Post on 30-Jul-2022
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CENTRO DE INVESTIGACIÓN EN CIENCIA
APLICADA Y TECNOLOGÍA AVANZADA
QUERÉTARO
POSGRADO EN TECNOLOGÍA AVANZADA
RESOLUCIÓN DE MECANISMO PARALELO PLANAR 3RRR
IMPULSADO POR ACTUADORES ELÉCTRICOS
T E S I S
QUE PARA OBTENER EL GRADO DE
MAESTRO EN TECNOLOGÍA AVANZADA
P R E S E N T A
RICARDO YAÑEZ VALDEZ
DIRECTOR DE TESIS:
M. C. MAXIMIANO F. RUIZ TORRES
QUERÉTARO, Qro. Noviembre del 2007
CICATA Querétaro -IPN
ii
Resolución de Mecanismo Paralelo Planar 3RRR
impulsado por Actuadores Eléctricos
Ricardo Yañez Valdez
Centro de Investigación en Ciencia Aplicada y Tecnología Avanzada
Instituto Politécnico Nacional
Querétaro, México
CICATA Querétaro -IPN
iii
AGRADECIMIENTOS
Agradezco a mis padres y hermanos por su apoyo de toda la vida. A mi director de tesis
Maximiano F. Ruiz Torres por su enseñanza, orientación, confianza y paciencia. A CONACYT
por su importante apoyo. Al Instituto Politécnico Nacional por abrirme sus puertas y darme la
oportunidad de continuar mis estudios. A los profesores de CICATA_Qro. por su enseñanza. Al
personal administrativo de CICATA_Qro. en especial a Lucina de la paz López Arellano por sus
consejos y apoyo. A mis compañeros en especial a Jesús Pichardo por sus oportunas opiniones y
apoyo hacia mi proyecto.
CICATA Querétaro -IPN
iv
ÍNDICE
Página
Índice iv
Glosario vi
Lista de figuras vii
Lista de tablas x
Nomenclatura xi
Resumen xii
Abstract xiii
Estructura del trabajo de tesis xiv
Capitulo I Estado del Arte 1
1.1 Introducción 2
1.2 Ejemplo de aplicación 4
1.3 Objetivo general 6
1.4 Objetivos particulares 6
1.5 Justificación 6
1.6 Antecedentes 9
Capitulo II Marco Teórico 18
2.1 Introducción 19
2.2 Arquitecturas de MPP de 3-GdL 19
2.3 Cinemática del MPP 3RRR 22
2.4 Análisis de posición 24
2.4.1 Cinemática inversa 24
2.4.2 Cinemática directa 25
2.5 Configuraciones singulares 25
2.6 Exactitud, Repetibilidad y Resolución 29
2.7 Actuadores 31
2.7.1 Motores a pasos 32
Capitulo III Metodología 36
3.1 Introducción 37
CICATA Querétaro -IPN
v
3.2 Espacio de trabajo del MPP 3RRR 37
3.3 Postura C-C-C 42
3.4 Resolución del MPP 3RRR 43
Capitulo IV Diseño del Mecanismo 59
4.1 Introducción 60
4.2 Consideraciones al diseño 60
4.3 Diseño conceptual 61
4.4 Diseño de detalle 62
4.4.1 Materiales 63
4.4.2 Planos 64
Capitulo V Análisis de Resultados 66
Conclusiones 73
Recomendaciones 78
Apéndices 81
A Geometría del mecanismo 82
B Cinemática inversa 85
C Cinemática Directa 87
D Análisis Jacobiano 90
D.1 Forma vectorial 90
D.2 Forma algebraica 92
E Planos 95
F Códigos 104
Referencias bibliográficas 115
CICATA Querétaro -IPN
vi
GLOSARIO
Análisis. Descomponer, desarmar en sus partes constituyentes. Cadena cinemática. Ensamble de eslabones y juntas interconectados de modo que produzcan un movimiento controlado en respuesta a un movimiento suministrado. Cinemática. Rama de la mecánica que estudia los movimientos de los cuerpos, con independencia de las fuerzas que lo producen. Circuito en un mecanismo. Todas las orientaciones posibles de los eslabones que pueden ser obtenidas sin desconectar ninguna de las juntas. Configuración singular. Posición limite donde el mecanismo es susceptible a trabarse y no puede alcanzar una posición de diseño especifica. Diseño. Proceso de aplicar las diversas técnicas y principios científicos con el propósito de definir un dispositivo, un proceso o un sistema con suficientes detalles que permitan su realización. Efector final. Último eslabón de un manipulador robótico, diseñado para realizar una tarea especifica. Eslabón. Cuerpo rígido que posee por lo menos dos nodos que son puntos de unión con otros eslabones. Espacio de trabajo. Conjunto de todas las posiciones y orientaciones que la plataforma móvil puede alcanzar. Grados de Libertad. Numero de coordenadas independientes requerido para definir su posición. Junta cinemática. Conexión entre dos o más eslabones, la cual permite algún movimiento entre los eslabones conectados. Mecanismo. Una cadena cinemática en la cual por lo menos un eslabón se ha fijado al marco de referencia. Postura. Manera en que esta construido el mecanismo. Trayectoria. Línea descrita por un punto material en movimiento.
CICATA Querétaro -IPN
vii
LISTA DE FIGURAS
Página
Figura 1.1 Mecanismos de 2 y 3-GdL. 3
Figura 1.2 Mecanismo esférico 3-GdL. 3
Figura 1.3 Mecanismos espaciales. 4
Figura 1.4 Esquema de la técnica de rotación óptica. 5
Figura 1.5 Mesas de desplazamiento lineal θXY . 7
Figura 1.6 Diagrama del sistema de posicionamiento θXY . 7
Figura 1.7 Primer mecanismo espacial paralelo. 9
Figura 1.8 Primer robot industrial paralelo. 10
Figura 1.9 Plataforma de Gough. 10
Figura 1.10 Plataforma de Stewart. 11
Figura 1.11 Simulador de movimiento de Klaus Cappel. 11
Figura 1.12 Mecanismo Paralelo Planar 3RPR. 13
Figura 1.13 Mecanismo Paralelo Planar 3RRR. 13
Figura 1.14 Prototipo didáctico del MPP 3RRR. 14
Figura 1.15 Mecanismo Paralelo Planar con 3-GdL. 14
Figura 1.16 MPP usado como interfase de locomoción para caminar
omnidireccionalmente.
15
Figura 2.1 Siete posibles combinaciones de cadenas conectadas en
serie.
21
Figura 2.2 MPP básicos con cadenas cinemáticas idénticas. 21
Figura 2.3 Junta de pasador rotatoria de 1 GdL. 22
Figura 2.4 Esquema del MPP 3RRR. 23
Figura 2.5 Esquema de la singularidad inversa en un MPP 3RRR. 27
Figura 2.6 Esquema de la singularidad directa en un MPP 3RR. 28
Figura 2.7 Esquema de la singularidad paralela en un MPP 3RRR 28
Figura 2.8 Esquema de la singularidad serial en un MPP 3RRR. 29
Figura 2.9 Definición de exactitud, repetibilidad y resolución. 30
Figura 2.10 Motor a pasos (200 p) unipolar. 33
CICATA Querétaro -IPN
viii
Figura 2.11 Exactitud de posición de un motor a pasos 34
Figura 3.1 Las ocho posturas del mecanismo paralelo 3RRR 38
Figura 3.2 Espacio de trabajo ideal del MPP 3RRR 39
Figura 3.3 Espacio de trabajo útil del MPP 3RRR para cada postura 40
Figura 3.4 Espacio de trabajo útil del MPP 3RRR con las trayectorias
Loci.
41
Figura 3.5 Orientación del MPP 3RRR, postura C-C-C. 42
Figura 3.6 Distancia horizontal D desde o hasta o’. 44
Figura 3.7 Gráfica de posición: 200 pasos/rev. (1.8° por impulso) 45
Figura 3.8 Gráfica de posición: 400 pasos/rev. (0.9° por impulso) 45
Figura 3.9 Gráfica de posición: 800 pasos/rev. (0.45° por impulso) 45
Figura 3.10 Gráfica de posición: 1600 pasos/rev. (0.225° por impulso) 46
Figura 3.11 Distancia vertical D desde o hasta ô. 46
Figura 3.12 Gráfica de posición: 200 pasos/rev. (1.8° por impulso) 47
Figura 3.13 Gráfica de posición: 400 pasos/rev. (0.9° por impulso) 47
Figura 3.14 Gráfica de posición: 800 pasos/rev. (0.45° por impulso) 47
Figura 3.15 Gráfica de posición: 1600 pasos/rev. (0.225° por impulso) 48
Figura 3.16 Gráfica de posición: 200 pasos/rev. (1.8° por impulso)
25mm arriba de la recta original.
48
Figura 3.17 Gráfica de posición: 1600 pasos/rev. (0.225° por impulso)
25mm arriba de la recta original.
49
Figura 3.18 Gráfica de posición: 200 pasos/rev. (1.8° por impulso)
25mm debajo de la recta original.
49
Figura 3.19 Gráfica de posición: 1600 pasos/rev. (0.225° por impulso)
25mm debajo de la recta original.
49
Figura 3.20 Circunferencia r=1.5 mm. 50
Figura 3.21 Circunferencia r=10 mm. 50
Figura 3.22 Circunferencia r=18 mm. 51
Figura 3.23 a) Nube de puntos: 200 pasos/rev. b) Acercamiento a la
nube de puntos.
51
CICATA Querétaro -IPN
ix
Figura 3.24 Dispersión de puntos aplicando limites de confianza. 52
Figura 3.25 Puntos más cercanos a la línea recta. 53
Figura 3.26 Gráfica de posición 200 pasos/rev. (1.8° por impulso) 53
Figura 3.27 Gráfica de posición 400 pasos/rev. (0.9° por impulso) 54
Figura 3.28 Gráfica de posición 800 pasos/rev. (0.45° por impulso) 55
Figura 3.29 Gráfica de posición 1600 pasos/rev. (0.225° por impulso) 56
Figura 3.30 Gráfica de posición 4800 pasos/rev. (0.075° por impulso) 57
Figura 4.1 Diseño conceptual del mecanismo paralelo 3RRR 62
Figura 5.1 Grafica de posición: conjunto de puntos generados
empleando micropasos
70
Figura 5.2 Trayectoria seguida con puntilla de 0.5 mm de diámetro
con a) 200 pasos/re. b) 4800 pasos/rev.
70
Figura 5.3 Ángulo que forman los puntos en una dirección preferente
respecto a la línea recta.
71
Figura A.1 Esquema de la primera cadena cinemática. 83
Figura A.2 Esquema de la segunda cadena cinemática. 83
Figura A.3 Esquema de la tercera cadena cinemática. 84
Figura D.1 Esquema para el lazo vectorial de la primera cadena
cinemática.
90
Figura D.2 Esquema de la cadena cinemática considerada como un
manipulador serial.
93
CICATA Querétaro -IPN
x
LISTA DE TABLAS Página
Tabla 2.1 Combinaciones posibles de MPP con juntas cinemáticas de
revolución y prismáticas.
20
Tabla 5.1 Resumen del coeficiente de variación y error de aproximación: Recta horizontal.
67
Tabla 5.2 Resumen del coeficiente de variación y error de aproximación: Recta vertical.
67
Tabla 5.3 Resumen del coeficiente de variación y error de aproximación: Recta horizontal 25 mm arriba de la original.
68
Tabla 5.4 Resumen del coeficiente de variación y error de aproximación: Recta horizontal 25 mm debajo de la original.
68
Tabla 5.5 Resumen del coeficiente de variación y error de aproximación: Recta horizontal.
69
CICATA Querétaro -IPN
xi
NOMENCLATURA
A, B, …, F Juntas pasivas P, Q, R Juntas activas R Junta cinemática de revolución P Junta cinemática prismática U Junta cinemática universal S Junta cinemática esférica G Centro de masa de la plataforma móvil GdL Grados de libertad h Longitud de la plataforma móvil s Seno del ángulo c Coseno del ángulo t Tangente del ángulo j Matriz Jacobiana
il Longitud del eslabón i
ia Longitud del primer eslabón de la cadena i
ib Longitud del segundo eslabón de la cadena i
),( yx Sistema de coordenadas
e,∂ Parámetros de sustitución
iθ Coordenada articular de la cadena i
φ Ángulo de la plataforma móvil respecto a eje de referencia ),( yx
x& Vector de velocidad de las coordenadas de posición
q& Vector de velocidad de las coordenadas articulares
io Origen de la cadena i
pgr Vector de posición
gv Vector de velocidad
iθ& Velocidad angular del eslabón i
CICATA Querétaro -IPN
xii
RESUMEN En este trabajo se propone el diseño de una mesa de trabajo empleando un
mecanismo paralelo planar de tres grados de libertad. El análisis cinemático es
estudiado con el propósito de determinar, para cada configuración, su espacio de
trabajo, así como las configuraciones singulares a las que son susceptibles. Con
este resultado parcial el análisis subsecuente se concentra en una sola
configuración y se determina la resolución que puede alcanzar simulando que es
impulsado con motores a pasos, empleando micropasos. Se muestra el diseño
conceptual y las características generales para su construcción.
CICATA Querétaro -IPN
xiii
ABSTRACT In this work the design of a work bench based in a 3-DOF planar parallel
mechanism is propose. The kinematics analysis of this mechanism is studied in
order to determine not only its workspace but also its singular configurations.
The subsequent analysis concentrates on the best configuration and the
resolution is obtained with micro steps techniques. It is shown conceptual
design and general characteristics for building.
CICATA Querétaro -IPN
xiv
Estructura del trabajo de tesis La estructura de este trabajo de tesis se presenta de la siguiente manera: en el
capitulo 1 se describe la justificación del trabajo a desarrollar, el objetivo, los
antecedentes, y se muestran los trabajos realizados en diferentes instituciones
sobre el diseño y construcción de MPP.
En el capitulo 2 se describen las diferentes arquitecturas de la familia de
mecanismos paralelos planares, resultado de la combinación de las juntas
cinemáticas con las que generalmente se conectan los eslabones cuyo
movimiento esta presente en un plano. Se analiza la cinemática directa e inversa
del mecanismo paralelo 3RRR, las condiciones de singularidad y se detallan
tópicos que se tomarán de referencia posteriormente.
En el capitulo 3 se determina el espacio de trabajo del mecanismo y se analiza,
para cada postura que puede adoptar, las singularidades que pueden presentar.
Se selecciona una configuración y a partir de esta se calcula la resolución que
alcanza el mecanismo simulando que es impulsado con motores a pasos,
empleando micropasos.
En el capitulo 4 se describen las consideraciones que se hacen al diseño del
mecanismo, se plantea el diseño conceptual y los materiales a utilizar para la
fabricación del mecanismo.
En el capitulo 5 se analizan los resultados obtenidos.
Se incluyen apéndices al final del trabajo donde se puede consultar con mayor
detalle como es que se obtienen las formulas, ecuaciones, parámetros
geométricos que se describieron a lo largo del proyecto así como los dibujos de
detalle del mecanismo.
CICATA Querétaro -IPN
xv
CICATA Querétaro -IPN
1
CAPITULO I
ESTADO DEL ARTE
CICATA Querétaro -IPN
2
1.1 Introducción Según el “Robot Institute of America” la definición de robot es; mecanismo
programable multifuncional diseñado para mover materiales, piezas,
herramientas o dispositivos especiales, mediante movimientos variados,
programados para la ejecución de distintas tareas. La mayor parte de los robots
o manipuladores industriales, que en la actualidad se utilizan, son esencialmente
brazos articulados con estructura serial. Sin embargo, el uso de mecanismos
articulados con estructura paralela ha aumentado en los últimos años en
laboratorios, fábricas, escuelas, hospitales, centros recreativos, centros de
investigación, etc. para ser utilizados en aplicaciones donde tienen ventaja sobre
los manipuladores seriales, estas son:
- Tienen la capacidad de manipular cargas muy superiores a su propio peso.
- Ofrecen alta rigidez y bajo peso.
- Presentan elevadas velocidades de operación.
También presentan otras características, que pueden representar una desventaja
según se apliquen:
- Su cinemática es más complicada.
- El espacio de trabajo suele ser pequeño y no es sencillo su cálculo.
- Debe resolverse para cada topología el problema de las configuraciones
singulares.
Un robot paralelo es aquel cuya estructura mecánica esta formada por un
mecanismo de cadena cerrada en el que el efector final se une a la base por al
menos dos cadenas cinemáticas independientes [Aracil et. al, 2006]. La
combinación del número de cadenas cinemáticas, el tipo de estas, sus
restricciones en el movimiento de las articulaciones y otras características,
hacen que existan innumerables configuraciones estructurales para los
mecanismos paralelos. De acuerdo al tipo de movimiento natural que son
CICATA Querétaro -IPN
3
capaces de realizar los manipuladores mecánicos, se pueden clasificar en
planares, esféricos y espaciales [Tsai, 1999].
En los mecanismos paralelos planares (MPP) su movimiento esta sujeto a un
plano, pueden tener 2 o 3 grados de libertad (GdL); traslación en el plano y una
rotación sobre un eje perpendicular al mismo. La figura 1.1 muestra algunas
configuraciones estructurales con 2 y 3-GdL.
Figura 1. 1 Mecanismos de 2 y 3-GdL [Aracil et. al, 2006].
En los mecanismos paralelos esféricos el movimiento de sus eslabones describe
curvas alrededor de un punto en común formando una esfera concéntrica. Su
configuración se caracteriza por tener dos articulaciones de rotación y una
prismática (RRP). La figura 1.2 muestra un mecanismo esférico 3RRR de 3-GdL
(The Agile Eye) desarrollado para obtener una rápida orientación de una
cámara.
Figura 1. 2 Mecanismo esférico 3-GdL [Yang et. al, 2003].
CICATA Querétaro -IPN
4
Los mecanismos paralelos espaciales evolucionan en todo el espacio
tridimensional disponiendo de traslación y/u orientación. Estas estructuras
pueden alcanzar 3, 4, 5 y 6 GdL. Se caracterizan por contener en sus uniones de
accionamiento juntas universales (U; 2 GdL) o esféricas (S; 3 GdL). La figura
1.3 muestra algunos ejemplos.
Figura 1. 3 Mecanismos espaciales [Aracil et. al, 2006].
En las ultimas décadas han aparecido diversas propuestas de mecanismos de
cinemática paralela para dar solución a problemas de muy diversa índole:
simuladores de vuelo, robots caminantes, sistemas acumuladores ajustables,
máquinas de minería, máquinas herramienta de alta velocidad y precisión, etc.
[García, 2005].
El estudio de los mecanismos se justifica con los importantes avances realizados
en el diseño de instrumentos, controles automáticos y equipo automatizado,
formando parte del diseño de maquinas que se interesa en el análisis cinemático
de los mecanismos de eslabones articulados [Mabie, 2004].
1.2 Ejemplo de aplicación Actualmente en CICATA Querétaro del IPN, en el laboratorio de metrología
óptica, se realizan experimentos a muestras biológicas aplicando la técnica de
rotación óptica o actividad óptica. La figura 1.4 muestra el esquema de esta
técnica.
CICATA Querétaro -IPN
5
Polar
Amplificador PEM 90
• •
•
• •
•
Diodo Láser
• •
•
• •
•
• •
•
• •
•
Lock in
Detector
Mod
Polarizador
Sistema de calentamiento
Aire caliente
Polarizador Sensor de temperatura
La rotación óptica se mide con un polarímetro que consta de una fuente de luz,
un polarizador del que sale luz oscilando en un único plano, una muestra y un
analizador que permite medir la rotación del vector de polarización. La
polarimetría es una técnica que se basa en la medición de la rotación óptica
producida sobre un haz de luz polarizada al pasar por una sustancia ópticamente
activa.
Figura 1. 4 Esquema de la técnica de rotación óptica [López, 2004]. Un problema se presenta cuando el laboratorista desea nivelar la posición y
orientación de los polarizadores con respecto a la dirección del diodo láser. Los
instrumentos que utiliza, típicamente, para conseguir la posición deseada son
mesas de desplazamiento lineal de coordenadas xy. La operación de estos
dispositivos es manual y conseguir que los polarizadores tengan la orientación
adecuada tanto para polarizar la luz proveniente del diodo laser así como para
hacerla llegar al detector es difícil y tardado. Además, no se tiene la garantía que
una vez lograda la posición adecuada, éste permanezca así por el tiempo que
dure el experimento.
CICATA Querétaro -IPN
6
1.3 Objetivo general La propuesta de este trabajo de tesis es diseñar un mecanismo paralelo que
ofrezca tres grados de libertad cuya movilidad sea en un plano, analizar su
cinemática y calcular la resolución que puede alcanzar la plataforma móvil al ser
impulsado el mecanismo con actuadores eléctricos. Entendiendo por resolución
la distancia mínima lineal que puede adoptar la plataforma móvil por cada paso
del motor o combinaciones de pasos de los motores.
1.4 Objetivos particulares - Definir el tipo de arquitectura a utilizar.
- Dadas las coordenadas articulares del mecanismo determinar la posición y
orientación del eslabón acoplador.
- Dadas la posición y orientación del eslabón acoplador determinar las
coordenadas articulares del mecanismo.
- Obtener el espacio de trabajo del mecanismo
- Examinar las condiciones de singularidad para prevenir que se trabe al estar
operando.
- Obtener la resolución alcanzable del mecanismo.
- Diseñar el mecanismo con apoyo de los resultados del análisis cinemático.
1.5 Justificación Generalmente cuando se tiene necesidad de controlar un desplazamiento lineal,
bien sea manualmente o mediante sistemas automáticos de posicionamiento, es
frecuente el uso de mesas de desplazamiento lineal XY (Figura 1.5). Estas
plataformas se componen de una mesa dividida en dos partes, la parte inferior
permanece fija permitiendo que la parte superior se deslice sobre ésta, la cual a
CICATA Querétaro -IPN
7
su vez es forzada a moverse en una dirección por medio de un mango
micrométrico.
Figura 1. 5 Mesas de desplazamiento lineal θXY [Pham, 2002]
La resolución que pueden alcanzar estas mesas esta en el orden de ,25 mµ para
las mesas convencionales, y de ,4.0 mµ para las mesas con motor CD adaptado.
El desplazamiento lineal que pueden alcanzar cubre un rango de mma 30030
en las direcciones horizontal y vertical, dependiendo del tamaño de las mesas.
Cuando se busca que además de desplazarse linealmente en dos direcciones gire,
se acopla una tercera mesa. El resultado es un mecanismo compuesto de tres
mesas sobrepuestas. Sin embargo, este tipo de dispositivos presentan ligeras
desventajas debido al arreglo en serie de los actuadores [Pham, 2002]. Para
lograr tres grados de libertad –dos de traslación (dirección yx ) y uno de
rotación (orientación θ )- la mesa inferior debe soportar su propia plataforma
móvil más las dos mesas superiores, esto conlleva que los errores de exactitud se
acumulen [Pham, 2002].
Por otro lado, existen mesas que ofrecen posicionamiento con una exactitud de
nm10 con la característica de no tener mesas sobrepuestas (figura 1.6).
Figura 1. 6 Diagrama del sistema de posicionamiento θXY [Burton et. al, 1996]
CICATA Querétaro -IPN
8
Este tipo de plataformas es utilizado en aplicaciones donde se requiere alta
velocidad de posicionamiento ( )sin50 . El costo comercial de éste dispositivo no
fue posible conocerlo.
Es importante señalar que el uso de estas mesas, y prácticamente de todos los
dispositivos que se encuentran comercialmente, conlleva a realizar una inversión
considerable, del orden de $800 USD por unidad dependiendo del modelo. Por
un lado, cuando se busca un dispositivo con estas características por primera
vez, se descubre que la fabricación de estos instrumentos en México es escasa o
nula, esto habla de la necesidad de crear tecnología propia en el país. Por otra
parte, cuando ya se cuenta con un dispositivo y se busca adaptar un motor para
obtener una mejor resolución, cuando en principio no esta incluido, resulta al
final en un producto oneroso.
Al utilizar un MPP para cubrir los mismos tres grados de libertad que se
obtienen con las mesas lineales, se esta remplazando un mecanismo por tres.
Existen algunas características generales que hacen ventajoso a los MPP sobre
las mesas lineales.
- Capacidad elevada de carga. El sistema al trabajar en paralelo la disposición de
los actuadores hace que, al mover una determinada carga, el esfuerzo no recaiga
en un solo actuador y se reparta en todos por igual.
- Plataforma móvil. La carga esta soportada por una base ligera y resistente, de
manera que las condiciones de movimiento no se vean afectadas por un peso
extra.
- Alta aceleración. Cada actuador, al no tener que soportar el peso de los demás,
ejerce todo su par en acelerar la carga útil.
CICATA Querétaro -IPN
9
- Menor incertidumbre en el posicionamiento. Cada actuador es independiente
de los demás, así, a éste no se le suma el error de imprecisión que los otros
actuadores podrían tener. Logrando una forma menos complicada de obtener
alguna determinada posición.
- Elevada rigidez. La estructura de un mecanismo paralelo forma una cadena
cinemática cerrada entre la base fija y la móvil. La rigidez mejora o empeora
dependiendo la forma en la que son conectados los eslabones.
El uso de dispositivos de posicionamiento no es exclusivo de laboratorios
ópticos. El análisis de este trabajo y su futura aplicación se extendería a aquellas
áreas donde se demande posición y orientación en un plano.
1.6 Antecedentes
Los primeros trabajos teóricos relacionados con la estructura mecánica paralela
aparecieron cuando los primeros geómetras franceses e ingleses realizaron sus
estudios sobre los poliedros y sus aplicaciones [Aracil et al, 2006].
El primer mecanismo paralelo fue patentado en el año 1931 (US Patent No.
1789680). Se trataba de una plataforma de movimiento destinada a la industria
del entretenimiento (figura 1.7) diseñada por James E. Gwinnett [Aracil et al,
2006].
Figura 1. 7 Primer mecanismo espacial paralelo [Aracil et. al, 2006]
CICATA Querétaro -IPN
10
El primer diseño de robot industrial paralelo aparece en 1940 (US Patent No.
2286571). Era un ingenioso robot de 5 GdL (figura 1.8) creado por William L.
V. Pollard destinado a operaciones de pintura con spray. El robot consistía en
tres brazos de dos eslabones cada uno unidos mediante juntas universales
[Aracil et al, 2006].
Figura 1. 8 Primer robot industrial paralelo [Aracil et. al, 2006] Han sido otros mecanismos paralelos los que han logrado un mayor
reconocimiento general y han contribuido a la aparición de un mayor número de
publicaciones relacionadas con la robótica paralela. En 1947 el Dr. Gough
diseño un octaedro hexápodo con lados de longitud variable (figura 1.9) como
plataforma para la comprobación del comportamiento de los neumáticos de la
casa Dunlop bajo cargas aplicadas en diferentes ejes. De esta forma se intentaba
simular el proceso de aterrizaje de un avión [Aracil et al, 2006].
Figura 1. 9 Plataforma de Gough [Aracil et. al, 2006]
CICATA Querétaro -IPN
11
En 1965 Mr. Stewart presento un artículo en el que describía una plataforma de
movimiento de 6 GdL destinada a trabajar como simulador de vuelo. Este
trabajo se considera como uno de los primeros trabajos de análisis de
plataformas paralelas [Aracil et al, 2006].
Figura 1. 10 Plataforma de Stewart [Aracil et. al, 2006]. En 1967 el ingeniero Klaus Cappel realizaba en el Franklin Institute Research
Laboratory numerosas investigaciones con plataformas paralelas de 6 GdL. en
ese año Cappel patentaba un simulador de movimiento basado en un hexápodo
(figura 1.11) [Aracil et al, 2006].
Figura 1. 11 Simulador de movimiento de Klaus Cappel [Aracil et. al, 2006].
En 1978 Hunt sugirió que se usaran los mecanismos actuados de forma paralela
de los simuladores de vuelo, como robots manipuladores y destacó que los
mecanismos paralelos requerían de un estudio más detallado a la vista de las
CICATA Querétaro -IPN
12
ventajas en cuanto rigidez y precisión respecto a los robots serie convencionales
[Aracil et al, 2006].
En 1979 McCallion y Pham fueron los primeros que propusieron usar la
plataforma de Stewart como un mecanismo paralelo para una célula de
ensamblaje robotizada, fundamentalmente porque la posición de efector final es
mucho menos sensible a los errores que los sensores articulares de los robots en
serie [Aracil et al, 2006].
En la década de los 80’s algunas configuraciones fueron construidas y
controladas, numerosos trabajos se realizaron analizando la cinemática,
dinámica, el espacio de trabajo y el control. Se realizaron estudios preliminares
de varias configuraciones, y se compararon los meritos entre mecanismos
paralelos y seriales [Williams et. al, 1999].
Para 1985 se había examinado la solución cinemática de tres diferentes
mecanismos paralelos con 3GdL. En 1988 se estudiaron la dinámica y el espacio
de trabajo de los mecanismos paralelos. En 1996 se presento un estudio que
comprendía el análisis de posición, el espacio de trabajo y la velocidad
cinemática de un mecanismo paralelo [Williams et. al, 1999].
Trabajos con un enfoque más general fueron presentados en la década de los
90’s. Se realizó un estudio completo de los esquemas de actuación, las relaciones
de velocidad y las condiciones singulares de un mecanismo paralelo 3RPR. Así
como un algoritmo de computación paralela para la cinemática y dinámica de
mecanismos espaciales y planares. Se resolvió el problema de la posición
cinemática directa para una amplia clase de mecanismos paralelos planares. Y se
resolvió el problema de la posición inversa y de velocidad cinemáticas para esa
misma clase [Williams et. al, 1999].
CICATA Querétaro -IPN
13
Han sido desarrollados últimamente con diversas aplicaciones trabajos
relacionados con el diseño, construcción y control de MPP. En la Universidad
de Ohio USA se diseño un mecanismo paralelo 3RPR (figura1.12) para evaluar
el control de éste usando cilindros neumáticos de aire como juntas prismáticas
activas. A su vez, las juntas de revolución fueron todas pasivas. No se expresan
detalles acerca de la resolución alcanzada o alguna otra característica
relacionada con la precisión de su desplazamiento. Tampoco de obtienen
detalles del diseño.
Figura 1. 12 Mecanismo paralelo planar 3RPR [Williams et. al, 1999].
En el Instituto de Manufactura Tecnológica de Singapur se construyó un
mecanismo paralelo planar 3RRR (figura1.13) con el objetivo de desarrollar un
método geométrico para el análisis de configuraciones singulares con diferentes
esquemas de actuación. Otra vez, no se obtiene información acerca de la
precisión que puede alcanzar este diseño. Se puede visualizar en el trabajo que
su aplicación no tiene la finalidad de aportar este dato.
Figura 1. 13 Mecanismo paralelo planar 3RRR [Yang, 2002]
CICATA Querétaro -IPN
14
En el Instituto Tecnológico de Georgia USA, se construyó un prototipo 3RRR
(figura 1.14) con la finalidad de introducir a los estudiantes al estudio de los
mecanismos. Para la construcción de este manipulador se utilizó un equipo
especial de ensamble de robots. Aunque en este modelo añaden una luz
indicadora, en la plataforma movible, para seguir el curso de los cambios en
posición y orientación que ésta toma, no se habla de una resolución alcanzada en
el modelo. La aplicación de este prototipo es puramente didáctica.
Figura 1. 14 Prototipo didáctico del MPP 3RRR [Ebert, 2002].
Otro prototipo del mecanismo paralelo 3RRR con 3GdL (figura 1.15) fue
construido en conjunto por miembros de la IEEE con la finalidad de estudiar las
configuraciones singulares con un enfoque geométrico y, nuevamente, no se
obtienen detalles del diseño, ni aspectos relacionados con parámetros de
resolución o exactitud.
Figura 1. 15 Mecanismo paralelo planar con 3GdL [Liu et. al, 2003].
CICATA Querétaro -IPN
15
Un prototipo 3RRR desarrollado en el Instituto de Ciencia y Tecnología de
Kwangju fue diseñado como interfase de locomoción que puede simular la acción
de caminar natural y omnidireccionalmente (figura 1.16). No se expresa en el
trabajo nada relacionado con la resolución que puede alcanzar esta construcción.
Figura 1. 16 Mecanismo paralelo planar usado como interfase de locomoción para caminar omnidireccionalmente [Yoon, 2002].
El análisis de los mecanismos paralelos no es exclusivo de los países
industrializados. En México el interés por aportar conocimiento nuevo se ha
venido incrementado, específicamente en la Facultad de Ingeniería en la
Universidad Autónoma de Querétaro se han desarrollado trabajos relacionados
con mecanismos paralelos planares y espaciales de 3 y 6 GdL respectivamente.
En el 2002 se diseño y construyo una tarjeta de control de movimiento para un
robot paralelo Delta de 3 GdL.
En el 2003 se analizó el espacio de trabajo del mecanismo paralelo Delta de
3GdL con el fin de formalizarlo matemáticamente.
En el 2004 se propuso un trabajo que presenta dos formas de calibrar un MPP.
Una consiste en un algoritmo basado en la geometría inherente a la constitución
del MPP. La segunda forma fue a través del modelo cinemático directo (MCD).
Se requirieron cinco encoders para poder completar el MCD de tal forma que
CICATA Querétaro -IPN
16
tuviera una solución. Se le denomina auto calibración ya que toma los valores de
los encoders montados en las articulaciones rotatorias sin necesidad de otro
aparato para obtener datos para la calibración, puede hacerse a cada movimiento
del mecanismo.
Ese mismo año se desarrollo un controlador aplicado a motores CD mediante la
tarjeta PMAC para realizar la ejecución de tareas de posicionamiento de un
robot paralelo tipo Delta.
En este periodo de tiempo, del 2002 al 2007, se han construido algunos
mecanismos planares y espaciales como el 3RRR y el tipo Delta, entre otros, con
la finalidad de comprobar en la práctica los resultados teóricos obtenidos.
CICATA Querétaro -IPN
17
CICATA Querétaro -IPN
18
CAPITULO II
MARCO TEÓRICO
CICATA Querétaro -IPN
19
2.1 Introducción.
Tomando de referencia el ejemplo de aplicación descrito en el capitulo 1. La
necesidad de nivelar la posición y la orientación de los polarizadores respecto a
una dirección determinada en la técnica experimental de polarimetría, es un
problema que se puede resolver con la aplicación de un mecanismo paralelo que
ofrezca 3-GdL. Dado que la posición, que se debe cubrir, esta sujeta a un plano
( )yx, y la orientación esta sujeta a un ángulo ( )θ perpendicular a éste, el
mecanismo paralelo que se necesita es uno que se mueva en el plano (planar) y
que además permita cambiar la orientación de su plataforma móvil.
2.2 Arquitecturas en mecanismos paralelos de 3-GdL.
Los grados de libertad de un mecanismo son el numero de parámetros
independientes necesarios para especificar la configuración del mecanismo
completamente [Tsai, 1999]. Existe una notación que define la ecuación
conocida como criterio de Grübler o criterio de Kutzbach [Tsai, 1999].
( ) ∑+−−=i
ifjnF 1λ (2.1)
donde:
=F Grados de libertad del mecanismo
=λ Grados de libertad del espacio en cual se desea que el
mecanismo funcione.
=n Numero de eslabones, incluyendo la base fija.
=j Numero de juntas cinemáticas.
=f Grados de libertad permitidos por la junta cinemática i.
CICATA Querétaro -IPN
20
Para mecanismos planares paralelos se tiene:
( ) GdLxF
jj
n
i
3191983
;9
;8
;3
=+−−=
==
=
=λ
Es conocido que los mecanismos que ofrecen esta movilidad se caracterizan por
tener tres cadenas cinemáticas conectadas con dos juntas pasivas y una activa.
Existen 21 arquitecturas en mecanismos de 3-GdL en total (tabla 2.1) como
resultado de la combinación entre juntas prismáticas (P) y de revolución (R). Sin
embargo, tres de estas arquitecturas (marcadas con ∞) no producen 3-GdL ya
que resulta un mecanismo de un solo grado de libertad controlable. Además, hay
ocho pares de cadenas simétricas (marcadas con ≈), donde cada par resulta en
dos mecanismos paralelos cinemáticamente equivalentes [Bonev, 2002]. Por lo
tanto, tenemos diez arquitecturas para examinar. Al no interesar que junta es
activa o pasiva se eliminan las repeticiones y se reduce a siete el número de
cadenas conectadas en serie (figura 2.1).
RRR RPR RPP ∞ PRR PRP PPR RRP
RRR RPR RPP PRR PRP ∞ PPR ≈ RRP ≈
RRR ≈ RPR ≈ RPP ≈ PRR ≈ PRP ≈ PPR ∞ RRP ≈
Tabla 2. 1 Combinaciones posibles de MPP con juntas cinemáticas de revolución y prismáticas [Merlet, 1996]
La arquitectura con cadenas PPP no es usada y no se incluye en la tabla 2.1
porque solo dos juntas prismáticas en una cadena son independientes [Williams,
1997].
CICATA Querétaro -IPN
21
Figura 2. 1 Siete posibles combinaciones de cadenas conectadas en serie [Williams, 1997].
Estas mismas combinaciones se representan en la figura 2.2 usando tres cadenas
idénticas que conectan en paralelo la plataforma móvil a la fija.
Figura 2. 2 MPP básicos con cadenas cinemáticas idénticas [Bonev, 2002].
La arquitectura que se ha seleccionado es la de tipo 3RRR. Su principal
característica es que los actuadores están fijos a la base, no hace uso de juntas
prismáticas, permite el uso de motores impulsores económicos y reduce el peso
del equipo movible. Además, los eslabones pueden ser hechos de lámina delgada
conectados con rodamientos produciendo articulaciones, prácticamente, sin
ninguna limitante mecánica, maximizando considerablemente su espacio de
trabajo.
CICATA Querétaro -IPN
22
2.3 Cinemática del mecanismo paralelo 3RRR. Un MPP 3RRR consiste de una plataforma movible y una base fija, conectadas
por tres cadenas cinemáticas, y cada cadena tiene tres juntas cinemáticas de
revolución. La junta, de par inferior [Norton, 1992], de revolución permite un
grado de Libertad. Dos eslabones conectados con una junta de revolución
forman una junta de pasador rotatoria con cierre de forma, figura 2.3.
Figura 2. 3 Junta de pasador rotatoria de 1 GdL [Norton, 1992].
Este mecanismo es más propicio para el desarrollo de experimentos en
laboratorios y sirve muchas veces como modelo de introducción a los
mecanismos paralelos para estudiantes universitarios [Ebert, 2002]. Las
razones principales por las cuales se prefiere son porque éste es un mecanismo
planar, el cual es mucho más fácil de visualizar y analizar que un mecanismo
espacial, es práctico y fácil de construir.
Refiriéndose a la figura 2.4, el origen de un eje coordenado esta localizado en el
punto P. El eje x esta a lo largo de la dirección de PQ y el eje y es
perpendicular a PQ. Se asume que la plataforma movible ABC y la plataforma
fija PQR son triángulos rectángulos. Entonces; hACBCAB === y
cRPQRPQ === .
La localización de la plataforma movible puede ser especificada en términos de
la posición del punto A, y un ángulo de orientación, φ [Tsai, 1999].
CICATA Querétaro -IPN
23
Figura 2. 4 Esquema del MPP 3RRR
Después de formar 3 ecuaciones de lazo vectorial, para cada una de las cadenas
cinemáticas, sustituir y desarrollar en términos de las dimensiones de los
eslabones, de las coordenadas [ ]iAA yx θ,, con 3,2,1=i las ecuaciones
geométricas que se obtienen son: (el desarrollo se presenta en el apéndice A)
Cadena 1;
022 21
211111
22 =−+−−+ basaycaxyx AAAA θθ (2.2) Cadena 2;
02222222
22222
2222222222
2222
22
22222
=−++−−−−
−−++−++++−−+
θφθθφφθφθ
θφφ
shsasaycaxhsyhcxchcasay
caxhsyhcxbahyxyyxxyx
QQQQA
AAAQQQAQAAA
(2.3) Cadena 3;
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 0222
22222
2222
3333333
333333333
3323
23
22222
=+−++
++−+−+−−−
−++++−++++−−+
θφθθ
φφθφθθ
φφ
π
πππ
ππ
shsasaycax
hsyhcxchcasaycax
hsyhcxbahyxyyxxyx
RR
RRAA
AARRRARAAA
(2.4)
CICATA Querétaro -IPN
24
2.4 Análisis de posición.
2.4.1 Cinemática inversa. La cinemática inversa procura determinar los valores de las coordenadas
articulares [ ]321 , , θθθ , conocida la localización de la plataforma móvil [ ]φ, , yx .
Las ecuaciones 2.1, 2.2 y 2.3 se escriben en la forma
3,2,1con ;0321 ==++ iecese ii θθ (2.5)
Se resuelve cada una para iθ y se encuentran las ecuaciones articulares del
mecanismo. (El desarrollo se presenta en el apéndice B).
La ecuación general [Tsai, 1999] es:
−
−+±−= −
23
23
22
2111tan2ee
eeeeiθ ; 3,2,1=i
(2.6)
Existen dos soluciones para cada una de las iθ y por lo tanto dos
configuraciones para cada cadena.
Cuando la ecuación 2.4 produce una doble raíz, los eslabones ia y ib están en
una configuración completamente estirada o doblada, llamada configuración
singular [Tsai, 1999].
Cuando la misma ecuación no produce una raíz real, significa que la plataforma
móvil no puede alcanzar una localización específica.
En general hay un total de ocho posibles posturas del mecanismo,
cinemáticamente diferentes [Bonev, 2002], correspondientes a una localización
dada de la plataforma móvil.
CICATA Querétaro -IPN
25
2.4.2 Cinemática directa.
La cinemática directa permite determinar la localización de la plataforma móvil
[ ]φ , , yx , conocidas las coordenadas articulares [ ]321 , , θθθ .
Las ecuaciones 2.1, 2.2 y 2.3 se escriben en la forma:
(2.9) 0
(2.8) 0
(2.7) 0
33323122
23222122
13121122
=++++
=++++
=++++
eyexeyx
eyexeyx
eyexeyx
AAAA
AAAA
AAAA
Después de resolver para Ax y
Ay , (el desarrollo se presenta en el apéndice C)
resulta en un polinomio de cuarto orden en :cosy φφsen
0213212111
22
21 =++++ δδδδδδδ eee (2.10)
Al sustituir la identidad de la tangente de ángulo medio,
21
2
i
i
it
ts
+=θ ,
2
2
1
1
i
i
it
tc
+
−=θ donde;
2i
i tagtθ
= (2.11)
la ecuación 2.10 se convierte en un polinomio de octavo orden. Las raíces del
polinomio corresponden a cada una de las ocho posibles configuraciones del
mecanismo.
2.5 Configuraciones singulares.
Los mecanismos paralelos tienen, como ya se mencionó, varias ventajas sobre
otros manipuladores, tales como, alta proporción de carga-peso, alta precisión y
CICATA Querétaro -IPN
26
alta rigidez. Sin embargo, también tienen algunos inconvenientes, tales como,
estrecho espacio de trabajo, relativa complejidad cinemática y, lo más
importante, son susceptibles a presentar configuraciones singulares.
Una importante limitación de un mecanismo paralelo es que las configuraciones
singulares podrían existir dentro de su espacio de trabajo [Tsai, 1999]. En estas
configuraciones, cuando el mecanismo tiende a perder rigidez mientras gana
GdL extras, físicamente representa que la estructura no puede resistir o
balancear un tirón externo aplicado a la plataforma movible, por lo tanto puede
colapsar [Degani, 2006]. Cuando el mecanismo pierde GdL, físicamente
representa que no hay movimiento de salida en la plataforma móvil [Tsai,
1999].
El análisis de configuraciones singulares se realiza por medio de una matriz que
relaciona las velocidades de las coordenadas articulares y las del extremo del
mecanismo, que corresponden a las coordenadas de posición y orientación. Esta
matriz de transformación es conocida como la matriz Jacobiana J y para el
análisis en mecanismos de cadena cerrada se separa la matriz Jacobiana en dos
matrices; una asociada con la cinemática inversa y otra asociada con la
cinemática directa. (Dos métodos son explicados para encontrar la matriz
Jacobiana J en el apéndice D).
Las configuraciones que se pueden presentar en los mecanismos paralelos se
clasifican en tres tipos y se determinan de acuerdo a la relación existente entre
las velocidades de movimiento de las articulaciones y las del extremo de cada
cadena cinemática del mecanismo.
Singularidad tipo I.- singularidad cinemática inversa Existe singularidad inversa en el sistema: qJxJ qx && =
Cuando el determinante de Jq = 0;
CICATA Querétaro -IPN
27
Singularidad tipo II.- singularidad cinemática directa Existe singularidad directa en el sistema: qJxJ qx && =
Cuando el determinante de Jx = 0;
Singularidad tipo III.- singularidad combinada Existe singularidad combinada cuando se producen los dos casos anteriores
simultáneamente.
Se han desarrollado un par de teoremas que describen mejor las condiciones de
singularidad.
Teorema 1: Un mecanismo paralelo 3RRR está en una configuración de singularidad
inversa si y solo si una o más cadenas están extendidas completamente o dobladas de
regreso [Yang, 2002].
La figura 2.5 muestra un ejemplo de singularidad inversa típica, donde una de
las tres cadenas esta completamente extendida.
Figura 2. 5 Esquema de la singularidad inversa en un MPP 3RRR [Yang, 2002]. Teorema 2: Un mecanismo paralelo 3RRR esta en configuración de singularidad
directa si y solo si un único centro instantáneo existe para la plataforma móvil y la base
fija cuando todas las juntas activas están completamente bloqueadas [Yang, 2002].
CICATA Querétaro -IPN
28
La figura 2.6 muestra un ejemplo de singularidad directa. Para ejemplificar esta
configuración singular se cambió el mecanismo a un 3RR.
Figura 2. 6 Esquema de la singularidad directa en un MPP 3RR [Yang, 2002].
Se puede encontrar en la literatura otros títulos para las configuraciones
singulares, pero cualquiera de estas son iguales a las descritas arriba.
Singularidad Paralela. Se presenta una singularidad de este tipo cuando los
ejes 332211 y , CBCBCB , de acuerdo a la figura 2.7, se interceptan (posiblemente
en el infinito). En la presencia de tal configuración el mecanismo no puede
resistir ningún torque aplicado en el punto de intersección [Wenger, 2004].
Figura 2. 7 Esquema de la singularidad paralela en un MPP 3RRR [Wenger, 2004]. Singularidad Serial. Se presenta una singularidad de este tipo cuando
111 y , CBA , de acuerdo a la figura 2.8, son alineados [Wenger, 2004].
CICATA Querétaro -IPN
29
Figura 2. 8 Esquema de la singularidad serial en un MPP 3RRR [Wenger, 2004].
Singularidad Loci. No es suficiente con restringir el movimiento del
mecanismo en los límites del espacio de trabajo. Se debe considerar aquellas
condiciones donde el mecanismo alcanzaría una configuración singular en medio
de éste. Este tipo de configuración singular se conoce como configuración Loci y
se presenta cuando la plataforma móvil mantiene una orientación constante al
cruzar el espacio de trabajo [Bonev, 2002]. Esto provoca que en algún
momento se alineen uno de los lados de la plataforma móvil con uno de los
eslabones de alguna cadena cinemática.
2.6 Exactitud, Repetibilidad y Resolución. Los factores más importantes que afectan la calidad de una máquina o
mecanismo son la exactitud, la repetibilidad y la resolución de sus componentes, y
la manera en la cual estos están combinados [Slocum, 1992]. Estos términos
pueden ser representados con un diagrama de tiro al blanco como se muestra en
la figura 2.9.
Exactitud. Es el error máximo traslacional o rotacional entre dos puntos en el
espacio de trabajo del mecanismo [Slocum, 1992]. O en otras palabras, es la
distancia entre la posición real y la posición deseada. La exactitud depende de
parámetros como [Duysinx y Geradin, 2004]:
CICATA Querétaro -IPN
30
Flexibilidad estructural de miembros y articulaciones;
Carga;
Rozamiento en articulaciones;
Resolución de los sensores de posición y velocidad;
El origen del error de la exactitud es tanto la limitación de la resolución como
las dificultades de calibración, los desgastes, las deformaciones y los propios
errores de control [Ollero, 2001].
Figura 2.9 Definición de Exactitud, Repetibilidad y Resolución [Slocum, 1992].
Repetibilidad (precisión). Es el error entre un número de intentos sucesivos
para mover el mecanismo a la misma posición [Slocum, 1992]. Cuando el
mecanismo tiene la capacidad de volver a la misma posición a la que fue dirigido
en las mismas condiciones se habla entonces que éste tiene buena repetibilidad.
Debido a que de su misma definición la repetibilidad no está afectada por
ninguna causa sistemática de la inexactitud [Slocum, 1992], la cifra que indica
la repetibilidad es típicamente menor que la del error de exactitud. La falta de
repetibilidad se debe normalmente a problemas mecánicos en transmisiones,
rozamientos, histéresis, zonas muertas, etc. [Duysinx y Geradin, 2004]. Cuando
se trata de incrementar la repetibilidad de los movimientos de un mecanismo, la
exactitud es en general un factor restrictivo.
CICATA Querétaro -IPN
31
Resolución. Es el paso mecánico más pequeño que el mecanismo puede hacer
durante el movimiento de punto a punto [Slocum, 1992]. Es decir, es la menor
variación posible en el posicionamiento de la plataforma móvil.
La resolución viene dada por los sensores de posición empleados, los actuadores
y los componentes electrónicos [Duysinx y Geradin, 2004].
2.7 Actuadores. Un mecanismo puede ser operado manualmente, o por medio de un dispositivo
impulsor para generar un movimiento. A estos dispositivos que generan fuerzas
o pares necesarios para animar la estructura mecánica se le llama actuador
[Ollero, 2001]. A los más usados en robótica se les clasifica de acuerdo al
siguiente criterio [Duysinx y Geradin, 2004]:
- Al tipo de movimiento generado: Hoy en día, es posible usar actuadores
lineales, los cuales desarrollan una fuerza y generan un movimiento de
traslación en la misma dirección. Y actuadores de rotación, los cuales
desarrollan un par de torsión y generan un movimiento de rotación respecto al
eje de torque.
- A la naturaleza de la fuente primaria de energía. Se dispone de: Actuadores
neumáticos; cuyo origen de la energía es el aire comprimido. Actuadores
hidráulicos; que desarrollan su potencia del fluido hidráulico presurizado y, los
más comunes, actuadores eléctricos.
Entre los actuadores eléctricos:
- Motor a pasos,
- Motor de corriente directa (D. C.)
CICATA Querétaro -IPN
32
Entre los actuadores hidráulicos:
- Pistón lineal y rotatorio,
- Motor rotatorio con pistón axial,
Entre los actuadores neumáticos:
- Pistón lineal y rotatorio.
2.7.1 Motores a pasos
Un motor a pasos, se define como un conversor electromagnético incremental
que transforma pulsos eléctricos en movimientos angulares de un eje. Este
movimiento angular, se repite exactamente con cada pulso sucesivo que el
circuito de control inyecta al motor [Berti et. al, 2002].
Los motores a pasos poseen una elevada capacidad de posicionamiento. Esta
característica los hace ideales para sistemas que requieran un control exacto de
dirección, velocidad y posición de un movimiento [Berti et. al, 2002].
El promedio de la velocidad de rotación mN expresada en rpm, es igual a
n
fNm
60= (2.10)
donde:
- f es la frecuencia,
- n es el numero de pasos por revolución del motor (generalmente, de 200 a 400
pasos por revolución)
A diferencia de los servomotores, por lo general funcionan en lazo abierto, no
reciben retroalimentación en cuanto a sí el dispositivo de salida responde como
CICATA Querétaro -IPN
33
se solicitó. Por lo tanto, pueden desfasarse con el programa designado. Su
construcción interna consiste en varias tiras magnéticas dispuestas alrededor de
la circunferencia tanto del motor como del estator. Cuando se energiza, el rotor
se mueve un paso, al siguiente imán, por cada pulso recibido. Por lo tanto estos
son dispositivos de movimiento intermitente, y no proporcionan movimiento
rotatorio continuo como otros motores. El número de tiras magnéticas y el tipo
de controlador determinan su resolución. Un mando de micropasos puede
incrementar a 2000 o más el número de pasos por revolución. Son relativamente
pequeños y tienen una baja capacidad de par de torsión, pero un elevado par de
torsión de detención [Norton, 1992].
El único error que tiene un motor a pasos, es su propio error de paso que esta en
el orden de 5% aproximadamente. Este error no se acumula, no depende del
ángulo total girado ni del numero de veces que se repita la posición final [Berti
et. al, 2002].
Los motores a pasos pueden ser de tres diferentes tipos:
- De imanes permanentes,
- De reluctancia variable, e
- Híbridos.
Figura 2.10 Motor a pasos (200 p) unipolar [Reliance, 2006]
Una razón por qué ha conseguido tal popularidad, como un dispositivo de
posicionamiento, es su exactitud y repetibilidad. La exactitud del motor a pasos
esta principalmente en función de la precisión mecánica de sus partes y del
CICATA Querétaro -IPN
34
ensamblaje [Seale, 2003]. La figura 2.11 muestra una gráfica típica de la
exactitud de posición de un motor a pasos.
Figura 2. 11 Exactitud de posición de un motor a pasos [Seale, 2003].
Error de paso. Es el máximo o mínimo error de posición causado cuando el
motor ha rotado un paso desde la posición previa [Seale, 2003].
Error de paso = ángulo medido – ángulo teórico (2.11)
Error de posición. El motor avanza N veces desde una posición inicial
(N=360º/ángulo de paso) y el ángulo, desde esa posición, es medido por cada
paso. Si el ángulo desde la posición inicial a la posición N es NΘ y el error es
N∆Θ , donde
xNánguloNN )(−Θ=∆Θ . (2.12)
El error de posición es la diferencia del máximo y mínimo pero
usualmente expresado con un signo ± [Seale, 2003].
Error de posición = ( )mínmáx ∆Θ−∆Θ± 21 (2.13)
Error de histéresis. El valor obtenido desde la medida del error de posición en
ambas direcciones [Seale, 2003]. Es el error que resulta al ocurrir una
descompensación cuando se hace una comparación entre la variación de una
misma medida tanto a nivel descenderte como ascendente.
CICATA Querétaro -IPN
35
CICATA Querétaro -IPN
36
CAPITULO III
METODOLOGÍA
CICATA Querétaro -IPN
37
3.1 Introducción. El movimiento de los mecanismos paralelos puede ser restringido por tres
diferentes factores: existencia de limitaciones mecánicas sobre las juntas pasivas,
interferencia entre eslabones y limitaciones debido a los actuadores [Merlet,
2000]. El propósito es minimizar en lo posible estas restricciones y obtener un
diseño con una movilidad que cubra la mayor área posible. Para esto debemos
conocer, primero, el espacio de trabajo del mecanismo que estamos analizando,
seleccionar de las diferentes posturas aquella que presente el máximo espacio de
trabajo y, finalmente, calcular la resolución del mecanismo.
3.2 Espacio de trabajo del Mecanismo 3RRR.
Como ya se comentó en el capitulo I, la principal desventaja de un mecanismo
paralelo es su limitado espacio de trabajo comparado con manipuladores
seriales. Entendiendo este concepto como el conjunto de todas las posiciones y
orientaciones que la plataforma móvil puede alcanzar. Sin embargo, para la
aplicación que se busca cubrir con el mecanismo paralelo 3RRR esta desventaja
no se vuelve un problema en sí, la consideración más importante sería; del
espacio total que alcanza a cubrir la plataforma móvil, cual es la mínima
variación que puede presentar durante el movimiento de una posición a otra si
este es impulsado con actuadores eléctricos discretos.
Del análisis de la cinemática inversa, descrito en el capitulo II, se concluyó que
existe un total de ocho posibles posturas del mecanismo correspondientes a una
localización dada de la plataforma móvil. Para encontrar el espacio de trabajo
del mecanismo 3RRR se adoptaron las siguientes consideraciones:
- Las longitudes de los eslabones son iguales,
- Las plataformas fija y móvil suponen un triangulo equilátero.
CICATA Querétaro -IPN
38
- Las juntas activas, para cada cadena, son las que están conectadas a la
plataforma fija, las demás son pasivas (Se subraya la primer R por esta
razón).
La figura 3.1 muestra las ocho diferentes posturas que adopta el mecanismo
paralelo 3RRR.
(a) postura C-C-C
(b) postura C-A-C (c) postura C-C-A
(d) postura C-A-A (e) postura A-A-C (f) postura A-C-C
(g) postura A-A-A (h) postura A-C-A
Figura 3. 1 Las ocho posturas del MPP 3RRR.
Debajo de cada figura se especifica el tipo de postura que presenta cada cadena
para las ocho diferentes soluciones, cada letra representa el tipo de circuito que
CICATA Querétaro -IPN
39
forma cada cadena cinemática respectivamente, una letra A cuando el circuito es
abierto y una letra C cuando el circuito es cruzado.
Refiriéndose a la figura 2.4, la primera letra corresponde a la cadena 11ba , la
segunda letra corresponde a la cadena 22ba y la última letra corresponde a la
cadena 33ba . Se representa con un círculo la junta cinemática que une los
eslabones y a la plataforma móvil. El círculo sombreado representa la junta
activa, así como los círculos claros representan las juntas pasivas.
Realizando un código en MatLab que contenga las ecuaciones de lazo cerrado de
cada cadena cinemática del mecanismo paralelo y graficando los resultados se
obtiene el espacio de trabajo para cada postura.
La figura 3.2 muestra el espacio de trabajo que presenta el MPP 3RRR en la
postura C-C-C. El espacio de trabajo es el mismo independientemente de la
postura que se desee adoptar. Sin embargo, éste es un espacio de trabajo ideal
porque conforme la plataforma móvil se aproxima a los extremos, el mecanismo
es susceptible a presentar configuraciones singulares directas, y de ese modo la
plataforma móvil no alcanza a cubrir el espacio de trabajo en su totalidad.
Figura 3. 2 Espacio de trabajo ideal del MPP 3RRR.
CICATA Querétaro -IPN
40
Al incluir restricciones al código que genera el espacio de trabajo del MPP
3RRR, donde se podrían presentar configuraciones singulares, el espacio de
trabajo total que alcanza el mecanismo es el que se muestra sombreado para
cada postura en la figura 3.3.
(a) postura C-C-C
(b) postura C-A-C (c) postura C-C-A
(d) postura C-A-A
(e) postura A-A-C (f) postura A-C-C
(g) postura A-A-A (h) postura A-C-A
Figura 3. 3 Espacio de trabajo útil del MPP 3RRR para cada postura.
Se puede observar en la figura 3.3 que el espacio de trabajo útil que cubren los
diferentes modos de trabajo es similar. Sin embargo, es necesario analizar las
CICATA Querétaro -IPN
41
condiciones que pueden hacer que en la práctica el mecanismo alcance una
singularidad Loci (figura 3.4).
(a) postura C-C-C
(b) postura C-A-C (c) postura C-C-A
(d) postura C-A-A
(e) postura A-A-C (f) postura A-C-C
(g) postura A-A-A (h) postura A-C-A
Figura 3. 4 Espacio de trabajo útil del MPP 3RRR con las trayectorias Loci.
CICATA Querétaro -IPN
42
3.3 Postura C-C-C.
Los modos de trabajo del mecanismo paralelo 3RRR que presentan un mayor
espacio de trabajo útil y cuyas singularidades no interfieren al cruzar el espacio
de trabajo son las posturas C-C-C y A-A-A. Esto significa que las tres cadenas
cinemáticas están constituidas de circuitos cruzados o abiertos.
Se ha seleccionado la postura C-C-C para el análisis subsecuente. Para ello se
requiere conocer cual es la movilidad que puede alcanzar el mecanismo con la
postura propuesta. Esta movilidad la describen el desplazamiento y la
orientación máxima de la plataforma móvil.
(a) orientación máxima 105º (b) orientación mínima -40º
Figura 3. 5 Orientación del MPP 3RRR, postura C-C-C.
El máximo desplazamiento en la dirección vertical y/u horizontal desde un
extremo del espacio de trabajo al otro esta en función del tamaño del
mecanismo. La orientación máxima que puede alcanzar la plataforma móvil en el
centro del mecanismo, sin que se llegue a una posición de configuración inversa,
es de 105º respecto al eje horizontal x paralelo al lado horizontal de la
plataforma móvil (figura 3.3 (a)). La orientación mínima que puede alcanzar la
plataforma móvil, sin llegar a una posición en la que interfieran los eslabones, es
CICATA Querétaro -IPN
43
de -40º respecto al mismo eje horizontal x paralelo al lado horizontal de la
plataforma móvil (figura 3.3 (b)). El rango que puede alcanzar el mecanismo es
de 145º en total.
3.4 Resolución del MPP 3RRR. Los errores en la posición y orientación de los mecanismos paralelos son debido
a varios factores; Errores de manufactura, los cuales pueden ser tomados en
cuenta al calibrarlo; Errores de backlash, el cual puede ser eliminado a través de
una apropiada selección de los componentes mecánicos; Errores de conformidad,
el cual puede ser eliminado a través de estructuras más rígidas (aunque esto
aumentaría la inercia y reduciría la velocidad de operación); Errores de las juntas
activas, que vienen de la resolución finita de los encoders, de los errores de los
sensores y de los errores de control [Briot, 2007].
Para calcular la resolución del MPP 3RRR en la configuración C-C-C se
proponen dos métodos. El primero consiste en trazar punto por punto la
trayectoria que seguiría la plataforma móvil conocidas las coordenadas
articulares de acuerdo a los incrementos de ángulo que corresponden a cada
paso. El segundo método consiste en graficar todas las posibles combinaciones
de movimiento angular de las tres cadenas cinemáticas, generando una nube de
puntos que posteriormente se delimita para encontrar una trayectoria lo más
cercana a una línea recta.
Método uno
Siguiendo el primer método se ha posicionado a la plataforma móvil en algún
punto del área de trabajo, se ha seleccionado un punto cerca del centro
geométrico del mecanismo buscando trazar una línea recta horizontal de
distancia D desde un punto “o” hasta un punto “o’ ” (figura 3.6).
CICATA Querétaro -IPN
44
Lo siguiente es trazar la trayectoria que seguiría el mecanismo al simular que es
impulsado con motores a pasos de 1.8º por impulso. Para esto se hace uso de las
ecuaciones cinemáticas inversa y directa. Alimentando el código de la cinemática
inversa con el punto “o” de referencia se obtienen las coordenadas articulares
correspondientes a esa posición. Así, alimentando el código de la cinemática
directa con las coordenadas articulares calculadas y con incrementos de 1.8º
hasta cubrir la distancia D objetivo, se grafican los puntos encontrados (figura
3.7). A cada figura le acompaña una tabla donde se especifica la máxima
desviación respecto a la línea a trazar, la exactitud del último punto y el
coeficiente que indica que tan cerca de la recta se encuentran los puntos en
promedio.
Figura 3.6 Distancia horizontal D desde o hasta o’.
Se simula el trazo de la misma línea recta para incrementos de 0.9°, 0.45° y
0.225° las graficas se muestran en las figuras 3.8 a 3.10.
CICATA Querétaro -IPN
45
60 70 80 90 100 110 120
41.5
42.0
42.5
43.0
43.5
44.0y (mm)
x (mm)
trayectoria
distancia o-o'
o o'
dirección: (mm)
máxima desviación Y 1.52
Error relativo Y 3.5 %
exactitud
dif. Y 0.17
dif. X 0.01
coeficiente de variación Y 0.49
Figura 3.7 Gráfica de posición: 200 p/rev. (1.8º por impulso).
60 70 80 90 100 110 120
42.0
42.2
42.4
42.6
42.8
43.0
43.2
43.4
43.6
y (mm)
x (mm)
trayectoria
distancia o-o'
o
dirección: (mm)
máxima desviación Y 0.97
Error relativo Y 2.25 %
exactitud
dif. Y 0.31
dif. X 0.12
coeficiente de variación Y 0.32
Figura 3.8 Gráfica de posición: 400 p/rev. (0.9° por impulso).
60 70 80 90 100 110 120
40.5
41.0
41.5
42.0
42.5
43.0
43.5
y (mm)
x (mm)
trayectoria
distancia o-o'
o
dirección: (mm)
máxima desviación Y 2.15
Error relativo Y 5 %
exactitud
dif. Y 2.11
dif. X 0.03
coeficiente de variación Y 0.62
Figura 3.9 Gráfica de posición: 800 p/rev. (0.45° por impulso).
CICATA Querétaro -IPN
46
60 70 80 90 100 110 120
41.6
41.8
42.0
42.2
42.4
42.6
42.8
43.0
43.2y (mm)
x (mm)
trayectoria
distancia o-o'
o o'
dirección: (mm)
máxima desviación Y 1.31
Error relativo Y 3.04 %
exactitud
dif. Y 0.89
dif. X 0.02
coeficiente de variación Y 0.62
Figura 3.10 Gráfica de posición: 1600 p/rev. (0.225° por impulso). Ahora se ha posicionado la plataforma móvil en algún punto del área de trabajo,
se ha seleccionado un punto cerca del centro geométrico del mecanismo
buscando trazar una línea recta vertical de distancia D desde un punto “o” hasta
un punto “ô” (figura 3.11).
Figura 3.11 Distancia vertical D desde o hasta ô.
Al igual que en el caso anterior se traza la recta vertical para incrementos de
1.8°, 0.9°, 0.45° y 0.225° las graficas se muestran en las figuras 3.12 a 3.15.
CICATA Querétaro -IPN
47
64.6 64.8 65.0 65.2 65.4 65.6 65.8
40
45
50
55
60
65
70
75Y (mm)
X (mm)
trayectoria
distancia o-ô
o
ô
dirección: (mm)
máxima desviación X 0.71
Error relativo X 1.09 %
exactitud
dif. Y 0.63
dif. X 0.23
coeficiente de variación X 0.28
Figura 3.12 Gráfica de posición: 200 p/rev. (1.8° por impulso).
64.9 65.0 65.1 65.2 65.3 65.4 65.5 65.6
40
45
50
55
60
65
70
75
y (mm)
x (mm)
trayectoria
distancia o-ô
o
ô
dirección: (mm)
máxima desviación X 0.55
Error relativo X 0.84 %
exactitud
dif. Y 0.25
dif. X 0.13
coeficiente de variación X 0.23
Figura 3.13 Gráfica de posición: 400 p/rev. (0.9° por impulso).
65.0 65.2 65.4 65.6 65.8 66.0
40
45
50
55
60
65
70
75
y (mm)
x (mm)
trayectoria
distancia o-ô
o
ô
dirección: (mm)
máxima desviación X 0.86
Error relativo X 1.32 %
exactitud
dif. Y 1.95
dif. X 0.23
coeficiente de variación X 0.47
Figura 3.14 Gráfica de posición: 800 p/rev. (0.45° por impulso).
CICATA Querétaro -IPN
48
64.9 65.0 65.1 65.2 65.3 65.4
40
45
50
55
60
65
70
75y (mm)
x (mm)
trayectoria
distancia o-ô
o
ô
dirección: (mm)
máxima desviación X 0.40
Error relativo X 0.6 %
exactitud
dif. Y 0.16
dif. X 0.08
coeficiente de variación X 0.10
Figura 3.15 Gráfica de posición: 1600 p/rev. (0.225° por impulso). Para el primer caso (recta horizontal) y de acuerdo a los resultados obtenidos se
observa que la resolución en los casos donde se usan pasos completos y octavos
de paso, no existe mucha diferencia. A continuación se traza la misma recta
horizontal pero 25 mm arriba (figuras 3.16 y 3.17) y 25 mm debajo (figuras 3.18
y 3.19) de la recta original con el propósito de comparar los resultados.
40 50 60 70 80 90
66.5
67.0
67.5
68.0
68.5
69.0
69.5
y (mm)
x (mm)
trayectoria
distancia 0-0'
o o'
dirección: (mm)
máxima desviación Y 1.36
Error relativo Y 2 %
exactitud
dif. Y 0.78
dif. X 0.06
coeficiente de variación Y 0.60
Figura 3.16 Gráfica de posición: 200 p/rev. (1.8° por impulso) 25 mm arriba de la recta original.
CICATA Querétaro -IPN
49
40 50 60 70 80 90
67.6
67.7
67.8
67.9
68.0
68.1y (mm)
x (mm)
trayectoria
distancia o-o'
o o'
dirección: (mm)
máxima desviación Y 0.32
Error relativo Y 0.47 %
exactitud
dif. Y 0.06
dif. X 0.40
coeficiente de variación Y 0.10
Figura 3.17 Gráfica de posición: 1600 p/rev. (0.225° por impulso) 25 mm arriba de la recta original.
40 50 60 70 80 90
16.0
16.5
17.0
17.5
18.0
18.5
19.0
y (mm)
x (mm)
trayectoria
distancia o-o'
o o'
dirección: (mm)
máxima desviación Y 1.31
Error relativo Y 7.2 %
exactitud
dif. Y 0.55
dif. X 0.15
coeficiente de variación Y 0.51
Figura 3.18 Gráfica de posición: 200 p/rev. (1.8° por impulso) 25 mm debajo de la recta original.
40 50 60 70 80 90
17.0
17.2
17.4
17.6
17.8
18.0
18.2
y (mm)
x (mm)
trayectoria
distancia o-o'
o o'
dirección: (mm)
máxima desviación Y 0.99
5.5 %
exactitud
dif. Y 0.99
dif. X 0.56
coeficiente de variación Y 0.45
Figura 3.19 Gráfica de posición: 1600 p/rev. (0.225° por impulso) 25 mm debajo de la recta original.
CICATA Querétaro -IPN
50
Siguiendo este mismo método se trazaron tres circunferencias de diferente
diámetro con diferente número de pasos para saber si empleando micropasos es
posible obtener una mejor respuesta. Las figuras 3.20 a 3.22 muestran esto.
63.5 64.0 64.5 65.0 65.5 66.0 66.5 67.0 67.5 68.0
42.5
43.0
43.5
44.0
44.5
45.0
45.5
46.0
46.5
y (mm)
x (mm)
200 pasos/rev
400 "
800 "
1600 "
Figura 3.20 Circunferencia r = 1.5 mm.
55 60 65 70 75 80
40
45
50
55
60
65
y (mm)
x (mm)
200 pasos/rev
400 "
800 "
1600 "
Sing. directa
Sing. directa
Figura 3.21 Circunferencia r = 10 mm.
CICATA Querétaro -IPN
51
45 50 55 60 65 70 75 80 85 90
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
y (mm)
x (mm)
200 pasos/rev.
400 "
800 "
1600 "
Sing. directa Sing. directa
Sing. directa
Figura 3.22 Circunferencia r = 18 mm.
Método dos
Desarrollando el segundo método para calcular la resolución del MPP se ha
posicionado a la plataforma móvil en un punto inicial dentro del espacio de
trabajo, se alimenta el código de la cinemática inversa y directa con la distancia
que se quiere cubrir. Graficando los puntos que resultan de la combinación de
pasos por cada cadena cinemática desde el punto inicial al final se encuentra una
nube de puntos que rodean a la recta (color rojo) que se desea seguir (figura
3.23).
a) b)
Figura 3.23 a) Nube de puntos: 200p/rev. b) Acercamiento a la nube de puntos.
CICATA Querétaro -IPN
52
La nube de puntos es útil para conocer la preferencia en la orientación que los
puntos siguen, pero para encontrar la resolución es necesario seleccionar
aquellos puntos que se encuentran más cerca de la recta que se desea trazar.
Para ello, es necesario establecer un límite de confianza sobre una proporción
fija de puntos. En la práctica es difícil conocer la media poblacional µ y la
varianza 2σ , y más aun cuando el incremento es modificado para simular un
rango de pasos completos a micropasos. Aplicando;
ksx ± (3.1)
Donde la media muestral x y la desviación estándar s son desconocidas. x es
sustituida por el valor constante (yo) de la línea recta que se busca trazar y a
partir de esa referencia se mide la dispersión de los puntos. k se determina de tal
forma que se pueda, con una confianza de ( ) ( )05.0,01.0%1100 =− γγ asegurar
que los limites dados contienen al menos la proporción ( )99.0,95.0,90.01 α−
de la nube de puntos [Walpole, 1998]. Con una confianza del 99% y asegurando
que los limites contendrán el 95% de los puntos, se encuentra el siguiente
resultado (figura 3.24).
Figura 3.24 Dispersión de puntos aplicando limites de confianza.
Se seleccionan los puntos más cercanos a la línea recta (figura 3.25) y se mide la
resolución que alcanza (figura 3.26).
CICATA Querétaro -IPN
53
Figura 3.25 Puntos más cercanos a la línea recta.
22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54
42.96
42.97
42.98
42.99
43.00
43.01
43.02
43.03
y (mm)
x (mm)
trayectoria
linea recta
dirección: (mm)
máxima desviación Y 0.03
Error relativo Y 0.06 %
exactitud
dif. Y 0.98
dif. X 10.2
coeficiente de variación Y 0.016
Figura 3.26 Gráfica de posición: 200 p/rev. (1.8º por impulso). Las figuras 3.27 a 3.29 muestra el mismo principio para incrementos de 0.9, 0.45
y 0.225, respectivamente.
CICATA Querétaro -IPN
54
24 26 28 30 32 34 36 38 40 42
42.97
42.98
42.99
43.00
43.01
43.02
y (mm)
x (mm)
trayectoria
linea recta
dirección: (mm)
máxima desviación Y 0.02
Error relativo Y 0.04 %
exactitud
dif. Y 0.008
dif. X 2.11
coeficiente de variación Y 0.014
Figura 3.27 Grafica de posición: 400 p/rev. (0.9º por impulso).
CICATA Querétaro -IPN
55
24 26 28 30 32 34 36
42.980
42.985
42.990
42.995
43.000
43.005
43.010
43.015
y (mm)
x (mm)
trayectoria
linea recta
dirección: (mm)
máxima desviación Y 0.026
Error relativo Y 0.06 %
exactitud
dif. Y 0.98
dif. X 0.53
coeficiente de variación Y 0.009
Figura 3.28 Grafica de posición: 800 p/rev. (0.45º por impulso).
CICATA Querétaro -IPN
56
24 25 26 27 28 29 30 31 32 33
42.984
42.986
42.988
42.990
42.992
42.994
42.996
y (mm)
x (mm)
Trayectoria
linea recta
dirección: (mm)
máxima desviación Y 5.5 e-3
Error relativo Y 0.012 %
exactitud
dif. Y 0.001
dif. X 1.72
coeficiente de variación Y 0.003
Figura 3.29 Grafica de posición: 1600 p/rev. (0.225º por impulso).
Se hace un último ejercicio con 4800 pasos para comprobar que la tendencia de
su trayectoria hacia seguir o aproximar la línea recta es mejor. (Figura 3.30)
CICATA Querétaro -IPN
57
25.0 25.5 26.0 26.5 27.0
42.984
42.986
42.988
42.990
42.992
42.994
42.996
y (mm)
x (mm)
Trayectoria
Linea recta
dirección: (mm)
máxima desviación Y 5.7 e-3
Error relativo Y 0.01 %
exactitud
dif. Y 4.4 e-3
dif. X 0.14
coeficiente de variación Y 0.002
Figura 3.30 Grafica de posición: 4800 p/rev. (0.075º por impulso).
CICATA Querétaro -IPN
58
CICATA Querétaro -IPN
59
CAPITULO IV
DISEÑO DEL
MECANISMO
CICATA Querétaro -IPN
60
4.1 Introducción. Una vez analizado y seleccionado el mecanismo a utilizar, y de definir el tipo de
arquitectura y configuración a presentar, se definen las características físicas que
debe tener esté, tomando en cuenta el costo, eficiencia, facilidad de construcción
y de reparación. En el capitulo 1 se describió que un ejemplo de aplicación, para
el mecanismo que se analiza, es en la técnica de polarimetría que se lleva a cabo
en el laboratorio de óptica de la instalaciones de CICATA Querétaro. Aquí se
toma de referencia este ejemplo para definir el tamaño del mecanismo.
4.2 Consideraciones al diseño.
La consideración más importante fue el factor económico, tomando en cuenta el
valor comercial de las piezas que componen el mecanismo, si existen en el
mercado o si se tienen que fabricar. Lo más conveniente fue tratar de hacer el
diseño sobre la base de piezas y medidas ya estandarizadas, porque esto ayuda a
disminuir considerablemente el costo.
Generalmente las mesas donde se realizan las prácticas de polarimetría no son
muy grandes. El área que ocupan es de aproximadamente 23m , donde debe
montarse parte del equipo (otra parte puede acomodarse en otra mesa; como el
amplificador, la computadora…), que cubre el %75 de la mesa. La separación
que existe entre un instrumento deja un espacio rectangular de cmx2520
aproximadamente, esta separación no es estándar, cada laboratorista ordena los
instrumentos a su conveniencia. Así, se considero un dispositivo relativamente
pequeño que no rebasará un área de 2500 cm .
La dimensión total del mecanismo depende, en gran medida, del tamaño de los
eslabones. Se propuso un tamaño de eslabones de mm54 (distancia entre
CICATA Querétaro -IPN
61
centros) que alcanzará a cubrir un rango deseado de mm100 de carrera vertical
y horizontalmente.
4.3 Diseño conceptual
El objetivo es expresar un conjunto organizado de funciones de diseño, que
servirá de base para el diseño de detalle.
Este trabajo se concentra en analizar más que sintetizar al mecanismo paralelo
3RRR. Este ya existe y ha sido estudiado, como muchos otros mecanismos, por
varios investigadores. La propuesta es tomar lo que ya se ha hecho y utilizarlo
en beneficio. El diseño conceptual esta resuelto, se conoce la idea general, la
aplicación y la forma general del dispositivo. Habrá que ocuparse del tamaño y
de los materiales en la siguiente fase.
El diseño conceptual es mostrado en la figura 4.1. Un par de eslabones
conectados con rodamientos forman una cadena cinemática y estas a su vez
están conectadas de igual forma a un motor a pasos en un extremo, en el otro
extremo se encuentran conectadas a la plataforma móvil. Cada motor hace girar
una cadena incitando que la plataforma móvil se desplace por el centro del
mecanismo. La plataforma móvil tiene en el centro agujeros con rosca para
asegurarlos a las bases de los polarizadores o cualquier dispositivo que vaya
montado en este. Las dimensiones del diseño conceptual son:
Longitud 200 mm. Ancho 250 mm Altura 105 mm
CICATA Querétaro -IPN
62
Vista isométrica
Vista superior
Figura 4. 1 Diseño conceptual del MPP 3RRR.
4.4 Diseño de detalle
El objetivo es obtener un conjunto de dibujos, esquemas o croquis que se
derivan del diseño conceptual, que da lugar a las especificaciones, cálculos,
planos, modelos o prototipos, para hacer posible la transformación de lo que en
un inicio era una idea.
CICATA Querétaro -IPN
63
El proceso de diseño consiste en separar los componentes que se consiguen en el
mercado y los que se habrán de diseñar. Si se toma de referencia el tamaño de
aquellos que se pueden comprar es más fácil definir el tamaño de aquellos que se
diseñaran. El reto en este diseño consiste en definir como irán conectados los
eslabones entre si, al motor y a la plataforma móvil, y elegir el material del que
estarán hechos para que ofrezcan una rigidez alta.
Los componentes disponibles en el mercado son:
- Motores a pasos,
- Rodamientos, y
- Tornillos y tuercas.
Los componentes que habrá que diseñar son:
- Unión, (componente que une el eslabón con el eje del motor)
- Pernos, (para fijar los eslabones entre si y a la plataforma móvil)
- Eslabones,
- Plataforma móvil, y
- Plataforma fija.
4.4.1 Materiales
El concepto radica en ofrecer un mecanismo ligero, estable y fácil de maniobrar.
El %90 del peso total recae en los eslabones y en la plataforma móvil. Así que
de los materiales que se pueden ocupar para la fabricación de estos componentes
es elegido el aluminio.
El aluminio ofrece muchas ventajas sobre otros materiales. Es ligero, con una
densidad de un tercio de la del acero, 32700m
Kg . Es fácil de mecanizar, se pueden
utilizar equipos comunes como las sierras y perforadoras. Brinda una excelente
CICATA Querétaro -IPN
64
protección contra la corrosión aun en ambientes corrosivos, una fina capa de
óxido se forma en contacto con el aire. Es un excelente reflector de la luz y del
calor.
Adicionalmente se han elegido bujes de bronce como puntos de apoyo entre el
rodamiento y el perno donde se acoplan los eslabones entre si o a la plataforma
móvil, permitiendo un suave deslizamiento entre estos y reduciendo la fricción.
El bronce es resistente al desgate y a la compresión.
La unión y el perno no están propensos a soportar cargas elevadas, pueden
fabricarse de acero comercial AISI 1018.
4.4.2 Planos
En los planos se detallan cada una de las piezas que formarán parte del
mecanismo, con las características dimensionales y físicas como son el tipo de
materiales a emplear para su manufactura y los recubrimientos o tratamientos
superficiales. Los planos que se incluyen en este trabajo definen los
componentes de los que esta constituido el mecanismo. En total se generaron 9
planos para el diseño mecánico del mecanismo, en estos aparece la información
necesaria para su manufactura, así como las especificaciones de acabado de las
piezas. (ver apéndice E)
CICATA Querétaro -IPN
65
CICATA Querétaro -IPN
66
CAPITULO V
ANÁLISIS DE
RESULTADOS
CICATA Querétaro -IPN
67
Método uno
Recta horizontal
No. de Pasos Coeficiente de
variación Error relativo %
200 0.49 3.5
400 0.32 2.25
800 0.62 5
1600 0.62 3.04
Tabla 5. 1 Resumen del coeficiente de variación y error de aproximación: recta horizontal.
Al simular la recta en la dirección horizontal trazando punto por punto se
encontró que conforme se avanza en la dirección de la recta la variación en la
dirección perpendicular a ésta se incrementa. Conforme se incrementa el
numero de pasos esta variación es visiblemente más pronunciada. El error de
aproximación no disminuye al usar micropasos.
La exactitud mejora con octavos de paso, mµ20 en la dirección de la recta que
se busca trazar, pero no mejora en la dirección perpendicular, mµ900 .
Recta vertical
No. de pasos Coeficiente de
variación Error relativo %
200 0.28 1.09
400 0.23 0.84
800 0.47 1.32
1600 0.10 0.6
Tabla 5. 2 Resumen del coeficiente de variación y error de aproximación: recta vertical.
CICATA Querétaro -IPN
68
Al simular la recta en la dirección vertical trazando punto por punto se encontró
que conforme se avanza en la dirección de la recta la variación en la dirección
perpendicular a ésta disminuye cuando se emplean 1600 pasos/rev. El error de
aproximación disminuye al usar micropasos aunque no de forma contundente.
La exactitud mejora con octavos de paso, mµ80 en la dirección de la recta que
se busca trazar, y en la dirección perpendicular, mµ160 .
Recta horizontal desfasada verticalmente +25 mm
No. de Pasos Coeficiente de
variación Error relativo %
200 0.60 2
1600 0.10 0.47
Tabla 5. 3 Resumen del coeficiente de variación y error de aproximación: recta horizontal 25 mm arriba de la original.
Recta horizontal desfasada verticalmente -25 mm
No. de Pasos Coeficiente de
variación Error relativo %
200 0.51 7.2
1600 0.45 5.5
Tabla 5. 4 Resumen del coeficiente de variación y error de aproximación: recta horizontal 25 mm debajo de la original.
Al simular la recta en la dirección horizontal trazando punto por punto y
desfasada verticalmente 25 mm arriba y 25 mm abajo de la original, se encontró
que conforme se avanza en la dirección de la recta la variación en la dirección
perpendicular a ésta disminuye. Conforme se incrementa el número de pasos
esta variación es menor aunque no en la misma proporción. El error de
aproximación disminuye al usar micropasos pero, de igual forma, no en la
misma proporción.
CICATA Querétaro -IPN
69
Método dos
Recta horizontal
No. de Pasos Coeficiente de
variación Error relativo %
200 0.016 0.06
400 0.014 0.04
800 0.009 0.06
1600 0.003 0.012
4800 0.002 0.01
Tabla 5. 5 Resumen del coeficiente de variación y error de aproximación: recta horizontal.
Al seleccionar aquellos puntos que se encuentran más cercanos a la recta de una
nube de puntos, se encontró que la variación en la dirección perpendicular a la
recta es menor. Esta variación y el error de aproximación decrecen cuando se
emplean micropasos.
La exactitud no es buena para las dos direcciones, aplicando este método, y
mejora hasta que se emplean 4800 pasos/rev obteniendo mµ4.4 en la dirección
horizontal y mµ140 en la dirección vertical.
En la figura 5.1 se puede apreciar en conjunto los puntos que se generaron
empleando micropasos y corroborar que conforme se incrementa el numero de
pasos los puntos se aproximan más a la línea recta.
CICATA Querétaro -IPN
70
24 25 26 27 28 29 30 31 32 33
42.97
42.98
42.99
43.00
43.01
43.02
200 pasos/rev.
400 "
800 "
1600 "
4800 "
Línea recta
y (mm)
x (mm)
Figura 5. 1 Grafica de posición: conjunto de puntos generados empleando micropasos.
Al seguir la trayectoria que generan los puntos al emplear 200 y 4800
pasos/rev, figuras 3.26 y 3.29 respectivamente, trazando una circunferencia de
0.5 mm de diámetro, con la finalidad de comparar la variación que muestra cada
gráfica simulando que la trayectoria es marcada con una puntilla de lápiz (figura
5.2).
a) b) Figura 5. 2 Trayectoria seguida con una puntilla de 0.5 mm de diámetro con a) 200 pasos/rev. b)
4800 pasos/rev.
CICATA Querétaro -IPN
71
A simple vista no se perciben cambios importantes en la segunda gráfica,
entonces, es factible trazar líneas rectas, la variación con determinado numero
de pasos es tal que se pierde a simple vista. Desde luego, dependiendo la
aplicación que se busque esto puede o no afectar.
De las figuras obtenidas por éste segundo método se aprecia que los puntos
graficados van adquiriendo una orientación con una cierta preferencia y esta es
más nítida conforme se incrementa el número de pasos. El ángulo que forma
respecto al eje de referencia xy es de 68°.
Figura 5. 3 Ángulo que forman los puntos en una dirección preferente respecto a la línea recta.
CICATA Querétaro -IPN
72
CICATA Querétaro -IPN
73
CONCLUSIONES
CICATA Querétaro -IPN
74
En este trabajo se ha diseñado un mecanismo paralelo planar de tres grados de
libertad. El MPP es del tipo 3RRR, tiene tres cadenas cinemáticas conectadas
cada una con juntas de revolución. Solo una junta cinemática es activa y las
demás son pasivas. El análisis cinemático inverso y directo fue realizado
siguiendo la notación de Tsai. Con éste análisis se encontró el espacio de trabajo
del mecanismo y se examinaron las singularidades Loci que presenta cada una
de las ocho posturas del mecanismo. Las posturas que son menos susceptibles a
presentar singularidades que afecten su funcionamiento son las que están
conformadas por cadenas en circuito cruzado (C-C-C) o abierto (A-A-A), ya que
éstas se presentan en los límites del espacio de trabajo útil.
Para continuar con la simulación se seleccionó la postura C-C-C. El rango de
movilidad que puede alcanzar el mecanismo es de 100 mm de carrera en las
direcciones xy a partir del centro del espacio de trabajo y una orientación de
145° medido a partir de un eje paralelo a la plataforma fija.
La simulación de movimiento del mecanismo fue realizado en código MatLab
suponiendo que éste es impulsado con motores a pasos. El número de pasos
empleado fue desde pasos gruesos 200 pasos/rev. hasta micropasos, 400, 800,
1600 y 4800 pasos/rev.
Se propusieron dos métodos con la finalidad de encontrar la variación
(resolución, exactitud) del mecanismo. El primero trazando punto a punto la
trayectoria que seguiría la plataforma móvil conocidas las coordenadas
articulares de acuerdo a los incrementos de ángulo que corresponden a cada
paso. El segundo método consiste en graficar todas las posibles combinaciones
de movimiento angular de las tres cadenas cinemáticas, generando una nube de
puntos que posteriormente se delimita para encontrar una trayectoria lo más
cercana a una línea recta.
CICATA Querétaro -IPN
75
En ambos método se midió la máxima variación que existe en la dirección
perpendicular a la línea trazada, su error relativo y la exactitud. El promedio de
variación entre cada punto seleccionado respecto a línea recta que se busca
trazar fue expresado con un coeficiente de variación.
Los resultados con el primer método no son alentadores, conforme se grafica el
comportamiento que se encuentra al trazar punto a punto, la trayectoria se va
alejando de la línea recta que se busca trazar, ya sea ésta horizontal o vertical. El
error de aproximación no cambia notablemente y parece que no existe una
diferencia clara entre emplear micropasos o no hacerlo. Lo máxima que alcanza
a disminuir en promedio empleando 1600 pasos/rev son 100 micrómetros. El
comportamiento cambia dependiendo de donde se busque trazar la línea recta.
En cualquier caso la variación se reduce al incrementar el número de pasos. Este
hecho se comprueba al trazar circunferencias.
Se trazaron tres circunferencias, de diferente diámetro, con diferente número de
pasos y en todas ellas se percibe que al reducir los pasos la grafica tiene una
mejor aproximación a una circunferencia. Las singularidades directas que se
encontraron en las circunferencias son debido a dos posibles razones; una
porque se graficó muy cerca del limite del espacio de trabajo útil, otra razón es
por la combinación de pasos que resultan del movimiento de los motores.
El segundo método expresa mejor los resultados que se esperaba alcanzar. Al
incrementar el número de pasos el error de aproximación disminuye
notablemente. Llegando a alcanzar una variación en promedio de 3 micrómetros
con 1600 pasos/rev. Esto significa que la resolución de este mecanismo es mejor
comparada con las mesas xy manuales.
Se tiene la expectativa de poder superar con este mecanismo la resolución de las
mesas de coordenadas que tienen un motor CD adaptado. Un primer
acercamiento a esta posibilidad la representa el resultado de la variación cuando
CICATA Querétaro -IPN
76
se emplean 4800 pasos/rev, alcanzado en promedio 2 micrómetros de variación.
Sin embargo, se deben considerar los requerimientos de software que representa
emplear 4800 o más pasos por revolución. También hay que señalar que para
una persona con experiencia en control no representa mayor reto controlar este
tipo de motores.
De la nube de puntos se observan ciertos patrones que se forman en función de
la disminución de los incrementos de paso. A menor número de paso el patrón
es más nítido. En este patrón se alinean puntos con una preferencia que no
coincide con la dirección de la recta que se intento trazar. El ángulo que forman
los puntos alineados con la recta de referencia es de 68°. Mientras mayor es la
distancia que se quiere cubrir mayor es el número de puntos que se grafican y
los puntos toman la orientación de la frontera del espacio de trabajo dejando de
parecer una línea recta y más parecida a una curva. Sin embargo, para distancias
cortas la orientación que los puntos toman es más aproximada a la de una recta.
Esto significa que se pueden trazar líneas rectas con solo girar 68° el
mecanismo.
Con el análisis anterior se diseño el mecanismo y se incluyen los dibujos de
detalle en un apéndice. Como última etapa, esta en proceso la construcción del
mecanismo.
CICATA Querétaro -IPN
77
CICATA Querétaro -IPN
78
RECOMENDACIONES
CICATA Querétaro -IPN
79
Se sugiere si se llega a utilizar el código, o parte de este, generado en Matlab
R2007a que se presenta en el apéndice F, se trate de optimizar. Cuando se corre
el programa especificando una distancia considerablemente larga con un numero
de pasos muy grande, éste se tarda mucho tiempo en presentar una solución. En
cierto sentido es razonable el tiempo que tarda en procesar los datos ya que el
programa calcula todas las combinaciones de pasos que tienen las tres cadenas
cinemáticas, para la trayectoria que se busca trazar y calcula para cada punto
seleccionado las coordenadas articulares respectivas.
Entonces la sugerencia va más enfocada hacia utilizar otro tipo de programa que
sea más rápido que MatLab o usar una computadora lo suficientemente rápida.
CICATA Querétaro -IPN
80
CICATA Querétaro -IPN
81
APÉNDICES
CICATA Querétaro -IPN
82
A. Geometría del mecanismo Siguiendo la notación de Tsai, se descompone en tres cadenas el mecanismo
planar 3RRR y se forman para cada una, una ecuación de lazo vectorial.
Después de que la plataforma móvil es especificada en términos del punto A y
el ángulo de orientaciónφ , las coordenadas del punto B y C pueden ser
escritas en términos del punto A y φ .
Punto B
φ
φ
hsyy
hcxx
AB
AB
+=
+= (A.1)
Punto C
( )( )3
3
π
π
φ
φ
++=
++=
hsyy
hcxx
AC
AC
(A.2)
Punto A
De la figura A.1 se puede escribir, para la cadena 1, la ecuación;
DAPDOPOA ++= (A.3)
La ecuación A.3 se puede escribir;
)(
)(
11111
11111
αθθ
αθθ
+++=
+++=
sbsayy
cbcaxx
PA
PA
(A.4)
Con 0== pp yx ; ya que coinciden con el origen de xy .
)(
)(
11111
11111
αθθ
αθθ
+=−
+=−
sbsay
cbcax
A
A
(A.5)
CICATA Querétaro -IPN
83
Figura A. 1 Esquema de la primera cadena cinemática
Eliminando ( )11 αθ + se encuentra una expresión en términos de las
dimensiones de los eslabones, de las coordenadas [ ]1 ,, θAA YX , para la cadena 1.
022 21
211111
22 =−+−−+ basaycaxyx AAAA θθ (A.6)
Para la cadena 2 se hace referencia a la figura A.2 y se sigue el mismo
procedimiento.
QEQBEABAO +++=2 (A.7)
Figura A. 2 Esquema de la segunda cadena cinemática
CICATA Querétaro -IPN
84
Se obtiene;
022
222222
2222
2222
22222222
22
22
22222
=−+
++−−−−−
−++−++++−−+
θφθ
θφφθφθθ
φφ
shsasay
caxhsyhcxchcasaycax
hsyhcxbahyxyyxxyx
Q
QQQAA
AAQQQAQAAA
(A.8)
Para la cadena 3 y de la figura A.3 se tiene;
Figura A. 3 Esquema de la tercera cadena cinemática
RFRCFACAO +++=3 (A.9)
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 02222
22222
222
33333333
333333333
323
23
22222
=+−+++−
−+−+−−−++
+++−++++−−+
θφθθφ
φθφθθφ
φ
ππ
πππ
π
shsasaycaxhsy
hcxchcasaycaxhsy
hcxbahyxyyxxyx
RRR
RAAA
ARRRARAAA
(A.10)
CICATA Querétaro -IPN
85
B. Cinemática inversa
Se escribe la ecuación 2.1 de la forma
031211 =++ ecese θθ (B.1) Con;
2222
3
12
11
2
2
AAAA
A
A
bayxe
axe
aye
−++=
−=
−=
(B.2) Usando identidades trigonométricas;
2
2
2 1
1y
1
2
i
ii
i
ii
t
tc
t
ts
+−
=+
= θθ ; 2
tan iit
θ= (B.3)
y sustituyendo en B.1;
01
1
1
232
2
221 =+
+−
+
+e
t
te
t
te
i
i
i
i (B.4)
se resuelve para 1θ ;
−
−+±−= −
23
23
22
2111
1 tan2ee
eeeeθ (B.5)
La ecuación 2.2 se escribe como;
062524 =++ ecese θθ (B.6) Con;
φφφ
θθφθ
θφθθ
hcxhsyhcxbahxxxyxe
caxchcacaxe
shsasaysaye
QAAQQAAA
QA
QA
2222
222
222
22
22
22226
2222225
2222224
−++−+++−+=
+−−=
−+−=
(B.7)
CICATA Querétaro -IPN
86
Resolviendo para 2θ ;
−
−+±−= −
56
26
25
2441
2 tan2ee
eeeeθ (B.8)
De igual forma, la ecuación 2.3 se escribe como;
092827 =++ ecese θθ (B.9) Con;
( )( )
( )( ) ( ) ( )323232
3222
2322
3222
23
23
222229
3333338
3333337
πφπφπφ
πφ
θθπφθ
θπφθθ
+−+−++
+++−++++−−+=
++−−=
+−+−=
hsyhcxhsy
hcxbahyxyyxxyxe
caxchcacaxe
shsasaysaye
RRA
ARRRARAAA
RA
RA
(B.10) Resolviendo para 3θ ;
−
−+±−= −
89
29
28
2771
3 tan2ee
eeeeθ (B.11)
Con las ecuaciones B.5, B.8 y B.11 tenemos resueltas .y , 321 θθθ
CICATA Querétaro -IPN
87
C. Cinemática directa
Continuando con la notación de Tsai, se escriben las ecuaciones 2.1, 2.2 y 2.3 en
la forma:
(C.3) 0
(C.2) 0
(C.1) 0
33323122
23222122
13121122
=++++
=++++
=++++
eyexeyx
eyexeyx
eyexeyx
AAAA
AAAA
AAAA
Donde;
.223
23
2
32
32
,23
22
,23
22
,22
2222
,222
,222
,
,2
,2
3333
333323
23
22233
3332
3331
2222
222222
22
22223
2222
2221
21
2113
1112
1111
θθπ
φπ
φ
θπ
φθπ
φ
θπ
φ
θπ
φ
θθ
φφθφθφ
θφ
θφ
θ
θ
saycaxhsyhcx
shsachcabahyxe
sahsye
cahcxe
saycax
hsyhcxshsachcabahyxe
sahsye
cahcxe
bae
sae
cae
RRRR
RR
R
R
QQQQ
Q
Q
++
+−
+−
+−
+−−+++=
−
++−=
−
++−=
++
−−−−−+++=
−+−=
−+−=
−=
−=
−=
Las ecuaciones 3.2.,1. CyCC son no lineales y contienen tres variables
desconocidas, .y , φAA yx Este sistema de ecuaciones puede ser simplificado al
sustraer la ecuación 2.C de 1.C :
CICATA Querétaro -IPN
88
0'13
'12
'11 =++ eyexe AA
(C.4)
Al sustraer la ecuación C.3 de C.1;
0'23
'22
'21 =++ eyexe AA
(C.5)
Donde;
,
,
,
,
,
,
3313'23
3212'22
3111'21
2313'13
2212'12
2111'11
eee
eee
eee
eee
eee
eee
−=
−=
−=
−=
−=
−=
Las ecuaciones C.1, C.4 y C.5 forman un nuevo sistema de ecuaciones. Se
resuelve C.4 y C.5 para AA yx y y entonces se sustituye el resultado en C.1. Esto
resulta en un polinomio de cuarto grado en :cosy φφsen
0213212111
22
21 =++++ δδδδδδδ eee (C.6)
Donde;
'23
'11
'21
'132
'22
'13
'23
'121
'21
'12
'22
'11
eeee
eeee
eeee
−=
−=
−=
δ
δ
δ
Al sustituir la identidad de tangente de ángulo medio el polinomio se convierte
en uno de octavo grado.
21
2
i
i
it
ts
+=θ ,
2
2
1
1
i
i
it
tc
+
−=θ donde;
2i
i tagtθ
= (C.7)
CICATA Querétaro -IPN
89
La expresión final es tan grande que se tendría que ocupar varias páginas para
escribirla. Lo importante es que la expresión está en función de una sola variable
desconocida, φ . La expresión general del polinomio es:
(C.8)
Cada constante C esta en términos de parámetros geométricos y cada variable T
representa una raíz del polinomio. El resultado son 8 raíces que representan las
posibles soluciones de los 8 modos de trabajo de la plataforma móvil. Al
seleccionar un modo de trabajo se reduce a dos el número de soluciones.
n
n
n
n TcTcTcTc ++++= −−
11
11
00 ...0 8=n
CICATA Querétaro -IPN
90
D. Análisis Jacobiano D.1 Forma vectorial
El modelado cinemático de un mecanismo paralelo busca las relaciones entre las
variables articulares y la posición y orientación del acoplador, en las que no se
tiene en cuenta las fuerzas que actúan sobre el mecanismo y que permiten
originar el movimiento del mismo. Lo que si se debe tener en cuenta es la
relación entre las coordenadas articulares y sus respectivas derivadas; de esta
forma el sistema de control del mecanismo establece las velocidades que debe
imprimir a cada articulación. La matriz Jacobiana establece esta relación
[Ollero, 2001].
La matriz Jacobiana directa permite conocer la velocidad del eslabón acoplador
a partir de los valores de las velocidades de cada articulación.
La matriz Jacobiana inversa permite conocer las velocidades articulares a partir
de una determinada velocidad del eslabón acoplador.
Tomando de referencia la figura D.1 se escribe una ecuación de lazo vectorial
para cada cadena. Para la primera se tiene;
Figura D. 1 Esquema para el lazo vectorial de la primera cadena cinemática.
CICATA Querétaro -IPN
91
DAPDGAPG +=+
111111 )( baerpg αθθφ ++=+ (D.1)
Como;
gpg rr = (D.2)
Derivando con respecto al tiempo la ecuación D.1 se tiene;
))(()()( 111111 bkakekv xg ×++×=+ αθθφ &&&& (D.3)
Para eliminar 1a , que representa una variable pasiva, se multiplica la ecuación
10 por 1b como un producto punto [Beer, 2004];
)()()()( 1111111111 bbkbakbekvb g ×⋅++×⋅=×⋅+⋅ αθθφ &&&& (D.4)
Como 011 =×bb
)()( 111111 bakbekvb g ×⋅=×⋅+⋅ θφ && (D.5)
Reacomodando;
0)()( 111111 =×⋅−×⋅+⋅ bakbekvb g θφ && (D.6)
Resolviendo el producto escalar y vectorial;
0)()( 11111111111 =−−−++ xyyxxyyxgyygxx bababebevbvb θφ && (D.7)
Escribiendo la ecuación 2.13 en forma matricial;
)()( 11111111111 xyyxxyyxgyygxx bababebevbvb −=−++ θφ && (D.8)
[ ] [ ]11111111111 ][ θφ
&
&
xyyxgy
gx
xyyxyx babav
v
bebebb −=
− (D.9)
CICATA Querétaro -IPN
92
El desarrollo para las otras dos cadenas es similar, agregando éstas al arreglo
matricial quedaría;
−
−
−
=
−
−
−
3
2
1
3333
2222
1111
333333
222222
111111
00
00
00
θθθ
φ &
&
&
&xyyx
xyyx
xyyx
gy
gx
xyyxyx
xyyxyx
xyyxyx
baba
baba
baba
v
v
bebebb
bebebb
bebebb
(D.10) La forma matricial es ahora qJxJ qx && = (D.11)
Como xq JJJ 1−= (D.12)
La ecuación 2.16 puede tomar la forma:
xJq && = (D.13)
Así podemos conocer las velocidades articulares a partir de una determinada
velocidad del eslabón acoplador.
Sí adopta la forma:
qJx && = (D.14)
Podemos conocer, entonces, la velocidad del eslabón acoplador a partir de una
determinada velocidad de las articulaciones.
D.2 Forma Algebraica
La cinemática inversa de un mecanismo paralelo 3RRR puede ser desacoplada
en tres cadenas individuales, el análisis de singularidad inversa también puede
ser desacoplada en la misma manera [Yang, 2002]. Entonces, cada cadena junto
con el eslabón acoplador puede ser considerada como un mecanismo serial de
3GdL, figura D.2.
CICATA Querétaro -IPN
93
Figura D. 2 Esquema de la cadena cinemática considerada como un manipulador serial.
Donde el cuerpo E representa el extremo del acoplador. Se puede obtener la
ecuación cinemática siguiente:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
coscoscos
321
321321211
321321211
θθθφ
θθθθθθ
θθθθθθ
++=
+++++=
+++++=
senlsenlsenly
lllx
e
e
(D.15)
( )ee yx , representa la posición del vector del origen del cuerpo E con respecto a
la base B . φ es la orientación del ángulo E . ( )3,2,1θ representa los ángulos de las
juntas. ( )3,2,1l representa la longitud de los eslabones.
Derivando ambos lados de las ecuaciones D.15 se tiene el siguiente arreglo;
=
3
2
1
θθθ
φ &
&
&
&
&
&
Jy
x
e
e
(D.16)
Donde;
+++
−−−−−−
=
11112331233122123312211
12331233122123312211
θθθθθθθθθθθθ
clclclclclcl
slslslslslsl
J (D.17)
CICATA Querétaro -IPN
94
De esta forma podemos conocer las configuraciones singulares inversas del
mecanismo. Se sabe que una singularidad inversa ocurre cuando la matriz J es
singular ( )0det =J .
La determinante de J se calcula como;
221det θsenllJ = (D.18)
CICATA Querétaro -IPN
95
E. Planos
CICATA Querétaro -IPN
96
CICATA Querétaro -IPN
97
CICATA Querétaro -IPN
98
CICATA Querétaro -IPN
99
CICATA Querétaro -IPN
100
CICATA Querétaro -IPN
101
CICATA Querétaro -IPN
102
CICATA Querétaro -IPN
103
CICATA Querétaro -IPN
104
F. Códigos Este código es un solo archivo M dividido en bloques.
Espacio de trabajo %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
clear;
clc;
clf;
subplot(4,1,1);
hold on
px=0;py=0;plot(px,py,'r*');%%%%%%%% posición de los motores
qx=130;qy=0;plot(qx,qy,'r*');
rx=65;ry=112.58;plot(rx,ry,'r*')
l=108;pl=22.5;%%%%%%%%%%%% dimensiones
%%%%%%%%%%%%% CADENA 1
c=0;
for t=-5:1:65;
xa=l*cosd(t); ya=l*sind(t);
c=c+1;
x(c)=xa; y(c)=ya;
xb=l*cosd(t)+(pl*cosd(30));
yb=l*sind(t)+(pl*sind(30));
c=c+1;
x2(c)=xb; y2(c)=yb;
end
plot(x2,y2,'.')
%%%%%%%%%%%%% CADENA 2
c=0;
for t=115:1:185;
xc=qx+(l*cosd(t)); yc=l*sind(t);
c=c+1;
x3(c)=xc; y3(c)=yc;
xd=qx+(l*cosd(t))+(pl*cosd(150));
CICATA Querétaro -IPN
105
yd=(l*sind(t))+(pl*sind(150));
c=c+1;
x4(c)=xd; y4(c)=yd;
end
plot(x4,y4,'.')
%%%%%%%%%%%%% CADENA 3
c=0;
for t=236:1:305;
xe=rx+(l*cosd(t)); ye=ry+l*sind(t);
c=c+1;
x5(c)=xe; y5(c)=ye;
xf=rx+(l*cosd(t))+(pl*cosd(270));
yf=ry+(l*sind(t))+(pl*sind(270));
c=c+1;
x6(c)=xf; y6(c)=yf;
end
axis equal
plot(x6,y6,'.')
ANÁLISIS DE POSICIÓN %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%CINEMÁTICA INVERSA
clc;
a1=54;
b1=54;
c=0;
pf=10.5;
for Xa= 2.5:pf;
Ya= 30;
c=c+1;
e1=-2*Ya*a1;
e2=-2*Xa*a1;
e3=(Xa)^2+(Ya)^2+(a1)^2-(b1)^2;
%%%%%%%%%%%%%%%%%%cadena cruzada
CICATA Querétaro -IPN
106
teta1=2*atand((-e1-((e1)^2+(e2)^2-(e3)^2)^.5)/(e3-e2));
alfa1=((asind((Ya-(a1*sind(teta1)))/(b1)))-180)*(-1);
a2=a1;
b2=b1;
h=45;
phi=0;
Xq=130; Yq=0;
e4=((-2*Ya*a2)-(2*a2*h*sind(phi)));
e5=((-2*Xa*a2)-(2*a2*h*cosd(phi))+(2*Xq*a2));
e6=(Xa)^2+(Ya)^2-(2*Xa*Xq)+(Xq)^2+(h)^2+(a2)^2-(b2)^2+(2*Xa*h*cosd(phi))+(2*Ya*h*sind(phi))-(2*Xq*h*cosd(phi));
%%%%%%%%%%%%%%%%%%cadena cruzada%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
teta2=2*atand((-e4-((e4)^2+(e5)^2-(e6)^2)^.5)/(e6-e5));
alfa2=((asind((Ya+(h*sind(phi))-(a2*sind(teta2))-Yq)/(b2)))-180)*(-1);
a3=a1;
b3=b1;
Xr=65;
Yr=112.5833;
e7=(-2*Ya*a3)+(2*Yr*a3-2*a3)-(2*a3*h*sind(phi+60));
e8=(-2*Xa*a3)-(2*a3*h*cosd(phi+60))+(2*Xr*a3);
e9=Xa^2+Ya^2-(2*Xa*Xr)-(2*Ya*Yr)+Xr^2+Yr^2+h^2+a3^2-b3^2+(2*Xa*h*cosd(phi+60))+(2*Ya*h*sind(phi+60))-(2*Xr*h*cosd(phi+60))-(2*Yr*h*sind(phi+60));
%%%%%%%%%%%%%%%%cadena cruzada%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
teta3=2*atand((-e7-((e7)^2+(e8)^2-(e9)^2)^.5)/(e9-e8));
alfa3=(asind((Ya+(h*sind(phi+60))-(a3*sind(teta3))-Yr)/(b3)))+360;
%%%%%%%%%%%%%%%%%%Coordenadas Punto B
Xb=Xa+(h*cosd(phi));
Yb=Ya+(h*sind(phi));
%%%%%%%%%%%%%%%%%%Coordenadas Punto C
Xc=Xa+(h*cosd(phi+(60)));
Yc=Ya+(h*sind(phi+(60)));
te1(c)=teta1;te2(c)=teta2;te3(c)=teta3;
alf1(c)=alfa1;alf2(c)=alfa2;alf3(c)=alfa3;
CICATA Querétaro -IPN
107
end
pas_1 cinemática directa %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
clc;
format short
syms T;
xq=130;yq=0;
xr=65; yr=112.58;
n=1.8; %%% grados por impulso
Filtro %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
len=length(te3);
for r=1:len;
if te3(r)<0;
te3(r)=te3(r)+360;
end
end
pas 1b %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
v=length(te1);f=length(alf1);t1=te1(1):-n:te1(v);lo1=length(t1);
w=length(te2);g=length(alf2);t2=te2(1):-n:te2(w);lo2=length(t2);
f=length(te3);hd=length(alf3);t3=te3(1):n:te3(f);lo3=length(t3);
c=1;
for m=1:lo1;
t1=te1(1):-n:te1(v);
for k=1:lo2;
t2=te2(1):-n:te2(w);
for j=1:lo3;
t3=te3(1):n:te3(f);
t11=t1;t22=t2;t33=t3;
e11=-2*a1*cosd(t1(m));
e12=-2*a1*sind(t1(m));
e13=((a1)^2)-((b1)^2);
CICATA Querétaro -IPN
108
e21=(-2*xq)+(2*h*((1-T^2)/(1+T^2)))-(2*a2*cosd(t2(k)));
e21=simplify(e21);
e22=(-2*yq)+(2*h*((2*T)/(1+T^2)))-(2*a2*sind(t2(k)));
e22=simplify(e22);
e23=((xq)^2)+((yq)^2)+(h^2)+((a2)^2)-((b2)^2)-(2*a2*h*((1-T^2)/(1+T^2))*cosd(t2(k)))-(2*a2*h*((2*T)/(1+T^2))*sind(t2(k)))-(2*xq*h*((1-T^2)/(1+T^2)))-(2*yq*h*((2*T)/(1+T^2)))+(2*xq*a2*cosd(t2(k)))+(2*yq*a2*sind(t2(k)));
e23=simplify(e23);
e31=(-2*xr)+(2*h*((((1-T^2)/(1+T^2))*cosd(60))+(((2*T)/(1+T^2))*(sind(60)))))-(2*a3*cosd(t3(j)));
e31=simplify(e31);
e32=(-2*yr)+(2*h*((((2*T)/(1+T^2))*cosd(60))+(((1-T^2)/(1+T^2))*(sind(60)))))-(2*a3*sind(t3(j)));
e32=simplify(e32);
e33=((xr)^2)+((yr)^2)+(h^2)+((a3)^2)-((b3)^2)-(2*a3*h*((((1-T^2)/(1+T^2))*cosd(60))+(((2*T)/(1+T^2))*sind(60)))*cosd(t3(j)))-(2*a3*h*((((2*T)/(1+T^2))*cosd(60))+(((1-T^2)/(1+T^2))*sind(60)))*sind(t3(j)))-(2*xr*h*((((1-T^2)/(1+T^2))*cosd(60))+(((2*T)/(1+T^2))*sind(60))))-(2*yr*h*((((2*T)/(1+T^2))*cosd(60))+(((1-T^2)/(1+T^2))*sind(60))))+(2*xr*a3*cosd(t3(j)))+(2*yr*a3*sind(t3(j)));
e33=simplify(e33);
e11p=e11-e21;
e11p=simplify(e11p);
e12p=e12-e22;
e12p=simplify(e12p);
e13p=e13-e23;
e13p=simplify(e13p);
e21p=e11-e31;
e21p=simplify(e21p);
e22p=e12-e32;
e22p=simplify(e22p);
e23p=e13-e33;
e23p=simplify(e23p);
d=(e11p*e22p)-(e12p*e21p);
d=simplify(d);
d1=(e12p*e23p)-(e13p*e22p);
d1=simplify(d1);
CICATA Querétaro -IPN
109
d2=(e13p*e21p)-(e11p*e23p);
d2=simplify(d2);
r=((d1)^2+(d2)^2+(e11*d*d1)+(e12*d*d2)+(e13*d^2));
z=simplify(r);
q(c)=collect(z);
c=c+1;
end
end
end
pas_2 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
clc;
for r=1:c-1;
u= q(r)*(1+T^2)^4;
p=coeffs(u);
al=p(1);bl=p(2);cl=p(3);dl=p(4);el=p(5);gl=p(7);fl=p(6);hl=p(8);il=p(9);
tocho=fl;tsiete=gl;tseis=dl;tcinco=el;tcuatro=hl;ttres=il;tdos=cl;tuno=bl;cte=al;
A=[tocho tsiete tseis tcinco tcuatro ttres tdos tuno cte];
o=roots(double(A));
tt(r)=o(8);
end
Filtro de soluciones reales %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
for r=1:c-1;
if ~isreal(tt(r))
tt(r)=0;
end
end
tt=tt(tt~=0);
pas_3 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
c=1;
for m=1:lo1;
CICATA Querétaro -IPN
110
t1=t11;
for k=1:lo2;
t2=t22;
for j=1:lo3;
t3=t33;
phi=2*atand(tt(c));
e11=-2*a1*cosd(t1(m));
e12=-2*a1*sind(t1(m));
e13=((a1)^2)-((b1)^2);
e21=(-2*xq)+(2*h*((1-(tand(phi/2))^2)/(1+(tand(phi/2))^2)))-(2*a2*cosd(t2(k)));
e22=(-2*yq)+(2*h*((2*(tand(phi/2)))/(1+(tand(phi/2))^2)))-(2*a2*sind(t2(k)));
e23=((xq)^2)+((yq)^2)+(h^2)+((a2)^2)-((b2)^2)-(2*a2*h*((1-(tand(phi/2))^2)/(1+(tand(phi/2))^2))*cosd(t2(k)))-(2*a2*h*((2*(tand(phi/2)))/(1+(tand(phi/2))^2))*sind(t2(k)))-(2*xq*h*((1-(tand(phi/2))^2)/(1+(tand(phi/2))^2)))-(2*yq*h*((2*(tand(phi/2)))/(1+(tand(phi/2))^2)))+(2*xq*a2*cosd(t2(k)))+(2*yq*a2*sind(t2(k)));
e31=(-2*xr)+(2*h*((((1-(tand(phi/2))^2)/(1+(tand(phi/2))^2))*cosd(60))+(((2*(tand(phi/2)))/(1+(tand(phi/2))^2))*(sind(60)))))-(2*a3*cosd(t3(j)));
e32=(-2*yr)+(2*h*((((2*(tand(phi/2)))/(1+(tand(phi/2))^2))*cosd(60))+(((1-(tand(phi/2))^2)/(1+(tand(phi/2))^2))*(sind(60)))))-(2*a3*sind(t3(j)));
e33=((xr)^2)+((yr)^2)+(h^2)+((a3)^2)-((b3)^2)-(2*a3*h*((((1-(tand(phi/2))^2)/(1+(tand(phi/2))^2))*cosd(60))+(((2*(tand(phi/2)))/(1+(tand(phi/2))^2))*sind(60)))*cosd(t3(j)))-(2*a3*h*((((2*(tand(phi/2)))/(1+(tand(phi/2))^2))*cosd(60))+(((1-(tand(phi/2))^2)/(1+(tand(phi/2))^2))*sind(60)))*sind(t3(j)))-(2*xr*h*((((1-(tand(phi/2))^2)/(1+(tand(phi/2))^2))*cosd(60))+(((2*(tand(phi/2)))/(1+(tand(phi/2))^2))*sind(60))))-(2*yr*h*((((2*(tand(phi/2)))/(1+(tand(phi/2))^2))*cosd(60))+(((1-(tand(phi/2))^2)/(1+(tand(phi/2))^2))*sind(60))))+(2*xr*a3*cosd(t3(j)))+(2*yr*a3*sind(t3(j)));
e11p=e11-e21;
e12p=e12-e22;
e13p=e13-e23;
e21p=e11-e31;
e22p=e12-e32;
e23p=e13-e33;
xa=((e12p*e23p)-(e13p*e22p))/((e11p*e22p)-(e12p*e21p));
ya=((e13p*e21p)-(e11p*e23p))/((e11p*e22p)-(e12p*e21p));
xo(c)=xa+22.5;
yo(c)=ya+12.9908;
phiteta(c)=phi;
CICATA Querétaro -IPN
111
c=c+1;
end
end
end
plot(xo,yo,'.')
Línea recta horizontal %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Pix=2.5; Piy=30;
Pfx=pf;Pfy=30;
zx=[Pix+22.5,Pfx+22.5];
vy=[Piy+12.9908,Pfy+12.9908];
plot(zx,vy,'r-');
Limites de tolerancia %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
lon=length(yo);
dest=std(yo);
ls=vy+(1.96*dest);
li=vy-(1.96*dest);
for c=1:lon;
if yo(c)>=ls | yo(c)<=li;
xo(c)=0;
yo(c)=0;
end
end
xo=xo(xo>0);yo=yo(yo>0);
subplot(4,1,2);
hold on
plot(xo,yo,'.');
plot(zx,vy,'r-');
Filtro de selección %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
lon=length(yo);
for c=1:lon;
CICATA Querétaro -IPN
112
if yo(c)>=43.02 | yo(c)<=42.97;
xo(c)=0;
yo(c)=0;
end
end
xo=xo(xo>0);yo=yo(yo>0);
subplot(4,1,3);
hold on
plot(xo,yo,'.');
plot(zx,vy,'r-');
subplot(4,1,4);
hold on
plot(xo,yo,'-');
plot(zx,vy,'r-');
Numero de pasos %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
longitud= length(xo)
xm=xo;ym=yo;
c=1;
for iteracion=1:longitud;
xmo= xm(c)-22.5;
ymo= ym(c)-12.9908;
Xa=xmo; Ya=ymo;
e1=-2*Ya*a1;
e2=-2*Xa*a1;
e3=(Xa)^2+(Ya)^2+(a1)^2-(b1)^2;
teta1(c)=2*atand((-e1-((e1)^2+(e2)^2-(e3)^2)^.5)/(e3-e2));
e4=((-2*Ya*a2)-(2*a2*h*sind(phi)));
e5=((-2*Xa*a2)-(2*a2*h*cosd(phi))+(2*Xq*a2));
e6=(Xa)^2+(Ya)^2-(2*Xa*Xq)+(Xq)^2+(h)^2+(a2)^2-(b2)^2+(2*Xa*h*cosd(phi))+(2*Ya*h*sind(phi))-(2*Xq*h*cosd(phi));
teta2(c)=2*atand((-e4-((e4)^2+(e5)^2-(e6)^2)^.5)/(e6-e5));
e7=(-2*Ya*a3)+(2*Yr*a3-2*a3)-(2*a3*h*sind(phi+60));
CICATA Querétaro -IPN
113
e8=(-2*Xa*a3)-(2*a3*h*cosd(phi+60))+(2*Xr*a3);
e9=Xa^2+Ya^2-(2*Xa*Xr)-(2*Ya*Yr)+Xr^2+Yr^2+h^2+a3^2-b3^2+(2*Xa*h*cosd(phi+60))+(2*Ya*h*sind(phi+60))-(2*Xr*h*cosd(phi+60))-(2*Yr*h*sind(phi+60));
teta3(c)=2*atand((-e7-((e7)^2+(e8)^2-(e9)^2)^.5)/(e9-e8));
%z= incremento
z=n;
if teta1(c)<0;
teta1(c)=((teta1(c)+360));
end
t1=(teta1-11.4214)/z;
if teta2(c)<0;
teta2(c)=((teta2(c)+360));
end
t2=(teta2-124.3899)/z;
if teta3(c)<0;
teta3(c)=((teta3(c)+360));
end
t3=(teta3-170.5091)/z;
c=c+1;
end
['motor 1',' motor 2',' motor 3']
pasos=[(round(t1))',(round(t2))',(round(t3))']
Coeficiente de variación %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
for c=1:longitud;
dist(c)=abs(vy(1)-yo(c));
prom=(sum(dist))/longitud;
end
coeficiente=prom
% fin
CICATA Querétaro -IPN
114
CICATA Querétaro -IPN
115
REFERENCIAS
BIBLIOGRÁFICAS
CICATA Querétaro -IPN
116
Aracil R. Saltaren R. J. Sabater J. M. Reinoso O. Robots paralelos: Máquinas con un pasado para una robótica del futuro. Revista Iberoamericana de Automática e Informática Industrial, Vol. 3, Núm. 1, 2006.
Beer F. P. & Johnston E. R. Mecánica vectorial para Ingenieros. Dinámica. Mc.
Graw Hill. 2004 Berti S. Roitman J. Verrastro C. Controlador de motores paso a paso mediante
técnicas de micropasos por modulación de ancho de pulso. Grupo de inteligencia artificial, UTN-FRBA, Argentina 2002.
Bonev I. A. Geometric analysis of parallel mechanisms. Ph. D. degree thesis.
Universite Laval Quebeq, 2002. Briot S. and Bonev, I. A. Accuracy analysis of 3-DOF planar parallel robots.
Mechanism and machine Theory. Elsevier. 2007 Burton G. L. and Burton P. J. United States Patent and Trademark Office. (US
Patent 5,523,941) 1996. Degani A. and Wolf A. Graphical singularity analysis of planar parallel
manipulators. The Robotics Institute Carnegie Mellon University Pittsburgh USA 2006.
Duysinx. P. and Geradin M. An Introduction to Robotics: Mechanical Aspects.
University of Liège, 2004 Ebert U. Introducing undergraduate students to parallel manipulators through
laboratory experiments. Woodruff School of Mechanical Engineering. Georgia Institute of Technology, 2002
García S. M. and Motilva C. M. Herramientas para el estudio de robots de
cinemática paralela: simulador y prototipo experimental. Revista Iberoamericana de Automática e Informática Industrial, Vol. 2, Núm. 2, 2005.
Liu G, Lou Y. and Li Z. Singularities of parallel manipulators: A geometrical
Treatment. Transactions on Robotics and Automation, Vol 19. 2003. López D, Construcción y Caracterización de un Sistema de Alta Sensibilidad
para la Medición de Rotación Óptica para Aplicación en la Industria Alimenticia. Master degree thesis, CICATA-IPN 2004.
Mabie H. Mechanisms and Dynamics of Machinery. John wiley & sons. EUA
2004.
CICATA Querétaro -IPN
117
Merlet J. P. Parallel robots. Kluwer Academic Press, Dordrecht, The
Netherlands, 2000. Merlet J. P. Direct kinematic of planar parallel manipulator. International
conference on robotics and automation, 1996. Norton R. Design of Machinery: an introduction to the synthesis and analysis
of mechanisms and machines. Third edition, pp 23-24, 61-62, 1992. Ollero O. A. ROBOTICA Manipuladores y robots moviles. Alfaomega
Marcombo 2001. Pham C. Kinematics, Workspace and Static Analyses of 2-DOF Flexure
Parallel Mechanism. School of Mechanical & Production Engineering. Singapore 2002.
Reliance Precisión Mechatronics LLP. Stepper Motors. 2006. Seale E. Industrial circuits application: Stepper motors basics. Solarbotics, Ltd.
Robotics community server 2003. Slocum A. H. Precision Machine Design. Prentice hall. EUA, 1992. Tsai L. W. Robot Análisis, The mechanics of serial and parallel manipulators.
Wiley Interscience. EUA 1999. Walpole E.R. & Myers H. R. Probabilidad y Estadistica, McGraw Hill. Pag
254, 1998. Wenger P. & Chablat D. The kinematic analysis of a symmetrical three degree
of freedom planar parallel manipulator. Institut de Recherché en Communications et Cybernétique de Nantes. Canada 2004.
Williams II R. L. and Joshi A. R. Planar parallel 3-RPR manipulator. Ohio
University. Sixth Conference on Applied Mechanisms and Robotics, 1999. Williams II R. L. and Shelley B. H. Inverse Kinematics for planar parallel
manipulators. American Society Of Mechanical Engineers, 1997. Yang G. Hui E. Ho L. and Lin W. A differential geometry approach for the
workspace analysis of spherical parallel manipulators. Singapore Institute of Manufacturing Technology, Singapore 2003.
CICATA Querétaro -IPN
118
Yang G. Chen W. and Chen I. A geometrical method for the singularity análisis of 3RRR planar parallel robots with different actuation schemes. Singapore Institute of Manufacturing Technology, Singapore 2002.
Yoon J. and Ryu J. The Development of the 3-DOF planar parallel robot (RRR
Type) for omni-directional locomotion interface. Kwangju Institute of Science and Technology. 2002.