Post on 25-Nov-2015
1Dinmica de rotacin.. Conservacin del momento angular.
Jos Luis Contreras
2Indice
Slido Rgido. Energa Cintica de rotacin. Momento de Inercia. Segunda Ley de Newton aplicada a la rotacin. Movimiento de rodadura. Naturaleza vectorial de la rotacin. Momento angular. Conservacin del momento angular. Cuantizacin del momento angular.
3Introduccin.
Concepto de Slido rgido.
Dos partes: Rotacin y Momento angular.
Conservacin del momento angular : tercera ley de conservacin importante que vemos.
Aplicaciones. Atomos
(espin), Motores, etc
Rotacin en torno a un eje y en el espacio.
4Energa cintica de rotacin I Slido que se mueve:
Cmo se mueve el centro del cuerpo Movimiento en torno al CM
22, 2
121
CMiii
totc vMumErr +=
Energa en
sistema CM Energa
del CM
5Energa cintica de rotacin II Slido rgido que gira con velocidad
en torno
a un eje
Cada punto tiene un velocidad lineal. Todos tienen la misma velocidad angular.
= ii rvEje11 rm
22 rm
( )22
22,
21
21
21
ii
iiiiic
rm
rmvmE
=
==
6Energa cintica de rotacin III Slido rgido que gira con velocidad
en torno
a un eje
Eje11 rm
22 rm
22, 2
1 iiii
icrot rmEE ==22
21
=
iiirot rmE
Energa cintica de rotacin
2
21 IErot =
7Momento de Inercia I Agrupamos la informacin del cuerpo y el eje de giro en una sola cantidad:
Eje11 rm
22 rm
=i
iirmI2
Equivale a M en movimiento de rotacin
[ ] 22 mkgMLI =
8Momento de Inercia II Como se calcula ?
Eje11 rm
22 rm
=i
iirmI2
Masas discretas: sumando
Ejemplos
9Momento de Inercia III Como se calcula ?
Masas continuas: Integrando
Ejemplos:
barra, anillo, disco
Eje
dmr
=Cuerpo
dmrI 2
10
Momento de Inercia IV Teorema Steiner
o ejes paralelos:
Masas continuas: Integrando
Ejemplo:
Varilla
a2Eje
212 MaII +=
1Eje
CM
El CM es especial
Ejemplo: varilla
11
Momento de Inercia V Ejemplo: Una varilla que gira
Eje
M, L
Con qu velocidad llegar abajo ?
Qu fuerza ejercer sobre el soporte ?
12
Segunda ley de Newton para la rotacin Para que un cuerpo giro no solo cuenta la fuerza que apliquemos Sino donde
1Fr
2Fr
1Fr
2Fr
SI NO
13
Segunda ley de Newton para la rotacin Supongamos un cuerpo que gira alrededor de un eje y acelera
(o frena):
r2Eje
En el Plano del circulo
Visto desde arriba
cF
tF Fr
senFFt =r
r
14
Segunda ley de Newton para la rotacin Supongamos un cuerpo que gira alrededor de un eje y acelera
(o frena): existir una fuerza
tF Fr senFFt =
r
Slo la componente
tangencial cambia
cFr
tt Fam =
rvmFFam ccc
2
=+=
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Segunda ley de Newton para la rotacin
( ) senFrmam t == r( )( ) senFrmr = r
== senrFrm r2Momento de una fuerza
Respecto de un eje
=I Segunda ley de Newton para la rotacin FaMI
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Segunda ley de Newton para la rotacin
= 2iii rm
Iexternoneto =, Segunda ley de Newton para la rotacin FaMI
Si tengo muchas partculas
extiii ,int, +=
=+=
iii
iexti
ii
ii rm
2,int,
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Momento de una fuerza respecto de un eje senrF = r
rsenF = r
Fsenrr=
Momento de una fuerza...
Fuerza tangencial x r
Brazo de palanca x Fuerza
Cmo se abre una puerta ?
Cmo funciona un balancn ?
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Momento debido a la gravedad
Eje hacia la pantalla
Eje CM
imir
iiii senrgm =iii xgm =
==i
iii
iextneto xgm ,
y
x
CMextneto Mgx=,! gira No00 == CMx
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Rodadura Un cuerpo que rueda gira y se desplaza ...
= RadiovCMr
CM
CMvv
22
21
21 IvME CMc += r
222
21
21 IMREc +=
Ejemplo
20
Momento angular
Objetivos
Estudiar la rotacin en el espacio
Introducir el concepto de Momento Angular
y su conservacin.
Ver qu ocurre en Mecnica cuntica
21
Rotacin y vectores: Las rotaciones en el espacio son raras ... Importa el orden. No es fcil sumarlas.
Sin embargo, podemos definir como gira un cuerpo en el espacio dando su velocidad angular vector
en cada instante
Eje v Mdulo el de
Direccin Eje de giro Sentido Regla mano dcha.
22
Rotacin y vectores: Tambin podemos definir el momento de una fuerza respecto de un punto
como un vector
senFr = rrr
Sentido Regla mano dcha.
r
Frrrr ,
rrO
Fr
r
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Rotacin y vectores: Es siempre respecto de un punto
r
r
rrO
Fr
rCoinciden si tomamos como eje
La direccin de r
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Rotacin y vectores: Podemos simplificar la cosas definiendo el producto vectorial.
BArr
BACrrr =
senBAC = rrr
BACrrr
,Sentido Regla mano dcha.
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Propiedades producto vectorial I
ABBArrrr =
0= AA rr
( ) CABACBA rrrrrrr +=+( )
dtBdAB
dtAdBA
dtd
rrrrrr +=
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Propiedades producto vectorial II
0=== kkjjii rrrrrr0= AA rr
jik
ikj
kji
rrrrrrrrr
=== Z
O
Xir
jrk
r
Slo vale si ....
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Propiedades producto vectorial III
zyx
zyx
BBBAAAkji
BA
rrrrr =
Otra forma de calcular el producto vectorial
Ejemplo: jiBjiArrrrrr +=+= 22
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Propiedades producto vectorial IV
Interpretacin geomtrica
Ar
Br
senAh = r
Area===
Bh
senBABAr
rrrr
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Momento Angular Es siempre respecto de un punto
Cuanto cuesta parar uncuerpo
Lr
rrO
pr
Lr
Ejemplo: partcula que gira con =cte
prL rrr =
30
Momento Angular y Momento de InerciaEjemplo: partcula que gira con =cte
O
jmvprr =
Lr
iRrrr =
r prLrrr =
( ) jRmiRL rrr =( )
kmR
jimRLr
rrr
2
2
==
rr IL =krr =
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Momento Angular y Momento de Inercia
rr paraleloLSigue siendo vlida siempre, SI
rr IL =Recuerda a vmp rr =
En general rr
=
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
IIIIIIIII
L
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Momento Angular y Momento de Inercia
Ejemplo: Alrededor de un cilindro de radio 0,2 m y masa 10 kg
est
arrollada una
cuerda. Si tiro de ella con fuerza de 10 N
Cual ser su aceleracin angular ?
Cul ser su velocidad angular al cabo de 10 segundos ?
Y su momento angular ?
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Propiedades Momento Angular IPara un sistema de partculas
CMCMCMsist LvMrLrrrr +=
En torno al CM CMLr
EspinOrbitalsist LLLrrr += Planetas, electrones..
Pero un electrn no tiene CM !
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Propiedades Momento Angular II
rr
r IdtLd
externoneto ==,
Para un sistema de partculas
Anlogo a
amdtpdF externoneto
rrr ==,
IdtdL =
Eje fijo
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Conservacin Momento Angular
cteLdtLd
extne ===rrr 00,
Si no hay momento neto externo el momento angular se conserva.
cteILextne === 0, En torno a un eje fijo
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Conservacin Momento Angular
0, =extner Si... No hay fuerzas externas
(puede haberlas internas, no cuentan)
El momento de las fuerzas externas es 0, aunque estas no lo sean.
Ej: Fuerzas centrales: electrones, planetas..
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Conservacin Momento Angular Ejemplo: Dos nios de masa 50 kg
giran en
una plataforma de masa despreciable a 1 m del centro y 3 rps.
A qu
velocidad girarn
si se acercan a 0,5 m del centro ?
Ejemplo:
rr
rqkqF
rr2
21=
0321
, === rqkqrrFren
rrrrr
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Momento Angular y Energa Una relacin til
IL
IE rc
== 2, 2
1
ILE rc 2
2
, =
mpE tc 2
2
, =Recuerda a ...
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3 Leyes de Conservacin
cteLextne ==rr 0,
cteEW mecconsno == 0
ctepF extneta == rr
0,
Ejemplos:
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Cuantizacin del Momento angular I
( ) ,...2,1,02
1 =+== lhllLL orbitorbital r
Los momentos angulares que aparecen tomos y partculas no pueden tomar cualquier valor, slo mltiplos de una constante fundamental.
sJhh == 341005,12
lmhmL zorbital ,...2,1,02,==
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Cuantizacin del Momento angular II
)!10(106 720 atgm
La constante fundamental h
es MUY PEQUEA
( )
23000103
210106
1231
26202
hsmkg
mRL
=
mR 610=Ej: un virus que gire en un crculo de 1 micra a velocidad de 1 rps
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Cuantizacin del Momento angular III Ej:
Cuales son las energas de rotacin
posibles para una molcula de N2 ?
( ) 0, 1 EllE rc +=2
0 221
= h
IE
( )25,0142 duI =d= distancia entre tomos.
Gira en torno al centro de masas.
?10 09 = Emd
,...6,2 00 EEE =
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Cuantizacin del Momento angular III La energa de rotacin tambin est
cuantizada
( ) 222, 22
122
1
+=== h
Ill
ILIE rc
Las partculas tienen un momento angular bien definido, para los fermiones
( ) ),,(21
21 npeshssLLs espinespin =+===
r
Dinmica de rotacin..Conservacin del momento angular.Indice Introduccin.Energa cintica de rotacin IEnerga cintica de rotacin IIEnerga cintica de rotacin IIIMomento de Inercia IMomento de Inercia IIMomento de Inercia IIIMomento de Inercia IVMomento de Inercia VSegunda ley de Newton para la rotacinSegunda ley de Newton para la rotacinSegunda ley de Newton para la rotacinSegunda ley de Newton para la rotacinSegunda ley de Newton para la rotacinMomento de una fuerza respecto de un ejeMomento debido a la gravedad RodaduraMomento angular Rotacin y vectores: Rotacin y vectores: Rotacin y vectores: Rotacin y vectores: Propiedades producto vectorial IPropiedades producto vectorial IIPropiedades producto vectorial IIIPropiedades producto vectorial IVMomento AngularMomento Angular y Momento de InerciaMomento Angular y Momento de InerciaMomento Angular y Momento de InerciaPropiedades Momento Angular IPropiedades Momento Angular IIConservacin Momento Angular Conservacin Momento Angular Conservacin Momento Angular Momento Angular y Energa 3 Leyes de Conservacin Cuantizacin del Momento angular I Cuantizacin del Momento angular II Cuantizacin del Momento angular III Cuantizacin del Momento angular III