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2007 Apuntes EL 42C, Prof. Luis Vargas
EL42C
CONVERSIÓN ELECTROMECÁNICA
DE LA ENERGÍA
MÁQUINAS SÍNCRONAS
2007 Apuntes EL 42C, Prof. Luis Vargas
7.1 INTRODUCCIÓN
7.1 INTRODUCCIÓN
• Alimentación: Estator con C.A., rotor con CC.
• Uso en altas potencias, generadores, en bajas o altas revoluciones.
Por ejemplo, los molinos SAG tienen una potencia 10.000 [HP] a bajas
revoluciones.
• La velocidad del eje depende de la frecuencia de alimentación y el
número de polos.
• Controlando la alimentación del rotor, la máquina puede operar ab-
sorbiendo o inyectando reactivos a la red (reactor o condensador
síncrono, respectivamente). Esto se podría usar para mejorar el factor
de potencia del sistema eléctrico.
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7.2 FUNCIONAMIENTO DEL GENERADOR SÍNCRONO
7.2 FUNCIONAMIENTO DEL GENERADOR SÍNCRONO
� GENERADOR DESACOPLADO DE LA RED
N
S
θ = ωt
ω
e(t) ωt
e(t)
π 2π
Emax
-Emax
En un generador monofásico, de rotor de imán permanente que gira a
velocidad ω, la tensión generada en el estator, debida al flujo enlazado, es:
( ) ( ) ( )maxe t k·B· ·sen t E sen tω ω ω= =
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7.2 FUNCIONAMIENTO DEL GENERADOR SÍNCRONO
con k constante de diseño.
Así, reemplazando el imán permanente por un enrollado de excitación,
se puede controlar el voltaje inducido.
Ubicando tres enrollados en el estator espaciados a 120º geométricos,
resulta un generador trifásico con frecuencia eléctrica igual a la veloci-
dad del eje.
La frecuencia f, según la velocidad de giro n y el número de polos p,
es:
120
n·pf Hz=
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7.2 FUNCIONAMIENTO DEL GENERADOR SÍNCRONO
� GENERADOR CONECTADO A LA RED
La frecuencia y la velocidad de giro del eje la impone la red, además,
dicha velocidad depende del número de polos:
120 fn RPM
p=
La potencia mecánica aplicada al eje no variará la velocidad del rotor,
sino que se transformará en potencia eléctrica hacia la red, cuyo factor
de potencia dependerá de la corriente de excitación.
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7.3 FUNCIONAMIENTO DEL MOTOR SÍNCRONO
7.3 FUNCIONAMIENTO DEL MOTOR SÍNCRONO
Al alimentar el estator con C.A. se produce un campo magnético rota-
torio en él, la fuerza magnetomotriz sería:
( )3
2e mF F cos tω θ= ⋅ −
donde Fm es la fuerza máxima (N·Imax), ω la velocidad síncrona y θ el
punto donde se está calculando Fe.
Así, el máximo de la f.m.m. se desplaza en el entrehierro a una veloci-
dad síncrona (ωs) de cuando la máquina posee un par de polos. θ ω=&
En general:
2
sp
ωω =
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7.3 FUNCIONAMIENTO DEL MOTOR SÍNCRONO
La f.m.m. del rotor (Fr) es constante y fija a él, lo que provoca que este
campo magnético tienda a alinearse con el C.M.R. del estator, haciendo
que el eje gire a velocidad síncrona.
El torque instantáneo de la máquina:
( ) ( )T e rt K F F senΤ δ= ⋅ ⋅ ⋅
donde KT es una constante de diseño y δ el ángulo entre las f.m.m.
De la expresión de torque se concluye que:
• El torque medio existe, pues δ = cte.
• Se tiene un torque máximo para δ = 90º.
• Se requiere un mecanismo de arranque hasta la velocidad síncrona.
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T
ωωωω
Tmax
-Tmax
ωs
7.3 FUNCIONAMIENTO DEL MOTOR SÍNCRONO
La característica torque-velocidad del motor es:
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7.5 CARACTERÍSTICAS CONSTRUCTIVAS
7.4 CARACTERÍSTICAS CONSTRUCTIVAS
� CARACTERÍSTICAS DE ESTATOR
De características muy similares al estator de la máquina de inducción.
� CARACTERÍSTICAS DE ROTOR
Tres tipos:
1. De imanes permanentes:
• Evita el uso de anillos rozantes para alimentar al rotor.
• No se aplica a altas potencias.
• No se puede controlar el flujo magnético del rotor.
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Los rotores con enrollados de excitación son:
3. Rotor de polos salientes:
De geometría asimétrica.
Inductancias complejas de modelar.
2. Rotor cilíndrico:
De geometría simétrica.
Inductancias mutuas del rotor y estator son constantes.
7.5 CARACTERÍSTICAS CONSTRUCTIVAS
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7.5 CARACTERÍSTICAS CONSTRUCTIVAS
� GENERADORES SÍNCRONOS
Sus características constructivas dependen de la aplicación:
• Centrales hidroeléctricas:
� Máquinas de eje vertical.
� Rotor de polos salientes corto y de gran diámetro.
� Gran número de polos (300-350 [RPM]).
• Centrales térmicas o de ciclo combinado:
� máquina de eje vertical.
� rotor cilíndrico largo y de poco diámetro.
� Usualmente de 2 polos. Velocidades de 1500-3000 [RPM]
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7.5 CARACTERÍSTICAS CONSTRUCTIVAS
�MOTORES SÍNCRONOS
Requiere de mecanismos adicionales para la partida:
• Máquina propulsora externa.
• Barras amortiguadoras: Barras
amortiguadoras
Principio del motor de inducción
para la partida.
Se colocan barras en las caras
polares (similitud con jaula de
ardilla).
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7.5 CIRCUITO EQUIVALENTE DE LA MÁQUINA SÍNCRONA
El modelo considera la resistencia y las reactancias del eje directo y en
cuadratura del estator. Para un rotor cilíndrico se define una única
reactancia: Xs = Xd = Xq.
E
Xs
V
Re
I
( )err
er e r
E L ·I · ·sen t
N ·NL
R
ω ω=
=
Se cumple:
donde Ler es la inductancia mutua rotor-estator, Ne y Nr los números de
vueltas de los enrollados, R la reluctancia del circuito magnético e Ir la
corriente rotórica.
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CIRCUITO EQUIVALENTE DE LA MÁQUINA SÍNCRONA
La máquina operando como generador cumple:
e sE R ·I j·X ·I V= + +& & & &
El diagrama fasorial correspondiente:
d
j Xq·Iq
E
V
I j Xd·Id
j Xs·I
Re·I
δ q
Id
Iq
donde δ es el ángulo de torque, es decir, el ángulo entre las f.m.m. del
estator y rotor.
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La máquina operando como motor cumple:
e sV R ·I j·X ·I E= + +& & & &
j Xq·Iq E
V
I
j Xd·Id
j Xs·I
Re·I
δ q
d
Iq
Id
El diagrama fasorial:
CIRCUITO EQUIVALENTE DE LA MÁQUINA SÍNCRONA
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La potencia eléctrica generada por fase es:
( ) ( )s
E·VP V·I·cos sen
Xϕ δ= =
Para los reactivos se tiene:
( ) ( )2
s s
E·V VQ V·I·sen cos
X Xϕ δ= = −
Operando como motor, en torque aportado por cada fase es:
( ) ( )s
V·I E·VT ·cos sen
Xϕ δ
ω ω= =
CIRCUITO EQUIVALENTE DE LA MÁQUINA SÍNCRONA
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Para una máquina con rotor de polos salientes, la potencia activa y
reactiva es:
( ) ( )
( )( ) ( )
2
2 2
2
22
d q
d d q
d d q
X XE·VP sen ·V sen
X X ·X
cos senE·VQ cos V
X X X
δ δ
δ δδ
−= +
= − +
CIRCUITO EQUIVALENTE DE LA MÁQUINA SÍNCRONA
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7.6 OPERACIÓN EN LOS CUATRO CUADRANTES
La operación de una máquina síncrona se indica en un diagrama P-Q:
( P 1 ,Q 1 ) P
Motor
Inyecta Q Q
( P 4 ,Q 4 )
( P 3 ,Q 3 ) ( P 2 ,Q 2 )
( 0 ,Q 6 ) ( 0 ,Q 5 )
( P 5 , 0 )
Generador
Absorbe Q
( P 6 , 0 )
I
III II
IV
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OPERACIÓN EN LOS CUATRO CUADRANTES
El diagrama anterior muestra los siguientes modos de operación de la
máquina síncrona:
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Q
δ=90º (límite teórico)
Tensión Generada
Mínima
P
δ<90º
(límite práctico)
Corriente de
Armadura
Máxima Potencia
Activa
Máxima
Tensión Generada
Máxima
Diagrama de la máquina síncrona operando como generador:
OPERACIÓN EN LOS CUATRO CUADRANTES
: zona factible de operación
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OPERACIÓN EN LOS CUATRO CUADRANTES
Los límites del diagrama son:
• Máximo ángulo (δ) entre las f.m.m.: teóricamente es 90º, pero por
estabilidad se opera a ángulos menores.
• Potencia activa máxima operando en condiciones nominales según el
fabricante.
• Tensión generada mínima dada por la excitación mínima requerida
por el rotor para que la máquina genere y la tensión generada máxima
limitada por la corriente rotórica.
• Máxima corriente de estator dada por las condiciones nominales.
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7.6 EJES DIRECTO Y EN CUADRATURA
Son dos ejes ficticios que giran con el rotor a la velocidad de sincronis-
mo. Permiten simplificar el estudio de la máquina síncrona tanto de
rotor cilíndrico como de polos salientes.
N
S
d (Eje directo)
q (Eje en cuadratura)
Id e Iq son las corrientes por ambos enrollados, desfasadas en 90º eléc-
tricos y cuya suma equivale a la corriente real por fase.
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7.7 FLUJOS ENLAZADOS EN LAS BOBINAS DEL ROTOR Y ESTATOR
Se consideran las simplificaciones:
• Los enrollados del estator tienen un distribución sinusoidal.
• Las ranuras del estator causan una variación en la inductancia con
respecto a la posición del rotor.
• La histéresis magnética es despreciable.
• Los efectos de la saturación magnética son despreciables.
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7.7 FLUJOS ENLAZADOS EN LAS BOBINAS DEL ROTOR Y ESTATOR
Estator Rotor
φa
φc
a
bc
θ efd
Eje de la fase ad
q
Circuitos amortiguadores
Ia
Ib
Ikq
Ikd
Ifd
Enrollado de
campo
θ es el ángulo entre el eje d y el centro del enrollado de la fase a, en la
dirección de rotación. Crece continuamente según θ = ω·t.
φb
φc
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7.7 FLUJOS ENLAZADOS EN LAS BOBINAS DEL ROTOR Y ESTATOR
Se definen las variables:
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7.7 FLUJOS ENLAZADOS EN LAS BOBINAS DEL ROTOR Y ESTATOR
Las ecuaciones del estator serían:
Voltaje en cada fase:
a b ca a a b a b c a ce R i , e R i , e R i
t t t
φ φ φ∂ ∂ ∂= − ⋅ = − ⋅ = − ⋅
∂ ∂ ∂
Los flujos enlazados por cada bobina del estator:
a aa a ab b ac c afd fd akd kd akq kq
b ba a bb b bc c bfd fd bkd kd bkq kq
c ca a cb b cc c cfd fd ckd kd ckq kq
L ·i L ·i L ·i L ·i L ·i L ·i
L ·i L ·i L ·i L ·i L ·i L ·i
L ·i L ·i L ·i L ·i L ·i L ·i
φ
φ
φ
= − − − + + +
= − − − + + +
= − − − + + +
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7.7 FLUJOS ENLAZADOS EN LAS BOBINAS DEL ROTOR Y ESTATOR
Ecuaciones del rotor son:
0 0fd kqkd
fd fd fd kd kd kq kqe R i , R i , R it t t
φ φφ∂ ∂∂= + ⋅ = + ⋅ = + ⋅
∂ ∂ ∂
Los flujos enlazados por las bobinas del rotor:
2 2
3 3
2 2
3 3
2 2
3 3
fd fd fd fkd kd afd a b c
kd fkd fd kd kd akd a b c
kq kq kq akq a b c
L i L i L i cos i cos i cos
L i L i L i cos i cos i cos
L i L i sen i sen i sen
π πφ θ θ θ
π πφ θ θ θ
π πφ θ θ θ
= ⋅ + ⋅ − + − + +
= ⋅ + ⋅ − + − + +
= ⋅ + + − + +
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7.7 FLUJOS ENLAZADOS EN LAS BOBINAS DEL ROTOR Y ESTATOR
� INDUCTANCIAS PROPIAS DEL ESTATOR
La inductancia propia de un enrollado a es la razón entre el flujo y la
corriente por esa fase, cuando la corriente en los otros circuitos es nula.
Tendrá un valor máximo en θ = 0º, 180º y mínimo para θ = 90º, 270º...
La f.m.m. de la fase a tiene un valor máximo de Na·ia en el eje de la
fase. Al descomponerla en los ejes directo y en cuadratura, se tiene:
( )
( ) ( )90
ead max a a
eaq max a a a a
F N i cos
F N i cos º N i sen
θ
θ θ
= ⋅
= ⋅ + = − ⋅
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7.7 FLUJOS ENLAZADOS EN LAS BOBINAS DEL ROTOR Y ESTATOR
Gráficamente:
Distribución del flujo magnético en el entrehierro (fase a), cuando sólo
circula corriente por esa fase: d q
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7.7 FLUJOS ENLAZADOS EN LAS BOBINAS DEL ROTOR Y ESTATOR
Las trayectorias del flujo magnético en en entrehierro se pueden definir
como:( )
( )
ehad a a d
ehaq a a q
N i cos P
N i sen P
φ θ
φ θ
= ⋅
= − ⋅
donde Pd y Pq son las permeabilidades de ambos ejes.
El flujo total enlazado es:
( ) ( )2 2 22 2
d q d qeh eh ehaa ad aq a a d q a a
P P P Pcos sen N i P cos P sen N i cosφ φ θ φ θ θ θ θ
+ − = − = ⋅ + = ⋅ +
La inductancia propia es:
eh fugaa aa a
aa
a
N ( )L
i
φ φ⋅ +=
Flujo de fuga no
enlazado en el
entrehierro
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7.7 FLUJOS ENLAZADOS EN LAS BOBINAS DEL ROTOR Y ESTATOR
Con ello:0 1
20
21
2
2
2
aa
fugad q a a
a
a
d q
a
L L L cos( )
P P NL N
i
P PL N
θ
φ
= +
+ ⋅= +
− =
Las inductancias propias para las fases b y c que están desplazadas en
120º y 240º, respectivamente:
0 1
0 1
22
3
22
3
bb
cc
L L L cos
L L L cos
πθ
πθ
= + −
= + +
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7.7 FLUJOS ENLAZADOS EN LAS BOBINAS DEL ROTOR Y ESTATOR
La variación de la inductancia propia de los enrollados del estator
según el ángulo θ:
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7.7 FLUJOS ENLAZADOS EN LAS BOBINAS DEL ROTOR Y ESTATOR
� INDUCTANCIAS MUTUAS DEL ESTATOR
Lab se obtiene a través del flujo en el entrehierro que es enlazado por la
fase b cuando sólo la fase a es excitada. Proyectando las variables al
eje de la fase b:2 2
3 3
22
4 2 3
eh eh ehba ad aq
d q d q
a a
cos sen
P P P PN i cos
π πφ φ θ φ θ
πθ
= − − −
+ − = ⋅ − + −
La inductancia mutua resulta:
0 1 0 1
22 2
3 3
eh fugaa ab ab
ab ba m m
a
N ( )L L L L cos L L cos
i
φ φ π πθ θ
⋅ + = = = − + − = − − +
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7.7 FLUJOS ENLAZADOS EN LAS BOBINAS DEL ROTOR Y ESTATOR
Análogamente:
( )0 1
0 1
2
23
bc cb m
ca ac m
L L L L cos
L L L L cos
θ π
πθ
= = − − −
= = − − −
La variación de la inductancia mutua entre las fases a y b es:
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7.7 FLUJOS ENLAZADOS EN LAS BOBINAS DEL ROTOR Y ESTATOR
� INDUCTANCIAS MUTUAS ENTRE ROTOR Y ESTATOR
Se considera que:
• Las variaciones en el entrehierro debido a las ranuras del estator son despreciables.
• El circuito del estator tiene una permeabilidad constante.
• La variación de la inductancia se debe al movimiento relativo de los enrollados.
Para la fase a:
2
afd afd max
akd akd max
akq akqmax akqmax
L L cos
L L cos
L L cos L sen
θ
θ
πθ θ
=
=
= + = −
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7.7 FLUJOS ENLAZADOS EN LAS BOBINAS DEL ROTOR Y ESTATOR
Para la fase b, θ se reemplaza por 2 3θ π− y para la c por 2 3θ π+
Finalmente los flujos enlazados por las bobinas de estator, para cada
fase, son:
( )
( ) ( ) ( )
0 1 0 1 0 12 2 23 3
a a b m c m
fd afd max kd akd max kq akqmax
i L L cos i L L cos i L L cos
i L cos i L cos i L sen
π πφ θ θ θ
θ θ θ
= − + + + + + + − +
+ ⋅ + ⋅ − ⋅
( )
0 1 0 1
0 1
22 2
3 3
22
3
2 2
3 3
b a m b
c m fd afd max
kd akd max kq akqmax
i L L cos i L L cos
i L L cos i L cos
i L cos i L sen
π πφ θ θ
πθ π θ
π πθ θ
= + + − + − +
+ + − + ⋅ − +
+ ⋅ − − ⋅ −
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7.7 FLUJOS ENLAZADOS EN LAS BOBINAS DEL ROTOR Y ESTATOR
( )0 1 0 1
0 1
2 23
2 22
3 3
2 2
3 3
c a m b m
c fd afd max
kd akd max kq akqmax
i L L cos i L L cos
i L L cos i L cos
i L cos i L sen
πφ θ θ π
π πθ θ
π πθ θ
= + − + + − −
− + + + ⋅ + +
+ ⋅ + − ⋅ +
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7.8 TRANSFORMACIÓN DQ0
7.8 TRANSFORMACIÓN DQ0
Debido a que las inductancias calculadas dependen de θ y del tiempo,
se propone la siguiente transformación de variables (DQ0) para las
corrientes del estator proyectadas en los ejes d-q:
2 2
3 3
2 2
3 3
d d a b c
q q a b c
i k i cos i cos i cos
i k i sen i sen i sen
π πθ θ θ
π πθ θ θ
= + − + +
= − + − + +
donde las constantes kd y kq se toman como 2/3.
Tomando ( )a mi I ·sen tω= y consecuentemente para las otras fases, se
obtiene:
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7.8 TRANSFORMACIÓN DQ0
( )
( )
2 2
3 3
2 2
3 3
3
2
d d m
d d m
i k I sen t cos sen t cos
sen t cos
i k I cos t
π πω θ ω θ
π πω θ
ω θ
= ⋅ ⋅ + − ⋅ − +
+ + +
= −
Análogamente:
( )3
2q q mi k I cos tω θ= − −
Considerando una secuencia de variable cero i0:
( )0
1
3a b ci i i i= + +
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7.8 TRANSFORMACIÓN DQ0
Matricialmente, la transformación de variables (a, b, c) a (d, q, 0),
queda:
( ) ( )( ) ( )
0
2 23 3
2 2 23 33
1 1 1
2 2 2
d a
q b
c
cos cos cosi i
i sen sen sen i
ii
π πθ θ θ
π πθ θ θ
− + = − − − − +
( ) ( )( ) ( ) 0
1
2 2 13 3
2 2 13 3
a d
b q
c
cos seni i
i cos sen i
i icos sen
θ θ
π πθ θ
π πθ θ
−
= − − − + − +
La inversa:
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7.8 TRANSFORMACIÓN DQ0
Los flujos en el estator resultan:
( )
0 0 1
0 0 1
0 0 0 0
3
2
3
2
2
d m d afd fd akd kd
q m d akd kd
m
L L L i L i L i
L L L i L i
L L i
φ
φ
φ
= − + + + ⋅ + ⋅
= − + − + ⋅
= − − ⋅
definiendo:
0 0 1
0 0 1
0 0 0
3
2
3
2
2
d m
q m
m
L L L L
L L L L
L L L
= + +
= + −
= −
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7.8 TRANSFORMACIÓN DQ0
Obteniéndose para el flujo:
0 0 0
d d d afd fd akd kd
q q q akq kq
L i L i L i
L i L i
L i
φ
φ
φ
= − + +
= − +
= −
Para el flujo enlazado por el rotor:
3
2
3
2
3
2
fd fd fd fkd kd afd d
kd fkd fd kd kd akd d
kq kq kq akq q
L i L i L i
L i L i L i
L i L i
φ
φ
φ
= + −
= + −
= −
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� VOLTAJES EN EL ESTATOR SEGÚN EJES d-q
7.8 TRANSFORMACIÓN DQ0
00 0
dd q a d
q
q d a q
a
e R it t
e R it t
e R it
φ θφ
φ θφ
φ
∂ ∂= − −
∂ ∂
∂ ∂= − −
∂ ∂
∂= −
∂
� POTENCIA Y TORQUE SEGÚN EJES d-q
La potencia instantánea trifásica: t a a b b c cP e i e i e i= + +
entonces:
( )0 0
3
2t d d q qP e i e i e i= + +
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7.8 TRANSFORMACIÓN DQ0
En condiciones de equilibrio e0 = i0 = 0, la potencia sería:
( )3
2t d d q qP e i e i= +