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Guía de trabajo

Nº 5

OBJETIVO Nº 3:

General:

Estudiar las determinantes

Específicos:

Definir

determinantes

Calcular el valor de determinantes

Conocer las propiedades de los determinantes

POLINOMIOS

I. Definición de Polinomios:

Se llama polinomio a la siguiente expresión por

ejemplo:

𝑷 𝒙 = 𝟑 + 𝒙 + 𝒙𝟐 − 𝟓𝒙𝟑 +𝟏

𝟐𝒙𝟒 − 𝟏𝟎𝒙𝟓

Donde cada número que acompaña a las 𝒙 se llama

coeficiente, cada expresión que está entre los signos

más o menos se llama término, los pequeños números que

están sobre las variables se llaman exponentes de cada

término y el número que no está acompañado de la

variable se llama término independiente.

Los polinomios se pueden representar con cualquier

letra mayúscula o variable por ejemplo: 𝑃 𝑥 , 𝑄 𝑦 , 𝑅 𝑧 … Finalmente para que una expresión sea polinómica la

variable siempre debe tener todos sus exponentes

positivos.

II. Valor numérico de un Polinomio:

Sea 𝑃 𝑥 un polinomio y 𝑎, un número real, se

llama valor numérico del polinomio 𝑃 𝑥 para 𝑥 = 𝑎, al valor que se obtiene al sustituir 𝑥 por 𝑎 en el

polinomio. Ejemplo:

Dado el polinomio 𝑷 𝒙 = 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟓, halar su valor para

𝑥 =1

2

𝑷 𝒙 = 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟓

𝑷 𝟏

𝟐 =

𝟏

𝟐 𝟐− 𝟒

𝟏

𝟐 + 𝟓 𝑷

𝟏

𝟐 =

𝟏

𝟒− 𝟐 + 𝟓 𝑷

𝟏

𝟐 =

𝟏

𝟒+ 𝟑 =

𝟕

𝟒

III. Propiedad fundamental de la división:

Dado dos polinomios 𝐷 𝑥 y 𝑑 𝑥 , con grado

𝐷 𝑥 ≥ 𝑑 𝑥 , al efectuar la división de 𝐷 𝑥 entre 𝑑 𝑥 , se hallan dos polinomios 𝑐 𝑥 y 𝑅 𝑥 , se obtiene que 𝑅 𝑥 < 𝑐 𝑥 y se obtiene la propiedad fundamental de la división que es:

𝐷 𝑥 = 𝑑 𝑥 ∙ 𝑐 𝑥 + 𝑅(𝑥)

Donde 𝐷 𝑥 es el dividiendo, d 𝑥 es el divisor, 𝑐 𝑥 es el cociente y 𝑅 𝑥 es el resto o residuo del polinomio.

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I.- Ejercicios Propuestos

1. Hallar el valor numérico de 𝑷 𝒙 = 𝒙𝟑 + 𝟔𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟏 para los valores

𝒙 = 𝟏, −𝟐,𝟏

𝟑

2. Hallar el valor numérico de 𝑷 𝒙 = 𝟒𝒙𝟑 − 𝟓𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟏𝟏 para los valores

𝒙 = 𝟎, − 𝟏

𝟒

3. Considere el polinomio 𝑷 𝒙 = 𝟑𝒙𝟒 − 𝟐𝒙𝟑 − 𝟔𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟏 y calcule su valor

numérico para 𝒙 = 𝟒, −𝟐,− 𝟏

𝟏𝟐, 𝟐, 𝟗

4. Considere el polinomio 𝑷 𝒙 = 𝟐𝒙𝟓 − 𝒙𝟑 + 𝟐𝒙 + 𝟐 y calcule su valor

numérico para 𝒙 = −𝟓,−𝟏, 𝟎, 𝟐

𝟐

5. Calcular el valor numérico del polinomio 𝑷 𝒙 = −𝒙𝟓 + 𝟓𝒙𝟒 − 𝟕𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 − 𝟒

cuando 𝒙 = −𝟑,−𝟏

𝟐, − 𝟑

6. Calcular el valor numérico del polinomio 𝑷 𝒙 = 𝟐𝒙𝟓 + 𝟑 𝟑𝒙𝟒 + 𝟕𝒙𝟑 + 𝟐 𝟑𝒙𝟐 −

𝟑𝒙 + 𝟑 𝟑 cuando 𝒙 = − 𝟑

7. Dados los polinomios 𝐷 𝑥 = 𝟔𝒙𝟓 − 𝟑𝒙𝟑 + 𝟖𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟔 y 𝑑 𝑥 = 𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟑, obtener el cociente y el resto de la división

8. Para los polinomios 𝐷 𝑥 = 𝟔𝒙𝟓 − 𝟑𝒙𝟑 + 𝟖𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟔 y 𝑑 𝑥 = 𝒙𝟐 + 𝒙 +𝟑,comprobar la propiedad fundamental de de la división

9. Dados los polinomios 𝐷 𝑥 = 𝟐𝒙𝟑 + 𝟔𝒙 − 𝟒 y 𝑑 𝑥 = 𝒙 + 𝟒, obtener el cociente y el resto de la división

10. Para los polinomios 𝐷 𝑥 = 𝟐𝒙𝟑 + 𝟔𝒙 − 𝟒 y 𝑑 𝑥 = 𝒙 + 𝟒, comprobar la

propiedad fundamental de de la división

11. Dados los polinomios 𝐷 𝑥 = 𝟐𝒙𝟑 − 𝟕𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 − 𝟑 y 𝑑 𝑥 = 𝑥2 − 𝟐𝒙 + 𝟏, obtener el cociente y el resto de la división

12. Para los polinomios 𝐷 𝑥 = 𝟐𝒙𝟑 − 𝟕𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 − 𝟑 y 𝑑 𝑥 = 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟏, comprobar la propiedad fundamental de de la división

13. Dados los polinomios 𝐷 𝑥 = 𝟐𝒙𝟑 − 𝟒𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟏 y 𝑑 𝑥 = 𝒙 + 𝟑, obtener el cociente y el resto de la división

14. Para los polinomios 𝐷 𝑥 = 𝟐𝒙𝟑 − 𝟒𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟏 y 𝑑 𝑥 = 𝒙 + 𝟑, comprobar la propiedad fundamental de de la división

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IV. Regla de Ruffini:

Es un método que permite aplicar un conjunto de normas prácticas que

sirven para abreviar un poco el proceso de efectuar una división por el

método usual, siempre y cuando el divisor sea un binomio de la forma 𝑥 ± 𝑏 o 𝑎𝑥 ± 𝑏. El término que dividirá a cada coeficiente del dividiendo será el opuesto del término independiente del divisor. Cabe destacar que antes

de proceder a dividir el polinomio por este método, hay que verificar que

el polinomio este completo y en caso de que no lo este, se debe

completar, como ya se ha visto en clase.

Por otra pare si el divisor es de la forma 𝑎𝑥 ± 𝑏, se debe proceder a dividir el dividiendo y el divisor por el coeficiente de la variable que

es 𝑎 del divisor 𝑎𝑥 ± 𝑏. Si el polinomio posee fracciones y estas se

pueden simplificar hay que hacerlo ya que facilita la resolución de las

operaciones

Ejemplo:

CASO I: forma 𝑥 ± 𝑏

Dados los polinomios 𝑃 𝑥 = 𝑥4 + 3𝑥3 − 2𝑥2 + 3 y 𝑄 𝑥 = 𝑥 + 2, hallar el cociente y el resto aplicando la regla de Ruffini

1 3 −2

−2 −2

0 8

3 −16 −2

1 1 −4 8 −13

𝐶 𝑥 = 𝑥3 + 𝑥2 − 4𝑥 + 8 y el 𝑅 𝑥 = −13

CASO II: forma 𝑎𝑥 ± 𝑏

Dados los polinomios 𝑃 𝑥 = 10𝑥2 − 7𝑥 + 5 y 𝑄 𝑥 = 2𝑥 +1

3, hallar el cociente y

el resto aplicando la regla de Ruffini (El coeficiente 𝑎 es 2)

𝑃 𝑥 = 10𝑥2 − 7𝑥 + 5 =10𝑥2

2−

7𝑥

2+

5

2= 5𝑥2 −

7𝑥

2+

5

2

𝑄 𝑥 = 2𝑥 +1

3=

2𝑥

2+

132

= 𝑥 +1

6

5

−7

2

-5

6

5

2

13

18

−1

6

5 −13

3

29

9

𝐶 𝑥 = 5𝑥 −13

3 y el 𝑅 𝑥 =

29

9

CASO III: cuando el divisor es de grado mayor que 1

4

Dados los polinomios 𝑃 𝑥 = 3𝑥12 − 10𝑥6 + 7𝑥3 + 6 y 𝑄 𝑥 = 𝑥3 + 2 hallar el

cociente y el resto aplicando la regla de Ruffini (se divide el primer

termino del divisor entre cada término del dividendo excepto el término

independiente y el primer termino del divisor entre el mismo. Y al

obtener el cociente los exponentes se multiplican por el exponente del

primer término del divisor)

𝑃 𝑥 = 3𝑥12 − 10𝑥6 + 7𝑥3 =3𝑥12

𝑥3−

10𝑥6

𝑥3+

7𝑥

𝑥3

3

= 3𝑥4 − 10𝑥2 + 7𝑥

3

0

-6

-10 7 -4

6

−2 12 -6

3 -6 2 3 0

𝐶 𝑥 = 3𝑥3 − 6𝑥2 + 2𝑥 + 3 → 𝐶 𝑥 = 3𝑥9 − 6𝑥6 + 2𝑥3 + 3 y el 𝑅 𝑥 = 0

II.- Ejercicios Propuestos

1. Aplicar la Regla de Ruffini para hallar el cociente y el resto de las siguientes divisiones:

a) 𝑃 𝑥 = 𝑥5 − 𝑥2 + 3𝑥 + 2 ÷ 𝑄 𝑥 = 𝑥 − 2

b) 𝑃 𝑥 = −𝑥3 +2

3𝑥2 −

1

3𝑥 − 4 ÷ 𝑄 𝑥 = 𝑥 −

5

2

c) 𝑃 𝑥 = 𝑥3 − 3𝑥2 + 2𝑥 ÷ 𝑄 𝑥 = 2𝑥 −1

2

d) 𝑃 𝑥 = 2𝑥3 − 5𝑥2 + 3 ÷ 𝑄 𝑥 = 2𝑥 + 3

e) 𝑃 𝑥 = 𝑥4 − 3𝑥2 + 2𝑥 ÷ 𝑄 𝑥 = 3𝑥 + 2

f) 𝑃 𝑥 = 3𝑥3 − 𝑥2 + 1 ÷ 𝑄 𝑥 = 3𝑥 − 2

g) 𝑃 𝑥 = 3𝑥4 + 3𝑥3 − 6𝑥2 + 2𝑥 − 8 ÷ 𝑄 𝑥 = 𝑥 + 3

h) 𝑃 𝑥 =𝑥3

2+ 𝑥2 +

2

3 ÷ 𝑄 𝑥 = 𝑥 +

1

2

i) 𝑃 𝑥 = 5𝑥8 − 𝑥6 + 𝑥4 − 𝑥2 + 1 ÷ 𝑄 𝑥 = 𝑥2 − 1

j) 𝑃 𝑥 = 𝑥6 − 7𝑥4 − 4𝑥2 + 1 ÷ 𝑄 𝑥 = 𝑥2 − 1

k) 𝑃 𝑥 = 3𝑥18 − 𝑥6 + 2 ÷ 𝑄 𝑥 = 𝑥6 − 2

l) 𝑃 𝑥 =𝑥3

2+ 𝑥2 +

1

2 ÷ 𝑄 𝑥 = 𝑥 −

1

2