por N se
convierte en energía de deformación, la cual se almacena en la barra.
Siempre que el material sea elástico lineal, la ley de Hooke será válida,
, y si la barra tiene un área constante A en su sección transversal y una
longitud L, el esfuerzo normal es la deformación final es . En consecuencia,
N /A = E (A /L ), y la desviación final es
Por lo tanto, al sustituir P = N en la ecuación analizada al principio, la energía
de deformación en la barra es
Trabajo virtual
El método de trabajo virtual, llamado a veces método de carga unitaria ficticia es el de aplicación más
amplia de entre todos los métodos empleados para calcular deflexiones. Es aplicable a vigas, marcos, y
sobre todo, a armaduras.
El trabajo virtual se basa en la ley de la conservación de la energía, según la cual el trabajo hecho por
un grupo de cargas externas aplicadas gradualmente a una estructura es igual a la energía elástica
interna almacenada en la estructura. Para emplear esta ley en las derivaciones que siguen, es
necesario hacer las siguientes suposiciones:
1. Las fuerzas internas y externas están en equilibrio.
2. El límite elástico del material no se excede.
3. Los apoyos no tienen movimiento
Principio del trabajo y la energía
Este conocimiento se aplica en la determinación del desplazamiento de un punto sobre una estructura.
Para hacerlo, considere que aplica una fuerza P como se indica en la siguiente figura:
Al igualar el trabajo externo con la energía de
deformación interna y despejar el desplazamiento
desconoció Δ, se tiene:
Primero debe terminarse el momento interno como una función de la posición x en la viga y después
aplicar la ecuación de la energía de deformación por flexión. Para este caso M= -Px, de modo que:
Principio del trabajo virtual
Este principio fue desarrollado por John Bernoulli en 1717. Proporciona un medio general para obtener el desplazamiento y la pendiente en un punto específico de una estructura, ya sea una viga, marco o armadura.
Bernoulli (1667 – 1748) matemático, médico y filólogo suizo
Como se analizó en las secciones anteriores, si se aplica una serie de cargar P en una estructura deformable, se producirán cargas internas u en puntos a través de todo el cuerpo. Como consecuencia, ocurrirán desplazamientos externos Δ en las cargas P y se presentarán desplazamientos internos δ en cada punto de carga u.
Si se conocen los desplazamientos externos, los internos correspondientes estarán definidos de
manera única. Entonces, el principio de trabajo y los estados de energía puede enunciarse de
manera general como sigue:
∑ 𝑃𝚫=∑ u ᵹTrabajo de cargas externas
Trabajo de cargas internas
o Podemos definir que este es el estado de trabajo real al que estaría sometida nuestra estructura. Supongamos una figura cualquiera con tres cargas P, como se muestra en la figura:
o Deseamos determinar el desplazamiento en el punto A. Dado que las cargas actuantes reales no están siendo aplicadas en el punto deseado no podemos determinar el desplazamiento Δ, por lo que nos basamos en un estado imaginario o virtual en el que aplicaremos una carga P’ en la dirección del desplazamiento Δ. Por conveniencia se elegirá la nueva carga virtual como una magnitud unitaria. Sin embargo la carga P’ también crea una carga virtual interna u. Se requerirá que P’ y u se relacionen mediante las ecuaciones de equilibrio.
Una vez aplicadas las cargas virtuales, el cuerpo está sometido a las cargas reales P1, P2 y P3. El punto
A se desplazara una cantidad Δ, la cual causará que el elemento se deforme una cantidad dL. Como
resultado las cargas virtuales P’ y u realizaran trabajo virtual externo e interno respectivamente. Si
igualamos según el principio de la energía:
DondeP’ = 1 = carga unitaria virtual externa u = carga virtual internaΔ = desplazamiento externo causado por las cargas reales dL = deformación interna del elemento causada por la cargas reales
De manera parecida, si deben determinarse el desplazamiento rotacional o la pendiente de la
tangente en un punto sobre una estructura, se aplica un momento par virtual M’ con magnitud
unitaria en el punto.
DondeM’ = 1 = momento par unitario virtual externo uθ = carga virtual internaθ = desplazamiento rotacional externo o pendiente en radianes causado por las cargas reales dL = deformación interna del elemento causada por la cargas reales
El método de trabajo virtual: armaduras
EL método del trabajo virtual puede usarse para determinar el desplazamiento de una junta de
armadura cuando la armadura está sometida a una carga externa, aun cambio de temperatura, o
por errores de fabricación.
Carga externa
Considere el desplazamiento vertical Δ de una junta B de la armadura que se muestra en la figura a. Un
miembro típico de la armadura sería uno de sus elementos con longitud L. La figura b. SI las cargas
aplicadas P1 y P2 ocasionan una respuesta material lineal elástica, este miembro se deforma en una
cantidad ΔL= NL/ AE donde N es la fuerza normal o axial en el elemento, causada por las cargas
Si se aplica la ecuación:
P’= 1 = carga unitaria externa que actúa en la dirección de Δ.
u = carga virtual interna que actúa sobre el elemento en la dirección dL.
Δ = desplazamiento externo causado por las cargas reales.
dL = deformación interna del elemento causada por las cargas reales.
Entonces la ecuación del trabajo virtual para la armadura es:
1 = carga unitaria externa que actúa sobre la junta de la armadura en la dirección indicada de Δ.
N= fuerza normal virtual interna en un elemento de un armadura causada por la carga unitaria
virtual externa.
Δ= desplazamiento externo de la junta por las carga reales sobre la armadura.
N = Fuerza normal interna de un elemento de la armadura causada por las cargas reales.
L = Longitud de un elemento
A = Área transversal de un elemento
E = Modulo de elasticidad de un elemento
Temperatura
En algunos casos, los elementos de una armadura podrían cambiar su longitud debido a la temperatura. Si a es el coeficiente
de expansión térmica de un elemento y ΔT es el cambio en su temperatura, el cambio en la longitud de un elemento es ΔL =
a ΔTL. Por lo tanto, el desplazamiento de una junta seleccionada en una armadura debido a este cambio de temperatura
puede determinarse así:
Donde:
1= carga unitaria externa que actúa sobre la junta de la armadura en el sentido indicado de A.
N= fuerza normal virtual interna en un elemento de un armadura causada por la carga unitaria externa.
Δ= desplazamiento externo de la junta causado por el cambio de temperatura.
a= coeficiente de expansión térmica del elemento.
ΔT = cambio en la temperatura del elemento.
L = longitud del elemento.
Errores de fabricación y comba
La comba suele construirse en una armadura de puente para que la cuerda inferior se curve hacia arriba en una
cantidad equivalente ala deflexión hacia debajo de la cuerda cuando está sometida a todo el peso muerto del puente.
Si un elemento de la armadura es más o menos largo de lo previsto, el desplazamiento de una junta de la armadura
respecto a su posición esperada puede determinarse como:
Donde:
1 = carga unitaria virtual externa que actúa sobre la junta de la armadura en la dirección indicada Δ.
n= fuerza normal virtual interna de un elemento de una armadura causada por la carga unitaria virtual externa.
Δ = desplazamiento externo de la junta ocasionada por los errores de fabricación.
ΔL = diferencia en longitud del elemento respecto a su tamaño esperado a causa de un error de fabricación.
Aplicamos ∑Ma=0
=0Rb= 7.6 ton
Aplicamos ∑Fx=0 →
Rax= 7.6 ton.
Aplicamos ∑F=0 ↑
Rb= 3ton
ReaccionesTrabajo Real
Ejemplo trabajo real & virtual
Aplicamos ∑ME=0
FFG=-8.237 ton
Aplicamos ∑Fx=0 →
FEG= 7.2 ton
Aplicamos ∑Fx=0→
FEC= 7.2 ton
Nodo E
Aplicamos ∑F=0 ↑
FEF= 0 ton
Nodo FAplicamos ∑Fx=0 → Aplicamos ∑F=0 ↑
FFC= 4.172 tonFFD= 3.182 ton
Aplicamos ∑Fx=0 →
Nodo BAplicamos ∑F=0 ↑
FBD= 8.694 tonFBA= -4.22 ton
Nodo FAplicamos ∑Fx=0 → Aplicamos ∑F=0 ↑
FFC= 4.172 tonFFD= 3.182 ton
Aplicamos ∑Fx=0 →
Nodo BAplicamos ∑F=0 ↑
FBD= 8.694 tonFBA= -4.22 ton
Trabajo VirtualTensiones
Elemento Tención
AB -0.777 TON
AC 0.32 TON
AD 0.38 TON
BD - 1.60 TON
CD 0.12 TON
CF 0.34 TON
DF -1.95 TON
EF 0
EG 0
FG 0
CE 0
Tabla de trabajo virtualElemento Longitud Real Virtual F*M*L
AB 5m -4.22 -0.777 16.247
AC 4m 1.53 0.32 1.958
AD 4.87m 7.39 0.38 13.675
BD 4.57m -8.69 - 1.60 63.54
CD 2.77m 3.4 0.12 1.13
CF 3.2m 4.712 0.34 5.12
DF 3.43m -3.182 -1.95 21.28
EF 1.11m 0 0 0
EG 2m 7.20 0 0
FG 2.9m -8.237 0 0
CE 3m 7.2 0 0
∑= 122.95
Desplazamiento vertical: