Post on 05-Nov-2015
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Condensador plano-paralelo
Electromagnetismo
Condensadores
Condensador plano- paralelo Modelo elctrico de un ciclo de Carnot Condensador cilndrico Condensador esfrico Condensador con un dielctrico. Fuerza sobre un dielctrico (I) Fuerza sobre un dielctrico (II) Carga y descarga de un condensador Medida de la velocidad de una bala Agrupacin de condensadores
Condensador
Condensador plano-paralelo
Energa de un condensador cargado
Electrmetro de placas
Actividades
Referencias
Condensador
Se denomina condensador al dispositivo formado por dos conductores
cuyas cargas son iguales pero de signo opuesto.
La capacidad C de un condensador se define como el cociente entre la
carga Q y la diferencia de potencia V-V existente entre ellos.
La unidad de capacidad es el farad o faradio F, aunque se suelen emplear
submltiplos de esta unidad como el microfaradio F=10-6
F, y el
picofaradio, pF=10-12
F.
Un condensador acumula una energa U en forma de campo elctrico. La
frmula como demostraremos ms abajo es
Condensador plano-paralelo
En primer lugar, calculamos el campo creado por una placa plana
indefinida, cargada con una densidad de carga , aplicando la ley de Gauss.
Campo creado por una placa plana indefinida, cargada.
Para una placa indefinida cargada, la aplicacin del teorema de Gauss
requiere los siguientes pasos:
1.-A partir de la simetra de la distribucin de carga, determinar la
direccin del campo elctrico.
La direccin del campo es perpendicular a la placa cargada, hacia afuera
si la carga es positiva y hacia la placa si la carga es negativa.
2.-Elegir una superficie cerrada apropiada para calcular el flujo
Tomamos como superficie cerrada, un cilindro de base S, cuya generatriz
es perpendicular a la placa cargada. El flujo tiene dos contribuciones
Flujo a travs de las bases del cilindro: el campo y el vector
superficie son paralelos.
ES1+ES2=2EScos0=2ES
Flujo a travs de la superficie lateral del cilindro. El campo E es
perpendicular al vector superficie dS, el flujo es cero.
El flujo total es por tanto; 2ES
3. Determinar la carga que hay en el interior de la superficie cerrada
La carga (en la figura de color rojo) en el interior de la superficie cerrada
vale q= S, donde es la carga por unidad de superficie
4.-Aplicar el teorema de Gauss y despejar el mdulo del campo
elctrico
El campo producido por una placa infinitamente grande es constante, su
direccin es perpendicular a la placa. Esta frmula la podemos
considerar vlida para distancias prximas a una placa en comparacin
con sus dimensiones.
Campo creado por dos placas planas cargadas con cargas
iguales y opuestas.
Supondremos que las placas son
infinitamente grandes o bien, que
la separacin entre las placas es
pequea comparada con sus
dimensiones.
En la figura de arriba, se muestra
el campo producido por cada una
de las placas y en la figura de
abajo, el campo resultante.
Sea un condensador formado por
dos placas iguales de rea S,
separadas una distancia d, pequea
en comparacin con las
dimensiones de las placas. El
campo se cancela en la regin del
espacio situado fuera de las placas,
y se suma en el espacio situado
entre las placas. Por tanto,
solamente existe campo entre las
placas del condensador, siendo
despreciable fuera de las mismas.
Como el campo es constante, la
diferencia de potencial entre las
placas se calcula multiplicando el
mdulo del campo por la
separacin entre las mismas. El
rea del rectngulo de la figura.
La capacidad del condensador plano-paralelo ser
donde Q= S es la carga total de la placa del condensador.
La capacidad del condensador solamente depende de su geometra, es
decir, del rea de las placas S y de la separacin entre las mismas d.
Energa de un condensador cargado
Para cargar un condensador pasamos carga de la placa de menor a la de
mayor potencial y requiere, por tanto, el consumo de energa.
Imaginemos que el proceso de carga comienza con ambas placas
completamente descargadas y despus, sacamos repetidamente cargas
positivas de una de ellas y las pasamos a la otra. En un momento dado,
tendremos una carga q en las placas y la diferencia de potencial entre las
mismas ser V tal que
q=CV
El trabajo necesario para incrementar en dq la carga del condensador ser
dW=Vdq
El trabajo total realizado en el proceso de carga, mientras esta aumenta
desde cero hasta su valor final Q.
Electrmetro de placas
Carga constante
Conectamos el condensador plano-paralelo a una batera que carga las
placas del condensador con una carga q. A continuacin, desconectamos
la batera.
Supongamos que la separacin entre las placas del condensador es x, y
mediante una fuerza mecnica externa Fm igual y opuesta a la fuerza de
atraccin electrosttica Fe aumentamos la separacin entre las placas en
dx.
El trabajo dWm=Fmdx realizado por la fuerza mecnica se invierte en
modificar la energa U=q2/(2C) almacenada por el condensador en forma
de campo elctrico. Como la batera est desconectada no suministra
ninguna energa al condensador durante este proceso, por lo que
dWm=dU
Para un condensador plano-paralelo ideal C=0S/x, la fuerza vale
Cuando la placa del condensador se desplaza x la capacidad disminuye, la energa del condensador aumenta
El trabajo realizado por la fuerza exterior Fm=Fe para incrementar la
separacin de las placas es
El trabajo realizado por la fuerza exterior Fm se emplea en incrementar la
energa Uc del condensador
Paradoja
El campo elctrico en el condensador es constante y su valor es /0 o bien, q/(S0), la fuerza que ejerce este campo sobre la placa cargada es q
2/(S0), que es el doble de lo que hemos deducido. Cmo se entiende
estos dos resultados dispares?.
Imaginemos que la carga en la superficie de la placa ocupa una capa
delgada, como se indica en la figura, el campo variar desde cero en la
superficie interna de la capa hasta /0 en el espacio entre las placas. El campo medio que acta sobre la carga situada en la capa delgada es
/(20 ), y por tanto las fuerza sobre la carga situada en la capa delgada es q/(20 )=q
2/(S0). Esta es la razn del factor 1/2 que aparece en la
expresin de la fuerza que hemos deducido. (Vase Feynman)
La fuerza de atraccin entre las placas Fe=-Fm es constante e
independiente de su separacin x. La fuerza Fe la podemos obtener a
partir de la energa almacenada en forma de campo elctrico en el
condensador U=q2/(2C), mediante la expresin.
Potencial constante
La balanza de Kelvin mide la fuerza entre las placas de un condensador
plano-paralelo cargado. Una de las placas del condensador cuelga de un
brazo de una balanza, en el otro brazo se colocan pesas.
Las placas del condensador se ponen en contacto con una fuente
ajustable de alto voltaje, que va variando poco a poco hasta que la
balanza se pone en equilibrio. Un anillo metlico que rodea a la placa
superior minimiza los efectos del campo que sale por los bordes de las
placas paralelas
Vamos a determinar la fuerza Fe de atraccin entre las placas,
suponiendo que el condensador tiene inicialmente una capacidad C, y las
placas estn cargadas con una carga q tal que q=CV
Incrementamos en dx la separacin entre las
placas ejerciendo una fuerza mecnica exterior
Fm sobre la placa mvil igual y opuesta a la
fuerza de atraccin elctrica Fe entre las placas.
El trabajo realizado por la fuerza mecnica es
dWm=Fmdx
Si las placas del condensador se mantienen a una diferencia de potencial
constante V mediante una batera, al modificarse la capacidad, la batera
realiza un trabajo para suministrar o retirar una carga dq=VdC. Este
trabajo vale
dWV=Vdq=V2dC
El trabajo total realizado sobre el condensador modifica la energa
U=CV2/2 almacenada en el mismo en forma de campo elctrico.
dU= dWV+ dWm
Como V es constante, tenemos que
V2dC=V
2dC+Fmdx
Despejamos la fuerza Fm
Para un condensador plano-paralelo ideal C=0S/x
La fuerza de atraccin entre las placas Fe=-Fm es inversamente
proporcional al cuadrado de su separacin x. La fuerza Fe la podemos
obtener tambin, a partir de la energa U=CV2/2 almacenada en forma de
campo elctrico en el condensador, mediante la expresin.
Cuando la placa del condensador se desplaza x la capacidad disminuye, la energa del condensador disminuye.
La fuerza Fm=Fe que debemos de hacer para desplazar la placa, de
acuerdo a la argumentacin del punto anterior.
El trabajo de esta fuerza es
A medida que se separa las placas, decrece la capacidad, las placas
pierden carga que va a la batera.
El trabajo realizado sobre la batera es el producto de la prdida de carga
que experimenta el condensador por la ddp V de la batera
La batera gana energa que proviene, la mitad, de la disminucin de la
energa condensador Uc y la otra mitad, del trabajo realizado por la fuerza externa Wm.
Actividades
En el applet se trata de medir una tensin desconocida V, mediante un
electrmetro formado por dos placas planas y paralelas.
La diferencia de potencial V se calcula midiendo la fuerza F entre las
placas, conocidos los datos de la distancia x entre las placas y el rea S
de las mismas.
Cuando se pulsa el botn titulado Nuevo, se genera un nmero aleatorio
que representa la tensin V desconocida de un generador.
Cuando se pulsa el botn titulado Conectar, las placas del condensador
se conectan a dicho generador, atrayndose entre s. La balanza se
desequilibra ya que su brazo est unido a la placa superior del
condensador, y tenemos que volverla a equilibrar para medir la fuerza de
atraccin F.
Moviendo los cursores de la balanza (flechas de color azul, rojo y negro)
equilibramos la balanza y medimos la fuerza en miligramos.
Ejemplo:
Equilibramos la balanza desplazando con el puntero del ratn los
cursores hasta marcar 481 mg.
Sabiendo que el rea de las placas es de 400 cm2 y que su separacin es
de 1 cm. Introducimos los datos en la frmula de la fuerza en las
unidades adecuadas.
Comparamos nuestros clculos con la respuesta dada por el programa
interactivo 1631.7 V, pulsando en el botn titulado Respuesta.