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7/26/2019 Modelo de Solow-swan Economia
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FACULTAD DE INGENIERÍA,
ARQUITECTURA Y URBANISMO
ESCUELA DE INGENIERÍA ECONÓMICA
NOMBRE :
YENNI LUCIA RIVERA IZQUIERDO
DOCENTE :
DR. BAZÁN NAVARRO, CIRO EDUARDO
CURSO :
MACROECONOMÍA II
TEMA :
MODELO DE CRECIMIENTO NEOCLÁSICO DE SOLOW-
SWAN
Pimentel, Lambayeque 13 de noviembre del 2015
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MACROECONOMÍA II 2
MODELO DE SOLOW-SWAN
INDICE
INTRODUCCIÓN ........................................................................................................................ 3
RESUMEN ................................................................................................................................. 4
ABSTRACT ................................................................................................................................. 5
SIMBOLOS ................................................................................................................................. 6
MODELO DE CRECIMIENTO NEOCLÁSICO DE SOLOW-SWAN.................................. 8
CARACTERÍSTICAS BREVES: .......................................................................................... 8
MODELO DE CRECIMIENTO NEOCLÁSICO DE SOLOW-SWAN.............................. 9
MODELO DE SLOW-SWAN SIN PROGRESO TECNOLOGICO ............................... 11
CASO NUMÉRICO (SIN PROGRESO TECNOLÓGICO) ............................................. 14
1. ANÁLISIS CUALITATIVO .......................................................................................... 15
2. ANÁLISIS CUANTITATIVO ......................................................................................... 15
CONCLUSIÓN .......................................................................................................................... 25
REFERENCIAS ........................................................................................................................ 26
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MACROECONOMÍA II 3
MODELO DE SOLOW-SWAN
INTRODUCCIÓN
En este trabajo se desarrollara un tema de macroeconomía, como sabemos esta
ciencia es la parte de la economía encargada del estudio global de la economía
en términos del monto total de bienes y servicios producidos, el total de los
ingresos, el nivel de empleo, de recursos productivos, y el comportamiento
general de los precios.
Lo cual nos enfocaremos a estudia el Modelo de crecimiento neoclásico de
Solow-Swan, todo esto aborda el estudio del crecimiento económico una rama
de la ciencia económica cuyo objetivo principal reside en ofrecer respuestas a la
siguiente pregunta: ¿por qué unos países son ricos y otros son pobres? La
importancia de esta disciplina es obvia y reside en su posible impacto en el
bienestar de la sociedad.
Por lo tanto en este presente abordaremos el enfoque matemáticamente pionero
de Solow –Swan para analizar el crecimiento económico, que es fundamento de
los trabajos de investigación actuales, que se les imparte a los alumnos de
pregrado de la escuela profesional de ingeniería economía, bajos ciertos
supuestos económicos y herramentales matemáticos relativamente sencillos
permitieron desarrollar la teoría del crecimiento como una representación
estilizada de la realidad una economía cerrada.
Este trabajo cuenta con una gran base teórica, dando a conocer que primero se
empezara dando a conocer la simbología, para que así el lector reconozca elsignificado de cada variable y parámetro.
En el primer capítulo se presentara un resumen modelo de Solow –Swan, luego
en el segundo capítulo se graficara analizara el modelo. Mediante el análisis
encontraremos gráficos.
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MACROECONOMÍA II 4
MODELO DE SOLOW-SWAN
RESUMEN
El modelo de crecimiento de Solow-Swan aborda la teoría del crecimiento
económico que es una de las ramas más dinámicas y vigentes de la profesión
económica. Lo cual identificaremos los determinantes del crecimiento de una
economía y, a partir de ello, hacer propuestas de política económica que lo
estimulen, es una de las áreas de mayor interés de la macroeconomía.
Se dará una visión rigurosa a través del uso de herramental algebraico sin perder
de vista las visualizaciones geométricas y las interpretaciones económicas. La
combinación y precisión junto a las gráficas e interpretaciones conceptuales nos
servirán para comprender con la más amplia profundidad. Para el desarrollo del
tema se utilizara un programa del paquete de Microsoft office, Excel 2013, para
la simulación numérica y graficar.
PALABRAS CLAVES: Crecimiento Económico
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MACROECONOMÍA II 5
MODELO DE SOLOW-SWAN
ABSTRACT
The model Solow -Swan growth addresses the theory of economic growth is one
of the most dynamic and current branches of the economics profession. Which
identify the determinants of growth of an economy and, on this basis, make
proposals for economic policy that stimulates, is one of the areas of interest in
macroeconomics.
It is given a rigorous vision through the use of algebraic tooling without losing
sight of geometric and economic interpretations views. Combining precision with
graphic and conceptual interpretations help us to understand the broader depth.
For the development of a program theme of the Microsoft Office Excel 2013, for
numerical simulation and plot were used.
KEYWORDS: Economic Growth
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MACROECONOMÍA II 6
MODELO DE SOLOW-SWAN
SIMBOLOS
SIMB SIGNIFICADO RANGO
Y Renta nacional Y>0
C Consumo C>0
G Gasto publico G>0
S Ahorro S>0
s Propensión marginal al ahorro 0<s>
Tasa de depreciación >0
k Fracción constante del stock de
capital
K>0
I Inversión bruta I>0
N Población de la economía N>0
L Fuerza laboral L>0
A tecnología A>0
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MACROECONOMÍA II 7
MODELO DE SOLOW-SWAN
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MACROECONOMÍA II 8
MODELO DE SOLOW-SWAN
MODELO DE CRECIMIENTO NEOCLÁSICO DE SOLOW-SWAN
CARACTERÍSTICAS BREVES:
Este modelo surge como una respuesta al enfoque en ese entonces dominantede Harrod –Domar que sugería que el sistema económico capitalista erainherentemente inestable. En particular, Harrod y Domar trataban de argumentarque fenómenos como la gran depresión de 1929 eran la norma y no la excepción.Para ello, usaron un enfoque que hacia énfasis en las dificultades del crecimientoeconómico continuo y que concluía con un dramático escenario en el que solobajo una combinación muy improbable entre los parámetros que definen a laeconomía de una nación, podría darse el deseado crecimiento continuo o
sostenido.
Robert Solow y Trevor Swan (de forma independiente), desarrollaron un modelosencillo en el que mostraban que las consecuencias más relevantes del enfoqueHarrod –Domar se debían a la elección apropiada de uno de los supuestos, enparticular el referente a la función de producción de la economía; de tal modoque crisis productivas como la de 1929 eran casos especiales más que la reglageneral. En especial, Solow y Swan mostraron que en el estudio del crecimientolo que predominaba era la estabilidad dinámica del sistema económico más queel desastre previsto por Harrod y Domar.
SUPUESTOS
País pequeño y abierto, lo que significa que los precios y las tasas de
interés externa están dados.
El ahorro es igual a la inversión bruta
Los agentes económicos ahorran una fracción constante del ingresó.
La cantidad de producto que se genera, se debe a la combinación de dos
factores o insumos productivos: el capital K y la mano de obra L, donde a
F (K, L) se le conoce como ‘función de producción.
La inversión neta o variación neta del capital está dada por la adquisición
de equipo menos la depreciación del mismo.
La mano de obra sigue un comportamiento malthusiano.
Utiliza una función de producción de Cobb-Douglas
Satisface las condiciones de Inada, las cuales implican que las “primeras
unidades” de capital y trabajo son altamente productivas, pero que cuando
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MACROECONOMÍA II 9
MODELO DE SOLOW-SWAN
el capital y el trabajo son suficientemente abundantes, entonces sus
productos marginales son cercanos a cero.
El nivel tecnológico es constante (la tecnología no crece conforme
transcurre el tiempo), y sin pérdida de generalidad lo normalizaremos auno.
MODELO DE CRECIMIENTO NEOCLÁSICO DE SOLOW-SWANEste modelo denominado crecimiento neoclásico de Solow-Swan, también
denominando modelos de crecimiento económico neoclásico, se basa en una
función de producción neoclásica en la cual el producto depende de la
combinación del trabajo y capital y utiliza los supuestos neoclásicos-
productividad marginal decreciente, competencia perfecta, entre otras, y su
principal conclusión es que las economías alcanzaran un estado estacionario en
el cual el crecimiento del producto per capital es nulo.
Veamos a continuación los detalles del modelo pionero de Solow-Swan:
Donde la producción real de bienes nacionales, en una economía cerrada la
identidad de la renta nacional seria:
………………………………………. (1)
Donde:
El ahorro y el consumo agregados serian:
……………………………………………………. (2)
Reemplazando (2) en (1)
………………………………………… (3)
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MACROECONOMÍA II 10
MODELO DE SOLOW-SWAN
La inversión bruta es igual:
…………………………………….…. (4)
Además supondremos que la mano de obra sigue un comportamiento
malthusiano:
……………………………………………… (5)
Integrando (5) entra el instante inicial y un instante posterior “t”, obtenemos la
fuerza laboral de la economía en un instante “t”
…….. (6)
Se supondrá que el stock de capital “K”, el trabajo “L”, y la tecnología2 “A”, en elInstante “t”, se pueden combinar para producir bienes finales a través de unafunción de producción. En este caso vamos a suponer que la función deproducción de la economía es neoclásica, y su forma funcional se muestra a
continuación:
…………………………………………….. (7)
Además esta presenta las siguientes características:
Es homogénea de grado uno
…………………………….….. (8)
La productividad marginal de cada uno de los factores de producción es positiva,pero decreciente:
……. (9)
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MACROECONOMÍA II 11
MODELO DE SOLOW-SWAN
Satisface las condiciones de Inada:
………..…..…….. (10)
Por ahora, supondremos que el nivel tecnológico es constante (la tecnología nocrece conforme transcurre el tiempo), y sin pérdida de generalidad lonormalizaremos a uno. Es decir:
…………………………………………….. (11)
MODELO DE SLOW-SWAN SIN PROGRESO TECNOLOGICO
Ecuaciones de velocidades de convergencia en estado estacionario
Stock capital per cápita de estado estacionario
..................... (12)
PBI (renta agregada) per cápita de estado estacionario
………………………… (13)
Consumo per cápita en el estado estacionario
……………. (14)
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MACROECONOMÍA II 12
MODELO DE SOLOW-SWAN
Estado estacionario de velocidades de convergencia de “k” y del PBI percápita coinciden
……………………… (15)
Tiempo que tarda una variable en recorrer la mitad de la distancia que hayentre su estado estacionario y su valor inicial
………………………… (16)
Comportamiento dinámico del stock de capital per cápita
Ecuación fundamental del modelo de Slow-Swan
............................................. (17)
Stock de capital per cápita a lo largo del tiempo
….. (18)
Comportamiento dinámico de la tasa de crecimiento instantánea del stockde capital per cápita con tecnológico tipo cobb-douglas y sin progresotecnológico
………………… (19)
Valor en el tipo de las velocidades de convergencia del stock capital y delPBI en términos per cápita.
………….… (20)
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MACROECONOMÍA II 13
MODELO DE SOLOW-SWAN
Comportamiento dinámico del PBI per cápita
Comportamiento dinámico del PBI per cápita
…….. (21)
Comportamiento dinámico de la tasa de crecimiento instantánea de larenta per cápita
……………………….. (22)
Velocidad de convergencia del PBI per cápita
………….. (23)
Comportamiento dinámico del consumo per cápita
Dinámica del consumo per cápita
.... (24)
Consumo y PBI expresados en términos per cápita crecen a la misma tasa
……………….... (25)
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MACROECONOMÍA II 14
MODELO DE SOLOW-SWAN
CASO NUMÉRICO (SIN PROGRESO TECNOLÓGICO)
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MACROECONOMÍA II 15
MODELO DE SOLOW-SWAN
1. ANÁLISIS CUALITATIVO
Para efectuar el análisis dinámico cualitativo del modelo Slow-Swan vamos a
construir su diagrama de fase en el plano (k'-k).
En este tipo de análisis se utilize la ecuación (17) obtenemos:
k= (8.18+ (0.45-8.18)*EXP (-0.03*t)) ^3.33 ………… (26)
k'= 0.9*k^0.7-0.11*k …………………….…………….. (27)
1.1. EXCEL 2013
GRÁFICO N°1
FUENTE: Elaboración Propia-Realizado en Excel 2013
DESCRIPCIÓN:
En la figura 1 se puede apreciar que ∗ es un punto de equilibrio dinámicamente
estable, independientemente del nivel de partida de “k”, en el largo plazo la
economía siempre converge al nivel ∗.
2. ANÁLISIS CUANTITATIVO
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
0 200 400 600 800 1000 1200
k'
k
Diagrama de Fase (k'-k)
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MACROECONOMÍA II 16
MODELO DE SOLOW-SWAN
A continuación se realizara el análisis cuantitativo – simulación para lo cual es
necesario insertar la tabla con los valores tanto de los parámetros como de las
variables.
Parámetros Valores
λ 0.04
s 0.9
n 0.07
μ 0
k0 0.07
A 1
a 0.7
Parámetros Valores
k* 1103.65
y* 134.89
c* 13.49
βk* 0.033
βy* 0.033
t 21.00446002 A "k" le tomará 21 años estar a mitad de camino de su valor de
estado estacionario.
A continuación, se muestra, el comportamiento del stock de capital per cápita en
el modelo de Slow-Swan, y se obtienen el comportamiento de las siguientes
ecuaciones:
Variables Ecuación utilizada
y 18
ɣᴋ 19
βk 20
Reemplazando en la ecuación (18), los valores encontrados y obtenemos el
comportamiento dinámico del stock de capital per cápita en el tiempo.
k= (8.18+ (0.45-8.18)*EXP (-0.03*t)) ̂ 3.33 ………………………………………..…. (28)
Graficando la expresión (28), utilizando como herramienta el Excel 2013,podemos observar los siguiente.
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MACROECONOMÍA II 17
MODELO DE SOLOW-SWAN
GRÁFICO N°2
FUENTE: Elaboración Propia-Realizado en Excel 2013
DESCRIPCIÓN:
En el grafico 2, se puede apreciar que conforme el tiempo tiende a infinito, el
stock de capital per cápita, independientemente de su valor inicial, converge
asintóticamente hacia su estado estacionario. Lo que no hace más que
corroborar que el modelo es dinámicamente estable.
Reemplazando en la ecuación (19), los valores encontrados y obtenemos el
comportamiento de la tasa de crecimiento instantánea del stock de capital per
cápita en el tiempo.
ɣk= (0.9*k^0.7-0.11*k )/( (8.18+ (0.45-8.18)*EXP (-0.03*t)) ^3.33))………………. (29)
Graficando la expresión (29), utilizando como herramienta el Excel 2013,
podemos observar los siguiente.
GRÁFICO N°3
0
200
400
600
800
1000
1200
0 50 100 150 200 250 300
k
t
COMPORTAMIENTO DINAMICO DEL STOCK DE CAPITALPER CAPITA
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MACROECONOMÍA II 18
MODELO DE SOLOW-SWAN
FUENTE: Elaboración Propia-Realizado en Excel 2013
DESCRIPCIÓN:
En el grafico 3, se puede observar que la tasa converge a cero conforme el
tiempo tiende a infinito. Es decir, en el largo plazo la tasa de crecimiento del stock
de capital per cápita converge a su valor estado estacionario.
Reemplazando en la ecuación (20), los valores encontrados y obtenemos la
velocidad de convergencia del stock de capital per cápita en el tiempo.
βk= =(0.9* y -0.11*k)/(1103.65-k)………………. (30)
Graficando la expresión (30), utilizando como herramienta el Excel 2013,
podemos observar los siguiente.
GRÁFICO N°4
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
0 50 100 150 200 250 300
ɣk
t
TASA DE CRECIMIENTO INSTANTANEA DEL STOCK DE CAPITAL PER
CAPITA
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MACROECONOMÍA II 19
MODELO DE SOLOW-SWAN
ELABORADO: Fuente Propia-Realizado en Excel 2013
DESCRIPCIÓN:
Se puede observar en el grafico 4, que La tasa converge a cero en el estado
estacionario.
A continuación, se muestra el comportamiento dinámico del PBI per cápita en el
modelo de Slow-Swan.
Variables Ecuación utilizada
y 21
ɣᵧ 22
βᵧ 23
Reemplazando en la ecuación (21), los valores encontrados y obtenemos el
comportamiento dinámico del PBI per cápita en el tiempo.
y = ((8.18+ (0.45-8.18)*EXP (-0.03*t)) ^3.33)^0.7 ……………………………..………. (31)
Graficando la expresión (31), utilizando como herramienta el Excel 2013,
podemos observar los siguiente.
GRÁFICO N°5
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0 50 100 150 200 250 300
βk
t
VELOCIDAD DE CONVERGENCIA DEL STOCK DECAPITAL PER CAPITA
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MACROECONOMÍA II 20
MODELO DE SOLOW-SWAN
FUENTE: Elaboración Propia-Realizado en Excel 2013
DESCRIPCIÓN:
Se puede apreciar en el grafico 5, que en largo plazo, el valor del PBI per cápita
tiende al valor de equilibrio estacionario.
Reemplazando en la ecuación (22), los valores encontrados y obtenemos tasa
de crecimiento instantánea del PBI per cápita en el tiempo.
Ɣy= ((0.9*k^0.7-0.11*k)/ ((8.18+ (0.45-8.18)*EXP (-0.03*t)) ̂ 3.33)))*0.7 ……………. (32)
Graficando la expresión (32), utilizando como herramienta el Excel 2013,
podemos observar los siguiente.
GRÁFICO N°6
0
20
40
60
80
100
120
140
160
0 50 100 150 200 250 300
y
t
COMPORTAMIENTO DINAMICO DEL PBI PER CAPITA
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MACROECONOMÍA II 21
MODELO DE SOLOW-SWAN
FUENTE: Elaboración Propia-Realizado en Excel 2013
DESCRIPCIÓN:
En el grafico 6, se observa que la tasa de crecimiento instantánea del PBI y per
cápita converge a cero conforme el tiempo tiende al infinito.
Reemplazando en la ecuación (23), los valores encontrados y velocidad de
convergencia del PBI per cápita en el tiempo.
βy= (0.9*y-0.11*k)/(1103.65-k) ……………………………………………………….…. (33)
Graficando la expresión (33), utilizando como herramienta el Excel 2013,
podemos observar los siguiente.
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
0 50 100 150 200 250 300
ɣy
t
TASA DE CRECIMIENTO INSTANTANEA DEL PBIPER CAPITA
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MACROECONOMÍA II 22
MODELO DE SOLOW-SWAN
GRÁFICO N°7
FUENTE: Elaboración Propia-Realizado en Excel 2013
DESCRIPCIÓN:
En el grafico 7, observamos que la velocidad de convergencia del PBI per cápita
tiende al infinito, converge hacia su estado estacionario
A continuación, se muestra el comportamiento dinámico del consumo per cápita
en el modelo de solow-swan
Variables Ecuación utilizada
c 24
ɣc 25
Reemplazando en la ecuación (24), los valores encontrados y el comportamiento
dinámico del consumo per cápita a en el tiempo.
c=(1-0.9)/*((8.18+(0.45-8.18)*EXP(-0.03*t))^3.33)^0.7 ………….…………….…. (34)
Graficando la expresión (34), utilizando como herramienta el Excel 2013,
podemos observar los siguiente.
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0 50 100 150 200 250 300
βy
t
VELOCIDAD DE CONVERGENCIA DEL PBI PERCAPITA
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MACROECONOMÍA II 23
MODELO DE SOLOW-SWAN
GRÁFICO N°8
FUENTE: Elaboración Propia-Realizado en Excel 2013
DESCRIPCIÓN:
Se puede apreciar en el grafico 8, que en el largo plazo el valor del consumoper cápita tiende al valor del equilibrio estacionario.
Reemplazando en la ecuación (25), los valores encontrados y la tasa de
crecimiento instantánea del consumo per cápita en el tiempo.
ɣc=((0.9*k^0.7-0.11*k)/((8.18+(0.45-8.18)*EXP(-0.03*t))^3.33)))*0.7…………….…. (35)
Graficando la expresión (35), utilizando como herramienta el Excel 2013,
podemos observar los siguiente.
GRÁFICO N°9
0
2
4
6
8
10
12
14
16
0 50 100 150 200 250 300
c
t
COMPORTAMIENTO DINAMICO DEL CONSUMOPER CAPITA
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MACROECONOMÍA II 24
MODELO DE SOLOW-SWAN
ELABORADO: Fuente Propia-Realizado en Excel 2013
DESCRIPCIÓN:
En el grafico anterior se puede observar que la tasa converge a su valor
estacionario (cero), al igual que paso con la tasa de PBI per cápita.
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
0 50 100 150 200 250 300
ɣc
t
TASA DE CRECIMIENTO INSTANTANEA DELCONSUMO PER CAPITA
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MACROECONOMÍA II 25
MODELO DE SOLOW-SWAN
CONCLUSIÓN
En este trabajo se ha analizado el modelo de crecimiento neoclásico de Slow-
Swan, sin progreso tecnológico, en tiempo continuo, tanto desde su perspectivacualitativa como desde su perfectiva cuantitativa
El modelo de Solow-Swan, sin progreso tecnológico predice que si dos países,uno rico y otro pobre, tienen la misma función de producción (neoclásica), y lasmismas tasas de ahorro, de crecimiento de la población, y de depreciación delstock de capital per cápita, el país pobre (con un stock de capital per cápita inicialinferior al del país rico) crece más rápido que el país rico.
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Í
MODELO DE SOLOW-SWAN
REFERENCIAS
Ciro Eduardo Banzan Navarro: “tópicos en macro encomia dinámica”-2004