SOLUCION DEL SEGUNDO PARCIAL DE CALCULO.19 DE MAYO DE 2015.

MODELO A

1. ( 1.5 puntos) Calcular la masa del solido situado en el semiespacio z ≥ 0 que esinterior al cilindro x2 + y2 − 4 = 0 y esta acotado superiormente por el paraboloidez = 8− x2 − y2 siendo su funcion densidad m(x, y, z) = 2 + x.

En coordenadas cilındricas: Masa=∫ 2π

0

∫ 2

0

∫ 8−r2

0r(2 + r cos θ)dzdrdθ = 48π

2. (2 puntos) Encontrar la familia de curvas planas con la siguiente propiedad: paracada punto (x, y(x)) de las curvas, la pendiente de su recta tangente en ese puntoes igual a la suma del producto de sus coordenadas mas el cociente de las mismas(abcisa entre ordenada).

La ecuacion diferencial que define la familia pedida es: y′(x) = xy(x) +x

y(x).

y(x) = ±√Kex2 − 1.

3. (1.5 puntos)

(a) Determinar la ecuacion del movimiento de un sistema masa-resorte cuyos para-metros sonm = 1 kg, c = 4Ns/m y k = 13N/m suponiendo que no hay fuerzasexternas actuando y que el movimiento comienza en la posicion de equilibriocon una velocidad descendente de 3 m/s.

El problema de valor inicial que se plantea es:

x′′(t) + 4x′(t) + 13x(t) = 0x(0) = 0x′(0) = 3

Su solucion es x(t) = e−2t sin 3t.

(b) Representar graficamente el movimiento del sistema. ¿Como evoluciona elsistema en el tiempo?

El sistema oscila inicialmente pero termina parandose.

4. ( 2 puntos) Resolver el siguiente problema de valor inicial:u′′(x)− 4u′(x) + 4u(x) = 5 sinxu(0) = 4/5u′(0) = 8/5

ugc(x) = C1e2x + C2xe

2x + 35sin x+ 4

5cosx.

upvi(x) = xe2x + 35sinx+ 4

5cos x.

5. ( 3 puntos) Se considera el sistema de ecuaciones diferenciales ordinariasy′1 = y1 − y2 − y3y′2 = 2y2 + 3y3y′3 = −y3 + e3t

(a) Calcular una matriz fundamental del sistema homogeneo asociado.

φ(t) =

et −e2t 00 e2t −e−t

0 0 e−t

(b) Calcular la solucion general del problema homogeneo asociado;

y1(t) = C1et − C2e

2t

y2(t) = C2e2t − C3e

−t

y3(t) = C3e−t

(c) Calcular la solucion general del sistema no homogeneo, indicando las expre-siones de las funciones y1(t), y2(t) e y3(t).

y1(t) = C1e

t − C2e2t − 1

2e3t

y2(t) = C2e2t − C3e

−t + 34e3t

y3(t) = C3e−t + 1

4e3t

MODELO B

1. (1.5 puntos) Calcular la masa del solido situado en el semiespacio z ≥ 0 que esinterior al cilindro x2 + y2 − 1 = 0 y esta acotado superiormente por el paraboloidez = 2 + x2 + y2 siendo su funcion densidad m(x, y, z) = 3 + y.

En coordenadas cilındricas: Masa=∫ 2π

0

∫ 1

0

∫ 2+r2

0r(3 + r sin θ)dzdrdθ = 15

2π

2. ( 2 puntos) Encontrar la familia de curvas planas con la siguiente propiedad: paracada punto (x, y(x)) de las curvas, la pendiente de su recta tangente en ese puntoes igual a la suma del producto de sus coordenadas mas el doble del cociente de lasmismas (abcisa entre ordenada).

La ecuacion diferencial que define la familia pedida es: y′(x) = xy(x) + 2x

y(x).

y(x) = ±√Kex2 − 2.

3. (1.5 puntos)

(a) Determinar la ecuacion del movimiento de un sistema masa-resorte cuyos pa-rametros son m = 1 kg, c = 8Ns/m y k = 20N/m suponiendo que no hayfuerzas externas actuando y que la masa se libera 1 metro por debajo de laposicion de equilibrio sin velocidad inicial.

El problema de valor inicial que se plantea es:

x′′(t) + 8x′(t) + 20x(t) = 0x(0) = 1x′(0) = 0

Su solucion es x(t) = e−4t cos 2t+ 2e−4t sin 2t.

(b) Representar graficamente el movimiento del sistema. ¿Como evoluciona elsistema en el tiempo?

El sistema termina parandose.

4. ( 2 puntos) Resolver el siguiente problema de valor inicial:u′′(x)− 6u′(x) + 9u(x) = cosxu(0) = 2/25u′(0) = 22/50

ugc(x) = C1e3x + C2xe

3x + 225cosx− 3

50sinx.

upvi(x) =12xe3x + 2

25cosx− 3

50sinx.

5. ( 3 puntos) Se considera el sistema de ecuaciones diferenciales ordinariasy′1 = y1 − 2y2 + 2y3y′2 = −y2 + 3y3y′3 = 3y3 + e2t

(a) Calcular una matriz fundamental del sistema homogeneo asociado.

φ(t) =

e−t et e3t

e−t 0 3e3t

0 0 4e3t

(b) Calcular la solucion general del problema homogeneo asociado;

y1(t) = C1e−t + C2e

t +3 e3t

y2(t) = C1e−t + 3C3e

3t

y3(t) = 4C3e3t

(c) Calcular la solucion general del sistema no homogeneo, indicando las expre-siones de las funciones y1(t), y2(t) e y3(t).

y1(t) = C1e−t + C2e

t +3 e3t − e2t

y2(t) = C1e−t + 3C3e

3t − e2t

y3(t) = 4C3e3t