Universidad Tecnológica de Puebla

Ingeniería en Tecnologías para la Automatización

Materia: Ecuaciones diferenciales aplicadas

Profesora: Méndez Gonzales María Guillermina

Alumna: García Leal José Enrique

Grado y grupo: 8 C vespertino

03 Agosto 2015

Tema: Portafolio de Evidencias

ÍndiceÍndice........................................................................................................................2

Ecuaciones diferenciales (definiciones)................................................................4

Página 10.................................................................................................................5

Ejercicios Página 11.................................................................................................8

Tarea página 132...................................................................................................18

Tarea página 138...................................................................................................20

Ejercicios página (138-139)....................................................................................23

Ecuaciones Homogéneas......................................................................................29

Conjunto fundamental de soluciones.....................................................................31

Reducción de orden...............................................................................................32

Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes.............................36

Tarea......................................................................................................................39

VARIACIÓN DE PARÁMETROS............................................................................55

Transformada de la Laplace...................................................................................61

TRANSFORMADAS DE LAPLACE........................................................................77

TRANSFORMADA DE LAPLACE INVERSA.........................................................88

FRACCIONES PARCIALES...................................................................................90

TRANSFORMADAS DE LAPLACE INVERSAS.....................................................92

TRANSFORMADAS DE LAPLACE INVERSA CON FRACCIONES PARCIALES.94

PRIMER TEOREMA DE TRASLACIÓN.................................................................98

TRANSFORMADA DE LAPLACE DE UNA DERIVADA........................................98

47 Ejercicios escalón unitario y segundo teorema de translación........................100

Conclusión............................................................................................................112

Ecuaciones diferenciales (definiciones)

Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones desconocidas. Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en:

Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente.

Ecuaciones en derivadas parciales: aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables.

Una ecuación diferencial ordinaria (comúnmente abreviada "EDO") es la que contiene una función desconocida de una variable independiente y relaciona con sus derivadas:

Una sola variable independiente (a diferencia de las ecuaciones diferenciales parciales que involucran derivadas parciales de varias variables), y una o más de sus derivadas respecto de tal variable.

Recursos de la física, la ingeniería, la economía, la meteorología y en aplicaciones como las de modelado en ciencias, se las estudia en diversas áreas (como geometría, mecánica y astronomía) y perspectivas. Matemáticamente es de crucial interés el conjunto de funciones que verifican la ecuación y establecen sus soluciones. Sólo las ecuaciones diferenciales más sencillas admiten soluciones dadas por fórmulas explícitas (como las lineales asociadas a una teoría desarrollada prácticamente por completo). No obstante, pueden determinarse algunas propiedades de las soluciones de una ecuación diferencial sin requerirse su formulación exacta. Clave para resolver la mayoría de las ecuaciones diferenciales no lineales de sumo interés en numerosos casos. Casos carentes de una fórmula auto-contenida para su solución que se suple con la aproximada numéricamente con el auxilio crucial de las computadoras.

Página 10Establezca el orden de la ecuación diferencial ordinaria dada. Determine si

la ecuación es lineal o no lineal.

Ejercicio 1

(x-1) y’’ – 4xy’ + 5y = cosx

Solución

Ecuación diferencial Ordinaria, Orden 2, Lineal

Ejercicio 2

x d3 ydx3 – (

dydx

)4 + y = 0

Solución

Ecuación diferencial Ordinaria, Orden 3, No Lineal

Ejercicio 3

t5 y’’’’ – t3 y’’ + 6y = 0

Solución

Ecuación diferencial Ordinaria, Orden 4, Lineal

Ejercicio 4

d2udr2 +

dudr

+ u = cos (r+u)

Solución

Ecuación diferencial Ordinaria, Orden 2, No Lineal

Ejercicio 5

d2 ydx2 = √1+¿¿

Solución

Ecuación diferencial Ordinaria, Orden 2, No Lineal

Ejercicio 6

d2 Rdt 2

= K

R2

Solución

Ecuación diferencial Ordinaria, Orden 2, Lineal

Ejercicio 7

(Sen α) y’’’ - (cos α) y’ = 2

Solución

Ecuación Diferencial Ordinaria, Orden 3, Lineal

Ejercicio 8

x’’ - ( 1 – x2

3 ) x’ + x = 0

Solución

Ecuación Diferencial Ordinaria, Orden 2, No Lineal

Ejercicio 11

2Y’+Y=0; Y=e-x/2

Y=e-x/2

Y’= - X2

e-x/2

2Y’+Y=0

2(- X2

e-x/2)+ e-x/2=0

- 2 X2

e-x/2+ e-x/2=0

-xe-X/2+e-x/2=0

Ejercicio 13

Y’’- 6Y’+13Y=0; Y=e3xcos2x

Y= e3xcos2x

Y’=e3x (cos2x)’ + (e3x) cos2x

=-2e3xsen2x + 3e3xcos2x

Y’’=-2e3x (sen2x) - (2e3x)’ sen2x + 3e3x (cos2x)’ + (3e3x)’ cos2x

=-4e3xcos2x – 6e3xsen2x – 6e3xsen2x + 9e3xcos2x

=5e3xcos2x – 12e3xsen2x

Sustituir Y’’, Y’, Y

Y’’- 6Y’+13Y=0

5e3xcos2x – 12e3xsen2x + 12e3xsen2x – 18e3xcos2x + 13e3xcos2x=0

5e3xcos2x – 18e3xcos2x + 13e3xcos2x – 12e3xsen2x + 12e3xsen2x=0

– 18e3xcos2x + 18e3xcos2x=0

0=0

Ejercicios Página 11

Determinar los valores de m tales que la función Y=emx sea una solución de la Ecuación Diferencial dada

Ejercicio 27

Y’+2Y’=0;

Y=emx

Y’=memx

Sustituir Y’, Y

memx + emx =0

emx (m + 2)=0

Si (m + 2)=0

Entonces m = -2

Comprobación -2 + 2=0

Ejercicio 28

5Y’=2Y;

Y=emx

Y’=memx

5 memx = 2 emx

5 memx - 2 emx =0

emx (5m – 2)=0

5m -2 = 0 Ecuación característica

Si (5m – 2)=0

Entonces m = 2/5 Solución de la ecuación diferencial

Y = e25

Comprobación

5y’= 2y

5( 25e

25) = 2(e

25 )

2(e25 ) = 2(e

25 )

Ejercicio 30

2Y’’+7Y’- 4Y=0;

Y=emx

Y’=memx

Y’’= m2 emx

Sustituir Y’’, Y’, Y

2 m2 emx + 7 memx - 4 emx =0

emx (2m2+7m-4)=0

(m+4)(2m-1)=0

Si (m+4)=0 Entonces m1= -4

Si (2m-1)=0 Entonces m2= ½

Determine los valores de m tales que la función Y=xm sea una solución de la Ecuación Diferencial dada

Ejercicio 32

+x2 Y’’- 7xY’ +15Y=0;

Y=xm

Y’=mxm-1

Y’’=m (m-1)xm-2

Sustituir Y’’, Y’, Y

+ x2 xm-2 (m (m-1)) – 7m (x xm-1) + 15 xm =0

xm (m2 - m) -7 m xm +15 xm =0

xm (m2-m-7m+15)=0

xm (m2 -8m +15) =0

xm (m – 5)(m – 3) =0

Si (m – 5)=0 Entonces m1=5

Si (m – 3)=0 Entonces m2=3

Resuelva la ecuación diferencial dada por separación de variables.

dydx

=sen x

y=−15

cos 5x

Resuelva la ecuación diferencial dada por separación de variables.

Ejercicios pág. 50

3.- dx+e3x dy=0

dx+e3x dy=0∴ (−1 )dx=e3x−dy∴e3x dydx

=−1∴ dydx

= 1

e3x

∫ dy=−∫e3x dx∴ y=−13

e−3x+C

5.- xdydx

=4 y

xdydx

=4 y∴ xdy=4 y dy∴ dyy

=4dxx

∫ dyy

=∫ 4dxx

∴∫ dyy

=4∫ dxx

∴ ln y=4 ln x+C→eln y=e4 ln x ec y=x4 c

7.- dydx

=e3x+2 y

dydx

=e3x e2 y ∴dy=e3 xe2 y dx∴ dy

e2 y=e3 xdx∴∫e−2 y dy=∫e3x dx

−12

e−2 y=13e3x+c∴−3e−2 y=2e3 x+c

15.- dsdr

=K 5

dss

=kdr∴∫ dss

=∫kdr∴ ln s=kr∴ e lns=ekr+c ∴ s=ekrc

17.- dpdt

=p−p2

dp

p−p2=dt∴ 1

p (1−p )dp=dt∴ 1

p+ 1

(1−p )dp=dt∴∫ dp

p+∫ dp

1−p=∫dt

ln p−ln (1−p )=t+c∴e lnp−e ln (1−p)=et+c ∴eln p

(1−p)=et+c ∴ p1−p

=e t c

p=et c (1−p )∴ p=c et−pce t∴ p+ pc et=c et∴ p ( 1+ce t )=c et∴ p= ce t

1+c et

18.- dndt

+n=nt e t+2

dndt

=nt et+2−n∴ dndt

=nt e t−2−n∴ dndt

=n (t e t+2−1 )∴∫ dnn

=∫ (t et+2−1 )dt

u=t dv=∫ et+2−1

du=t∴u=dt v=et+2

∫ dnn

=∫ t et+2dt−∫dt∴ ln n=t e t+2−e t+2−t+c∴n=e te+2−e t+2−t+c

dxdt

=4 (x2+1 ) , x ( π4 )=1

x ( π4 )=1∴ π4=

1x∴

1π4

=x∴ 4π=x

dxdt

=4 (x2+1 )∴dx=4 (x2+1 )dt∴∫ dx

1+x2=∫ 4 dt∴ tan x=¿4 t+c ¿

x (t )=x ( π4 )1∴ t=π4

∴ x=1 tan−1 1=¿ 4( π4 )+c∴ tan−1 1=π+c∴45 °=π+c∴ π4=π+c∴ π

4−4 π

4=c∴c=−3π

4¿

tan−1 x=¿4 t+c∴ tan−1 x=4 t−3π4

∴tan (tan¿¿−1x¿) tan (4 t−34π)∴ x=tan (4 t−3 /4 π )¿¿¿

27.- √1− y2dx−√1−x2dy=0 , y (0 )=√32

dx

√1−x2= dy

√1− y2∴∫ dx

√1−x2=∫ dy

√1− y2∴ sin−1 x=sin−1 y+c

sin−10=¿ sin−1 √32

+c∴−sin−1 √32

=c c=60 °∴sen ¿¿

y=sen (sin−1 x+60)

sen (A+B )=senA cosB+cosA senB

y=sen ( senx+60 ) A=sin−1 x B=60

y=cos60 °+cos ¿

y=12x+ √3

2cos ¿

y=sin−1 x∴ seny=x∴ sen2=x2 ∴√sen2 y+cos2 y=1∴ cosy=√1−sen2

cosy=√1−x2∴ cos (sin−1 x )=√1− x2

31.- dydx

+2 y=f ( x ) y (0 )=0 f ( x )={1 ,0≤ x≤30 , x>3

dydx

+2 y=1

e2∫dx

e2x

e2x dydx

+2e2 x y=e2 x

dy e2 x

dx=e2x

∫1dy e2 x

dxdx=∫e2xdx

y e2x=12e2x+¿c

y=12ce−2x

0=12ce−2(0)

0=12+c

c=−12

y=12−1

2e−2x

e2 xdydx

+2e2 x y=0

dy e2 x

dx=0

∫ dydx

e2 xdx=0∫ dx

y e2x=c 1

y e−2x=c 1e−2x

f ( x )={12−1

2e−2x

c1e−2x

c 1e−2 (3 )=12−1

2e−2(3)

c 1e−6=12−1

2e−6

c 1=12e6−1

2

f ( x )={ 12−1

2e−2x

(12e6−1

2)e−2 x

32.-dydx

+ y=f (x) y (0 )=1 f ( x )={1 ,0≤x ≤1−1 , x>1

dydx

+ y=1

e∫dx

dy ex

dx+ y ex=ex

dy ex

dx=ex

∫ dy ex

dx=∫ ex

y ex=e x+c

y=1+exc

y=1+e1 c

0=1+c

1=c

y=1−e−x

dydx

+ y=−1

dy ex

dx+ y ex=−ex

dy ex

dx=−ex

∫ dy ex

dx=∫−ex

y ex=−ex+c

y=−1+ce−x

c=2.7182

y=1+2.7182e− x

f ( x )={1+2.7182e−x

−1+ce−x

−1+c 1e−1=1+2.7182e−1

c 1e−1=2+2.7182e−1

c 1=2e−1+2.7182e−1

f ( x )=¿

33.- dydx

+2 xy=f ( x ) y (0 )=2 f ( x )=¿

e∫2 xdx

ex 2

ex2 dydx

+2 xex2

y=x ex2

ex2 dydx

=x ex2

∫ ex2 dydx

=∫ xex2

y ex2

=12ex

2

+c

y=12+e−x2

c

2=12+e−(0)2

c

2=12+c

c=32

y=12

+32

e−x2

dydx

+2 xy=0

ex2 dydx

=0

∫ ex2 dydx

=0∫ dx

y ex2

=c 1

y= c 1

ex2

y=c1e−x2

f ( x )={12

+32e− x2

c1e−x2

12

+32e−12

=c 1e−12

12

+32e−1

=c 1e−1

12e+3

2=c1

f ( x )={ 12

+32e− x2

12e+

32(e−x2

)

34.- (1+x2) dydx

+2 xy=f ( x ) y (0 )=0 f ( x )={x ,0≤x ≤1−x , x>1

11+ x2 [1+ x2 dy

dx+2 xy=x ]

dydx

+ 2 x

1+x2y= x

1+x2

e∫ 2 x

1+ x2 dx

eduu

y= x2

2(1+x2)

(1+x2 ) dydx

+2 xy=−x

dydx

+ 2 x

1+x2y= −x

1+x2

(1+x2 ) y=−12

x2+c

y=12

x2

1+x2 +c

1+ x2

f ( x )={ x2

2(1+x2)12

x2

1+ x2 + c1+x2

−14

+ c2=1

4

c2=1

4+ 1

4

c=44

c=1

f ( x )={ x2

2(1+x2)12

x2

1+ x2 + 11+x2

Tarea página 219

En los problemas 16, 17,18, 19, 21 y 22 determine si el conjunto de funciones es lineal mente independiente en el intervalo (-∞, ∞)

16. f 1 ( x )=0 , f 2 ( x )=x , f 3 ( x )=ex

C10+C2 x+C3 ex

C2 x+C3 ex

C2 x+C3 ex=0

0 −1 e−1

0 1 e0 2 e2

¿0 (e2−2e )+(0 )+e−1 (0 )=0

17. f 1 ( x )=5 , f 2 ( x )=cos2 x , f 3 ( x )=sen2 x

f 1 ( x )=5 , f 2 ( x )+5 f 3 ( x )=5cos2 x ,+5 sen2 x

18. f 1 ( x )=cos 2x , f 2 ( x )=1 , f 3 (x )=cos2 x

f 1 ( x )=2 , f 3 ( x )−f 2 ( x )=2cos2 x−1=cos2 x

19. f 1 ( x )=x , f 2 ( x )=x−1 , f 3 ( x )=3+x

C1 x+C2(x−1)+C3(x+3)

C1 x+C2 ( x−1 )+C3 ( x+3 )=0

21.f 1 ( x )=1+x , f 2 ( x )=x , f 3 ( x )=x2

C11+x+C2 x+C3 x2

C11+x+C2 x+C3 x2=0

0 −1 31 0 4

−3 4 0 ¿0 (16 )+(0+12 )+3 (−4 )=0

22.f 1 ( x )=ex , f 2 ( x )=e− x , f 3 ( x )=senh x

f 3 ( x )=senh x+f 1 ( x )+f 2 ( x )

f 3 ( x )=senh x+f 1 ( x ) ex+ f 2 ( x ) e− x=0

Tarea página 132EJERCICIOS (1, 2, 4, 5, 13)

1.- y’’ - 4y’ + 4y = 0; P(x) = -4 y2 = e2x∫ e

−∫−4dx

(e2 x)2 dx

y2 = e2x∫ e4∫ dx

e4 x dx

y2 = e2x∫ e4 x

e4 x dx

y2 = e2x∫ dx

y2 = e2x° X

2.- y’’ + 2y’ + y = 0; P(x) = 2 y 2 = x e−x∫ e

−∫2dx

(x e−x )2dx

y2 = x e−x∫ e−2∫ dx

x2e−2 x dx

y2 = x e−x∫ dx

x2dx

y2 = x e−x ln|x2|

4.- y’’ + 9y = 0; y1 = sin 3 x P(x) = 0 y2 = sin 3 x∫ e−∫0dx

(sin 3 x )2dx

y2 = sin 3 x∫ ex

sin2 3xdx

y2 = sin 3 x∫ 1

sin2 3xdx

y2 = sin 3 x∫csc 23 xdx

y2 = sin 3 x−cot 3 x

y2 = sin 3 x− cos3 xsin 3 x

y2 = −cos3 x

5.- y’’ - y = 0; y1 = cosh x P(x) = 0 y2 = cosh x∫ e−∫0dx

(cosh x )2dx

y2 = cosh x∫ 1

cosh2 xdx

y2 = cosh x∫ sech x dx

y2 = cosh x∫ sech x dx

y2 = cosh x∗tanh x

y2 = cosh x∗( sinh xcos h x )

y2 = sinh x

13.- x2 y’’ – xy’ + 2y = 0; y1 = x sin(ln x)

1

x2[x2 y ' '−x y '+2 y=0 ]

y' '−1

xy '+ 2

x2y=0

P(x) = −1x

y2 = x sen (ln x)∫ e−∫−1

xdx

(xsin (ln x ) )2dx

y2 = x sin (ln x )∫ e∫ dx

x

(xsin ( ln x ) )2dx

y2 = x sin(ln x)∫ e ln x

x2 sin2 ( ln x )dx

y2 = x sin(ln x)∫ x

x2 sin2 ( ln x )dx

y2 = x sin (ln x )∫ dx

x2 sin2 (ln x )dx μ= ln x❑

⇒x sen( ln x)∫ dμ

sen2μ

y2 = x sin ( ln x )∫ x csc2 ( ln x )dx dμ=1xdx

y2 = x sin ( ln x )−xcot ( ln x )

y2 = x sin ( ln x )− xcos (ln x )x sin( ln x )

y2 = −x cos (ln x )

Tarea página 138EJERCICIOS (1, 2, 4, 5, 6)

1.- 4 y’’ + y’ = 0;4m2emx + memx = 0

emx (4m2 + m) = 0

4m2+m=0 m=−1±√18

m1=−1+1

8=0

m2=−1+1

8=−2

8=−1

4

Y 1=e0 xY 2=e−14

Y=C1+C2e−14

x

2.- y ' '−36 y=0

m2 e2−36 emx

emx (m2−36 )=0

m2−36=0

m=0±√0−4(1)(−36)

2(1)

m=0±√1442

m1=0+12

2=6

m2=0−12

2=−6

Y 1=e6 xY 2=e−6 x

Y=C1 e6 x+C2 e

−6x

4.- y ' '−3 y '+2 y=0

m2 emx−2memx+2emx=0

emx (m2−3m+2 )=0

m2−3m+2=0

m=− (−3 )±√32−4 (1 ) (2 )

m=3±√9−82

m1=3+1

2=2

m2=3−1

2=1

Y 1=e2 xY 2=e x

Y=C1 e2 x+C2 e

x

5.- y ' '+8 y+16=0

m2 emx+8memx+16emx=0

emx (m2+8m+16 )=0

m2+8m+16=0

(m+4 ) (m+4 )=0

m1=−4m2=−4

Y 1=e−4x Y 2=x e−4x

Y=C1 e−4 x+C2 xe

−4 x

6.- y ' '−10 y ' '+25 y=0

m2 emx−10memx+25emx=0

emx (m2−10m+25 )=0

m2−10m+25=0

(m−5 ) (m−5 )=0

m1=5m2=5

Y 1=e5 xY 2=x e5 x

Y=C1 e5 x+C1 x e

5x

Ejercicios página (138-139)

15) Y ´ ´ ´−4Y ´ ´−5Y ´=0

m3 emx−4m2−5memx=0

emx (m3−4m2−5m )=0

m3−4m2−5m=0−⊳ (m+1 ) (m2−5m)=0

(m−1 )=0−⊳m=−1

m2−5m=0−⊳m 2=0

m (m−5 )=0−⊳m 3−5=0−⊳m3=5

La ED. Tiene 3 soluciones

y 1=ex y2=e0 y 3=e5 x

La solución general

Y=C 1e−x+C2+C3e5x

29) Y ´ ´+16Y=0Y (0 )=2Y ´ (0 )=−2

m2+m+16=0

b2−4 ac=0−⊳o2−4 (1 ) (16 )=−64<0

Como b2−4 ac<0 Entonces hay 2 soluciones complejas y conjugadas

Z=a+bi x=−b±√b2−4ac2a

m=−02

+√ (1 )−4 (1 ) (16 )=−02

+ √64 i2

→m1=0+ 82=4m2=0−8

2=−4

Las soluciones complejas y conjugadas son

Y 1=e−0 xcos 4 xY 2=e0xsin 4 x

La solución general

Y ( x )=C1cos 4 x+C2 sin 4 x

Para encontrar C1 y C2

y (o )=C1 cos4 (0)+sin 4(0)

2=C 1cos 0+C2sin 0

2=C 1 (1 )+C 2(0)

2=C 1

C1=2

31) d2 yd t2

−4dydt

−5 y=0 , y (1 )=0 , y ´ (1 )=2

m2−4m−5=0

a=1b=−4c=−5

b2−4 ac=0 ,−⊳ (−4 )2−4 (1 ) (−5 )=36

Como b2−4 a>0 hay 2 soluciones reales

x=−b±√b2−4ac2a

−⊳m1=4=4±√ (−4 )2−4 (1 ) (−5 )

2 (1 )=4+ 4+√36

2=4+6

2=5

x=−b±√b2−4ac2a

−⊳m2=4=4 ±√ (−4 )2−4 (1 ) (−5 )

2 (1 )=4+ 4+√36

2= 4−6

2=−2

2=−1

Y la solución es

Y 1=e5x Y 2=e−1x

Solución general

Y ( x )=C1e5x+C2e−1x

Para encontrar C1, C2

Y (1)= 0

y (1 )=C1e5(1)+C2e−1(1)

0=C1e5+C 2e−1

C1e5=C2e−1

Y´ (1)=2

y ´ (1 )=5C1e5 (1)−C2e−1 (1 )−⊳2=5C1e5−C2e−1

Método de Kramer para encontrar C1 y C2

C1+¿C25C1+¿1C2

=2 1 15 −1

=−1−6=−6

C1=

1 0−1 2−6

=2

−6=

−15

C2=

1 05 2−6

=2

−6=

1−3

Entonces la solución es

y ( x )=−53

e5x−13e−1 x

33) y ´ ´− y ´+2 y=0 ; y (o )= y ´ (0 )=0

m2−m+2=0

A=1, B=-1, C=2

b2−4 ac=0→1−4 (1 ) (2 )=−7→−7<0

Entonces hay dos soluciones complejas y conjugadas

n=−b±√b2−4 ac2a

→m 1=−12

+ √72i

n=−b±√b2−4 ac2a

→m 2=−12

−√72 i

Entonces la solución general es:

y ( x )=e−12

x (C1 cos √72

x+C2 sin √72

x)Para encontrar a c1 y c2

y (0 )=e−12

(o)(C1 cos √72

(0 )+C2 sin √72

(0 ))=0

y ´ ( x )=12e

12x(C1cos √7

2x+C2 sin √7

2x )+e

12x(−√7

2C1sin √7

2x+ √7

2C2 cos √7

2x )

y ´ ( x )=−12

e−12

(0)(C 1cos √72

(0 )+C2 sin √72

(0 ))+e−12

( 0)(−√72

C 1 sen (0 ) √72

+C2 cos √72

(0 ))√72

C 2 cos0=0

√72C2=0→C2=

0

√72

→C 2=0

35) y ´ ´ ´+12 y ´ ´+36 y ´=0 ; y (0 )=0 , y ´ (0 )=1, y ´ ´ (0 )=−7

m3+12m2+36m=0

m (m2+12m+36 )=0

m (m+6 ) (m+6 )=0

Si m=o -> m1=0 Si m+6=0 -> m2=-6

Si m+6 ->m3=-6

Entonces la solución general es

y=C 1e0 x+C 2e−6 x+C3 xe−6 x

Para cuando y(o)=0

y (0 )=C 1e0 x+C 2e−6 ( 0)+C3 (0 )e−6 ( 0)

y (0 )=C 1+C2+C3=0−−−−−(1)

Para cuando y´ (0)=1

y ´ (0 )=−6C26x−C 3=1

0C1−6C2−C 3=1−−−−−(2)

Para cuando y´´ (0)=-7

y ´ ´ (0 )=36C 2e−6 x+C3[−6e−6 x−6 {e−6 x−6 x e−6 x}]

y ´ ´ (0 )=36C 2+C3[−6−6(1)]

0C1+36C2−12C 3=−7−−−−−(3)

C1 C2 C30C1 6C2 C30C1 36C2 −12C3

¿01

−7

ᴅ=1 1 00 −6 10 36 −12

1 10 −60 36

=72−36=36

C1=0 1 01 −6 1

−7 36 −12

0 11 6

−7 36=−7−12

36=−19

36

C2=1 0 00 1 10 −7 12

1 00 10 −7

=12+736

=1936

C3= 1 1 00 −6 10 36 −7

1 10 −60 36

=42−3636

= 636

Entonces la solución es:

yx=−19

36ex+ 19

36e−6 x+ 6

36X e−6 x

Ecuaciones HomogéneasTerea pág. 129

En los problemas 15 a 22 determine si el conjunto de funciones es linealmente independiente.

16.- f 1 (X )=0 , f 2 (X )=X , f 3 ( X )=ex

Constantes C1, C2 y C3 .

C10 + C2 x+C3 ex ; C2 x+C3 e

x=0

Le damos valores arbitrarios a x ; -1, 1, 2.

Entonces:

0 - C2 x+C3 ex = 0 el determinante

0 −1 e−1

0 1 e1

0 2 e2

0 + C2 x+C3 ex = 0

0 + 2C2 x+C3 ex = 0

= 0 (1) (e2) + 0 (2) (e−1) + 0 (-1) (e1¿−0 (1 ) (e−1 )−0 (2e1 )+0 (e2 )=0

0 = 0

Las funciones son linealmente independientes.

17.- f 1 (X )=5 , f 2 (X )=cos2 x , f 3 ( X )=Sen2 x

Factorizando:

5 (cos2 x+Sen2 x ) ; 5 (1) = 5

Las funciones son linealmente dependientes.

18.- f 1 (X )=cos2 x , f 2 ( X )=1 , f 3 ( X )=cos2 x

f 1 (X ) / 2f 3 ( X ) - f 2 (X )=¿ 2cos2 x−1=cos2 x

Las funciones son linealmente dependientes

19.- f 1 (X )=x , f 2 ( X )=x−1 , f 3 ( X )=x+3

C1 f 1 (2 )+C2 f 2 (X )+C3 f 3 ( X )=0 Dando valores arbitrarios a x; -1, 0, 1

C1 x +C2¿-1) + C3¿+3)

x+( x−1 )+( x+3 )

-1 -2 +2 = 0

0 -1 +3 = 0 4 + 0 – 6 – (-2)

1+0 +4 = 0 4 – 6 – (-2)

= 0

Son linealmente dependientes.

21.- f 1 (X )=1+x , f 2 ( X )=x , f 3 ( X )=x2

C1 f 1 ( x )+C2 f 2 ( x )+C3 f 3 ( x )=0 Dando valores arbitrarios a x; 0, 1, 2

C1(1+ x) +C2¿) + C3¿)

1+x+x+x2 = 0

1 + 0 + 0 = 0

2 + 1 + 1 = 0

3 + 2 + 4 = 0

Son linealmente independientes

22.- f 1 (X )=ex , f 2 (X )=e−x , f 3 ( X )=senh x

f 3 ( X )=senhx f 1 (x )+ f 2(x)

f 3 ( X )=senhx ex+e−x

f 3 ( X )=senhx

Son linealmente dependientes.

−1 −2 20 −1 31 0 4

=

1 0 02 1 13 2 4

= 4 + 0 + 0 – 0 – 2 – 0

= 4 – 2 = 2

Conjunto fundamental de solucionesDefinición:

Cualquier conjunto y1 , y2……… .. yn de n soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial homogénea lineal de n orden en un intervalo I es un conjunto fundamental de soluciones.

Existencia de un conjunto fundamental.

Existe un conjunto fundamental de soluciones para la ecuación (1) en un intervalo I, solución general de una ecuación homogénea.

Sea y1 , y2……… .. yn un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación lineal (1) en el intervalo I, entonces la solución general de la ecuación es:

y=C1 y1 ,+C2 y2+………..Cn yn

Ejemplo:

y1=e−x , y2=e4 x Soluciones de y ´ ´− y ´−12 y=0

Forme la solución general:

w ( y1 , y2) = e−3x e4 x

−3e−3x 4e4 x = 7ex

Solución: C1e−3 x+C2 e

4 x

x2 y ´ ´+xy ´+ y=0 y1=cos (lnx ) y2=sen ( lnx )

w ( y1 , y2) = cos lnx senlnx

−1x

sen lnx1x

cos lnx = 1x

cos2

( lnx )+ 1xsen (lnx)

=1x

Solución: y=C1 cos lnx+C2 senlnx

Reducción de orden

a2 ( x ) y ´ ´+a1 (x ) y ´+a0 ( x ) y=0……… (1 )

Suponga que y2denota una solución no trivial de una ed (1) y que y1 se obtiene en un intervalo I, se busca una segunda solución y2 tal que y1 y y2 sean un conjunto linealmente independientes en el intervalo I.

x2 y ´ ´−3xy ´+4 y=0 y1=x2

w ( y1 , y2) = x2 x2lnx

2 x 2 x lnx+x = 2 x3 lnx+x3−2 x3lnx=x3

Formula:

y2= y1∫ e−∫P ( x )dx

( y1)2

Ejemplo:

x2 y ´ ´−3xy ´+4 y=0 y1=x2

y ´ ´−3 x

x2y ´+ 4

x2y=0

y ´ ´−3xy ´+ 4

x2y=0

P ( x )=−3x

Sustitución:

y2=x2∫ e

−∫−3x

dx

(x2)2 dx ; x2∫ e

3∫ 3xx

x4 dx

x2∫ x3

x4 dx ; x2∫ dx

x; x2lnx

y2=x2 lnx

Ejemplo:

y ´ ´+16 y=0 y1=cos4 x

P ( x )=0

y2=cos 4 x∫ e−0∫ dx

(cos 4 x)2 dx ;cos 4 x∫ 1cos2 4 x

dx

cos 4 x∫ sec2 4 x dx;cos 4 x tan 4 x

cos 4 x ( sen 4 xcos 4 x ); y2=sen 4 x

w ( y1 , y2) = cos4 x sen 4 x

−4 sen 4 x 4 cos 4 x = 4 cos2 4 x+4 sen2 4 x=4∴ y1 y y2SonL . I

Tarea. Pág. 132. Ejercicios 1, 2, 4, 5,13.

En los siguientes problemas la función indicada y1 (x ) es una solución de la ecuación diferencial dada. Use la reducción de orden como se indica para encontrar una segunda solución y2 ( x ) .

1.- y ´ ´−4 y ´+4 y=0 ; y1=e2 x

P ( x )=−4

y2= y1 ∫ e−∫ P ( x )dx

( y1)2 dx ; e2x∫ e

4∫dx

(e2 x)2 dx

= e2x∫ e4 x

e4 x dx ; e2x∫ dx = e2x x

y2=xe2x

2.- y ´ ´+2 y ´+ y=0 ; y1=xe− x

P ( x )=2

y2=xe− x∫ e−2∫dx

(x e−x )2dx ; xe−x∫ e−2x

x2 e−2x dx

= xe−x∫ dx

x2dx = x e−x lnx

y2=x e−x ln x2

4.- y ´ ´+9 y=0 ; y1=sen3 x

P ( x )=0

y2=sen3 x∫ e0∫dx

(sen3 x)2 dx ; sen3 x∫ 1

sen23 xdx

= sen3 x∫csc2 3x dx ; sen3 xctg 3 x = sen3 xcos3 xSen3 x = cos3 x

y2=cos 3x

5.- y ´ ´− y=0 ; y1=cosh x

P ( x )=0

y2=cosh x∫ e0∫ dx

(cosh x )2 dx ; cosh x∫ 1

cosh23 xdx

= cosh x∫ sech2 xdx= cosh x tanh x

= cosh xsenh xcosh x = senh x

y2=Senh x

13.- x2 y ´ ´−xy´+2 y=0 ; y1=x sen( lnx)

Forma estándar:

y ´ ´− x

x2y ´+2 y=0 ; y ´ ´−

1xy ´+2 y=0

P ( x )=−1x

y2=x sen (lnx)∫ e∫ dx

x

¿¿¿ ¿ = x sen (lnx)∫ e∫lnx

¿¿¿ ¿

x sen (lnx)∫ x

x2 sen2lnxdx = x sen (lnx)∫ dx

x sen2 lnx

= x sen (lnx)∫ csc2(ln x )x

dx

Integración por partes:

u=lnx

du=1x

= x sen (lnx )∫csc2 (u )du = x senlnx−ctglnx

= x senlnx−cos lnxsenlnx = −x cos lnx

y2=−x cos lnx

Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes

Tarea. Pág. 138. Ejercicios. 1, 2, 4, 5, 6.

Obtenga la solucion general de la ecuacion diferencial de segundo orden dada.

1.- 4 y ´ ´+ y ´=0 ; y=emx ; y ´=memx ; y ´ ´=m2 emx

4m2emx+memx+0emx=0

emx ( 4m2+m+0 )=0

Ecuacion caracteristica: 4m2+m+0

a=4 b=1c=0

Discriminante:

b2−4 ac=12−4 (4 ) ( 0 )

¿1

m1=−1+√1

2(4)=0m2=

−1−√12(4)

=−28

=−14

Solucion general: y=C1+C2e− x

4

2.- y ´ ´−36 y=0 ; y=emx ; y ´=memx ; y ´ ´=m2emx

m2 emx+0memx−36 emx=0

emx (m2+0−36 )=0

Ecuacion caracteristica: m2+0−36

a=1b=0c=−36

Discriminante:

b2−4 ac=02−4 (1 ) (−36 )

¿144

m1=0+√144

2(1)=12

2=6m2=

0−√1442(1)

=−122

=−6

Solucion general:

y=C1 e6 x+C2 e

−6x

4.- y ´ ´−3 y ´+2 y=0; y=emx ; y ´=memx ; y ´ ´=m2 emx

m2 emx−3memx+2emx=0

emx (m2−3m+2 )=0

Ecuacion caracteristica: m2−3m+2

a=1b=−3c=2

Discriminante:

b2−4 ac=(−3)2−4 (1 ) (2 )

¿1

m1=3+√12(1)

=42=2m2=

3−√12(1)

=22=1

Solucion general:

y=C1 e2 x+C2 e

x

5.- y ´ ´+8 y ´+16 y=0; y=emx ; y ´=memx ; y ´ ´=m2 emx

m2 emx+8memx+16emx=0

emx (m2+8m+16 )=0

Ecuacion caracteristica: m2+8m+16

Factoriando: (m+4 )(m+4)

Si (m+4 )=0∴m1=−4

Si (m+4 )=0∴m2=−4

Solucion general:

y=C1 e−4x+C2 x e

−4 x

6.- y ´ ´−10 y ´+25 y=0 ; y=emx ; y ´=memx ; y ´ ´=m2 emx

m2 emx−10memx+25emx=0

emx (m2−10m+25 )=0

Ecuacion caracteristica: m2−10m+25

Factoriando: (m−5)(m−5)

Si (m−5 )=0∴m1=5

Si (m−5 )=0∴m2=5

Solucion general: y=C1 e5 x+C2 x e

5x

(1)……..4 y} -4 {y} ^ {'} -3y=¿ ; y (0 )=1 , y ' (0 )=5

(2)……..4m2−4m−3=0

b2−4 ac=64>0

m=4 ±√648

Por lo tanto:

m1=4+8

8=12

8=3

2

m2=4−8

8=−4

8=−1

2

Solución:

y1=e32x, y2=e

−12

x

Solución General:

y=C1 e32x+C2 e

−12

x

y(0 )=1

y(0 )=C1e32x+C2e

−12

x=1

y(0 )=C1 (1 )+C2 (1 )=1

y(0 )=C1+C2=1……………(3)

y '=32C1e

32x−1

2C2 e

−12

x

y ´( 0)=¿ 3

2C1 (1)−1

2C2 (1)=5¿

y ´( 0)=¿ 3

2C1−

12C2=5¿………….. (4)

3 y 4 se resuelven por Cramer Sistema de ecuaciones.

C1=114

C2=−74

Tarea29 y} +16y=¿; y(0 )=2 ; y ' (0 )=−2

m2 emx+0memx+16memx=0 E.C m2+0m+16m=0

A=1B=0C=16

emx (m2+0m+16 )=0

b2−4 ac=0−4 (1 ) (16 )=−64<0

m1=0+√64 i

2=0+4 i

m2=0−√64 i

2=0−4 i

Solución:

y1=e0 xcos 4 x ; y2=e0x sen4 x

Solución General:

y(x)=C1cos 4 x+C2sin 4 x

y(0 )=C1cos 4 (0)+C2 sin 4 (0 )=2

C2=2

y '=C1−Sen4 x+C2 4 cos 4 x

y ´0=C1−Sen4 (0 )+C2 4 cos4 (0 )=−2

4C2=−2

C2=−24

=−12

y=2cos 4 x−12

sin 4 x

31 d2 ydt 2 −4

dydt

−5 y=0 ; y (1)= 0, y´ (1 )=2

E.C. a=1b=−4c=−5

m2−4m−5=0

b2−4 ac=(−4 )2−4 (1 ) (−5 )=36

m1=4+√36

2=5

m2=4−√36

2=−1

Solución:

y1=e5 t ; y2=e−t

Solución General:

y(x)=C1 e5 t+C2 e

−t

y ´(x)=5C1e5 t+C2−e−t

y(1 )=C1 e5(1)+C2e

−(1 )=0

C1e5+C2 e

−1=0………. (1)

y ´(1)=5C1 e5 (1)+C2−e−(1)=2

5C1 e5+C2−e−1=2……… (2)

Sistema de Ecuaciones:

e5 e−1

5e5 −e−1=−e4−5e4=−6e4

C1=0 e−1

2 −e−1=−2e−1

−6e4 =13e−5

C2=e5 0

5e5 2= 2e5

−6 e4 =−13

e1

Solución:

y=13e−5e5 t−1

3e1 e−t

y=13e−5(t−1)−1

3e−(t−1 )

33. y} + {y} ^ {'} +2y= ¿ , y(0 )= y '(0)=0

E.C.

m2+m+2=0 a=1b=1c=2

b2−4 ac=12−4 (1 ) (2 )=−7<0.

m1=−1+√7 i

2=−1

2+ √7

2i

m2=−1−√7 i

2=−1

2−√7

2i

Solución:

y1=e−1

2xcos √7

2x ; y2=e

−12

xsen √7

2x

Solución general:

y(x)=C1 e−12

xcos √7

2x+C1e

−12

xsen √7

2x

y '(x)=C1−12e

−12

x−√7

2sen

√72

x+C2−12e−1

2x−√7

2cos

√72

x

y(x)=C1 e−12

xcos √7

2(0)+C1 e

−12

xsen √7

2(0 )=0

C1=0

y '(0)=−12

e−12

(0)(C1 cos √7

2(0)+C2 sen

√72

(0 ) ¿+e−1

2(0 )

)−√72C1 sen

√72

(0 )+ √72C2 cos √7

2(0)=0¿

√72

C2

cos √72

(0 )=0

√72C

2

=0

C2=0

Solución General:

y=0

y ' ' '+12 y ' '+16 y '=0 y(0 )=0 ; y ´(0 )=1 ; y ´ ´(0)=−7

m3+12m2+36m=0

m (m2+12m+36 )=0

m (m+6 ) (m+6 )=0

Si m= 0 m1=0

Si m+6=0 m2=−6

Si m+6=0 m3=−6

Solución General:

y=C1+C2e−6 x+C3 x e

−6x

y(0 )=C1+C2 e−6(0)+C3 x e

−6(0)=0

C1+C2+C3=0…………… (1)

y '(x)=−6C2 e−6x−C3¿

y '(0)=0C1−6C2+C3=1……… (2)

y ' '(0)=0C1+36C2−12C3=−7………(3)

1 1 00 −6 10 36 −12

1 10 −60 36

=72−36=36

0 1 01 −6 1

−7 36 −12

0 11 −67 36

=−7+12=5

1 0 00 1 10 −7 −12

1 00 10 −1

=−12+7=−5

1 1 00 −6 10 36 −7

1 10 −60 36

=42−36=6

C1=5

36C2=

−536

C3=6

36=1

6

Tarea

24. y(4)−2 y ' '+ y=0

m4−2m2+1=0

(m2−1 ) (m2−1 )=0

(m−1 ) (m+1 ) (m−1 ) (m+1 )=0

Si m−1=0→m1=1

Si m+1=0→m2=−1

Si m−1=0→m1=1

Si m+1=0→m2=−1

Solución: y1=ex y2=e−x y3=xe x y4=xe−x

Solución General:

y=C1 ex+C2 e

−x+C3 xex+C4 xe

−x

25. 16d4 xd x4 +24

d2 xd x2 +9 y=0

16m4+24 m2+9 y=0

a=4 b=0c=3

b2−4 ac=02−4 ( 4 ) (3 )=−48<0

( 4m2+3 ) (4m2+3 )=0

( 4m2+0m+3 ) ( 4m2+0m+3 )=0

m1=0+√48 i

8=0+ 4 √3

8i=0+ √3

2i

m2=0−√48i

8=0−4√3

8i=0−√3

2i

m3=0+√48 i

8=0+ 4 √3

8i=0+ √3

2i

m4=0−√48 i

8=0− 4√3

8i=0−√3

2i

Solución:

y1=e0 xcos √32

x y2=e0 x sen √32

x y3=xe0 xcos √32

x y4=x e0x sen √32

x

Solución General:

y=C1 cos √32

x+C2 sen√32

x+C3 xcos√32

x+C4 xsen√32

x

27. d5udr5 +5

d4udr4 −2

d3udr3 −10

d2udr 2 + du

dr+5u=0

m5+5m4−2m3−10m2+1m1+5

(m+5 ) (m4−2m2+1 )=0

(m+5 ) (m2+1 ) (m2−1 )=0

(m+5 ) (m+1 ) (m−1 ) (m+1 ) (m−1 )=0

Si m+5=0−→m1=−5

Sim−1=0−→m2=1

Si m+1=0−→m3=−1

Sim−1=0−→m4=1

Si m+1=0−→m5=−1

Solución:

y1=e−5 r y2=er y3=e−r y4=r er y5=ℜ−r

Solución General:

y=C1 e−5 r+C2 e

r+C3e−r+C4 r e

r+C5 ℜ−r

28. 2d5 xds5 −7

d4 xds4 +12

d3 xds3 +8

d2 xds2 =0

2m5−7m4+12m3+8m2=0

x2 (2m3−7m2+12m+8 )=0

x2 (2m+1 ) (m2−4m+8 )=0

x ( 2m2+m ) (m2−4m+8 )=0

Si x=0→m1=0

2 x2+x+0 ;a=2b=1c=0 b2−4 ac=12−4 (2 ) (0 )=1>0.

m2=−1+√1

2(2)= 0

4=0

m3=−1−√1

2(2)=−2

4=−1

2

x2−4 x+8; a=1b=−4 c=8 b2−4 ac=(−4 )2−4 (1 ) (8 )=−16<0.

m4=4+√16 i

2=4

2+ 4

2i=2+2 i

m5=4−√16 i

2=4

2−4

2i=2−2i

Solución:

y1=e0 s y2=se0 s y3=e−12

sy4=e−2 scos 2 s y5=e−2 ssin 2 s

Solución General:

y=c1+c2S+c3 e−12

s+e−2 s(c4 cos2 s+c5 sin 2 s)

36. y ' ' '+2 y ' '−5 y '−6 y=0 y(0 )= y '(0)=0 , y ' '(0)=1

m3+2m2−5m−6=0

(m+1 ) (m2+m−6 )=0

(m+1 ) (m−2 ) (m+3 )=0

Si (m+1 )=0→m1=−1

Si (m−2 )=0→m2=2

Si (m+3 )=0→m3=−3

Solución:

y1=e−x y2=e2 x y3=e−3 x

Solución General:

y=C1 e−x+C2 e

2x+C3 e−3x

Primer derivada de la Solución General:

y '=−C1 e−x+2C2 e

2 x−3C3 e−3x

Segunda derivada de la Solución General:

y ' '=C1 e−x+4C2 e

2x+9C3 e−3x

Sustituyendo los Valores Iniciales en las soluciones Generales:

y(0 )=C1e−(0)+C2 e

2(0)+C3e−3 (0)=0

y=C1+C2+C3=0……………… (1)

y '(0)=−C1 e−( 0)+2C2 e

2( 0)−3C3 e−3( 0)=0

y '=−C1 e−( 0)+2C2 e

2( 0)−3C3 e−3( 0)=0

y '=−C1+2C2−3C3=0………… (2)

y ' '(0)=C1e−(0)+4C2 e

2 (0)+9C3 e−3 (0 )=1

y ' '(0)=C1+4C2+9C3=1……….. (3)

1 1 1−1 2 −31 4 9

1 1−1 21 4

=18−3−4−2+12+9=30

0 1 10 2 −31 4 9

0 10 21 4

=−3−2=−6

1 0 1−1 0 −31 1 9

1 0−1 01 1

=−1+3=2 −630

=−16

230

= 115

330

= 110

1 1 0−1 2 01 4 1

1 1−1 21 4

=2+1=3

Solución General:

y=−16

e−x+ 115

e2x+ 110

e−3x

y - y' + y = 2 Sen3

a=1b=−1c=1

b2−4 ac=(−1 )2−4 (1 ) (1 )=−3

m2−m+1=0

m1=1+√3 i

2=1

2+ √3i

2

m2=1−√3 i

2=1

2−√3 i

2

Solución:

y1=e12xcos √3

2x

y2=e12xsen √3

2x

Solución yc

yc=e12x¿

Si g ( x )=2sin x A cos3 x+Bsin 3 x

y p'=−3 A sin 3 x+3B cos3 x

y p} =- 9A cos {3x} -9B sin {3x ¿

Sustituir y} , {y} ^ {'} Y y ¿

(−9 A−3B−A ) cos3 x+(−9B+3 A+B )sin 3 x=2sin 3 x+0cos3 x

−8 A−3B=0 Sistema de ecuaciones:

3 A−8B=2 A = 672

B=−1673

y p=6

73cos3 x−16

73sin 3 x

y x=e12x¿

2. y + 4y' -2y = 2 {x} ^ {2} -3x+

Para yc

y + 4y' -2y =

m2+4m−2=0 A=1 B=4 C=−2

b2−4 ac=12−4 (1 ) (−2 )=24>0

m1=−4+√24

2=−2+√6

m2=−4−√24

2=−2−√6

Solución:

y1=c1 e(−2+√6 )x+c2 e

(−2−√6) x

Para y p

Sí g ( x )=2 x2−3x+6 y p=A x2+Bx+C

y p' =2 Ax+B ; y p

' =2 A

Sustituyendo:

2 A+8 Ax+4B−2 A x2−2Bx−2C=2x2−3 x+6

−2 A x2+(8 A−2B ) x+(2 A+4 B−2C)=2 x2−3 x+6

−2 A=2 Entonces A=−1

8 A−2B=−3 Entonces B=52

2 A+4 B−2C=6 Entonces C=−9

y x= yc+ y p

y p=− x2−52x−9

Solución General:

y x=C1 e(−2+√6 )x+C2e

−(2−√6 )x−x2+ 52x+9

Ejercicio 1:

y ' '+3 y '+2 y=6 ; Buscar solución de la forma: y (x )= yc+ y p

Para yc: y ' '+3 y '+2 y=0⇒m2+3m+2=0

Solución:

m1=−3+√32−4(1)(2)

2(1)=

−22

=−1 ;m2=−3−√32−4 (1)(2)

2(1)=

−42

=−2

Soluciones para yc: y1=e−x ; y2=e−2x

Solución general para yc: yc=c1 e−x+c2 e

−2x

Solución particular para g ( x )=6⇒ la solución propuesta es: y p=A

Entonces: y p=A ; y p' =0 ; y p

' '=0

Sustitución en la ecuación inicial:

0+3 (0 )+2 ( A )=6⇒2 A=6⇒A=62⇒ A=3

Solución de la ecuación diferencial:

y ( x )=c1 e−x+c2e

−2 x+3

Ejercicio 3:

y ' '−10 y '+25 y=30x+3 ; Buscar solución de la forma: y (x )= yc+ y p

Para yc: y ' '−10 y '+25 y=0⇒m2−10m+25=0

Solución factorizando:

m2−10m+25⇒ (m−5 ) (m−5 )⇒m1=5 ;m2=5

Soluciones para yc: y1=e5 x ; y2=xe5x

Solución general para yc: yc=c1 e5x+c2 xe

5x

Solución particular para g ( x )=30 x+3⇒ la solución propuesta es:y p=Ax+B

Entonces: y p=Ax+B; y p' =A ; y p

' '=0

Sustitución en la ecuación inicial:

0−10 (A )+25 (Ax )+25 (B )=30 x+3⇒ 25 Ax−10 A+25 B=30 x+3

Ahora se compara coeficientes del polinomio para hallar A y B:

25 A=30⇒ A=3025⇒ A=6

5;−10 A+25 B=3⇒−10( 6

5 )+25B=3⇒25 B=3+12⇒B=1525⇒B=3

5

Solución de la ecuación diferencial:

y ( x )=c1 e5 x+c2 xe

5 x+ 65+ 3

5

Ejercicio 5:

14y' '

+ y '+ y=x2−2 x ; Buscar solución de la forma: y (x )= yc+ y p

Para yc: 14y' '

+ y '+ y=0⇒ 14m

2

+m+1=0

Solución:

m1=−1+√12−4 (1/4 )(1)

2(1/ 4)=

−124

=−2 ;m1=−1+√12−4(1 /4)(1)

2(1/4)=

−12/ 4

=−2

Soluciones para yc: y1=e−2 x ; y2=xe−2x

Solución general para yc: yc=c1 e−2x+c2 xe

−2 x

Solución particular para g ( x )=x2−2 x

La solución propuesta es: y p=A x2+Bx+c

Entonces: y p=A x2+Bx+c ; y p' =2 Ax+B ; y p

' '=2 A

Sustitución en la ecuación inicial:

14

(2 A )+(2 Ax+B )+ (A x2+Bx+C )=x2−2x

A x2+ (2 A+B ) x+ 24A+B+C=x2−2x

Ahora se compara coeficientes del polinomio para hallar A, B y C:

A=1;2 A+B=−2⇒ 2 (1 )+B=−2⇒B=−2−2⇒B=−4

24A+B+C=0⇒ 2

4(1 )+(−4 )+c=0⇒C=7

2

Solución de la ecuación diferencial:

y ( x )=c1 e−2 x+c2 xe

−2x+x2−4 x+ 72

Ejercicio 8:

4 y ' '−4 y '−3 y=cos2x ; Buscar solución de la forma: y (x )= yc+ y p

Para yc: 4 y ' '−4 y '−3 y=0⇒ 4m2−4m−3=0

Solución:

m1=4+√(−4)2−4 (4)(−3)

2(4)=

128

=32

m2=4−√(−4)2−4(4)(−3)

2(4)=

−48

=−12

Soluciones para yc:

y1=e3 x/2 ; y2=e−1x /2

Solución general para yc: yc=c1 e3x/2+c2e

−1 x/2

Solución particular para g ( x )=cos2 x

La solución propuesta es: y p=A cos2x+Bsen2 x

Entonces:

y p=A cos2x+Bsen2 x ; yp' =−2 A sen2 x+2B cos2 x ; y p

' '=−4 A cos2 x−4 B sen2x

Sustitución en la ecuación inicial:

−16 A cos2 x−16 Bsen2 x+8 A sen2 x−8 B cos2 x−3 A cos2x−3B sen2x=cos2x⇒ (−19 A−8B )cos2 x+(−19B+8 A ) sen2 x=cos2 x+0 sen 2x

Ahora se compara coeficientes del polinomio para hallar A y B:

−19 A−8B=1;8 A−19B=0

Ahora nos quedó un sistema de ecuaciones y se resuelve por matrices:

∆|−19 −88 −19|=361+64⇒∆=425

∆1|1 −80 −19|=−19 ;∆2|−19 1

8 0|=−8

A=∆1

∆⇒ A=−19

425; B=

∆2

∆⇒B= −8

425

Solución de la ecuación diferencial:

y ( x )=c1 e3 x/2+c2 e

−1x /2− 19425

cos2 x− 8425

sen2 x

Ejercicio 15:

y ' '+ y=2x senx ; Buscar solución de la forma: y (x )= yc+ y p

Para yc: y ' '+ y=0⇒m2+1=0

Solución:

m1=0+√02−4 (1 ) (1 )

2 (1 )=0+ 2

2i=0+i

m2=0−√02−4 (1 ) (1 )

2 (1 )=0−2

2i=0−i

Soluciones para yc: y1=e0 xcosx ; y2=e0 xsenx

Solución general para yc: yc=c1 cosx+c2 senx

Solución particular para g ( x )=2 x senx

La solución propuesta es: y p=( A x2+Bx )cosx+ (C x2+Ex ) senx

Entonces:

y p=( A x2+Bx )cosx+ (C x2+Ex ) senx

y p' =[(2 Ax+B)cosx−( A x2+B ) senx ]+[(2Cx+E)senx+(C x2+Ex )cosx ]

y p' '=−A x2cosx+ (−B+4C ) xcosx+ (2 A+2 E )cosx−C x2 senx+(−4 A+E ) xsenx+(−2 B+2C ) senx

Sustitución en la ecuación inicial:

−A x2cosx+ (−B+4C ) xcosx+ (2 A+2E )cosx−C x2 senx+(−4 A+E ) xsenx+(−2 B+2C ) senx+ (A x2+Bx ) cosx+ (C x2+Ex ) senx=2 x senx

−4Cxcosx+(2 A+2 E ) cosx−4 Ax senx+(2B+2C ) senx=2 x senx

Ahora se compara coeficientes del polinomio para hallar A, B, C y E:

−4 A=2⇒ A=−12

;B=0 ;C=0 ;2 A+2 E=0⇒ A=−E⇒E=12

Solución de la ecuación diferencial:

y ( x )=c1 cosx+c2 senx−12x2 cosx+1

2x senx

Ejercicio 27:

y ' '+4 y=−2 ; Buscar solución de la forma: y (x )= yc+ y p y después aplicar las

condiciones iniciales: y ( π8 )=12; y ' ( π8 )=2

Para yc: y ' '+4 y=0⇒m2+4=0

Solución:

m1=0+√02−4(1)(4)

2(1)=0+

42i=0+2i

m2=0−√02−4 (1)(4)

2(1)=0−

42i=0−2iSoluciones para yc:

y1=e0 xcos2 x ; y2=e0x sen2 x

Solución general para yc: yc=c1 cos2 x+c2 sen2x

Solución particular para g ( x )=−2⇒ la solución propuesta es: y p=A

Entonces: y p=A ; y p' =0 ; y p

' '=0

Sustitución en la ecuación inicial:

0+4 ( A )=−2⇒ 4 A=−2⇒ A=−24⇒ A=−1

2

Solución de la ecuación diferencial:

y ( x )=c1cos 2x+c2 sen2 x−12

Aplicando las condiciones iniciales: y ( π8 )=12; y ' ( π8 )=2

Alas siguientes ecuaciones:

y ( x )=c1cos 2x+c2 sen2 x−12; y ' ( x )=−2c1 sen2 x+2c2cos2 x

y ( π8 )=c1 cos2( π8 )+c2 sen2( π8 )−12⇒c1cos 2( π4 )+c2 sen2( π4 )=1

y ' ( π8 )=−2c1 sen2( π8 )+2c2cos 2( π8 )⇒−2c1 sen2( π4 )+2c2 cos2( π4 )=2

Ahora nos quedó un sistema de ecuaciones y se resuelve por matrices para encontrar las constantes:

∆| √22

√22

−2 √22

2 √22

|=(√22 ) (√2 )+ (√2 )(√2

2 )⇒∆=2

∆1|1 √22

2 √2|=√2−√2⇒∆1=0 ; ∆2|√22

1

√2 2|=¿√2+√2⇒∆2=2√2

c1=∆1

∆⇒ c1=

02⇒ c1=0 ;c2=

∆2

∆⇒ c2=

2√22

⇒c2=√2

Solución con sustitución de las constantes:

y ( x )=√2 sen2 x−12

VARIACIÓN DE PARÁMETROSEjercicio 1:

y ' '+ y=secx ; Buscar solución de la forma: y (x )= yc+ y p

Para yc: y ' '+ y=0⇒m2+1=0

Solución:

m1=0+√02−4 (1 ) (1 )

2 (1 )=0+ 2

2i=0+i

m2=0−√02−4 (1 ) (1 )

2 (1 )=0−2

2i=0−i

Soluciones para yc: y1=e0 xcosx ; y2=e0 xsenx

Solución general para yc: yc=c1 cosx+c2 senx

Para calcular solución de la forma:

y p=u1 y1+u2 y2

Es necesario resolver el sistema de ecuaciones que se muestra:

u1' y1+u2

' y2=0

u1' y1

' +u2' y2

' =f (x )

Entonces se calcula el wronskiano de las soluciones de yc:

W (cosx , senx )| cosx senx−senx cosx|=cos2 x+sen2 x⇒W=1

Y ahora se resolviendo el sistema de ecuaciones donde: f ( x )=secx

W 1| 0 senxsecx cosx|= (−secx ) ( senx )⇒W 1=−tanx

W 2| cosx 0−senx secx|=(cosx ) (secx )⇒W 2=1

u1' =

W 1

W⇒ u1

' =−tanx1

⇒u1' =−tanx ;u2

' =W 2

W⇒u2

' =11⇒u2

' =1

Entonces ya tenemos las soluciones con su primera derivada así que tendremos que Integrar para tener las soluciones:

u1=∫u1' ⇒u1=−∫ tanx dx⇒u1=ln cosx

u2=∫u2' ⇒u2=∫ dx⇒ u2=1Solución para: y p=cosx ln cosx+x senx

Solución de la ecuación diferencial de la forma: y (x )= yc+ y p

y ( x )=c1 cosx+c2 senx+cosx ln cosx+x senx

Ejercicio 2:

y ' '+ y=tanx ; Buscar solución de la forma: y (x )= yc+ y p

Para yc: y ' '+ y=0⇒m2+1=0

Solución:

m1=0+√02−4 (1 ) (1 )

2 (1 )=0+ 2

2i=0+i

m2=0−√02−4 (1 ) (1 )

2 (1 )=0−2

2i=0−i

Soluciones para yc: y1=e0 xcosx ; y2=e0 xsenx

Solución general para yc: yc=c1 cosx+c2 senx

Para calcular solución de la forma:

y p=u1 y1+u2 y2

Es necesario resolver el sistema de ecuaciones que se muestra:

u1' y1+u2

' y2=0

u1' y1

' +u2' y2

' =f (x )

Entonces se calcula el wronskiano de las soluciones de yc:

W (cosx , senx )| cosx senx−senx cosx|=cos2 x+sen2 x⇒W=1

Y ahora se resolviendo el sistema de ecuaciones donde: f ( x )=tanx

W 1| 0 senxtanx cosx|=(tanx ) ( senx )⇒W 1=cosx−secx

W 2| cosx 0−senx tanx|=(cosx ) (tanx )⇒W 2=senx

u1' =

W 1

W⇒ u1

' = cosx−secx1

⇒ u1' =cosx−secx

u2' =

W 2

W⇒ u2

' = senx1

⇒u2' =senx

Entonces ya tenemos las soluciones con su primera derivada así que tendremos que Integrar para tener las soluciones:

u1=∫u1' ⇒u1=−∫ secx dx+∫cosx dx⇒u1=senx−ln|secx+ tanx|

u2=∫u2' ⇒u2=∫ senx dx⇒u2=−cosx

Solución para: y p=cosx (senx−ln|secx+tanx|)+[ (−cosx ) (senx )]

Solución de la ecuación diferencial de la forma: y (x )= yc+ y p

y ( x )=c1 cosx+c2 senx+cosx ( senx−ln|secx+tanx|)+[(−cosx ) ( senx )]

Ejercicio 3:

y ' '+ y=senx ; Buscar solución de la forma: y (x )= yc+ y p

Para yc: y ' '+ y=0⇒m2+1=0

Solución:

m1=0+√02−4 (1 ) (1 )

2 (1 )=0+ 2

2i=0+i

m2=0−√02−4 (1 ) (1 )

2 (1 )=0−2

2i=0−i

Soluciones para yc: y1=e0 xcosx ; y2=e0 xsenx

Solución general para yc: yc=c1 cosx+c2 senx

Para calcular solución de la forma:

y p=u1 y1+u2 y2

Es necesario resolver el sistema de ecuaciones que se muestra:

u1' y1+u2

' y2=0

u1' y1

' +u2' y2

' =f (x )

Entonces se calcula el wronskiano de las soluciones de yc:

W (cosx , senx )| cosx senx−senx cosx|=cos2 x+sen2 x⇒W=1

Y ahora se resolviendo el sistema de ecuaciones donde: f ( x )=senx

W 1| 0 senxsenx cosx|=−sen2 x ;W 2| cosx 0

−senx senx|=(cosx ) ( senx )

u1' =

W 1

W⇒ u1

' =−sen2 x1

⇒u1' =−sen2 x

u2' =

W 2

W⇒ u2

' =(cosx ) (senx )

1⇒u2

' =( cosx ) ( senx )

Entonces ya tenemos las soluciones con su primera derivada así que tendremos que Integrar para tener las soluciones:

u1=∫u1' ⇒u1=−∫ sen2 x dx⇒u1=

12

(senx ) (cosx )−12x

u2=∫u2' ⇒u2=∫ (cosx ) (senx )dx⇒u2=

−cos2 x2

Solución para: y p=−12

x cosx

Solución de la ecuación diferencial de la forma: y (x )= yc+ y p

y ( x )=c1 cosx+c2 senx−12x cosx

Ejercicio 4:

y ' '+ y=secx tanx ; Buscar solución de la forma: y (x )= yc+ y p

Para yc: y ' '+ y=0⇒m2+1=0

Solución:

m1=0+√02−4 (1 ) (1 )

2 (1 )=0+ 2

2i=0+i

m2=0−√02−4 (1 ) (1 )

2 (1 )=0−2

2i=0−i

Soluciones para yc: y1=e0 xcosx ; y2=e0 xsenx

Solución general para yc: yc=c1 cosx+c2 senx

Para calcular solución de la forma:

y p=u1 y1+u2 y2

Es necesario resolver el sistema de ecuaciones que se muestra:

u1' y1+u2

' y2=0

u1' y1

' +u2' y2

' =f (x )

Entonces se calcula el wronskiano de las soluciones de yc:

W (cosx , senx )| cosx senx−senx cosx|=cos2 x+sen2 x⇒W=1

Y ahora se resolviendo el sistema de ecuaciones donde: f ( x )=secx tanx

W 1| 0 senxsecxtanx cosx|=−senx (secx tanx )⇒W 1=−tan2 x

W 2| cosx 0−senx secx tanx|=cosx (secx tanx )⇒W 2=tanx

u1' =

W 1

W⇒ u1

' =−tan2 x1

⇒u1' =−tan2 x

u2' =

W 2

W⇒ u2

' = tanx1

⇒u2' =tanx

Entonces ya tenemos las soluciones con su primera derivada así que tendremos que Integrar para tener las soluciones:

u1=∫u1' ⇒u1=−∫ tan2 x dx⇒u1=−tanx+x

u2=∫u2' ⇒u2=∫ tanx dx⇒ u2=−lncosx

Solución para: y p=x cosx−2 senx ln cosx

Solución de la ecuación diferencial de la forma: y (x )= yc+ y p

y ( x )=c1 cosx+c2 senx+x cosx−2 senx lncosx

Ejercicio 19:

4 y ' '− y=x ex/2 ; Buscar solución de la forma: y (x )= yc+ y p

Para yc: 4 y ' '− y=0⇒ 4m2−1=0

Solución:

m1=0+√02−4 ( 4 ) (−1 )

2 (4 )=4

8=1

2

m2=0−√02−4 (4 ) (−1 )

2 (4 )=4

8=−1

2

Soluciones para yc: y1=ex/2; y2=e− x/2

Solución general para yc: yc=c1 ex /2+c2 e

−x/2

Para calcular solución de la forma:

y p=u1 y1+u2 y2

Es necesario resolver el sistema de ecuaciones que se muestra:

u1' y1+u2

' y2=0

u1' y1

' +u2' y2

' =f (x )

Entonces se calcula el wronskiano de las soluciones de yc:

W (e x/2 , e−x /2 )| ex/2 e− x/2

1/2ex /2 −1/2ex /2|=−12

e0−12e0⇒W=−1

Y ahora se resolviendo el sistema de ecuaciones donde: f ( x )=(x ex2 )/4

W 1| 0 e−x /2

xex2

4−1/2ex/2|=1

4x ;W 2| ex /2 0

1 /2e x/2 x ex2

4|=−1

4xex

u1' =

W 1

W⇒ u1

' =

14x

−1⇒ u1

' =−14

x

u2' =

W 2

W⇒ u2

' =

−14

x ex

−1⇒u2

' =14xex

Entonces ya tenemos las soluciones con su primera derivada así que tendremos que Integrar para tener las soluciones:

u1=∫u1' ⇒u1=

−14 ∫ x dx⇒u1=

−18

x2

u2=∫u2' ⇒u2=

14∫ x ex dx⇒ u2=

xex

4− ex

4

Solución para: y p=−18

x2 ex2+ 1

4xe

x2− 1

4ex2

Solución de la ecuación diferencial de la forma: y (x )= yc+ y p

y ( x )=c3 ex/2+c2e

− x/2−18x2e

x2 + 1

4xe

x2

Transformada de la LaplaceSea f una función definida para t≥0, entonces se dice que la integral

L {f ( t)}=∫0

∞

e− st f ( t )dt

Es la transformada de la place de f, siempre que la integral converga. Cuando la integral de la definición (1) converge, el resultado es una función de s.

Ejemplo:

L {1 }=∫0

∞

e−st 1dt

¿∫0

∞

e−st dt

¿−1se−st

Evaluamos a t en 0 y en ∞

¿−1se−s (∞ )−(−1

se−s (0 ))

¿−1se−s (∞ )+1

s

¿ limb→∞

−1se−sb→ lim

b→∞e− sb=0

Tiende a 0 por lo que

¿−1s

(0 )+1s

¿ 1s

b 1

eb

1 0.362 0.133 0.044 0.015 0.006

Ejercicio 1

L {t }=∫0

∞

e−st t dt

Se integra por partes donde

u=t du=dt

dv¿e−st dt v¿−1se−st

Evaluamos a t en 0 y en ∞

¿− tse−st+ 1

s∫0

∞

e−st dt

¿ 1s∫

0

∞

e−st dt

¿( 1s ) {1 }

¿ 1

s2

Ejercicio 2

L {t2 }=∫0

∞

e−st t 2dt

Se integra por partes donde

u=t 2 du=2 t dt

dv¿e−st dt v¿−1se−st

Evaluamos a t en 0 y en ∞

¿−t 2

se−st+ 2

s∫0

∞

e−st t dt

¿−t 2

se−st+ 2

sL {t }

¿( 2s )( 1

s2 )¿ 2

s3

Tarea

1.-x2 y ' '−2 y=0 y=xm ; y '=m xm−1 ; y ' '=m (m−1 ) xm−2

x2 (m (m−1 ) xm−2 )−2 xm=0

xm¿

xm (m2−m−2 )=0

(m+1 ) (m−2 )=0

sim+1=0→m 1=−1

sim−2=0→m2=2

La solución general es

y=c1 x−1+c2 x2

2.- x y' '+ y '=0 y=xm ; y '=m xm−1 ; y ' '=m (m−1 ) xm−2

x (m (m−1 ) xm−2)+mxm−1=0

xm−1¿

xm−1 (m2−m+m)=0

m2=0

m 1=0

m 2=0

La solución general es

y=c1+c 2lnx

3.-x3 y ' ' '−6 y=0

y=xm ; y '=m xm−1 ; y ' '=m (m−1 ) xm−2; y' ' '=m(m−2)(m−1)xm−3

x3 (m (m−2 ) (m−1 ) ) xm−3−6 xm=0

xm¿

m3−3m2+2m−6=0

(m−3 ) (m2+2 )=0

sim−3=0→m1=3

sim2+2=0→m2=−2

m=√−2

m=±√2 i

La solución general es

y=c1 x3+c2 cos√2lnx+c3 sin√2 lnx

4.-x2 y ' '+3x y '=0

y (1 )=0 ; y ' (1 )=4 y=xm; y '=mxm−1; y ' '=m (m−1 ) xm−2

x2¿

xm (m (m−1 ) )+3mxm=0

xm (m2−m+3m )=0

m2+2m=0

m (m+2 )=0

sim=0→m 1=0

sim+2=0→m 2=−2

La solución general es

y=c1+c 2x−2

y ( x )=c1+c2 x−2

y ' (x )=−2c2 x−3

y (1 )=c 1+c2 (1 )−2=0

y (1 )=c 1+c2=0

y ' (1 )=−2c2 (1 )−3=4

y ' (1 )=−2c2=4

c 2=−2

c 1+c2=0→c1−2=0→c1=2

c 1=2

Sustituyendo en c1 y c2

y ( x )=2−2 x−2

5.-x2 y ' '+ x y '+ y=0 y (1 )=1 ; y ' (1 )=2

y=xm ; y '=m xm−1 ; y ' '=m (m−1 ) xm−2

x2¿

xm¿

xm¿

xm (m2+1 )=0

m2+1→m=± i→m=0±1

y=c1 cos lnx+c2 sin lnx

y (1 )=1

y (1 )=c 1cos ln (1)+c 2 sin ln (1)

c 1=1

y ' (1 )=2

y '=−1x

c 1cos lnx+ 1xc2 sin lnx

y (1 )=−11

c 1cos ln (1)+ 11c2 sin ln (1)

c 2=2

y=cos lnx+2sin lnx

11.- f (t )=et+7

L {f ( t)}=∫0

∞

e− st f ( t )dt

L {e t+ 7 }=∫0

∞

e−st e t+7dt

¿∫0

∞

e−st e t e7dt

¿e7∫0

∞

e( 1−s) tdt

e7

1−se(1− s)

Evaluando a t en 0 y ∞ es

¿ e7

1−se(1− s)∞− e7

1−se (1−s )0→

e7

1−slimb→∞

e(1−s)b

¿0− e7

1−s

¿− e7

1−s

12.-f (t )=e−2 t−5

L {e−2 t−5 }=∫0

∞

e−st e−2t−5dt

¿∫0

∞

e−st e−2 t e−5dt

¿e−5∫0

∞

e−(2+ s) tdt

¿ e−5

−(2+s)e−( 2+s )

Evaluando a t en 0 y ∞

¿− e−5

2+se−(2+ s)∞+ e−5

2+se−( 2+s ) 0→

e−5

2+slimb→∞

e−(2+s )b

¿0+ e−5

2+s

¿ e−5

2+s

13.-f ( t )=t e4 t

L {t e4 t }=∫0

∞

e− st t e4 tdt

¿∫0

∞

t e ( 4−s )t dt

Se integra por partes donde

u=t du=dt

dv¿e (4−s) tdt v¿1

4−se( 4−s ) t

¿ 14−s

t e (4− s) t− 14−s

∫0

∞

e(4−s)tdt

Evaluando a t en 0 y ∞ tenemos

¿− 1

(4−s)2e(4−s)t

¿− 1

( 4−s )2e (4−s)∞+ 1

(4−s )2e( 4−s ) 0

¿− 1

( 4−s )2limb→∞

e (4−s)b

¿0+ 1

(4−s )2

¿ 1

(4−s )2

14.-f ( t )=t 2 e−2t

L {t2 e−2 t }=∫0

∞

e−st t2 e−2 tdt

¿∫0

∞

t 2e−(2+s )t dt

Se integra por partes

u=t 2 du=2t dt

dv¿e−(2+s )t dt v¿−1

2+se−(2+ s) t

¿− t 2

2+se−(2+ s) t+ 2

2+s∫0∞

t e−(2+ s) tdt

Se vuelve a integrar

u=t du=dt

dv¿e−(2+s )t dt v¿−1

2+se−(2+ s) t

¿− 2(2+s )3

t e−(2+s )t+ 2(2+s )2

∫0

∞

e−(2+ s) tdt

Evaluando a t en 0 y ∞

¿− 2

(2+s )3e−(2+ s)∞+ 2

(2+s )3e−( 2+s ) 0

¿− 2

(2+s )3limb→∞

e−(2+ s) t

¿0+ 2

(2+s)3

¿ 2

(2+s )3

15.-f ( t )=e−t sin t

L {e−t sin t }=∫0

∞

e−st e−t sin t dt

¿∫0

∞

e−( s+1 )t sin t dt

¿∫0

∞

sin t e−( s+1 ) t dt

Integramos por partes

u=sin t du=cos t dt

dv=e−( s+1 )t dt v=−1s+1

e−( s+1 )t

¿−sin ts+1

e−( s+1 ) t+ 1s+1

∫0

∞

cos t e−(s+1) tdt

Volvemos a integrar por partes

u=cos t du=−sin t

dv=e−( s+1 )t dt v=−1s+1

e−( s+1 )t

¿ 1s+1 [−cos t

s+1e−( s+1 )t+ 1

s+1∫

0

∞

e−(s+1) t sin t dt ]¿ 1s+1 [ 1

s+1− 1s+1

∫0

∞

e−(s+1) t sin t dt ]¿ 1¿¿

∫0

∞

e−(s+1) t sin t dt=¿ 1¿¿ ¿

¿

1+ 1¿¿

∫0

∞

e−(s+1) t sin t dt=( s+1 )2+1

(s+1 )2 ( s+1 )2+1

¿ 1

(s+1)2+1

Ejercicios

Evalué L {f ( t)} donde f (t )={0 0≤ t<32 t ≥3 }

L {f ( t)}=∫0

3

e− st0 dt+∫3

∞

e−st 2dt

¿2∫3

∞

e−st dt→−2se−st

Evaluando a t en 3 y ∞ queda

¿ 2se−3 s

Evalue L {f ( t)} donde f ( t )={0 0≤ t<1t t ≥1 }

L {f ( t)}=∫0

1

e− st0 dt+∫1

∞

e−st t dt

¿∫1

∞

e−st t dt

2

3

t

f(x)

Integramos por partes

u= t du=dt

dv=e−st dt v=−1se−st

¿− tse−st+ 1

s∫1

∞

e−st dt

¿− tse−st+ 1

s [−1se−st ]

Evaluando a t en 1 y ∞ queda

¿− tse−st− 1

s2e−st

¿−∞se−s∞− 1

s2 e−s∞+

(1)se−s (1)+ 1

s2 e− s(1)

¿ 1se−s+ e−s

s2

Tarea

1.- f ( t )={−10≤t<11t ≥1 }

L {f ( t)}=∫0

1

e− st−1dt+∫1

∞

e−st 1dt

¿−∫0

1

e−st dt+∫1

∞

e−st dt

¿ 1se−st−1

se−st

Evaluando a t en 0 y 1, también en 0 y ∞ queda

¿ 1se−s−1

s+ 1se−s

¿ 2se−s−1

s

2.-f (t )={4 0≤t<20 t ≥2 }

L {f ( t)}=∫0

2

e− st 4dt+∫2

∞

e−st 0dt

¿4∫0

2

e−st dt→− 4se−st

Evaluando a t en 0 y 2 queda

¿−4se−s (0 )+ 4

se−s (2 )

¿−4se−2 s+ 4

s

3.- f ( t )={t 0≤ t<11 t ≥1 }

L {f ( t)}=∫0

1

e− st t dt+∫1

∞

e−st1dt

¿∫0

1

t e− st dt+∫1

∞

e− st dt

Integramos por partes

u= t du=dt

dv=e−st dt v=−1se−st

¿− tse−st+ 1

s∫0

1

e−st dt+∫1

∞

e−st dt

¿−1se−st− 1

s2e− st−1

se−st

Evaluando a t en 0 y 1 , así como también en 1 y∞ queda

¿−1se−s− 1

s2e−s+ 1

s2+ 1se−st

¿− 1

s2e−s+ 1

s2

4.- f ( t )={2 t+1 0≤ t<10 t ≥1 }

L {f ( t)}=∫0

1

e− st2 t+1dt+∫1

∞

e−st 0dt

¿2∫0

1

t e−st+e−st dt

¿2∫0

1

t e−st dt+∫0

1

e−st dt

Integrando por partes

u= t du=dt

dv=e−st dt v=−1se−st

¿2(−tse−st+ 1

s∫0

1

e−st dt )+∫0

1

e−st dt

¿2(−1se

− st−1

s2 e−st)−1

se− st

Evaluando a t en 0 y 1 queda

¿−2se−s− 2

s2e− s+ 2

s2−1se−s+ 1

s

¿− 2

s2e−s+ 2

s2−3se−s+1

s

5.- f ( t )={sin t 0≤ t<π0 t ≥ π }

L {f ( t)}=∫0

π

e− stsin t dt+∫π

∞

e−st 0dt

Integrando por partes

u=sin t du=cos t dt

dv=e−st dt v=−1se−st

¿−sin ts

e− st+ 1s∫0

π

e−st cos t dt

Integrando por partes nuevamente

u=cos t du=−sin t dt

dv=e−st dt v=−1se−st

¿−sin ts

e− st+ 1s [−cos t

se−st ]+ 1

s∫0

π

e−st cos t dt

∫0

π

e−st sin t dt=−cos ts2 e−st− 1

s2∫0

π

e−st sin t dt

(1+ 1s2 )∫

0

π

e−st sin t dt= 1s2 e

−sπ+ 1s2

∫0

π

e−st sin t dt= s2

(s2+1 )e−sπ+ s2

( s2+1 )→

1s2+1

e− sπ+ 1s2+1

¿ e−sπ+1s2+1

6.-f (t )={00≤t<π /2cos t t ≥ π /2}

L {f ( t ) }=∫0

π2

e− st0 dt+∫π2

∞

e− stcos t dt

Integramos por partes

u=cos t du=−sin t dt

dv=e−st dt v=−1se−st

Se evalúa en π2y ∞

¿−cos ts

e−st−1s∫π /2

∞

e−st sin t dt

Integramos por partes nuevamente

u=sin t du=cos t dt

dv=e−st dt v=−1se−st

¿−1s (−sin t

se−st)+1

s∫π2

∞

e−st cost dt

Se evalúa en π2y ∞

∫π2

∞

e−st cos t dt= sin ts2 e−st− 1

s2∫π2

∞

e−st cos t dt

(1+ 1s2 )∫

π2

∞

e−st cos t=−1s2 e

−sπ2 →1+ 1

s2 =s2+1s2

∫π2

∞

e−st cos t dt= −s2

( s2+1 ) s2e

−sπ2

¿− 1

s2+1e−sπ /2

8.-

m= y 2− y 1x 2−x1

=2−02−1

=2

y− y1=m ( x−x 1 )

y−0=2 ( x−1 )→y=2x−2

f (t )={ 00≤ t<12 t−2t ≥1}

L {f ( t ) }=∫0

1

e− st0 dt+∫1

∞

e− st2 t−2dt

¿2∫1

∞

t e−st dt−2∫1

∞

e−st dt

Integrando por partes

u= t du=dt

dv=e−st dt v=−1se−st

¿2(−tse−st+ 1

s∫1

∞

e−st dt )+ 2se−st

¿−2 tse−st− 2

s2e−st+ 2

se−st→

2se−s+ 2

s2e−s−2

se− s

¿ 2

s2e−s

1

f(x

21

9.-

m= y 2− y 1x 2−x1

=0−11−0

=−1

y− y1=m ( x−x 1 )

y−1=−1 (x−0 )→y=−x+1

f (t )={1−t 0≤t<10 t ≥1 }

L {f ( t ) }=∫0

1

e− st1−t dt+∫1

∞

e−st 0dt

¿∫0

1

e−st dt−∫0

1

t e−st dt

Integramos por partes

u= t du=dt

dv=e−st dt v=−1se−st

¿−1se−st−(−t

se−st+ 1

s∫

0

1

e−st dt)¿−1

se−s+1

s+ tse−st+ 1

s2e− st

¿−1se−s+1

s+ 1se−s+ 1

s2e−s− 1

s2

¿ 1

s2e−s− 1

s2+ 1s

21

1

f(x)

t

10.-

f (t )={0 0≤ t<ac a≤ t<b

0t>b }L {f ( t ) }=∫

0

1

e− st0 dt+∫1

∞

e− st cdt+∫1

∞

e−st 0dt

¿c∫0

b

e−st dt→− cse−st

¿− cse−sb+ c

se−sa

C

a b

f(x)

t

¿ cs(e−sa−e−sb)TRANSFORMADAS DE LAPLACE

Sea f una función definida t≥0.

Entonces se dice que la función integral

L {f ( t ) }=∫0

∞

e− st∗f ( t )dt es la transformada de Laplace f(t), siempre que la integral

converga.

Cuando la integral de la definición converge el resultado es una función F(s).

L {1 }=∫0

∞

e−st∗1dt=∫0

∞

e−st dt=−1s

e−st ǀ∞0=−1

se− s (∞ )−(−1

se0)=1

s

L {e−3 t }=∫0

∞

e−st∗e−3 tdt=∫0

∞

e−( s+3 )t dt= −1s+3

e−(s+3)t ǀ∞0= −1s+3

e−(s+3) (∞ )−( −1s+3

e0)= 1s+3

L {t }=∫0

∞

e−st∗t dt u=t du=dt dv=e− stdt v=−1s

e−st

L {t }=−tse− st ǀ

∞0+

1s∫0

∞

e−st dt=−∞s

e− s (∞ )−(−0s

e0)+1s∗1

s=

1

s2

Transformadas de Laplace

L {f (t ) } Es una trasformada lineal

L {a∗f ( t ) }=aL { f (t ) }

L {f ( t )+g (t)}=L {f ( t ) }+ L {g (t ) }

L {5 sen 4 t }=5L { sen4 t }

L {sent+cos t }=L {sen t }+L {cos t }

Tarea: Pagina 261, ejercicios 1-18

1) f ( t )=¿1t ≥1−1 0≤t<1¿

{ f (t)}=∫0

1

e−st (−1 )dt+∫1

∞

e−st (1 )dt

{ f (t)}=−∫0

1

e−st dt+∫1

∞

e−st dt

limb→1

1se−s(1)−¿ lim

b→0

1se−s (0 )=1

se−s−1

s¿

12e−s−1

s+ lim

b→∞

−1s

e−s (∞ )−¿ limb→1

−1s

e−s (1 )=1se−s

−1s+ 1se− s

¿

¿e−s( 1s+1s )−1

s

{ f (t)}¿ 2se−s

−1s

2) f ( t )=¿0 t ≥24 0≤t<2 ¿

{ f (t)}=∫0

2

e−st (4 )dt+∫2

∞

e−st ( 0 )dt

{ f (t)}=4∫0

∞

e−st dt

{ f (t)}=¿ limb→2

4se−s(2)−lim

b→ 0

4se−s ( 0)=−4

se−2 s+ 4

s

{ f (t)}¿ 4se−2 s

+ 4s

3) f ( t )=¿1t ≥1t0≤t<1 ¿

{ f (t)}=∫0

1

e−st tdt+∫1

∞

e−st (1 )dt

{ f (t)}=∫0

2

e−st tdt

u=t ;du=dt

dv=e−st ;dv=−1s

e− st

¿−tse−st ¿0

1+∫ 1se−st dt

¿ limb→1

−1s

e−s(1)−limb→ 0

−0s

e−s (0 )=−1s

e−s

=−1se−s+∫ 1

se−st dt

¿−1se−s− 1

s2e−st ¿0

1

¿ 1se−s+ lim

b→1

−1

s2e−s (1 )−lim

b→0

−1

s2e− s (0 )=−1

se−s− 1

s2e−s+ 1

s2

¿−1se−s− 1

s2 e−s+ 1

s2 +∫1

∞

e−st dt

¿e−s(−1

s−

1

s2 )+ 1

s2−1se−st ¿1

∞

e−s(−1

s−

1

s2 )+ 1

s2 −1se−st+

1se−s+ lim

b→∞

−1se−s (∞)−lim

b→1

−1se−s (1 )=e

−s(−1s

−1

s2 )+ 1

s2−1se−s

{ f (t)}¿ 1s2 e

−s

+ 1s2

4) f (t )=¿0 t ≥12 t+1 0≤ t<1 ¿

{ f (t)}=∫0

1

e−st (2 t+1)dt+∫1

∞

e−st (0 )dt

{ f (t ) }=∫0

1

e−st (2 t+1 )dt

u=2t+1 ;du=2dt

dv=e−st ;dv=−1s

e− st

(2 t+1 )(−1s

e−st)−∫−1se−st 2dt

−2st e− st−1

se−st ¿0

1+ 2s∫e− st dt

limb→1

−2s

(1 )e− s (1)−1se− s( 1) lim

b→0

−2s

(0 )e−s ( 0)−1se− s (0 )=−1

se−s+1

s

{ f ( t ) }= e−s+1s

+ 2s∫e−st dt

{ f (t ) }= e−s+1s

+ 2se− st¿0

1

{ f ( t ) }= e−s+1s

+ limb→1

−2s2 e−s (1 )−lim

b→0

−2s2 e−s (0 )=−e−s+1

s− 2s2 e

−s+ 2s2

{ f (t)}= e−s+1s

−2e−s+2s2

5) f ( t )=¿0 t ≥ πsen(t )0≤t<π ¿

{ f (t)}=∫0

π

e−st sen (t)dt+∫π

∞

e−st (0 )dt

{ f (t ) }=∫0

π

e−st sen (t)dt

u=sen (t);du=cos (t)

dv=e−st ;dv=−1se− st

−1ssen ( t ) e−st ¿0

π−∫−1s

e−st cos (t¿)¿

limb→1

−1s

sen (π ) e−s (π )−limb→0

−1s

sen (0 )e− s (0)=0

{ f (t)}=1s∫0

π

e−st cos ( t )dt

u=cos (t ); du=−sen (t)

dv=e−st ;dv=−1se− st

( 1s )−1

scos ( t ) e−st ¿0

π−1s∫−1

se− st (−sen ( t ) )

{ f (t)}=limb→1

−1s

cos (π )e−s (π )−limb→0

−1s

cos (0 )e− s (0)=1se−sπ+ 1

s

{ f (t)}=( 1s )−1

se−sπ+1

s−1s∫e− st (−sen ( t ) )dt

∫0

π

e−st sen (t)dt= 1s2 (e

− sπ+1)− 1s2∫ e−st (−sen (t ) )dt

∫0

π

e−st sen (t)dt− 1s2∫ e−st (−sen (t ) )dt= 1

s2 (e−sπ+1)

(1+ 1s2 )∫

0

π

e−st sen (t)dt= e−sπ+1s2

∫0

π

e−st sen (t)dt=( e−sπ+1s2 )÷ (1+ 1

s2 )

{ f (t)}= e−sπ+1s2+1

6¿ f ( t )=¿cost t ≥ π /20 0≤t<π /2 ¿

{ f (t)}=∫0

π /2

e−st (0)dt+∫π /2

∞

e−st cos (t)dt

{ f (t ) }=∫π /2

∞

e−st cos (t)dt

u=cos (t ); du=−sen (t)

dv=e−st ;dv=−1s

e− st

−1s

cos ( t ) e−st ¿0π−∫−1

se− st sen (t¿)¿

limb→∞

−1s

cos (∞) e−s (∞)− limb→π /2

−1s

cos ( π2)e

− s (π /2)

=0

{ f (t)}=1s∫π /2

∞

e−st sen (t) t

u=sen (t ) ;du=cos ( t)

dv=e−st ;dv=−1se− st

( 1s )−1

ssen ( t )e− st¿π /2

∞ −1s∫−1

se−st (cos ( t ) )

{ f (t)}=limb→∞

−1s

cos (∞ ) e−s (∞ )− limb→π /2

−1s

cos (π /2 ) e−s (π /2 )=1se−sπ+ 1

s

{ f (t)}=( 1s )−1

se−sπ /2+1

s−1s∫e− st ( cos ( t ))dt

∫π /2

∞

e− st sen( t)dt= 1s2 (e−sπ /2+1)− 1

s2∫e− st ( cos (t ) )dt

∫π /2

∞

e− st sen( t)dt− 1s2∫ e−st (−sen ( t ) )dt= 1

s2 (e−sπ+1)

(1+ 1s2 )∫

π /2

∞

e−st cos( t)dt=e− sπ+1s2

∫π /2

∞

e− st

cos (t)dt=(e

−12

sπ

s2 )÷ (1+1

s2 )

{ f (t)}= e−1

2sπ

s2+1

8)

f (t )=¿2 t−2 t ≥10 0≤t<1 ¿

Y−0=2−02−1

( x−2 )=2 x−2

f ( t )=2 t−2

{ f (t)}=∫0

1

e−st(0)dt+∫1

∞

e−st (2t−2 )dt

{ f ( t ) }=∫1

∞

e−st (2 t−2 )dt

u=2t−2 ;du=2dt

dv=e−st ;dv=−1se− st

(2 t−2 )(−1se−st)−∫−1

se− st2dt

−2st e− st−1

se−st ¿1

∞+ 2s∫ e−st dt

limb→∞

−2s

(∞ ) e−s (∞ )−2se− s(∞ ) lim

b→ 1

−2s

(1 )e−s ( 1)−1se−s ( 1)=−2

se− s−2

se−s=0

{ f ( t ) }=−2s ∫ e−st dt=¿ 2

s2e−st ¿1

∞ ¿

{ f ( t ) }=limb→∞

−2

s2e−s (∞ )− lim

b→1

−2

s2e−s (1 )= 2

s2e−s

{ f (t)}= 2

s2e−s

9)

f ( t )=¿0 t ≥1−t+1 0≤t<1¿

Y−0=1−00−1

( x−1 )=−x+1

f ( t )=−t+1

{ f (t)}=∫0

1

e−st (−t+1)dt+∫1

∞

e−st (0 )dt

{ f ( t ) }=∫0

1

e−st (−t+1 )dt

u=−t+1 ;du=−dt

dv=e−st ;dv=−1s

e− st

(−t+1 )(−1se−st)−∫−1

se− st−dt

1st e−st−1

se−st ¿0

1−1s∫ e−st dt

limb→1

−1s

(1 )e− s( 1)−1se−s ( 1) lim

b→0

−1s

(0 ) e−s ( 0)−1se−s ( 0)=1

s

{ f ( t ) }=1s−1s∫e−st dt

{ f ( t ) }=1s+ 1

s2e−st ¿0

1

{ f ( t ) }=1s+lim

b→ 1

−2

s2e−s (1 )−lim

b→ 0

−1

s2e−s ( 0)=1

s+ 1

s2e−s− 1

s2

{ f (t)}=1s− e−s−1

s2

10)

f ( t )=¿c a≤ t≤ b0 t>b

0 0≤t≤ a¿

{ f (t)}=∫0

a

e−st (0 )dt+∫a

b

e−st c dt+∫b

∞

e− st(0)dt

{ f (t)}=∫a

b

e−st c dt

{ f (t)}=c∫a

b

e−st dt

{ f (t)}= cse−sb− c

se−sa

{ f (t)}= cs(e¿¿−sa−e−sb)¿

11) f (t )=et+7

{e t+7 }=∫0

∞

e−st et+7dt

{e t+7 }=e7∫0

∞

e−st e tdt

{e t+7 }=e7∫0

∞

e t (−s+1 )dt

{e t+7 }=(e¿¿7) limb→∞

1−s+1

e∞ (−s+1) ¿0∞ limb→ 0

1−s+1

e0 (−s+1)¿

{e t+7 }= e7

−s+1

12) f ( t )=e−2 t−5

{e−2 t−5 }=∫0

∞

e−st e−2 t−5dt

{e−2 t−5 }=e−5∫0

∞

e−st e−2 tdt

{e−2 t−5 }=e−5∫0

∞

et (− s−2)dt

{e−2 t−5 }=(e¿¿−5) limb→∞

1−s−2

e∞ (−s−2 )¿0∞ lim

b→0

1−s−2

e0 (−s−2) ¿

{e−2 t−5 }= e−5

−s−2

13) f ( t )=te 4 t

{te 4 t }=∫0

∞

e−st t e4 tdt

{te 4 t }=∫0

∞

t e t (−s+4)dt

u=t ;du=dt

dv=et (−s+4 ) ;dv= 1−s+4

e t (−s+4)

{te 4 t }=¿ t1

−s+4−∫ 1

−s+4e t (−s+4)dt

{te 4 t }=¿ limb→∞

t1

−s+4¿0∞−∫ 1

−s+4et (−s+4 )dt

{te 4 t }= −1−s+4∫ et (−s+4 )dt

{te 4 t }= 1−s+4

( 1−s+4

et (−s+4 ) dt)

{te 4 t }=limb→∞

1

(−s+4 )2e∞ (− s+4 )¿0

∞ limb→0

1

(−s+4)2e0 (−s+4)

{te 4 t }= 1

(−s+4 )2

14) f ( t )=t 2 e−2t

{t 2 e−2 t }=∫0

∞

e− st t 2 e−2 tdt

{t 2 e−2 t }=∫0

∞

t 2e t (−s+2)dt

u=t2 ;du=2tdt

dv=et (−s−2); dv= 1−s+4

e t ¿ ¿

{t 2 e−2 t }=¿ t2 1−s+2

−∫ 2−s+2

e t (−s+2)dt

{t 2 e−2 t }=¿ limb→∞

t 2 1−s+2

¿0∞−∫ 1

−s+2e t (−s+2)dt

{t 2 e−2 t }= −1−s+2∫e t (−s+2)dt

{t 2 e−2 t }=( 2−s+2

) 1−s+2

( 1−s+2

e t (−s+2) dt)

{t 2 e−2 t }=limb→∞

2

(−s+2)3e∞ (−s+2) ¿0

∞ limb→0

2

(−s+2)3e0 (−s+2)

{t 2 e−2 t }= 2

(−s+2)3

15¿ f (t )=e−t sent

L {e−t sen t }=∫0

∞

e−st−t∗sent dt=∫0

∞

e−t (s+1)sent dt

u=sent du=cos t dt dv=e−t (s+1)dt v=−e−t ( s+1)

s+1

L {e−t sen t }=−e−t ( s+1) sen ts+1

ǀ∞0+ 1s+1

∫0

∞

e−t (s+1) cos t dt=0+ 1s+1

¿

u=cos t du=−sent dv=e−t (s+1)dt v=−e−t (s+1)

s+1

L {e−t sen t }=0+ 1s+1

¿

L {e−t sen t }= 1s+1 [−e−∞ ( s+1) cos∞

s+1+−e−0 (s+1) cos0

s+1− 1s+1

∫0

∞

e−t (s+1) sent dt ]

L {e−t sen t }= 1s+1 [ 1

s+1− 1s+1

L {e−t sent }]L {e−t

sen t }=[ 1

(s+1)2 −1

(s+1)2L {e−t

sent }]L {e−t sen t }+ 1

(s+1)2L {e−t sent }= 1

(s+1)2

L {e−t sen t }+( 1

(s+1 )2+1)= 1

(s+1)2

L {e−t sen t }+( 1+(s+1)2

(s+1 )2 )= 1(s+1)2

L {e−t sen t }= 1

(s+1)2+1= 1

s2+2 s+2

16¿ f (t )=et cos t

L {e t cos t }=∫0

∞

e− st+t∗cos t dt=∫0

∞

e−t (s−1)cos t dt

u=cos t du=−sent dt dv=e−t (s+1)dt v=−e−t ( s+1 )

s+1

L {e t cos t }=−e−t ( s−1) cos ts−1

ǀ∞0− 1s−1

∫0

∞

e−t ( s−1 ) sent dt= 1s−1

− 1s−1

∫0

∞

e−t ( s−1) sent dt

u=sent du=cos t dv=e−t (s+1)dt v=−e−t ( s+1)

s+1

L {e t cos t }= 1s−1

− 1s−1

¿

L {e t cos t }= 1s−1

− 1s−1 [ 1

s−1∫0

∞

e−t (s−1 )cos t dt ]

L {e t cos t }= 1s−1

−1

s−1 [ 1s−1

L {e t cos t }]= 1s−1

−[ 1

(s−1)2 L {e t cos t }]L {e t cos t }+ 1

(s−1)2L {e t cos t }= 1

s−1

L {e t cos t }+( 1

( s−1 )2+1)= 1

s−1

L {e t cos t }+( 1+(s−1)2

( s−1 )2 )= 1s−1

L {e t cos t }+(1+(s−1)2 )= 1(s−1 )(s−1)−2

= 1

(s−1)−1=1+(s−1 )=s

L {e t cos t }= s

(s−1)2+1= s

s2−2 s+2

17¿ f (t )=t cos t

L {t n f (t)}=(−1)n[ dds F (s )]L {t cos t }=∫

0

∞

e− st∗cos t dt=∫0

∞

e−st cos t dt

u=cos t du=−sent dt dv=e−st dt v=−e−st

s

L {cos t }=−e−st cos ts

ǀ∞0−1s∫0

∞

e−st sent dt=1s−1s∫

0

∞

e−st sent dt

u=sent du=cos t dv=e−st dt v=−e−st

s

L {cos t }=1s−1s¿

L {cos t }=1s−1s [ 1

s∫0

∞

e− stcos t dt ]L {cos t }=1

s−1s [ 1

sL {cos t }]=1

s−[ 1

s2L {cos t }]

L {cos t }+ 1

s2L {cos t }=1

s

L {cos t }+( 1

s2 +1)=1s

L {cos t }+( 1+s2

s2 )=1s

L {cos t }=

1s∗s2

s2+1=

s

s2+1

L {t cos t }=(−1)1 dds ( s

s2+1 )=−1 [ s2+1−s (2 s )(s2+1 )2 ]=−1[ s2+1−2 s2

( s2+1 )2 ]±1[−s2+1

( s2+1 )2 ]= s2+1

( s2+1 )2

18¿ f (t )=t sent

L {t n f (t)}=(−1)n[ dds F (s )]L {t sen t }=∫

0

∞

e−st sent dt

u=sent du=cos t dt dv=e− st dt v=−e−st

s

L {sent }=−e−st sents

ǀ∞0+ 1s∫0

∞

e− st cos t dt=−1s∫0

∞

e−st sent dt

u=cos t du=−sent dv=e−st dt v=−e−st

sdv

L {sent }=1s¿

L {sent }=1s [ 1

s−[ 1

s∫

0

∞

e−st sen t dt ]]L {sent }= 1

s2−[ 1

s2L {sent }]

L {sent }+ 1

s2L {sent }= 1

s2

L {sent }+( 1

s2 +1)= 1

s2

L {sent }+( 1+s2

s2 )= 1s2

L {cos t }=

1

s2∗s2

s2+1= 1s2+1

L {t cos t }=(−1)1 dds ( 1

s2+1 )=−1 [ 0 (s2+1 )−2 s

( s2+1 )2 ]=−1 [ −2 s

( s2+1 )2 ]±1 [ −2 s

( s2+1 )2 ]= 2 s

(s2+1 )2

TRANSFORMADA DE LAPLACE INVERSA

Al aplicar la transformada de Laplace a una ecuación diferencial la convertimos

en una ecuación algebraica, la cual podemos resolver para , es decir,

. Ahora, como si pudiéramos devolvernos obtendríamos la

solución que buscamos. Es decir, necesitamos de la transformada inversa

, para hallar la función

Entonces definamos la transformada inversa.

  

Si es la transformada de Laplace de una función continua , es decir,

, entonces la transformada inversa de Laplace de , escrita

es , es decir,

1.−L−1{cs }=c

2.−L−1{ n!

sn+1 }=t n

3.−L−1{ s

s2+k2 }=cos kt

4.−L−1 { k

s2+k2 }=sen kt

5.−L−1{ s

s2−k2 }=coshkt

6.−L−1{ k

s2−k2 }=sen hkt

Ejemplos:

L−1 { 1

s2−7 }=e−7 t

L−1 { 1

s2−48

s5 }=L−1{ 1

s2 }−L−1 {48

s5 }=L−1 { 1

s1+1 }−L−1 { 48

s4+1 }=L {t }−2 L−1{ 4 !

s4+1 }=L {t }−L {2 t 4 }=L {t−2 t 4 }

L−1 {(s+2)2

s3 }=L−1{s2+4 s+4s3 }=L−1 {s2

s3 }+L−1 {4 ss3 }+L−1 { 4

s3 }=L {1+4 t+2t 2 }

L−1 {2 s+5s2+9 }=L−1{ 2 s

s2+9 }+L−1 { 5s2+9 }=2L−1{ s

s2+32 }+ 53L

−1{ 3s2+32 }=L {2 sen3 t+ 5

3cos3 t }

FRACCIONES PARCIALES

Muchas transformadas inversas se pueden obtener directamente de las tablas basadas en trasformadas de Laplace estándar y en sus propiedades. Sin embargo al resolver ecuaciones diferenciales con frecuencia se necesitara la trasformada inversa de F(s) en donde es una función racional.

Una función racional es un cociente de dos polinomios.

F(s) es un cociente de dos polinomios en s.

En este caso se pueden usar fracciones parciales para expresar F(s) como la suma de términos más sencillos cuando el discriminante para distinguir entre las raíces reales (b^2 -4ac > 0), las raíces complejas (b^2 -4ac < 0) y raíces reales repetidas (b^2 -4ac = 0).

Ejemplos:

F ( s )= 2 s+1

s3−3 s2+2 s

F ( s )= 2 s+1

s3−3 s2+2 s= 2 s+1s(s−2)(s−1)

2 s+1s (s−2)(s−1)

=AS

+B

S−2+

CS−1

=A (S−2 ) (S+1 )+B (S ) (S−1 )+C (S)(S−2)

s (s−2)(s−1)

A (S−2 ) (S+1 )+B (S ) (S−1 )+C (S ) (S−2 )=2S+1

S=0≫≫ A (0−2 ) (0+1 )+B (0 ) (0−1 )+C (0 ) (0−2 )=2 (0 )+1≫A=12

S=1≫≫ A (1−2 ) (1+1 )+B (1 ) (1−1 )+C (1 ) (1−2 )=2 (1 )+1≫C=−3

S=2≫≫ A (2−2 ) (2+1 )+B (2 ) (2−1 )+C (2 ) (2−2 )=2 (2 )+1≫B=52

L−1 {F(s)}=L−1{ 12S

+

52

S−2− 3S−1 }=1

2L

−1 {1S }+ 5

2L

−1 { 1S−2 }−3 L−1 { 1

S−1 }=12+ 5

2e2 t−3et

F ( s )= 1

s2+s−20

F ( s )= 1

s2+s−20= 1

(s+5)(s−4)

1(s+5)(s−4)

= AS+5

+ BS−4

=A (S−4 )+B (S+5 )

(s+5)(s−4)

A (S−4 )+B (S+5 )=1

S=4≫≫ A ( 4−4 )+B ( 4+5 )=1≫B=19

S=−5≫≫ A (−5−4 )+B (−5+5 )=1≫ A=−19

L−1 {F(s)}=L−1{−19

S+5+

19

S−4 }=−19L

−1{ 1S+5 }+ 1

9L

−1 { 1S−4 }=−1

9e−5 t+ 1

9e4 t

F ( s )= 1( s−2 ) (s−3 )(s−6)

F ( s )= 1( s−2 )(s−3)(s−6)

2 s+1(s−2 )(s−3)(s−6)

=A

S−2+

BS−3

+C

S−6=

A (S−3 ) (S−6 )+B (S−2 ) (S−6 )+C (S−3)(S−2)(s−2 )(s−3)(s−6)

A (S−3 ) (S−6 )+B (S−2 ) (S−6 )+C (S−3 ) (S−2 )=1

S=2≫≫ A (2−3 ) (2−6 )+B (2−2 ) (2−6 )+C (2−3 ) (2−2 )=1≫ A=12

S=3≫≫ A (3−3 ) (3−6 )+B (3−2 ) (3−6 )+C (3−3 ) (3−2 )=1≫B=−1

S=6≫≫ A (6−3 ) (6−6 )+B (6−2 ) (6−6 )+C (6−3 ) (6−2 )=1≫C=12

L−1 {F(s)}=L−1{ 12

S−2− 1S−3

+

12

S−6 }=12L

−1 { 1S−2 }−L−1{ 1

S−3 }+ 12 { 1

S−6 }=12e2t−e3 t+ 1

2e6 t

TRANSFORMADAS DE LAPLACE INVERSAS

Ejercicios- pág. 269 (1 al 15)

1.

L−1 { 1

s3 } ¿ L−1 { 1

s2+1 }= 12 !

L−1{ 1

s2+1 }=12t 2

2. L−1( 1

s4)= 1

s3→

n!

s3+1→

3!

s3+1

L−1 1

s4 =1

3 ! ( 3 !

sn+1 )→L−1{ 1

s4 }= 13 !

t3=

16t

3

3.

L−1 {( 2s− 1s3 )

2}=L−1 { 4s2 −2( 2

s )( 1s3 )+ 1

s6 }=L−1{ 4s2−

4s4 +

1s6 }= 4

1 ! ( 1 !s+1 )=4− 4

3 ! { 3 !s3+1 }=¿

46t 3+ 1

5 ! { 5!

s5+1 }= 1120

t5=4−46t3+ 1

120t 5

4.

L−1 {(s+1 )3

s4 }=L−1{s3+3 ( s2)+3 s (12 )+13

s4 }= s3+3 s2+3 s+1s4 =L−1 {1

s }+L−1 { 3s2 }+L−1{ 3

s3 }+L−1{ 1s4 }=L−1{1

S }=1+ 31!

L−1( 1!S1+1 )=3 t+ 3

2!L−1( 2 !

s2+1 )=32t2+ 1

3 !L−1 { 3 !

s3+1 }=16t 3=1+3 t+ 3

2t2+ 1

6t 2

5.

L−1 {(s+2 )2

s3 }=L−1{s2+2 s+4

s3 }=L−1{1s+

2

s2 +4

s3 }=1+2

1 !L−1{ 1 !

s1+1 }=2 t+42 !

L−1{ 2 !

s2+1 }=12t 2=¿

1+ 2t+ 12t 2

6.

L−1 { 1

s2−1s+ 1s−2 }=L−1{ 1

s2 }−L−1 {1s }+L−1 { 1

s−2 }= 11 !

L−1 { 1 !

s1+1 }=t−1+L−1 { 1s (−2 ) }=e2 t=t−1+e2t

7. L−1 {4s− 6

5 s− 1s+8 }=L−1 {4

s }+L−1 { 6

s2 }−L−1{ 1s+8 }→=L−1 {4

s }=4+ 64 !

L−1{ 4

s4+1 }= 624

t 4−L−1{ 1s+8 }={ 1

s (8 ) }=e−8 t=4+ 624

t 4−e−8t

8.L−1 { 1

4 s+1 }=14L−1 { 1

4 s+ 14 }=1

4L−1{ 1

s+ 14 }=1

4e

−14

t

9.L−1 { 1

5 s−2 }=15L−1{ 1

5 s−25 }=1

5L−1 { 1

s−25 }=1

5e

−25

t

10. L−1 { 5

s2+49 }=57L−1 { 7

s2+72 }=57sen7 t

11. L−1 { 10

s2+16 }=10 L−1{ s

s2+42 }=10 cos 4 s

12.L−1 { 4 s

4 s2+1 }=L−1 { s

s2+ 14 }=L−1{ s

s2+((12 )

2) }=cos12t

13.

L−1 { 14 s2+1 }=1

4L−1 { 1

s2+ 14 }=1

4L−1{ 1

2

s2+(12 )

2 }=14

(2 ) L−1{ 12

s2+( 12 )

2 }= 24sen

12t

14. L−1 {2 s−6

s2+9 }=L−1 { 2 s

s2+9 }−L−1 { 6

s2+9 }=2L−1{ s

s2+9 }−¿2

L−1 { 3

s2+32 }=2cos 3t−2 sen3 t

15.

L−1 { s+1

s2+2 }=L−1{ s

s2+2 }+L−1{ 1

s2+2 }=L−1 { s

s2+(√2 )2 }=cos√2+1

√2L−1 { 1

s2+(√2 )2 }= 1

√2sen√2t→ L−1 { s+1

s2+2 }=cos√21

√2sen√2 t

TRANSFORMADAS DE LAPLACE INVERSA CON FRACCIONES PARCIALES

1¿F (s )= −s−1

s2+s−2

F ( s )= −s−1

s2+s−2= −s−1

(s−1)(s+2)

−s−1(s+2)(s−1)

= AS+2

+ BS−1

=A (S−1 )+B (S+2 )

(s−1)(s+2)

A (S−1 )+B (S+2 )=−s−1

S=1entonces A (1−1 )+B (1+2 )=−1−1

por lo tantoB=−23

S=−2entonces A (−2−1 )+B (−2+2 )=−2−1 por lotanto A=−13

L−1 {F(s)}=L−1{−13

S+2−

13

S−1 }=−13L

−1{ 1S+2 }−1

3L

−1 { 1S−1 }=−1

3e−2 t−1

3e t

2¿F (s )= 2 s−13

s2+8 s+15

F ( s )= 2 s−13

s2+8 s+15= 2 s−13

(s+3)(s+5)

2 s−13(s+3)(s+5)

= AS+3

+ BS+5

=A (S+5 )+B (S+3 )

(s+3)(s+5)

A (S+5 )+B (S+3 )=2 s−13

S=−3≫≫ A (−3+5 )+B (−3+3 )=2 (−3)−13

¿ A=−192

S=−5≫≫ A (−5+5 )+B (−5+3 )=2(−5)−13

¿ B=232

L−1 {F(s)}=L−1{−192

S+3+

232

S+5 }=−192L

−1 { 1S+3 }+ 23

2L

−1{ 1S+5 }=−19

2e−3 t+23

2e−5 t

3¿F ( s)= S−1

s2+6 s+5

F ( s )= S−1

s2+6 s+5= s−1

(s+1)(s+5)

s−1(s+1)(s+5)

= AS+5

+ BS+1

=A (S+1 )+B (S+5 )

(s+1)(s+5)

A (S+1 )+B (S+5 )=s−1

S=−5≫≫ A (−5+1 )+B (−5+5 )=(−5)−1

¿ A=32

S=−1≫≫ A (−1+1 )+B (−1+5 )=(−1)−1

¿ B=−12

L−1 {F(s)}=L−1{ 32

S+5−

12

S+1 }=32L

−1 { 1S+5 }−1

2L

−1{ 1S+1 }=1

2e−5 t−1

2e−t

4 ¿F (s )= 1

s2+s−6

F ( s )= 1

s2+s−6= 1

(s+3)(s−2)

1(s+3)(s−2)

= AS+3

+ BS−2

=A (S−2 )+B (S+3 )

(s+3)(s−2)

A (S−2 )+B (S+3 )=1

S=2entoces A (2−2 )+B (2+3 )=1 pot lo tantoB=45

S=−3entonces A (−3−2 )+B (−3+3 )=1 por lotanto A=−45

L−1 {F(s)}=L−1{−45

S+3+

45

S−2 }=−45L

−1 { 1S+3 }+ 4

5L

−1{ 1S−2 }=−4

5e−3t+ 4

5e2 t

5¿F ( s)= 3

s2−S

F ( s )= 3

s2−s= 3s (s−1)

3s (s−1)

= AS

+ BS−1

=A (S−1 )+B (S )

s (s−1)

A (S−1 )+B (S )=3

S=0entonces A (0−1 )+B (0 )=3 por lotanto A=−3

S=1entonces A (1−1 )+B (1 )=3 por lotanto B=3

L−1 {F ( s) }=L−1{−3S

+ 3S−1 }=−3 L−1 {1

S }+3 L−1 { 1S−1 }=−3+3 et

6¿F ( s )=7 s−3

s2−5

F ( s )= 7 s

s2+(√5)2− 3

s2+(√5)2

L−1 {F(s)}=L−1{ 7 s

s2+(√5)2−

3

s2+(√5)2 }=7 L−1{ s

s2+(√5)2 }− 3

√5L

−1

{ √5

s2+(√5)2 }

f ( t )=7 cos √5 t− 3

√5sen√5 t

PRIMER TEOREMA DE TRASLACIÓN

L {f ( t ) }=∫0

∞

e− st∗f ( t )dt=F (s )

L {eat∗f ( t ) }=F ( s−a )

L {eat∗f (t ) }=L {f (t ) }s→(s−a)

L {eat∗f ( t ) }=∫0

∞

e−st∗eat∗f (t )dt=∫0

∞

e(−st+at)∗f (t )dt=∫0

∞

e−t (s−a)∗f (t )dt

L {e2t∗t 3 }=L {t 3 }s→ (s−2 )= 3 !

s3+1=3 !

s4= 3 !

(s−2)4

L {e−2 t∗sen 4 t }=L {sen 4 t } s→ (s+2 )= 4

s2+16= 4

(s+2)2+16

TRANSFORMADA DE LAPLACE DE UNA DERIVADA

L {f '( x)}=∫0

∞

e−st∗f ' ( t )dt

u=e−st→du=−se−st dt dv=f ' (t )dt v=f (t )

L {f '( x)}=f ( t ) e−st I ∞0+∫

0

∞

e−st∗f ( t )dt=−f (0 )+s∫0

∞

e−st∗f ( t )dt=−f (0 )+s L {f ( t ) }

L {f ' ' (x)}=∫0

∞

e−st∗f ' ' (t )dt

u=e−st→du=−se−st dt dv=f ' ' ( t )dt v=f ' (t )

L {f ' ' (x)}=f ' ( t )e−st I ∞0+s∫

0

∞

e−st∗f ' ( t )dt=−f ' (0 )+s∫0

∞

e−st∗f ' ( t )dt=−f ' (0 )−sf (0 )+s2L {f ( t ) }

dydt

+3 y=13 sen2 t y (0 )=6

L {dydt }+3 L { y }=13 L {sen2 t }=− y (0 )+s L {y }+3 L { y }=13( 2

s2+4)

−6+ (s+3 )L { y }=( 26

s2+4 )

( s+3 )L { y }=( 26

s2+4 )+6

L { y }=¿

¿¿

L−1 {L { y }}=L−1{ 6 s2+50( s2+4 ) (s+3 )

}

6 s2+50(s2+4 ) (s+3 )

= As+B¿¿¿

( As+B ) (s+3 )+C s2+4C=6 s2+50

( A+C ) s2+ (3 A+B ) s+(3B+4C)=6 s2+50

A+C=6 A=6−C

3 A+B=03 (6−C )+B=0B=−18+3C

3B+4C=50 3 (−18+3C )+4C=50−54+9C+4C=5013C=104

C=10413

=8 A=6−8=−2 B=−18+3 (8 )=6

L−1 {L {y }}=L−1 {−2 s+6

(s2+4 ) }+L−1{ 8s+3 }=L−1 { −2 s

( s2+4 ) }+L−1{ 6

( s2+4 ) }+L−1 { 8s+3 }

y (t )=2L−1{ s

( s2+22 ) }+3 L−1{ 2

( s2+22) }+8 L−1{ 1s+3 }

y (t )=2cos2+3 sen2+8e−3 t

47 Ejercicios escalón unitario y segundo teorema de translaciónDe los ejercicios 1 al 3, escriba la función definida en [0,∞] en términos de las funciones escalón unitario de la grafica

1.-

f (t){00≤ t<232≤ t<5t 5≥ t

0+ (3−0 ) μ ( t−2 )+( t−3 )μ (t−5)

f (t )=3 μ (t−2 )+( t−3 ) μ(t−5)

2.-

f (t){ 10≤ t<1−11≤t<212≤t<3−1 3≤ t

1+(−1−1 )μ ( t−1 )+(1−(−1))μ ( t−2 )+(−1−1 )μ ( t−3 )

f ( t )=1+(−2 )μ ( t−1 )+2μ (t−2 )+(−2)μ (t−3 )

3.-

f (t){ sin t 0≤ t<π0π ≤ t<2 π

sin t 2π ≤ t<3 π03π ≤ t

sin t+¿¿

f ( t )=sin t ¿¿

En los ejercicios 4-9 escriba la función definida en (0 ,∞) en terminos de una función escalón unitario.

Ejercicio 4.

f (t )={t ,0≤t<1

−t+2 ,1≤ t<2t−2 ,2≤ t<3

−t+4 ,3≤ t<40 ,4≤ t

}m=

y2− y1

x2−x1

m=0−12−1

=−1

y−1=−1 (x−1 )∴ y=−x+2

t+ [ (−t+2−t )u ( t−1 ) ]+¿

f ( t )=[−2 t+2u ( t−1 ) ]+[−4u (t−2 ) ]+[−2 t+6u ( t−3 ) ]+[t−4u ( t−1 )]

Ejercicio 5.

f ( t )={1 ,0≤t<10 ,1≤ t<21 ,2≤ t<3

0 ,3≤ t}

1+(0−1 )u (t−1 )+(1−0 )u (t−2 )+ (0−1 )u(t−3)

f ( t )=1+[ (−1 )u ( t−1 ) ]+[u (t−2 ) ]+[ (−1 )u (t−3 )]

Ejercicio 6.

f ( t )={ t ,0≤t<1t−1 ,1≤ t<2t−2 ,2≤ t<3

0 ,3≤t}

m=y2− y1

x2−x1

m=1−01−0

=1

y− y1=m (x−x1 )∴ y=1 ( x ) ; f ( t )=t

t+ [ (t−1−t )u ( t−1 ) ]+[ ( t−2 ) ( t−1 )u ( t−2 ) ]¿

t+ [ (−1 )u (t−1 ) ]+[−u ( t+2 ) ]+[ (−t+2 )u ( t−3 )]

Ejercicio 7.

f ( t )={0 ,0≤ t<1

t+1 ,1≤ t<21,2≤t<3

−t−4 ,3≤ t<40 ,4≤ t

}t+ [ (t+1−0 )u (t−1 ) ]+ [(1−t−1 )u ( t−2 ) ]+[ (−t−4−1 )u ( t−3 ) ]+[ (0− (t−4 ) )u ( t−3 )]

f ( t )=[(t+1)¿¿2u]+[−tu ( t−2 ) ]+[ (−t−5 )u (t−3 ) ]+[ ( t+4 )u (t−3 )]¿

Ejercicio 8.

f (t )={0 ,0≤ t<1t ,1≤ t<3t ,3≤ t<50 ,5≤t<6−1 ,6≤ t

}0+ [(t−0 )u (t−1 ) ]+[ ( t−t )u ( t−3 ) ]+[ (0−t )u (t−5 )]

f ( t )=[ tu ( t−1 ) ]+[ (−t )u ( t−5 )]

Ejercicio 9.

f ( t )={ t ,0≤ t<1−t ,1≤ t<3t ,3≤ t<5

0 ,5≤ t}

0+ [(−t−0 )u (t−1 ) ]+[ (t−t )u (t−3 ) ]+[ (0−t )u ( t−5 )]

f ( t )=[ (−t )u ( t−1 ) ]+[ (−t )u ( t−5 )]

En los ejercicios 10-21 calcula la transformada de Laplace y (s) de y (t )

Ejercicio 10. y (t )=2−5H (t−1 )+6h(t−3)

g ( t )=2−5

a=1

g (t )=6

a=3

£ {(2−5 )H (t−1)}+£ {6H (t−3)}=e− s (£ {2 }+£ {5 } )+e−3 s(6 £ {1 })

¿e−s (2£ {1 }+5£ {1 } )+e−3 s(6 £ {1 })

¿e−s( 2s+5s )+e−3 s( 6

s )y (s)=1

s(−es+e−3 s6 )

11. - y (t) = tH (t-2) a=2

L{y (t)} = e-2s × L {t+2} ⇒ e-2s L {t} + L {2}

L{y(t)}= e-2s [1/s2 + 2/s]

12. - y (t) = (t-2) H (t-2)

L{y (t)} = e-2s × 16/s2

L{y(t)}= e-2s/s2

13. - y (t) = (t3+1) H (t-1)

L{y (t)} = e-s× L {t3}

L{y (t)} = e-s 3! /s4

14.- e3t H(t-3)= y(t)

L{y(t)}= e-2s L{ e3(t+2) }+6 L{H(t-3)}

L{y(t)}= e-2s[L{y(t)}]+6 e-3s/s

L{y(t)}= e-2s[e6/s-3]+6 e-3s/s

15.- - y (t) =sentH(t-π)

L{y(t)}= e- πs × L{sent}

L{y(t)}= e- πs × 1/s2+1

16.- y(t)=sent H(t-π/2)

L{y(t)}= e(-π/2)s× L{sent}

L{y(t)}= e(-π/2)s× 1/s2+1⇒ e(-π/2)s/s2+1

17.- y(t)=cost H(t-2π)

L{y(t)}= e-2πs× L{cost}

L{y(t)}= e-2πs× s/s2 +1 ⇒ - s/s2+1 e-2πs

18.- y(t)=(t3+t)H(t-2)

y(t)= t3H(t-2)+tH(t-2)

L{y(t)}= e-2s× L{t3} +e-2× L{t}

L{y(t)}= e-2s× 3!/s4+ e-2s×1/s2

19.- y(t)= e2tH(t-3) a=3

L{y(t)}= e-3s× L{ e2(t+3)} ⇒ e-3s[e6L{ e2t}]

L{y(t)}= e-3s[e6/s-2]

20.- y(t)=t2 e-3tH(t-1) a=1

L{y(t)}= e-s ×L{(t-2)2 e-3(t-1)} ⇒ e-3[L{t2+2t+1}( e-3t-3)]

= e-s[L(2!/s3 + 2/s2 +1/s)( e-3/s+3)]

= L{y(t)}= e-s[(2 e-3/s3(s+3) + 2 e-3/s2(s+3) +

e-3/s(s+3)]

21.- y(t)=test h(t-2) : a=2

L{y(t)}= e -2s – L {(t+2)e5(t+2)}

L{y(t)}=e-2s[(1/s + 2/s)(e10/s-5)]s-5

L{y(t)}=e-2s[(e10/s-5 + 2e10/s(s-5))]

22.- y()s=e-3s/s3: a=3

L{y(s)}=H(t-3) L -1{1/s3}t->t-3

L{y(s)}=H(t-3) ½! t 2 t->t-3

L{y(s)}=H(t-3) ½(t-3)2

23.- y(s)=e-2s 1/s2+s + e-3s 1/s2+5

Y(s)=e=2s 1/s(s+1) + e=3s 1/s(s+1)

Y(s)=e-2s[1/s 1/s+1] + e=3s [1/s 1/s+1]

24.- y(s)=1/s2 + e-s/s2+4 + e-2s s/s2+9

L -1{y(s)}= L -1 {1/s2}+ L -1 {e-3/s2+4} + L -1 {e-2s 3/s2+9}

L -1 {y(s)}= t + H (t-1)(1/2 sen 2t)+H(t-2)cos3t

25.- y(s)= e-3s/s2+2s+2

L -1{y(s)}= H(t-3) L -1 {1/s2+2s+2}

31.- y”+y=g(t); y(0)=y’(0)=0

G(t) ={0 0 ≥ ≤ t <21 2 ≤ t< 50 5 ≤ t

0[u(t-0)-u(t-2)]+1[u(t-2)-u(t-5)]+0[u(t-5)]

U(t-2)-u(t-5)=g(t)

-y(0)-Sy(0)+S^2 L {y} =u(t-2)-u(t-5)

S^2 L {y} = u(t-2) – u(t-5)

L {y} = u(t-2) –u(t-5) + 1/S^2

L -1 L {y} = L -1 L { u(t-2) –u(t-5) + 1/S^2}

Y= u(t-2) –u(t-5) t

32.- y”+y=g(t); y(0)=y’(0)=0

G(t) ={0 0 ≥ ≤ t <21 2 ≤ t< 32 3 ≤ t

0[u(t-0)-u(t-1)]+1[u(t-1)-u(t-3)]+2[u(t-3)]

u(t-1)-u(t-3)]+2[u(t-3) =g(t)

-y(0)-Sy(0)+S^2 L {y} = u(t-1)-u(t-3)]+2[u(t-3)

S^2 L {y} = u(t-1)-u(t-3)]+2[u(t-3)

L -1 L {y} = L -1 L { u(t-1)-u(t-3)]+2[u(t-3)} + L -1{1/ S^2}

Y = u(t-1)-u(t-3)]+2[u(t-3) t

33.- y’-3y=g(t); y(0)=1

G(t) =

G(t) ={t 0 ≥ ≤ t <1t+2 1 ≤ t< 20 2 ≤ t

0[u(t-0)-u(t-1)]+t+2[u(t-1)-u(t-2)]+0[u(t-2)]

t+2[u(t-1)-u(t-2)]= g(t)

-y(0)-Sy(0)+S^2 L {y} = t+2[u(t-1)-u(t-2)]

S^2 L {y} = t+2[u(t-1)-u(t-2)]

L -1 L {y} = L -1 L { t+2[u(t-1)-u(t-2)]} + L -1{1/ S^2}

Y= t+2[u(t-1)-u(t-2)] t

35.- y”+ 2y’ +10y=g(t); y(0)=1, y’(0)=0

G(t) ={1 0 ≥ ≤ t <30 3 ≤ t

1[u(t-0)-u(t-3)] + 0[u(t-3)]u(t-0)-u(t-3) = g(t)

-y(0)-Sy(0)+S^2 L {y} = u(t-0)-u(t-3)

S^2 L {y} = u(t-0)-u(t-3)

L -1 L {y} = L -1 L {u(t-0)-u(t-3)}

36.- y”+ 5y’ + 6y=g(t); y(0)=y’(0)=0

G(t) ={0 0 ≥ ≤ t < π/2cost π/2 ≤ t< 3π/20 3π/2 ≤ t

G(t) = cost u(t- π/2) – cost u(t-3π/2)

-y(0)-Sy(0)+S^2 L {y} = cost u(t- π/2) – cost u(t-3π/2)S^2y(s)-Sy(0)-y’(0)+S[Sy(s)-y(0)]+6y(s) = cost u(t- π/2) – cost u(t-3π/2)S^2 L {y} = cost u(t- π/2) – cost u(t-3π/2)L -1 L {y} = L -1 L { cost u(t- π/2) – cost u(t-3π/2)}Y = e^-2-e^-2t+e^-3-2cos(t-3π/2s)u(t-3π/2)+(e^-3t-2cos(t-π/2s))u(t-π/2s)

37.- y”+ 4y = g(t) ; y(0)=1, y´(0)=0

G(t) ={1 0 ≥ ≤ t < 10 1 ≤ t< 21 2 ≤ t< 3

0 3 ≤ t

G(t)= 1-u8t-1)+u(t-2)-u(t-3)

-y(0)-Sy(0)+S^2 L {y} = 1-u8t-1)+u(t-2)-u(t-3)

S^2 L {y} = 1-u8t-1)+u(t-2)-u(t-3)

L {y} = 1-u8t-1)+u(t-2)-u(t-3) + 1/S^2

L -1 L {y} = L -1 L { 1-u8t-1)+u(t-2)-u(t-3) + 1/S^2}

Y= 1-u8t-1)+u(t-2)-u(t-3)t

38.- y”+ 2y’ + y=g(t); y(0)=1, y´(0)=1

G(t) ={t^2 0 ≥ ≤ t <10 1≤ t

G(t) = u(t-1)

-y(0)-Sy(0)+S^2 L {y} = u(t-1)

S^2 L {y} = u(t-1)

L {y} = u(t-1) + 1/S^2

L -1 L {y} = L -1 L { u(t-1)+ 1/S^2}

Y= u(t-1) t

40.- y''-9y=g(t) y(0)= y'(0)=0 g(t)= { e-t/1

y''-9y=e-t + (1- e-t)u(t-4)

y''-9y=e-t+u(t-4) - e-t(t-4)

L {y''-9}= L {e-t + u (t-4) - e-t (t+4)}

S2y(s)-9y(s) = 1/(s+1) + 1/s e-4s- e-4s- e-4s L {e-t-4}

y(s)(s2-9)= 1/(s+1) + 1/s e-4s - e-4s/s+1 e-4s

42.- y'+5y=g(t) y(0)=0 g(t)= { } y'+5y= e3tu(t-4)

L { y'+5y }= L {e3tu(t-4)}

5y(s) +5y(s)= e-4t L {e3t+12} - e3t/s-3 e-4t

y(s)= 1/ (s-s)(5-5) e-l2' e-4t = e-l2' e-4t/s-3

y(s)= 1 / (s-s)(5-5) e-l2' e-4t ⇒ 1 / (s-3)(s+5) = A3+5A-3B / (s-3)(s+5)

y(s)= e-l2/8 / s-3 - e-l2/8 / s+5 e-4t

y(t)= [e-l2/8 e3(t-4) - e-l2/8 e-5(t-4) u(t-4)]

43.- y'+3y=g(t) y(0)=0 g(t)= { }

y'+3y=cost u (t- π/2)

L {y'+3y}= e-π/2 -L {cost(t + π/2)}

S4+3y(s)= e-π/2s-L {sent}= 1 / s2+1 e-π/2

y(s) (s-3)= 1 /s2+1 1 e-π/2

y(s)= 1 /(s2 + 1)(s+3) e-π/2⇒ 1 /(s2 + 1)(s+3)= AS+B/(s2 + 1) + C/ (s+3) = AS2 + 3AS+BS +3B+C S2+C / (s2 + 1) (S+5 ) + C

y(s)= (1/102/ (s2 + 1)) e-π/2 + 3/10 / s2+1 e -π/2 - 1/10 / e -π/2

L-1 {y'+3y}= 1/10 L-1 {s/s2+1 e -πs/2}+3/10 L-1{1/s2+1 e -π/2}-1/10 L-1{1/s+3 e -π/2}

y(t)= [1/10sent – 3/10cost-1/10 e t-π/2]u(t-π/2)

44.- y'+4y=g(t) y(0)=0 g(t)= { }

y'+4y=cost-costu(t- π/2)

L{y'+4y}= L{cost}-1{cost u (t- π/2)}

y(s)-4y(s)=s/s2+1 - e -π/2 L{cos(t- π/2)}

y(s)=(s-4)=s/s2+1- e -πs/2 L{-sent}=s/s2+1 e -πs/2

y(s)= s/(ss+1)(s-4) - 1/(ss+1)(s-4) e -πs/2

y(s)= (-4/17s)/ ss+1 + (1/17)/ ss+1 + (4/17s)/ ss+4-[-(1/17s) ss+1e -πs/2 - (4/17s) ss+1e -πs/2+ (1/17s)/s-4+1e -πs/2]

y(t)=-4/17cost+1/17sent+4/17e 4t+(1/17sent-4/17cost-1/7 e 4t-4π/2)u(t- π/2)

45.- y'+2y=g(t) y(0)=0 g(t)= { }

y'+2y=sent u (t-3)

L{y'+2y}= L{sentu(t-3)}

y(s)= y'+2y= L{sentu(t-3)}

y(s)+2y(s)= e -3t L{sent(t-3)}= e -3t L{sent+sen3}

y(s)(s+2)= 1/s2+2 e -3t+sen3/s e -3t

y(s)=1/(s2+1)(s+2) e -3t+ sen3/(s+2) e -3t

1/(s2+1)(s+2) = (As+B/s2+1) +(c/s+2)=As2+2As+Bs+2B+Cs2

y(s)=1/cost u (t-3) +2/s sent u (t-3) +1/s e -2t(t-3) +sen3/su(t-3)-sen3/2(t-3)

y(t)=(1/5vos(t-3) +2/sen(t-3) +1/s e -2(t-3))y(t-3)

46.- y'+4y=g(t) y(0)=0 g(t)= { }

y'+4y=sent-sent u (t-5)

L{y'+4y}= L{sent}-e -3t L{sen(t+5)}

sy(s)+4y(s)=1/s2+1-e -st L{sent+sen5}=(1/1+s2)–(1/1+s2est)

y(s)=1/(1/s2)(s+4) – 1/(s+1)(s+4) e –st – sen5/s(s+4) e –st

y(t)=-1/17cost+4/17sent + 1/17 e –4t+1/17costu(t-5)- 4/17e–4t u (t-5)

y(t)=-1/17cost+4/17sent+1/17costu(t-5)-4/17e–4t-4/17e–4tu(t-5)

y(t)=- 1/17cost+4/17sent+1/17e–4t+[1/17cost(t-5)-4/17sentu(t-5)] u(t-5)

47.- y''+9y=g(t) y(0)=0 g(t)= { }

y''+9y=sent-sentu(t-4)

L{y''+9y}= L{sent3-e–4t } L{sent+sen4}

S2y(s)+1+9y(s)= 1/s2+1 – 1/s2+1e–4t-sen4/s e–4t

y(s)= 1/s2+9 + 1/(s2+1) (s2+9) – 1/(s2+1) (s2+9) e–4t

1/(s2+1) (s2+9)=As+B/s2+1 + Cs+D/s2+9 = (As+B)(s2+9)+(Cs+D)(s2+1) / (s2+1) (s2+9)

y(t)=1/3sen3t – 1/24sen3t + 1/8sent +[-1/8sen(t-4) +1/24sen3(t-4)-(sen/9)4+(sen/9)4cos3(t-4)] u (t-4)

y(t)=2/24sen3t + 1/8 sent +[-1/8sen(t-4) +1/24sen3(t-4)- (sen/9)4+(sen/9)4cos3(t-4)] u (t-4)

Conclusión