Post on 19-Mar-2020
I.E.P. MARÍA DE NAZARET Piensa en grande, piensa en ti.
MARITZA DOLORES SOTO VÉLIZ
CUADRILÁTEROS
POLÍGONOS. CLASIFICACIÓMN
TERCERO – GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS: Resuelve problemas sobre polígonos
DEFINICIÓN
Es aquella figura geométrica cerrada que tiene 4lados.
FORMA
● Convexo:
Cuando sus ángulos interiores son menoresde 180º.
● No Convexo:
Cuando uno de los ángulos interiores midemás de 180º.
NOTACIÓN: ABCD
PROPIEDADES
1 Suma de Ángulos Internos
2 Suma de ángulos exteriores
CASOS ESPECIALES
A D
C
B
180º
A
D
C
B
= 360º
y
x
w
z
x + y + z + w = 360º
aºaº
bºbº
A
B
C
D
x
> 180
I.E.P. MARÍA DE NAZARET Piensa en grande, piensa en ti.
MARITZA DOLORES SOTO VÉLIZ
B
C
DA
b
a
x
RECORDANDO
Especial
CLASIFICACIÓN DE CUADRILÁTEROS
TRAPEZOIDE
Es aquel cuadrilátero que no presenta ladosopuestos paralelos.
* CASOS ESPECIALES
TRAPECIO SIMÉTRICO
Es aquel trapezoide en el cual una de susdiagonales es parte de la mediatriz de la otradiagonal.
AB = ADBC = CD
TRAPECIO ASIMÉTRICO
Es el trapezoide propiamente dicho, estoquiere decir que no presenta característicasespeciales.
A B // CD
BC // A D
TRAPECIO
Es aquel cuadrilátero que tiene sólo un par delados paralelos, a los cuales se les denominabases.
ABCD es trapecio
Elementos:
BC : Base Menor AD : Base Mayor MN : Base Media ó Mediana
Ejemplo:
Si ABCD es un trapecio y AB // CD. Hallar “x”.
x =2
x y
x + y =
A
B
C
D
M
A
N
D
CB
BC // AD
B C
DA
= 180º
Si: BC // AD
Trapecio Simétrico
A
B
C
D
E
D
BC
A
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MARITZA DOLORES SOTO VÉLIZ
CLASIFICACIÓN DE TRAPECIOS
Trapecio Escaleno
Es aquel trapecio cuyos lados laterales tienendiferente longitud.
Si: BC// AD AB CDy
A B C D es trapecio escaleno
Trapecio Rectángulo
Es aquel trapecio escaleno, en donde uno delos lados laterales es perpendicular a lasbases.
Si: BC// AD m ABC m BAD 90ºy
ABCD es trapecio rectángulo
Trapecio Isósceles
Es aquel trapecio cuyos lados laterales son deigual longitud.
Si: BC AD AB CDy
ABCD es trapecio isósceles
OBSERVACIÓN
m B A D m C D A A C B Dy
PROPIEDADES EN TRAPECIO
Teorema 1
En todo trapecio la base media es paralela a susbases y su longitud es igual a la semisuma de laslongitudes de dichas bases.
M N // BC// AD
M N : Base media del trapecio ABCD
2
a bx
Teorema 2
En todo trapecio el segmento que une bases y sulongitud es igual a la semidiferencia de laslongitudes de dichas bases:
A
BC
D
130º
A
B C
D
AB CD
A D
B C
BC AB
AD AB
x
A
B C
D
AB = CD
A D
CB
D
NM
B C
x
a
b
A
D
CB
P Qx
a
b
A
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MARITZA DOLORES SOTO VÉLIZ
2
a bx
NOTA
A H O R AV A M O S A
T R A B A J A R
P y Q son puntos medios de AC y BDrespectivamente.Se cumple: PQ // BC// A D y
En todo trapecio se cumple:
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1. Calcular “x”.
a) 120º
b) 110º
c) 112º
d) 118º
e) 115º
2. Calcular “x”.
a) 30º
b) 54º
c) 42º
d) 12º
e) 24º
3. Calcular “x”.
a) 18º
b) 36º
c) 20º
d) 54º
e) 9º
4. Calcular “x”.
a) 50º
b) 30º
c) 45º
d) 60º
e) 80º
5. Calcular “x”.
a) 40º
b) 80º
c) 160º
d) 140º
e) 20º
6. Calcular “x”.
a) 80º
b) 100º
c) 120º
d) 160º
e) 150º
7. Calcular “x”.
a) 50º
b) 60º
c) 40º
d) 35º
e) 45º
8. Calcular “x”.
120ºx
80º 40º
153º120º
x 12º 45º
5x8x
4x 3x
x
2x
x
80º
120º x
x
150º
x
x
130º
x
40º60º
I.E.P. MARÍA DE NAZARET Piensa en grande, piensa en ti.
MARITZA DOLORES SOTO VÉLIZ
a) 96º
b) 52º
c) 62º
d) 42º
e) 56º
9. Calcular “x”.
a) 80º
b) 100º
c) 40º
d) 50º
e) 90º
10. Calcular “x”.
a) 36º
b) 72º
c) 45º
d) 60º
e) 30º
11. Calcular “x”.
a) 70º
b) 80º
c) 75º
d) 60º
e) 50º
12. Calcular “x” ; = 300º
a) 70º
b) 60º
c) 50º
d) 80º
e) 40º
13. Calcular “x”.
a) 15º
b) 30º
c) 45º
d) 60º
e) 22,5º
14. Calcular “x”; = 20º
a) 70º
b) 80º
c) 60º
d) 50º
e) 40º
15. Calcular “x”.
a) 40º
b) 50º
c) 60º
d) 45º
e) 30º
124º112º
x
bb
aa
dd
x 80º
cc
2x
x
x
50º
60º
x
RECUERDA
60º Equilátero
100º
x
75º
x
60º
60º
70º
x 80º
70º 130º
x
EL QUE ES
PERSEVERANTE,
LO CONSIGUE.
I.E.P. MARÍA DE NAZARET Piensa en grande, piensa en ti.
MARITZA DOLORES SOTO VÉLIZ
16. Calcular “x” ; BC // AD.
a) 110º
b) 55º
c) 50º
d) 80º
e) 120º
17. Calcular “x”; si ABCD es un trapecio.
a) 127º
b) 143º
c) 53º
d) 37º
e) 120º
18. Calcular “x”; BC // AD.
a) 130º
b) 50º
c) 65º
d) 25º
e) 100º
19. Si ABCD es un trapecio isósceles (BC//AD).Calcular “x”.
a) 30º
b) 20º
c) 15º
d) 40º
e) 50º
20. Calcular “x” ; BC // AD.
a) 36º
b) 72º
c) 40º
d) 60º
e) 18º
21. Calcular “x”.
a) 12
b) 14
c) 10
d) 11
e) 13
22. Calcular “x”.
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 4
23. Calcular “x”; BC // AD.
a) 90º
b) 120º
c) 45º
d) 60º
e) 150º
24. Calcular “x”; si AB // CD.
a) 28
b) 32
c) 30
d) 34
e) 26
25. Calcular “x” ; BC // AD.
a) 26
b) 18
c) 20
d) 22
e) 30
26. Calcular “x”; BC // AD .
37º
x
130º
B C
D
x
A
70º
2x
B C
A D
x + 50º 80º
B C
A D
2x
B C
A D
3x 120º
x
37º
10
6
12
45º
x
5
A
D
B C
37º
x
20
A
B C4
D
53º
x
15
A
B C8
D
45º
A B
CD
x
I.E.P. MARÍA DE NAZARET Piensa en grande, piensa en ti.
MARITZA DOLORES SOTO VÉLIZ
a) 4
b) 5
c) 6
d) 4 3
e) 4 2
27. Calcular “a” ; BC // AD.
a) 18º
b) 9º
c) 27º
d) 36º
e) 45º
28. Calcular “x”.
a) 2
b) 14
c) 7
d) 4
e) 6
29. Calcular “x”; ABCD es trapecio.
a) 16
b) 9
c) 32
d) 2
e) 8
30. Calcular “x”, si ABCD es trapecio.
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
APLICO LO QUE APRENDÍ
1. Calcular “x”.
a) 60º
b) 80º
c) 40º
d) 66º
e) 160º
2. Calcular “x”
a) 100º
b) 50º
c) 30º
d) 40º
e) 80º
3. Calcular “x”.
a) 53º
b) 37º
c) 27º
d) 30º
e) 57º
4. Calcular “x”.
a) 50º
b) 60º
c) 70º
d) 80º
e) 75º
5. Calcular “x”.
a) 90º
b) 80º
c) 100º
d) 110º
e) 120º
6. Calcular “”.
a) 85º
b) 95º
c) 75º
100º130º
70º x
70º130º
x
4x102x + 3
3x x3
110º 100º
x
70º
120ºx
95º
45º30ºA
B C
x 4
8a
2a aA D
CB
6
8x
7
B
A Dx
C
9
8
B
A D
19
C
9
x
D
I.E.P. MARÍA DE NAZARET Piensa en grande, piensa en ti.
MARITZA DOLORES SOTO VÉLIZ
d) 105º
e) 115º
7. Calcular “x”.
a) 10º
b) 20º
c) 5º
d) 15º
e) 25º
8. Calcular “x”
a) 40º
b) 30º
c) 45º
d) 50º
e) 35º
9. Calcular “x”.
a) 90º
b) 100º
c) 110º
d) 120º
e) 130º
10. Calcular: a + b + c + d
a) 90º
b) 180º
c) 120º
d) 270º
e) 60º
11. Calcular “x”.
a) 70º
b) 80º
c) 60º
d) 75º
e) 65º
12. Calcular “x”; = 240º
a) 60º
b) 70º
c) 80º
d) 90º
e) 50º
13. Calcular “x”.
a) 15º
b) 30º
c) 45º
d) 60º
e) 10º
14. Calcular “x”.
a) 50º
b) 60º
c) 70º
d) 80º
e) 40º
15. Calcular “”; BC // AD.
a) 45º
b) 90º
c) 5º
d) 10º
e) 60º
16. Calcular “x”, si : x y = 70º
a) 125º
b) 55º
c) 115º
d) 65º
120º80º
x
3x
4x
xx
120º
x + 30º
110º
100º
aº
bº cº
dº
100º x
x
60º
75º
2
2
50º x
60º
100º
x
SEGUIMOSTRABAJANDO
x + 10B C
DA3x 10
x
y
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MARITZA DOLORES SOTO VÉLIZ
40º
e) 135º
17. Calcular “x”, BC // AD.
a) 12
b) 6
c) 22
d) 11
e) 3
18. Calcular x + y; BC // AD.
a) 50º
b) 125º
c) 115º
d) 135º
e) 235º
19. Calcular “” ; si BC // ED // AD.
a) 100º
b) 120º
c) 80º
d) 140º
e) 110
20. Calcular “x”.
a) 16
b) 13
c) 9
d) 12
e) 10
21. Calcular “x”.
a) 12 3
b) 6 3
c) 6
d) 3 3
e) 3
22. Calcular “x”.
a) 15
b) 16
c) 17
d) 18
e) 20
23. Calcular “x” ; BC // AD.
a) 8
b) 6
c) 10
d) 12
e) 9
24. Calcular “x” ; BC // AD.
a) 4
b) 5
c) 10
d) 8
e) 6
25. Calcular “x” ; si BC AD.
a) 5
b) 10
c) 7
d) 8
e) 6
26. Calcular “x”
a) 30b) 60c) 45d) 37e) 53
27. Calcular “x”
a) 5b) 8c) 6d) 9e) 10
180
3x+5
A D
B C
x+17
105º
xA D
B C
y 130º
60ºA D
E
B C
D
53º
15
4
x
60º
x
m
m + 6
7
x15
30
A D
B C
53º 45º
x
50
x
A D
B C
143º
10
18
53º
22A D
B Cx
60º
x
3x
5
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MARITZA DOLORES SOTO VÉLIZ
PARALELOGRAMO
DEFINICIÓN
Es aquel cuadrilátero que tiene sus lados opuestosparalelos e iguales.
Si: AB // CD
DBCA
BC // AD 180BA
CLASIFICACIÓN
1. Romboide:
Es aquel paralelogramo cuyas diagonales secortan en su punto medio.
Ejemplo
Calcular: y x, si es romboide.
Solución
2. Rombo:
Es aquel romboide que tiene los cuatro ladosiguales, y las diagonales son perpendiculares.
Ejemplo
Calcular: a + b
Solución
3. Rectángulo:
Es aquel romboide que tiene sus ángulos igual a90º y las diagonales son iguales.
Ejemplo
B C
A D
M
A D
B C
AM = MCBM = MD
xy
64
A
D
C
B
AB BD
a4
5
b
M
A
B C
D
AM = BM = CM DM
AC = BD
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MARITZA DOLORES SOTO VÉLIZ
Calcular “x”.
4. Cuadrado:
Es aquel romboide que tiene sus lados y ángulosde igual medida.
Ejemplo
Calcular “x”, si BD = 6
Solución
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1. Calcular “x”; si ABCD es romboide.
a) 18
b) 72
c) 36
d) 9
e) 108
2. Calcular “x”; si ABCD es romboide.
a) 11
b) 12
c) 22
d) 6
e) 24
3. Calcular “x”; si ABCD es un rombo.
a) 24
b) 48
c) 76
d) 66
e) 12
4. Calcular el perímetro del rombo ABCD.
a) 68
b) 92
c) 34
d) 46
e) 17
5. Calcular “x”.
a) 100º
b) 50º
c) 25º
d) 40º
e) 80º
6. Calcular OC.
a) 15
b) 16
c) 75
d) 8
e) 4
x40º
x =
20
x + 2
x =
A D45º
B C
O
A D
B C
x
B C
A D36º
2x
B C
A D
17
2x5
Ax
D
C
B24º
A8
D
C
B
15
x100º
12
O
A
B C
D
9
I.E.P. MARÍA DE NAZARET Piensa en grande, piensa en ti.
MARITZA DOLORES SOTO VÉLIZ
7. Calcular m∢PDB, si ABCD es un cuadrado.
a) 45º
b) 60º
c) 75º
d) 82º
e) 90º
8. Calcular “x”.
a) 6 2
b) 8 2
c) 6 3
d) 8 3
e) 8
9. Calcular “x”; ABCD es un romboide.
a) 7
b) 10
c) 14
d) 21
e) 15
10. Calcular “x”, si ABCD es un romboide.
a) 7
b) 19
c) 5
d) 6
e) 8
11. Calcular “x”.
a) 20º
b) 25º
c) 50º
d) 40º
e) 30º
12. Calcular “x”, si ABCD es un romboide.
a) 10
b) 12
c) 15
d) 20
e) 18
13. Calcular “x”.
a) 2
b) 4
c) 3
d) 6
e) 5
14. Calcular “x”; si ABCD es un cuadrado.
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 3
15. Calcular el perímetro del rombo ABCD; si AC =12 y BD = 16
a) 28
b) 56
c) 20
d) 40
e) 80
APLICO LO QUE APRENDÍ
1. Calcular “x”.
a) 132º
b) 48º
c) 24º
d) 66º
e) 96º
2. Calcular “x”, si ABCD es un romboide.
53ºP
C
DA
B
x
53º
10
PA
7
B C
D
x
A
7
B C
D
12
x
50º x
B C
A D
2x
7x
45ºA
B CM
2
Dx
A
B C
D
37ºx
6
A
D
C
B
48º
x
I.E.P. MARÍA DE NAZARET Piensa en grande, piensa en ti.
MARITZA DOLORES SOTO VÉLIZ
a) 5
b) 4
c) 3
d) 2
e) 1
3. Calcular “x”, si ABCD es romboide.
a) 10º
b) 20º
c) 30º
d) 45º
e) 40º
4. Calcular “x”.
a) 74º
b) 60º
c) 30º
d) 37º
e) 75º
5. Si ABCD es un rombo, calcular “x”.
a) 4
b) 2
c) 6
d) 8
e) 5
6. Calcular “x”.
a) 18
b) 15
c) 20
d) 12
e) 24
7. Calcular “x”, si ABCD es romboide.
a) 9
b) 7
c) 5
d) 3
e) 4
8. Calcular el perímetro del rombo ABCD.
a) 20
b) 10
c) 30
d) 40
e) 48
9. Calcular “x”.
a) 24
b) 12
c) 4
d) 2
e) 10
10. Calcular “x” si ABCD es un romboide.
a) 16
b) 8
c) 12
d) 4
e) 14
11. Calcular “x”.
a) 5
b) 5 2
c) 10 2
d) 2
e) 5 3
12a
a2x3
a+1
x
70º
74º
x
A
D
C
B
10
37º x
x 2x
xA
6
B C
D
15
68 CA
B
D
6
4
x
14
8
A
B C
D
12
5 2
45ºx
x
I.E.P. MARÍA DE NAZARET Piensa en grande, piensa en ti.
MARITZA DOLORES SOTO VÉLIZ
APLICO LO QUE APRENDÍ DETRIÁNGULOS
1. Hallar “” y decir por que:
a) 10º
b) 20º
c) 30º
d) 40º
e) 5º
2. Hallar “x”; ∆ABC Y ∆BDE son equiláteros.
a) 10º
b) 20º
c) 30º
d) 40º
e) 50º
3. Hallar “x”.
a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5
4. Hallar: “AB”; ED = 6m.
a) 2mb) 4mc) 6md) 8me) 12m
5. Hallar: “”.
a) 9ºb) 12ºc) 15ºd) 17ºe) 21º
6. Hallar: “”.
a) 8ºb) 9º
c) 10ºd) 12ºe) 15º
7. Hallar “x”.
a) 10ºb) 20ºc) 30ºd) 40ºe) 50º
8. Hallar “x”.
a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5
9. Hallar : PQ; AB = 7 y AH = 4
a) 4b) 7c) 3d) 6e) 2
10. Hallar : AB; MC = 10
a) 5b) 10c) 20d) 15e) 2
11. Calcular “x”
a) 20ºb) 60ºc) 40ºd) 30ºe) 90º
12. Hallar “x”
a) 1b) 2c) 3d) 4e) 0
20º
º
E 40ºx
B
A C
D
6-x
2+3x
E
A10º
40º
80º80º
B C
D
6
6
24
x+1
6
B
3
A C
M
2x + 8
16
3 48º
51º
40º 80º
a
a + b
a xº
b
A
Q P
B
H
C
a
a
x
a
I.E.P. MARÍA DE NAZARET Piensa en grande, piensa en ti.
MARITZA DOLORES SOTO VÉLIZ
13. Hallar “a” ; a + b = 21
a) 7b) 14c) 21d) 42
14. Hallar (a + b); si la mediana BM mide 30.
a) 10b) 6c) 16d) 15e) 36
15. Si: BM es mediana. Hallar “x”.
a) 68ºb) 34ºc) 17ºd) 32ºe) 22º
UN POQUITO MÁS
1. Hallar “x”
a) 60ºb) 30ºc) 90d) 40ºe) 80º
2. Hallar : “x” ; ∆ABC es equilátero; AE = DC
a) 30ºb) 45ºc) 53ºd) 37ºe) 60º
3. Hallar “x”.
a) 3b) 4c) 5d) 6
e) 7
4. Hallar “x”.
a) 15ºb) 45ºc) 60ºd) 75ºe) 80º
5. Hallar : “”; si : BC = BD
a) 40º
b) 80º
c) 100º
d) 90º
e) 60º
6. Hallar: “AC” ; si : AD = 3
a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5
7. Hallar : AB
a) 6b) 9c) 15d) 14e) 20
8. Calcular “x”
a) 3b) 5c) 10d) 7e) 4
9. Calcular : HC ; BC = 12 y DE = 5
a) 5b) 12c) 8d) 7e) 9
a
b
A 3a M 5b C
B
A
68º
M
x
C
B
3 2
30º
x
B
E
A D
x
C
a a
x + 4 2x - 3
2
5
D
B
A C
6
A B
9
x
ba
x 3 5
b
c
c4
a
EA C40º
º
D
B
7
3
x
D
A H C
E
B