Transcript of Precalculo- Demana ....Kennedy
- 1. Preclculo Demana Waits Foley Kennedy Demana Waits Foley
Kennedy s p t i m a E d i c i n Sptima Edicin Grfico, numrico,
algebraico Grfico, numrico, algebraico Preclculo Este reconocido
libro aborda el preclculo desde una perspectiva novedosa y
reformada que integra la tecnologa de graficacin como una
herramienta esencial para el descubrimiento matemtico y para la
solucin efectiva de problemas. A lo largo del texto se explican las
ecuaciones paramtricas, las funciones definidas por partes y la
notacin de lmite. Todo con un enfoque intuitivo y de continuidad
para que el estudiante desarrolle sus habilidades de pensamiento
crtico. Entre lo ms destacable que este libro nos ofrece se
encuentra: Este libro cuenta con una gran cantidad de materiales en
lnea para alumnos y profesores; entre ellos, un curso precargado en
CourseCompass con exmenes, manuales, videos y animaciones, as como
un sin- nmero de ejercicios de autoevaluacin. Adems, este curso
cuenta con MyMathLab, un exclusivo sistema de ejercicios en lnea
que permite al profesor seleccionar de entre una gran cantidad de
opciones, los ejercicios que desee asignar en sus tareas. MyMathLab
lleva al alumno paso a paso hacia la mejor com- prensin del
ejercicio y le da seguimiento de su progreso. MyMathLab no slo
ofrece retroalimentacin en funcin de las respuestas del alumno,
tambin le genera un plan de estudio personalizado con base en sus
errores. Una gua que, a travs de una exploracin tradicional de doce
funciones bsicas y sus propie- dades, refuerza la relacin que
existe entre sus representaciones algebraica, grfica y numrica. Una
visin novedosa para la solucin de problemas, as como un vocabulario
completo de funcio- nes y aplicaciones con datos reales. De igual
manera, la obra presenta temas de instruccin cuantitativa (tales
como probabilidad, estadstica y matemticas financieras) y concluye
con un captulo que prepara al lector para abordar dos temas cen-
trales: la tasa de cambio instantnea y la acumulacin continua.
Todos los captulos incluyen notas al margen, ideas clave,
ejercicios de repaso, preguntas de examen estandarizado,
exploraciones, proyectos y mltiples ejercicios (ms de 6000 en todo
el libro). port. Precalculo Demana OTRA.ind1 1 4/27/07 7:47:00
PM
- 2. Frmulas de lgebra Exponentes Si todas las bases son
diferentes de cero: umun umn u u m n umn u0 1 un u 1 n uvm umvm umn
umn ( u v ) m u vm m Radicales y exponentes racionales Si todas las
races son nmeros reales: n uv n u n v n u v v 0 m n u mn u n un u n
um n um n un u1/n n u um/n u1/nm n um um/n um1/n n um Productos
especiales u vu v u2 v2 u v2 u2 2uv v2 u v2 u2 2uv v2 u v3 u3 3u2v
3uv2 v3 u v3 u3 3u2v 3uv2 v3 Factorizacin de polinomios u2 v2 u vu
v u2 2uv v2 u v2 u2 2uv v2 u v2 u3 v3 u vu2 uv v2 u3 v3 u vu2 uv v2
Desigualdades Si u v y v w, entonces u w. Si u v, entonces u w v w.
Si u v y c 0, entonces uc vc. Si u v y c 0, entonces uc vc. Si c 0,
u c es equivalente a c u c. Si c 0, u c es equivalente a u c o bien
u c. Frmula cuadrtica Si a 0, las soluciones de la ecuacin ax2 bx c
0 estn dadas por x b 2a b2 4ac . Logaritmos Si 0 b 1, 0 a 1, x, R,
S, 0 y logb x si, y slo si, by x logb 1 0 logb b 1 logb by y blogbx
x logb RS logb R logb S logb R S logb R logb S logb Rc c logb R
logb x l l o o g g a a b x Determinantes ad bc Sucesiones y series
aritmticas an a1 n 1d Sn n( a1 2 an )o Sn n 2 2a1 n 1d Sucesiones y
series geomtricas an a1 rn1 Sn a1 1 1 r rn r 1 S 1 a 1 r r 1 serie
geomtrica infinita. Factorial n! n n 1 n 2 3 2 1 n n 1! n!, 0! 1
Coeficiente binomial ( ) r!(n n ! r)! (enteros n y r, n r 0)
Teorema del binomio Si n es un entero positivo a bn ( )an ( )an1 b
( )anr br ( )bnn n n r n 1 n 0 n r b d a c u n par u n impar n u n
v
- 3. Frmulas de geometra Tringulo h a sen rea 1 2 bh Trapecio rea
h 2 a b Crculo rea r2 Circunferencia 2r Sector circular rea 2 r2 (
en radianes) s r ( en radianes) Cono circular recto Volumen r 3 2h
rea de la superficie lateral rr2 h2 Cilindro circular recto Volumen
r2h rea de la superficie lateral 2rh Tringulo rectngulo Teorema de
Pitgoras: c2 a2 b2 Paralelogramo rea bh Anillo circular rea R2 r2
Elipse rea ab Cono Volumen A 3 h (A rea de la base) Esfera Volumen
4 3 r3 rea de la superficie 4r2 Frmulas de trigonometra Medida
angular radianes 180 Por lo que 1 radin 1 80 grados, y 1 grado 1 80
radianes. Identidades recprocas sen x cs 1 c x csc x se 1 n x cos x
se 1 c x sec x co 1 s x tan x co 1 t x cot x ta 1 n x Identidades
cociente tan x s c e o n s x x cot x c se o n s x x Identidades
pitagricas sen2 x cos2 x 1 tan2 x 1 sec2 x 1 cot2 x csc2 x r A h a
b R r h b a c b r h r h r s r a h b ac h b
- 4. PreclculoGrfico, numrico, algebraico Franklin D. Demana The
Ohio State University Bert K. Waits The Ohio State University
Gregory D. Foley Liberal Arts and Science Academy of Austin Daniel
Kennedy Baylor School S P T I M A E D I C I N TRADUCCIN Vctor Hugo
Ibarra Mercado Escuela de Actuara Universidad Anhuac, Mxico REVISIN
TCNICA M. en C. Javier Alfaro Pastor Instituto Tecnolgico Autnomo
de Mxico Dr. Ernesto Filio Lpez Unidad Profesional
Interdisciplinaria en Ingeniera y Tecnologas Avanzadas Instituto
Politcnico Nacional (Mxico) *AP es una marca registrada del College
Board, el cual no avala ni est involucrado en la produccin de este
libro.
- 5. Authorized translation from the English language edition,
entitled Precalculus: graphical, numerical, algebraic 7th ed., by
Franklin D. Demana, Bert K. Waits, Gregory D. Foley and Daniel
Kennedy, published by Pearson Education, Inc., publishing as
Addison Wesley, Copyright 2007. All rights reserved. ISBN
0-321-35693-4 Traduccin autorizada de la edicin en idioma ingls,
titulada Precalculus: graphical, numerical, algebraic 7a ed., por
Franklin D. Demana, Bert K. Waits, Gregory D. Foley y Daniel
Kennedy, publicada por Pearson Education, Inc., publicada como
Addison Wesley, Copyright 2007. Todos los derechos reservados. Esta
edicin en espaol es la nica autorizada. Edicin en espaol Editor:
Rubn Fuerte Rivera e-mail: ruben.fuerte@pearsoned.com Editor de
desarrollo: Bernardino Gutirrez Hernndez Supervisor de produccin:
Rodrigo Romero Villalobos SPTIMA EDICIN, 2007 D.R. 2007 por Pearson
Educacin de Mxico, S.A. de C.V. Atlacomulco 500-5 piso, Col.
Industrial Atoto 53519, Naucalpan de Jurez, Edo. de Mxico E-mail:
editorial.universidades@pearsoned.com Cmara Nacional de la
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Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta
publicacin pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un
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medio, sea electrnico, mecnico, fotoqumico, magntico o
electroptico, por fotocopia, grabacin o cualquier otro, sin permiso
previo por escrito del editor. El prstamo, alquiler o cualquier
otra forma de cesin de uso de este ejemplar requerir tambin la
autorizacin del editor o de sus represen- tantes. ISBN 10:
970-26-1016-8 ISBN 13: 978-970-26-1016-8 Impreso en Mxico. Printed
in Mexico. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 10 09 08 07 06 DEMANA, FRANKLIN D. y
cols. Preclculo. Grfico, numrico, algebraico Sptima edicin Pearson
Educacin, Mxico, 2007 ISBN: 970-26-1016-8 rea: Matemticas Formato:
21 27 cm Pginas: 1056 Edicin en Ingls Publisher Greg Tobin
Executive Editor Anne Kelly Project Editor Joanne Ha Managing
Editor Karen Wernholm Senior Production SupervisorJeffrey Holcomb
Supplements Coordinator Emily Portwood Software Development John
OBrien and Mary Durnwald Developmental Editor Elka Block Cover
Design Suzanne Heiser Project Management Kathy Smith Cover photo
Royalty-Free/Corbis. Ferris wheel in Odaiba, Tokyo.
- 6. Contenido v Contenido CAPTULO R Requisitos 1 R.1 Nmeros
reales 2 Representacin de nmeros reales ~ Orden y notacin de
intervalo ~ Propiedades bsicas del lgebra ~ Exponentes enteros ~
Notacin cientfica R.2 Sistema de coordenadas cartesianas 14 El
plano cartesiano ~ Valor absoluto de un nmero real ~ Frmulas de la
distancia ~ Frmulas para el punto medio ~ Ecuaciones de
circunferencias ~ Aplicaciones R.3 Ecuaciones y desigualdades
lineales 24 Ecuaciones ~ Resolucin de ecuaciones ~ Ecuaciones
lineales con una variable ~ Desigualdades lineales en una variable
R.4 Rectas en el plano 31 Pendiente de una recta ~ Ecuacin de una
recta en la forma punto pendiente ~ Ecuacin de una recta en la
forma pendiente interseccin al origen ~ Graficacin de ecuaciones
lineales con dos variables ~ Rectas paralelas y rectas
perpendiculares ~ Aplicacin de ecuaciones lineales con dos
variables R.5 Resolucin de ecuaciones en forma grfica, numrica y
algebraica 44 Resolucin de manera grfica de ecuaciones ~ Resolucin
de ecuaciones cuadrticas ~ Aproximacin en forma grfica de
soluciones de ecuaciones ~ Aproximacin de soluciones de ecuaciones,
de forma numrica, mediante tablas ~ Resolucin de ecuaciones
mediante la determinacin de intersecciones R.6 Nmeros complejos 53
Nmeros complejos ~ Operaciones con nmeros complejos ~ Conjugados y
divisin complejos ~ Soluciones complejas de ecuaciones cuadrticas
R.7 Resolucin de desigualdades en forma algebraica y grfica 59
Resolucin de desigualdades con valor absoluto ~ Resolucin de
desigualdades cuadrticas ~ Aproximacin a soluciones de
desigualdades ~ Movimiento de proyectiles Ideas Clave 65 Ejercicios
de repaso 66 CAPTULO 1 Funciones y grficas 69 1.1 Modelacin y
resolucin de ecuaciones 70 Modelos numricos ~ Modelos algebraicos ~
Modelos grficos ~ Propiedad del factor cero ~ Resolucin de
- 7. vi Contenido problemas ~ Fallas de los graficadores y
comportamiento oculto ~ Un comentario acerca de las demostraciones
1.2 Funciones y sus propiedades 86 Definicin y notacin de funcin ~
Dominio y rango ~ Continuidad ~ Funciones crecientes y funciones
decrecientes ~ Acotamiento ~ Extremos locales y absolutos ~ Simetra
~ Asntotas ~ Comportamiento en los extremos 1.3 Doce funciones
bsicas 106 Qu pueden decirnos las grficas ~ Doce funciones bsicas ~
Anlisis grfico de funciones 1.4 Construccin de funciones a partir
de funciones 117 Combinacin algebraica de funciones ~ Composicin de
funciones ~ Relaciones y funciones definidas en forma implcita 1.5
Relaciones paramtricas e inversas 127 Relaciones definidas en forma
paramtrica ~ Relaciones inversas y funciones inversas 1.6
Transformaciones grficas 138 Transformaciones ~ Traslaciones
vertical y horizontal ~ Reflexiones con respecto a los ejes ~
Alargamientos y compresiones horizontal y vertical ~ Combinacin de
transformaciones 1.7 Modelacin con funciones 151 Funciones a partir
de frmulas ~ Funciones a partir de grficas ~ Funciones a partir de
descripciones verbales ~ Funciones a partir de datos Matemticas en
el trabajo 164 Ideas clave 164 Ejercicios de repaso 165 Proyecto
168 CAPTULO 2 Funciones polinomiales, potencia y racionales 169 2.1
Funciones lineales y cuadrticas, y modelacin 170 Funciones
polinomiales ~ Funciones lineales y sus grficas ~ Tasa (razn)
promedio de cambio ~ Correlacin lineal y modelacin ~ Funciones
cuadrticas y sus grficas ~ Aplicaciones de funciones cuadrticas 2.2
Funciones potencia con modelacin 188 Funciones potencia y variacin
~ Funciones monomiales y sus grficas ~ Grficas de funciones
potencia ~ Modelacin con funciones potencia
- 8. Contenido vii 2.3 Funciones polinomiales de grado superior
con modelacin 200 Grficas de funciones polinomiales ~ Determinacin
del comportamiento en los extremos de funciones polinomiales ~
Ceros (races) de funciones polinomiales ~ El teorema del valor
intermedio ~ Modelacin 2.4 Ceros reales de funciones polinomiales
214 Divisin larga y el algoritmo de la divisin ~ Teoremas del
residuo y del factor ~ Divisin sinttica ~ Teorema de los ceros
racionales ~ Cotas superior e inferior 2.5 Ceros complejos y el
teorema fundamental del lgebra 228 Dos teoremas importantes ~ Ceros
complejos conjugados ~ Factorizacin con coeficientes reales 2.6
Grficas de funciones racionales 237 Funciones racionales ~
Transformaciones de la funcin recproca ~ Lmites y asntotas ~
Anlisis de grficas de funciones racionales ~ Exploracin de humedad
relativa 2.7 Resolucin de ecuaciones con una variable 248 Resolucin
de ecuaciones racionales ~ Soluciones extraas ~ Aplicaciones 2.8
Resolucin de desigualdades con una variable 257 Desigualdades
lineales ~ Desigualdades racionales ~ Otras desigualdades ~
Aplicaciones Matemticas en el trabajo 267 Ideas clave 268
Ejercicios de repaso 269 Proyecto 273 CAPTULO 3 Funciones
exponencial, logstica y logartmica 275 3.1 Funciones exponencial y
logstica 276 Funciones exponenciales y sus grficas ~ La base
natural e ~ Funciones logsticas y sus grficas ~ Modelos de poblacin
3.2 Modelacin exponencial y logstica 290 Tasa de porcentaje
constante y funciones exponenciales ~ Modelos de crecimiento y
decrecimiento exponencial ~ Uso de regresin para modelar
poblaciones ~ Otros modelos logsticos 3.3 Funciones logartmicas y
sus grficas 300 Funciones inversas de exponenciales ~ Logaritmos
comunes, base 10 ~ Logaritmos naturales, base e ~ Grficas de
funciones logartmicas ~ Medicin del sonido usando decibeles
- 9. viii Contenido 3.4 Propiedades de las funciones logartmicas
310 Propiedades de los logaritmos ~ Cambio de base ~ Grficas de
funciones logartmicas con base b ~ Cmo expresar informacin de otra
forma 3.5 Modelacin y resolucin de ecuaciones 320 Resolucin de
ecuaciones exponenciales ~ Resolucin de ecuaciones logartmicas ~
rdenes de magnitud y modelos logartmicos ~ Ley de enfriamiento de
Newton ~ Transformacin logartmica ~ Tres tipos de transformaciones
logartmicas 3.6 Matemticas financieras 334 Inters capitalizable
anualmente ~ Inters capitalizable k veces por ao ~ Porcentaje de
rendimiento anual ~ Rendimiento porcentual anual ~ Anualidades,
valor futuro ~ Prstamos e hipotecas, valor presente Ideas clave 344
Ejercicios de repaso 344 Proyecto 348 CAPTULO 4 Funciones
trigonomtricas 349 4.1 Los ngulos y sus medidas 350 El problema de
la medicin angular ~ Grados y radianes ~ Longitud de un arco
circular ~ Movimiento angular y lineal 4.2 Funciones trigonomtricas
de ngulos agudos 360 Trigonometra del tringulo rectngulo ~ Dos
tringulos famosos ~ Evaluacin de las funciones trigonomtricas con
calculadora ~ Errores comunes que se cometen con la calculadora
cuando se evalan las funciones trigonomtricas ~ Aplicaciones de la
trigonometra del tringulo rectngulo 4.3 Trigonometra ampliada: las
funciones circulares 370 Funciones trigonomtricas de cualquier
ngulo ~ Funciones trigonomtricas de nmeros reales ~ Funciones
peridicas ~ El crculo unitario de 16 puntos 4.4 Grficas del seno y
el coseno: sinusoides 384 Revisin de las ondas bsicas ~
Sinusoidales y transformaciones ~ Modelacin del comportamiento
peridico con sinusoidales 4.5 Grficas de la tangente, cotangente,
secante y cosecante 396 La funcin tangente ~ La funcin cotangente ~
La funcin secante ~ La funcin cosecante 4.6 Grficas de funciones
trigonomtricas compuestas 405 Combinacin de funciones algebraicas y
trigonomtricas ~ Sumas y diferencias de sinusoidales ~ Oscilacin
amortiguada
- 10. Contenido ix 4.7 Funciones trigonomtricas inversas 414
Funcin seno inverso ~ Funciones coseno y tangente inversas ~
Composicin de funciones trigonomtricas y funciones trigonomtricas
inversas ~ Aplicaciones de las funciones trigonomtricas inversas
4.8 Resolucin de problemas con trigonometra 425 Ms problemas con
tringulos rectngulos ~ Movimiento armnico simple Ideas clave 438
Ejercicios de repaso 439 Proyecto 442 CAPTULO 5 Trigonometra
analtica 443 5.1 Identidades fundamentales 444 Identidades ~
Identidades trigonomtricas bsicas ~ Identidades pitagricas ~
Identidades de cofunciones ~ Identidades impar-par ~ Simplificacin
de expresiones trigonomtricas ~ Resolucin de ecuaciones
trigonomtricas 5.2 Demostracin de identidades trigonomtricas 454
Una estrategia de demostracin ~ Demostracin de identidades ~
Refutacin de las que no son identidades ~ Identidades en clculo 5.3
Identidades de suma y diferencia 463 Coseno de una diferencia ~
Coseno de una suma ~ Seno de una diferencia o de una suma ~
Tangente de una diferencia o de una suma ~ Verificacin algebraica
de una sinusoidal 5.4 Identidades de mltiplos de un ngulo 471
Identidades de ngulo doble ~ Identidades para reducir potencias ~
Identidades de medio ngulo ~ Resolucin de ecuaciones trigonomtricas
5.5 Ley de los senos 478 Deduccin de la ley de los senos ~
Resolucin de tringulos (AAL, ALA) ~ El caso ambiguo (LLA) ~
Aplicaciones 5.6 Ley de los cosenos 487 Deduccin de la ley de los
cosenos ~ Resolucin de tringulos (LAL, LLL) ~ rea de un tringulo y
la frmula de Hern ~ Aplicaciones Matemticas en el trabajo 496 Ideas
clave 497 Ejercicios de repaso 497 Proyecto 500
- 11. x Contenido CAPTULO 6 Aplicaciones de trigonometra 501 6.1
Vectores en el plano 502 Vectores en dos dimensiones ~ Operaciones
con vectores ~ Vectores unitarios ~ ngulos de direccin ~
Aplicaciones de vectores 6.2 Producto punto de vectores 514 El
producto punto ~ ngulo entre vectores ~ Proyeccin de un vector
sobre otro ~ Trabajo 6.3 Ecuaciones paramtricas y movimiento 522
Ecuaciones paramtricas ~ Curvas paramtricas ~ Eliminacin del
parmetro ~ Rectas y segmentos de recta ~ Simulacin de movimiento
con una graficadora 6.4 Coordenadas polares 534 El sistema de
coordenadas polares ~ Transformacin de coordenadas ~ Transformacin
de ecuaciones ~ Determinacin de la distancia mediante coordenadas
polares 6.5 Grficas de ecuaciones polares 541 Curvas polares y
curvas paramtricas ~ Simetra ~ Anlisis de curvas polares ~ Rosas ~
Limaones (Caracoles) ~ Otras curvas polares 6.6 Teorema de Moivre y
races n-simas 550 El plano complejo ~ Forma trigonomtrica de los
nmeros complejos ~ Multiplicacin y divisin de nmeros complejos ~
Potencias de nmeros complejos ~ Races de nmeros complejos Ideas
Clave 561 Ejercicios de repaso 562 Proyecto 565 CAPTULO 7 Sistemas
y matrices 567 7.1 Resolucin de sistemas de dos ecuaciones 568 El
mtodo de sustitucin ~ Resolucin grfica de sistemas ~ El mtodo de
eliminacin ~ Aplicaciones 7.2 lgebra de matrices 579 Matrices ~
Suma y resta de matrices ~ Multiplicacin de matrices ~ Matrices
identidad e inversa de una matriz ~ Vectores en dos dimensiones ~
Aplicaciones 7.3 Sistemas lineales de varias variables y
operaciones por renglones 594 Forma triangular para sistemas
lineales ~ Eliminacin gaussiana ~ Operaciones elementales por
renglones y forma escalonada por renglones ~ Forma escalonada
reducida por renglones ~ Resolucin de sistemas con matrices
inversas ~ Aplicaciones
- 12. Contenido xi 7.4 Fracciones parciales 608 Descomposicin en
fracciones parciales ~ Denominadores con factores lineales ~
Denominadores con factores cuadrticos irreducibles ~ Aplicaciones
7.5 Sistemas de desigualdades con dos variables 617 Grfica de una
desigualdad ~ Sistemas de desigualdades ~ Programacin lineal
Matemticas en el trabajo 625 Ideas clave 626 Ejercicios de repaso
626 Proyecto 630 CAPTULO 8 Geometra analtica en dos y tres
dimensiones 631 8.1 Secciones cnicas y parbolas 632 Secciones
cnicas ~ Geometra de una parbola ~ Traslacin de parbolas ~
Propiedad reflectante de una parbola 8.2 Elipses 644 Geometra de
una elipse ~ Traslacin de elipses ~ rbitas y excentricidad ~
Propiedad reflectante de una elipse 8.3 Hiprbolas 656 Geometra de
una hiprbola ~ Traslacin de hiprbolas ~ rbitas y excentricidad ~
Propiedad reflectante de una hiprbola ~ Navegacin de rango amplio
8.4 Traslacin y rotacin de ejes 666 Ecuaciones de segundo grado de
dos variables ~ Traslacin de ejes en comparacin con la traslacin de
grficas ~ Rotacin de los ejes ~ Criterio del discriminante 8.5
Ecuaciones polares de las cnicas 675 Excentricidad (revisin) ~ Cmo
escribir ecuaciones polares para las cnicas ~ Anlisis de las
ecuaciones polares de las cnicas ~ rbitas (revisin) 8.6 Sistema
coordenado cartesiano tridimensional 685 Coordenadas cartesianas
tridimensionales ~ Frmulas de la distancia y del punto medio ~
Ecuacin de la esfera ~ Planos y otras superficies ~ Vectores en el
espacio ~ Rectas en el espacio Ideas Clave 695 Ejercicios de repaso
696 Proyecto 698
- 13. xii Contenido CAPTULO 9 Matemticas discretas 699 9.1
Combinatoria bsica 700 Discreto en comparacin con continuo ~ La
importancia del conteo ~ El principio de multiplicacin del conteo ~
Permutaciones ~ Combinaciones ~ Subconjuntos de un conjunto con n
elementos 9.2 El teorema del binomio 711 Potencias de binomios ~
Tringulo de Pascal ~ El teorema del binomio ~ Identidades
factoriales 9.3 Probabilidad 718 Espacios muestrales y funciones de
probabilidad ~ Clculo de las probabilidades ~ Diagramas de Venn y
diagramas de rbol ~ Probabilidad condicional ~ Distribuciones
binomiales 9.4 Sucesiones 732 Sucesiones infinitas ~ Lmites de
sucesiones infinitas ~ Sucesiones aritmticas y geomtricas ~
Sucesiones y calculadoras graficadoras 9.5 Series 742 Notacin de
suma ~ Sumas de sucesiones aritmticas y geomtricas ~ Series
infinitas ~ Convergencia de series geomtricas 9.6 Induccin
matemtica 752 El problema de las Torres de Hanoi ~ El principio de
induccin matemtica ~ Induccin y deduccin 9.7 Estadstica y datos
(enfoque grfico) 759 Estadstica ~ Visualizacin de datos categricos
~ Grficas de tallos ~ Tablas de frecuencia ~ Histogramas ~
Diagramas de tiempo 9.8 Estadstica y datos (enfoque algebraico) 771
Parmetros y estadstica ~ Media, mediana y moda ~ Resumen de cinco
nmeros ~ Diagramas de caja (boxplot) ~ Varianza y desviacin estndar
~ Distribuciones normales Matemticas en el trabajo 785 Ideas Clave
786 Ejercicios de repaso 786 Proyecto 790 CAPTULO 10 Una
introduccin al clculo: lmites, derivadas e integrales 791 10.1
Lmites y movimiento: el problema de la tangente 792 Velocidad
promedio ~ Velocidad instantnea ~ Revisin de lmites ~ Relacin con
las rectas tangentes ~ La derivada
- 14. Contenido xiii 10.2 Lmites y movimiento: el problema del
rea 804 Distancia a partir de una velocidad constante ~ Distancia a
partir de una velocidad cambiante ~ Lmites en el infinito ~ La
relacin con las reas ~ La integral definida 10.3 Ms acerca de los
lmites 813 Un poco de historia ~ Definicin informal de lmite ~
Propiedades de los lmites ~ Lmites de funciones continuas ~ Lmites
laterales y de dos lados ~ Lmites que tienden a infinito 10.4
Integrales y derivadas numricas 826 Derivadas obtenidas con
calculadora ~ Integrales definidas obtenidas con calculadora ~
Clculo de la derivada a partir de datos ~ Clculo de la integral
definida a partir de datos Ideas Clave 836 Ejercicios de repaso 836
Proyecto 838 APNDICE A Panorama general de los apndices A.1
Radicales y exponentes racionales 839 Radicales ~ Simplificacin de
expresiones con radicales ~ Racionalizacin del denominador ~
Exponentes racionales A.2 Polinomios y factorizacin 845 Cmo sumar,
restar y multiplicar polinomios ~ Productos especiales ~
Factorizacin de polinomios mediante los productos especiales ~
Factorizacin de trinomios ~ Factorizacin por agrupacin A.3
Expresiones fraccionales 852 Dominio de una expresin algebraica ~
Reduccin de expresiones racionales ~ Operaciones con expresiones
racionales ~ Expresiones racionales compuestas APNDICE B Frmulas
importantes B.1 Frmulas de lgebra 857 Exponentes ~ Radicales y
exponentes racionales ~ Productos especiales ~ Factorizacin de
polinomios ~ Desigualdades ~ Frmula cuadrtica ~ Logaritmos ~
Determinantes ~ Sucesiones y series aritmticas ~ Sucesiones y
series geomtricas ~ Factorial ~ Coeficiente binomial ~ Teorema del
binomio B.2 Frmulas de geometra 858 Tringulo ~ Trapecio ~ Crculo ~
Sector circular ~ Cono circular recto ~ Cilindro circular recto ~
Tringulo rectngulo ~ Paralelogramo ~ Anillo circular ~ Elipse ~
Cono ~ Esfera
- 15. xiv Contenido B.3 Frmulas de trigonometra 859 Medida
angular ~ Identidades recprocas ~ Identidades cociente ~
Identidades pitagricas ~ Identidades impar-par ~ Identidades de
suma y diferencia ~ Identidades de cofuncin ~ Identidades del ngulo
doble ~ Identidades para reducir potencias ~ Identidades del ngulo
medio ~ Tringulos ~ Forma trigonomtrica de un nmero complejo ~
Teorema de Moivre B.4 Frmulas de geometra analtica 860 Frmulas
bsicas ~ Ecuaciones de una recta ~ Ecuacin de una circunferencia ~
Parbolas con vrtice en (h, k) ~ Elipses con centro en (h, k) y a b
0 ~ Hiprbolas con centro en (h, k) B.5 Galera de funciones bsicas
862 APNDICE C C.1 Lgica: Una introduccin 863 Proposiciones ~
Proposiciones compuestas C.2 Condicionales y bicondicionales 869
Formas de proposiciones ~ Razonamiento vlido Glosario 877
Respuestas seleccionadas 895 ndice de aplicaciones 1014 ndice
1017
- 16. Acerca de los autores Franklin D. Demana Frank Demana
recibi sus ttulos de maestra y doctorado en matemticas en la
Universidad Estatal de Michigan y es profesor emrito de ma-
temticas en la Universidad Estatal de Ohio. Como activo partidario
del uso de la tecnologa en la enseanza y el aprendizaje de las
matemti- cas, es cofundador del programa nacional de desarrollo
profesional T3 (Teachers Teaching with Technology, Maestros
Enseando con Tecnologa). Ha sido director y uno de los principales
investigadores de actividades financiadas con ms de diez millones
de dlares por la NSF (National Science Foundation, Fundacin
Nacional para la Ciencia). Actualmente es investigador codirector
del Departamento de Educacin Matemtica e Investigacin Educativa de
la Ciencia de Estados Unidos, que tiene asignados fondos de 3
millones de dlares, en un programa otorgado a la Universidad
Estatal de Ohio. Adems de presentarse frecuentemente en congresos
profesionales, ha publicado una amplia varie- dad de artculos en el
campo de la instruccin matemtica potenciada con computadoras y
calculadoras. El Dr. Demana tambin es cofundador (junto con Bert
Waits) de la ICTCM (International Conference on Technology in
Collegiate Mathematics, Conferencia Internacional sobre Tec- nologa
en Matemticas Universitarias) que se celebra ao con ao. Recibi,
junto con el Dr. Waits, el premio Glenn Gilbert National Leadership
de 1997, otorgado por el Consejo de Supervisores de Matemticas de
Ohio (Ohio Council of Teachers of Mathematics). El Dr. Demana es
coautor de Calculus: Graphical, Numerical, Algebraic; Essential
Algebra: A Calculator Approach; Transition to College Mathe-
matics; College Algebra and Trigonometry: A Graphing Approach;
College Algebra: A Graphing Approach; Precalculus: Functions and
Graphs e Intermediate Algebra: A Graphing Approach. Bert K. Waits
Bert Waits recibi su doctorado en la Universidad Estatal de Ohio y
actualmente es profesor emrito de matemticas de la misma. El Dr.
Waits es cofundador del programa de desarrollo profesional T3, y ha
sido codirector o investigador principal de varios grandes
proyectos de la NSF. Ha publicado artculos en ms de 50 revistas
profesionales reconocidas nacionalmente. Con frecuencia imparte
conferencias, talleres y minicur- sos en reuniones nacionales de la
MAA (Mathematics American Association, Asociacin Matemtica de
Amrica) y la NCTM (National Coun- cil of Teachers of Mathematics,
Consejo Nacional de Maestros de Matemticas) sobre el uso de la
tecnologa informtica para mejorar la enseanza y el aprendizaje de
matemticas. Ha sido invitado a presentaciones en las ediciones 6, 7
y 8 del ICME (International Congress on Mathematical Education,
Congreso Internacional de Educacin Matemtica) en Budapest (1988),
Quebec (1992) y Sevilla (1996), respectiva- mente. El Dr. Waits
recibi, junto con el Dr. Demana, el premio Glenn Gilbert National
Leadership de 1997, otorgado por el Consejo de Super- visores de
Matemticas de Ohio y es cofundador (con Frank Demana) de la ICTCM.
Tambin fue uno de los acreedores al premio Christofferson-Fawcett
Mathematics Education otorgado por el Consejo de Maestros de
Matemticas de Ohio. El Dr. Waits es coautor de Calculus: Graphical,
Numerical, Algebraic; College Algebra and Trigonometry: A Graphing
Approach; College Al- gebra: A Graphing Approach; Precalculus:
Functions and Graphs y de Intermediate Algebra: A Graphing Approach
Gregory D. Foley Greg Foley recibi sus ttulos de licenciatura y
maestra en matemticas, y doctorado en educacin matemtica en la
Universidad de Texas en Austin. Es director de la Academia de
Ciencias y Artes, el programa acadmico avanzado de preparatoria del
Austin Independent School Dis- trict en Texas. El Dr. Foley ha
impartido desde cursos elementales de aritmtica hasta cursos de
matemticas a nivel universitario (en el que tam- bin imparte clases
en educacin matemtica). De 1977 a 2004 ha formado parte de la
facultad de tiempo completo en North Harris County College, Austin
Community College, The Ohio State University, Sam Hoston State
University y Appalachian State University, donde fue Cate- drtico
Distinguido de Educacin Matemtica en el departamento de Ciencias
Matemticas, y dirigi el programa MELT (Mathematics Educa- tion
Leadership Training, Capacitacin de Lderes en Educacin Matemtica).
El Dr. Foley ha presentado ms de 200 conferencias y talleres en
Estados Unidos y otros pases, ha dirigido varios proyectos con
apoyo financiero y ha publicado artculos en varias revistas
profesionales. Ac- tivo en varias sociedades, es miembro del Comit
para la Educacin en Matemticas de Maestros de la MAA. En 1988, el
Dr. Foley recibi el premio bianual AMATYC (American Mathematical
Association of Two-Years Colleges, Asociacin Matemtica
Estadounidense para los Dos Primeros Aos Universitarios) para la
Excelencia Matemtica, y en 2005, recibi el premio anual de T3.
Daniel Kennedy Dan Kennedy recibi su ttulo de licenciatura en el
College of the Holy Cross, y su maestra y doctorado en matemticas
en la Universidad de Carolina del Norte, en Chapel Hill. Desde 1973
ha enseado matemticas en Baylor School en Chattanooga, Tennessee,
donde ostenta la Cte- dra Distinguida Cartter Lupton. El Dr.
Kennedy se convirti en conferencista de Advanced Placement Calculus
en 1978, que lo llev a un nivel creciente de compromiso con el
programa como asesor en talleres, lder de mesas y en desarrollo de
exmenes. Se uni al Advanced Placement Calculus Test Development
Committee en 1986. En 1990 fue el primer maestro de preparatoria en
35 aos en presidir ese comit. Durante su titularidad, el programa
inici el requerimiento de calculadoras graficadoras, para dejar
sentadas las bases para la reforma de 1988 del curricu- lum de
Advanced Placement Calculus. Autor de 1997 Teachers
Guide-AP*Calculus, el Dr. Kennedy ha dirigido ms de 50 talleres
para maes- tros de clculo a nivel bachillerato. Sus artculos sobre
enseanza de matemticas han aparecido en Mathematics Teacher y
American Mathematical Monthly, y es conferencista frecuente en
congresos profesionales y civiles sobre reformas de la educacin. El
Dr. Kennedy fue nombrado Tandy Technology Scholar en 1992 y fue
ganador de un Presidential Award en 1995. El Dr. Kennedy es coautor
de Calculus: Graphical, Numerical, Algebraic; Prentice Hall Algebra
I; Prentice Hall Geometry y de Prentice Hall Algebra 2. xv
- 17. xvi Prefacio Dado que desde 1990 se ha puesto mucha atencin
en reformar los cursos de clcu- lo, sorprende que los de preclculo
hayan mantenido su forma tradicional. En esta edicin de Preclculo:
grfico, numrico y algebraico, los autores presentan un cur- so de
preclculo reformado. Para aquellos estudiantes que planeen
continuar con un curso de clculo, esta obra concluye con un captulo
que los prepara para abordar dos temas centrales: la tasa de cambio
instantnea y la acumulacin continua. Este interesante avance
intuitivo es til y ms razonable que la incursin tradicional y ca-
rente de motivacin del clculo de lmites. Reconociendo que el de
preclculo podra ser un curso terminal para muchos estudian- tes,
los autores tambin incluyen temas de instruccin cuantitativa tales
como proba- bilidad, estadstica y matemticas financieras. Su
objetivo es proporcionarles buenas habilidades de pensamiento
crtico, necesarias para tener xito en cualquier empresa.
Continuando con el espritu de las ediciones anteriores, los autores
han integrado la tecnologa de graficacin a todo el curso, no como
un tema adicional sino como una herramienta esencial para el
descubrimiento matemtico y la resolucin efectiva de problemas. Esta
tecnologa permite estudiar un catlogo completo de funciones b-
sicas desde el inicio del curso, lo que permite dar una idea de las
propiedades de fun- ciones que en otros libros no se ven sino hasta
los captulos finales. Al relacionar el lgebra de funciones con la
visualizacin de sus grficas, los autores incluso presen- tan a los
estudiantes ecuaciones paramtricas, funciones definidas por partes,
nota- cin de lmite y una comprensin intuitiva de continuidad desde
el captulo 1. Una vez que los estudiantes se sienten cmodos con el
lenguaje de funciones, los autores los guan a travs de una
exploracin ms tradicional de doce funciones b- sicas y sus
propiedades algebraicas, reforzando siempre la relacin que existe
entre sus representaciones algebraica, grfica y numrica. Con
respecto a la modelacin, el libro utiliza un enfoque consistente
que permite dar nfasis en cada captulo al uso de tipos particulares
de funciones para modelar comportamientos del mundo real. Nuestro
enfoque La regla de los cuatro mtodos: Un enfoque equilibrado Una
de las caractersticas principales de este libro es el equilibrio
entre los mto- dos algebraico, numrico, grfico y verbal para
representar problemas: la regla de los cuatro mtodos. Por ejemplo,
obtenemos soluciones de forma algebraica cuan- do sta es la tcnica
ms apropiada para hacerlo y recurrimos a las soluciones gr- fica o
numrica cuando el lgebra es difcil de usar. Recomendamos a los
estudiantes resolver los problemas con mtodo y luego respaldar o
confirmar sus soluciones mediante uno distinto, pues creemos que
deben aprender el valor de ca- da una de estas representaciones
para posteriormente elegir la ms apropiada de acuerdo a cada
problema. Este enfoque refuerza la idea de que, para entender un
problema completamente, son necesarias las comprensiones tanto
algebraica como grfica y numrica. Enfoque de resolucin de problemas
En los ejemplos a todo lo largo del texto se enfatiza la resolucin
sistemtica de problemas usando la siguiente variacin del proceso de
resolucin de problemas de Polya: Comprender el problema.
Desarrollar un modelo matemtico.
- 18. Resolver el modelo matemtico y respaldar o confirmar las
soluciones. Interpretar la solucin. Encontrarn el uso de este mtodo
a lo largo de todo el libro. Doce funciones bsicas Las doce
funciones bsicas, que se presentan enseguida, se resaltan en todo
el libro como un tema principal: Funcin identidad Funcin cuadrtica
Funcin cbica Funcin recproca Funcin raz cuadrada Funcin exponencial
Funcin logaritmo natural Funcin seno Funcin coseno Funcin valor
absoluto Funcin mximo entero Funcin logstica Una de las
caractersticas ms distintivas de este texto es que presenta a los
estu- diantes un vocabulario completo de funciones al principio del
curso. En el captu- lo 1, los estudiantes conocen grficamente las
doce funciones bsicas y son capaces de compararlas y contrastarlas
conforme aprenden conceptos como dominio, ran- go, simetra,
continuidad, comportamiento en los extremos, asntotas, mximos y
mnimo, e incluso periodicidad; conceptos difciles de apreciar
cuando los nicos ejemplos a los que un maestro puede hacer
referencia son los polinomios. Con es- te libro, desde las primeras
semanas de clase los estudiantes sern capaces de ca- racterizar
funciones mediante sus comportamientos por ejemplo, gracias a la
tecnologa de graficacin ya no es necesario entender radianes antes
de poder aprender que la funcin seno es acotada, peridica, impar y
continua, con dominio (, ) y rango [1, 1]. Una vez que los
estudiantes tienen una buena compren- sin de las funciones en
general, el resto del curso consiste en el estudio, con ma- yor
profundidad, de diferentes tipos de funciones, particularmente con
respecto a sus propiedades algebraicas y la modelacin de
aplicaciones. Estas funciones se utilizan para desarrollar las
habilidades fundamentales de anli- sis requeridas para los cursos
de clculo y matemticas avanzadas. La seccin 1.2 proporciona un
panorama de estas funciones mediante un examen de sus grficas. Para
una fcil consulta, el apndice B incluye una ga- lera completa de
funcio- nes bsicas. Cada funcin bsica se re- visa posteriormente en
el libro mediante un anlisis ms profundo que incluye la
investigacin de propie- dades algebraicas. Adems, se resumen las
caractersticas generales de familias de funciones. Prefacio xvii
Doce funciones bsicas La funcin identidad f x x Hecho interesante:
sta es la nica funcin que acta sobre todo nmero real y lo deja
igual. FIGURA 1.36 3 2 1 1 2 3 y x 5 4 3 2 1 321 4 5 Funcin
cuadrtica fx x2 Hecho interesante: La grfica de esta funcin,
denominada parbola, tiene una propiedad de reflexin que es til en
la fabricacin de faros y discos de satlites. FIGURA 1.37 5 4 3 2 1
1 y x 5 4 3 2 1 321 4 5 Funciones exponenciales f (x) bx Dominio:
Todos los reales Rango: (0, ) Continua No tiene simetra: no es par
ni impar Acotada por abajo, pero no por arriba No tiene mximo ni
mnimo Asntota horizontal: y 0 Ni tiene asntotas verticales Si b
> 1 (consulte la figura 3.3 a)) entonces, f es una funcin
creciente, lm x f x 0 y lm x f x . Si 0 < b < 1 (consulte
figura 3.3 b)) entonces, f es una funcin decreciente, lm x f x y lm
x f x 0. FIGURA 3.3 Grficas de f(x) bx para a) b 1 y b) 0 b 1. y x
f (x bx b > 1 (0, 1) a) (1, b) y x f (x) bx 0 < b < 1 (0,
1) b) (1, b) FIGURA 3.29 f x logb x, b 1. y x (b, 1) (1, 0)
Funciones logartmicas f(x) logbx, con b 1 Dominio: (0, ) Rango:
Todos los reales Continua Creciente en su dominio No es simtrica:
no es par ni impar No est acotada por arriba ni por abajo No tiene
mximos ni mnimos No tiene asntotas horizontales Asntota vertical: x
0 Comportamiento en los extremos lm x logbx
- 19. Aplicaciones y datos reales La mayor parte de las
aplicaciones en el texto estn basadas en datos reales de las
fuentes citadas y, para abordar su anlisis, los estudiantes no
requieren experiencia alguna en los campos de origen de las mismas.
A medida que avanzan en el anlisis de las aplicaciones, los
estudiantes se exponen a funciones como mecanismos para modelar
datos, y son mo- tivados para aprender acerca de cmo varias
funciones pueden ayudar a modelar problemas de la vida real.
Aprenden a analizar, modelar y grafi- car datos, e interpretar
grficas y ajustar curvas. Adems, la representa- cin tabular de
datos presentada en este texto enfatiza la idea de que una funcin
es una correspondencia entre variables numricas. Esto ayuda a los
estudiantes a construir la relacin entre los nmeros y sus grficas,
y a reconocer la importancia de una comprensin completa grfica, nu-
mrica y algebraica de un problema. Puede consultar una lista
comple- ta de aplicaciones en el ndice de aplicaciones, en la pgina
1014. Cambios de contenido en esta edicin Para los instructores,
hemos agregado el tratamiento adicional de temas que los
estudiantes generalmente encuentran desafiantes, en especial en los
captulos 1, 2 y 9. Adems, donde ha sido apropiado, hemos
actualizado todos los datos de los ejemplos y ejercicios. Tambin
arreglamos ciertas secciones para acomodar mejor la lon- gitud de
los periodos de enseanza y agregado cuantiosas fuentes, tanto para
maestros nuevos como para experi- mentados. Por todo lo anterior,
creemos firmemente que los cambios descritos hacen de la presente
edicin la obra ms efectiva disponible para los estudiantes. Captulo
R Ahora, se presentan los nmeros complejos en la seccin R.6;
anteriormente este tema se trataba hasta el captulo 2. Captulo 1 La
seccin 1.4 de la edicin anterior se ha dividido en dos para
proporcionar ma- yor prctica en la composicin de funciones y
dedicar una seccin completa a las funciones inversas. Se han
agregado representaciones grficas de composiciones con valor
absoluto. Captulo 2 La seccin sobre nmeros complejos se traslad al
captulo R para hacer ms di- dctica la extensin de este captulo. Se
incluyeron las subsecciones Aplicaciones de funciones cuadrticas y
Funciones monomiales y sus grficas para resaltar estos temas.
Captulo 4 Se agregaron ejercicios de exploracin para presentar las
funciones arcosecante y arcocosecante, y sus opciones de dominio
asociadas. Captulo 6 Ahora, el material de este captulo est
unificado bajo el ttulo Aplicaciones de trigo- nometra. La seccin
de vectores se simplific y se introdujo una nueva subseccin que
relaciona los temas de curvas polares y curvas paramtricas. La
representacin geomtrica de nmeros complejos se pas del captulo 2 a
la seccin 6.6. Captulo 8 El proyecto actualizado del captulo,
Elipses como modelos del movimiento de un pndulo, aborda la
aplicacin de elipses. xviii Prefacio EJEMPLO 6 Modelacin de la
poblacin de Estados Unidos mediante regresin exponencial Utilice la
informacin de 1900 a 2000 en la tabla 3.9 y regresin exponencial
para pronosticar la poblacin de Estados Unidos en 2003. SOLUCIN
Modele Sea P(t) la poblacin, en millones, de Estados Unidos t aos
despus de 1900. La figura 3.15 a) muestra un diagrama de dispersin
de la informacin. Utilizando regresin exponencial, encontramos un
modelo para los datos de 1990-2000: Pt 80.5514 1.01289t. La figura
3.15 b) muestra el diagrama de dispersin con una grfica del modelo
poblacional que acabamos de encontrar. Puede ver que la curva se
ajusta muy bien a los datos. El coeficiente de determinacin es r2
0.995, lo que indica un buen ajuste y apoya la evidencia visual.
Resuelva grficamente Para pronosticar la poblacin de Estados Unidos
en 2003, sustituimos t 103 en el modelo de regresin. La figura 3.15
c) muestra que P(103) 80.5514 1.01289103 301.3. contina FIGURA 3.15
Diagramas de dispersin y grficas para el ejemplo 6. La x en negro
denota al dato para 2003. La x en gris en c) denota la prediccin
del modelo para 2003. [10, 120] por [0, 400] c) X=103 Y=301.29248
5514*1.01289^XY1=80. [10, 120] por [0, 400] b) [10, 120] por [0,
400] a) Tabla 3.9 Poblacin (en millones) Ao Poblacin 1900 76.2 1910
92.2 1920 106.0 1930 123.2 1940 132.2 1950 151.3 1960 179.3 1970
203.3 1980 226.5 1990 248.7 2000 281.4 2003 290.8 Fuente: World
Almanac and Book of Facts 2005. Interprete El modelo pronostica que
la poblacin de Estados Unidos en 2003 fue 301.3 millones. La
poblacin real fue 290.8 millones. Sobreestimamos por 10.5 millo-
nes, menos del 4% de error. Ahora resuelva el ejercicio 43.
- 20. Captulo 9 Ahora hay dos secciones separadas para sucesiones
y series; ms ejemplos y ejerci- cios que las abordan, y un
tratamiento ms amplio de convergencia de sucesiones. Captulo 10
Este primer avance del clculo proporciona una perspectiva histrica
de esta disci- plina, y presenta estudios clsicos de movimiento
mediante los problemas de recta tangente y problemas de rea. Luego
se investigan los lmites; el captulo termina con una inspeccin
grfica y numrica de derivadas e integrales. Caractersticas nuevas o
mejoradas Varias caractersticas se han resaltado en esta revisin
para ayudar a los es- tudiantes a alcanzar el dominio de las
habilidades y conceptos del curso. Nos satisface ofrecer las
siguientes caractersticas nuevas o mejoradas: Los inicios de
captulo incluyen una fotografa para motivar y la descrip- cin
general de una aplicacin que puede resolverse con los temas del ca-
ptulo. La aplicacin se revisa posteriormente mediante un problema
especfico que se resuelve. Estos problemas permiten a los
estudiantes ex- plorar situaciones realistas usando mtodos grficos,
numricos y algebrai- cos. Tambin se pide a los estudiantes modelar
situaciones de problemas mediante las funciones estudiadas en el
captulo. Adems, aqu es donde se listan las secciones del captulo.
La seccin Panorama general del captulo le da un sentido a lo que se
aprender. Este panorama proporciona un mapa del captulo e indica
cmo se relacionan sus temas bajo una idea general. Esto siempre es
til para re- cordar que las matemticas no son modulares, sino que
estn interrelacio- nadas, y que las habilidades y conceptos del
curso se fundamentan unos sobre otros para dar paso a la comprensin
de los procesos y sus relaciones ms complicadas. De forma anloga,
la caracters- tica Aprender acerca de porque proporciona las ideas
generales de cada seccin y ex- plica su propsito. Es importante
leer esta parte y revisarla una vez terminado el captulo para ase-
gurarse de que ha comprendido todos los temas importantes que acaba
de estudiar. Prefacio xix 69 Funciones y grficas Uno de los
principios centrales en economa es que el valor del dinero no es
constante, sino una funcin del tiempo. Dado que muchas fortunas se
ganan y se pierden tratando de predecir el valor futuro del dinero,
se pone mucha atencin a indicadores cuantitativos como el ndice de
precios al consumidor, una medida bsica de la inflacin en varios
sectores de la economa. Consulte la pgina 159 para conocer el
comportamiento del ndice de precios al consumidor a travs del
tiempo. 1.1 Modelacin y resolucin de ecuaciones 1.2 Funciones y sus
propiedades 1.3 Doce funciones bsicas 1.4 Construccin de funciones
a partir de funciones 1.5 Relaciones paramtricas e inversas 1.6
Transformaciones grficas 1.7 Modelacin con funciones CAPTULO 1
PROBLEMA DE INICIO DE CAPTULO (de la pgina 69) PROBLEMA: La tabla
siguiente muestra el crecimiento en el ndice de pre- cios de
computadoras (IPC) para vivienda, para aos seleccionados entre 1980
y 2003 (con base en dlares de 1983). Cmo podemos construir una
funcin para predecir el IPC para los aos 20042010? SOLUCIN: En la
figura 1.87 se muestra un diagrama de dispersin de los datos, en
donde x es el nmero de aos desde 1980. Como los datos caen cer- ca
de una recta inclinada, podemos utilizar una calculadora para
calcular la recta de regresin para modelar los datos. La ecuacin de
la recta de regresin es y 4.37x 83.20. Como lo muestra la figura
1.88, la recta se ajusta muy bien a los datos. Para predecir el IPC
vivienda para 2004, utilizamos x 24 en la ecuacin de la recta de
regresin. En forma anloga, podemos predecir el IPC vivienda para
cada uno de los aos del 2004 al 2010 como se muestra a continuacin:
Incluso con un ajuste de regresin tan impresionante como el de la
figura 1.88, es riesgoso predecir ms all del conjunto de datos.
Estadsticas como el IPC son dependientes de muchos factores
voltiles que rpidamente pueden dejar a cualquier modelo matemtico
obsoleto. De hecho, muchos economistas con- vencidos de que el
crecimiento no poda sostenerse, empezaron a alertar en 2003 que la
burbuja de vivienda reventara antes de 2010. ndice de precios de
computadoras (vivienda) Ao IPC vivienda 1980 81.1 1985 107.7 1990
128.5 1995 148.5 1998 160.4 1999 163.9 2000 169.6 2001 176.4 2002
180.3 2003 184.8 Fuente: Oficina de Estadsticas Laborales, de
acuerdo con The Almanac and Book of Facts 2005. IPC (vivienda)
pronosticado Ao IPC vivienda pronosticado 2004 y 4.37(24) 83.20
188.1 2005 y 4.37(25) 83.20 192.5 2006 y 4.37(26) 83.20 196.8 2007
y 4.37(27) 83.20 201.2 2008 y 4.37(28) 83.20 205.6 2009 y 4.37(29)
83.20 209.9 2010 y 4.37(30) 83.20 214.3 Panorama general del
captulo 3 En este captulo estudiaremos tres familias
interrelacionadas de funciones: expo- nencial, logstica y
logartmica. Las funciones polinomiales, funciones racionales y
funciones potencia con exponentes racionales son funciones
algebraicas; es decir, son funciones obtenidas al sumar, restar,
multiplicar y dividir constantes y una variable independiente, y
elevar expresiones a potencias enteras y extraer ra- ces. En este
captulo y el siguiente, exploraremos las funciones trascendentales,
que van ms all que trascienden a estas operaciones algebraicas. Al
igual que sus primas algebraicas, las funciones exponencial,
logstica y logart- mica tienen muchas aplicaciones. Las
exponenciales modelan crecimiento y decai- miento con respecto al
tiempo, tal como el crecimiento sin restricciones de poblaciones y
el decaimiento de sustancias radiactivas. Las funciones logsticas
modelan crecimiento restringido de poblaciones, ciertas reacciones
qumicas y la propagacin de rumores y enfermedades. Las funciones
logartmicas son la base de la escala Richter de la intensidad de
terremotos, la escala de acidez pH y la medi- da del sonido en
decibeles. El captulo termina con un estudio de matemticas
financieras, una aplicacin de las funciones exponenciales y
logartmicas que se utiliza con frecuencia cuando se realizan
inversiones. 276 CAPTULO 3 Funciones exponencial, logstica y
logartmica 3.1 Funciones exponencial y logstica Aprender acerca de
Las funciones exponenciales y sus grficas La base natural e Las
funciones logsticas y sus grficas Los modelos de poblacin . . .
porque Las funciones exponencial y logstica modelan muchos patrones
de crecimiento, incluyendo el de poblaciones humanas y animales.
Funciones exponenciales y sus grficas Cada una de las funciones f x
x2 y g(x) 2x incluyen una base elevada a un exponente, pero los
papeles estn al revs: Para f x x2, la base es la variable x y el
exponente es la constante 2; f es una conocida funcin monomial y
potencia. Para g(x) 2x, la base es la constante 2 y el exponente es
la variable x; g es una funcin exponencial. Consulte la figura 3.1.
FIGURA 3.1 Bosquejo de g(x) 2x. x 11112233 22 33 44 y 55 1010 1515
202202 DEFINICIN Funcin exponencial Sean a y b nmeros reales
constantes. Una funcin exponencial en x es una funcin que puede
escribirse en la forma f x a bx, donde a es diferente de cero, b es
positiva y b 1. La constante a es el valor inicial de f (el valor
en x 0) y b es la base. Las funciones exponenciales estn definidas
y son continuas para todos los nme- ros reales. Es importante
reconocer si una funcin es una funcin exponencial.
- 21. Con el fin de facilitar su localizacin y consulta, el
vocabulario se resalta en gris. Las propiedades estn en recuadros
de color para que sea fcil encontrarlas. Cada ejemplo termina con
una sugeren- cia de Ahora resuelva un ejercicio rela- cionado.
Resolver el o los ejercicios sugeridos es una forma sencilla de
com- probar la comprensin del material so- bre la marcha y no al
final de cada seccin o captulo para ver si consigue hacerlo. Se
proporcionan alternativas para estos ejemplos en el paquete de
Acetatos y trans- parencias (en ingls). Exploraciones aparecen en
todo el texto y proporcionan la perfecta oportunidad para ser un
estudiante activo y descubrir las matemticas por su propia cuenta.
Es- to le ayudar a refinar su pensamiento crtico y sus habilidades
de resolucin de problemas. Algunas exploraciones estn basadas en la
tecnologa; otras implican la exploracin de ideas y relaciones
matemticas. A lo largo del texto aparecen Notas al margen rela-
cionadas con varios temas. Las sugerencias le ofrecen consejos
prcticos en el uso de su graficadora para obtener resultados
mejores y ms precisos. Las notas al margen incluyen comentarios
histricos, sugeren- cias acerca de ejemplos e ideas adicionales
para ayu- darle a evitar errores y riesgos. El icono Adelanto de
clculo se en- cuentra a lo largo del texto antes de mu- chos
ejemplos y temas para marcar los conceptos que los estudiantes
encontrarn nuevamente en clculo. Se resaltan las ideas que
presagian clculo como lmites, mximos y mnimos, asntotas y
continuidad. Al inicio del texto, la idea de lmite se presenta de
forma intuitiva y empleando un enfoque conceptual. En los prime-
ros captulos se introduce algo de la notacin y el lenguaje de
clculo, y se utiliza en todo el texto para establecer familiaridad.
El icono Datos de la Web/reales se utiliza para marcar los ejemplos
y ejerci- cios que utilizan datos reales citados. El material de
Repaso de captulo est constituido por secciones dedica- das a
ayudar a los estudiantes a revisar los conceptos ledos. Las Ideas
clave constan de tres partes: Propiedades, Teoremas y Frmulas;
Procedi- mientos; y Galera de funciones. Los Ejercicios de repaso
representan una gama completa de ejercicios tratados en el captulo
y dan prctica adi- cional en las ideas desarrolladas. Los
ejercicios marcados en azul indican problemas que constituiran un
buen examen de prctica. Cada captulo concluye con un Proyecto que
pide a los estudiantes analizar datos. Pue- den asignarse de forma
individual o para trabajo en equipo. Cada proyec- to desarrolla los
conceptos e ideas enseados en el captulo, y muchos proyectos
remiten a la Web para investigacin posterior de datos reales. xx
Prefacio En los ejercicios 71 y 72 utilice la informacin de la
tabla 3.28. 71. Modelacin poblacional Determine un modelo
exponencial de regresin para la poblacin de Georgia y utilcelo para
pronosticar la poblacin en 2005. 72. Modelacin poblacional
Determine un modelo logstico de regresin para la poblacin de
Illinois y utilcelo para pronos- ticar la poblacin en 2010. Tabla
3.28 Poblaciones de dos estados de Estados Unidos (en millones) Ao
Georgia Illinois 1900 2.2 4.8 1910 2.6 5.6 1920 2.9 6.5 1930 2.9
7.6 1940 3.1 7.9 1950 3.4 8.7 1960 3.9 10.1 1970 4.6 11.1 1980 5.5
11.4 1990 6.5 11.4 2000 8.2 12.4 Fuente: Oficina de Censos de
Estados Unidos, de acuerdo con el World Almanac and Book of Facts
2005. Logaritmos comunes, base 10 Los logaritmos con base 10 se
denominan logaritmos comunes. Debido a su relacin con nuestro
sistema de base 10, el sistema mtrico y la notacin cientfi- ca, los
logaritmos comunes son especialmente tiles. Con frecuencia quitamos
el subndice 10 para la base cuando usamos logaritmos comunes. La
funcin logarit- mo comn log10 x = log x es la inversa de la funcin
exponencial f x = 10x. As y log x si y slo si 10y x. Aplicando esta
relacin podemos obtener otras relaciones para los logaritmos con
base 10. Propiedades bsicas de los logaritmos comunes Sea x y y
nmeros reales con x 0. log 1 0 ya que 100 1. log 10 1 ya que 101
10. log 10y y ya que 10y 10y. 10log x x ya que log x log x.
EXPLORACIN 1 Grficas de funciones exponenciales 1. Grafique cada
funcin en la ventana de visualizacin [2, 2] por [1, 6]. a) y1 2x b)
y2 3x c) y3 4x d) y4 5x Qu punto tienen en comn las cuatro grficas?
Analice las funciones, con respecto a dominio, rango, continuidad,
comportamiento creciente o decreciente, simetra, acotamiento,
mximos y mnimos, asntotas y comportamiento en los extremos. 2.
Grafique cada funcin en la ventana de visualizacin [2, 2] por [1,
6]. a) y1 ( 1 2 )x b) y2 ( 1 3 )x c) y3 ( 1 4 )x d) y4 ( 1 5 )x Cul
punto es comn a las cuatro grficas? Analice las funciones, con
respecto a dominio, rango, continuidad, comportamiento creciente o
decreciente, simetra, acotamiento, mximos y mnimos, asntotas y
comportamiento en los extremos. UN POCO DE HISTORIA Las funciones
logartmicas fueron desarrolladas alrededor de 1594, como
herramientas computacionales, por el matemtico escocs John Napier
(1550- 1617). Originalmente, les llam nmeros artificiales, pero
cambi el nombre por el de logaritmos, que significa nmeros de
clculo o nmeros para calcular. Grficas de funciones logartmicas con
base b Con la frmula de cambio de base podemos rescribir cualquier
funcin logartmi- ca gx logb x como gx l l n n b x ln 1 b ln x. As,
toda funcin logartmica es un mltiplo constante de la funcin
logaritmo natural, f x ln x. Si la base es b 1, la grfica de g(x)
logb x es un alarga- miento o compresin vertical, en un factor de
1/ln b, de la grfica de f x ln x. Si 0 b 1 tambin se requiere una
reflexin respecto del eje x. IDEAS CLAVE DEL CAPTULO 3 PROPIEDADES,
TEOREMAS Y FRMULAS Crecimiento y decaimiento exponencial 279
Funciones exponenciales f(x) = bx 280 Funciones exponenciales y la
base e 282 Modelo exponencial de poblacin 290 Cambio entre forma
logartmica y exponencial 300 Propiedades bsicas de los logaritmos
301 Propiedades bsicas de los logaritmos comunes 302 Propiedades
bsicas de logaritmos naturales 304 Propiedades de los logaritmos
310 Frmula de cambio de base para logaritmos 313 Funciones
logartmicas f(x) = logbx, con b 1 314 Propiedades de inyectividad
(uno a uno) 320 Ley de enfriamiento de Newton 326 Inters
capitalizable anualmente 334 Inters compuesto k veces por ao 335
Porcentaje de rendimiento anual 336 Rendimiento porcentual anual
337 Valor presente de una anualidad 340 PROCEDIMIENTOS Cmo expresar
informacin de otra forma 314- 316 Transformacin logartmica 328-329
GALERA DE FUNCIONES f (x) ex f (x) 1 1 ex f (x) ln x [2, 6] por [3,
3] Logartmica natural [4.7, 4.7] por [0.5, 1.5] Logstica bsica [4,
4] por [1, 5] Exponencial SOLUCIN a) La grfica de g(x) e2x se
obtiene mediante una compresin horizontal de la grfica de f x ex en
un factor de 2 (consulte la figura 3.7 a)). b) Podemos obtener la
grfica de h(x) ex mediante una reflexin de la grfi- ca de f x ex
con respecto al eje y (figura 3.7 b)). c) Podemos obtener la grfica
de k(x) 3ex mediante un alargamiento vertical, en un factor de 3,
de la grfica de f x ex (figura 3.7 c)). Ahora resuelva el ejercicio
21. SECCIN 3.1 Funciones exponencial y logstica 283 EJEMPLO 5
Transformacin de funciones exponenciales Describa cmo transformar
la grfica de f x ex en la grfica de la funcin dada. Bosqueje las
grficas y respalde su respuesta con una graficadora. a) g(x) e2x b)
h(x) ex c) k(x) 3ex contina
- 22. En los ejercicios del 5 al 10 describa cmo transformar la
grfica de f en la grfica de g(x) 2x o h(x) ex. Haga un bosquejo y
res- palde su respuesta con un graficadora. 5. f x 4x 3 6. f x 4x
7. f x 8x 3 8. f x 8x 3 9. f x e2x3 10. f x e3x4 En los ejercicios
11 y 12 determine la interseccin y y las asntotas horizontales. 11.
f x 5 1 3 0 e 0 0.05x 12. f x 5 2 5 e 0 0.04x En los ejercicios 13
y 14 indique si la funcin es una funcin con crecimiento exponencial
o una funcin con decaimiento exponen- cial, y describa su
comportamiento en los extremos mediante lmites. 13. f x e4x 2 14. f
x 25x3 1 En los ejercicios del 15 al 18 grafique la funcin y
analcela con respecto al dominio, continuidad, comportamiento
creciente o decreciente, simetra, acotamiento, mnimos y mximos,
asntotas y comportamiento en los extremos. 15. f x e3x 1 16. gx
34x1 2 17. f x 1 3 6 0.4x 18. gx 4 1 2 0 e 0 0.01x En los
ejercicios del 19 al 22 determine la funcin exponencial que
satisface las condiciones dadas. 19 V l i i i l 24 i t t d 5 3% di
i En los ejercicios del 31 al 34 reescriba la ecuacin en forma
exponencial. 31. log3 x 5 32. log2 x y 33. ln x y 2 34. log a b 3
En los ejercicios del 35 al 38 describa cmo transformar la grfica
de y log2x en la grfica de la funcin dada. Bosqueje a mano la
grfica y respalde su respuesta con un graficadora. 35. f x log2 x 4
36. gx log2 4 x 37. hx log2 x 1 2 38. hx log2 x 1 4 En los
ejercicios del 39 al 42 grafique la funcin y analcela con respecto
a dominio, continuidad, comportamiento creciente o decreciente,
simetra, acotamiento, mnimos y mximos, asntotas y comportamiento en
los extremos. 39. f x x ln x 40. f x x2 ln x 41. f x x2 ln x 42. f
x ln x x En los ejercicios del 43 al 54 resuelva la ecuacin. 43.
10x 4 44. ex 0.25 45. 1.05x 3 46. ln x 5.4 47. log x 7 48. 3x3 5
49. 3 log2 x 1 7 50. 2 log3 x 3 4 51. 5 52. 4 50 e2x 11 53. log x 2
log x 1 4 54. ln 3x 4 ln 2x 1 5 3x 3x 2 SECCIN 3.6 Matemticas
financieras 345 Conjuntos de ejercicios Cada conjunto de ejercicios
inicia con un Repaso rpido para ayu- darle a revisar las
habilidades necesarias en el conjunto de ejercicios y, por tanto,
recuerdan nuevamente que las matemticas no son mo- dulares. Tambin
hay indicaciones Para obtener ayuda consulte la seccin... de modo
que los estudiantes estn preparado para resolver la seccin de
ejercicios. Hay ms de 6,000 ejercicios, incluyendo 680 ejercicios
de repaso rpido. Despus del Repaso rpido estn los ejercicios que
permiten practicar las habilidades matemticas aprendidas en la
seccin. Es- tos ejercicios han sido cuidadosamente clasificados
desde rutinarios hasta desafiantes. En cada conjunto de ejercicios
se prueba cada uno de los siguientes tipos de habilidades:
Manipulacin algebraica y analtica. Enlace de lgebra a geometra.
Interpretacin de grficas. Representacin grfica y numrica de
funciones. Anlisis de datos. En estas partes se incluyen tambin
ejercicios que inducen al razo- namiento: Preguntas de examen
estandarizado Incluyen dos problemas de falso-verdadero con
justificaciones y cuatro preguntas de op- cin mltiple.
Exploraciones Son oportunidades para que los estudiantes des-
cubran matemticas por ellos mismos o en grupos. Con frecuen- cia
estos ejercicios requieren el uso de pensamiento crtico para
explorar ideas. Los ejercicios Escriba para aprender desarrollan
las habilida- des de comunicacin en matemticas y proporcionan la
oportu- nidad de demostrar la comprensin de ideas importantes.
Prefacio xxi Anlisis del rebote de una pelota Cuando una pelota
rebota hacia arriba y hacia abajo sobre una superficie plana, su
altura mxima disminuye con cada rebote. Cada rebote es un
porcentaje de la altura previa; para la mayora de las pelotas, el
porcentaje es constante. En este proyecto utilizar un dispositivo
de deteccin de movimien- to para recolectar datos del rebote de una
pelota debajo de un detector de movimiento, luego determinar un
modelo matemtico que describa la altura mxima del rebote como una
funcin del nmero del rebote. Recoleccin de datos Configure el
sistema CBLTM (calculadora de laboratorio) con un detector de
movimiento o un sistema CBRTM (calcu- ladora de campo) para
recolectar la informacin de la pelo- ta que rebota, mediante un
programa para la CBL o la aplicacin Ball Bounce (pelota que rebota)
para el CBR. Consulte la gua de la CBL/CBR para instruccin
especfica de configuracin. Mantenga la pelota al menos a 2 pies del
detector y sultela para que rebote hacia arriba y hacia abajo,
directamente debajo del detector. Esos programas convierten la
distancia contra el tiempo a altura con respecto del suelo contra
el tiempo. La grfica muestra un ejemplo de datos recolectados con
una pelota de racquetbol y la CBR. La tabla de abajo muestra todas
las alturas mximas recopiladas. EXPLORACIONES 1. Si usted rene
informacin mediante una CBL o CBR, en su calculadora graficadora o
en la pantalla de la compu- tadora debe aparecer una grfica de la
altura contra el tiempo. Localice la altura mxima para cada rebote,
re- gistre el dato en una tabla y utilice otras listas de su calcu-
ladora para introducirlo. Si no tiene acceso a una CBL/CBR, ingrese
en su calculadora o computadora los datos dados en la tabla. 2. Qu
porcentaje de la altura del rebote 0 es la altura del rebote 1?
Calcule el porcentaje al que regresa para cada rebote. El nmero ser
casi constante. 3. Haga un diagrama de dispersin para la altura
mxima en contra del nmero de rebote. 4. Para el rebote 1, la altura
se predice multiplicando la altura del rebote 0, o H, por el
porcentaje P. La segunda altura se predice multiplicando esta
altura HP por P lo que da HP2. Explique por qu y HPx es el modelo
adecuado para estos datos, donde x es el nmero de rebote. 5.
Ingrese esta ecuacin a su calculadora utilizando sus va- lores para
H y P. Cmo se ajusta el modelo a sus datos? 6. Utilice las
caractersticas estadsticas de su calculadora para determinar la
regresin exponencial para estos datos. Comprela con la ecuacin que
utiliz como modelo. 7. Si utiliza un tipo diferente de pelota, cmo
cambiaran sus datos y su ecuacin? 8. Qu factores cambiaran el valor
de H y qu factores influiran en el valor de P? 9. Rescriba su
ecuacin usando la base e, en lugar de usar P como la base para la
ecuacin exponencial. 10. Qu podra decir acerca de cmo se ve la
grfica de ln(altura del rebote) contra el nmero de rebote? 11.
Trace ln(altura del rebote) contra nmero de rebote. Calcu- le la
regresin lineal y utilice el concepto de re-expresin
(transformacin) logartmica, para explicar cmo la pen- diente y la
interseccin y estn relacionadas con P y H. Nmero de rebote Altura
mxima (pies) 0 2.7188 1 2.1426 2 1.6565 3 1.2640 4 0.98309 5
0.77783 Tiempo (seg) Altura(pies) [0, 4.25] por [0, 3] CAPTULO 3
ProyectoCAPTULO 3 Ejercicios de repaso La coleccin de ejercicios
marcados en azul podra utilizarse como un examen del captulo. En
los ejercicios 1 y 2 calcule el valor exacto de la funcin para el
valor de x dado. No utilice calculadora. 1. f x 3 4x para x 1 3 2.
f x 6 3x para x 3 2 En los ejercicios 3 y 4 determine una frmula
para la funcin exponencial cuya grfica se muestra en la figura. 3.
4. y x (3, 1) (0, 2) y x (0, 3) (2, 6) REPASO RPIDO 3.5 (Para
obtener ayuda consulte las secciones R.1 y 1.4) En los ejercicios
del 1 al 4 pruebe que cada funcin, en el par dado, es la inversa de
la otra. 1. f x e2x y gx ln x12) 2. f x 10x2 y gx log x2, x 0 3. f
x 13 ln x y gx e3x 4. f x 3 log x2, x 0 y gx 10x6 En los ejercicios
5 y 6 escriba el nmero en notacin cientfica. 5. La distancia media
de Jpiter al Sol es alrededor de 778,300,000 km. 6. Un ncleo atmico
tiene un dimetro de casi 0.000000000000001 m. En los ejercicios 7 y
8 escriba el nmero en forma decimal. 7. El nmero de Avogadro es
alrededor de 6.02 1023. 8. La unidad de masa atmica es casi 1.66
1027 kg. En los ejercicios 9 y 10 utilice notacin cientfica para
simpli- ficar la expresin (deje su respuesta en notacin cientfica).
9. 186,00031,000,000 10. 0 0 .0 .0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 8 Preguntas
de examen estandarizado 59. Verdadero o falso El orden de magnitud
de un nmero posi- tivo es su logaritmo natural. Justifique su
respuesta. 60. Verdadero o falso De acuerdo con la ley de
enfriamiento de Newton, un objeto tender a la temperatura del medio
que lo rodea. Justifique su respuesta. En los ejercicios del 61 al
64 resuelva el problema sin utilizar una calculadora. 61. Opcin
mltiple Resuelva 23x 1 32. A) x 1 B) x 2 C) x 4 D) x 11 E) x 13 62.
Opcin mltiple Resuelva ln x 1. A) x 1 B) x 1e C) x 1 D) x e E) No
hay solucin posible. 63. Opcin mltiple Cuntas veces fue ms fuerte
el terremoto de 2001 en Arequipa, Per (R1 8.1) que el terremoto
doble de 1998 en la provincia de Takhar, Afganistn (R2 6.1)? A) 2
B) 6.1 C) 8.1 D) 14.2 E) 100 64. Opcin mltiple La ley de
enfriamiento de Newton es A) Un modelo exponencial B) Un modelo
lineal C) Un modelo logartmico D) Un modelo logstico E) Un modelo
potencia Exploraciones En los ejercicios 65 y 66 utilice la tabla
3.26. Determine si una ecuacin de regresin lineal, logartmica,
exponencial, potencia o logstica constituye el mejor modelo para
los datos. Explique el por qu de su eleccin. Respalde su redaccin
con tablas y grficas, como considere necesario. 65. Escriba para
aprender Modelacin poblacional Cul ecuacin de regresin es el mejor
modelo para la poblacin de Alaska? 66. Escriba para aprender
Modelacin poblacional Cul ecuacin de regresin es el mejor modelo
para la poblacin de Hawai? 67. Actividad en grupo Modelacin
poblacional La fun- cin f x k ecx2 , donde c y k son constantes
positivas, es una curva en forma de campana que es til en
probabilidad y estadstica. a) Grafique f para c 1 y k 0.1, 0.5, 1,
2, 10. Explique el efecto del cambio en k. b) Grafique f para k 1 y
c 0.1, 0.5, 1, 2, 10. Explique el efecto del cambio en c. Ampliacin
de las ideas 68. Escriba para aprender Pruebe, si u/v = 10n, para u
> 0 y v > 0, y luego log u log v = n. Explique cmo este
resultado relaciona a potencias de diez y rdenes de magnitud. 69.
Energa potencial La energa potencial E (la energa alma- cenada para
usarla posteriormente) entre dos iones en cierta estructura
molecular se modela mediante la funcin E 5 r .6 10er3 donde r es la
distancia que separa los ncleos. a) Escriba para aprender Grafique
esta funcin en la ven- tana 10, 10 por 10, 30 y explique cul parte
de la grfica no representa esta situacin de energa potencial. b)
Identifique una ventana de visualizacin que muestre la parte de la
grfica (con r 10) que represente esta situacin y determine el valor
mximo para E. 70. En el ejemplo 8, el modelo de la ley de
enfriamiento de Newton era Tt Tm T0 Tmekt 61.656 0.92770t Determine
el valor de k. 71. Justifique la conclusin hecha acerca de la
regresin logartmi- ca natural de la pgina 329. 72.Justifique la
conclusin realizada acerca de la regresin poten- cia de la pgina
329. En los ejercicios del 73 al 78 resuelva la ecuacin o la
desigualdad. 73. ex x 5 74. e2x 8x 1 0 75. ex 5 ln x 76. ln x e2x 3
77. 2 log x 4 log 3 0 78. 2 log x 1 2 log 6 0 Tabla 3.26
Poblaciones de dos estados de Estados Unidos (en miles) Ao Alaska
Hawai 1900 63.6 154 1910 64.4 192 1920 55.0 256 1930 59.2 368 1940
72.5 423 1950 128.6 500 1960 226.2 633 1970 302.6 770 1980 401.9
965 1990 550.0 1108 2000 626.9 1212 Fuente: Oficina de Censos de
Estados Unidos.
- 23. Los ejercicios Actividad en grupo le piden abordar los
problemas en equipo o resolverlos en forma individual o proyectos
grupales. Los ejercicios Ampliacin de las ideas van ms all de los
que se presentaron en el texto. Estos ejercicios son ampliaciones
desafiantes del material del libro. Esta variedad de ejercicios
proporciona suficiente flexibilidad para enfatizar las ha-
bilidades ms necesarias para cada estudiante o grupo. Suplementos y
recursos Para el instructor (en ingls) Manual de recursos Revisin
de conceptos importantes, hojas de clculo para actividad en grupo,
exmenes muestra de captulos, preguntas de preparacin para exmenes
estan- darizados, problemas de concurso. Manual de soluciones
Soluciones completas a todos los ejercicios, incluyendo Repaso
rpido, Ejerci- cios, Exploraciones y Repaso de captulo. Exmenes y
cuestionarios Dos exmenes por captulo, dos cuestionarios por cada
tres o cuatro secciones, dos exmenes de mitad de curso que cubren
los captulos del R al 5, dos ex- menes finales que cubren los
captulos del 6 al 10. Recursos de tecnologa MyMathLab MyMathLab es
un exclusivo sistema de ejercicios en lnea que permite al alumno
acceder a un sinnmero de ejercicios generados algortmicamente y
obtener retroa- limentacin en funcin de sus errores. Con MyMathLab,
el profesor puede seleccionar los ejercicios que desee incluir en
ca- da tarea y el alumno obtendr retroalimentacin personalizada,
adems de una serie de herramientas que le guiarn paso a paso en la
resolucin de un problema. MyMath- Lab incluye tambin videos y
animaciones para la mejor comprensin de los temas. MyMathLab es el
nico sistema de ejercicios en lnea que hace un diagnstico del
avance de cada alumno y le genera nuevos ejercicios y actividades
personalizadas en funcin de sus necesidades. MyMathLab est montado
sobre CourseCompass, la plataforma en lnea basada en Blackboard,
exclusiva de Pearson Educacin. Esta combinacin, ofrece a los pro-
fesores una vanguardia educativa en lnea, lder a nivel mundial.
Para mayor informacin consulte a su representante de Pearson
Educacin cmo obtener acceso a estos recursos. TestGen TestGen
permite al instructor construir, editar, imprimir y administrar
exmenes mediante un banco computarizado de preguntas, desarrollado
para cubrir todos los objetivos del texto. TestGen tiene una base
algortmica, lo que permite a los ins- tructores crear versiones
mltiples y equivalentes de la misma pregunta o el mismo examen con
el clic de un botn. Tambin pueden modificar preguntas o agregar
otras nuevas. Los exmenes pueden imprimirse o darse a resolver en
lnea. Sitio Web Nuestro sitio Web, www.pearsoneducacion.net/demana,
proporciona recursos din- micos. Incluye material para descargar,
para la calculadora graficadora TI, cuestio- narios en lnea,
sugerencias de enseanza, sugerencias de estudio, exploraciones y
proyectos de final de captulo. xxii Prefacio
- 24. Agradecimientos Deseamos expresar nuestro agradecimiento a
los revisores de esta edicin y de las anteriores, quienes
proporcionaron valiosas ideas y comentarios. Un agradecimien- to
especial a nuestra asesora Cynthia Schimek, Secondary Mathematics
Curricu- lum Specialist, Katy Independent School District, Texas,
por su gua e invaluables ideas en esta revisin. xxiii Judy Ackerman
Montgomery College Ignacio Alarcon Santa Barbara City College Ray
Barton Olympus High School Nicholas G. Belloit Florida Community
College at Jacksonville Margaret A. Blumberg University of
Southwestern Louisiana Ray Cannon Baylor University Marilyn P.
Carlson Arizona State University Edward Champy Northern Essex
Community College Janis M. Cimperman Saint Cloud State University
Wil Clarke La Sierra University Marilyn Cobb Lake Travis High
School Donna Costello Plano Senior High School Gerry Cox Lake
Michigan College Deborah A. Crocker Appalachian State University
Marian J. Ellison University of WisconsinStout Donna H. Foss
University of Central Arkansas Betty Givan Eastern Kentucky
University Brian Gray Howard Community College Daniel Harned
Michigan State University Vahack Haroutunian Fresno City College
Celeste Hernandez Richland College Rich Hoelter Raritan Valley
Community College Dwight H. Horan Wentworth Institute of Technology
Margaret Hovde Grossmont College Miles Hubbard Saint Cloud State
University Sally Jackman Richland College T. J. Johnson Hendrickson
High School Stephen C. King University of South CarolinaAiken
Jeanne Kirk William Howard Taft High School Georgianna Klein Grand
Valley State University Deborah L. Kruschwitz-List University of
WisconsinStout Carlton A. Lane Hillsborough Community College James
Larson Lake Michigan University Edward D. Laughbaum Columbus State
Community College Ron Marshall Western Carolina University Janet
Martin Lubbock High School
- 25. Beverly K. Michael University of Pittsburgh Paul Mlakar St.
Marks School of Texas John W. Petro Western Michigan University
Cynthia M. Piez University of Idaho Debra Poese Montgomery College
Jack Porter University of Kansas Antonio R. Quesada The University
of Akron Hilary Risser Plano West Senior High Thomas H. Rousseau
Siena College David K. Ruch Sam Houston State University Sid Saks
Cuyahoga Community College Mary Margaret Shoaf-Grubbs College of
New Rochelle Malcolm Soule California State University, Northridge
Sandy Spears Jefferson Community College Shirley R. Stavros Saint
Cloud State University Stuart Thomas University of Oregon Janina
Udrys Schoolcraft College Mary Voxman University of Idaho Eddie
Warren University of Texas at Arlington Steven J. Wilson Johnson
County Community College Gordon Woodward University of Nebraska
Cathleen Zucco-Teveloff Trinity College xxiv Agradecimientos
Extendemos ese agradecimiento especial a Chris Brueningsen, Linda
Antinone y Bill Bower por su trabajo en los proyectos de captulo.
Tambin agradecemos a Pe- rian Herring, Frank Purcell y Tom
Wegleitner por su meticulosa revisin del texto. Igualmente estamos
agradecidos con Besbit Graphics, quien realiz un sorprenden- te
trabajo de composicin y correccin de pruebas, y especficamente a
Kathy Smith y a Harry Druding por su hbil manejo de todo el proceso
de produccin. Por ltimo, damos las gracias al excepcional y
profesional equipo de Addison-Wesley, por su asesora y apoyo en la
revisin de este texto, en particular a Anne Kelly, Becky Anderson,
Greg Tobin, Rich Williams, Neil Heyden, Gary Schwartz, Marnie
Greenhut, Joanne Ha, Karen Wernholm, Jeffrey Holcomb, Barbara
Atkinson, Evelyn Beaton, Beth Anderson, Maureen McLaughlin y
Michelle Murray. Un re- conocimiento particular se debe a Elka
Block, quien de manera incasable nos ayud en todo el desarrollo y
produccin de esta obra. F. D. D. B. K. W. G. D. F. D. K.
- 26. 1 Requisitos Las grandes distancias se miden en aos-luz; un
ao-luz es la distancia que la luz recorre en un ao. Los astrnomos
emplean la velocidad de la luz, aproximadamente 186,000 millas por
segundo (300,000 kilmetros por segundo) para aproximar distancias
entre planetas (puede consultar ejemplos de esto en la pgina 39).
R.1 Nmeros reales R.2 Sistema de coordenadas cartesianas R.3
Ecuaciones y desigualdades lineales R.4 Rectas en el plano R.5
Resolucin de ecuaciones en forma grfica, numrica y algebraica R.6
Nmeros complejos R.7 Resolucin de desigualdades en forma algebraica
y grfica CAPTULO R
- 27. Visin general del captulo R Histricamente, el lgebra se ha
empleado para representar problemas con smbo- los (modelos
algebraicos) y resolverlos reduciendo la solucin a manipulaciones
algebraicas. Esta tcnica an es relevante en nuestros das.
Actualmente, las calcu- ladoras graficadoras se utilizan para
plantear problemas mediante grficas (mode- los grficos) y
resolverlos con tcnicas numricas y grficas. Comenzaremos por las
propiedades bsicas de los nmeros reales y nos introduci- remos al
estudio del valor absoluto, las frmulas de la distancia y el punto
medio, y escribiremos ecuaciones de circunferencias. Adems,
emplearemos la pendiente de una recta para escribir las ecuaciones
estndar de rectas y aplicaciones en donde se involucran ecuaciones
lineales. Finalmente, resolveremos ecuaciones y desigual- dades con
tcnicas algebraicas y grficas. 2 CAPTULO R Requisitos R.1 Nmeros
reales Aprender acerca de... La representacin de nmeros reales El
orden y la notacin de intervalo Las propiedades bsicas del lgebra
Los exponentes enteros La notacin cientfica . . . porque Estos
temas son fundamenta- les en el estudio de la matem- tica y la
ciencia. Representacin de nmeros reales Un nmero real es cualquier
nmero que pueda escribirse como un decimal. Los nmeros reales se
representan mediante smbolos tales como 8, 0, 1.75, 2.33..., 0.36,
85, 3, 3 16, e, y . El conjunto de los nmeros reales contiene a
otros subconjuntos importantes: Los nmeros naturales (o de conteo):
1, 2, 3, . . . Los enteros no negativos: 0, 1, 2, 3, . . . Los
enteros: . . . , 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, . . . Las llaves { } son
utilizadas para encerrar a los elementos, u objetos, de un con-
junto. Los nmeros racionales son otro importante subconjunto de los
nmeros rea- les. Un nmero racional es cualquier nmero que pueda
escribirse como una razn (o cociente) a/b de dos enteros, donde b
0. Podemos utilizar la notacin de construccin de conjuntos para
describir a los nmeros racionales: { a b a, b son enteros y b 0} La
lnea vertical que sigue a a/b se lee tal que. La forma decimal de
un nmero racional o bien termina, como 7/4 = 1.75, o bien se repite
infinitamente como 4/11 = 0.363636... 0.36. La barra sobre el 36
in- dica un bloque de dgitos que se repiten. Un nmero es irracional
si no es racio- nal. La forma decimal de un nmero irracional es
infinita y no se repite. Por ejemplo 3 = 1.7320508. . . y =
3.14159265. . . En una calculadora, los nmeros reales se aproximan
dando slo unos cuantos de sus dgitos. Algunas veces no muy
frecuentemente es posible determinar con una calculadora la forma
decimal de nmeros racionales.
- 28. EJEMPLO 1 Anlisis de formas decimales de nmeros racionales
Determine la forma decimal de 1/16, 55/27 y 1/17. SOLUCIN La figura
R.1 sugiere que la forma decimal de 1/16 termina y que 55/27 se
repite en bloques de 037. 1 1 6 0.0625 y 5 2 5 7 2.037 Con base en
la figura R.1, no podemos predecir la forma decimal exacta de 1/17;
sin embargo, decimos que 1/17 0.0588235294. EL smbolo se lee es
apro- ximadamente igual a. Podemos utilizar la divisin larga
(consulte el ejercicio 66) para mostrar que 1 1 7
0.0588235294117647. Los nmeros reales y los puntos de una recta
pueden hacerse corresponder uno a uno para formar una recta de
nmeros reales. Iniciamos con una recta horizontal y asociamos el
nmero real cero con un punto O, el origen. Se consideran nme- ros
positivos a los situados a la derecha del origen y nmeros negativos
los que estn a la izquierda, como se muestra en la figura R.2. Cada
nmero real corresponde a uno y slo a un punto de la recta de nmeros
rea- les, y cada punto en la recta de nmeros reales corresponde a
uno y slo un nme- ro real. Entre cada par de nmeros reales en la
recta numrica existe una infinidad de nmeros reales ms. El nmero
asociado con un punto es la coordenada del punto. Siempre que el
con- texto sea claro, seguiremos la convencin estndar de usar el
nmero real para el nombre tanto del punto como de su coordenada.
Orden y notacin de intervalo El conjunto de nmeros reales est
ordenado. Esto significa que podemos compa- rar cualesquiera dos
nmeros reales que no sean iguales mediante desigualdades y decir
que uno es menor que o mayor que el otro. Ahora resuelva el
ejercicio 3. SECCIN R.1 Nmeros reales 3 FIGURA R.1 Representacin
decimal en una calculadora de 1/16, 55/27 y 1/17, con la
configuracin de la calculadora en modo decimal de punto flotante
(ejemplo 1). FIGURA R.2 La recta de los nmeros reales. 5 4 3 2 1 0
Nmeros reales negativos Nmeros reales positivos 1 2 3 4 5 O3
- 29. En forma geomtrica, a b significa que a se encuentra a la
derecha de b (tam- bin que b est a la izquierda de a) en la recta
numrica. Por ejemplo, como 6 3, 6 est a la derecha de 3 en la recta
numrica. Tambin observe que a 0 significa que a 0 o simplemente a
es positivo y a 0 significa que a es negativo. Somos capaces de
comparar cualesquiera dos nmeros reales debido a la siguiente
propiedad importante de los nmeros reales. 4 CAPTULO R Requisitos
OPUESTOS Y LA RECTA NUMRICA a 0 a 0 Si a 0, entonces, en la recta
numrica, a est a la izquierda del 0 y su opuesto (o simtrico) est a
la derecha del 0. Por tanto, a 0. Propiedad de tricotoma Sean a y b
cualesquiera dos nmeros reales. Slo una de las siguientes
expresiones es verdadera: a b, a b, o a b. FIGURA R.3 En grficas de
desigualdades, los parntesis corresponden a y , y los corchetes a y
. (Ejemplos 2 y 3.) x3 2 1 0 1 2 3 4 5 d) 5 4 3 2 1 0 1 2 3 x 0.5
c) 23 1 0 1 2 3 4 5 x b) a) 3 2 1 0 1 2 3 4 5 x Orden de los nmeros
reales Sean a y b cualesquiera dos nmeros reales. Smbolo Definicin
Se lee a b a b es positivo a es mayor que b a b a b es negativo a
es menor que b a b a b es positivo o cero a es mayor o igual b a b
a b es negativo o cero a es menor o igual a b Los smbolos , , , u
son smbolos de desigualdades. SISTEMAS NO ORDENADOS No todos los
sistemas de nmeros estn ordenados. Por ejemplo, el sistema de
nmeros complejos, que se introducir en la seccin R.6, no tiene un
orden natural. Las desigualdades pueden utilizarse para describir
intervalos de nmeros reales, como se ilustra en el ejemplo 2.
EJEMPLO 2 Interpretacin de desigualdades Describa y grafique el
intervalo de nmeros reales para la desigualdad. a) x 3 b) 1 x 4
SOLUCIN a) La desigualdad x 3 describe todos los nmeros reales
menores que 3 (figu- ra R.3a). b) La desigualdad doble 1 x 4
representa a todos los nmeros reales entre 1 y 4, excluyendo a 1 e
incluyendo a 4 (figura R.3b). EJEMPLO 3 Escritura de desigualdades
Escriba un intervalo de nmeros reales mediante una desigualdad y
dibuje su gr- fica. a) Los nmeros reales entre 4 y 0.5. b) Los
nmeros reales mayores o iguales a cero. SOLUCIN a) 4 x 0.5 (figura
R.3c) b) x 0 (figura R.3d) Ahora resuelva el ejercicio 13. Ahora
resuelva el ejercicio 5.
- 30. Como se muestra en el ejemplo 2, las desigualdades definen
intervalos en la recta numrica. Con frecuencia, empleamos [2, 5]
para describir el intervalo acotado de- terminado por 2 x 5. Este
intervalo es cerrado ya que contiene a los extremos 2 y 5. Existen
cuatro tipos de intervalos acotados. SECCIN R.1 Nmeros reales 5 El
intervalo de nmeros reales determinado mediante la desigualdad x 2
puede describirse mediante el intervalo no acotado (, 2). Este
intervalo es abierto, ya que no contiene a su extremo 2. Utilizamos
la notacin de intervalo (, ) para representar a todo el conjunto de
nmeros reales. Los smbolos (infinito negativo) y (infinito
positivo), no son nmeros reales, pero nos permiten utilizar la
notacin de intervalos para inter- valos no acotados. Existen cuatro
tipos de intervalos no acotados. Intervalos acotados de nmeros
reales Sean a y b nmeros reales con a b. Notacin de Tipo de Notacin
de intervalo intervalo desigualdades Grfica a, b Cerrado a x b a, b
Abierto a x b a, b Semi-abierto a x b a, b Semi-abierto a x b Los
nmeros a y b son los extremos de cada intervalo. a b a b a b a b
Intervalos no acotados de nmeros reales Sean a y b nmeros reales.
Notacin de Tipo de Notacin de intervalo intervalo desigualdades
Grfica a, Cerrado x a a, Abierto x a , b Cerrado x b , b Abierto x
b Cada uno de estos intervalos tiene exactamente un extremo, a o b.
a a b b NOTACIN DE INTERVALOS EN Puesto que no es un nmero real,
utilizamos (, 2) en lugar de [, 2) para describir a x 2. De forma
anloga, utilizamos [1, ) en lugar de [1, ] para describir x 1.
- 31. EJEMPLO 4 Conversin entre intervalos y desigualdades
Convierta de notacin de intervalos a notacin de desigualdades, o
viceversa. De- termine los extremos; indique si el intervalo es
acotado o no y su tipo, y grafique el intervalo. a) [6, 3) b) (, 1)
c) 2 x 3 SOLUCIN a) El intervalo [6, 3) corresponde a 6 x < 3,
es acotado y es semi-abierto (consulte la figura R.4a). Los puntos
extremos son 6 y 3. b) El intervalo (, 1) corresponde a x < 1,
es no acotado y abierto (consul- te la figura R.4b). El nico punto
extremo es 1. c) La desigualdad 2 x 3 corresponde al intervalo
cerrado y acotado [2, 3] (consulte la figura R.4c). Los extremos
son 2 y 3. Propiedades bsicas del lgebra El lgebra incluye el uso
de letras y otros smbolos para representar nmeros rea- les. Una
variable es una letra o smbolo (por ejemplo, x, y, t, ) que
representa un nmero real no especificado. Una constante es una
letra o smbolo (por ejemplo, 2, 0, 3, ) que representa un nmero
real especfico. Una expresin algebrai- ca es una combinacin de
variables y constantes que incluyen suma, resta, multi- plicacin,
divisin, potencias y races. Enunciamos algunas de las propiedades
de las operaciones aritmticas de suma, resta, multiplicacin y
divisin representadas por los smbolos , , (o ) y (o /),
respectivamente. La suma y multiplicacin son las operaciones
primarias. La resta y la divisin se definen en trminos de la suma y
la multiplicacin. Resta: a b a (b) Divisin: a b a( 1 b ), b 0 En
las definiciones anteriores, b es el inverso aditivo u opuesto de
b, y 1/b es el inverso multiplicativo o recproco de b. Quiz le
sorprenda, pero los inversos aditi- vos no siempre son nmeros
negativos. El inverso aditivo de 5 es el nmero negativo 5. Sin
embargo, el inverso aditivo de 3 es el nmero positivo 3. Ahora
resuelva el ejercicio 29. 6 CAPTULO R Requisitos FIGURA R.4 Grficas
de los intervalos de nmeros reales del ejemplo 4. 5 4 3 2 1 0 1 2 3
4 5 xc) 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 xb) 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 xa) RESTA
VS. NMEROS NEGATIVOS En muchas calculadoras, existen dos teclas ,
una para la resta y otra para nmeros negativos u opuestos. Asegrese
de aprender a utilizar de forma correcta ambas teclas. El uso
incorrecto puede conducir a resultados errneos.
- 32. Las propiedades siguientes se cumplen para los nmeros
reales, las variables y las expresiones algebraicas. Los miembros
izquierdos de las ecuaciones para la propiedad distributiva
muestran la forma factorizada de las expresiones algebraicas, y los
miembros derechos muestran la forma desarrollada. EJEMPLO 5 Uso de
la propiedad distributiva a) Escriba la forma desarrollada de (a
2)x. b) Escriba la forma factorizada de 3y by. SOLUCIN a) (a 2)x ax
2x b) 3y by (3 b)y A continuacin se presentan algunas propiedades
del inverso aditivo junto con ejemplos que ayudan a ilustrar sus
significados. Ahora resuelva el ejercicio 37. SECCIN R.1 Nmeros
reales 7 Propiedades algebraicas Sean u, v y w nmeros reales,
variables o expresiones algebraicas. 1. Propiedad conmutativa 4.
Propiedad del inverso Suma: u v v u Suma: u (u) 0 Multiplicacin: uv
vu Multiplicacin: u 1 u 1, u 0 2. Propiedad asociativa 5. Propiedad
distributiva Suma: Multiplicacin sobre la suma: u v w u v w uv w uv
uw Multiplicacin: (uv)w u(vw) u vw uw vw 3. Propiedad de la
identidad Multiplicacin sobre la resta: Suma: u 0 u uv w uv uw
Multiplicacin: u 1 u u vw uw vw Propiedades del inverso aditivo
Sean u y v nmeros reales, variables o expresiones algebraicas.
Propiedad Ejemplo 1. u u 3 3 2. uv uv uv 43 43 4 3 12 3. uv uv 67 6
7 42 4. 1u u 15 5 5. u v u v 7 9 7 9 16
- 33. Exponentes enteros La notacin exponencial se utiliza para
escribir en forma corta los productos de fac- tores que se repiten.
Por ejemplo: (3)(3)(3)(3) (3)4 y (2x 1)(2x 1) (2x 1)2. Las dos
expresiones exponenciales del ejemplo 6 tienen el mismo valor pero
dife- rentes bases. Cercirese de entender la diferencia. EJEMPLO 6
Identificacin de la base a) En (3)5, la base es 3. b) En 35, la
base es 3. A continuacin estn las propiedades de exponentes junto
con ejemplos que ayu- dan a ilustrar sus significados. Ahora
resuelva el ejercicio 43. 8 CAPTULO R Requisitos Notacin
exponencial Sea a un nmero real, variable o expresin algebraica y n
un entero posi- tivo. Entonces an a a a, n factores donde n es el
exponente, a es la base y an es la n-sima potencia de a, se lee
como a a la n. Propiedades de los exponentes Sean u y v nmeros
reales, variables o expresiones algebraicas, y sean m y n enteros.
Se supone que todas las bases son distintas de cero. Propiedad
Ejemplo 1. umun umn 53 54 534 57 2. u u m n umn x x9 4 x94 x5 3. u0
1 80 1 4. un u 1 n y3 y 1 3 5. uvm umvm 2z5 25z5 32z5 6. umn umn
x23 x23 x6 7. ( u v ) m u vm m ( a b ) 7 a b 7 7 COMPRENSIN DE LA
NOTACIN (3)2 9 32 9 Tenga cuidado! }
- 34. Simplificar