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NUMEROS REALES Y DESIGUALDADES
“ Las desigualdades e inecuaciones reflejan las situaciones en las que se sobrepasa o no se llega un valor determinado.”
INTRODUCCION
Partiremos de la idea natural de conjunto y del conocimiento de si un elemento pertenece o no pertenece
Los conjuntos se pueden definir por:
Números Naturales N
N = { 1, 2, 3, 4, . . . . . . .}
Números Enteros z
z= { . . . . -3,- 2, -1, 0, }
N z Z = z- {0 } z+
Números Racionales q
Q = { / m Z n z , n 0 }
Números Irracionales q’ o i
Es el conjunto de los números No Racionales, es decir, aquellos números que no
pueden expresarse como fracciones de la forma , con m y n z , n 0.
Ejemplo:
Por tanto, El conjunto de números Reales R, es la reunión de los números naturales, enteros, racionales e irracionales, es decir: R = N z q i ó R = q q’
De modo que, Calculo I, realiza los análisis y operaciones en base a los números reales.
NÚMEROS REALES
Definimos números reales, como el conjunto R, al cual asociamos las operaciones de la adición, multiplicación, relaciones de orden (<) y de igualdad ( = )
Ing. Janneth Medina Página 1
Observación.- (Axioma es una proposición Verdadera evidente por si misma que no requiere o precisa demostración, ni argumentación alguna.)En este caso, los axiomas es mejor llamarlas propiedades, las mismas constituyen el sostén básico de los Teoremas.
Estas propiedades son las siguientes:Si a, b, c R
A1: a + b = b + a Conmutatividad de la suma
A2: a +( b + c ) = ( a + b ) + c Asociatividad de la suma
A3: a + 0 = a Existencia del neutro aditivo (0)
A4: a + (–a) = 0 Existencia del opuesto aditivo(–a)
A5: a ∙ b = b ∙ a Conmutatividad del producto
A6: a ∙ ( b ∙ c ) = ( a ∙ b ) ∙ c Asociatividad del producto
A7: a ∙ 1 = a Existencia del neutro multiplicativo (1)
A8: a ∙ (a -1) = 1 Existencia del inverso multiplicativo (a -1), a 0
A9: a ( b + c ) = a ∙ b + a ∙ c Distributividad de producto a suma
A10: a es positivo (a > 0) a es cero (a = 0) Ley de tricotomia a no es positivo (a < 0)
A11: a > 0, b >0 a + b > 0 Clausura de la suma
A12: a > 0, b >0 a ∙ b > 0 Clausura del producto
TEOREMA DE LOS NUMEROS REALES
Un teorema es una proposición que para ser aceptada como verdadera, antes debe ser
demostrada. Entre los teoremas más importantes esta:
T1: Si a + c = b + c a = b
T2: Si a c = b c a = b
T3: Si a + x = b x = b – a
T4: Si a + x = a x = 0
T5: a ∙ 0 = 0
T6: a b = 0 a = 0 o b = 0
T7: a (– b ) = – (a b) = ( –a ) b
T8: – (– a ) = a
T9: ( a b ) = (– a ) ( – b )
Ing. Janneth Medina Página 2
T10: a ( b – c ) = a b – a c
T11: a x = b , a 0 x = b / a
T12: ( a b )-1 = a -1 b-1
T13: a + a = 2 a
T14: – a = ( –1 ) a
T15: a0 = 1
T16: a ∙ a = a2
T17: a -n = 1 / an
T18: ( am ) ( an ) = am+n
T19: ( am )n = am∙ n
Demostración de algunos teoremas:
Demostración .- T1: Si a + c = b + c a = b
a + c = b + c Partimos
a + c + (– c) = b + c + (– c) Sumando el opuesto aditivo
a + [c + (– c)] = b + [c + (– c)] Asociatividad de la suma
a + 0 = b + 0 Existencia del opuesto aditivo
a = b Existencia del Neutro aditivo
Demostración .- T2: Si a c = b c ; c0 a = b
a c = b c Partimos
a c ( c-1) = b c ( c-1 ) Inverso Multiplicativo
a ( c c-1) = b ( c c-1 ) Asociatividad del producto
a ∙ 1 = b ∙ 1 Existencia del inverso multiplicativo
a = b Existencia del Neutro multiplicativo
Definición.- Para todo a y b en R
a + (– b) = a – b
Demostración .- T3: Si a + x = b x = b – a
a + x = b
[a + x ]+ (– a) = b + (– a) Opuesto aditivo
[x + a ]+ (– a) = b + (– a) Conmutatividad
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x + [a + (– a)] = b + (– a) Asociatividad
x + 0 = b + (– a) Opuesto aditivo
x = b + (– a) Neutro aditivo
x = b – a Por definición.
Demostración: T5: a ∙ 0 = 0
0 + 0 = 0
a ( 0 + 0 ) = a ∙ 0
a ∙ 0 + a ∙0 = a ∙ 0
[a ∙ 0 + a ∙0] +(– a ∙ 0) = a ∙ 0 + (– a ∙ 0)
a ∙ 0 + [a ∙ 0 +(– a ∙ 0)] = a ∙ 0 + (– a ∙ 0)
a ∙ 0 + 0 = 0
a ∙ 0 = 0
Demostración. (– a)](– b) = a b
(– a)](– b) = [(–1) a] [(– 1) b]
= (–1) [a (– 1) b]
= (–1) [(– 1) a b]
= – [– a b]
= a b
DESIGUALDADES
Para realizar operaciones con los signos de desigualdad (> mayor, < menor) es
importante tomar los axiomas A10, A11 , A12 e incluir las siguientes definiciones:
Def. 1 . Si a > b ; a – b > 0 , (a – b) R+
Def. 2 . a < b ; a – b < 0 , (a – b) R-
Def. 3 . a ≥ b ; a > b o a = b
Def. 4 . a ≤ b ; a < b o a = b
TEOREMA DE DESIGUALDADES
TD1 : Si a > b , b > c a > c (Ley de transitividad)
TD2 : Si a > b a + c > b + c
TD3 : Si a > 0 a2 > 0
TD4 : Si a > b – a < – b
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TD5 : Si a b > 0 a > 0 y b > 0
a < 0 y b < 0
TD6: Si a > b , c > 0 a c > b c
a > b , c < 0 a c < b c
TD7: Si a > b , c > d a + c > b+ d
TD8 : Si 0 < a < b a2 < b2
TD9 : Si 0 ≤ a < b ; 0 ≤ c < d a c < d b
TD10 : Si b ≥0 a2 > b a > , a < –
TD11 : Si b >0 a2 < b – < a <
Demostración. TD1 : Si a > b , b > c a > c
a > b b > c
a – b > 0 b – c > 0 Por definición
(a – b) R+ (b – c) R+
(a – b) + (b – c) R+ Por clausura de la suma
a (– b + b) – c R+
(a – c) R+
a – c > 0 a > c Por definición
Demostración. TD2 : Si a > b a + c > b + c
a > b
a – b > 0 Por definición
(a – b) R+
(a – b + c – c) R+
(a + c ) – (b + c) R+
(a + c ) – ( b + c) > 0
a + c > b + c
Demostración. Si a < b y c < d a + c < b + d
a < b Aplicando TD2 tenemos: a + c < b + c
c < d Aplicando TD2 tenemos: c + b < d + b
Aplicando TD1 (Ley de transitividad)
a + c < b + c y b + c < b + d
a + c < b + d Por tanto queda demostrado.
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Demostración. Si a > b – a < – b
Observación.- Decir a > b significa decir b < a
Prosiguiendo con la demostración tenemos:
a > b
( – a) + a + ( – b) > ( – a) + b + ( – b)
[( – a) + a ]+ ( – b) > ( – a) + [b + ( – b)]
0 + ( – b) > ( – a) + 0
– b > – a
– a < – b
Ejemplo:
– 2 x + 1 < 2
–2 x + 1 – 1 < 2 – 1
–2 x + 0 < 1 Dividiendo por (– 1)
2 x > – 1
2 ∙ 2–1 x > – 1 ∙ 2–1
x > – ½
REPRESENTACION GRAFICA
Los números reales R son representadas en una recta real.
– R– R+
INTERVALOS
Es un conjunto de números considerados dentro de una recta real.
Intervalo abierto.- Esta determinado por dos puntos a y b donde a < b (no incluye a
sus extremos), definido por el siguiente conjunto.
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( a, b) = { x / a < x < b } = ] a,b[
Intervalos Cerrado.- Esta determinado por dos puntos a y b donde a < b ( incluye a
sus extremos), definido por el siguiente conjunto.
[ a, b ] = { x / a ≤ x ≤ b }
Intervalos Semiabiertos.- ( o semicerrados)
( a, b ] = { x / a < x ≤ b }
[ a, b ) = { x / a ≤ x < b }
Intervalos Infinitos.-
( – , a ] = { x / x ≤ a}
( – , a ) = { x / x < a}
[ a, + ) = { x / x ≥ a}
( a, + ) = { x / x > a}
(– , + ) = { x / x R}
INECUACIONES
Las inecuaciones, son ecuaciones que en lugar de un signo de igualdad poseen signos
de desigualdad.
Ejemplo: x + 8 > 5
x > 5 – 8
x > – 3
+ Por tanto : Cs = { x / x > –3}= (–3. )
Ejemplo.-
– 3 ≤ 2 x + 5 < 4
– 3 – 5 ≤ 2 x + 5 –5 < 4 – 5
– 8 ≤ 2 x < – 1 Dividiendo entre 2
– 4 ≤ x < – ½
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Cs = { – 4 ≤ x < – ½ } = [ – 4, – ½ [
Ejemplo:
x2 – 5x < –6
x2 – 5x + 6< 0
( x – 3 ) (x – 2) < 0
i) ( x – 3 ) < 0 y (x – 2) > 0
x < 3 x > 2
Csi = { x/ 2 < x < 3 }
= (2, ) ∩ (– , 3 ) = ( 2, 3 )
ii) ( x – 3 ) > 0 y (x – 2) < 0
x > 3 x < 2
Csii = ( – , 2 ) ∩ (3, + ) = Ø
Luego la solución será: Cs = Csi Csii
= ( 2, 3 ) Ø = ( 2, 3 ) = { x / 2 < x < 3 }
Ejemplo:
x2 +10 x ≥ 1
( x + 5)2 ≥ 1
Aplicando teorema TD10 : Si b ≥0 a2 > b a > o a < –
x + 5 ≥ o x + 5 ≤ –
x ≥ –5 +1 x ≤ –1 – 5
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x ≥ –4 x ≤ – 6
Csii = ( – , – 6 ) (– 4, )
VALOR ABSOLUTO
Definición.- El valor absoluto de un número real a, denotado por , esta definido:
Ejemplo: ; Propiedades:
PA1:
PA2:
Teorema del valor absoluto.-
De acuerdo a la definición de valor absoluto se cumple los siguientes teoremas:
TA1:
TA2:
TA3:
TA4:
TA5:
TA6:
TA7:
TA8:
TA9:
TA10:
TA11:
Demostración.- TA1: (Desigualdad Triangular)
i) Si ii) Si
V Se cumple la igualdad V Se cumple la igualdad
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iii) Si iv) Si
V Se cumple la igualdad V Se cumple la igualdad
Si Si
V Se cumple la igualdad V Se cumple la igualdad
Como todos los casos son proposiciones verdaderas, se concluye como V (verdadera) el
teorema.
Ejemplo:
Ecuaciones en valor absoluto
i) x >0 ii) x < 0
x + 8 =10 – x + 8 = 10
x = 2 x = –2
Como x =2, reemplazando en x > 0 Como x =−2, reemplazando en x < 0
tenemos: 2 > 0 es V tenemos: –2 < 0 es V
Por tanto : Cs = {2, –2}
Ejemplo:
Inecuaciones en valor absoluto
i) 3 x –1 ≥ 0 x ≥ ⅓
3 x –1 < 2 x + 5
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x < 6
Csi = (x ≥ ⅓) ∩ ( x < 6) = { x / ⅓ < x < 6 }
ii) 3 x –1 ≤ 0 x ≤ ⅓
– (3 x –1) < 2 x + 5 – 3 x +1 < 2 x + 5 – 5 x < 4 x > – 4/5
Csii = (x ≤ ⅓) ∩ ( x >–4/5) = { x / – 4/5 < x < ⅓ }
Por tanto:
Cs = { x / ⅓ < x < 6 }{ x / – 4/5 < x < ⅓ }
= { x / – 4/5 < x < 6 }
De otra forma, resuelto el anterior ejemplo:
Aplicando: TA10:
– ( 2 x + 5 ) < 3 x –1 < 2 x + 5
– ( 2 x + 5 ) < 3 x –1 y 3 x –1 < 2 x + 5
– 5 x 1 < 4 x < 6
x > – 4/5
Cs = { x / – 4/5 < x < 6 }
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