ICIE1006-1

Ingeniería Económica

Unidad III Relaciones Dinero Tiempo

Prof. Henry Grino

Ing. Civil, Mg en Dirección de Empresas, Mg Economía Energética

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Prof. Henry Grino

Objetivos de Aprendizaje

Rendimiento del Capital Orígenes del Interés Interés Simple Interés Compuesto Equivalencias Diagrama de Tablas y Flujos de

Efectivo Formulas de interés Secuencia aritméticas de flujos

de efectivo Secuencia geométrica de flujos

de efectivo Tasa de interés nominales v/s

efectivo Interés continuo

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Rendimiento del capital

Conceptos:

Capital: se requiere para personas, máquinas, materiales, energía y cualquier otra cosa necesaria para la operación

Se clasifica en: Capital Propio y capital de deuda

Rendimiento: en forma de interés y utilidad

El interés y las utilidades es el pago a los proveedores y constituyen los pagos por el riesgo que corre el inversionista al permitir que otro utilice el capital

El capital propio o prestado tiene un interés por concepto de costo oportunidad, debe proporcionar un rendimiento

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Interés simple

Se dice que es simple porque se cobra una proporción

lineal sobre el préstamo

I = (P)(N)(i)

P= principal o capital inicial, N= períodos de interés, i=

tasa de interés por período

Regla de tres simple

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Interés compuesto

Formulas para flujos de efectivo únicos

P/F: Factor de valor presente

Ejemplo: Un inversionista tiene la opción de comprar una extensión de tierra cuyo valor será de $10.000 dentro de

6 años. Si el valor de la tierra se incrementa un 8% anual, ¿Cuánto debería estar dispuesto a pagar el

inversionista por la propiedad?

F/P: Factor de valor futuro

5

n

niF

iFP )1(

)1(

1

)%,,/( NiFPFP

)6%,8,/(000.10$ FPP

)6302,0(000.10$P

302.6$P

)%,,/( NiPFPF niPF )1(

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Interés compuesto

Ejercicio: Tabla 3.2

En la renovación del pequeño edificio de oficinas de una empresa, se identificaron

dos alternativas factibles para actualizar el sistema de calefacción, ventilación y aire

acondicionado. Debe implantarse ya sea la alternativa A o la alternativa B. Los

costos son los siguientes:

6

A Reparación total del sistema

Equipo, mano de obra y materiales 18.000

Costo anual de electricidad 32.000

Gastos anuales de mantenimiento 2.400

B Instalar un sistema nuevo

Equipo, mano de obra y materiales 60.000

Costo anual de electricidad 9.000

Gastos anuales de mantenimiento 16.000

Reemplazo de un componente importante dentro de 4 años 9.400

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Interés compuesto

Ejercicio: Tabla 3.2

Al final de los 8 años, el valor de mercado que se estima para la alternativa A es de

$2.000, y para la alternativa B es de $8.000.

Hacer tabla de flujos

Determinar cual es la mejor alternativa

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A Reparación total del sistema

Equipo, mano de obra y materiales 18.000

Costo anual de electricidad 32.000

Gastos anuales de mantenimiento 2.400

B Instalar un sistema nuevo

Equipo, mano de obra y materiales 60.000

Costo anual de electricidad 9.000

Gastos anuales de mantenimiento 16.000

Reemplazo de un componente importante dentro de 4 años 9.400

niPF )1(n

niF

iFP )1(

)1(

1

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Interés compuesto

Formulas para series uniformes (anualidades) que relacionan valores

presente y futuro

F/A: Factor de acumulación de riqueza:

Ejemplo: Suponga que hace 15 depósitos de $1.000 cada uno en una cuenta bancaria que paga el 5% de interés

por año. El primer depósito se hará dentro de un año a partir de hoy. ¿Cuánto dinero podrá retirar de su cuenta

inmediatamente después del pago número 15?

8

)%,,/( NiAFAF

?P

i

iAF

N 1)1(

)1(

11

)1(

1)1( 1

i

ii

AF

N

)15%,5,/(000.1$ AFF

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Interés compuesto

Factores de valor presente y de recuperación de capital de series

uniformes (anualidades) que relacionan valores presente y futuro

P/A: Factor de Valor Presente de una Serie Uniforme:

Ejemplo: Si el día de hoy a cierta máquina se le ordena una reparación mayor, su producción se incrementaría un

20%, que se traduciría en un flujo de efectivo adicional de $20.000 al final de cada año durante cinco años. Si i =

15% anual, ¿cuándo es razonable invertir para arreglar la máquina en cuestión?

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)%,,/( NiAPAP

)%,,/(000.20$ niAPP

i

iAiP

N

N 1)1()1(

N

N

ii

iAP

)1(

1)1(

ii N /)1(1

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Interés compuesto

Factores de valor presente y de recuperación de capital de series

uniformes (anualidades) que relacionan valores presente y futuro

A/P: Factor de Recuperación de Capital:

Ejemplo:. ¿………………………?

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)%,,/( NiPAPA1)1(

)1(N

N

i

iiPA

Nii )1(1/

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Interés compuesto

Formulas para series uniformes (anualidades) que relacionan valores

presente y futuro

A/F: Factor de Amortización:

Ejemplo: Una estudiante emprendedora planea tener un ahorro personal por un total de $1.000.000 cuando se

retire a los 65 años de edad. Ahora tiene 20 años. Si la tasa de interés anual en promedio será de 7% durante los

próximos 45 años para su cuenta de ahorro. ¿qué cantidad igual debe ahorrar al final de cada año para cumplir

su objetivo?

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)%,,/( NiFAFA

)%,,/( niFAFA

1)1( ni

iFA

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Interés compuesto

Formulas para flujos de efectivo únicos

Pago único

Formulas de interés que relacionan anualidades conocidas

Fondo de amortización A/F

A=F(A/F,i,n)

Cantidad compuesta F/A

F=A(F/A,i,n)

Serie uniforme de valor presente P/A

P=A(P/A,i,n)

Recuperación del capital A/P

A=P(A/P,i,n)

12

i

iAF

N 1)1(

N

N

ii

iAP

)1(

1)1(

1)1(

)1(N

N

i

iiPA

n

niF

iFP )1(

)1(

1niPF )1(

1)1( ni

iFA

Nii )1(1/

ii N /)1(1

11

m

am

ri

11m

aii

111 m

aii

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Anualidades Diferidas

• Cuando el flujo de efectivo ocurre en alguna fecha posterior, la anualidad

de conoce como anualidad diferida.

• Suponga que un padre desea determinar qué cantidad única tendría que depositar el día que naciera su hijo, en una cuenta que gana el 12% anual, para que su hijo disponga de $2.000 en cada uno de sus cumpleaños 18, 19, 20 y 21

P17 = A(P/A,i,n) = x Cual es el factor P/A !

P0 = F17(P/F,i,n) = x(P/F,i,n) Cual es el factor P/F !

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Anualidades Diferidas

Cálculo de equivalencias que implican varias formulas de interés.

• De una serie de flujos de efectivo al final de cada uno de los ocho años de extensión, con cantidades de $100, $200, $500, y $400 para los siguientes cuatro años.

• Se desea encontrar a) el valor presente equivalente del gasto P0, b) el gasto futuro equivalente F8, y c) el gasto anual equivalente, A, de estos flujos de efectivo si la tasa de interés anual es del 20%

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Anualidades Diferidas

• Se desea conocer el gasto futuro equivalente, F8,

el gasto anual equivalente A,

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Anualidades Diferidas

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Anualidades Diferidas

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Gradientes

Gradientes uniformes de flujos de efectivo

Algunos problemas implican ingresos o egresos que se proyectan para que

aumenten o disminuyan en una cantidad uniforme.

Constituyen una secuencia aritmética de los flujos de efectivo. y la cantidad G se

conoce como un Gradiente Uniforme de flujos de efectivo

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Gradientes

Calculo del valor de F, cuando se conoce el de G:

El valor futuro, equivalente F, de la secuencia aritmética de los flujos de efectivo, simplificando es:

Ejemplo obtener factor F/G

i

NGNiAF

i

GF ),,/(

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Gradientes

Calcular el valor de A cuando se conoce el valor de G

Ejemplo obtener factor A/G, A = (A/G,i,N)

),,/( NiFAFAi

NGNiAF

i

GF ),,/(

),,/(),,/( NiFAi

NGNiAF

i

GA

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Gradientes

Calcular el valor de P cuando se conoce el de G

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Tasa Nominal y Efectiva

Formulación

r = Tasa de interés nominal anual

i = Tasa de interés efectiva por Período de composición (PC)=r/m

m = Número de períodos de capitalización o composición

ia = tasa de interés efectiva anual

Una tasa nominal r puede fijarse para cualquier período, 1 año, 6

meses, 1 trimestre, etc. La convención es anual

Ejemplo r= 9% anual, capitalización mensual, así m=12, por

consiguiente i = 9/12 = 0,75%

Para el ejemplo 9,38%,

; 11

m

am

ri

11m

aii

111 m

aii

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Tasa Interés para Cualquier Período

Formulación PP = Período de pago, PC = Período de composición Por ejemplo: si una compañía deposita dinero cada mes en una cuenta que da rendimiento con

una tasa de interés nominal del 14% anual, con un período de composición semestral, el período

de pago es de un mes, mientras que el período de composición es de 6 meses.

Para evaluar flujos de efectivo PP < 1 año

r = tasa de interés nominal por período de pago (PP)

m = número de períodos de composición por períodos de pago (PC)

i efectivo

11m

mri

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Tasa Interés para Cualquier Período

Problema Visteon, una compañía que salió de la Ford Motor Company, abastece de partes

importantes de automóvil a los fabricantes de automóviles alrededor del mundo, y

constituye el abastecedor más importante de la Ford. Un ingeniero pertenece al

comité de Visteon que evalúa propuestas para incorporar maquinaria de medición de

coordenadas, de la nueva generación a la fabricación de automóviles de partes de

alta precisión. Tres propuestas de venta incluyen las tasas de interés que aparecen a

continuación. Visteon hará pagos semestrales exclusivamente. El ingeniero se

encuentra confundido respecto de las tasas de interés efectivas (su valor anual y

durante el período de pago de 6 meses)

Propuesta núm. 1: 9% anual, compuesto trimestralmente

Propuesta núm. 2: 3% trimestral, compuesto trimestralmente

Propuesta núm. 3: 8,8% anual, compuesto mensualmente

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Tasa Interés para Cualquier Período

Problema

a) Determinar la tasa efectiva de cada propuesta si se harán pagos semestrales, y

construya diagramas de flujo de efectivo semejantes a los de la figura para las

tasas de las diferentes propuesta.

b) ¿Cuáles son las tasas anuales efectivas? Estas formaran parte de la elección

de la propuesta final.

c) ¿Qué propuesta incluye la tasa anual efectiva más baja?

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Muchas Gracias