Post on 26-Jul-2015
REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAINSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO
“SANTIAGO MARIÑO”EXTENSIÓN PORLAMAR
ESCUELA ING DE SISTEMSAS
METODOS KUHN TUCKER Y LAGRANGE
MAGNIELYS MATA
DEFINICION DEL METODO KUHN TUCKER
En programación matemática, las condiciones de KarushKuhn-Tucker (también conocidas como las condiciones KKT o Kuhn-Tucker) son condiciones necesarias y suficientes para que la solución de un problema de programación matemática sea óptima. Es una generalización los Multiplicadores de Lagrange.
Las condiciones de Kuhn-Tucker para el problema máximo x f (x) en g j (x) ≤ c j para j= 1, ..., m se L i '(x) = 0 para i = 1 ,..., n 0 λ ≥ j, j g (x) y c ≤ λ j j [j g (x) - c j] = 0 para j = 1, ..., m, donde L (x) = f (x) - Σ j = 1 λ m j (j g (x) - c j).
APLICACIÓN DEL METODO KUHN TUCKER
Básicamente el procedimiento consiste en resolver el problema no lineal como uno sin restricciones, luego si la solución óptima de dicho problema no cumple la totalidad o parte de las restricciones del problema se activan dichas restricciones (en conjunto y/o secuencialmente) y se resuelve nuevamente.
EJEMPLO:
Encuentre los valores mínimo y máximo de la Función f(x1, x2) = 3−x1−x2
sujeta a las Restricciones 0≤x1, 0≤ x2 y 2x1 + x2≤ 2.
Solución:
Primero cambiemos las restricciones a la forma gi ≤0: 0 ≤ x 1→ g1 = − x1 ≤ 0 0≤x2→g2=−x2≤0 x1+x2≤2→g3=2x1+x2−2≤0
Opt f(xi) s.a. g(xi) ≤ ci
para cualquier i =1, … n.
Dependiendo de si queremos maximizar o minimizar la función objetivo elegiremos unos multiplicadores de
Lagrange positivos o negativos
Si queremos Max f(xi) Si Min f(xi)
λ > 0 λ < 0
Teniendo en cuenta que Max f(xi) = - Min f(xi)
Podremos construir la función lagranjiana de la forma:
L (xi , λi)= f(xi) - ∑λi( g(xi) – ci )
Condiciones de Kuhn-Tucker I/II
A b
CONDICIONES DE PRIMER ORDEN
∂ L (xi , λi) ∂ xi
= 0
CONDICIONES DE HOLGURA
COMPLEMENTARIA
λi( g(xi) – ci ) = 0
Condiciones de Kuhn-Tucker II/II
c d
En todos los casos debemos comprobar que
se cumple:
g(xi) ≤ ci
Los multiplicadores de Lagrange deben coincidir con el
problema de optimización:
Si maximizamos, es λ > 0 ?
Si minimizamos, es λ < 0 ?
Ejercicio Condiciones Kuhn-Tucker
El método de solución procede de la siguiente manera. Cambiemos cada restricción de desigualdad gi≤0 a una restricción de igualdad introduciendo una variable Si de la siguiente manera:
Método Multiplicadores de Lagrange
Los multiplicadores de Lagrange, son un
método para trabajar con funciones de varias variables
que nos interesa maximizar o minimizar, y está sujeta a
ciertas restricciones.
Aplicaciones
Ejemplo #1 :Con Una Restricción
La función de producción de Cobb- Douglas para un cierto fabricante viene dada por donde denota las unidades de trabajo (Q. 150.00 unidades) e las unidades de capital (Q 250.00 la unidad) Hallar el máximo nivel de producción admisible para este fabricante, si tiene el coste conjunto de trabajo y capital limitado a Q50000.00
Ejemplo # 2: Con Dos Restricciones