Modelos para la Toma de Decisiones

Construcción de modelos y método gráfico.

19/04/2023

Definición de la Programación Lineal

La Programación Lineal (PL) es un procedimiento

matemático para determinar la asignación

óptima de recursos escasos.

Cualquier problema de PL consta de una función

objetivo y un conjunto de restricciones.

Definición del problema (modelado)

El objetivo Los límites o restricciones

Las interrelacione

s

Las acciones a tomar

Las simplificacion

es

El tiempo disponible

para la toma de decisión

Pasos para la construcción del modelo de Programación Lineal

Definir las variables de decisión.

Definir el objetivo o meta en términos de las variables de decisión.

Definir las restricciones.

Restringir todas las variables para que sean no negativas.

Tipos de Variables

Contínuas

Discretas

Binarias

Variables Contínuas

Son las variable que pueden adquirir cualquier valor dentro de un intervalo especificado de valores. Son aquellas que pueden tomar cualquier valor real. Por ejemplo el peso o la altura.

Variables Discretas

Son las variables que presenta separaciones o interrupciones en la escala de valores que puede tomar. Estas separaciones o interrupciones indican la ausencia de valores entre los distintos valores específicos que la variable pueda asumir. Son aquellas que sólo toman valores enteros. Un ejemplo es el número de hijos o de máquinas.

Variables Binarias

Son aquellas variables discretas que toman exclusivamente los valores de 0 y 1.

Generalmente se le utilizan para indicar una decisión (0 si no se efectúa una acción, 1 si se efectúa)

Suposiciones del modelo

Todas las variables tienen un valor mayor o igual a 0. Que todas las restricciones se comportan de forma lineal.

Aplicaciones Típicas

Combinación y mezclas Transporte Trasbordo Asignación Planeamiento con y sin inventarios Programación de tareas

Método de Solución Gráfica

Es una manera simple de resolver problemas de programación lineal para problemas que tengan únicamente 2 variables de decisión.

Modelo con 2 variables

El señor Gonzáles dispone de 10,000 para invertir. El puede invertir en acciones y en bonos. Para estar seguro, piensa que las acciones deben ser no mas del 25% y por lo menos el 10% de lo invertido en ambas opciones. En bonos quiere invertir por lo menos $4000. Se estima que la tasa anual de rendimiento en bonos es 8% y en acciones 10%. Formule el modelo de programación lineal que ayude al señor Gonzáles a decidir cuánto debe invertir en acciones y cuánto en bonos.

Modelamiento

El señor Gonzáles dispone de 10,000 para invertir. El puede invertir en acciones y en bonos.

Para estar seguro, piensa que las acciones deben ser no mas del 25% y por lo menos el 10% de lo invertido en ambas opciones.

En bonos quiere invertir por lo menos $4000. Se estima que la tasa anual de rendimiento en bonos es

8% y en acciones 10%. Formule el modelo de programación lineal que ayude al

señor Gonzáles a decidir cuánto debe invertir en acciones y cuánto en bonos.

Formulación de Modelo

Variables de decisión:• Acciones: Cantidad a invertir en acciones.• Bonos: Cantidad a invertir en bonos.

Objetivo: Rendimiento anual• Max Z=0.08 Bonos + 0.10 Acciones

Restricciones:• Bonos + Acciones <=10,000• Bonos >=4,000• Acciones >= 0.10 (Acciones + bonos)• Acciones <= 0.25 (Acciones + bonos)• Acciones>=0, Bonos>=0

Formulación de Modelo

Objetivo:• Max Z=0.08 Bonos + 0.10 Acciones

Sujeto a:• Bonos + Acciones <=10,000• Bonos >=4,000• 0.9 Acciones - 0.10 Bonos >= 0• 0.75 Acciones – 0.25 Bonos <= 0• Bonos >=0 , Acciones >=0

Método Gráfico de Solución

Dibujar cada restricción sobre el cuadrante no negativo. Para ello hay que convertir las desigualdades en igualdades.

Para cada desigualdad:• Escoger un punto de ensayo fuera de la recta.• Evaluar el punto de ensayo en la desigualdad.• Determinar si el punto de ensayo satisface la desigualdad. Si lo hace

la región del lado del punto puede formar parte de la región factible, si no la región del otro lado de la recta formará parte de la región factible

Dibujar una recta arbitraria de la función objetivo. Trazar una línea paralela de forma que pase por el punto mas

alejado del origen de coordenadas (0,0) en la región factible si la función objetivo es maximizar; o por el punto mas cercano al origen de coordenadas (0,0) si la función objetivo es minimizar.

Evaluar los valores de las variables y la función objetivo para el vértice encontrado.

Solución gráfica. Paso 1

Sea A el monto a invertir en acciones y B el monto a invertir en Bonos.

Restricción: Bonos + Acciones <=10,000 Restricción Transformada: B + A =10,000 (Si A=0, B=10000. Si A=10000, B=

0)

• Punto de ensayo B=1,000 A=1,000 • Evaluar A+B = 2,000• Determinar si A+B <= 10,000 -> 2,000<=10,000

A

B

Solución gráfica. Paso 2

Restricción: Bonos >=4,000 R.T: B =4,000

• Punto de ensayo A=1,000 B=1,000• Determinar si B>=4,000 -> 1,000 >= 4,000

A

B

Solución gráfica. Paso 3

Restricción: 0.9 Acciones - 0.10 Bonos >=0 R.T.: 0.9 A - 0.10 B = 0 (Si A=0, B=0. Si A=1000, B= 9000)

• Punto de ensayo A=5,000 B=5,000• Evaluar 0.9(5,000) - 0.10(5,000) = 4,000• Determinar si 0.9A - 0.1B >=0 -> 4,000>= 0

A

B

Solución gráfica. Paso 4

Restricción: 0.75 Acciones - 0.25 Bonos <=0 0.75 A – 0.25 B = 0 (Si A=0, B=0. Si A=3000, B= 9000)

• Punto de ensayo A=5,000 B=5,000• Evaluar 0.75(5,000) - 0.25(5,000) = 2,500• Determinar si 0.75A - 0.25B <=0 -> 2,500<= 0

A

B

Solución gráfica. Paso 5

Objetivo: Max Z=0.08 B + 0.10 A 0.08 B + 0.10 A = 0 (Si A=0, B=0. Si A=-8000, B= 10,000)

A

B

Terminología

Región factible. Son los valores de las variables que satisfacen todas las restricciones simultáneamente.

Puntos extremos. Son los vértices de la región factible. Solución factible. Es un punto cualquiera de la región

factible. Punto óptimo. Es vértice de la región factible cumple con

la función objetivo de manera óptima. Solución óptima. Es el punto o conjunto de puntos de la

región factible que maximiza o minimiza la función objetivo.

Restricciones Activas. Son aquellas que desde el punto de vista geométrico pasan por la solución óptima.

Casos Especiales

Al solucionar un problema puede suceder que:• No se encuentre una región factible, por lo que el problema

no tiene solución.• La recta de la función objetivo se superponga a una arista de

la región factible, por lo que las soluciones óptimas son múltiples.

• Que el problema sea ilimitado o no acotado.

Situaciones de Solución

El problema tiene solución óptima única. El problema tiene solución óptima múltiple. El problema no tiene solución porque no es factible. El problema no tiene solución porque no es acotado.

Problemas de Mezcla

Son aquellos problemas en los

cuales los insumos pueden utilizarse en

diferentes proporciones para obtener productos

de venta.

Ejemplo

La empresa Nestle Purina fabrica 3 productos de su línea Pro Plan de alimentos para perros que tienen la siguiente composición: Puppy Adulto Senior

Proteína 28% 27% 28%

Grasa 18% 17% 14%

Asumiendo que:• La disponibilidad de proteína de carne es de 100 tonelada para el periodo• Existe en almacén 10 toneladas de grasa que no puede guardarse para el

siguiente periodo, por lo que deben ser consumidas durante el periodo.• La utilidad por kilo de alimento es de $0.20, $0.25 y $0.15 para los tres

productos.• El porcentaje de Puppy y Senior debe ser no menos del 10% del total

producido.

Elaborar un modelo que permita elaborar un plan de producción del periodo.

Definición del Problema

Establecer objetivo:• Obtener utilidades Maximizar Utilidad

Variables de decisión:• P:Cantidad de Kg. de producto Puppy a producir.• A:Cantidad de Kg. de producto Adulto a producir.• S:Cantidad de Kg. de producto Senior a producir.

Variables auxiliares (opcionales):• Grasa: Cantidad de Kg. de grasa utilizada.• Prot: Cantidad de Kg. de proteína utilizada.

Definición del Problema

Establecer restricciones:• Proteina disponible 100 toneladas Proteina <=100000 Kg• Grasa en almacén 10 toneladas Grasa >=10000 Kg• Puppy >=10% de producción total• Senior >=10% de producción total

Establecer relaciones• Proteina = Prot.Puppy + Prot.Adulto + Prot.Senior• Grasa=Grasa.Puppy + Grasa.Adulto + Grasa.Senior

Modelo

Maximizar Z = 0.2 P + 0.25 A + 0.15 S

Sujeto a: Prot <=100,000 Grasa >=10,000 P >= 0.10 ( P + A + S ) S >= 0.10 ( P + A + S ) Prot = 0.28 P + 0.27 A + 0.28 S Grasa = 0.18 P + 0.17 A + 0.14 S

Transporte

“Sistema de medios para

conducir personas y cosas de un

lugar a otro.” RAE

Transporte

Es un problema general en el cual existen m puntos de suministro a partir de los cuales se envía un bien.

Cada punto de suministro abastece a lo mucho Si unidades.

Existen n puntos de demanda a los que se envía el bien. Cada punto de demanda necesita por lo menos Dj

unidades. Cada unidad enviada de i a j tiene un costo Cij.

Modelo del Transporte

Planta 1

Planta 2

Destino 1

Destino 2

Destino 3

S1 <= 30

S2 <= 20

D1 >= 25

D2 >= 10

D3 >= 5

C11=5

C12=2

C13=1.5C23=2

C22=2.5

C21=3

Trasbordo

A diferencia del problema de transporte se permite envíos entre puntos de suministro o puntos de demanda.

Puede darse también el caso de que existan puntos intermedios entre un punto de suministro y uno de demanda; los cuales se denominan puntos de trasbordo.

Modelo de Trasbordo

Suministro 1

Suministro 2

Trasbordo 1

Trasbordo 2

Demanda 1

Demanda 2

Programación

Son los problemas en los cuales hay que satisfacer las exigencias de la fuerza de trabajo en turnos u horarios laborales.

Ejemplo

Durante cada 4 horas la policía de Pueblo Chico necesita la siguiente cantidad de oficiales en servicio:• De las 12 a las 4 a.m. 8• De 4 a 8 a.m. 7• De 8 a.m. a 12 del día 6• De 12 a 4 p.m. 6• De 4 a 8 p.m. 5• De 8 p.m a medianoche 4

Cada oficial trabaja 2 turnos consecutivos de 4 horas. Elaborar un modelo que permita minimizar el número de

policías necesarios para cumplir con las necesidades de Pueblo Chico.

Asignación

Es el tipo de problemas donde hay un número n de máquinas u objetos destinadas a satisfacer un número n de tareas.

Cada objeto debe ser asignado a una y sólo una tarea. Puede ser resuelto como un problema de transporte en el

cual cada punto de suministro ofrece una unidad y cada punto de destino recibe una unidad.

Modelo de Asignación

Gerente 1

Gerente 2

Tienda 1

Tienda 2

S1=1

S2=1

D1=1

D2=1

Planeamiento

Son problemas en los que se evalúa la conveniencia de realizar acciones distintas mediante la evaluación de flujos durante un número determinado de periodos.