Post on 09-Feb-2016
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ESCUELA POLITÉCNICA DEL EJÉRCITO
SEDE LATACUNGA
CORRECCIÓN DEL EXAMEN
INTEGRANTES: Buitrón Byron Lema Ivan
Llumiquinga Víctor
NIVEL: Primero Automotriz “A”
Septiembre-Marzo 2012-20131. Realizar el análisis de la función y construir su gráfica para:
f ( x )=ln (x2−1)+ 1
(x2−1)
Dominio de la función:
F(x) existe para x ϵ R−{−1 ;0 ;1 }
Intersección con los ejes
Eje x: y=0
ln (x2−1)+ 1
(x2−1)=0
1
(x2−1)=ln(x2−1)
e−1
( x2−1)=(x2−1)
x=±1 fueradel dominio∴∄ intersecciónconel eje x
Eje y: x=0
ln (x2−1)+ 1
(x2−1)= y
ln (0−1)+ 1(0−1)
= y
ln (−1 )−1= y
∴∄ ellogaritmo naturalde numerosnegativos
∴∄ intersecciónconel eje x
Asíntotas
Asíntota Vertical
limx→1
ln(x2−1)+ 1
( x2−1)=∞
limx→−1
ln(x2−1)+ 1
(x2−1)=∞
∴∃asintontas en { x=1x=−1
Asíntota Horizontal
limx→∞
ln (x2−1)+ 1
(x2−1)=∞
∴∄asintontas hor izontal
Asíntota Oblicua
y=mx+b
limx→∞
ln (x2−1)+ 1
(x2−1)x
=∞
limx→∞ [ ln (x2−1 )
x+ 1
(x3−x ) ]limx→∞
ln (x2−1)x
+limx→∞
1
(x3−x)
limx→∞
2 x
(x2−1)1
limx→∞
22x
m=0∴∄asintontas oblicua
Monotonía de la Función
f ( x )=ln (x2−1 )+ 1
(x2−1 )
f ' ( x )= 2 x
(x2−1 )− 2x
(x2−1 )2
f ' ( x )=2x2−2 x−2 x(x2−1 )2
f ' ( x )=2x(x2−2 )
( x2−1 )2
2x (x2−2 )(x2−1 )2
>0 2x (x2−2 )
(x2−1 )2 < 0
x>0∧ x<0
x>±√2∧ x<±√2
x>±1x<±1
]-∞ ;−√2] ]−√2 ;−1] ]-1 ;0] ]0;1] ]1;√2] ]√2 ;+∞]X -2 -1,2 -0,5 0,5 1,2 2
F(x) - + + - - +F’(x) Decrece Crece Crece Decrece Decrece Crece
Puntos máximos
f ' ( x )=2x(x2−2 )
( x2−1 )2=0
f ' ( x )=2 x (x2−2 )=0
x=0 x=±√2
y1=ln (2−1)+1
(2−1)
y2=ln (2−1)+1
(2−1)
P1=(√2 ;1 )MINIMO
P2=(−√2 ;1 )MINIMO
Concavidad
f ' ( x )=2x(x2−2 )
( x2−1 )2=0
f ' ' ( x )=6 x4−4 x2−6 x2+4−8 x4+16 x2
(x2−1 )3
f ' ' ( x )=−2x4+6 x2+4(x2−1 )3
f ' ' ( x )=−2(x¿¿4−3 x2−2)
(x2−1 )3>0 f ' ' (x )=−2
( x¿¿ 4−3 x2−2)
( x2−1 )3>0¿¿
x>±1x<±1
x>±1,88x<±1,88
]-∞ ;−1,88 ]−1,88 ;−1] ]-1 ;1] ]1;1,88] ]1,88 ;√2]X -2 -1,5 0 1,5 2
F’’(x) - + - + -Concavidad abajo arriba abajo arriba abajo
Puntos de inflexión
f ' ' ( x )=−2x4+6 x2+4(x2−1 )3
=0
−2 x4+6 x2+4=0
x=±1,88
y1=ln ((1,88)2−1)+ 1
((1,88)2−1)
y2=ln ((−1,88)2−1)+ 1
((−1,88)2−1)
x1=1,32 x2=−1,32
P1=(1,88 ;1,32 )
P2=(−1,88 ;1,32 )
Trazado de la gráfica
2. Una ventana Norman se construye juntando un semicírculo a la parte superior de un rectángulo. Calcule las dimensiones de una ventana de área máxima (base, altura, radio del arco) si el perímetro total es de 16 metros, guíese por la figura.
A=xy+ 12π r2
A=xy+ 12π ( x2 )
2
A=xy+ π8x2 [1 ]
P=x+2 y+πr
16=x+2 y+π ( x2 )32=2 x+4 y+πx
y=32−2 x−πx4
y=8−2+π4x [2 ]
Remplazo [2 ]en [1 ]
A(x )=x (8−2+π4 x)+ π8 x2
A ( x )=8 x−2+π4x2+ π
8x2
A ( x )=π8x2−2+π
4x2+8 x
A ( x )=( π8−2+π4 ) x2+8 x
A ( x )=π−2(2+π )8
x2+8x
A ( x )=π−4−2 π8
x2+8 x
A ( x )=−π+48
x2+8x
A' ( x )=−π+48
(2x )+8 x
A' ( x )=−π+44
x+8
A' ( x )=0
−π+44
x+8=0
π+44x=8
x= 32π+4
A' ' ( x )=−π+44
A' ' ( x 1 )=−π+44
A' ' ( x 1 )<0
Reemplazo [ x ]en [2 ]
y=8−2+π4
∗( 32π+4 )y=8−64+32 π
4 π+16
y=32π+128−64−32π4 (π+4)
y= 644(π+4)
y= 16π+4
Las dimensiones para que la ventana de una área máxima son:
x= 32π+4
y= 16π+4
3. Un filtro cónico de 18cm de profundidad y 6cm de radio en la parte superior, se encuentra lleno de una solución .Esta va pasando a un vaso cilíndrico de 5cm de radio .Cuando la profundidad de la solución en el filtro es de 10cm su nivel está bajando a razón de 2cm/min. Hallar la rapidez con que está subiendo la solución en el vaso, para dicha profundidad.
r=6cm
h=18cm
R=5cm
H=10cm
DATOS DEL PROBLEMA
r=6cm
h =18cm
dvdt
=2cm /min
Vc=πR2H
Vco=13πr2 h
Establecersemejanzadet riangulos6R
=18H
6H=18 R
R=13H
Re emplazamosenelvolumendelcono
Vco=13π (13 H)
2
H
Vc=127πH 3
Vc=127π (10 )3
Vc=116 ,35cm3
Vc=Vcodvdt
=ddt
(13πr2h)
dvdt
=25π324
H3
dvdt
=25π324
3Hdhdt
1
116 ,35=0 ,7272(10)dhdt
dhdt
=116 ,357 ,27
dhdt
=15 ,3cm /min
4. ∫ √16−x2x2
sin t= x4
x=4sin t
dx=4cos t . dt√16−x2
x2=x2 a2=16
x=x a=4
√16−x2
∫ √16−(4 sin t)2
(4sin t )2(4 cos t . dt )
∫√16¿¿¿¿
∫ 4 √cos2 t16sin2t
(4cos t . dt )
∫ cos2t
sin2 tdt
∫cot2t dt
∫¿¿
∫ csc2t .dt−∫ dt
−cot t−t+C
−√16−x2x
−arcsin ( x4 )+C
5. ∫ e−axcosbx .dx
u=cosbx
du=−b sinbx .dx
∫ dv=∫e−ax . dx v=−e−ax
a
∫u .dv=u . v−∫v .du
∫ e−axcosbx .dx=cosbx (−e−axa )−∫−e−ax
a(−b sinbx .dx )
¿−1acos bx . e−ax−b
a∫e−ax .sinbx .dx
∫ e−ax . sinbx .dx
u=sinbx
du=bcos x .dx
∫ dv=∫e−ax . dx
v=−e−ax
a
∫ e−ax . sinbx .dx=sinbx (−e−axa )−∫−e−ax
a(bcos x .dx )
¿−1asinbx . e−ax+ b
a∫ e−axcos x .dx
∫ e−axcosbx .dx=−1acosbx . e−ax−b
a (−1a sinbx . e−ax+ ba∫ e−axcos x .dx)∫ e−axcosbx .dx=−1
acosbx . e−ax+ b
a2sinbx . e−ax−b
2
a2∫e−axcos x .dx
∫ e−axcosbx .dx+ b2
a2∫ e−axcos x .dx=−1
acosbx . e−ax+ b
a2sinbx . e−ax
∫ e−axcosbx .dx (1+ b2a2 )=−1acos bx . e−ax+ b
a2sinbx . e−ax
∫ e−axcosbx .dx=−1acos bx . e−ax+ b
a2sinbx . e−ax
(1+ b2
a2 )+C