MÓDULO DE MEDIDAS DE MÓDULO DE MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL TENDENCIA CENTRAL

PROF. JUAN L. TORRES OCASIOPROF. JUAN L. TORRES OCASIOCATEDRÁTICO AUXILIAR DE CATEDRÁTICO AUXILIAR DE

RECURSOS HUMANOSRECURSOS HUMANOS

UNIVERSIDAD INTERAMERICANA DE PUERTO RICO UNIVERSIDAD INTERAMERICANA DE PUERTO RICO RECINTO DE GUAYAMARECINTO DE GUAYAMA

PROYECTO TPROYECTO TÍTULO V COOPERATIVOÍTULO V COOPERATIVO

ComenzarComenzar

• La Universidad Interamericana de Puerto Rico, Recinto de Guayama, en colaboración con el proyecto Título V, ha desarrollado una serie de módulos instruccionales para cursos de matemática y estadística. Un módulo instruccional es una unidad autónoma de estudio independiente diseñada para individualizar y facilitar el aprendizaje. Es una herramienta adicional que le brinda al estudiante otras opciones de estudio. El estudiante tiene la oportunidad de aprender de forma individualizada. Antes de comenzar a estudiar los módulos debes contestar la pre-prueba. Es importante que pongas interés al contestarla. Te invito a que repases los temas presentados en los módulos y de tener dudas consulta con el profesor asignado al curso.

INTRODUCCIÓN INTRODUCCIÓN

Este módulo se propone ampliar las actividades de enseñanza y aprendizaje básicas aplicadas a las matemáticas y la estadística, incluidos en el Proyecto Título V Cooperativo: “Fortaleciendo los logros académicos por medio de un consorcio para incorporar tecnología en el currículo básico”. El proyecto está integrado por la Pontificia Universidad Católica de Puerto Rico en Ponce desde donde se dirige y sus recintos de Arecibo, Mayagüez y Guayama; la Escuela de Artes Plásticas de Puerto Rico y el Recinto de Guayama de la Universidad Interamericana.

PROPÓSITO PROPÓSITO

Con el estudio de este módulo el estudiante podrá:

● Definir las medidas de tendencia central.

• Explicar los pasos para calcular la media,mediana, percentiles y cuartiles.

• Calcular e interpretar las medidas de tendencia central.

• Calcular e interpretar las medidas de dispersión o variabilidad.

OBJETIVOS OBJETIVOS

Inicio

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

PREPRUEBA

PREPRUEBA DE AUTOEVALUACIÓN

• Este módulo te provee una preprueba de autoevaluación con el propósito de conocer cuáles son tus fortalezas y debilidades en cuanto a los conocimientos y destrezas sobre el contenido de los temas presentados en el mismo. La preprueba te ayudará a identificar cuáles son las áreas en las que debes poner mayor interés. No se utilizará para determinar la nota del curso, no obstante, te servirá para conocer tu entendimiento del tema. Antes de comenzar a estudiar el contenido de este módulo te invito a que conteste la preprueba.

INSTRUCCIONES PARA TOMAR LA PRE-PRUEBA

La primera parte de la preprueba contiene 10 ejercicios de selección múltiple. Cada alternativa de selección tiene al lado izquierdo un círculo color marrón. Debes mover el apuntador al círculo de la alternativa que tu entiendas es la correcta y dar un clip. La máquina automaticamente te indicará si es correcta o incorrecta. Cada alternativa tiene un valor de 2 puntos. En los ejercicios el primero vale 8 puntos y el segundo 9 puntos. La pre-prueba tiene un valor de 42 puntos. Al finalizar la pre-prueba determina el promedio. Debes obtener un 70% o más. De no obtener esa puntuación, debes repasar nuevamente el material.

PARTE I. SELECCIÓN MULTIPLE: (2pts.c/u)

1. Cuando se suman todas las puntuaciones de una prueba y luego se divide el resultado por el número total de las puntuaciones obtenemos la:

a. mediab. medianac. modad. desviación estándar

2. Es el valor de un dato que aparece con mayor frecuencia en un grupo de datos:

a. la medianab. la desviación estándarc. la modad. la media

Correcta

Incorrecta

Incorrecta

Incorrecta

Incorrecta

Incorrecta

Incorrecta

Correcta

CONTINUACIÓN

3. Indique cual es la media en la siguiente distribución; 10, 5, 15, 10, 20, 22, 9, 5, 15 y 19:

a. 15b. 13

c. 10d. 20

4. Indique cual es la mediana en la siguiente distribución; 20, 15, 10, 5 y 12:

a. 10b. 15c. 5d. 12

Incorrecta

Incorrecta

Correcta

Incorrecta

Incorrecta

Correcta

Incorrecta

Incorrecta

C0NTINUACIÓN

5. Es la medida de tendencia central que divide los datos por la misma mitad:

a. la medianab. la mediac. la modad. la desviación estándar

6. ¿Cuál sería la medida más apropiada para describir el promedio de los datos siguientes; 50, 60, 40,

30, 20, 10 y 15:a. la desviación estándarb. la moda c. la mediad. la mediana

CorrectaIncorrecta

Incorrecta

Incorrecta

Incorrecta

Incorrecta

Incorrecta

Correcta

C0NTINUACIÓN

7. Es uno de los requisitos para calcular la mediana:a. sumar los valores de los datosb. ordenar los datosc. buscar el promediod. identificar el dato de mayor

frecuencia

8. Cuando calculamos los percentiles hay que identificar:a. un índiceb. el punto medioc. el promediod. el cuartil

IncorrectaIncorrecta

Incorrecta

Correcta

Incorrecta

Correcta

Incorrecta

Incorrecta

C0NTINUACIÓN

9. Es una medida de localización que con frecuencia divide los

datos en cuatro partes:a. percentilesb. varianzac. cuartilesd. desviación estándar

10. Se pueden usar los cuartiles para dividir los datos en cuatro partes, cada una de las cuales contiene aproximadamente:

a. un 25% de los datosb. un 50% de los datosc. un 75% de los datosd. un 100% de los datos

IncorrectaIncorrecta

Incorrecta

Correcta

Correcta

Incorrecta

Incorrecta

Incorrecta

Parte II. Ejercicios. Resuelve los siguientes ejercicios:

1. Se tiene una muestra de tamaño 6 con valores de datos 10, 18, 12, 17,15 y 12. Calcule la media, la moda y la mediana.

2. Dada una muestra cuyos valores son 27, 25, 20, 15, 30, 34, 28 y 25. Determine el percentil 70 y calcule los cuartiles.

CONTESTACIONES DE LOS EJERCICIOS CONTESTACIONES DE LOS EJERCICIOS

1. MEDIA = 14

MEDIANA = 13.5

MODA = 12

2. 70 PERCENTIL = 28

CUARTILES Q1 = 22.5 Q2 = 26

Q3 = 29

Son medidas estadísticas que se usan para describir como se puede resumir la localización de los datos. Ubican e identifican el punto alrededor del cual se centran los datos. Las medidas de tendencia central nos indican hacia donde se inclinan o se agrupan más los datos. Las más utilizadas son: la media, la mediana y la moda.

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRALMEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

MEDIA MEDIA

MEDIANA MEDIANA

MODA MODA

PERCENTILES PERCENTILES

CUARTILES CUARTILES

• La media o media aritmética, usualmente se le llama promedio. Se obtiene sumando todos los valores de los datos y dividiendo el resultado entre la cantidad de datos. Si los datos proceden de una muestra, el promedio se representa con X. Si los datos proceden de la población, se utiliza la letra griega µ.

LA MEDIALA MEDIA

CONTINUACIÓNCONTINUACIÓN

• La fórmula matemática para calcular la media o promedio es la siguiente:

donde;= promedio

= signo de sumatoria N = numero de datos

Veamos como se emplea la media o promedio con el siguiente ejemplo:

N

xx

X

A continuación se presenta una muestra de las puntuaciones en un examen de un curso de estadística:

70 90 95 7458 70 98 7275 85 95 7480 85 90 6590 75 90 69

Podemos calcular el promedio de las puntuaciones para conocer cuántos estudiantes obtuvieron puntuaciones por encima y por debajo del promedio . Veamos

EJEMPLOEJEMPLO

CONTINUACIÓNCONTINUACIÓN

Primero, sumamos todos los valores de los datos y el resultado lo divide entre el total de datos o tamaño de la muestra. Al sumar todas las puntuaciones en el ejemplo anterior obtendrás un total de 1600, que dividido por 20(total de datos), es igual a 80. Si empleamos la fórmula obtenemos:

N

xx 80

20

1600x

• La segunda medida de tendencia central que analizaremos es la mediana, en ocasiones se le llama media posicional, porque queda exactamente en la mitad de un grupo de datos, luego de que los datos se han colocado de forma ordenada. En este caso la mitad (50%) de los datos estará por encima de la mediana y la otra mitad (50%) estará por debajo de ella. La mediana es el valor intermedio cuando los valores de los datos se han ordenado.

LA MEDIANALA MEDIANA

• Existen dos formas para obtener la mediana. Primero, si la cantidad de los datos es impar, la mediana es el valor que se encuentra en la posición (n+1)÷2 donde, n es el número de datos. Por ejemplo, se tiene una muestra de tamaño 5 con los siguientes valores: 46, 54, 42, 48 y 32. Veamos como se determina la mediana.

CONTINUACIÓNCONTINUACIÓN

• Primer paso, ordenar los datos:32 42 46 48 54

Como la cantidad de datos es impar (5 datos), la mediana es el valor del dato que se encuentra ubicado en la posición (5+1)÷2=3, la mediana es 46. Segundo, si la cantidad de datos es par, la mediana es el valor promedio de los datos que se encuentran en las posiciones (n÷2) y (n÷2) + 1. Veamos el siguiente ejemplo:

PASOS PARA CALCULAR LA MEDIANA

PASOS PARA CALCULAR LA MEDIANA

EJEMPLO EJEMPLO

• Se ha obtenido una muestra con los valores de datos: 27, 25, 27, 30, 20 y 26. ¿cómo se determina la mediana en este caso?.

• Primer paso, ordenar los datos de forma ascendente:

20 25 26 27 27 30

Como el número de datos es par (6), la mediana es el promedio de los datos que se encuentran en las posiciones (6÷2) = 3 y (6÷2) +1 = 4. por lo tanto la mediana es:

= 2

2726 26.526.5

• La moda es el dato que más se repite o el dato que ocurre con mayor frecuencia. En el ejemplo anterior la moda es el . Un grupo de datos puede tener más de una moda. Veamos el siguiente ejemplo: se tiene una muestra con valores 20, 23, 20, 24, 25, 25, 26 y 30. El 20 y 25 son la moda entonces, se dice que es bimodal.

LA MODALA MODA

2727

• Un percentil nos provee información de como se distribuyen los valores de los datos desde el menor hasta el mayor. El percentil divide los datos en dos partes, más o menos el (p) por ciento de los datos tienen valores menores que el percentil y aproximadamente (100-p) por ciento de los datos tienen valores mayores que el percentil.

PERCENTILESPERCENTILES

PASOS PARA CACULAR EL PERCENTILPASOS PARA CACULAR EL PERCENTIL

• Para calcular el percentil debe seguir los siguientes pasos:

Paso 1. Ordene los datos de manera ascendente.

Paso 2. Calcule un índice (i)

en donde (p) es el percentil de interés y (n) es el número de datos u obsevaciones.

nP

i

100

Paso 3.a) Si (i) no es entero, utilizando las reglas de redondeo, se

lleva al próximo numero entero. El valor entero inmediato mayor que (i) indica la posición donde se encuentra el percentil. Esto significa que si (i) = 3.5, el percentil se encuentra en la posición 4 de los

datos.b) Si (i) es entero, el percentil

es el promedio de los valores de los datos ubicados en los lugares

i e (i + 1). Veamos como se aplica

COTINUACIÓNCOTINUACIÓN

• Como ejemplo de este procedimiento, determina el percentil 75 de los datos sobre las edades del siguiente un grupo de ciudadanos: 25, 20, 26, 21, 19, 23, 22, 30, 28, 27.Paso 1. Ordene los datos en orden

ascendente:19 20 21 22 23 25 26 27 28 30

EJEMPLOEJEMPLO

EJEMPLOEJEMPLO

Paso 2. Calcule el índice (i):

Paso 3. Como (i) no es entero, redondeamos al próximo entero mayor que

7.5, o sea, el lugar 8. Al referirnos a los datos del ejemplo, vemos que el percentil 75

es el valor del dato ubicado en la posición número 8, que en este caso es 27. 19 20 21 22 23 25 26 27 28 30

Nota. Recuerda que (i) nos indica el lugar del dato donde se encuentra el percentil que estamos buscando.

nP

i

100

5.710100

75

i

• Significa que el 75% de las edades son menores de 27 años y el 25% restante (100-p) es mayor de 27 años.

¿CÓMO SE INTERPRETA EL PERCENTIL EN ESTE EJEMPLO?

¿CÓMO SE INTERPRETA EL PERCENTIL EN ESTE EJEMPLO?

• Los cuartiles dividen los datos en cuatro partes. Cada una de las partes representa una cuarta parte, o el 25% de las observaciones. Los cuartiles son percentiles específicos; por consiguiente, los pasos para calcular los percentiles los podemos emplear para calcular los cuartiles.

CUARTILESCUARTILES

• Los cuartiles se definen de la siguiente maneraQ1 = primer cuartil, o percentil 25Q2 = segundo cuartil, o percentil 50

(también la mediana)Q3 = tercer cuartil, o percentil 75

CONTINUACIÓNCONTINUACIÓN

PASOS PARA CALCULAR LOS CUARTILESPASOS PARA CALCULAR LOS CUARTILES

• A continuación se presenta un conjunto de datos con los siguientes valores; 10, 5, 12, 8, 14, 11, 15, 20, 18, 30 y 25.¿ Cómo identificamos los cuartiles en este ejemplo?Utilizarás los mismos pasos para identificar los percentiles: Primero, ordenamos los datos5 8 11 12 14 15 18 20 25 30Segundo, determinamos (i) para cada cuartil:

Q1 = primer cuartil, o percentil 25Q2 = segundo cuartil, o percentil 50 (también la mediana)Q3 = tercer cuartil, o percentil 75

CONTINUACIÓNCONTINUACIÓN

• Cuartiles: Q1 = primer cuartil, o percentil 25

= 2.5

Como(i) no es un número entero, se redondea al próximo entero mayor que 2.5, o sea 3. Al referirnos a los datos vemos que el primer cuartil está ubicado en la posición 3 de los datos que este caso es 11. El primer cuartil en los datos se divide de la siguiente forma:

5 8 11 12 14 15 18 20 25 30 Q1=1

10100

25

i

CONTINUACIÓNCONTINUACIÓN

• Segundo cuartil:Q2 = segundo cuartil, o percentil 50 (también la mediana)

= 5

Como (i) es un número entero, el segundo cuartil es el promedio de los valores de los datos que están en las posiciones i e (i+1), que en este caso es, (14+15)÷2=14.5, entonces, el segundo cuartil en los datos se divide así: 5 8 11 12 14 15 18 20 25 30 Q1=11 Q2=14.5

10100

50

i

CONTINUACIÓN CONTINUACIÓN• Tercer cuartil:

Q3 = tercer cuartil, o percentil 75

= 7.5Como (i) no es un número entero, se redondea al próximo entero mayor que 7.5, o sea 8. Al referirnos a los datos , vemos que el tercer cuartil está ubicado en posición 8 de los datos que en este caso es el 20. Finalmente, los cuartiles en este caso se presentan de la siguiente forma:

5 8 11 12 14 15 18 20 25 30 Q1=11 Q2=14.5 Q3=20

10100

75

i

Resuelve los siguientes ejercicios:Se ha obtenido una muestra del salario de los Bomberos del área sur de P.R. Los datos recopilados fueron los siguientes: 1500 $1400 $1600 $2100

1200 1300 1900 1800 2000 1200 1200 1500

2200 2300 1500 1400a. determine el salario promediob. calcule la mediana y la moda.

EJERCICIOS DE PRÁTICA EJERCICIOS DE PRÁTICA

c. Con los datos del ejercicio anterior

conteste lo siguiente:

a. calcule el percentil 65. Explique el resultado.

b. determine los cuartiles.

CONTINUACIÓN CONTINUACIÓN

POSPRUEBA MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

POSPRUEBA POSPRUEBA

El propósito de la post-prueba es medir los conocimientos adquiridos sobre el contenido de los temas presentados en los módulos. Las instrucciones para contestarla son las mismas de la pre-prueba. La pos-prueba tiene un valor de 42 puntos al igual que la pre-prueba. Compara las puntuaciones obtenidas en ambas pruebas. Esto te ayudará a identificar tus fortalezas y cuales son las áreas que necesitas mejorar con relación al contenido de los temas. Para contestar la posprueba usa las mismas instrucciones que aparecen en la preprueba.

POS-PRUEBA DE AUTOEVALUACIÓN POS-PRUEBA DE AUTOEVALUACIÓN

1.Cuando calculamos los percentiles hay que identificar:a. el punto mediob. un índicec. el cuartild. el promedio

2. Es la medida de tendencia central que divide los datos por la misma mitad:

a. la desviación estándarb. la modac. la medianad. la media

Incorrecta

Incorrecta

Incorrecta

Correcta

IncorrectaIncorrecta

Incorrecta

Correcta

PARTE I. SELECCIÓN MÚLTIPLE PARTE I. SELECCIÓN MÚLTIPLE

3. Se pueden usar los cuartiles para dividir los datos en cuatro partes, cada una de las cuales contiene:

a. un 75% de los datosb. un 50% de los datosc. un 100% de los datosd. un 25% de los datos

4. Cuando se suman todas las puntuaciones de una prueba y luego se divide el resultado por el número total de las puntuaciones, obtenemos la:

a. medianab. mediac. desviación estándard. moda

Incorrecta

Incorrecta

Incorrecta

Correcta

Incorrecta

Incorrecta

Incorrecta

Correcta

CONTINUACIÓN CONTINUACIÓN

5. Es el valor de un dato que aparece con mayor frecuencia en un grupo de datos:

a. la modab. la medianac. la desviación estándard. la media

6. Es una medida de localización que con frecuencia divide los datos en cuatro partes:

a. la desviación estándarb. percentilesc. varianzad. cuartiles

IncorrectaIncorrecta

Incorrecta

Correcta

IncorrectaIncorrecta

Incorrecta

Correcta

CONTINUACIÓN CONTINUACIÓN

7. Indique cual es la media en la siguiente distribución; 10, 5, 15, 10, 20, 22, 9, 5, 15 y 19:

a. 20b. 10c. 13d. 15

8. ¿Cuál sería la medida más apropiada para describir el promedio de los datos siguientes?; 50, 60, 40, 30, 20, 10 y 15:

a. la mediab. la medianac. la desviación estándard. la moda

IncorrectaIncorrecta

Incorrecta

Correcta

IncorrectaIncorrecta

Incorrecta

Correcta

CONTINUACIÓN CONTINUACIÓN

9. Indique cual es la mediana en la siguiente distribución; 20, 15, 10, 5 y 12:

a. 5b. 10c. 12d. 15

10. Es uno de los requisitos para calcular la mediana:a. ordenar los datosb. sumar los valores de los datosc. identificar el dato de mayor

frecuenciad. buscar el promedio

Incorrecta

Incorrecta

Incorrecta

Correcta

IncorrectaIncorrecta

Incorrecta

Correcta

CONTINUACIÓN CONTINUACIÓN

1. B 6. D2. C 7. A3. D 8. B4. B 9. C5. A 10. D

CONTESTACIONES DE LA POS-PRUEBA CONTESTACIONES DE LA POS-PRUEBA