Post on 06-Nov-2015
MATEMTICA BSICA
Sesin Nro. 05
APLICACIONES DE ECUACIONES
EXPONENCIALES Y LOGARTMICAS
Departamento de Ciencias
OBSERVA LAS SIGUIENTES IMGENES
Ley de enfriamiento
Caliente Fro
Antigedad de Restos Fsiles
Inversiones Financieras Niveles de Sonidos
OBSERVA LAS SIGUIENTES IMGENES
Crecimiento Poblacional
Magnitud de un terremoto
Decaimiento Radiactivo
Presin Atmosfrica
RESPONDA LAS SIGUIENTES PREGUNTAS
Qu situacin observamos en cada una de las imgenes?
Qu relacin matemtica podramos establecer despus
de observar las imgenes?
Qu otras situaciones reales pueden ser representadas
por una ecuacin logartmica o exponencial?
MODELO DE APRENDIZAJE
Cuando un estudiante de la UPN se prepara para el examen final de
Matemtica Bsica, adquiere una gran variedad de conocimientos
que le proporcionan los textos y artculos de Pre Clculo, pero semanas despus, del examen final, el porcentaje de conocimientos
que el estudiante es capaz de recordar est dado por el modelo:
Responder:
a) Cul es el porcentaje de
conocimientos que tiene el estudiante
al rendir su examen final?
b)Despus de cuntas semanas su
nivel de conocimientos es de 50%?
=175 + 250.4
1 + 0.4
LOGRO DE SESIN
Al finalizar la sesin el estudiante plantea, resuelve y analiza problemas de contexto real relacionados a la ingeniera y/o a la gestin empresarial haciendo uso de la teora de ecuaciones exponenciales y logartmicas, de forma correcta.
1) Aplicacin 1: Presin atmosfrica.
2) Aplicacin 2: Crecimiento poblacional.
3) Aplicacin 3: Decaimiento radiactivo.
4) Aplicacin 4: Magnitud de un terremoto.
5) Aplicacin 5: Modelo de aprendizaje.
6) Referencias bibliogrficas.
CONTENIDOS
Aplicacin 01: Presin atmosfrica
La presin atmosfrica depende
de la altura, y est dada por la
siguiente frmula:
Donde
Presin atmosfrica
: constantes y : altura con relacin al
nivel del mar
: presin en funcin de la altura
() =
La presin atmosfrica P sobre
un avin disminuye conforme
aumenta la altura. Esta presin
(en milmetros de mercurio), se
relaciona con la altura h (en
kilmetros) sobre el nivel del
mar, mediante la frmula:
= 760 0,145
Cul es la altura del avin,
sobre el nivel del mar, si la
presin atmosfrica es de 320
milmetros de mercurio?
Solucin Por dato, tenemos que la presin
atmosfrica del avin es 320 mm
de Hg, entonces: = 320
Reemplazando en la frmula:
320 = 760 0,145 320
760= 0,145
= 1
0,145ln
8
19
5,97
Rpta. La altura del avin es de aprox. 6 km sobre el nivel del mar
Aplicacin 01: Presin atmosfrica
Una funcin que modela el
nmero () de individuos de una poblacin, al transcurrir un
tiempo , est dada por:
Donde
Crecimiento poblacional
: es el nmero inicial de
individuos ( = 0)
() =
: constante positiva
denominada tasa de
crecimiento
Aplicacin 02: Crecimiento poblacional
Dentro de aos la poblacin de un pas europeo ser de:
() = 50 0,02
a)Cul es la poblacin actual?
b)Dentro de cuntos aos la
poblacin tendr alrededor de
66 000 000 de habitantes?
Solucin a) Evaluar = 0 en la frmula
de (), de donde: (0) = 50
reemplazando en la frmula:
66 = 50 0,02 66
50= 0,02
= 1
0,02ln
33
25 13,9
Rpta. Dentro de aprox. 14 aos
millones de habitantes.
Responder:
Rpta. La poblacin actual es de 50 000 000 de habitantes.
b) Por dato tenemos que: = 66
Aplicacin 02: Crecimiento poblacional
donde 0 es la cantidad de masa inicial del elemento radiactivo
Los elementos radiactivos
tienden a disminuir su masa
conforme transcurre el tiempo.
Sea el tiempo medido en aos y () la cantidad medida en gramos del elemento radiactivo,
entonces dicha cantidad est
dada por el siguiente modelo :
Decaimiento radiactivo
() =
Aplicacin 03: Decaimiento radiactivo
Una sustancia radiactiva se
desintegra siguiendo una
funcin exponencial.
La cantidad inicial de masa es
de 10 gramos, pero despus
de 200 aos la masa se reduce
a 2 gramos.
Calcular la cantidad de masa
despus de 100 aos.
() = 10
Solucin Por dato: 0 = 10, entonces
el modelo est dado por la
frmula:
reemplazando en la frmula:
2 = 10 200 1
5= 200
= 5
200 0,008047
Rpta. Aprox. 4,47 gramos.
Por condicin: (200) = 2,
() = 10 0,008047
(100) = 10 0,008047(100)
Aplicacin 03: Decaimiento radiactivo
Para medir la magnitud de un terremoto se realizan lecturas en un sismgrafo que deben ser representadas en una escala, por
ejemplo: La Escala Richter, cuya magnitud se halla mediante la
siguiente ecuacin :
donde es la intensidad del terremoto e 0 es la intensidad de un terremoto estndar de
referencia.
Magnitud de un terremoto
=
Aplicacin 04: Magnitud de un terremoto
El terremoto de Lima del ao 1940 registr una magnitud de 8,2 en
la escala de Richter Qu tan intenso fue el sismo de Ica del 15 de
Agosto del 2007 (magnitud de 7,9)? Solucin
Por dato: 1940 = 8,2 y 2007 = 7,9 entonces:
2007 1940 = log2007
0 log
19400
7,9 8,2 = log
20071940
20071940
= 100,3 0,501
Rpta. El sismo de 2007 fue aproximadamente la mitad de intenso que el sismo de 1940.
Aplicacin 04: Magnitud de un terremoto
Cuando un estudiante de la UPN se prepara para el examen final de
Matemtica Bsica, adquiere una gran variedad de conocimientos
que le proporcionan los textos y artculos de Pre Clculo, pero semanas despus, del examen final, el porcentaje de conocimientos
que el estudiante es capaz de recordar est dado por el modelo:
Responder:
a) Cul es el porcentaje de
conocimientos que tiene el estudiante
al rendir su examen final?
b)Despus de cuntas semanas su
nivel de conocimientos es de 50%?
=175 + 250.4
1 + 0.4
Aplicacin 05: Modelo de aprendizaje
Solucin a) Al rendir el examen final se considera = 0, entonces:
0 =175 + 250.4(0)
1 + 0.4(0)=
175 + 25
1 + 1= 100
representa el porcentaje pedido.
Rpta. Al rendir su examen final el nivel de conocimientos del
estudiante es del 100%.
b) Por dato = 50, entonces reemplazando en el modelo:
50 =175 + 250.4
1 + 0.4 2 1 + 0.4 = 7 + 0.4
0.4 = 5 =5
0,4 4,02
Rpta. El nivel de conocimientos del estudiante ser del 50%
despus de aproximadamente 4 semanas.
Aplicacin 05: Modelo de aprendizaje
1. Harshbarger, Reynolds. Matemticas Aplicadas. 510 HARS
2. Hoffmann Bradley, Rosen. Clculo Aplicado. 515 HOFF/C.
3. Haeussler, Ernest. Matemticas para Administracin. 510
HAEU/M.
4. Arya, Jagdish. Matemticas Aplicadas. 510 ARYA
5. REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS