Universidad Técnica Federico Santa María

Departamento de Física

Física General III

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Pauta Ayudantía 9

1do Semestre 2015

Mecánica de Fluidos - Hidrostática

Pregunta 1

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Pregunta 2

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Pregunta 3

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Pregunta 4

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Pregunta 5

El perfil de velocidades de un fluido, con viscosidad η, al interior de la tubería de largo L, depende de la

distancia r al eje del tubo, y está dado por:

𝑣(𝑟) =𝛥𝑃

4 ∙ 𝜂 ∙ 𝐿∙ (𝑅2 − 𝑟2), donde R es el radio de la tuberia

a) Encuentre una expresión para el caudal Q que fluye por la tubería

b) Utilizando el resultado en a) resuelva el siguiente problema:

Un médico quiere suministrar 500 [cc] de sangre entera durante un periodo de 10 [min] a través de una

aguja, de 50 [mm] de longitud y que tiene un diámetro interior de 1.0 [mm]. ¿A qué altura sobre el brazo deberá

colgarse la bolsa de sangre? (Suponga que la sangre que circula por la aguja tiene viscosidad η =

1.7 x 10−3 [Pa ∙ s], la presión de salida de la aguja debe ser de 15 [mm de Hg] = 2x103 [Pa] ,

ρsangre = 1.03 x 103 [Kg

m3] )

SOLUCIÓN:

a) Se tiene que la definición de caudal es:

𝑄 = ∫ 𝑣(𝑟) ⋅ 𝑑𝐴

Donde 𝑑𝐴 = 2𝜋𝑟 ⋅ 𝑑𝑟, entonces se tiene que el caudal es:

𝑄 = ∫ 𝑣(𝑟) ⋅ 2𝜋𝑟 ⋅ 𝑑𝑟𝑅

0

𝑄 = ∫𝛥𝑃

4 ∙ 𝜂 ∙ 𝐿∙ (𝑅2 − 𝑟2) ⋅ 2𝜋𝑟 ⋅ 𝑑𝑟

𝑅

0

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𝑄 = 𝜋 ⋅ 𝛥𝑃

2 ∙ 𝜂 ∙ 𝐿∫ (𝑅2𝑟 − 𝑟3) ⋅ 𝑑𝑟

𝑅

0

𝑄 = 𝜋 ⋅ 𝛥𝑃

2 ∙ 𝜂 ∙ 𝐿(

𝑅4

2−

𝑅4

4)

⟹ 𝑄 = 𝜋 ⋅ 𝛥𝑃 ⋅ 𝑅4

8 ∙ 𝜂 ∙ 𝐿

b) Para poder encontrar la altura ℎ necesaria para poder suministrar 500 [𝑐𝑐] de sangre en 10 [𝑚𝑖𝑛] se

debe analizar la situación en la aguja.

Donde: 𝑃ℎ es la presión a la entrada de la jeringa. 𝑃𝑝 es la presión de salida de la jeringa (presión sanguínea de la persona).

𝐴𝑗 es el área transversal de la jeringa.

𝐿𝑗 es el largo de la jeringa.

No se puede realizar un análisis de Bernoulli, puesto a que el flujo es viscoso y presenta

velocidad en estado estacionario. Como la jeringa se coloca de forma horizontal en el brazo de la persona al finalizar la tubería

inmediatamente después de finalizar la tubería vertical, se tiene que 𝑃ℎ queda determinado por la altura ℎ y por simplificación del ejercicio se puede calcular esta presión como una presión hidrostática.

𝑃ℎ = ρsangre ⋅ 𝑔 ⋅ ℎ

Como se dedujo en la parte a) se tiene que el caudal depende de una diferencia de presión, con

∆𝑃 igual a: ∆𝑃 = 𝑃ℎ − 𝑃𝑝

Puesto a que 𝑃ℎ > 𝑃𝑝 para que el flujo se mueva hacia la persona.

El caudal que se le debe suministrar a la persona queda determinado por:

𝑄 = 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑠𝑢𝑚𝑖𝑛𝑖𝑠𝑡𝑟𝑎𝑑𝑜

𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑚𝑖𝑛𝑖𝑠𝑡𝑟𝑜=

500 ⋅ 10−6 [𝑚3]

10 ⋅ 60 [𝑠]= 8. 3 [

𝑚3

𝑠]

Este caudal debe ser constante a lo largo de la jeringa, puesto a que se considera un flujo

incompresible, luego de la ecuación del caudal encontrada en la parte a) de despeja 𝑃ℎ:

𝐿𝑗

𝑃𝑝 ⋅ 𝐴𝑗 𝑃ℎ ⋅ 𝐴𝑗

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𝑄 = 𝜋 ⋅ (𝑃ℎ − 𝑃𝑝) ⋅ 𝑅4

8 ∙ 𝜂 ∙ 𝐿 ⟹ 𝑃ℎ =

𝑄 ⋅ 8 ∙ 𝜂 ∙ 𝐿

𝜋 ⋅ 𝑅4+ 𝑃𝑝

𝑃ℎ =𝑄 ⋅ 8 ∙ 𝜂 ∙ 𝐿

𝜋 ⋅ 𝑅4+ 𝑃𝑝

Reemplazando los valores dados en el enunciado y con 𝐿 = 𝐿𝑗:

𝑃ℎ = 8. 3 [

𝑚3

𝑠 ] ⋅ 8 ⋅ 1.7 x 10−3 [Pa ∙ s] ⋅ 0.05[𝑚]

𝜋 ⋅ (0.0005[𝑚])4+ 2x103 [Pa] = 4886.01 [𝑃𝑎]

Pero 𝑃ℎ = ρsangre ⋅ 𝑔 ⋅ ℎ, entonces:

ρsangre ⋅ 𝑔 ⋅ ℎ = 4886.01 [𝑃𝑎]

ℎ = 4886.01 [𝑃𝑎]

9.81 [𝑚𝑠2] ⋅ 1.03 x 103 [

Kgm3]

= 0.4836 [𝑚] = 48.36 [𝑐𝑚]

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Problema 7

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𝑇𝑒𝑞 = 1.00328 [º𝐶]

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