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7/24/2019 Presentacin Optimizacion MILP MINLP
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Simulacin y Optimizacin de Procesos Qumicos
Titulacin: Ingeniera Qumica. 5 Curso
Optimizacin
MILP, MINLP
(Mixed Integer (Non) Linear Programming) .
Octubre de 2009. Jos A. Caballero
Esta obra est bajo una licencia Reconocimiento-No comercial-Sin obras derivadas 3.0 Espaa de Creative Commons. Para ver una copia de esta licencia, visite
http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/es/ o envie una carta a Creative Commons, 171 Second Street, Suite 300, San Francisco, California 94105, USA.
Citar como: J.A. Caballero Surez, material docente para la asignatura Simulacin y Optimizacin de procesos Qumicos, Octubre 2009. Universidad de Alicante.
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Optimizacin Discreta
Programacin Lineal de con variables discretas (MILP)
{ }1,0,,0
0..
min
+
+=
yxx
bByAxas
yaxcZ
n
TT
Algoritmos
I. EnumeracinRamificacin y Acotamiento (Land, Doig 1960; Dankin 1965)
Idea Bsica: Particin sucesiva del espacio entero para eliminar regiones. Selleva a cabo una bsqueda en rbol, donde cada nodo es un LP.
II. ConvexificacinPlanos de corte (Gomory 1958; Crowder y col, 1983; Balas y col. 1993)
Idea Bsica: resolver una serie de subproblemas LP aadiendo cada vezdesigualdades vlidas que corten soluciones previas.
Ramificacin y Acotamiento ampliamente utilizadoIntegracin de los mtodos : RAMIFICACIN Y CORTE
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Enumeracin exhaustiva slo vlida para problemas pequeos
5. Variables binarias 32 combinaciones enteras10 Variables binarias 1024 combinaciones enteras
50 Variables binarias 1015
combinaciones enteras100. Variables binarias 1030 combinaciones enteras1000. Variables binarias 103000 combinaciones enteras
Escala de
tiempo(Microsegundos)
0
1020
1040
1010
1030
Microsegundos en un da
Microsegundos desde el Big Bang(Unos trece mil setecientos millones de aos)
No funciona en MILP
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No funciona en MILP
Relajacin y Redondeo
Optimo entero
Optimorelajado
Redondeo: no-factible
NO-FACTIBLE
1
0
0 1
y2
y1
1
0
0
y2
y1
Optimo entero
Optimorelajado
Redondeo: factible
SUB-OPTIMO !
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No funciona en MILP
{ }
1 2
1 2
1 2
min : 2
. . 2 1
, 0,1
Z y y
s a y y
y y
= +
+
Reemplazar{ }0,1y
( )
( )
1 1 1
2 2 2
0 1 1 0
0 1 1 0
y y y
y y y
Utilizando el cdigo CONOPT2:
Punto Inicial: Resultado
1 2
1 2 1 2
0; 0
0.5; 0.5 0; 1; 2
y y no factible
y y y y Z
= =
= = = = = Sub-ptimo
Solucin optima: 1 21; 0; 1y y Z= = =
Reformulacin del problema como no lineal:
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Ramificacin y Acotamiento
Particionamiento del espacio entero a travs de una rbol binario
Nodo raz (relajacin LP)
y2= 0 y2= 1 y2= 0 y2= 1
y3= 0
y3= 1
y3= 0
y3= 1
y3= 0
y3= 1
y3= 0
y3= 1
y1= 0 y1= 1
Nodo l
Nodo k
Nota: 15 nodos para 23 = 8 combinaciones 0-1
Nodo kdescendiente del nodo l
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Nodo raz (relajacin LP)
y2= 0 y2= 1 y2= 0 y2= 1
y3= 0
y3= 1
y3= 0
y3= 1
y3= 0
y3= 1
y3= 0
y3= 1
y1= 0 y1= 1
Nodo l
Nodo k
Ramificacin y Acotamiento
Sea el nodo k un nodo
descendiente del nodo l
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Ramificacin y Acotamiento
{ }1,0,,0
0..
min
+
+=
yxx
bByAxas
yaxcZ
n
TTDado que el nodo kes descendiente del nodo l
3.- SiLPkes una solucin ENTERAZk Z*
Zk: LIMITE SUPERIOR
Reglas de eliminacin de nodosNodo no factibleLmite inferior supera lmite superior
1.- SiLPl es NO-FACTIBLE entoncesLPkes NO-FACTIBLE
2.- SiLPkes FACTIBLE entoncesZl Zk
Incremento montono de funcin objetivo
Zl : LIMITE INFERIOR
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Ramificacin y Acotamiento
Para utilizar un algoritmo de R. A. hay dos decisiones que tomar:
1. Qu variable se selecciona para ramificar en cada nodo
2. Qu nodo, entre los abiertos, es el siguiente en la enumeracin
Reglas de ramificacin: Seleccin de variable
1.- Fijar prioridades en la variables para ramificacin
2.- Seleccionar para ramificar aquella variable, entre las binarias, con un valor mscercano a 0.5.
3.- Coste Penalizado (Driebneck, 1966)
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1,0,,;0
9385
023..
23min
321
321
321
321
=
+++
+++=
yyyx
yyy
yyyxas
yyyxz
1
z =5.8
[0.2, 1, 0] 5
4
y3=1
y3=0
z=6.75
no factible
[0, 0.75, 1]
3
2
y1=1
y1=0z=6
z=6.5
[0, 1, 0.333]
[1, 0.5, 0]
7
6y2=0
y2=1
no factible
[0, 1, 1]
z=8
ptimo
9
8no factible
z=9
y2=1
y2=0
[1,1,0]
Ejemplo 1 MILP(DFS)
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1,0,,;0
9385
023..
23min
321
321
321
321
=
+++
+++=
yyyx
yyy
yyyxas
yyyxz
1
z =5.8
[0.2, 1, 0] 5
4
y3=1
y3=0
z=6.75
no factible
[0, 0.75, 1]
3
2
y1=1
y1=0z=6
z=6.5
[0, 1, 0.333]
[1, 0.5, 0]
9
8y2=0
y2=1
no factible
[0, 1, 1]
z=8
ptimo
7
7no factible
z=9
y2=1
y2=0
[1,1,0]
Ejemplo 1 MILP(BFS)
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( )
{ }
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 4
min 5 3 2.3 1.4 0.95 10
. . 2.5 2 2 0.2 0.85 3
0.5 0.3 0.3 1
0,1 1, 2, 3, 4, 5i
z y y y y y
s a y y y y y
y y y
y i
= + + + +
+ + +
+ +
=
1
z =2.9
[1, 0.55, 0, 1, 1]
3
z =3.35
[0.64, 0, 1, 1, 1]
2z =3.225
[1, 0, 0.15, 1, 0]
4
z =4.05
[0.64, 0, 1, 1, 1]
5
z =3.60
[1, 0, 0, 1, 0]
Cota superior
Nodo con valor mayorque cota superior. No esnecesario continuar poresta rama
6
no-factible
7
z =4.68
[0, 1, 0.4, 1, 1]
Nodo con valor mayorque cota superior. No esnecesario continuar poresta rama
OPTIMO
Ejemplo 2
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Ejemplo 3 (DFS)
1
z =2.35
[1, 0.55, 0, 1, 1]
2
z =2.35
0.64, 1, 0, 1, 1]
3
z =3.405
[1, 0, 0.15, 1, 0]
4
z =4.08
[0, 1, 0.4, 1, 0]
5
[no-factible]
6
[no-factible]
7z =4.60
[0, 1, 0, 1, 0]
8
z =5.05
[0.64, 0, 1, 1, 1]
9
z =3.6
[1, 0, 0, 1, 1]
Cota superior
Cota superior
Nodo con valor mayorque cota superior. No esnecesario continuar poresta rama
OPTIMO
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Algunas consideraciones importantes
La dificultad para resolver un M ILP est relacionada con:
1. Tamao del GAP de relajacin2. N de variables 0-1
3. N de restricciones.Sin embargo esto es especfico de cada problema. Un problema con 20 variablesbinarias podra ser mucho ms difcil de resolver que otro con 1000.
El correcto modelado del problema, es para los MILP de crucial importancia.
Algunas mejoras en los algoritmos de Ramificacin y Acotamiento:
1. Reduccin de coeficiente
2. Eliminar restricciones redundantes3. Aadir desigualdades lgicas (aunque estrictamente no sean necesarias)4. Estrechar los lmites de las variables5. Estrategias de ramificacin especiales para algunas restricciones (o variables ej SOS1)6. Etc
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Reduccin de coeficiente
Considere la siguiente restriccin { }0 0,1j j j jj
a y b a y >
Si ak> b reemplazar akpor b: { }0 0,1k j j j jj k
b y a y b a y
+ >
Ejemplo:
1 2
1 2
2 1 (1)
1 (2)
y y
y y
+
+
10
1
(2)
(1)
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Correcto modelado y relaciones lgicas
Si la tarea Yi se lleva a cabo en cualquier perodo i=1..n entonces seleccionar la unidad Z.
Intuitivamente se pueden escribir 2 conjuntos de restricciones algebraicas vlidas
Si el conjunto de restricciones lineales no es nicoEntonces. Cul es la mejor opcin?
Ejemplo: Una restriccin habitual
znyn
i
i=1
Una nica desigualdadA-
niyz i ,....,2,1= Conjunto de n desigualdadesB-
Considerese el caso con i=2
2
1
yz
yz
( )2
21 yyz + A
B
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y2 y1
z
Caso A ( )
221 yy
z +
Regin factible
Punto no enteroPunto no entero
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Caso B Regin factible
y2y1
z
2
1
yzyz
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Conjuntos de ordenacin especial
SOS1 Considere la siguiente restriccin 1ii I
y
=
En lugar de la regla habitual de ramificacin :
Se divide I en dos subconjuntos iguales I1
e I2
Se ramifica sobre la dicotoma:1 2
0 0i ii I i I
y y
= =
1 2 3 4 0y y y y+ + + = 5 6 7 8 0y y y y+ + + =
5 6 0y y+ = 7 8 0y y+ = 1 2 0y y+ = 3 4 0y y+ =
7 0y = 8 0y = 5 0y = 6 0y = 3 0y = 4 0y = 1 0y = 2 0y =
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Programacin No-Lineal de con variables discretas (MINLP)
{ }pn
y
Xx
yxg
yxhas
yxf
1,0
0),(
0),(..
),(:min
=
Ramificacin y AcotamientoRavindran y Gupta 1985; Leyffer y Fletcher 2001
Ramificacin y corte: Stuubs y Mehrota 1999
Descomposicin de Benders GeneralizadaGeofrion, 1972
Aproximaciones ExterioresDuran y Grossmann 1986; Yuan y col 1988;
Fletcher y Leyffer 1994
LP/NLP Ramificacin y Acotamiento
Quesada y Grossmann 1992
Plano de Corte ExtendidoWesterlund y Petersen 1995
Algoritmos
MINLP
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Ramificacin y Acotamiento
Enumeracin en rbol
min : ( , ). ( , ) 0
, 0 1
0
1
k
LB
j
ki FL
ki FU
Z f x ys a g x y
x X y
y i I
y i I
=
Cada nodo es un NLP-1
Ventaja: Formulacin sencilla, slo requiere problemas de tipo NLP-1
Inconveniente: Potencialmente sera necesario resolver muchos NLPs
Convergencia global: slo necesita que cada NLP-1 alcance su ptimo global
MINLP
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Los diferentes algoritmos se pueden derivar por la combinacin de diferentes sub-problemas
min : ( , )
. ( , ) 0
, 0 1
0
1
kLB
j
ki FL
ki FU
Z f x y
s a g x y
x X y
y i I
y i I
=
a) NLP Relajado (relajacin de alguna binaria).Lmite inferior
(NLP-R) min : ( , )
. ( , ) 0
k kU
k
j
Z f x y
s a g x yx X
=
b) NLP Variables binarias fijas.Lmite Superior
(NLP-1)
1
min :
. ( , )
,
kj
u
s a g x y u
x X u R
c) NLP De Factibilidad para unaykfija.
Minimizacin de la norma infinito delvector de no-factibilidades(NLP-F)
MINLP
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Jos A. CaballeroSimulacin y Optimizacin de Procesos Qumicos.Esta obra est bajo una licencia Reconocimiento-No comercial-Sin obras derivadas 3.0 Espaa de Creative Commons. Para ver una copia de esta licencia, visitehttp://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/es/ o envie una carta a Creative Commons, 171 Second Street, Suite 300, San Francisco, California 94105, USA.
Citar como: J.A. Caballero Surez, material docente para la asignatura Simulacin y Optimizacin de procesos Qumicos, Octubre 2009. Universidad de Alicante.
MINLP
Problema Maestro (Duran y Grossmann, 1986)
min :
. . ( , ) ( , )
1...
( , ) ( , ) 0
kL
kk k k k T
k
kk k k k T
j j k
Z
x xs a f x y f x y
y yk K
x x
g x y g x y j J y y
=
+
=
+
M-MILP
Notas:
a) El punto (xk, yk) k = 1K se obtiene normalmente de NLP-1
b) Las linealizaciones se acumulan en cada iteracin
c) Produce una secuencia no-decreciente de lmites inferiores
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x2
f(x)
x
Funcin objetivo convexa
x2
x2
x1
x1x1
Regin factible convexa
Subestimacin de lafuncin objetivo Sobreestimacin de laregin factible
MINLP
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Algoritmo de las aproximaciones exteriores (implementado en GAMS como DICOPT)
NLP-1Factible
S
ZM > Z*No
CorteBinario
SFin
NLP-1
(y fijas)Cota Superior. Posible Solucin.
Nueva linealizacin en x ptimaZ* = mejor cota superior
MILP-MCota Inferior:Valores de yk para NLP-1
Funcin objetivo = ZM
NLP-RProblema relajado. Binarias
relajadas a continuas entre 0 y 1
NoNLP-F Problema de factibilidad
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Extensin a problemas con restricciones de igualdad:
La nica modificacin necesaria es a nivel del problema MASTER
min :
. . ( , ) ( , )
( , ) ( , ) 0
kL
kk k k k T
k
kk k k k T
j j k
Z
x xs a f x y f x y
y y
x x
g x y g x y j J y y
=
+
+
( ) ( , ) 0
kk k T
i i k
x xsign h x y i I
y y
1....k K=
Relajacin de la igualdad en desigualdad utilizando el signo del multiplicador de Lagrange
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Cdigos comerciales para MINLP
DICOPT++ (GAMS) Viswanathan y Grossmann (1990)
Aproximaciones exteriores
AOA (AIMSS)Aproximaciones exteriores
MINLP (AMPL) Fletcher y Layffer (1999)
Ramificacin y acotamiento
-ECP Westerlund y Petersson (1996)Plano de corte extendido (tambin bajo GAMS)
MINOPT Scheweiger y Floudas (1998)
Descomposicin de Benders
BARON Sahinidis y col (1998)Optimizacin global (tambin bajo GAMS)
SBB (GAMS)
Ramificacin y acotamiento simple.
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Sistemas de modeladoProgramacin Matemtica
GAMS (Meeraus y col, 1997)
AMPL (Fourer y col, 1995)AIMSS (Bisschop y col, 2000)
1. Sistemas de modelado algebraico: Modelos basados en ecuaciones
2. Capacidad de indexado. Permite plantear problemas grandes con poco esfuerzo
3. Diferenciacin automtica. El usuario no tiene que proporcionar informacin de
derivadas.
4. Conexin automtica don diferentes cdigos (sin cambiar la formulacin del
modelo) y diferentes tipos de modelos (LP, MILP, NLP, MINLP )