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Curso Herramientas Logísticas I
Parte III:Modelos de Optimización de Redes
Aplicados a Problemas de Distribución,
Suministro y Actividades de Proyectos.
Prof. Renato González Disla
Maestria en Gestion LogisticaPUCMM
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Agenda
• Conceptos de Grafos y Redes• Algunos algoritmos importantes.• Traveling Salesman Problem (TSP)
• El problema de la ruta más corta.• Árbol de expansión mínima y máxima.• Problema del flujo máximo.• Problema del flujo de costo mínimo y Problemas de
Trasbordo.• Bin Packing Problem (BPP)• Redes de Administración de Proyectos.• El problema de la ruta crítica y los métodos Pert/CPM.
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Grafos y Redes
• La historia se inicia en laciudad de Konigsberg(Prusia) en el año 1750
• El matemático suizo Leonard
Euler se planteo el problemade los puentes de la ciudad,que consistía en demostrar siera posible atravesar todoslos puentes y regresar alpunto de origen en una de las
márgenes del rio sin pasardos veces por el mismopuente.
• Esto dio origen a la Teoría deGrafos y a la Topología
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Grafos y Redes
• Una red o grafo consiste de unconjunto de puntos (llamadosnodos o vértices) y unconjunto de líneas (llamadosarcos, ligaduras, aristas) queunen pares de puntos.
• Es un par de conjuntos – G=(V, E) que satisfacen E [V]2,
V es el conjunto de nodos y E elde arcos compuestos de dos
elementos de V, v={v1,v2}. – |V|=n es el orden de G.
• Una red es completa si susnodos están conectados dos ados y su conectividad es
– n(n-1)/2
•a•b
•e•
c•d
•V= {a,b,c,d,e} nodos de G
•E = { {a,b}, {a,c}, ..., {c,e} } arcos de G
•n = \V\=5 orden de G
•d(a)=d(b)=…=d(e) =4,
•n(n-1)/2 conectividad maxima
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Grafos y Redes
• Dos nodos se denominanadyacentes o vecinos sicomparten un arco.
• El grado de un nodo d(vi) esel numero de arcos incidentes
en el.• La suma de todos los grados
de los nodos en V es el doblede arcos E de G:
• La cantidad de nodos es iguala ala cantidad de arcos mas 1:|V|=|E| +1.
•a•b
•e•
c•d
•V= {a,b,c,d,e} nodos de G
•E = { {a,b}, {a,c}, ..., {c,e} } arcos de G
•n = \V\=5 orden de G
•d(a)=d(b)=…=d(e) =4,
•n(n-1)/2 conectividad maxima
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Grafos y Redes
• Si G es un grafo tal que Epertenece a VxV se dice queG es un grafo dirigido dondeE es el conjunto de pares
ordenados (u, v) en elconjunto cartesiano VxV.
• Una trayectoria o ruta entredos nodos es una sucesión de
arcos distintos concatenadosque unen los dos nodos.
• En una red dirigida existennodos origen (a), destino (d) yde trasbordo (b).
•a•b
•e
•c
•d
•a->b->c Trayectoria dirigida o
•P= {(a,b), (b,c)}
•n(n-1) Conectividad maxima
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Grafos y Redes
• Un ciclo es una trayectoriaque comienza y termina en elmismo nodo.
• Dos nodos están conectados
si la red contiene al menosuna trayectoria entre ellos.• Un grafo conexo es una red
en que cada par de nodos estaconectado.
• Un árbol de expansión es unared conexa para los n nodos.Es de amplia aplicación enoptimización de redes dedistribución y transporte
•a->d->b->a ciclo
•P= {(a,d), (d,b), (b,a)}
•a•b
•e
•c
•d
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Grafos y Redes
• Un ciclo Hamiltoniano es unciclo que contiene todos losnodos del grafo o red.
• Un grafo es hamiltoniano siexiste al menos un ciclo
hamiltoniano.• Se usa para la solución del“Traveling SalesmanProblem (TSP)”:
– Un vendedor debe visitar todaslas ciudades de la red pasando
una sola vez por cada una y enel ciclo de menor costo de lared.
– Se usan algoritmos sofisticadospara su solución (heurísticos,genéticos, etc.).
– Es un problema NP-Hard de la
computación
•a->b-> c -> d ->e -> a
ciclo Hamiltoniano
•P= {(a,b), (b,c), (c,d), (d e), (e a)}
•a•b
•e
•
c•d
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Grafos y Redes
• “Traveling SalesmanProblem (TSP)” - Casosimétrico 4 nodos y 6
arcos: – Posee 6 posibles cicloshamiltonianos:• A B D C A costo• A C D B A costo• A B C D A• A D B CA• A D C B A• A C B D A
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Grafos y Arboles
•a
•b
•f •e
•c
•d
•a es el nodo raiz
•a,c son nodos internos
•b,d,e,f son nodos terminales
•
n nodos implica n-1 arcos
Un Árbol es un grafoconexo que no posee
ciclos y se expresacomo T=(V, E).
En T hay un únicocamino o ruta entre elnodo raíz y cualquierotro nodo.
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Grafos y Arboles
• Un árbol con raíz es un árboldirigido con exactamente unvértice v en V cuyo grado deentrada es cero y el grado de
entrada de todos los otrosnodos es uno. Existe unarelación de padre a hijosentre los nodos.
• En un árbol raíz los nodoscuyo grado de salida es cerose denominan hojas o nodosterminales. Los demás sonlos nodos internos o no
terminales.
•a
•b
•f •e
•c
•d
•a es el nodo raiz
•a,c son nodos internos
•b,d,e,f son nodos terminales
•n nodos implica n-1 arcos
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Árboles Binarios Regulares
• Un Arbol Binario Regular esaquel en que cada nodo internotiene exactamente 2 hijos.
• Los árboles m-narios regularesson aquellos en que cada nodointerno tiene m hijos.
• La altura (h) de un árbol m-narioes la longitud de la ruta máximaentre el nodo raíz y los nodosterminales.
•a
•b
•
e
•c
•
d
•a
•
b
•
e
•
c
•
d
•f •g
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• Un ciclo es una trayectoria que comienza ytermina en el mismo nodo. Puede ser dirigidoo no dirigido.
• Dos nodos están conectados si la redcontiene al menos una trayectoria no dirigidaentre ellos.
• Una red conexa es una red en que cada par
de nodos esta conectado.• Un árbol de expansión es una red conexa
para los n nodos.
REDES:Terrminologia Basica
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• Considere una red conexa y no dirigida condos nodos especiales llamados origen ydestino. A cada ligadura o arco le asociamos
una distancia no negativa. El objetivo esencontrar la ruta mas corta (la trayectoria conla mínima distancia total) del origen al destino.
El Problema de la Ruta masCorta
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El Problema de la Ruta masCorta
• Determinar que ruta, desde la entrada del parque O a la estación T(mirador) es la que tiene la distancia total mas corta para el transporte delos visitantes en un línea de tren. Los nodos intermedios son estacionesde vigilancia los arcos están dados en kms.
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El Problema de la Ruta masCorta
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El Problema de la Ruta masCorta
La ruta optima es O A B E D T y su distancia mínima es 13 Kms.
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El Problema de la Ruta masCorta
• Se usa el Excel Solver para la solución, quien aplica elMétodo Simplex de Redes. Ver Ejemplo resuelto:• Las variables de decisión Xij representan el flujo
del viaje del nodo i al nodo j. Las decisiones serefieren a cuales arcos deben incluirse en latrayectoria que se recorre, es de valor 1 si seincluye o 0 si no.
• Se puede pensar en cada nodo como que tiene un
flujo de 1 si esta en la ruta seleccionada.• El flujo neto generado en un nodo es el flujo que
sale menos el flujo que entra, de manera que elflujo de entrada es 1 en el origen, -1 en el destino y
0 en los nodos intermedios.
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El Problema del Arbol deExpansion Minima
• Un árbol deexpansión Trepresenta unconjunto de nodos
conexos nocíclicos quepertenecen algrafo G.
• En el grafo o reddel problema deSeervada Parkidentificamos lossiguientes arbolesde expansión
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El Problema del Arbol deExpansion Minima
• El problema consiste en determinar de todoslos posibles arboles de expansión del grafo G el
que posee longitud mínima.• En le caso del problema de la Seervada Park
consiste en instalar un sistema de red telefónicaque enlace cada uno de los nodos usando la
menor cantidad de cables telefónicos
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El Problema de la Ruta masCorta
Algoritmo del árbol de expansión mínima (Seervada Park)No. Paso Nodos Resueltos Nodos No Resueltos
mas cercanosDistancias Distancia Minima Nodo Mas Cercano Conexion Arbol de
Expancion Min
1 O A 2 2 A OA
B 5C 4
2 O, A B 2,5 2 B AB
C 4
D 7
3 O, A, B C 1 1 C BC
E 3
D 4,7
4 O, A, B, C D 4,7 3 E BE
E 3,4
5 O, A, B, C, E D 1,4,7 1 E ED
6 O, A, B, C, E T 5, 7 5 T DT
Total 14
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El Problema de la Ruta masCorta
• El árbol Tresultante es:
• OA, AB, BC, BE,ED y DT• La longitud es de
14 Km querepresenta ladistancia mas cortapara extender las
líneas telefónicas.
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Problema del Flujo Maximo
Consiste en determinar la mayor cantidad de trafico(optimo) que puedo hacer fluir por una red de sufuente a su destino, dada las restricciones máximasde recursos por tramos o arcos entre los nodos delas rutas.
En el caso de Seervada Park consiste en determinardurante la temporada pico las rutas de viajes de
transvias desde la entrada O del parque al mirador T,de manera que el numero de viajes de ida diariossea maximo. Los nodos restantes son los nodos detransbordo. Es una red dirigida.
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Problema del Flujo Maximo
Es un problema depropagación lineal y se usa elalgoritmo de trayectoriasaumentadas .Una red residual muestra las
capacidades restantes unavez se han asignados flujos alos arcos de la red original.
Una trayectoria de aumento
es una ruta dirigida del nodofuente al nodo destino en lared residual, tal que todos losarcos en la misma tienencapacidad residual mayor que
cero.
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Problema del Flujo Maximo
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Problema del Flujo Maximo
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Problema del Flujo Maximo
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Problema del Flujo Maximo
Se aplica el metodo simplex de redes usando Solver
Ver ejemplo del libro de Hillier pag. 395
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Problema de Trasbordoo de Flujo de Costo Minimo
Es una generalización del problema deTransporte y de asignación, en el cual pueden
haber sitios de oferta o de demanda, o ambascosas a la vez (puntos de trasbordo). En esteproblema es posible que cualquier suplidorsea también demandante de los recursos a
trasbordar.El algoritmo es útil para la determinación de lamejor ubicación de almacenes temporales.
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Problema de Trasbordoo de Flujo de Costo Minimo
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1
3
2
4
5
67
9
96
10
3
6
7
3
8
Ciudad Origen Costo
Ciudad Destino
Ciudad Trasbordo
Problema de Trasbordo
8
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Determinación de los costos de transporte usando la rutamás barata
1
3
2
4
5
67
9
96
10
3
6
7
3
8
Costo
Origen Destino Ruta Minino
1 2 1-2 9
1 3 1-3 91 7 1-2, 2-4, 4-5, 5-7 26
4 2 4-2 6
4 3 4-5, 5-3 9
4 7 4-5, 5-7 9
Problema de Trasbordo
8
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Determinaciòn de los costos de transporte usando la rutaMàs barata
1
3
2
4
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67
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3
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Costo
Origen Destino Ruta Minino
1 2 1-2 9
1 3 1-3 91 7 1-2, 2-4, 4-5, 5-7 26
4 2 4-2 6
4 3 4-5, 5-3 9
4 7 4-5, 5-7 9
Origen 2 3 7 Oferta
1 9 9 26 20
4 6 9 9 10
Demanda 15 8 7
DestinoTabla de costos de transporte
Problema de Trasbordo
8
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Determinaciòn de los costos de transporte usando la rutaMàs barata
1
3
2
4
5
67
9
96
10
3
6
7
3
8
Costo
Origen Destino Ruta Minino
1 2 1-2 9
1 3 1-3 91 7 1-2, 2-4, 4-5, 5-7 26
4 2 4-2 6
4 3 4-5, 5-3 9
4 7 4-5, 5-7 9
Origen 2 3 7 Oferta
1 9 9 26 20
4 6 9 9 10
Demanda 15 8 7
DestinoTabla de costos de transporte
Origen 2 3 7 Oferta
1 12 8 20
4 3 7 10
Demanda 15 8 7
Solucion finalDestino
Problema de Trasbordo
8
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Determinación de los costos de transporte usando la rutamás barata
1
3
2
4
5
67
9
96
10
3
6
7
3
8
Origen 2 3 7 Oferta
1 9 9 26 20
4 6 9 9 10
Demanda 15 8 7
DestinoTabla de costos de transporte
Origen 2 3 7 Oferta
1 12 8 20
4 3 7 10
Demanda 15 8 7
Solucion finalDestino
Problema de Trasbordo
8
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Redes para Administracion deProyectos y Rutas Criticas
• Un proyecto se puede representar por mediode una red dirigida, donde:
• Las actividades se representan por nodos
• Los arcos representan el orden deprecedencia y/o sucesión de las actividades
• Cada actividad tiene asignada un tiempo de
realización denominado duración deactividad (D).• Existe una actividad origen denominada
inicial y una de destino denominada final.
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Redes para Administracion deProyectos y Rutas Criticas
• Tiempo de inicio y terminación mas cercanos son lostiempos de inicio y terminación de una actividad sinosuceden retrasos en el proyecto (ES, EF).
• Tiempo de terminación e inico mas lejanos son lostiempos de inicio y terminación de una actividad conlos retrasos máximos (LS, LF).
• La holgura (S) es la diferencia entre el tiempo deinicio mas cercano y el mas lejano o entre el tiempo
de terminación mas lejano y el mas cercano.• La ruta critica la representan la serie de actividades
que tienen holgura cero, y significa que son lasactividades mas sensibles al tiempo total del proyecto.
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Redes para Administracion deProyectos y Rutas Criticas
• El inicio mas cercano (ES) de una actividad esel mas largo entre los tiempos de terminaciónmas cercanos (EF) de sus actividadespredecesoras.
• EF = ES + D• El tiempo de terminación mas lejano (LF) de
una actividad es el mas corto entre los tiempos
de inicios mas lejanos (LS) de sus actividadessucesoras.
• LS = LF - D
R d Ad i i i d
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Redes para Administracion deProyectos y Rutas Criticas
R d Ad i i i d
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Redes para Administracion deProyectos y Rutas Criticas
R d Ad i i i d
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Redes para Administracion deProyectos y Rutas Criticas
S A CB
D
I
0 24
7
6
54 010E F T
Actividad Duracion
(semanas)
ActividadesPredecesora
s ActividadesSucesoras
InicioCercano
(ES)
InicioLejano
(LS) TerminacionCercana (EF)
Terminacion Lejana
(LF) Holgura
(S)
S 0 A 0 0 0
A 2 S B 0 2 0
B 4 A C 2 6 0
C 10 B D,E,I 6 16 0
D 6 C F 16 22 1
E 4 C F 16 20 3
I 7 C F 16 23 0
F 5 D,E,I T 23 28 0
T 0 F 28 28 0
R d Ad i i i d
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Redes para Administracion deProyectos y Rutas Criticas
S A CB
D
I
0 24
7
6
54 010E F T
Actividad Duración
(semanas) Actividades
Predecesoras ActividadesSucesoras
InicioCercano
(ES)
InicioLejano
(LS)
TerminaciónCercana
(EF)
Terminación Lejana
(LF) Holgura (S)
S 0 A 0 0 0 0 0
A 2 S B 0 0 2 2 0 B 4 A C 2 2 6 6 0
C 10 B D,E,I 6 6 16 16 0
D 6 C F 16 17 22 23 1
E 4 C F 16 19 20 23 3
I 7 C F 16 16 23 23 0
F 5 D,E,I T 23 23 28 28 0
T 0 F 28 28 28 28 0
R d Ad i i t i d
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Redes para Administracion deProyectos y Rutas Criticas
R d Ad i i t i d
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Redes para Administracion deProyectos y Rutas Criticas
R d Ad i i t i d
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