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PAU MADRID MATEMATICAS II SEPTIEMBRE 2011 Joaquín Aroca Gomez Página 1 de 5
EXAMEN SEPTIEMBRE 2012 OPCION A Ejercicio 1.
Dada la función: 2
3 ; 3
4 10 ; 3
x A Si xf x
x x Si x
a) Hallar el valor de A para que f(x) sea continua. ¿Es derivable para ese valor de A? b) Hallar los puntos en los que f′(x) = 0. c) Hallar el máximo absoluto y el mínimo absoluto de f(x) en el intervalo [4, 8].
Solución:
a)
2
3 3
2
3 3 3 3
3 ; 3
4 10 ; 3
lim lim 3 9
3 lim lim 4 10 17 en x 3 lim lim 3 9 17
3 9
3 8; 38
24 10 ; 3
x x
x x x x
x A Si xf x
x x Si x
f x x A A
x f x x x f continua f x f x f A
f A
x Si xA f x
x x Si x
A 8
´ 3 33; 3
´ ´ 3 ´ 3 no es derivable en x 3 para A 810 2 ; 3 ´ 3 4
fSi xf x f f f
x Si x f
b)
2
3 ; 3 3; 3´
10 2 ; 34 10 ; 3
´´ 2 3 ´ 0 10 2 0 5 3 5; 5 /
´´ 5 2 0
3 ´ 3 0
MAXIMO
x A Si x Si xf x f x
x Si xx x Si x
f xSi x f x x x P f
f
Si x f x
P 5 ; 21
c)
2
2
2
2
3 ; 3
4 10 ; 3
4 4 10 4 4 20
8 4 10 8 8 12 4;8
´ 0 5 5 4 10 5 5 21
x A Si xf x
x x Si x
f
f En
f x x f
Min. Absoluto:(8;12)
Max. Absoluto: 5;21
Ejercicio 2.
Dado el sistema de ecuaciones lineales:
3 4 6
1 3
1 3 3
x ay z
x a y z
a x ay z
Se pide:
1. Discutir el sistema según los valores de a. 2. Resolverlo para a = −1.
Solución:
1.
2 2
*
3 4 6 3 4 6 3 4 5
31 3 1 1 1 3 1 1 1 3 8 5 0 3 8 5 011 3 3 1 31 3 3
5
3
1
C
C
x ay z a aa
x a y z a C a a a C a aaa a a aa x ay z
aRg C Rg C
a
3 41 0 2
1 13 5 3 4 6
1 2 3 1 3 3 6 4
8 3 5 3 3 3 1 3 1 4 0 * 3
8 3 3 3
*
3 1 4
* 3 º . . .
50 * . .
3
1 0
Rg C
Rg C
C
C
n de incognitas S C D
a C Rg C Rg C S I
a C
3 11 0 2
1 06
1 0 1 3 3 1 6
2 1 3 3 1 0 3 0 * 2
2 1 3
*
* º . . .
Rg C
Rg C
C
C
Rg C Rg C n de incognitas S C I
PAU MADRID MATEMATICAS II SEPTIEMBRE 2011 Joaquín Aroca Gomez Página 2 de 5
2.
3 11 0 2
1 03 1 4 6
1 0 1 3 3 1 6
2 1 3 3 1 0 3 0 * 2
2 1 3
*
3 4 6
1 0 . . . 3
2 3 3
Rg C
Rg C
C
C
x y z
a C S C I x z
x y z
3 4 6 3
3 3 ;
x y z x
x z y
z z
Ejercicio 3. Se dan la recta r y el plano π, mediante:
4 1 2; 2 2 7 0
2 1 3
x y zr x y z
Obtener los puntos de la recta cuya distancia al plano es igual a uno. Solución:
r
1
2
r1 1 1
r2
22 2
P
P
4 24 1 2
1 P 4 2 ;1 ;2 32 1 3
2 3
3 2 51 3 52 4 2 1 2 2 3 7 3 2 3 31 3 2 13 1 3 12 1 2
3 3
5 5 5 5 2 8P 4 2 ;1 ;2 3 P ; ; 3
3 3 3 3 3 3
1
3
rP ,
xx y z
r y
z
d
2 2
1 1 1 14 2P 4 2 ;1 ;2 3 P ; ;3
3 3 3 3 3
Ejercicio 4. Dadas las rectas:
41 2;
2 2 2 2 4
x yx y zr s
x z
1. Hallar la ecuación del plano que pasa por A(2, 3, 4) y es paralelo a las rectas r y s. 2. Determinar la ecuación de la recta que pasa por B(4,−1, 2) y es perpendicular al plano hallado anteriormente.
Solución:
1.
1 22;2; 2 1;1; 1
2 2 2
1 1 1 3;1; 24
1 1 0 1; 1; 2 1 1 22 4
2 0 1
3;1; 23 2 3 2 4 0 3 2 11 0
2,3,4
r
r s
s
x y zr v
i j k
i j k n v vx y
s vx z
nx y z x y z
A
2.
3;1; 2 4 1 2
4, 1,2 3 1 2
mv n x y zm a por B m
B
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EXAMEN SEPTIEMBRE 2012 OPCION B Ejercicio 1. Dado el punto P(2, 1,−1), se pide:
1. Hallar el punto P′ simétrico de P respecto del punto Q(3, 0, 2). 2. Hallar el punto P′′ simétrico de P respecto de la recta r ≡ x − 1 = y − 1 = z. 3. Hallar el punto P′′′ simétrico de P respecto del plano π ≡ x + y + z = 3.
Solución:
1.
´´
´´
´´
2 2 3 2 42
´2 2 0 1 1 ´ 4; 1;5
2 2
2 2 2 1 52
P PQ P Q P
P PQ P Q P
P PQ P Q P
x xx x x x
OP OP x xOQ x x x x P
x xx x x x
2.
r
r
´´
2;1; 1 1 1 , 2;1; 1 2 1 1 0 2 0
1;1;1
1
1 1 1 P 1 ;1 ; 1;1;0
P 1 1 2 0 3 0 0
2´´
2
r
P PM
Pa r x y z por P x y z x y z
n v
x
r x y z r yr M M
z
x xx
OP OPOM
´´
´´´´
´´´´
2 2 1 2 0
2 21 1 1 ´´ 0;1;12
2 2 0 1 12
P M P
P PM P M P
P PM P M P
x x x
y yy x y y P
z zz z z z
3.
22;1; 1
3, 2;1; 1 2 1 1 1 2 ;1 ; 11;1;1
1
1 1 1 1 7 4 2 2 1 1 3 3 1 0 2 ;1 ; 1 ; ;
3 3 3 3 3 3 3
´´´
2
n
n r
nn
xP
n a x y z por P n x y z n y Pv n
z
Pn N P N
x
OP OPON
´´´´´´
´´´´
´´´´
7 82 2 2
2 3 3
4 5 8 5 12 2 1 ´´´ ; ;
2 3 3 3 3 3
2 12 2 1
2 3 3
P PN P N P
P PN P N P
P PN P N P
xx x x x
y yy x y y P
z zz z z z
Ejercicio 2. Dada la función 2( ) senf x x x , se pide:
a) Determinar, justificando la respuesta, si la ecuación f(x) = 0 tiene alguna solución en el intervalo abierto (π/2, π). b) Calcular la integral de f en el intervalo [0, π]. c) Obtener la ecuación de la recta normal a la grafica de y = f(x) en el punto (π, f(π)). Recuérdese que la recta normal es
la recta perpendicular a la recta tangente en dicho punto. Solución:
a)
2
2
20 0
0 0 2 ;
0 sen 0 0 2 ;sen 0 0
2 ;
2;
2 2 4 0 : 2; / 0
0
BOLZANO
x x k k
f x x x x k kx x Arcsen
x k k
f es continua en
x f No se puede asegurar que x f x x si es solu
x f
0 2;
No hay solución en 2;
ción de f x pero x
P 2,1,‐1
Q 3,0,2
P´ 4,‐1,5
P
P´´M
r
rn v
P
P´´
n
N
nn v
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b)
2
22 2
22
2 dx
sen sen 2
dx
sen
u x du x
dv Sen x dx v Cos xx x dx x x dx x Cos x x Cos x dx
u x du
dv Cos x dx v Sen xx Cos x dx x Cos x dx x Sen x Sen x dx x Sen x Cos x
x x dx x Co
2
22 2
0 0
2 2 2
sen 2 2 4
s x x Sen x Cos x C x Cos x x Sen x C
x x dx x Cos x x Sen x
c)
2 2
0
2
2 22 2
sen ´ 2 sen Cos
1 ,
´
sen 0 1 1
´ 2 sen Cos
f x x x f x x x x x
Normal en P f n y f xf
fn y x n y x
f
Ejercicio 3.
Sean 3, , , a b c d R
, vectores columna. Si:
det , , 1
det , , 3
det , , 2
a b d
a c d
b c d
Se pide calcular razonadamente el determinante de las siguientes matrices:
a) (0,5 puntos) det ,3 , .a d b
b) (0,75 puntos) det , , .a b c d
c) (0,75puntos) det 3 ,2 , 3 .d b a b a d
Solución:
det , , 1 1; det , , 3 3; det , , 2 2a b d a b d a c d a c d b c d b c d
a) det , , 1 det , , det , , 1 det ,3 , 3.det , ,a b d a d b a b d a d b a d b 3
b) det , , det , , det , , det , , det , , 3 2a b c d a b c d a c d b c d a c d b c d a c d b c d ‐5
c)
*1 *2 *1
*2 *1 *2
det 3 ,2 , 3 2 det 3 , , 3 2 det 3 , , 3 3 2 det 3 , ,
2 det 3 3 , , 2 det 2 , , 4 det , , 4 det , ,
d b a b a d d b a b a d d b a b a d a d b a b d
d b b d a b d d a b d d a b d d a b d d
*3 *3
*4 *5
4 det , ,
4 det , , 4 det , , 4 det , , 4 1
Otra forma: det 3 ,2 , 3 3 2 3 3 2 2 3 2 2 2 3 2
3 2
d a b
d a b a d b a b d
d b a b a d d b a b a d d b a b a a a d d a b d a a d a d
b a
4
*6
3 2 3 3 2 det ,2 , det ,2 ,3 det ,2 , det 3 ,2 , det 3 ,2 ,3
0 0 0 0
det 3 ,2 , det ,2 , det 3 ,2 ,
b b a a b a d d a b d a a d a d b a b b a a
b a d d a b b a d
*1
1
2det , , 6det , , 2det , , 6det , , 2det , ,
6det , , 4 det , , 4 1
Para multiplicar a un determinante por una costante, basta multiplicar a una
d a b b a d a d b a b d a b d
a b d a b d
4
*2
*3
sola de sus filas o columnas.
Si a una fila o columna le añadimos una combinacion lineal de otras el determinante no varia.
Si se cambian dos filas o dos columnas consecutivas de lugar ent
*4
*5
*6
re si el determinante cambia de signo.
Distributiva del producto vectorial respecto de la suma de vectores.
Distributiva del producto mixto respecto de la suma de vectores.
Si dos co
lumnas o filas son iguales o combinacion lineal una de otra el determinante es nulo.
0P π;0
2
x 1n y
ππ
2f x x sen x
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Ejercicio 4.
Dado el sistema de ecuaciones lineales:2 2
8
2 4
x z
ax y z
x az
; se pide:
a) Discutir el sistema según los valores de a. b) Resolverlo para a = −5.
Solución:
a) *
2 2 1 0 2 2 1 0 2
8 1 1 8 1 1 4 0 4 0 4
2 4 2 0 4 2 0
4 0 * 3 º . . .
1 0 2
4 0 4 1 1
2 0 4
C
C
x z
ax y z a C a a C a a
x az a a
a C Rg C Rg C n de incognitas S C D
a C
1
2
3 1
*
21 0
8 1 0 * 2 º . . .4 1
4 2
C
C
F
F Rg C Rg C n de incognitas S C I
F F
b)
2 0 2 1 2 2 1 0 2
8 1 1 5 8 1 5 1 8
4 0 5 2 4 5 2 0 4
*
2 2 1 0 2 2 2
5 . . . 5 8 5 1 1 8 1 : 2; 2; 0 2
2 4 2 0 5 4 0
C
C
x z x
a S C D x y z C Cramer x y z yC C C
x az z