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8/18/2019 Numeros Complejos Noveno Grado
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Matemática Básica (Ing.) 1
Sesión 11.2
Números complejos
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Matemática Básica (Ing.)
• Números complejos.
• Operaciones con números complejos.• Conjugado complejo.
• División de números complejos.
• Soluciones complejas de ecuaciones cuadráticas.
• Trazo de números complejos.
• Forma trigonométrica de los números complejos.
• ultiplicación ! división de números complejos.
• Teorema de oivre.• "a#ces de números complejos.
Números complejos
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Matemática Básica (Ing.) 3
Números complejos
bi a z +=
Re
Im
a
biZ=a+bi
Un número complejo es cualquier número que
puede escribirse en la forma
donde a y b son reales.
El número real a es la parte real, el número bes la parte imaginaria y a bi es la formaest!ndar.
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Matemática Básica (Ing.) 4
"peraciones con números complejos
Sean a bi y c di son dos números complejos,
entonces#
Suma# $a bi % $c di % & $a c% $b d %i
'esta# $a bi % ( $c di % & $a ( c% $b ( d %i
)ultiplicación# $a bi %$c di % & ac adi bci bdi 2
= $ac ( bd % $ad bc %i
1%1%$1$
111
1
22*
2+
2
=−−=∗=
−=∗=
−=−−=∗=
−=
i i i
i i i i
i i i
i onsiderando que#
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Matemática Básica (Ing.) 5
Ejemplos
Escriba la suma o diferencia en la forma est!ndar.
1. $2 ( +i % $+ ( *i %
2. $2 i % ( $-i ( +%
+. $ ( +i % $(2 %
*. $ i 2
% $/ ( %
0 -−
1−
Escriba el producto en la forma est!ndar.
0. $2 ( i %$1 +i %
/. $0i ( +%$2i 1%
. $ 2i %$/ 0i %2−
+
21
2+
+ i .
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Matemática Básica (Ing.) 6
onjugado complejo
El conjugado complejo del número complejo
3 & a bi es#
3 & a bi & a ( bi
4s5 mismo, el in6erso multiplicati6o o rec5proco de
3 & a bi es#
bi a
bi a
bi abi a z
z
−
−×
+=
+==−
1111
i ba
b
ba
a
z z
2222
1 1
+−
+==−
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Matemática Básica (Ing.) 7
7i6isión de números complejos
Escriba los números complejos en la forma est!ndar.
i −+2
i
i
+2
0
−+
1. a% b%
2. i
i
−+
2
2
+.i
i i
20
%21%$2$
++−
*.%21$
%1%$21$
i
i i
++−
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Matemática Básica (Ing.) 8
Soluciones complejas de ecuacionescuadr!ticas
8a solución de la ecuación cuadr!tica
ax 2 bx c & 9,
donde a, b y c son números reales y a : 9, est!ndadas mediante la fórmula#
a
ac bb x
2
*2 −±−=
El radicando b2(*ac es el discriminante, y si este6alor es menor que cero, entonces las ra5ces ser!nconjugados complejos.
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Matemática Básica (Ing.) 9
Ejemplos
'esuel6a#
912 =++ x x
92+ 2 =++ x x
0112 −=++ x x x
2.
+.
1.
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Matemática Básica (Ing.) 10
;ra3o de números complejos
;race en el plano complejo u & 1 +i , v & 2 ( i y
u v . omp!relo con la tra3a de 6ectores.
u & 1 +i
Eje realo
v & 2 ( i
Eje imaginario
u + v & + 2i
u & 1 +i
Eje real
u + v & + 2i
Eje real o
v & 〈2< (1〉
y
u + v & 〈+< 2〉
u & 〈1< +〉
=
8a aritm>tica es la misma que la suma de 6ectores.
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Matemática Básica (Ing.) 11
?orma trigonom>trica de los númeroscomplejos
Eje imaginario
Eje real
r & @ 3 @
a & r cosθ
θ b
& r
s e n θ
3 & a bi 8a forma trigonom>trica delnúmero complejo 3 & a bi es
%sen$cos θ θ i r z +=
7onde# r es el módulo de 3 y θ es un argumento de 3
r & @3@ & @a bi @ & 22 ba +
a
b=θ tan
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Matemática Básica (Ing.) 12
Ejemplos
7etermine la forma trigonom>trica con 9 A θ A 2π
para el número complejo#
i b *+%$ −−
i a +1%$ −
i +1 −
θ
θB
Eje imaginario
Eje real
i *+ −−
θ
θB
Eje imaginario
Eje real
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Ejemplos
7etermine la forma binomial para el
número complejo de la forma trigonom>trica#
c%
=
+=+
cis*+
sen+
cos* π π π
i z
d% %+/$cis2 °= z
Note el uso de los grados se=agesimales y radianes
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Matemática Básica (Ing.) 14
)ultiplicación y di6isión de númeroscomplejos.
Sean#
%sen$cosy%sen$cos 22221111 θ θ θ θ i r z i r z +=+=
%C$sen%Dcos$.. 21212121 θ θ θ θ +++= i r r z z 1.
2.%C$sen%Dcos$ 21212
1
2
1θ θ θ θ
−+−= i r r
z
z
Entonces#
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Matemática Básica (Ing.) 15
%sen$cos%Csen$cosD θ θ θ θ ni nr i r z nnn +=+=
;eorema de )oi6re
ara ele6ar un número complejo 3 & r$cosθ isenθ %
a una determinada potencia n entera positi6a,entonces#
7etermine mediante el teorema de )oi6re#
1.
+
2
2
2
2
%+1$
+−
+
i
i
2.
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Matemática Básica (Ing.) 16
'a5ces de números complejos
ara determinar las ra5ces en>simas de un número
complejo
Si z & r $cosθ i senθ %8os n números complejos distintos son#
π+θ+
π+θ
n
k i
n
k r
n 2sen
2cos
donde F & 9, 1, 2, +, n(1Son las n(>simas ra5ces del número complejo 3.
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Matemática Básica (Ing.) 17
Ejemplos
7etermine las ra5ces n(>simas de las siguientes
números complejos y graf5quelos.
1. 'a5ces cuartas de 3 & 0$cos$π G+% i sen$$π G+%%.
2. 'a5ces cúbicas de 3 & (1.
+. 'a5ces octa6as de la unidad.
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Matemática Básica (Ing.) 18
8os alumnos deben re6isar los ejercicios del libro
te=to gu5a.
Ejercicios# /, 19, 1/, 22, 2*,+9, +/, *2, 09, 0, // y 9
de la p!gina 00-.
Ejercicios# 9, 2 y * de lap!gina 0/9.
Sobre la tarea,
está publicada en el AV Moodle.
Hmportante