Post on 16-Oct-2021
Principios del Álgebra de Boole
Dr. Andrés David García García
Departamento de Mecatrónica
División de Ingeniería y Ciencias
TE 1010 1
Los sistemas Lógicos Digitales
• Se utilizan para poder procesar información:
– Clasificar, almacenar, organizar e intercambiar.
– Tomar decisiones.
• Ejemplo: Encender o apagar un calefactor:
– Control ON/OFF.
– Encendido toma 2 valores: F/V; ‘0’ ó ‘1’
– Dos valores posibles: SISTEMA BINARIO.
TE 1010 2
Sistemas Lógicos
➢ Los circuitos lógicos basa su funcionamiento en la “lógica de conjuntos”
➢ Principio fundamental de los circuitos lógicos:➢ Falso: ‘0’ (cero lógico)
➢Verdadero: ‘1’ (uno lógico)
➢Al tratarse de un dispositivo electrónico, estos “estados” se representan por un nivel de tensión eléctrica o “Voltaje”.
TE 1010 3
Sistemas lógicos
➢ Equivalente eléctrico de los niveles lógicos:
➢ Los niveles lógicos pueden ser vistos como un switch:
❖‘0’ es un circuito abierto
❖‘1’ es un circuito cerrado
‘0’
‘1’
S
TE 10104
Sistemas lógicos
➢Ejemplos:➢ Switches en serie:
➢ La función lógica que hace que A=B es una AND.
➢ Switches en paralelo:
➢ La función lógica que hace que A=B es una OR.
S SA B
S
SA B
TE 10105
Sistemas lógicos
➢Ejemplos:
X Y
X
Y
TE 10106
X AND Y
X OR Y
U
Sistemas lógicos➢ Fundamentos de teoría de conjuntos:
TE 1010 7
UNIVERSO A
U
B
U
A B
Sistemas lógicos➢ Fundamentos de teoría de conjuntos:
TE 1010 8
A BC A B
A B
C = A “y” B C = A “ó” B
C = A “ó excluyente” B
A
C = complemento (A)
Sistemas Lógicos
➢Niveles lógicos de voltaje:
TE 1010 9
Umbral de ruido
(nivel indefinido)
5V
0V
‘1’ (estado lógico
“alto”)
‘0’ (estado lógico
“bajo”)
Sistemas lógicos➢ Ley de Ohm:
➢ V = I*R❖V = Voltaje
❖ I = Corriente
❖R = Resistencia
➢ La ley de Ohm establece que la tensión (Volts) medida entre lasterminales de un elemento resistivo es igual al valor deresistencia (en Ohms) multiplicada por la corriente (enAmperes) que pasa por el resistor.
TE 1010 10
Sistemas lógicos
➢Ejemplo: La ley de Ohm:
➢ El valor de la resistencia es “R”.
➢ El voltaje medido entre las terminales de la resistencia es “V”.
➢ La corriente que alimenta el circuito es “i”.
i
R+
V
-
RIV
TE 101011
Sistemas lógicos
➢Ley de Ohm: nodos y mallas:
a b c
gnd
i1 i2
TE 101012
Sistemas lógicos
➢División de corriente:
➢División de voltaje:
i i/2
i/2
i
+
V/2
-
+
V/2
-
+
V
-
TE 101013
Compuertas lógicas
➢Símbolos de las funciones lógicas:
X Y
)( XnotXY
X
YZ
XandYYXZ
TE 101014
ZX
Y
XorYYXZ
ZX
Y
XxorYYXZ
Compuertas lógicas
➢Inversor: NOT:
X Y
)( XnotXY
X Y
0 1
1 0
TE 101015
Tabla de verdad
Compuertas lógicas
➢AND:
X
YZ
XandYYXZ
X Y Z
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
TE 101016
Compuertas lógicas
➢OR:
ZX
YXorYYXZ
X Y Z
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
TE 101017
Compuertas lógicas
➢Or Exclusiva ó XOR:
ZX
YXxorYYXZ
X Y Z
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
TE 101018
Compuertas lógicas
➢Usando varias compuertas lógicas se puede construir funciones más elaboradas:
X1
X2
X3
F
F_int
X1 X2 X3 F
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 1 1
TE 101019
F = F_int AND X3
F = (X1 + X2) * X3
Brown/Vranesic. “Fundamentals of logic design”.
Compuertas lógicas
➢Ejemplo: Análisis de una red lógica:
)21()1( andXXorXnotF
X1
X2
F
0, 0, 1, 1
0, 1, 0, 1
1, 1, 0, 0
0, 0, 0, 1
1, 1, 0, 1A
B
TE 101020
)21(1 XXXF
Brown/Vranesic. “Fundamentals of logic design”.
Compuertas lógicas
➢Ejemplo: Análisis de una red lógica:
X1
X2
A
B
F
X1 X2 F
0 0 1
0 1 1
1 0 0
1 1 1
TE 101021
Brown/Vranesic. “Fundamentals of logic design”.
Diagrama de tiempo (cronograma):
Álgebra de Boole
➢ El álgebra booleana o álgebra de Boole define las reglas básicasde manipulación y simplificación de funciones lógicas.
➢ Este tipo de álgebra fue creada en 1849 por George Boole (de ahísu nombre).
➢ Sin embargo, los principios desarrollados por Boole no fueronusados dentro de la rama de la ingeniería sino 100 años después.
➢ En 1930, Claude Shannon demostró que los principios de Boolepodían ser usados para describir circuitos a base de switches, esdecir, circuitos lógicos.
TE 1010 22
George Boole, Matemático Autodidacta
británico nacido en Lincoln, Reino Unido, 1815.
• Profesor en el Queen’s College.
• Fundador de su propio colegio.
Álgebra de Boole❖Axiomas o reglas básicas del álgebra de boole:
1a: ‘0’ • ‘0’ = ‘0’
1b: ‘1’ + ‘1’ = ‘1’
2a: ‘1’ • ‘1’ = ‘1’
2b: ‘0’ + ‘0’ = ‘0’
3a: ‘0’ • ‘1’ = ‘1’ • ‘0’ = ‘0’
3b: ‘1’ + ‘0’ = ‘0’ + ‘1’ = ‘1’
4a: si X = ‘0’, entonces /X = ‘1’
4b: si X = ‘1’, entonces /X = ‘0’
TE 1010 23Brown/Vranesic. “Fundamentals of logic design”.
Álgebra de Boole❖De los axiomas anteriores podemos definir los
siguientes teoremas:
5a: X • ‘0’ = ‘0’
5b: X + ‘1’ = ‘1’
6a: X • ‘1’ = X
6b: X + ‘0’ = X
7a: X • X = X
7b: X + X = X
8a: X • /X = ‘0’
8b: X + /X = ‘1’
9 : //X = X
TE 1010 24Brown/Vranesic. “Fundamentals of logic design”.
Álgebra de Boole
➢ Los axiomas y teoremas anteriores fueronexpresados por pares (a,b) esto con el fin dedemostrar de forma implícita el “principio dedualidad”, el cual tiene por reglas simples:
✓ Cambiar la operación lógica AND (•) por OR (+) y viceversa.
✓ Sustituir ‘0’s por ‘1’s y viceversa.
➢ Este principio será muy útil posteriormente en lasimplificación de ecuaciones lógicas complejas.
TE 1010 25
Álgebra de Boole➢ El álgebra booleana establece también algunas
propiedades que se usan para manipular y simplificarfunciones lógicas de 2 o 3 variables.
➢ Propiedad conmutativa:
10a: X • Y = Y • X
10b: X + Y = Y + X
➢ Propiedad asociativa:
11a: X • (Y • Z) = (Y • X) • Z
11b: X + (Y + Z) = (Y + X) + Z
TE 1010 26Brown/Vranesic. “Fundamentals of logic design”.
Álgebra de Boole➢Propiedad distributiva:
12a: X • (Y + Z) = (X • Y) + (X • Z) 12b: X + (Y • Z) = (X + Y) • (X + Z)
➢Propiedad de absorción:
13a: X + (X • Y) = X 13b: X • (X + Y) = X
➢Propiedad de combinación:
14a: (X • Y) + (X • /Y) = X 14b: (X + Y) • (X + /Y) = X
TE 1010 27Brown/Vranesic. “Fundamentals of logic design”.
Álgebra de Boole
➢Teorema de Morgan:
15a: /(X • Y) = /X + /Y
15b: /(X + Y) = /X • /Y
16a: X + (/X • Y) = X + Y
16b: X • (/X + Y) = X • Y
➢Tarea: usando los axiomas y propiedades del álgebra de Boole, comprobar los 4 casos del teorema de Morgan.
TE 1010 28Brown/Vranesic. “Fundamentals of logic design”.
Álgebra de Boole
➢Simplificación algebraica de una función lógica:
➢Ejemplo:
❖ F = /X•Y•Z + /X•Y•/Z + X•Z
❖ F = /X•Y•(Z + /Z) + X•Z
❖ F = /X•Y•(‘1’) + X•Z
❖ F = /X•Y + X•Z
TE 1010 29M. Mano/Kime. “Logic & Computer Design Fundamentals”
Álgebra de Boole
➢Simplificación algebraica de una función lógica:➢ Circuito: F = /X•Y•Z + /X•Y•/Z + X•Z
➢ Circuito: F = /X•Y + X•Z
X
FY
Z
X
Y
Z
F
TE 101030
M. Mano/Kime. “Logic & Computer Design Fundamentals”
Álgebra de Boole
➢Compuertas con salida negada:
➢Ejercicio: Aplicando el principio de dualidad, proponga otro símbolo equivalente para las tablas de verdad anteriores.
TE 101031
A B S
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0
A B S
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 0
Álgebra de Boole
➢Or Exclusiva negada:➢ Or exclusiva:
F = /X•Y + X•/Y
➢ Or exclusiva negada:
/F = /(/X•Y + X•/Y)/F = /(/X•Y) • /(X•/Y)/F = (//X + /Y) • (/X + //Y)/F = ……………………/F = …………………/F = /X•/Y + X•Y
➢ Aplicando el teorema de Morgan y la propiedad de distribución, demuestre la ecuación de una OR exclusiva negada y obtenga la tabla de verdad.
TE 101032
Álgebra de Boole
➢Simplificaciones:➢Haciendo uso del álgebra de Boole, simplifique la siguiente
ecuación:
(A•B) + [A •(B+C)] + [B •(B+C)]
A
B
C
F
TE 101033
Álgebra de Boole➢ Simplificaciones:
➢Haciendo uso del álgebra de Boole, simplifique la siguiente ecuación:
(A•B) + [A •(B+C)] + [B •(B+C)]
➢1) Aplicar la propiedad distributiva:
(A•B) + (A•B) + (A•C) + (B•B) + (B•C)
TE 1010 34
Álgebra de Boole➢ Simplificaciones:
➢Haciendo uso del álgebra de Boole, simplifique la siguiente ecuación:
(A•B) + [A •(B+C)] + [B •(B+C)]
➢2) Aplicar los axiomas básicos:
(A•B) + (A•B) + (A•C) + (B•B) + (B•C)
(A•B) + (A•C) + (B) + (B•C)
TE 1010 35
Álgebra de Boole
➢Simplificaciones:
➢Haciendo uso del álgebra de Boole, simplifique la siguiente ecuación:
(A•B) + [A •(B+C)] + [B •(B+C)]
➢3) Aplicar la propiedad de absorción:
(A•B) + (A•C) + (B) + (B•C)
(A•B) + (A•C) + (B)
TE 1010 36
Álgebra de Boole
➢Simplificaciones:
➢ Haciendo uso del álgebra de Boole, simplifique la siguiente ecuación:
(A•B) + [A •(B+C)] + [B •(B+C)]
➢ 4) Aplicar la propiedad de absorción:
(A•B) + (A•C) + (B)
(A•B) + (B) + (A•C)
(B) + (A•C)
TE 1010 37
Álgebra de Boole
➢Simplificaciones:➢ Haciendo uso del álgebra de Boole, simplifique la siguiente ecuación:
(A•B) + [A •(B+C)] + [B •(B+C)]
(B) + (A•C)
F
A
B
C
TE 101038
Jerarquía de las operaciones
• Al igual que en álgebra convencional, las operaciones lógicas tienen un nivel de jerarquía definido.
– Mutliplicación (X)
– División (/)
– Suma (+)
➢ ¿Cuál tiene prioridad?
• En álgebra de Boole, debemos distinguir la jerarquía (prioridad) entre las funciones lógicas:
– AND (●)
– OR (+)
– XOR (ꚛ)
– NOT (/)
➢ ¿Cuál tiene prioridad?
TE 101039
Jerarquía de las operaciones
• En álgebra de Boole, la jerarquía es:
– NOT
– AND
– OR
TE 1010-FIT 40
A=1, B=0 y C=0Ejemplo1:
AB+BC’+AB’
1 0 +0 0’+ 1 0’ Sustituimos los valores.
1 0 +0 1 + 1 1 Evaluación de las NOTs
0 + 0 + 1 Evaluación de las ANDs
0 + 1 Evaluación de las ORs
Ejemplo Curso FIT
1
Paréntesis: se deben resolver primero los más internos y trabajar hacia afuera.
Funciones Booleanas
TE 1010 41
Notación
➢LSB: Bits menos significativos.➢ Aquellos bits que tienen un peso cercano o igual a cero:
22, 21, 20
➢MSB: Bits más significativos.➢ Aquellos bits que tienen un peso cercano o igual a n (donde n es el peso mayor):
2n, 2n-1, 2n-2
➢En las ecuaciones lógicas anteriores se puedeobservar que la letra “A” se usa para designar al bitmás significativo:➢ F = (A•/B•C)
➢Es importante hacer notar que muchas veces seutiliza un criterio inverso:➢ F = (C•/B•A)
TE 1010 42
Expresiones Booleanas
➢ Las ecuaciones lógicas se expresan, como lo hemosvisto, en funciones de sumas y productos.
➢ Existen dos tipos de representación de las funcioneslógicas:
➢Sumas de productos:✓Σ (π)
➢Productos de sumas:✓π (Σ)
TE 1010 43
Ejemplos
TE 1010 44
A B C Z
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
Ejemplos
TE 1010 45
A B C Z
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
Otra forma es considerar que el término (A ●B
●C), convenientemente, puede ser usado como
factor común y agregarse 2 veces mas:
Solución de Sistemas Digitales, principios y aplicaciones. Tocci, Widmer, Moss. Pp129.
Expresiones Booleanas➢ Sumas de productos Σ (π):
(A•B) + (/A•C) + (/B•C)
(A•/B) + (B) + (B•/C)
(/A•B) + (A•/B•C) + (/B) + (B•C)
➢ Productos de sumas π (Σ):
(A+B) • (/A+C) • (/B+C)
(A+/B) • (B) • (B+/C)
(/A+B) • (A+/B+C) • (/B) • (B+C)
TE 1010 46
Expresiones Booleanas
➢Sumas de productos Σ (π):
➢ Implementación de una suma de productos:
➢ (A•B) + (A•C) + (B•C)
➢El circuito:
A
B
C
F
TE 101047
Expresiones Booleanas
➢Sumas de productos Σ (π):➢ Hasta ahora se hemos visto sumas de productos que no incluyen todas
las combinaciones posibles de las variables de entrada, por ejemplo:
✓ (A•/B) + (B) + (B•/C)
➢ Sus productos no incluyen todas las variables de entrada A, B, C.
➢ En la suma de productos “estándar”, todos los productos incluyen atodas las variables.
➢ A los Términos que componen una Suma de Productos se les llama:MiniTérminos.
TE 101048
Expresiones Booleanas
➢Sumas de productos Σ (π):
➢Cada término que no contenga todas las variables deentrada puede transformarse a la forma “estándar” usandoel teorema:
8b: X + /X = ‘1’
➢Ejemplo:
(A•B) + (/A•C) + (/B•C)
(A•B) •(C + /C) + (/A•C) •(B + /B) + (/B•C) •(A + /A)
(A•B•C) + (A•B•/C) + (/A•B•C) + (/A•/B•C) + (A•/B•C) + (/A•/B•C)
TE 101049
Expresiones Booleanas
➢Sumas de productos Σ (π):
➢Término de producto estándar: Se utiliza para representaraquella(s) condicion(es) que debe(n) ser verdadera(s):
✓ (A•/B•C) = ‘1’ : Esto implica que A = ‘1’, B = ‘0’, C = ‘1’
➢ En el ejemplo anterior, el número sobre 3 bits que cumplecon el “término de producto estándar” es el número 5.
✓ (A•/B•C•/D) => A = ‘1’, B = ‘0’, C = ‘1’, D = ‘0’
➢ En este caso, el valor que cumple con el TPE es el número(10)d, ó (A)h
TE 101050
Expresiones Booleanas
➢Productos de sumas π (Σ):➢ Al inverso de la suma de productos, el producto de sumas esta
compuesto de la siguiente forma:
✓ (A+B) • (A+C) • (B+C)
➢ El producto de sumas puede contener términos de una solavariable.
➢ El circuito: A
B
C
F
TE 101051
Expresiones Booleanas
➢Productos de sumas π (Σ):➢ Hasta ahora se hemos visto productos de sumas que no incluyen todas
las combinaciones posibles de las variables de entrada, por ejemplo:
✓ (A+/B) • (B) • (B+/C)
➢ Las sumas no incluyen todas las variables de entrada A, B, C.
➢ En el producto de sumas “estándar”, todas las sumas incluyen a todaslas variables.
➢ A los Términos que componen un Producto de Sumas se les llama:MaxiTérminos.
TE 101052
Expresiones Booleanas
➢Productos de sumas π (Σ):
➢Cada término que no contenga todas las variables deentrada puede transformarse a la forma “estándar” usandoel teorema:
8a: X • /X = ‘0’
➢Ejemplo:
[(A+B) + (C•/C)] • [(/A+C) + (B•/B)] • [(/B+C) + (A•/A)]
[(A+B+C) • (A+B+/C)] • [(/A+B+C) •(/A+B+/C)] • [(A+/B+C) •(A+/B+/C)]
TE 101053
Expresiones Booleanas
➢Productos de sumas π (Σ):
➢ Término de suma estándar: Se utiliza para representaraquella(s) condicion(es) que debe(n) ser falsas(s):
✓ (A+/B+C) = ‘0’ : Esto implica que A = ‘0’, B = ‘1’, C = ‘0’
➢ En el ejemplo anterior, el número sobre 3 bits que cumplecon el “término de suma estándar” es el número 2.
✓ (A+/B+C+/D) => A = ‘0’, B = ‘1’, C = ‘0’, D = ‘1’
➢ En este caso, el valor que cumple con el TSE es el número(5)d.
TE 101054
Expresiones Booleanas
➢ Conversiones de sumas de productos a productos desumas:➢ Los elementos que no aparecen dentro de una suma de productos
estándar, son aquellos que hacen falsa a la función.
TE 1010 55
001 010
011
100101
110111
000
Σ (π): {000,100,101,110,111}
Expresiones Booleanas
➢ Tablas de verdad para las sumas de productos y los productos de suma:
➢ En una suma de productos, se eligen las combinaciones que, evaluadas con ‘1’, hacen la salida ‘1’.
➢ En un producto de sumas, se eligen las combinaciones que, evaluadas con ‘0’, hacen la salida ‘0’.
➢ Ejemplo:
F = (A•/B•C) + (/A•/B•C) + (/A•B•C) + (A•B•C)
/F= (/A+B+/C) •(A+B+/C) •(A+/B+/C)+(/A+/B+/C)
TE 1010 56
A B C Σ (π) /π (Σ)
0/1 0/1 0/1 0 1
0/1 0/1 1/0 1 0
0/1 1/0 0/1 0 1
0/1 1/0 1/0 1 0
1/0 0/1 0/1 0 1
1/0 0/1 1/0 1 0
1/0 1/0 0/1 0 1
1/0 1/0 1/0 1 0
Ejercicios➢ Tarea:
➢Realizar los siguientes ejercicios de final del capítulo 4 del libro de referencia:
✓4-1
✓4-2
✓4-3
✓4-4: de 4-4 al 4-7
➢Ronald Tocci, Neal S. Widmer “Sistemas Digitales, principios y aplicaciones”. 10a edición. Pearson. Pp 194-195.
TE 1010 57
Mapas de Karnaugh
➢ Los Mapas de Karnaugh son una tabla de valores muy similares alas tablas de verdad que ya aprendimos a obtener de un circuitológico:➢ Muestran los valores lógicos que corresponden a todas las combinaciones
posibles de entrada.
➢ A diferencia de una tabla de verdad, el mapa de Karnaugh nosiguen una secuencia ascendente o descendente.
➢ La disposición de un mapa de Karnaugh se basa en unasecuencia de código Gray con el objetivo de agrupar las salidaspara facilitar la reducción de la ecuación lógica.
TE 1010 58
Mapas de Karnaugh
➢ Código GRAY (recordatorio):
➢ No tiene un peso, por ende no representa valores específicos.
➢ Es un código no aritmético
➢ La condición del código Gray es que, al aumentar las secuencia de forma ascendente, solo cambia un bit dentro de la palabra de código:
TE 1010 59
Número Binario Gray
0 000 000
1 001 001
2 010 011
3 011 010
4 100 110
5 101 111
6 110 101
7 111 100
Mapas de Karnaugh
➢ Cada celda del Mapa representa la salida quecorresponde a alguna de las combinaciones deentrada.
➢Normalmente estos Mapas se usan para resolverfunciones lógicas de 3, 4 y 5 variables.
➢ Para funciones de muchas variables se utilizan otrosmétodos como el de Quine-McClusky, el cual seestudiará posteriormente.
➢ El número de celdas del Mapa es igual al número decombinaciones posibles de las entradas.
TE 1010 60
Mapas de Karnaugh
➢ Mapa de Karnaugh de 3 variables:
➢ 8 combinaciones posibles.
➢ A, B, C: Entradas
➢ Z : Salida
➢ Z = F(A, B, C)
➢ Nota: A es el MSb
TE 1010 61
A B
C
0 1
0 0 /A/B/C /A/BC
0 1 /AB/C /ABC
1 1 AB/C ABC
1 0 A/B/C A/BC
Mapas de Karnaugh
➢ Mapa de Karnaugh de 4 variables:➢ 16 combinaciones posibles.
➢ A, B, C,D: Entradas
➢ Z : Salida
➢ Z = F(A, B, C, D)
TE 1010 62
A B
C D
0 0 0 1 1 1 1 0
0 0 /A/B/C/D /A/B/CD /A/BCD /A/BC/D
0 1 /AB/C/D /AB/CD /ABCD /ABC/D
1 1 AB/C/D AB/CD ABCD ABC/D
1 0 A/B/C/D A/B/CD A/BCD A/BC/D
Mapas de Karnaugh
➢ Celdas Adyacentes:
➢ Las celdas del Mapa se ordenan en código Gray para que entre una celda y la adyacente solo cambie una de las variables.
➢ Las celdas de una orilla se consideran adyacentes a la de la orilla opuesta.
➢ Las asociaciones de celdas no son en diagonal.
TE 1010 63
Mapas de Karnaugh
➢ Solución de una función lógica mediante Mapas de Karnaugh:
➢ La función puede expresarse en suma de productos estándar:
➢Ejemplo:
F = /A/BC + /AB/C + ABC + AB/C
TE 1010 64
A B
C
0 1
0 0 0 1
0 1 1 0
1 1 1 1
1 0 0 0
Mapas de Karnaugh➢ Solución de una función lógica mediante
Mapas de Karnaugh:
➢ Ejemplo:
F = /A/BC + /AB/C + ABC + AB/C
➢ Primero hay que realizar las asociaciones pertinentes.
➢ Posteriormente re-escribir la ecuación en base a las variables que permanecen constantes.
➢ Existe la posibilidad de que un término no pueda asociarse
TE 1010 65
A B
C
0 1
0 0 0 1
0 1 1 0
1 1 1 1
1 0 0 0
Mapas de Karnaugh
➢ Solución de una función lógica mediante Mapas de Karnaugh:
➢ Ejemplo:F = /A/BC + /AB/C + ABC + AB/C
➢ De las asociaciones tenemos como resultado:B/C
AB
/A/BC
➢ Por lo que:F = /A/BC + AB + B/C
TE 1010 66
A B
C
0 1
0 0 0 1
0 1 1 0
1 1 1 1
1 0 0 0
Mapas de Karnaugh➢Solución de una
función lógica mediante Mapas de Karnaugh:
➢ La función puede ser expresada en suma de productos no estándar:
➢ Ejemplo:
F = /C + ABC
TE 1010 67
A B
C
0 1
0 0 1 0
0 1 1 0
1 1 1 1
1 0 1 0
Mapas de Karnaugh
➢Solución de una función lógica mediante Mapas de Karnaugh:
➢ Ejemplo:
➢ F = /C + ABC
➢ Como se puede observar, se tienen 2 elementos:
➢ /C
➢ ABC
TE 1010 68
A B
C
0 1
0 0 1 0
0 1 1 0
1 1 1 1
1 0 1 0
Mapas de Karnaugh➢ Solución de una función lógica mediante
Mapas de Karnaugh:
➢ Ejemplo:
F = /C + ABC
➢ Las asociaciones son:
/C
AB
➢ Y el resultado es:
F = AB + /C
TE 1010 69
A B
C
0 1
0 0 1 0
0 1 1 0
1 1 1 1
1 0 1 0
Mapas de Karnaugh
➢ Forma alterna de representación de los mapas de Karnaugh:➢ Arreglo en base al MSb:
TE 1010 70
B C
0 0 0 1 1 1 1 0
0
A
1
/A/B/C /A/BC /ABC /AB/C
A /B/C A /BC ABC AB/C
Mapas de Karnaugh
➢ Forma alterna de representación de los mapas de Karnaugh:➢ En este caso, también se hacen las asociaciones con las celdas vecinas:
TE 1010 71
B C
0 0 0 1 1 1 1 0
0
A
1
Mapas de Karnaugh➢ Ejemplo de una función lógica de 4 variables:
TE 1010 72
A B C D Z
0 0 0 0 0
0 0 0 1 0
0 0 1 0 1
0 0 1 1 1
0 1 0 0 1
0 1 0 1 0
0 1 1 0 1
0 1 1 1 0
1 0 0 0 0
1 0 0 1 0
1 0 1 0 0
1 0 1 1 0
1 1 0 0 1
1 1 0 1 0
1 1 1 0 1
1 1 1 1 1
A B
C D
0 0 0 1 1 1 1 0
0 0 0 0 1 1
0 1 1 0 0 1
1 1 0 0 0 0
1 0 1 0 1 1
Mapas de Karnaugh➢ Ejemplo de una función lógica de 4 variables:
TE 1010 73
A B C D Z
0 0 0 0 0
0 0 0 1 0
0 0 1 0 1
0 0 1 1 1
0 1 0 0 1
0 1 0 1 0
0 1 1 0 1
0 1 1 1 0
1 0 0 0 0
1 0 0 1 0
1 0 1 0 0
1 0 1 1 0
1 1 0 0 1
1 1 0 1 0
1 1 1 0 1
1 1 1 1 1
A B
C D
0 0 0 1 1 1 1 0
0 0 0 0 1 1
0 1 1 0 0 1
1 1 0 0 0 0
1 0 1 0 1 1
Mapas de Karnaugh➢ Ejemplo de una función lógica de 4 variables:
TE 1010 74
A B C D Z
0 0 0 0 0
0 0 0 1 0
0 0 1 0 1
0 0 1 1 1
0 1 0 0 1
0 1 0 1 0
0 1 1 0 1
0 1 1 1 0
1 0 0 0 0
1 0 0 1 0
1 0 1 0 0
1 0 1 1 0
1 1 0 0 1
1 1 0 1 0
1 1 1 0 1
1 1 1 1 1
A B
C D
0 0 0 1 1 1 1 0
0 0 0 0 1 1
0 1 1 0 0 1
1 1 0 0 0 0
1 0 1 0 1 1
Mapas de Karnaugh➢ Ejemplo de una función lógica de 4 variables:
TE 1010 75
A B C D Z
0 0 0 0 0
0 0 0 1 0
0 0 1 0 1
0 0 1 1 1
0 1 0 0 1
0 1 0 1 0
0 1 1 0 1
0 1 1 1 0
1 0 0 0 0
1 0 0 1 0
1 0 1 0 0
1 0 1 1 0
1 1 0 0 1
1 1 0 1 0
1 1 1 0 1
1 1 1 1 1
A B
C D
0 0 0 1 1 1 1 0
0 0 0 0 1 1
0 1 1 0 0 1
1 1 0 0 0 0
1 0 1 0 1 1
Mapas de Karnaugh➢ Ejemplo de una función lógica de 4 variables:
TE 1010 76
/A/BC + /AC/D + A/BC
/AB/D + A/B/D + /BC
F = /AB/D + A/B/D + /BC
F = (/AB + A/B)/D + /BC
F = (A B)/D + /BC
A B
C D
0 0 0 1 1 1 1 0
0 0 0 0 1 1
0 1 1 0 0 1
1 1 0 0 0 0
1 0 1 0 1 1
Mapas de Karnaugh➢ Ejemplo de una función lógica de 5 variables:
TE 1010 77
B C
D E
0 0 0 1 1 1 1 0
0 0 1 0 1 1
0 1 0 0 0 0
1 1 0 0 1 1
1 0 1 0 1 1
B C
D E
0 0 0 1 1 1 1 0
0 0 0 0 1 1
0 1 0 0 0 1
1 1 1 0 0 0
1 0 1 0 1 0
A = ‘0’ A = ‘1’
Mapas de Karnaugh➢ Ejemplo de una función lógica de 5 variables:
TE 1010 78
B C
D E
0 0 0 1 1 1 1 0
0 0 1 0 1 1
0 1 0 0 0 0
1 1 0 0 1 1
1 0 1 0 1 1
B C
D E
0 0 0 1 1 1 1 0
0 0 0 0 1 1
0 1 0 0 0 1
1 1 1 0 0 0
1 0 1 0 1 0
A = ‘0’ A = ‘1’
Mapas de Karnaugh➢ Ejemplo de una función lógica de 5 variables:
TE 1010 79
B C
D E
0 0 0 1 1 1 1 0
0 0 1 0 1 1
0 1 0 0 0 0
1 1 0 0 1 1
1 0 1 0 1 1
B C
D E
0 0 0 1 1 1 1 0
0 0 0 0 1 1
0 1 0 0 0 1
1 1 1 0 0 0
1 0 1 0 1 0
A = ‘0’ A = ‘1’
Mapas de Karnaugh
➢Agrupaciones:
/A[ /C/E + /CD + BD ]
A[ B/D/E + /CDE + /BD/E ]
➢Entonces:
F = /A[ /C/E + /CD + BD ] + A[ B/D/E + /CDE + /BD/E ]
F = /A/C/E + /A/CD + /ABD + AB/D/E + A/CDE + A/BD/E
➢ ¿Existe la posibilidad de simplificar aún mas esta ecuación?
TE 1010 80
Mapas de Karnaugh
➢Asociación implícita en Mapas de 5 variables:
TE 1010 81
Adyacencia en 3D Las celdas de las
orillas son adyacentes
Mapas de Karnaugh
➢ Como hemos visto, las celdas de los Mapas de Karnaugh se“llenan” en base a una Suma de Productos.
➢ Sin embargo, puede suceder que una función lógica noesté expresada en términos de una suma de productos.
➢ Para el caso de una función lógica en base a un Productode Sumas, el Mapa de Karnaugh se “llena” de formadistinta.
➢ Las reglas de asociación siguen siendo las mismas.
➢ Recordar que, en Producto de Sumas, se busca lacombinación de Maxitérminos que hacen ‘0’ la función.
TE 1010 82
Mapas de Karnaugh
➢ Solución de una función lógica mediante Mapas de Karnaugh:
➢ La función puede expresarse en suma de productos estándar:
➢ Ejemplo:
F = (/A+/B+C) (/A+B+/C) (ABC) (AB/C)
TE 1010 83
A B
C
1 0
1 1 1 0
1 0 0 1
0 0 0 0
1 1 1 1
Mapas de Karnaugh
• Solución de una función lógica mediante Mapas de Karnaugh:– Ejemplo:
• F = (/A+/B+C) (/A+B+/C) (ABC) (AB/C)
– Primero hay que realizar las asociaciones pertinentes.
– Posteriormente re-escribir la ecuación en base a las variables que permanecen constantes.
– Existe la posibilidad de que un término no pueda asociarse
TE 1010 84
A B
C
1 0
1 1 1 0
1 0 0 1
0 0 0 0
1 1 1 1
Mapas de Karnaugh
• Solución de una función lógica mediante Mapas de Karnaugh:– Ejemplo:
• F = (/A+/B+C) (/A+B+/C) (ABC) (AB/C)
– De las asociaciones tenemos como resultado:
• B+/C
• A+B
• /A+/B+C
– Por lo que:
➢ F = (/A+/B+C) (A+B) (B+/C)
TE 1010 85
A B
C
1 0
1 1 1 0
1 0 0 1
0 0 0 0
1 1 1 1
Mapas de Karnaugh
• Ecuaciones o tablas de verdad incompletas:– Muchas veces las tablas de verdad de una función lógica no contiene todas las
combinaciones de suma de productos:
TE 1010 86
A B
C
0 1
0 0 0 1
0 1 1
1 1 0 0
1 0 1
A B C Z
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 1 1
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 1 0
Mapas de Karnaugh• Ecuaciones o tablas de verdad incompletas:
– Aquellas casillas que no tengan un dato, serán tomadas como un “no importa” o “Don´t Care” que se simbolizará con una “X” :
TE 1010 87
A B
C
0 1
0 0 0 1
0 1 X 1
1 1 0 0
1 0 1 X
A B C Z
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 1 1
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 1 0
Mapas de Karnaugh• Ecuaciones o tablas de verdad incompletas:
– El estado “X” facilita la solución del Mapa ya que permita agrupar las “X” con los ‘1’ (o con los ‘0’ en el caso de los productos de sumas:
TE 1010 88
A B
C
0 1
0 0 0 1
0 1 X 1
1 1 0 0
1 0 1 X
A B C Z
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 1 1
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 1 0
Mapas de Karnaugh• Ecuaciones o tablas de verdad incompletas:
– De tal suerte que la función lógica es:
• Z = /AC + /AB + A/B => Z = /AC + (A B)
TE 1010 89
A B
C
0 1
0 0 0 1
0 1 X 1
1 1 0 0
1 0 1 X
A B C Z
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 1 1
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 1 0
Mapas de Karnaugh• Otro ejemplo:
– Tabla incompleta de 4 variables:
TE 1010 90
A B C D Z
0 0 0 0 0
0 0 0 1 0
0 0 1 1 1
0 1 0 0 1
1 0 0 1 0
1 0 1 0 1
1 0 1 1 0
1 1 0 0 1
1 1 0 1 0
A B
C D
0 0 0 1 1 1 1 0
0 0 0 0 1
0 1 1
1 1 1 0
1 0 0 0 1
Mapas de Karnaugh• Otro ejemplo:
– Los espacios libres se llenan con ‘X’:
TE 1010 91
A B
C D
0 0 0 1 1 1 1 0
0 0 0 0 1 X
0 1 1 X X X
1 1 1 0 X X
1 0 X 0 0 1
A B C D Z
0 0 0 0 0
0 0 0 1 0
0 0 1 1 1
0 1 0 0 1
1 0 0 1 0
1 0 1 0 1
1 0 1 1 0
1 1 0 0 1
1 1 0 1 0
Mapas de Karnaugh• Otro ejemplo:
– Posteriormente se realizan las asociaciones pertinentes:
TE 1010 92
A B
C D
0 0 0 1 1 1 1 0
0 0 0 0 1 X
0 1 1 X X X
1 1 1 0 X X
1 0 X 0 0 1
A B C D Z
0 0 0 0 0
0 0 0 1 0
0 0 1 1 1
0 1 0 0 1
1 0 0 1 0
1 0 1 0 1
1 0 1 1 0
1 1 0 0 1
1 1 0 1 0
Mapas de Karnaugh
• Otro ejemplo:– Posteriormente se realizan las asociaciones pertinentes:
TE 1010 93
A B
C D
0 0 0 1 1 1 1 0
0 0 0 0 1 X
0 1 1 X X X
1 1 1 0 X X
1 0 X 0 0 1
Primera asociación:
/AC
Mapas de Karnaugh
• Otro ejemplo:– Posteriormente se realizan las asociaciones pertinentes:
TE 1010 94
A B
C D
0 0 0 1 1 1 1 0
0 0 0 0 1 X
0 1 1 X X X
1 1 1 0 X X
1 0 X 0 0 1
Segunda asociación:
C/D
Mapas de Karnaugh
• Otro ejemplo:– Posteriormente se realizan las asociaciones pertinentes:
TE 1010 95
A B
C D
0 0 0 1 1 1 1 0
0 0 0 0 1 X
0 1 1 X X X
1 1 1 0 X X
1 0 X 0 0 1
Tercera asociación:
/AB
Mapas de Karnaugh
• Otro ejemplo:– Posteriormente se realizan las asociaciones pertinentes:
TE 1010 96
A B
C D
0 0 0 1 1 1 1 0
0 0 0 0 1 X
0 1 1 X X X
1 1 1 0 X X
1 0 X 0 0 1
Cuarta asociación:
A/D
Mapas de Karnaugh
• Otro ejemplo:– La ecuación que se obtiene del Mapa es:
TE 1010 97
A B
C D
0 0 0 1 1 1 1 0
0 0 0 0 1 X
0 1 1 X X X
1 1 1 0 X X
1 0 X 0 0 1
Z = /AC + C/D + /AB + A/D
¿Es posible reducir aún mas la función Z?
Mapas de Karnaugh
•Tarea: Complete la tabla,realice los mapas deKarnaugh y obtenga elcircuito mas simple paracada segmento delDisplay de 7-segmentos:
Hexadecimal Binario 7 segmentos
0 0000 ?
1 0001 ?
2 0010 ?
3 0011 ?
4 0100 ?
5 0101 ?
6 0110 ?
7 0111 ?
8 1000 ?
9 1001 ?
A 1010 ?
B 1011 ?
C 1100 ?
D 1101 ?
E 1110 ?
F 1111 ?
TE 101098
Selectores
• Existen 2 tipos de selectores:
– Selección de varias entradas hacia una salida:
– Selección de una sola entrada hacia varias salidas:
TE 1010 99
Selectores
• Ejemplo de un selector de N entradas a 1 salida:
– Selector de canales de Televisión:
TE 1010 100
Demodulador
Canales
Sel A la
Pantalla
Señal de control
(selección)
Antena
Multiplexor
Selectores
• Ejemplo de un selector de 1 entrada a N salidas:
– Conmutador telefónico:
TE 1010 101
Conmutador ExtensionesSel
Señal de control
(selección)
Línea
Telefónica
Demultiplexor
Selectores
• Multiplexores: circuito lógico que permite seleccionar una de entre N entradas.
– Símbolo:
M
U
X
TE 1010102
En
tra
da
s
Salida
Señales de
control
Selectores
•Ejemplo de un Multiplexor de 4 a 1:
S1 S0 Salida
0 0 A
0 1 B
1 0 C
1 1 D
TE 1010103
S0
S1
A
B
C
D
Salida