Post on 14-Apr-2020
POTSIGRAMA
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Índice
Introducción
Resumen…………………………………………………………………………...………2
Marco teórico……………………………………………………………………………. 4
Objetivos…………………………………………………………………………………...8
Problemática……………………………………………………………………………....8
Hipótesis…………………………………………………………………………….……...8
Desarrollo…………………………………………………………………………………..9
Materiales…………………………………………………………………………………..9
Instructivo…………………………………………………………………………………10
Tabla de logaritmos……………………………………………………………………...11
Aplicación del juego “Potsigrama” ……………………………………...……………..19
Resultados………………………………………………………………………………..19
Análisis e interpretación de resultados………………………………………………..20
Conclusión ……………………………………………………………………………….20
Referencias……………………………………………………………………………….21
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Resumen
Este proyecto fue realizado con el propósito de poder mejorar y reforzar el
conocimiento sobre los distintos temas que lo conforman, como lo son: leyes de
signos, leyes de exponentes y logaritmos.
El proyecto está bajo una investigación donde hacemos mención de John Napier
conocido por ser el primero en definir los logaritmos, incluyendo las aportaciones
que llevaron al desarrollo de los logaritmos, así como, la descripción y
propiedades de los mismos.
También nos planteamos el problema de aprendizaje de los alumnos desde el
punto de vista didáctico junto con los objetivos que persigue el juego “Potsigrama”.
Además de formular una hipótesis, la cual buscamos comprobar, en la cual el
mayor reto es provocar interés en el jugador por la adquisición del conocimiento, a
través de una actividad divertida y entretenida, como lo es el juego.
Conjuntamente para facilitar la comprensión del juego, así como la aplicación de
las reglas, se incluye el instructivo que muestra la manera en que el jugador va
poder realizar la actividad, incluyendo castigos con el fin de seguir motivando a los
participantes a seguir jugando y aprendido.
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Marco teórico
Historia de los logaritmos
A partir del siglo XVI, los cálculos que se precisaban hacer, debido principalmente
a la expansión comercial y al perfeccionamiento de las técnicas de navegación,
eran de tal magnitud que surgía la necesidad de encontrar algoritmos menos
laboriosos que los utilizados hasta entonces, es decir, algoritmos de la
multiplicación, de la división, etc.
El descubrimiento de los logaritmos no se produjo aisladamente, por un único
proceso. Dos caminos condujeron a su hallazgo: los cálculos trigonométricos para
las investigaciones astronómicas aplicables a la navegación, y el cálculo de las
riquezas acumuladas en lo que se refiere a las reglas de interés compuesto.
Ambos caminos inspiraron respectivamente a John Napier y a Jobst Bürgi en el
descubrimiento de los logaritmos.
Henry Briggs, quien fue el primero que hizo las tablas logarítmicas en base 10, en
el año 1631, en su obra Logarithmall Arithmetike, explica el objetivo de la
invención de los logaritmos: "Los logaritmos son números inventados para resolver
más fácilmente los problemas de aritmética y geometría”.
Con ellos se evitan todas las molestias de las multiplicaciones y de las divisiones;
de manera que, en lugar de multiplicaciones, se hacen solamente adiciones, y en
lugar de divisiones se hacen sustracciones. La laboriosa operación de extraer
raíces, tan poco grata, se efectúa con suma facilidad.
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Napier y los logaritmos:
Durante la última parte del siglo XVI, Dinamarca llegó
a ser un importante centro de estudios sobre
problemas relacionados con la navegación. Dos
matemáticos daneses, Wittich y Clavius (cuya obra
De Astrolabio se publicó en 1593), sugirieron la
aplicación de las tablas trigonométricas para abreviar
los cálculos, mediante el uso de las fórmulas del seno
y del coseno de la suma de dos ángulos. Este recurso
de cálculo sirvió probablemente de inspiración al
escocés John Napier (1550-1617), cuyo nombre
latinizado es Neper, en la deducción de un método
sencillo para multiplicar senos de ángulos por un proceso de adición directa. El
descubrimiento de Napier fue ávidamente acogido por los astrónomos Tycho
Brahe y Johann Kepler. En el año 1614 en Edimburgo aparecen sus Mirifici
logarithmorum canonis descriptio, o “descripción de la maravillosa regla de los
logaritmos”, es decir, las primeras tablas de logaritmos; sin embargo, no se
describe aquí la forma en que fueron construidas.
Napier fue el inventor de la palabra logaritmo (del griego "logos", razón, y
"arithmos", número: número de razones), pues en el caso de ser el logaritmo un
número entero, es el número de factores que se toman de la razón dada (base)
para obtener el antilogaritmo. Además, introdujo los logaritmos mediante una
concepción cinemática, cuyo origen, según él se imaginaba, era un movimiento
sincrónico, una especie de fluctuación entre dos sucesiones.
Bürgi y los logaritmos
El descubrimiento de los logaritmos es un claro ejemplo de lo habituales que
resultan las duplicidades en las innovaciones. Hoy se sabe que el relojero y
Ilustración 1
Recuperado de
https://global.britannica.com/biogra
phy/John-Napier
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constructor de instrumentos suizo Jobst Bürgi
(1552-1632), se hallaba en posesión de este
conocimiento antes que Napier, incluso se afirma
que concibió la idea del logaritmo ya en el año
1586, estimulado por las observaciones antes
mencionadas de Stifel, y en el Libro de cálculo de
Simón Jacob (1565). Pero, según se dice, fue por
falta material de tiempo que no lo dio a conocer,
motivo por el cual el astrónomo Kepler pudo
echarle en cara el hecho de "haber dejado en el
desamparo al hijo de su espíritu, en vez de
educarlo para la publicidad". Se dice que así
procedió, pues, como se le decía en latín, era un
"secretorum suorum custos" (guardián de sus secretos).
Hubo que esperar hasta el año 1620 para que Bürgi publicara en Praga sus tablas
logarítmicas bajo el título Arithmetische und geometrische Progress Tabulen.
Estas tablas se publicaron en circunstancias exteriores desfavorables, pues el 8
de noviembre de 1620 fue tomada Praga, y permanecieron desconocidas. Bürgi
vio que el valor práctico de las sucesiones de Stifel es aplicable con provecho en
el caso de que sus respectivos términos se aproximen uno al otro, lo más posible.
A la vez observó que las propiedades logarítmicas no se extendían solamente
sobre la sucesión de potencias de base dos, sino sobre sucesiones con cualquier
razón racional q.
Definición de logaritmo
El logaritmo de un número, en una base dada, es el exponente al cual se debe
elevar la base para obtener el número.
Ilustración 2
Recuperado de
http://www.maa.org/press/periodicals/c
onvergence/logarithms-the-early-
history-of-a-familiar-function-joost-b-
rgi-introduces-logarithms
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Propiedades de los logaritmos
1. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los
factores:
( )
2. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el
logaritmo del divisor:
3. El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el
logaritmo de la base:
( )
4. El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando
y el índice de la raíz:
(√ )
5. Cambio de base:
Leyes de los signos
Cuando se multiplican signos en las diferentes operaciones se deben seguir las
siguientes reglas:
(+) x (+) = (+)
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(-) x (-) = (+)
(+) x (-) = (-)
(-) x (+) = (-)
Ejemplos
(5) x (100) = 500
98 –(-3) = 98 +3 = 101
(3) x ( -2) = -6
(-8) x (13) = -104
Leyes de los exponentes
Multiplicación: cuando se tiene la multiplicación de mismas bases los
exponentes se suman.
División: cuando se tiene división de las mismas bases los exponentes se
restan.
Potencia: cuando se tiene una potencia de exponentes se multiplican.
( )
Raíz: en la raíz los exponentes se dividen.
√
Potencia cero: cualquier expresión elevada a l acero es uno.
Potencia negativa: Los exponentes negativos en el numerador se
convierten positivos en el denominador.
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Objetivos
El objetivo principal es crear una actividad lúdico-recreativa que ayude a los
estudiantes a tener una mayor capacidad para comprender y resolver problemas
relacionados con logaritmos, generando así una estrategia de aprendizaje.
Otros objetivos son:
Proporcionar un momento de diversión a los participantes.
Que el participante practique ejercicios de logaritmos.
Que el jugador aprenda de una forma fácil y sencilla.
Problemática
Uno de los grandes problemas la actualidad, es que a los jóvenes nos ha dejado
de interesar las matemáticas por considerarlas aburridas o tediosas, y en algunos
casos puede llegar a ser así, por esa razón pensamos en una estrategia por medio
de la cual le proporcione al alumno una manera sencilla y divertida de adquirir el
conocimiento básico de las matemáticas.
El proyecto fue originalmente diseñado para los compañeros del salón de clases,
ya que identificamos que tenían muchas dificultades para comprender diversos,
entre los que destacan: leyes de los exponentes, leyes de los signos y logaritmos,
por lo cual elaboramos un juego que les ayudase de una manera diferente a
adquirir el conocimiento.
Hipótesis
Con la aplicación del proyecto “Potsigrama” el participante podrá aprender temas
que se le dificultan en el proceso de la adquisición del conocimiento, de una forma
sencilla, al mismo tiempo que juega y se divierte, despertando en el estudiante
interés por las matemáticas.
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Desarrollo
Este proyecto inició con la creación de un equipo de estudiantes, cuyo objetivo era
crear un juego como una estrategia de aprendizaje.
El siguiente paso fue idear un juego que provoque en el estudiante interés por
algún tema de matemáticas, para ello, realizamos una lluvia de ideas en donde
decidimos hacer un juego que costará de tres etapas diferentes.
Ya teniendo en mente lo que íbamos a hacer, comenzamos por la repartición del
trabajo, a uno le toco hacer la ruleta a otro las tarjetas, de manera que fuera
equitativo para cada uno de los integrantes del equipo.
Al final conjuntamos todos los materiales para obtener el jugo ya elaborado.
Materiales
Memorama de Leyes de los signos
Memorama de Leyes de los exponentes
6 dados (dodecaedros)
1 ruleta
80 tarjetas con reactivos
Tarjetas de castigos
1 pizarrón
1 plumón
1 reloj de arena
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Instructivo
Primera etapa
1. Se necesitará de 2 a 4 jugadores.
2. El participante podrá decidir si quiere
empezar con los dodecaedros de las leyes
de los signos o de las leyes de los
exponentes.
3. En cada turno el jugador tendrá la oportunidad de lanzar los 3 dodecaedros
4. Los dodecaedros se acomodarán se la siguiente manera: número – signo -
número
5. Dependiendo del lado en que caigan los dodecaedros tendrá que realizar la
operación con ayuda de unas plantillas.
6. El objetivo es obtener el puntaje máximo, el jugador que tenga el máximo
puntaje podrá escoger un castigo de la caja de penalizaciones para que los
demás participantes lo realicen.
7. Después de realizar todo esto podrá pasar a la siguiente etapa.
Segunda etapa:
1. De igual forma el jugador va poder escoger el tema del Memorama que
desea jugar
2. El jugador deberá encontrar los pares de las tarjetas correspondientes de
acuerdo a la operación y resultado
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3. Por cada turno el jugador tendrá la oportunidad de levantar solamente 2
tarjetas y en caso de no ser los pares tendrá que dejar las tarjetas en su
lugar.
4. El jugador que encuentre primero un par podrá sacar de la caja de
penalizaciones un castigo que deberán realizar los demás participantes.
5. Después de esto podrá pasar a la siguiente etapa.
Tercera etapa:
1. Cada jugador tendrá la oportunidad de lanzar un dardo
2. Dependiendo del color donde detenga la ruleta, podrá tomar una tarjeta con
reactivo (logaritmo o cultura general). El color naranja es castigo.
3. El jugador deberá contestar correctamente el reactivo, de lo contrario será
acreedor a un castigo.
4. El jugador que acumule más de 4 castigos
será eliminado de inmediato.
5. El último jugador en salir ganará.
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Ejemplos con leyes de exponentes
Tabla de logaritmos:
Reactivo Solución
Amarillo: Escribir en forma logarítmica la expresión
1.
2.
LEY EJEMPLO
1.- x1=x 41=4
2.- x0=1 50=1
3.- x-1=1/x 8-1=1/8
4.- xmxn=xm+n x3x4=x3+4=x7
5.- xm/xn=xm-n X6/x2=x6-2=x4
6.- (xm)n=xmn (x5)4=x5x4=x20
7.- (xy)n=xnyn (xy)7=x7y7
8.- (x/y)n=xn/yn (x/y)2=x2/y2
9.- x-n=1/xn x-4=1/x4
10.- xm/n=n√xm X5/6=6
√x5
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3.
4.
5.
6. (
)
7.
8. (
)
9.
10.
11.
12.
Verde: Escribir de forma exponencial el logaritmo.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
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14
20. √ √
21.
(
)
22.
23.
24.
Rosa: Determina el valor de la incógnita
25.
26. √
( )
27.
√
28.
4
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15
29. √
√
30. √ √
√ √
(
)( )
31. √ √
√ √
33.
32.
√
√
34.
√
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16
√
3
35. √
√
36. √
√
( )
Rojo: Exprese el algoritmo dado en términos de los logaritmos de x, y o z.
37.
+ -
38. √
39. √
40. √ √
41.
42. √
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Expresa a los logaritmos de x, y o z en un solo logaritmo que contenga términos
correspondientes.
43.
( )
( )
( )
( )
( )
( ) =
√( )
( )
44.
( )
( )
( )
( )
( )
( )
= ( )
√( )
45. ( ) √
( ) ( √
)
(
)
( )( )
( √ )
46.
( )
( )
47.
(
)
√
(
) √
48.
(
)
√
(
) √
Azul: Con los siguientes datos y aplicando las propiedades de los logaritmos
determine el valor de la expresión.
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49.
( )
(0.301030)
+
50.
( )
Apoyo
= 0.301030
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51.
( )
( )
( )
52. √
( )
( )
( )
( )
53.
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
54.
( )
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Hallar la suma de los logaritmos
55.
56.
57.
58.
59.
( ) ( )
60.
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Aplicación del juego “Potsigrama”
El juego fue mostrada frente a un grupo de aproximadamente 20 personas en
cuatro rondas diferentes, el juego fue evaluado en diferentes aspectos con el
objetivo de identificar las deficiencias del juego
Resultados
Cada uno de los equipos nos evaluó varios aspectos teniendo como rango de 1 al
5, sabiendo que 1 era deficientes y 5 excelente. La evaluación consistió en cuatro
aspectos importantes: Originalidad, Dinámico, Creatividad y Reactivos correctos.
Dificultad
Reactivos
Equipo1
Equipo2
Equipo3
Equipo4
3 5 4 3
5 4 5 5 5 5 5 5
5 4 4
EVALUACIÓN DEL MEMORAMA
Dificultad Calidad Reactivos Variedad
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0 1 2 3 4 5 6
Creatividad
Dinámico
Reactivoscorrectos
Originalidad
Evaluación Potsigrama
Ronda 4 Ronda 3 Ronda 2 Ronda 1
Posteriormente decidimos agregar la tercera etapa, recibiendo la siguiente
evaluación
Dificultad
Reactivos
0
2
4
6
Equipo 1 Equipo 2 Equipo 3 Equipo 4
EVALUACIÓN DE DODECAEDROS
Dificultad Calidad Reactivos Variedad
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Análisis e interpretación de resultados:
Al observar las evaluaciones de las cuatro rondas realizadas, y de las tres etapas,
podemos interpretar los resultados de la siguiente manera:
El juego es Original en un 80, debido a que combinamos algunos juegos de azar
En cuanto al aspecto de Reactivos correctos obtuvimos un 100, esto fue debido
a que, gracias a las investigaciones realizadas, así como, los ejercicios resueltos
en clase pudimos realizar los reactivos de manera eficiente.
En Dinámico obtuvimos un porcentaje de 80%, esto se debe que a algunos de
nuestros compañeros se les hizo algo aburrida o tediosa la actividad por no
considerarla importante.
En el último aspecto conseguimos un 75%, con lo que nuestros compañeros
consideraron un juego interesante.
Conclusión
Gracias a las evaluaciones pudimos darnos cuenta que nuestro proyecto
necesitaba algunas mejoras principalmente en la parte dinámica, de modo que el
proyecto sea más interesante para el jugador. Algunas modificaciones sugeridas y
tomadas en cuenta fueron: hacer las tarjetitas más grandes, poner límite de tiempo
Originalidad Reactivos Correctos
Dinámico Creatividad
Ronda 1 4 5 3 4
Ronda 2 3 5 3 4
Ronda 3 5 5 4 3
Ronda 4 4 5 3 4
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para contestar los reactivos, poner castigos más interesantes, etc. Por lo cual
decidimos integrar una tercera etapa al juego.
Al final podemos concluir que nuestra hipótesis fue aprobada ya que la aplicación
del proyecto, logró que el jugador aprendiera de una forma fácil y sencilla a través
de la diversión, provocando en el interés en las matemáticas.
El costo fue de aproximadamente $300 entre pintura, madera, papel e
impresiones, lo que es inferior al costo de un juego comercial de esas
dimensiones, ya que por características no encontramos algo similar con
contenido algebraico.
También se cumplieron todos los objetivos planteados, creando una actividad
lúdica recreativa que permite al estudiante comprender y entender las
matemáticas de una forma diferente a la que está acostumbrado.
Referencias:
Gregorio Topalián Dakessián, 2009, Matemáticas IV, México, pp. 214
Francisco Javier Tapia Moreno, mayo 2003,Historia de los logaritmos,
recuperado de http://euler.mat.uson.mx/depto/publicaciones/apuntes/pdf/2-
2-1-logaritmos.pdf
Propiedades de los logaritmos, recuperado de
https://lookaside.fbsbx.com/file/IMPERMATH-completo-
1.pdf?token=AWyubr7g27jtjbIPiXYRS2ctib2bKnumqmrqFlm7ukvB
GiyeX15L
Exponentes y signos, recuperado de
http://www.disfrutalasmatematicas.com/algebra/exponentes-leyes.html